Законы Эрдеша-Реньи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГО од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ФРОЛОВ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

закон» эрдёий-РЕНьи

01.01.05.-теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -доктор физико-математических наук, профессор В.В.ПЕТРОВ.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ : доктор физико-математических наук В.А.ЕГОРОВ, доктор физико-математических наук Я.В.РОЗОВСКИЙ.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова.

Защита состоится "3.0"____0$.____ 1993 г. в___-А_____

часов на заседании специализированного совета К 063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ии. М.Горького СПбГЙ, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан ___ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук

Рейнов О.И.

- з-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМИ. Изучение асимптотического поведения приращений различных случайных процессов является одной из интересных и ваяных задач теории вероятностей. Больное значение имеет исследование предельных свойств приращений сумм независимых случайных величин. Усиленные законы больиих чисел для максимальных приращений частных сумм независимых случайных величин называют законами Эрдёиа-Реньи. Первый результат этого типа был получен Иеппом (Shepp L.A., Ann. Hath. Statist., 1964, vol. 35, P.424-428) за несколько лет до публикации работы Эрдёиа и Реньи СErdös P. ,RenyI А., 3. Analyse Math., 1970, vol.23, P.103-111). Однако, заметный интерес к таким результатам появился лияь после появления статьи Эрдёиа и Реньи. За 20 'лет в этой области произоиел значительный прогресс: получены законы Эрдеяа-Реньи и Шеппа для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, для различных случайных процессов (винеровского, пуассоновского, процессов восстановления и др.), исследована скорость сходимости в этих случаях, найдены необходимые условия применимости законов Эрдёиа-гРеньи и Иеппа, начато исследование асимптотического поведения приращений сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин, получены некоторые другие результаты. Существенный вклад в развитие этой области теории вероятностей внесли Бук, С.Чёргё, М.Чёргё, Дехойвелс, Деврой, Линч, Итайнебах и др. В данной работе внимание сосредоточено на изучении асимптотического поведения приращений сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: получение обобщений и вариантов законов Эрдё'иа-Реньи и Иеппа, а такве исследование скорости сходимости в

-ч-

дтих законах.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертационной работе использованы оценки вероятностей больиих уклонений сумм независимых случайных величин и методы получения таких оценок. Использованы такяе различные вероятностные неравенства и леммы Бореля-Кантелли, применяемые обычно при доказательстве сильных предельных теорем.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следуюиие новые результаты:

- получено обобщение закона йеппа с оценкой скорости сходимости для последовательности независимых неодинаково распределенных случайных величин;

- доказаны односторонние варианты законов Эрдёша-Реньи и Веппа для последовательности независимых неодинаково распределенных случайных величин:

-установлены законы Эрдёша-Реньи и Неппа при нарушении условия Крамера для последовательности независимых неодинаково распределенных случайных величин, являющиеся новыми и в случае одинаковых распределений;

- получено уточнение оценки скорости сходимости в законе Эрдёша-Реньи для последовательности независимых неодинаково распределенных случайных величин.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могцт быть использованы при исследовании асимптотического поведения сумм независимых случайных величин.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации были долояены на семинаре по предельным теоремам в Санкт-Петербургском университете и на международной конференции, посвященной памяти А.Н.Колмогорова ( март-апрель 1993, Санкт-Петербург ).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 3 работы, 2 работы сданы в печать.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 65 наименований. Общий объем работы 8? машинописных страниц.

Во введении содержатся обозначения, принятые в диссертации, обзор литературы, формулировки основных результатов и некоторых следствий из них.

В первой главе исследована скорость сходимости в законах Зрде'иа-Реньи и йеппа для независимых неодинаково распределенных случайных величин.

Пусть Х^Хь,... -последовательность невырояденных независимых случайных величин с нулевыми средними, удовлетворяющая условиям: у

1) | ЦЕе ^ С в круге | 2 | < Н (¡-=1,2,...) , где С,Н -некоторые положительные постоянные, Ъ -главное

значение логарифма;

2) существует положительная постоянная £Гтакая, что для всех к. и всех £ >, ,Т0 выполняются неравенства

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2. <г

где ^ сг>=ЕХ

О

ст^ЕХ* (1 = 4,2,...)

,Т0 -некоторое натуральное число.

Обозначим

Для всех И и всех | положим

и

где Sh - X X с , S0 - 0 , оС > О .

Для С>0 обозначим через -<ХИ-Сс) решение уравне--¿/с о * о

ния JfyCpQ - 6 , а через t^' - thj(c) точку интервала

(О, Н), в которой достигается инфимум в (1). В §1 главы 1 доказано, что существует постоянная Со>0 такая, что для любого С > с0 найдутся последовательности и { "t* j ,

удовлетворяющие соотноиениям

M^(itj) Bhj . (5)

Обозначим

U. max ( Sh^-Sh-o^-ic

N 0<П±Ы-К iocj "K '

W = max max ^Sn+Г S*^

w li.h<A/ 7C '

где Sr = ZXl, 30-=0,X=[c£o3A/],K=fc^o3hl, C> c„ ^СзсЗ-Цвлзя часть x .

Основным результатом главы 1 являются следующие теоремы. . Теорема i • 2. Пусть выполнена условия 1 ),2). Тогда

^-ioo^A/ ~ ~ Z. по веР0ЯТН0СТИ-.Теорема 1.3.1. Если выполнены условия 1),2), то

J

^LM S Up = 4

-frfn ¿л/ ^ - - i- h . н. .

A/^oo ™ 2

Если дополнительно предполояить, что ¡5- £[ (¿ = 1,2., ... ) для некоторого > 0 , то в теоремах 1.2.1 и 1.3.1 И„ момно заменить на W^ и "Т^ .

С помощью теорем 1.2.1, 1.3.1 получены различные варианты законов Эрдёша-Реньи и Иеппа для последовательности независимых неодинаково распределенных случайных величин с оценкой скорости сходимости.

В главе 1 получено следующее обобщение закона Меппа. Теорема 1.5.1. Пусть выполнены условия 1),2). Тогда

£im sup ~ Jh = 1 h.H. .

0<hK Duk

Глава 2 посвящена односторонним законам Эрдёша-Реньи и Шеппа.

Обозначим

ti - max (Sn+k-S0) W = inax max (£„«.: -

Тд, - ^ах " 5П) ,

где Зп-X 7~К=П<Ы к-к^ ДК^Ц ^-последовательности

натуральных чисел такие, что К^ при И-=> оо

ПРИ И оо ,

Теорема 2.1.1. Пусть X. X, ... -последовательность не-—■--Л, 5 -¿.Х'

зависимых случайных величин такая, что фс(1)= Ее «С & (¿•=1,2,... ) при -Ь €Ц0,НЗ и некоторых И>0,&>0. Тогда для любого С>0 выполняется неравенство

Еспгвцр ^ оаб) И.Н.,

К И ^ С 6

N^ 7< И

где 1С - I с ^о^ N1

и . н ,

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1. Пусть -последовательность натуральных чисел такая, что

~KN / Pog N ->оо при N -> оо . Тогда

El* sup bjL ± hsß. к.«. .

N-foa ~KU H

Теорема 2.2.1. Пусть Xj X, ... -последовательность не-

4- X'

зависимых случайных величин такая, что ф^ С"Ь У= Е е L< оо (1=1^2,...) при ±е(0,Ц) и некотором И^О. Пусть существует функция 4>(-t),заданная на интервале (0?Н) и такая, что

1) 4>(t) непрерывно дифференцируема, строго возрастает, выпукла и С&зФФ )>о при -fc t (О, Н)

2) 4>.(tH^(-t) при ifeCO,H) (( 1=1,2,... ) . Обозначим m(t) - (.Sog фШ) =■ ^^ . Функция mit)

строго возрастает, непрерывна и существуют пределы

fit» = А4 , m(t) ^ A, -i ьо 7 -ин г

Пусть С , oi. и t удовлетворяют соотноиениям

Ф (i*; _ t*<* = - \ , m (t*) - o< . Тогда для любого С>со^.0 выполняется неравенство sup oi И.и. ,

где К = Lc Ц N] , Сс = —-—i-— .

с ' 4 о( - </(-f)

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.1, т(о) = о и = 3 > . Пусть Функция tfcO

определена и непрерывна для всех достаточно больших о: ,

+ (эс)*®о , 'КэО/'Кх+i)-Я, К*)/*-»О,

при ОС ОО .

Тогда для любого выполняется неравенство

sup -ХГ^ Л' оо O r.

У

iim sup 4 A h.H.

Л' оо & ^ где ^-VfFKjTO1 ,

Теорема 2.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.2. Пусть последовательность натуральных чисел такая, что

КаКл/)//Vпри V оо .

Тогда выполняется неравенство

sup < 0 ^.и., гд,е К - "К

В теоремах 2.1.1, 2.1.2, 2.2.1-2.2.3 И^ мояно заменить на И Tw .

Глава 3 посвящена законам Эрде'иа-Реньи и Шеппа при нарушении условия Крамера.

Пусть дСх)-функция с убывающей непрерывной производной, удовлетворяющая следующим условиям: А) О с ol'Cx) < для достаточно больших х ,

-'ОС '

где 0 <с ol < 1 В; Qlx)/&>g а: ~>оо при х —> .

Пусть Л(п)-реиение уравнения - hgcx) .

Теорема 3.1.1. Пусть . -последовательность не-

зависимых случайных величин с ЕХу,= О (к )

удовлеворяющая следующим условиям:

1) существуют постоянные , Дг такие, что

О < ffj ¿±г < <*> О- 1,2,... ) ;

2) существует постоянная G- такая, что

^ G (к = 1, 2 ) .

Пусть функция Ч'Сх) определена и непрерывна для всех достаточно больших ас, t(x)/f(x+l)1 ? Ч^У&^г-?<*> при ai -^оо и к КД0 при

Тогда для любого "X >0 выполняются неравенства

М-Ъоо

N -Ъск, *•

где , $„=1Х1

где о^и^л/.-х ' п ГП >

г

Теорема 3.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.1.1. . Пусть {~К^.}-последовательность натуральных чисел такая, что Ш&уКн')/^ М со ПрИ .

Тогда й'м п.н. .

/V —'

Теорема 3.1.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.1.1. Пусть {Кд,}-последовательность натуральных чисел такая, что Кл, и

0 при Л/ оо . Тогда Х^А^00 •

/V -*>оо

Результаты, аналогичные теоремам 3.1.1, 3.1.3, 3.1.4, получены для , | с _ \

2^<Х,Т0 = те, = ^ та* Д'^^ГЛ^^^1

Результаты главы 3 являются новыми и в случае последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1) Фролов Й.Н. О законе больших чисел Эрде'иа-Реньи.// Рукопись деп. в ВИНИТИ. 16.12.1987.- N 8794-В87.

2) Фролов Й.Н. О законе больиих чисел Эрдёиа-Реньи при нару-