Вероятностные неравенства и предельные теоремы для обобщенных L-статистик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Вероятностные неравенства

§1. Неравенства для статистик, построенных по выборке из показательного распределения.

§2. Неравенства для статистик, построенных по выборке из равномерного распределения.

§3. Неравенства для L-статистик с расщепляющимися ядрами

Глава 2. Нормальная аппроксимация

§1. Предельная теорема для статистик Ап.

§2. Асимптотическая нормальность.

§3. Вероятности больших уклонений

Пусть Xi,X2,--. - независимые одинаково распределенные случайные величины. Обозначим через Xn:i < . < Хп:п - порядковые статистики, построенные по выборке {Xf,i < п}. Рассмотрим линейную комбинацию порядковых статистик п

J^n ^ == ^ ^ C-nO^-n-.ii i=1 называемую (классической) L-статистикой. L-статистики находят широкое применение, в частности, в теории оценивания. Они используются, например, при оценке параметров сдвига и масштаба (см. [18, 24]). Для некоторых параметрических семейств коэффициенты сп; могут быть подобраны так, чтобы L-статистики были в известном смысле эквивалентны оценкам максимального правдоподобия (их дисперсии асимптотически эквивалентны), которые, как правило, являются оптимальными (см. [28]).

Наряду с классическими L-статистиками используются линейные комбинации функций от порядковых статистик, также называемые L-статистиками: п i= 1 где h - некоторая измеримая функция, иногда называемая ядром. Если h -монотонная функция, то соответствующая статистика iff , очевидно, предста-вима в виде статистики Ln \ построенной по выборке {h(Xi)] г <п).

В большинстве работ, посвященных асимптотическому анализу L-статистик, чаще всего рассматривался случай так называемых регулярных коэффициентов cni, когда pi/n

Спг = rClJ{i/(n + 1)) ИЛИ Cni = / J{t)dt,

J (г—l)/n где J - некоторая достаточно гладкая функция (см., например, [1, 2, 16, 25, 26, 32]), или асимптотически регулярных коэффициентов, когда сп{ вычисляются по вышеприведенным формулам с точностью до о(1/п) равномерно по всем г (см. [1, 2, 16, 32]).

Все работы, связанные с асимптотическим анализом линейных комбинаций порядковых статистик можно условно разбить на три группы. Первая группа работ посвящена анализу статистик вида Ln \ построенных по выборке из показательного распределения. Это связано, во-первых, с тем, что с помощью квантильных преобразований любое распределение можно свести к любому непрерывному, например к показательному или равномерному, т. е. мы можем определить выборку {Yi\г < п} с произвольной функцией распределения G по формуле Yi = G~1(F(Xi)), где F - непрерывная функция распределения G~l{z) = inf{i : G{t) > z} - квантильное преобразование функции распределения Y\. Так как суперпозиция функций С-1 и F монотонна, то G~l(F(Xn:i)) < . < G~1(F(Xn:n)) - порядковые статистики, построенные по выборке {Yi,i < п}. Следовательно,

Во-вторых, это обусловлено удобной для анализа структурой порядковых статистик для выборок из показательного распределения, которые представляют собой процесс частных сумм, построенный по независимым экспоненциально распределенным случайным величинам (подробнее об этом см. § 1.1.). Это представление, в частности, во многом упрощает доказательство предельных теорем для соответствующих линейных комбинаций порядковых статистик (см., например, [17, 20, 21]). Отметим, что указанная структура порядковых статистик позволяет также отказаться от монотонности ядра h и регулярности коэффициентов Cni

Вторая группа работ связана со свойствами порядковых статистик, построп п где h(x) = h(G~1F((x))), енных по выборке из равномерного на отрезке [0,1] распределения (см. [19, 22, 25, 30, 34]). Стоит отметить, что несмотря на то, что с помощью квантильных преобразований L-статистики, построенные по указанным распределениям, выражаются одна через другую, полученные результаты для этих статистик не следуют друг из друга в силу различия ограничений, накладываемых на ядра.

Третья группа посвящена изучению статистик вида без дополнительных ограничений на распределение выборки. В большинстве работ этой группы требуется монотонность ядра h, что, как отмечалось выше, эквивалентно изучению статистик Ln^- В связи с этим подходом отметим работы [1, 2, 16, 26, 27, 31, 32, 34].

Наиболее общей формой L-статистик, встречающейся в литературе, являются аддитивные функционалы от порядковых статистик следующего вида: п

Ф n = £M*n:i)> (GL) г=1 где hni : R —t R, i = 1,. , п, - некоторые измеримые функции. В частности, если hni(y) = cnih(y), то мы получаем класс статистик Ln \ который будем называть классом статистик с расщепляющимися ядрами. Если при этом функция h монотонна, то, как отмечалось выше, получаем статистики вида Ln\

Функционалы вида (GL) в рассматриваемой общности естественно называть обобщенными L-статистиками. Они впервые были введены в [5, 6], где были получены асимптотические разложения для распределений некоторых частных видов этих статистик. Анализ Фурье распределений Ф„ содержится в [19]. Отметим, что интегральные статистики (интегральные функционалы от эмпирических функций распределения, например, статистики Крамера - Андерсона -Дарлинга) представимы в виде (GL), но не в виде классических L-статистик (подробнее см. [5,19]). Отметим также, что термин "обобщенные" применительно к L-статистикам также был введен в [29], где рассматривалось обобщение теории классических L-статистик в несколько ином направлении, связанном с другим построением порядковых статистик.

В настоящей работе мы следуем всем трем упомянутым подходам. В § 1.1. изучаются статистики вида (GL), построенные по выборке из показательного распределения. Получены экспоненциальные оценки для хвостов распределения указанных статистик, а также моментные неравенства для них. В § 1.2. получены аналогичные оценки для статистик вида (GL), построенных по выборке из равномерного на отрезке [0,1] распределения.

Аналогичные оценки получены также и для линейных комбинаций функций от порядковых статистик (L-статистик с расщепляющимися ядрами), причем на распределение выборки не налагается дополнительных ограничений и не требуется монотонности ядра и регулярного представления коэффициентов cni.

В случае классических L-статистик показательные оценки для хвостов распределения получены в [1]. При этом вывод этих оценок основан на аппроксимации L-статистик с помощью U-статистик с невырожденными ядрами, что позволяет свести задачу к аналогичным проблемам для сумм независимых случайных величин. Нам не известны другие работы, где были бы получены вероятностные неравенства для L-статистик.

Предлагаемый в настоящей работе подход при выводе вышеупомянутых результатов иллюстрирует возможности бесконечномерного анализа: рассматриваемые задачи сводятся к аналогичным проблемам для сумм независимых случайных элементов со значениями в некотором функциональном банаховом пространстве. Так, предложенный метод позволяет получать значительно более точные по сравнению с [1] неравенства для хвостов распределения L-статистик в зоне уклонений х п1//6 и отказаться от регулярного представления весов. Нам известны только работы [26] и [27], где также использовались методы бесконечномерного анализа при изучении асимптотического поведения статистик г (2) вида Ьп , но лишь при выполнении вышеупомянутых условии регулярности коэффициентов С„;.

Во второй главе доказана предельная теорема для одного класса обобщенных L-статистик, построенных по набору центрированных порядковых статистик, когда в качестве предельного распределения выступает интегральный функционал от некоторого гауссовского случайного процесса. Кроме того, в этой же главе изучается асимптотическая нормальность обобщенных L-стати-стик, построенных по выборке из равномерного на отрезке [0,1] распределения, и L-статистик с расщепляющимися ядрами (без ограничения на характер распределения выборки). В частности, для асимптотической нормальности последних существенно ослаблены ограничения на веса, накладываемые в [26] и по существу означающие, что коэффициенты cni асимптотически регулярны. Предложенные в настоящей диссертации условия на cni могут и не удовлетворять этому требованию.

В третьем параграфе второй главы исследуется асимптотика вероятностей больших уклонений (в зоне нормальных уклонений) статистик вида (GL), построенных по выборке из показательного распределения. Аналогичные результаты получены в [20]. В настоящей работе по сравнению с [20] расширяется класс L-статистик, допускающих степенные зоны уклонений в соответствующем асимптотическом представлении хвостов распределения.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация формул и утверждений в работе двойная: первая цифра указывает на номер главы. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и латинскому.

1. Алешкявичене А. К. О больших уклонениях для линейных комбинаций порядковых статистик // Литое, мат. сб. 1989. Т. 29, № 2. С. 212-222.

2. Алешкявичене А.К. Большие и умеренные уклонения для L-статистик // Литое, мат. сб. 1991. Т. 31, № 2. С. 227-241.

3. Борисов И.С. О скорости сходимости в "условном" принципе инвариантности // Теория вероятн. и ее примен. 1978. Т. 23, № 1. С. 67-79.

4. Боровков А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980.

5. Зитикис Р. О гладкости функции распределения .Т-Х-статистики. I // Литое. мат. сб. 1990. Т. 30, № 2. С. 233-246.

6. Зитикис Р. О гладкости функции распределения JX-статистики. II // Литое, мат. сб. 1990. Т. 30, № 3. С. 499-512.

7. Нагаев С.В., Пинелис И.Ф. Некоторые неравенства для распределений сумм независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. 1977. Т. 22, № 2. С. 254-263.

8. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

9. Пинелис И.Ф. Оценки моментов бесконечномерных мартингалов // Ма-тем. заметки. 1980. Т. 27, № 6. С. 953-958.

10. Пинелис И.Ф. Неравенства для распределений сумм независимых случайных векторов и их применение к оцениванию плотности // Теория вероятн. и ее примен. 1990. Т. 35, № 3. С. 592-594.

11. Пинелис И.Ф., Саханенко А.И. Замечания о неравенствах для вероятностей больших уклонений // Теория вероятн. и ее примен. 1985. Т. 30, № 1. С. 127-131.

12. Рудзкис Р., Саулис Л., Статулявичус В. Общая лемма о вероятностях больших уклонений // Литое, мат. сб. 1978. Т. 18, № 2. С. 99-116.

13. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т.1.

14. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т.2.

15. Bentkus V., Zitikis R. Probabilities of large deviations for L-statistics // Литое. мат. сб. 1990. Т. 30, № 3. P. 479-488.

16. Bjerve S. Error bounds for linear combinations of order statistics // Ann. Statist. 1977. V. 5, N 2. P. 357-369.

17. Blom G. Statistical estimates and transformed beta-variables. N.-Y., John Wiley and Sons, 1958.

18. Borisov I.S. Bounds for characteristic functions of additive functionals of order statistics // Siberian Adv. Math. 1995. V. 5, N 4. P. 1-15.

19. Callaert H., Vandemaele M., Veraverbeke N . A Cramer type large deviation theorem for trimmed linear combinations of order statistics // Commun. Statist.-Theor. Meth. 1982. 11(23), P. 2689-2698.

20. Chernoff H., Gastwirth J.L., and Johns M.V., Jr. Asymptotic distribution of linear combinations of order statistics, with applications to estimation // Ann. Math. Statist. 1967. V. 38. P. 52-72.53

21. Hecker H. A characterization of the asymptotic normality of linear combinations of order statistics from the uniform distribution // Ann. Statist. 1976. V. 4, N 6. P. 1244-1246.

22. Helmers R. A Berry Esseen theorem for linear combinations of order statistics 11 Ann. Probab. 1981. V. 9, N 2. P. 342-347.

23. Lloyd E.H. Least-squares estimation of location and scale parameters using order statistics // Biometrica. 1952. V. 39. P. 88-95.

24. Mason D.M., Shorack G.R. Necessary and sufficient conditions for asymptotic normality of L-statistics // Ann. Probab. 1992. V. 20, N 4. P. 1779-1803.

25. Norvaisa R. The central limit theorem for L-statistics // Studia Scien. Math. Hung. 1997. V. 33. P. 209-238.

26. Norvaisa R., Zitikis R. Asymptotic behaviour of linear combinations of functions of order statistics // J. Statist. Planning and Inference. 1991. V. 28. P. 305-317.

27. Serfling R.J. Approximation theorems of mathematical statistics. N.-Y., John Wiley and Sons, 1980.

28. Serfling R.J. Generalized L-, M-, and Л-statistics // Ann. Probab. 1984. V. 12, N 1. P. 76-86.

29. Stigler S.M. Linear functions of order statistics // Ann. Math. Statist. 1969. V. 40, N 3. P. 770-788.

30. Stigler S.M. Linear functions of order statistics with smooth weight functions 11 Ann. Statist. 1974. V. 2, N 4. P. 676-693.

31. Vandemaele M., Veraverbeke N. Cramer type large deviations for linear combinations of order statistics // Ann. Probab. 1982. V. 10, N 2. P. 423-434.

32. Борисов И.С., Бакланов Е.А. Моментные неравенства для обобщенных L-статистик // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 483-489.

33. Борисов И. С., Бакланов Е.А. Вероятностные неравенства для обобщенных L-статистик // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 2. С. 258-274.

34. Бакланов Е.А. Моментные неравенства для обобщенных L-статистик // Материалы XXXV международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск.1997. С. 11-12.

35. Бакланов Е.А. Вероятностные неравенства для обобщенных L-статистик // Материалы XXXVI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск.1998. С. 10-11.