Восстановление генерального распределения по распределению некоторых статистик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

1 Восстановление генерального распределения по распределению суммы и суммы со случайным вхождением слагаемых.

1.1 Вспомогательные утверждения.

1.2 Восстановление генерального распределения по распределению суммы.

1.3 Случайное вхождение слагаемых.

2 Восстановление генерального распределения по распределению линейной статистики

2.1 Вспомогательные результаты.

2.2 Условия однозначности восстановления.

2.3 Устойчивость восстановления

3 Характеризация генерального распределения распределением статистики максимума

3.1 Вспомогательные результаты.

3.2 Условия характеризации.

3.3 Устойчивость характеризации.

При решении статистических задач проверки гипотез о виде распределения часто возникает ситуация, когда мы имеем доступ не к исходной выборки ., Хт, а к некоторым образом преобразованной. Наиболее часто такими преобразованиями являются линейное преобразование ,суперпозиция элементов выборки и выделение максимального элемента.Другими словами, мы приходим к необходимости делать статистические выводы о распределении исходной выборки (генеральное распределение) на основе некоторых статистик от нее. Основными такими статистиками, соответствующими вышеуказанным преобразованиям, являются линейная статистика

Ь = (3\Х\ + ■. ■ + ртХт и статистика максимума л /г (Хт\ где /3&- положительные действительные числа. Ситуации, приводящие к линейной статистике^ возникают в физике. Например, если нам нужно проверить гипотезу о распределении интенсивности излучения некоторого числа (не очень большого) одинаковых объектов, находящихся на разных расстояниях от приемника ,то мы должны делать выводы о виде распределения на основе линейной статистики. Действительно, наблюдаемая случайная величина будет суперпозицией одинаково распределенных случайных величин с некоторыми коэффициентами, зависящими от расстояния соответствующего объекта до приемника.

Необходимость рассмотрения статистики максимума возникает в контроле качества изделий, например, в том случае, если мы хотим оценить распределение ошибок (например, в размерах изделия),получаемых в результате последовательного числа независимых технологических операций , и наблюдению доступны только ошибки ,выходящие за поле допусков (максимальные ошибки), в силу ограниченности времени,данного на одну проверку и неточности самих приборов проверки. При этом естественным выглядит предположение о том,что распределения ошибок при каждой технологической операции имеют среднее нуль и могут отличаться дисперсиями, т.е. принадлежат одному мультипликативному типу.

Независимо от характера решаемой статистической задачи (оценивание, проверка гипотез), основополагающим является вопрос о единственности восстановления исходного распределения по распределению статистик Ь и М.

Диссертация посвящена получению новых условий (необходимых и достаточных), при которых распределение статистик ХиМ характеризует генеральное распределение. Также большое внимание уделено устойчивости этих характеризаций.

Сразу необходимо отметить связь рассматриваемых задач с арифметикой вероятностных законов - проблемой описания компонент распределений и максимум-компонент [15, 23, 28]. Если перейти на терминологию этого направления теории вероятностей, то наша задача состоит в том, чтобы найти условия, при которых разложение данного распределения на компоненты единственно. Также в отличие от общей задачи разложения , на компоненты налагаются дополнительные усло-вия(например принадлежность общему типу или равнораспределенность). В силу такой постановки задачи, общие теоремы о разложениях и их устойчивости в данном случае непригодны. В работе [19] показано,например, что общие теоремы об устойчивости ,вообще говоря ,не верны для задачи разложения на одинаковые компоненты. Это же верно и для компонент, принадлежащих общему полному или мультипликативному типу. С другой стороны, задачи восстановления связаны с харак-теризационными задачами статистики (см. монографию [11, Параграф 13.5 ] ). К этому же классу задач относится известная задача восстановления типов распределений по распределению инвариантных статистик, сформулированная впервые А.Н. Колмогоровым (см. [17]) и получившая свое дальнейшее развитие в работах И.Н. Коваленко и Ю.В. Прохорова.( см. [13], [21]).

Что касается вопроса восстановления генерального распределения по распределению линейной статистики, то для частного случая ,когда все коэффициенты равны , эта задача рассматривалась в работе [19] , где получены некоторые достаточные условия однозначности такого восстановления. Эти условия связаны либо с единственностью продолжения соответствующей характеристической функции с любого интервала, содержащего начало координат, либо с ее необращением в нуль ( что эквивалентно непрерывности аргумента). Известны также частные контрпримеры, демонстрирующие неединственность восстановления в случае четного числа слагаемых [22, 26, 27]. Проблема устойчивости в задаче восстановления распределения слагаемых по распределению суммы независимых одинаково распределенных случайных величин (устойчивость разложения на одинаковые компоненты) начала изучаться в 80-х годах; первой работой была, по-видимому, работа [10], где была получена оценка устойчивости разложения на одинаковые компоненты нормального распределения. Дальнейшее развитие проблема устойчивости получила в работах [20, 24, 25]. В первой из них были существенно уточнены результаты [10] для нормального распределения и получены их аналоги для некоторых других абсолютно непрерывных распределений, во второй - исследован случай пуассоновского распределения, а в третьей - получены оценки для широкого класса дискретных распределений. Однако, все эти результаты имели дело только с такими распределениями, у которых характеристические функции имеют непрерывный аргумент. Как отмечалось выше существует большой класс распределений, не обладающих таким свойством, но для которых ,тем не менее, имеет место единственность восстановления (например, распределения, имеющие аналитическую характеристическую функцию). Вернемся к линейной статистике. Единственным результатом в общем случае является указание Лин-ника (см. [14]) на то ,что в классе распределений, имеющих все моменты и удовлетворяющих условиям единственности решения проблемы моментов, распределение статистики Ь однозначно определяет генеральное распределение.

Что касается статистики М ,то эта задача по сути нигде ранее не рассматривалась, если не считать случая равенства всех (Зк (см. [9]), в котором она становится тривиальной.

Все вышесказанное показывает актуальность исследования задач восстановления распределений по распределению статистик Ь и М.

I Первая глава работы посвящена проблеме нахождения распределения случайных величин Х{ по распределению статистики

5 = 7Л + . + 7тХт, (0.1) где Х\,., Хт, 7ь ., 7ш независимы в совокупности , а каждое принимает значения 0 и 1 с вероятностями р и 1 — р соответственно. При р = 0 эта задача является классической задачей единственности разложения данного распределения на независимые одинаково распределенные компоненты или, иначе говоря, проблемой восстановления генерального распределения по распределению суммы. В параграфе 1.1 доказываются вспомогательные результаты. В частности , здесь получены новые неравенства для производных характеристических функций. В параграфе 1.2 получены новые необходимые и достаточные условия однозначности разложения и исследуется его устойчивость. Что касается необходимых условий , то они формулируются как достаточные условия неоднозначности разложения и им посвящены теоремы 1.2.1, 1.2.2 и 1.2.3. Обозначим через &а совокупность целых трансцендентных функций экспоненциального типа с показателем меньшим или равным а , удовлетворяющих на действительной оси следующим условиям:

Теорема [1.2.1] Пусть вероятностная плотность р(х) имеет представление о гдеро(х),. ,рн(х) - функции из &а, • • •, - непрерывные , неотрицательные , 2ж периодические функции и к - действительное число большее или равное 2а. Тогда ,если для данного натурального числа п > 2 существует такое действительное число х§ и такое натуральное число к < N, что

1 Согласно теореме Пели -Винера, преобразования Фурье таких функций сосредоточены на [—а,о].

1. ф(х) > О

2- Зир.оо^оо ф{х) < 00 3. /шф(х)дх < оо1, оо<х<оо n то существует вероятностная плотность р(х) такая, что р(х) * • • • * р(х) = р{х) * • • • * р(х),

4 V ' 4 V / п п но распределения,определяемые р(х) и р(х), различны. Из этой теоремы, в частности, следует возможность неоднозначности и при нечетном числе слагаемых. Следствие [1.2.2] Существует такая функция распределения F{x) ,что распределение суммы любого числа независимых случайных величин распределенных по закону F(x), не определяет однозначно F(x). Рассмотрим теперь другой класс распределений. Пусть (5П,п 6 N -класс вероятностных плотностей р(х) для которых существует натуральное число т такое, что р(х) € Cm(R), р(/)(ж) б I = 1,., т и xnpim\x)eL{R).

Теорема [1.2.2] Пусть р(х) G <5n+i и удовлетворяет следующим условиям

1. liminf[a-i^oo \х\п+1р(х) > 0.

2. р{х) ф 0 при хеш.

3. Существует Т > 0 такое, что |/(Т)| + |/'(Т)| + . + |j(n-i)^| о^ д^ -характеристическая функция , соответствующая р(х) и f(t) не равна тождественно нулю при > Т.

Тогда существует вероятностная плотность р(х) ф р(х) и натуральное число N такие, что р(х) * • • • * р(х) = р(х) * • • • * р(х). —-v-О—-vn n

Если в предыдущей теореме неоднозначность может иметь место только при достаточно большом числе компонент N, то в следущей , N - любое натуральное число. Теорема [1.2.3] Пусть для р(х) 6 ®n+i выполнены два первых условия теоремы 1.2.2 и еще следующее

3. Для любого В > О существует Т > В такое, что |/(Т)|+ |/'(Т)|-Ь. = О и f(t) не имеет компактного носителя.

Тогда для любого натурального N существует вероятностная плотность р(х) ф р(х) такая, что р(х) * • • • * р{х) = р{х) * • • ■ * р(х). n n

Достаточными условиями однозначности восстановления являются такие.

Теорема [1.2.4] Пусть F(x) - функция распределения , обладающая абсолютным моментом п-го порядка и где f(t)~ соответствующая характеристическая функция. Тогда F{x) может быть единственным образом восстановлена по

F(x) * • • • * F(x) n при любом конечном натуральном N.

Из этой теоремы следуют известные условия однозначности восстановления распределения слагаемых по распределению суммы.

Следствие. Если f(t) ^ О на всей прямой, то имеет место единственность восстановления.

Следствие. Если /(£) аналитична в окрестности I = то имеет место единственность восстановления. Теорема [1.2.5]Пусть /(£) - симметричная характеристическая функция, которая дифференцируема во всех точках, за исключением быть может нуля и -счетное множество ее нулей. Если f(t) имеет конечную правую и левую производную в нуле и неравенство верно при некотором М £ М, то /(£) может быть единственным образом восстановлена по /т(£) при любом т < является характеристической и для любого т такого, что может быть единственным образом восстановлена по /т(£). В некоторых классах распределений можно получить совпадающие необходимые и достаточные условия. Обозначим через 211 класс плотностей р(х) вида

М.

Пример [1.2.3] Например, функция где

Рп-1(х) = ао + а\х + . + ап-1Хп г, ап/ ф О и

Фп(х) = &о + Ь\х + . + Ьпхп, Ъп ф О положительные полиномы и / > 2. Теорема

Условие l/WI + l/'WI + • • • + l/(i2)WI Ф о, tern, где f(t) - характеристическая функция, соответствующая р(х) Е 21I, является необходимым и достаточным для однозначного восстановления р(х) по р(х) * • • • * р(х) для любого

-vn натурального N.

Перейдем теперь к вопросу устойчивости. Пусть f(t) = [fn(t)]n ~ характеристическая функция и xq < х\ < . < хк . • •- счетное множество ее нулей на [0, оо). Для любого 0<е<1иа>2 выберем наибольшее То = То (б, а) > О такое , что множество уровня {t : \f(t)\ = ае} пересекается с каждым интервалом (xk~i, хк) ровно в двух точках когда xk G [0,То]. Если таких То не существует, мы полагаем То = 0. Теперь мы можем определить о = 0,ак = < t < хк : \f(t)\ = ае}, к = 1,., N aN+1 = тт{ждг <t<T0 : \f(t)\ = ае},

Ьк = min{a* < t < хк : |/(t)| = ае}, k = 0,.,N bN+1 = min{aiv+i < t < T0 : |/(£)| = ae}, где N = N(e) -число нулей на [0, То]. Предположим, что fn(t) достаточно гладкая , так что следующие определения имеют смысл тк = тт{1: fn{l)(xk) ^ 0}, к G N. Предположим также, что тахшг. < М < оо. ке N

Далее ,мы найдем наибольшее Т\ = Т\(е, а) < То такое , что п(т*}(*)|п > «с,* е (ък1ак+1) п [о,Тх].

По аналогии с То , мы определяем Т\ = 0, если таких Т\ не существует.

Пусть <5п,т обозначает класс функций , которые могут быть единственным образом представлены в виде /пп(£), где /п(£) £ Сш (М) и /п(0) = 1. Мы также введем некоторую метрику в р(/,9) = тт тах | ^ тах тах |¡Бк (/; £) - дЗк (д; *) |, |, где / = /пп , д = дпп и функции определяются по формулам

SM/; t) - *)lû m , fe = 1,. •., m

Нужно принять во внимание,что Sk(f]t) = fnk\t) О,., m и поэтому <7) имеет смысл для функций из Cm(R).)

Мы также будем обозначать через А(/, д) расстояние в пространстве непрерывных функций, которое определяется следующим образом (см. [7]):

А (/, д) = min max j i max | / (t) - g (t) |, i |.

Основным результатом, касающимся устойчивости, является следующее утверждение.

Теорема [1.2.6] Пусть f(t) = [fn(t)f и g{t) = [gn(t))n суть две функции из Фп,м- Существует а(п, М) такое, что если

P(f, 9) < е 12 то аУп + (1 + ei/n^ Ti(e) > i/(€i/»)j б) + б]1/" + L(ef'n, Тг(е) < 1/(е1/гг)

L(€)= sup |/(*)|. i>Ti(e,a)

Замечание [1.2.1] Что касается М) , то оно должно выбираться удовлетворяющим неравенству cos(iarccos[l-^b)])-cos(^)

4 L J/ -:-. (0.2) a - 1 Y'n 1 + cos

Замечание [1.2.2] Используя соотношение между Л(-, •) и £(•, •) (см. [7]) ,мы можем переформулировать теорему в терминах метрики Леви.

Следующие два примера показывают нам , как теорема 1.2.6 может применяться.

Пример [1.2.4] Рассмотрим /о(£) = cos(i) - характеристическую функцию случайной величины , принимающей значения -1 и 1 с вероятностью 1/2 каждое. Принимая во внимание то, что \f'o{t)\ = \J 1 — fo2{t) , мы получим , что существует а = а(п)(которое может быть найдено из (0.2) при М = 1) такое, что, если p(fon,9on) < е, где g0(t) в С^Е) и б < то

A(/0,^)< (*1/п + (1 + *)1/п)

Пример [1.2.5] Теперь мы обратимся к равномерному распределению. Его характеристическая функция имеет вид m=^ и теорема 1.2.6 будучи примененной к /1^), дает нам, что для любой характеристической функции £ С1 (К) такой, что имеет место следующее неравенство

В параграфе 1.3 рассматривается вопрос об однозначности восстановления в задаче (0.1) для случая когда р > 0. В работе [19] показано,что при р > 1/2 имеет место однозначность восстановления. В данной работе показано , что при р = 1/2 однозначность еще имеет место, а при 0 < р < 1/2 уже нет, точнее доказаны следующие две теоремы

Теорема [1.3.1] Для любого натурального т > 1 и действительного 0 < р < 1/2 существуют две таких различных функции распределения С(х) и 0(х), что

РЕ(х) + (1 - р)С(х)Г = \рЕ(х) + (1 - Р)С(х)Гт, где Е(х) - вырожденная в нуле функция распределения. Теорема [1.3.2] Прир = 1/2 имеет место случай однозначного восстановления.

II Вторая глава посвящена проблеме определяемости генерального распределения распределением статистики Ь . Параграф 2.1 содержит вспомогательные результаты. В параграфе 2.2 доказываются теоремы ,дающие условия такой определяемости. Перепишем нашу линейную статистику в виде

Ь = Ъ\(ХЦ + . 4- Хщ) + . + ЬП(ХП 1 + . + ХП]<П), где А^-натуральные числа и удовлетворяют условию

1 < . < Ъп. и введем при п > 1 следующие обозначения

7 Ь>1

41 = т~,Щ = г = 1,., п — 1,

Л к<1 ~ , <7г — ) Щ = 7~1 г = 2, . . . , 72, «1 01 г(г) = 1 + + . +

Основным результатом параграфа являются теорема 2.2.^теорема 2.2.2 и следствия из них.

Теорема [2.2.1] Пусть две функции распределения Е{х) и С(сс) таковы ,что Ьр = Ьд. Положим а = тах{Ые 2 : т(г) = 0}. Если выполнено одно из следующих условий:

1. п = 1,

2. п > 1 , 41 + . + < I,

3. п > 1 , <71 + . + 1 > 1 и ^ обладает моментом порядка а, то f(t) = при |£| < <5, где /(£) и - характеристические функции соответствующие Е{х) и 0(х) и 6 = тт{£ > О : |/(£)| = 0}. Если же условия 1,2 и 3 нарушены, то существуют такие две функции распределения Ео(х) и Со (ж) обладающие моментами порядка а — е для любого 6 > е > 0 и порождающие одинаковое распределение статистики Ь, что соответствующие характеристические функции не равны тождественно ни на одном интервале, содержащем точку 0.

Следствие [2.2.1] Пусть в условиях теоремы 2.2.1 f(t) такова ,что для нее проблема продолжения с любого интервала, содержащего 0, имеет единственное решение ( см. [8]), тогда Г = С.

Следствие [2.2.2] Пусть в условиях теоремы 2.2.1 /(¿) не обращается в нуль на (—оо, сю), тогда F = С. Назовем полным типом распределения множество всех функций распределения вида где С{х) функция распределения ,а £ М и Ь > 0.

Следствие [2.2.3] Пусть Р\ и Рч две функции распределения принадлежащие некоторому общему полному типу и р = Если характеристическая функция -Р(ж) не обращается в нуль на всей прямой, то тип Р\ и однозначно определяется по Р.

Теорема [2.2.2] Пусть п>1,д2 + -- - + </п<1^ две функции распределения Р{х) и С(х) таковы ,что Ьр = Ье- Если |/(*)| положительна на М и существуют А > 0 и 8 > 0 такие,что ехр(-|*|АЛ |*| > Д где Х-положительный корень уравнения <72^2 + . • - + — то Р(х) и (2(ж) совпадают.

Параграф 2.3 посвящен вопросам устойчивости восстановления. Во-первых, когда имеет место единственность восстановления имеет место и слабая устойчивость.

Теорема [2.3.1] Пусть функция распределения Рс(х) единственным образом предст,авима в виде

ВД = ^(с 1Х) * . * ^(спх), где компоненты вектора с = (сх,., ст) суть различные положительные действительные числа ., кт -натуральные числа и Р{х) -функция распределения. Пусть также - последовательность функций распределения такая, что каждое Спс(х) представимо в виде и

3Пс(я) —>• ВД, п -> сю, 16 где обозначает слабую сходимость функций распределения. Тогда

Gn{x) —> F(x), п —У оо.

Во-вторых ,получены конкретные оценки устойчивости, связанные с теоремой 2.2.1. Обозначим через Qp(t) и Qc(t) характеристические функции, соответствующие распределениям Lp и Lq. Также через £(•, •) будем обозначать метрику Леви:

L(F, G) = inf {h :F(x-h)-h< G{x) < F(x + h) + h}.

Теорема [2.3.2]Пусть n > 1, qi + • • • + qn-1 < 1

0.3) и X > 0 - действительный корень уравнения + . +

Яп-\К-\ =

Если распределения ^ и(? таковы, что

ОО x\rdF(x) < оо, г > О

00 и для некоторого Т > О

0. * e(-T,T),

0.4). i€(-T,T), где mo . /1 M1 - ^-i) б < mm < --

L(F, G)< 8 l + -ln(l+/3r)+ + In — r \ rj 60

0.5) бо, (0.6) где бо = max

Ui - h^f'ьпт j ■ Jl

Следствие [2.3.1] Пусть выполнено (0.3) и (0.4),|Г2р(£)| не возрастает на (0, оо) и sup \nF{t) ~ < е, i|<T(e,0) где б удовлетворяет (0.5) и Т(б, £)-максимальный корень уравнения = б1-5 (полагаем Т = сю,если корней нет),тогда выполнено (0.6) с

Следствие [2.3.2] Пусть выполнено (0.3) и (0.4) , > р > 0 на (0, сю) и вир \npit) - ПсШ < е,

1*1 <т где б удовлетворяет (0.5), тогда выполнено (0.6) с

III В третьей части работы рассматривается проблема харак-теризации распределения независимых одинаково распределенных случайных величин Xi,., Хп распределением статистики М. Параграф 3.1 содержит вспомогательные результаты. В параграфе 3.2 рассматриваются условия , при которых вышеуказанная характеризация имеет место. Перепишем статистику М в виде

М = max

11 Xlki Xnl Xikn h Ъ\ bn bn

• ? где ^-натуральные числа и bi удовлетворяют условию bi<.<bn. и введем при п > 1 следующие обозначения — h — — ' — 9 Яг — , i">i — т 5 2 — . . . , 71, h bi ki ~ bi .

Qi = К = —, г = 1,., n — 1,

Ti(z) - 1 + q2h,2Z + . •. + qnh~z, т2(г) = 1 + + . + qn-{hznx.

Сформулируем две основные теоремы этого параграфа. Отметим сразу , что условия первой теоремы связаны с существованием моментов у соответсвующей функции распределения ,а условия второй относятся к существованию и равенству нулю у нее некоторого числа производных в нуле. Теорема [3.2.1 ]Пустъ две функции распределения F{x) и G{x) таковы ,что Мр = Mq- Положим а.\ — maxjRez : Ti(z) = 0}. Если выполнено одно из следующих условий

1.п=1,

2. п > 1, q2 + . - + qn < 1,

3. n> I, q2 + . .-\-qn > 1 и F обладает, моментом порядка Oil, то F(x) = G(x) при х > 0. Если же условия 1,2 и 3 нарушены, то существуют две различные функции распределения Fq(x) и Go(x), сосредоточенные на (0,оо), обладающие моментами порядка а?1 — 5, для любого ai > 6 > 0 и порождающие одинаковое распределение статистики М. Теорема [3.2.2]Пустъ две функции распределения F(x) и

G(x) таковы ,что Мр — Mq , F(x) непрерывна в 0 и F(О) > 0. Положим «2 — maxjRez : T2(z) = 0}. Если выполнены следующие условия:

1. п = 1,

2. п > 1 ; qi + . + qn-i < 1,

3. п > 1 , qi + . + qn-1 > 1 , F(a?) [од] + 1 раз дифференцируема в 0, и 0) = 0, k = 1,., [аг], mo F(cc) и совпадают.

Из этих двух теорем можно вывести несколько интересных следствий. Сформулируем здесь одно из них. Вначале определим понятие мультипликативного типа.

Мультипликативным типом распределения называется множество всех функций распределения вида G(x/b), где Ъ > 0 и G(x) - функция распределения.

Следствие [3.2.1 ]Пусть функции распределения случайных величин X и Y принадлежат некоторому общему мультипликативному типу и Z = тах{Х, У}.Если функция распределения Z непрерывна в 0, то тип X uY однозначно восстанавливается по распределению Z.

Параграф 3.3 посвящен вопросам устойчивости характериза-ции. Его содержание составляет доказательство следующих трех теорем.

Теорема [3.3.1] Пусть функция распределения Fc{x) единственным образом представила в виде

Fc(x) = Fki(c1x)-.-Fk™(cmx), где компоненты вектора с = (ci,., ст) суть различные положительные действительные числа ,к\г., кт -натуральные числа и F{x) -функция распределения. Пусть также {Gkc(x)}kL

- последовательность функций распределения такая, что каждое Опс(х) представимо в виде

СъсМ - (С1Ж) •. • в^СтХ) и пс(ж) -> ^с(ж), п ->• оо, обозначает слабую сходимость функций распределения. Тогда

Сп{х) —> п ^ оо.

Обозначим через /?(•, •) равномерную метрику в пространстве функций распределения p(F,G) = sup \F(x)-G(x)\.

Теорема [3.3.2]Пусть

Я2 + . • + qn < 1 и А > 0 - действительный корень уравнения q2h$ + . + qnhxn = 1.

Обозначим

Если распределения F и G таковы, что

F( 0) = 0 и / \ 1/(1 -S) /1xl/(l-á)' 21 где

А( А) =

2h\ fci(^-l)' то p(F, G) < (1 + 21/*-1) А(\у-6.

Теорема [3.3.3]Пусть qi + . + qn-1 < 1 и А > 0 - действительный корень уравнения .-)- qn-\h~\ = 1.

Обозначим

6 =

1 + l/(fci + . + у

Еслм функция распределения F{x) непрерывна в 0;F(0) > 0 w

1 xi/(i-i) /1Ч 1/(1-*) ,(ß(A))V<-) , p(Mp, Mg) <e< min < где

B( A) =

Mi-Aä-i)' p(F, G?) < (l + 21/5-1) ^(AJe1mo i-s

IV Основное содржание работы опубликовано в работах автора [2], [3], [4], [5], [6]. Диссертация выполнена под руководством к.ф.м.н,доцента A.B. Прохорова, которому автор выражает свою искреннюю благодарность.

1. Ахиезер Н.И., Классическая проблема моментов. М., Физматгиз,1961.

2. Беломестный Д.В., "К вопросу о восстановлении распределения слагаемых по распределению суммы", Теория ве-роятн. и ее примен.,2001, т.46, в.2,с.366-370.

3. Беломестный Д.В., "О задаче восстановления генерального распределения по распределению линейной статистики", Труды XXIII конференции молодых ученых механико-математического фвакультета МГУ ,2001, с.34-37.

4. Беломестный Д.В., "О задаче восстановления генерального распределения по распределению максимума", ДАН, 2001,т. 379,N1,0.7-8.

5. Беломестный Д.В. "Восстановление генерального распределения по распределению линейной статистики. "Вестник МГУ (в печати).

6. Беломестный Д.В. "Восстановление генерального распределения по распределению некоторых статистик." Теория вероятн. и ее примен .(в печати).

7. Золотарев В.М. , Сенатов В.В. Двусторонние оценки метрики Леви. Теория вероятн. и ее примен., 1975, т.ХХ,в.2, с.239-250.

8. Крейн М.Г.,0 проблеме продолжения эрмитово-положительных непрерывных функций. ДАН СССР, 1940,26.

9. Johnson N.L. and Kotz S., Characterization of an absolutely continuous distribution by the distribution of any order statistic. -Indian Journ. of Math.,, 1990,32, N 2.

10. Ильин В.В. Оценка устойчивости в теореме Крамера. Докл. АН СССР, 1981, т.260, в.З, с. 525-526.

11. Каган A.M. Линник Ю.В., Рао С.Р. Характеризационные задачи матетматической статистики. М.: Наука, 1972, 656 с.

12. Kawata Т. Fourier analysis in probability theory. -New York and London: Academic Press, 1972.

13. Коваленко И.Н., О восстановлении аддитивного типа распределения по последовательной серии независимых испытаний, Труды Всесоюзн. Совещания по теор. вероятн. и матем. стат., Ереван, 1958, Изд-во АН АрмССР, Ереван,1960.

14. Линник Ю.В., К вопросу о нахождении генерального распределения по распределению статистики. Теория вероятностей и ее применения, 1956 ,1, N 4.

15. Линник Ю.В.,Островский И.В. Разложение случайных величин и векторов. М.: Наука, 1972, 480 с.

16. Линник Ю.В., Линейные формы и статистические критерии. Укр.матем. журнал , 1953 ,5, N 2,N 3.

17. Петров А.А., Проверка статистических гипотез о типе распределения по малым выборкам, Теория вероятн. и ее пр-мен. I ,2 (1956).

18. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Москва , "Наука",1987.

19. Прохоров А.В., Ушаков Н.Г. О задаче восстановления распределения слагаемых по распределению суммы. Теория вероятностей и ее применения, 2001 ,46, N 3.

20. Прохоров А.В., Ушакова А.П. Оценки устойчивости в задаче восстановления распределения слагаемых по распределению суммы. Вест. МГУ, сер. мат. мех., 2001, N4.

21. Прохоров Ю.В. Характеризация класса распределений по распределению некоторых статистик. Теория вероятностей и ее применения, 1965 ,10, N 3.

22. Stoyanov J. Counterexamples in Probability. Wiley, Chichester and New York, 1987.

23. Титов A.H. Компоненты максимума. Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. М.: ВНИИСИ ,1987.

24. Ushakov N.G., Ushakova А.P. Estimations of the decomposition stability into identical components. Stat. Probab. Letters, 1995, v. 25, p. 221-229.

25. Ushakov N.G., Ushakov V.N. An estimate of the decomposition stability of the Poisson distribution into identical components. J. Math. Sci., 1997, v. 83, No 3, 103108.

26. Ushakov N.G. Selected topics in Characteristic functions. VSP,Utrecht und Tokyo, 1999.

27. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.:Мир, 1984.

28. Чистяков Г.П. Устойчивость разложений законов распределения. Теория вероятн. и ее примен., 1986, т. XXI , в. 3, с. 433-450.