Асимптотические свойства обобщенных U-статистик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН Институт математики им. В. И. Романовского

В од

На правах рукописи АБДУРАХЛ1АНОВ Гаппар Разакович

а,

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ и - СТАТИСТИК

01. 01. 05. — теория вероятностей и математическая

статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент — 1994

Работа выполнена на кафедре „Высшая математика № 3" Ташкентского государственного технического университета имени Абу Райхана Беруни.

Научные руководители: доктор Физико-математических

наук МАЛЕВИЧ Г. Л.

доктор физико-математических наук ХАШИМОВ Ш. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ГАФУРОВ М. У.

кандидат физико-математических наук, доцент АБДУШУКУРОВ А.

Ведущая организация: Математический институт им. В. А. СТЕКЛОВА Российской Академии наук.

Защита состоится „ /// « ЬШ ИУи (А 19Л года. /■У часов на заседании специализированного совета

Д 015. 17. 21 при Институте математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент—143, ул. Файзуллы Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан 1994 года.

в

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат, наук

ХАШИМОВ Ш. Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теории II - статистик и функционалов Мизеса, начатая еще в 40-х годах работами П.Халмаша, Р.Мизеса, В.Хефцинга,- занимает важное место в современной теории вероятностей и ее многочисленных приложениях. Этот факт объясняется тем, что многие числовые характеристики генеральной совокупности можно выразить через так называемые регулярные функционалы от функции распределения (ф.р.), а именно, функционалы вица

й-сИРОеО ••• сКЧхо» (I)

где ¡"- (Эс)- Ф-Р' из некоторого класса ^ , а

С 1 > ' ' ' ' измеримая функция, симметрич-

ная относительно ЗС. ^ , • • • > "ЗС. ^ .

В качестве статистических оценок функционалов (I), построенных по независимой выборке X. ^ , • • ■ , Хц из генеральной совокупности с ф.р. . используют

"Ц^- статистики

= —----- У' Ф(СХ:,...,'Х:)(2,

( означает суммирование по несовпадающим индек-

сам • • ■ 1 ^ ) или функционалы Мизеса В(Р^)

( ^ - эмпирическая ф.р.), или их линейные комбинации.

Функцию Ф • • • > называют ядром функционалов

6 с?-) , 6 (.Рц) И И - статистики (2), а *£. - и/

степенью.

При этом, как было установлено П.Халмошем, для довольно широкого гааспа ^ Ц - статистики являются единственными симметричными оценками регулярных функционалов и имеют наименьшую дисперсию среди, всех несмещенных оценок 9 ^ р) , ^ 61Ь .

К настоящему времени по степени завершенности теория "Ц. - статистик и функционалов !.!изеса близка к современной теории суммирования независимых случайных величин.

В последние годы начала бурно развиваться асимптотическая теория так называемых обобщенных (когда ядра функционалов зависят и от индексов суммирования и от объема выборки) функционалов Мизеса и \Х - статистик. Это развитие в значительной мере объясняется тем, что многие интегральные статистики, играющие важную роль в теории непараметрического оценивания, могут быть представлены в виде функционалов Мизеса и Ц - статистик с переменным ядром. Первые предельные теоремы для обобщенных функционалов Мизеса и обобщенных IX- статистик установлены в работах Б.Розена, В.Михайлова, В.Гирко, В.Королюк и Ю.Боровских, П.Халла, Ш.Хашимов и др. Логика развития предельных теорем для обобщенных IX - статистик требует решения следующих важных задач: а) установления закона больших чисел (з.б.ч.) и усиленного з.б.ч., б) исследования класса предельных законов и нахождения необходимых и достаточных условий сходимости распределений обобщенных IX - статистик к этим предельным законам и, в частности, к нормальному закону, в) получение скорости сходимости .в■ предельных теоремах. Решению указанных задач и посвяшена данная диссертационная работа.

Цель работы- Основной целью работы является исследование условий выполнимости ряда предельных теорем (з.. б.ч., усиленного з.б.ч..центральной предельной теоремы •(ц.п.т),а также сходимости к любым безгранично делимым законам (б.д.з)) и получениеасимптотические оценки в этих теоремах.

Методы исследования'. В работе применяются современные аналитические и прямые вероятностные методы теории вероятностей. В частности, используются метод характеристических функций (например,.получение равномерных оценок в ц.п.т. основано на идеях доказательств в ряде работ А.Тихомирова) и метод суммирования мартингал-разностей.

Научная новизна. Вое основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее существенные из них - следующие:

1. Установлены з.б.ч. и усиленный з.б.ч. для обобщенных П. - статистик от независимых величин.

2. Найдено необходимое и достаточное условие сходимости распределения обобщенной 1Д. - статистики к б.ц.з.

3. Впервые установлена оценка скорости сходимости к нормальному закону для невырожденной обобщенной

1Д. - статистики.

4. Исследована скорость сходимости в з.б.ч. и усиленном з.б.ч.

Отметим, что все вышеперечисленные результаты получены для независимых величин Х^ > ••• > Хц_ со значениями в произвольном 1 измеримом пространстве Кроме того, эти величины, вообще говоря, могут быть различно • распределенными и образовывать схему серий (по И ).

Практическая ценность. В диссертации проведено систематическое исследование обобщенных IX - статистик. Полученные в ней предельные теоремы показывают, что класс предельных законов для этих статистик значительно шире, чем в случае классических Ц. - статистик (2). Результаты работы позволяют решать ряд важных задач теории непараметрического оценивания.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Таш17, семинаре института математики им. В.И.Романовского АН РУз, на пятой между-, народной Вильшоской конференции по теории вероятностей''

и математической статистике (Вильнюс, ишь, 1989 г.), периодически докладывались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и на теоретических семинарах квфедрн высшей математики № 3 при ТашГГУ им. Беруни.

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10} •

Структура и объем работа. Писсертпция состоит из введения и трех глав, первые две из которых содержат по три, а третья - два параграфа. Список литературы содержит 53 наименования. Общий объем диссертации 142 страницы. без списка литературы 135 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Сразу заметим, что п данной работе для простоты изложения рассматриваются обобщенные IX - статистики степени Ч. = 2.

Предположим, что имеются функции |

1 С ^ <| ~ №. . , определенные на ие-

котором измеримом пространстве Л. и зависящие, вообще говоря, от I, | и П. . . (х^) ( К . ^ )) •

Пусть далее имеется последовательность серий независимых случайных величин . ^

возможно, различно распределенных-. Предположим, что

ФцСх.^Ф^'®) (3)

и образуем статистику

4 .

которую будем называть обобщенной

и

- статистикой.

Функции (Х,^) йудем называть ядрами этой

и. - статистики. В частном случае, когца ядра зависят только от П. или только от С > ^ > статистику (4) будем также называть обобщенной "Ц, - статистикой. Будем предполагать, что

МФ^Х.Др^о (5)

для всех

К ^ ^ И , И. > 1 .

Примеры статистик (4) с условиями (3), (5). I. Взвешенная Ц. - статистика:

где СсЦ — ^-Л - неслучайные коэффициенты, у которые 4 о

могут зависеть от Ц : (X — О. ¿^ ^ •

Примеры взвешенных Ц. - статистик рассмотрены в работе Е.Абдалимова. Частный случай взвешенной IX - ста-тистики-статистикэ, используемая в критерии Манна для ' проверки гипотезы о "тенденции к убыванию или возрастанию"

б одномерной выборке, рассмотренная В.Хефцингом:

t - _г— San. (X ; ~Х L ) •

v l<t< j ¿К

Она представляет взвешенную U. - статистику с CL ¿J, =

- ^(j-l), « =

2. Статистика вида

«Ujiti 1 J '

где Хц » - индикаторная функция множества I (JX ? ^ ) I, Лц - A^t - измеримые множе-

ства из & , o^lj ^МХц (Xj,,-Xj) также образует обобщенную 1_Х - статистику.

3. Многие интегральные статистики, связанные с непараметрическими оценками законов распределения или кривой регрессии, образуют класс обобщенных

U

- статистик с ядрами, завистники от И_ (Королюк B.C., Боровских Ю.В., Хагаимов 11!.Л., Халл П.).

Статистики типа (2) изучались я работах Абцалимона Б., Гпрко B.II., Королюк B.C. и Боровских Ю.В., Михайлова В.Г., Ронжина Л.Ф., Хлшимова И.А., Халла П., Силь-вермака Е. и Брауна Т., Губинз и Витали P.A., в которых были найдены различные условия сходимости распределения этих статистик к нормальному закону, закону Пуассоне, а также к любым другим безгранично делимым законам.

В настоящей работе проведено более систематизированное исследование свойств Ц,- статистик (4), установлены результаты,дополняющие и обобщающие полученные ранее вышеуказанные результаты других авторов (главы 1,2), а также рассмотрены некоторые вопросы, не исследовавшиеся ранее для статистик (4) (гл.З).

Первая глава посвящена изучению некоторых общих свойств Ц_ - статистик (4) (§ I), которые используются в дальнейшем на протяжении всей работы, а также рассмотрению з.б.ч. в слабой и сильной форме (§2, § 3).

Ранее в работе В.Хефдинга было установлено каноническое разложение для IX - статистик (2) от одинаково, распределенных случайных величин. В случае = 2, МФ(ХЬХ )=0 это разложение имеет вид

+ И. ^ , (6)

где

1-1

Усх^М^Х.Д^/х^ос],

Поскольку .М. [ф (Х^ , с вероятностью

единица, то

1 к 1=1

образует последовательность мартингал-разностей. Большинство дальнейших исследований основано именно на этом важном свойстве.

Б § I главы I1 цен аналог разложения (6) для рассматриваемой здесь обобщенной модели IX - статистик. Оно имеет вид (лемма 1.1.1):

где %

1,-1. г>п.

I*1

(V) /

В леше 1.1.1 пригоден ряд свойств статистики XX п.1. • в частности, показано, что она является обобщенной

статистикой с вырожденными ян.рами. Кроме того, я , § I цанн оценки сверху для моментов компонент XX щ ДХ^ на основе свойства мартингсльности. Ганее подобные оценки били установлены в рзботах Лбдалиыова Б.,

- II -

Боровских Ю.В. для классической модели 1_1 - статистик.

В § 2, § 3 главы Т приводятся условия выполнимости слабого и усиленного з.б.ч. В 1961 г. Хефцингом для классических статистик при условии Я?(Х^ 1 • • • ("ч0^

был установлен усиленный з.б.ч., -означающий (в случае

.НЧ? (X ^ , ••. > = > что с вероятностью единица

VI к—> О при И —> у

или, что равносильно,

Р|ьир -> о при и —>00 О)

для любого > 0 .

В § 2 главы I для рассматриваемой здесь обобщенной модели получены условия выполнимости соотношения

—>0 при Ц —(10)

т.е. слабого з.б.ч.

В частности, показано, что если выполнены условия (3), (5) и •

Л^с^х^хр! при.

то справедливо (10) (следствие 2.2.1)

В § 3 главы I рассмотрены условия выполнимости (9). В частности, получен следующий результат (следствие 1,3.1): если ЯР^. и распределения X- не зависать СЛ., и

sup М|ФЦ(ХЬ,Х|)|Р<

для некоторого р >1 , то справедливо соотношение (9).

Глава 2 диссертации посвящена исследованию предельг них законов для распределений статистик (4). Лля классической модели в работе В.Хефдииго было установлено, что

ки-нормальны. В этой же работе установлена асимптотическая нормальность классической статистики от различно распределенных величин _Х ^ > ''' > X ц_ •

В работах филлиповой A.A., Игле она для случая вырожденных ядер и одинаково распределенных X ^ , X j , • • • при условии существования второго момента ядра было показано, что распределение классической LL - статистики асимптотически совпадает с распределением некоторого функционала от гауссовской последовательности.

Для обобщенной IX - отзтисгши (4) г'спшготическая нормальность монет бить кок в непчрождонном, ток и вырожденном случаях. Кропи того, здесь в качестве предельного закона может выступать любой б.д.з. Кик мы уже отмечали выше, в работе В.Гирко исследована сходимость к б.д.з. Однако полученные таи услоган сформулированы в терминах условных вероятностных хорактесистик растущих (по ) сумм величин 4P; (Y- ... Х- У , носят очень

общий характер и трудно проверяемы.

- 13 -

В § I главн 2 при условиях' Мф^ (X ^ , Xj)< <С ОО , (X[»Xj)~0 мн получим условия сходимости

к б.д.з. в терминах поведения безусловных вероятностных характеристик отдельных величин (X¿) и,

Л-

,Xj) (эти величины определены в (7) и d <5

{8)чсоответственно), не предполагая при этом для них существования абсолютных моментов выше второго порядка. Введем обозначения

где величина распределена как Xu и не зависит

отХ^.-.Д^.

функции Ф- (X1) , Ф{л С^'Ч) определены d <7) и (8). ' '

Рассмотрим класс Ц - статистик вида (4), определяемый условиями

1 при

л) Ь1. =0(о(аИг)

В) для любого > 0 при II —> СО

-V Т. -МО^Чх.-.Х.-)"

пчД <У <1 Г

"- и.

при а—> 00 ■

Пусть

'К (2) , ЯеК.

, - какая-либо неубывающая ограниченная функция и Р^С") ~ функция распределения б.д.з., логарифм характеристической функции которого имеет вид +оа

—оэ

Основной результат этого параграфа - следующее утверждение. •

ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть выполнены условия А), В), С). Тогда для справедливости соотношения

< ^^^(и) при п.-*"»

- 15 -

о К^-сл) — 0 » Ьч — t необходимо и достаточно

выполнение условия

ll^tl L— 1

В § 2 главы 2 получены теоремы о сходимости к нормальному и пуассоновскому законам, »которые выводятся на основе результатов § I. Из этих теорем вытекают полученные ранние результаты работ Королюка B.C. и Боровских 10.В., Михайлова В.Г., Хзиимова Ш.А., Хплла П., Сильвер-мана и Брауна.

В § 3 главы 2 установлена ц.п.т. для статистики (4), когда ^ЯЁ^ (X i , Xj) может не существовать,

однако ^Mj^Pq (Xi ,Xj ^(jj^oo длл всех Ц и не все

ядра являются вырожденными, т.е.

^[ЯР^ХсДр/Х^ +0 дяя некоторое L,j.

Последняя глава носкнсна исследованию асимптотических оценок для статистик (4), а именно, получению скорости сходимости в ц.п.т. и в з.б.ч. Основной результат § I гл.З - это ' . и.

Т Е О Р К К А 3.1.1. Пусть ^ п = 2-х 4 0 у — Тогда справедлива оце!гка

+ ^-

£

^тп+уу ,14 ЛрО)

— +

.14 &

Ч 1— к.

Здесь - ф.р. стандартного нормального закона,

I

с,

И

^ и».+¿4

На — шш.

Наконец, в § 2 главы 3 устанавливаются оценки скорости сходимости в слабом и сильном з.б.ч. Например, в теорема 3.2.1 при некоторых моментных условиях доказывается, что для любого > О

|11К) (Ч) 1

где |

<>Ш> М|фи(Х,,Х;)|Р.

Пользуясь случаем, автор приносит глубокую признательность научным руководителям доктору физико-математических наук Малевич Т.Л. и доктору физико-математических наук Хашимову И.А. за поддержку и помощь при работе над диссертацией•

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Абдурахманов Г.Р. Обобщенные

и

- статистики от различно распределенных случайных величин //Рукопись деп. в ШШГГИ. Ташкент. 1984. № 4181-84, деп. 52 с.

2. Абдурахманов Г.Р. Равномерная оценка в центральной предельной теореме для обобщенных' Ц, - статистик // Рукопись деп. в ШНИТИ. Ташкент. 1985. № 3179. 8б, " деп. 24 с.

3. Малевич Т.Д. Абдурахманов Г.Р. Центральная предельная теорема для обобщенных (неоднородных) \Х - статистик от различно распределенных случайных величин //Изв.

АН УзССР, серия физ.-мат.наук. 1986. 1Ь 2. С.28-33.

4. Малевич Т.Д., Абдурахманов Г.Р. О сходимости распределений Ц. - статистик к закону Пуассбна //Докл.

АН УзССР. 1386. ¡1 9. С.3-5.

5. Малевич Т.Д., Абдурахманов Г.Р. Об условиях асимптотической нормальности Ц. - статистик в случае схемы серий //Изв. АН УзССР, серия физ.-мат. наук. 1987.

й 2. С.21-28.

6. Малевич Т.Л., Абдурахманов Г.Р. Условия сходимости

к безгранично делимым законам для Ц - статистик // Рукопись деп. в ШНИТИ. Ташкент. 1988. № 310-ВВ8, деп. 39 с.

7. Малевич Т.Л., Абдурахманов Г.Р. Условия сходимости распределений \Х - статистик к безгранично делимым законам //Изв.АН УзССР, серия физ.-мат. наук. 1989. Л 3. С.22-25.

8. Малевич Т.Л., Абду рахманов Г.Р, 0 сходимости распределений и - статистик к безгранично делимым законам // Пятая международная вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистику. Тезисы докл. Вильнюс. 1989. Том 1У. С.6-7.

9. Абцурахманов Г.Р. Закон больших чисел для обобщенных' XI- статистик //Асимптотические задачи теории вероятностей и математической статистики. "Фан" Ташкент.

1990. С.3т12.

10. Малевич Т.Д., Абдурахманов Г.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости к безгранично делимым законам для обобщенных IX - статистик //УзМЖ. Ташкент-1991. № 5. С.30-37.

yrn.lWTVJI Ц- СТтСТНШЛРППТ ЛС1ИПТ0Т13' ЖСШЛРП

Дксочртздая умутагсгап U- отатксти катар тацеамотларпн:! ж»г.:!гтот:п: i щи: t wrami f-arnmailra» tíy^tí, уч б^г.шлач тап-гопг'шд:!П.

7ч?я йарзгра$д«1 пборат бутга»г йтряггц б? жида улумчаигган If - статкстигатар уч.ун rarra оопдар îçonyita ла кучтантарнг.ган катта сотпар Konjim по бот шиснгаи.

Jitrinna (iy.tnii уч папагптрдзи с борат буди б, уцда ум^ллашган If- статко тага пар зздешотлпрппи чзкеаз бу.таиулча дояукларга пчтг'тппшнпг зарурш; ва отарлп гартларп тошмгоп. Энг гам "прг--tap ía:,-.'in;nranj;a умушапгаи 11 - отатизтигалар учуй г.'артзиП •пиот Tcopatœtœrr урпшгл t¡y;i:v.j;i ургагалгйя.

Учгмчи tíjteau зялуиталган Ц- статнотагалар учун лимит теорега :npj''i яцгптогяп тозтпги л-лса "агара га багпслангачдир.

ASYMPTOTIC PROPERTIES OP GENERALIZED IX - STATISTICS

In the candidate thesis certain asymptotic analysis for the distributions of the generalized XX - statistics is considered. The thesis contains: Introduction, three Chapters and Bibliography.-

In the first chapter the law of large numbers and the strong law of large numbers for the statistics are proved.

In the second one necassary and sufficient contions for the convergence of the distributions of the statistics to some infinitly divisible laws are obtained. The cases of non-degenerate and degenerate kernels of the statistics■have been considered.

;in the third one the rate of convergence in some of the proved limit theorems (on law of large numbers and strong law of large numbers, central limit theorem) for the statistics is established.

р. ; ; Подписано к печати . 02 . 94. г* Формат бумаг» 60Х84'/|б

Бумага писчая. Печать офсетная. Объем 2 п. л. Тираж ¿00 экз. Заказ Лз '¿9•

Отпечатано в типографии ТАСИ Ташкент, ул. Я- Коласа, 16.