Рост и распределение нулей аналитических характеристических и хребтовых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

р Г 3 ХАРьбо&КИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2 3 151011 1993 1

На правах рукописи

ВИШНЯКОВА Анна Марковна

РОСТ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ И ХРЕБТОВЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учено8 степени кандидата физико-математических, наук

Харьков - 1993

Работа выполнена на кафедре теории функций Харьковского государственного университета

Научный руководитель: член-корр. АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор Островский И.В. .

, Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ■ профессор Азарин B.C. ( ХШТ )

доктор физико-математических наук, доцент Логвиненко В.Н. ( ЗГУ )

Ведущая организация .Львовский государственный университет

Защита состоится " Ч " __ 1993 г.

в "" час. на заседании специализированного совета К 053106.02 в Харьковском государственном университете по адресу: 310077, г. Харьков, пл. Свобода, 4, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в центральной научной библиотеке Харьковского государственного университета.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. Актуальность темы. Целые й аналитические характеристические и хребтовые функции играют Важную роль в теории вероятностей и некоторых вопросах теории функций и функционального анализа. При изучении таких функций одной из основных является про&лема выяснения связи между ростом функции и распределением ее нулей. Диссертация посвядена решению некоторых вопросов, относящихся к этой проблеме. Этим объясняется' актуальность тег.я диссертации. '

Цель работы. Цель диссертации состоит в решении следующих Зада^ г ■ 1 ■

.1° Изучить рост целых и аналитических в полуплоскости характеристических и хребтовых функций^ не имеющих нулей в угловой области.

о

2. Исследовать регулярность роста целых и аналитических в полуплоскости хребтовых функций двойного экспоненциального роста с ограничениями на расположение нулей.

о .

3. Получить списание нулевых.множеств некоторых классов целых функций, ограниченных в полуплоскости.

Научная новизна» Все основные результаты диссертация являются новыми. •

Результаты, относящиеся к задаче 1°, ранее бнлв известны в случае, когда угловая область является всей плоскостью или полуплоскостью ( И.Мархшнкевич, И.В.ОстровоюД, А.А.Гольдберг и Я.В.Островский, И.П.Кемыния и др. ). Метод*, которыми ранее пользовались, неприменимы к рассматриваемому случаю. В диссертации использован нопый метод, основанный и»

контурном интегрировании.

■■■■■■■•.: б Результаты, относящиеся к задаче 2 , можно считать.обобщением теоремы В.В.Зиыогляда о целых хребтовнх функциях. В. диисерташи рассмотрен случай аналитических в полуплоскости

хребтовых функций и получена более точная, чем у В.В.Зямо-

о

глада, оценка регулярности роста. Для решения задачи 2 ис-

■ д ■ .

пользован метод, аналогичный методу решения задачи I .

В связи с задачей 8° заметим, что ранее были описаны нулевые множества всех целых характеристических функций йе-роятносТннх распределений ( И.П.Камынин и И.В.Островский, 1982 }. Вопрос об описании нулевых множеств целых характеристических функций, ограниченных в полуплоскости ( т.е. целях характеристических функций распределений! сосредоточенных на полуоси ) остается открытым. Единственный результат в этом направлении принадлежит И.В.Островокому ( 1988 ) я Лает описание конечных нулевых множеств тйких функций. № получим полное описание нулевых множеств трех классов целых функций, близких к классу целых характеристических функций вероятностных распределений, сосредоточенных на полуоси. При решении задачи 8° в диссертации использован метод, разработанный И.П.Камыниным и И.В.Островским для решения задачи об описании нулевых множеств целых эрмитово позитивных функций.

* Методика исследования.Методы, использованные для решения задач 1° и 2® , основаны на контурном интегрирований и применении других методов теории.аналитических функиий.

При решении задачи 30 используется метод, основанный на применении теоремы Ы.В.Келдыша о приближении аналитйчес-

них функций целыми, а также метод, разработанный И.П.Камыниным и И.В.Островским для.описания нулевых множеств целых эрмитово позитивных функций.

Значение результатов диссертации. В диссертации обнаружены новые закономерности, относящиеся к связи между ростом и распределением нулей целых и аналитических характеристических и хребтовых функций. Разработай новый метод, позволяющий исследовать целые и аналитические в полуплоскости характеристические и хребтовые функции.

Основные положения, вынесенные на эааштт.

1. Точные оценки роста целых и аналитических в полуплоо-хостя хребтовых функций, не имеющих нулей в угловых областях.

2. Регулярность роста целых и аналитических в полуплоскости хребтовых функций двойного экспоненциального роста о ограничениями на нули.

3. Полные описания нулевых множеств специальных классов целых функций, ограниченных в полуплоскости.

. Апробация работы. Изложенные в работе результаты докладывались на Всесоюзной конференция по приложениям комплекс-.ного анализа ( г. Черноголовка, 1989 г. ), на Всесоюзной конференции по комплексному анализу ( г. Харьков, 1990 г. ), -яа международной школе по комплексному анализу ( поо. Ня-колаевка; Крым, 1992 г. ), на Харьковском городском семинаре по теории Функций (рук..проф. Б.Я.Левип и проф. И.В.Остро»- Г ский ), ев Харьковском городском сеункаре по акалатгческкм

вопросам теории вероятностей ( рук. проф. И.В.Островский }.

Публикации. Основные результаты диисертацйи опубликованы в статьях [ 1} — Е 5Л

Структура и объем диссертации* Диссертация состоит из введения и 4-х глав. Объем диссертации 103 страницы, библиография - 27 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложена история вопросов, рассматриваемых в диссертации,.и проведено сравнение полученных результатов с предшествующими работами других авторов.

В главе I изучается рост целых й аналитических в верхней полуплоскости характеристических и хребтовых функций при ряде ограничений на распределение нулей.

Напомним, что функция фЦ) , - со < Ь < ОО , называется характеристической, если она представима в виде

№-Тс**р(Ь), (!)

где' Р - вероятностная мера на прямой.. Целая ( аналитическая в полуплоскости £+={г:Ыг>о } и непрерыв- • ная вплоть.до границы ) функция называется характеристической, если ее сужение на вещественную ось является характеристической функцией. Известно, что для целой ( аналитической в С.+ ) характеристической функции представление (I) сохраняет силу при всех ¿£ С ( Ь £ ), —

причем интеграл в правой части (I) сходится абсолютно.

Целая ( аналитическая в С+ ) функция Р ,¥(0)= , называется хребтовой, если она при £ 6. (С ( £ С.+ ) удовлетворяет неравенству

IЩ) \ 4 ч>(ИтЬ).

■ !»

Понятие хребтовой функции было введено Ю.В.Линником и является естественным расширением понятия характеристической функции. Поэтому мы стремимся в целях большей общности доказывать теоремы для хребтовых функций) а примеры, показывающие точность оценок, даваемых этими теоремами, находить в клао- . се характеристических функций.

Основными результатами главы I являются следующие две теоремы.

Теорема I. Пусть аналитическая в С.+ хребтовая функция Ч'(Е) не имеет нулей в угле при некотором (Л 0)^/2] • Если .

■&Ш- о, (г)

то

&п (Щ'М* \Щ)\< оо, (3)

При <Х — /Г/2 эта теорема была доказана И.В.Островским. Аналогичная теорема доказывается для целых хребтовых функций.

Теорема I'. Пусть целая хребтовая функция Ф(-ё) не имеет нулей в угловой области

{Е.- г^г-т/гк^и

С/ {г: + <<* ] при некотором <х€ (0,^21

Если

{г')

то

-к *

/ 1 / "

При е< = Т/2 теорема I была доказана И.В.Островским .

Заметим, что условия (2) и (2') в теоремах I и Iхослабить нельзя: об этом свидетельствует пример целой характеристической функции распределения Пуассона 2) == .

* Островский И.В. О росте целых и аналитических в полуплоскости хребтовых функций // Матем. сборник.- П9 (161). Я I (9).- 1582.- с. 150'- 159.

-X * Островский И.В. О применении одной закономерности, обнаруженной Вкманом и Валироном, к исследовании характеристических функций вероятностных законов // Докл. АН СССР.-143, № Б.- 1962.- с. 5Б2 - 535.

= ехр(а(оср(сб£)- 1)) , а> О , Ь>0 .

Утверждения (3) и (З') могут быть уточнены: в правой чаотя (3) й (Зу) можно поставить конкретные величины, зависящие от Л . Этим уточнениям будут посвящены теоремы 3 и 4 главы П. Теореьм I и г' можно рассматривать как обобщения, утверждения, высказанного & 1960 г. Ю.В.Линником в качестве гипотезы и доказанного в 1962 г. И.В.Островским: если целая характеристическая функция имеет вид $■(£), где (%) - целая функция не выше минимального типа порядка ± , то ^ (¿) - полином.

Теорема 2. Пусть аналитическая в С.+. хребтовая функция ЧЧН ) не имеет нулей. Пусть

О < < оо.

»->+00 о V

Тогда

Эта теорема является уточнением результата В.В.Зимо-гляда*, показавшего, что для целой хребтовой фунйш без нулей из условия

* Зимогляд В.В. О росте целых функций, удовлетворявших специальным неравенствам// Теория функций, функциональный анализ я их приложения.- вып. 6.- 1968.- с. 30 - 41.

0< 1+ 00■

следует, что

М1ц)\ <Щ1+0(\ПуГ), ¡/-*± со.

Для формулировки результатов главы II введем следующее обозначение: для 0<°< ^ ЛГ/£ обозначим Т{°() Лежащий в интервале (/Г/<4 } корень уравнения

Заметим, что = О.

Основными результатами главы П являются следующие две теоремы.

Теорема 3. Пусть аналитическая в хребтовая функция 442) порядка р < 00 не имеет нулей в угле -С.2 •' \ащт- п!21 < <*} . О <oii.iT/2 • Тогда

При любом <х , 0<о( 41Г/2. оценка на р является неулуч-шаемой.

_. * При о< = Т/,2 эта теорема была доказана И.П.Камыниным .

Теорема 4.Пусть целая хребтовая функция Ч>(2 ) порядка р < СО не имеет нулей в угловой области

, 0< <* ^ те; •

При любом с( , 0 ^of $ П*/^ , оценка на j> является пе-улучтаемой.

При (Л - 1Г¡2 эта теорема была доказана А.А.Гольдбергом и

И.В.Островским .

Камынин И.П. Обобщение теоремы Марцинкевича о целых характеристических функциях вероятностных распределений // Записки научных семинаров ЛОМИ.- 85.- 1979.- с. 94 - ЮЗ;

* -А Гольдберг A.A., Островский Й.В. О росте целых хребтовых функций о деествительннми нулями // Труда ФТИНТ АН УССР, Математическая физика, функциональный анализ,- вып. 5,--1974.-с. 3 - 10

У

у

\T/(ßcf) , 2 ,

12.

Результаты. главы П были одновременно независимо получены А.Е.Фрынтовым с помощью другого метода.

Теоремы 3 и 4 можно рассматривать как обобщения следующей л

теоремы Марцинкевича , имеющей многочисленные применения в теории вероятностей и математической статистике ( см.» например, монографию А.Н.Каган, Ю.В.Линнях, С,Р.Рао "Храктеризаци-онные задачи математической статистики" ): если целая харак- -теристическая функция порядка р^ ОО не имеет ну-

лей, то она является характеристической функцией распределения Гаусса ( и, следовательно, р 4 & ).

Следующая теорема, которую тоже можно рассматривать как обобщение теоремы Марцинкевича, является основным результатом главы Ш.

Теорема 5. Пусть ¥(£) - целая хребтовая функция конечного порядка (р ф 2. , вде нули которой лежат в области [7.:1Щ1- пг/2\< <х ]и[2: \azgz-* Цгк*}, Щ2. Тогда • "

С. >л

х г'

если

\

если

Фрынтов А.Е. Об одном свойстве конуса, порожденного мультипликативными сдвигами субгармонической хребтовой фикции // Аналитические методы в теории вероятностей и теории операторов. Сбори. научй. трудов 4ТИНТ АН УССР.- 1Е90.- с". 33 - 40

й- * Нагс1п&£*/1сг. д. Мх иле рюриеНс' с!е Ей £оС с/е Чаиъъ Ц НМЬ. ШЬыЬч. - Ъаъ).-кН.- 1.9Э*.-5 е±2-£18.

При любом jЗФ-i.,Z оценка на о( является неулуч-шаемой. ■.■.-■■■■'

В главе 1У основным результатом является следующая теорема. Теорема 6. обозначим через. класс целых функций, допускающих в € представление абсолютно сходящимся интегралом :

■ й

Где (3 - вещественная мера, • неотрицательная на некоторой полуоси П^, оЬ) ( (3 и зависят от функции .4*' ). Для того, Чтобы множество А" с; £. являлось нулевым

множеством некоторой целой функции класса & - необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий:

1) йё. А А;

2) существует 1|0 е. , такое что

ЛШ : = •

3) для любого /) выполняется

со

ак: 1так>Л 1<2*1г + 1

Класс * является расширением класса целых характера-

стических функций, ограниченных в верхней полуплоскости. Проблема описания нулевых множеств таких характеристических фуж-ций не решена в настоящее время (И.В.Островоким описаны конечные нулевые множества )« Теорему С можно рассматривать Как продвижение в решении этой проблеш; Следующие два результата являются аналогами для целых функций классической теоремы Бляшке, дающей описание нулевых множеств функций, аналитических и ограниченных в полуплоскости. . .

Теорема 7. Пусть А - множество, лежащее в верхней полуплоскости. Для того, чтобы А являлось нулевым множеством некоторой целой функции, ограниченной в верхней полуплос- ■ кости, Необходимо и достаточно, чтобы А ке имело конечных предельных точек и, кроме того, удовлетворяло условию Бляшке

Т^ ^ ОО

•Теорема 8. Пусть А<=- С . Для того, чтобы А

яв-

лялось нулевым множеством для некоторой целой функции, ограниченной в любой полуплоскости вида

необходимо и достаточно, чтобы для любого А? О выполнялось условие

у—' 11та,дч-Л- ^ ^ ' ¿Пм&к I Ы*- + А

Разумеется, теоремы 7 и 8 в сторону необходимости яр.чя-ются непосредственными следствиями теоремы Еляаке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вишнякова A.M., Островский И.В. Аналог теоремы Марцинке-вича для целых хребтовых функций, не имеющих нулей в угловой области // Доловили АН УССР, сер. А.- Я 9.- 1987.- о. 8 - II.

2. Вишнякова A.M. О ростё хребтовых функций, не имещих нулей в угловой области // В об. Аналитические метода в теории вероятностей я теории операторов. Сб. научных трудов ФТИНТ АН УССР,-Кйевг^Наукова думка, 1990.- с. 40 - 48.

3. Вишнякова A.M., Островский И.В., Улаяовский A.M. Об одной гипотезе И.В.Линника // Алгебра я анализ,- Д 4.- 1990,- о. 82 -SO.

4. Вишнякова A.M. О росте функций, хребтовых в полуплоскости // В сб. Теория операторов, субгармонические функции. Сб. науч-. них трудов ФГКНТ АН УССР.- Киев: Наукова думка, 1991,-

с. 24 - 30.

5. Виянякова A.M. Рост целых хребтовых функций с ограничениями на аргумента нулей // Украинский катем, журнал.- 43, Я 8.1991.— с. 727 - 734.

Отвмствеипий 1» аыпус* # Г.

Пом.кпы /Л ¿Г Формгт 60хМ"„. Пум.г. тип. Петт оф«т». Усз , ¿0

Уч. изд. л. ¿р Тираж /р *и.З««.М Сгспл.Тно

Харьковское межвузовски« арендное полшрафичгсиое предпршгм 310W3. Харьков. yi OrpjMoa), 115