Арифметические разложения, ассоциированные с поворотом окружности, и их свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ПАУК-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В. Л. СТЕКЛОВА (Санкт- Петербургское отделение)

На правах рукописи

1.......-................-----

(1)

СИЛОРОВ Никита Арсенович

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ПОВОРОТОМ ОКРУЖНОСТИ,

И ИХ СВОЙСТВА

01.01,01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени каидидата фичико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в лаборатории алгоритмических методов Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

зав. лабораторией алгоритмических методов, профессор Вершик Анатолий Моисеевич

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

вед. научн. сотр. М. М. Скриганов

кандидат физ.-мат. наук А. Н. Лившиц

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится 1996 г. в I 5" часов на засе-

дании специализированного совета Л.002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, комн. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ.

Автореферат разослан ^ Ц декабря 1995 года.

Ученый секретарь специализированного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние годы оживился интерес к проблематике, находящейся на стыке теории динамических систем и метрической теории чисел. Эта проблематика имеет давнюю историю, восходящую к классическим работам А. Я. Хинчина, В. А. Рохлина, П. Леви. В более позднее время она развивалась в работах А. Реньи, У. Парри, П. Эрдеша. С другой стороны, теория аппроксимации динамических систем, развитая в работах Л. Орнштейна, А. Б. Катка, А. М. Степина, А. М. Вершика, позволила использовать аппроксимативные методы для исследования свойств преобразований, имеющих теоретико-числовую природу.

В последнее десятилетие появилось множество работ, в которых используется техника аппроксимации динамических систем различной природы с помощью теории кодирования (см., напр., [1, 2]). Наш подход несколько иной; он основан на марковской аппроксимации автоморфизмов при помощи адической реализации, введенной А. М. Вершиком в работе [3]. При этом явное задание топологического и метрического изоморфизма в виде арифметических разложений позволяет более глубоко изучить свойства известных динамических систем (см., напр., [4, 5]).

Цель работы. Целью диссертации является:

1. Определение классов разложений вещественных чисел и изучение их свойств, а именно: выполнимости законов больших чисел и центральной предельной теоремы для последовательностей допустимых коэффициентов; вопроса о сингулярности или абсолютной непрерывности распределения некоторого ряда из дискретных независимых случайных неличин, естественно ассоциированных со вторым классом разложений.

2. Изучение поведения функции "сумма цифр" для разложений Кантора и Островского, последнее из которых, будучи пополненным. дает первый тин разложений, изучаемых в главе 1.

Представление сумматорной функции для количества представлений Фибоначчи в максимально точном виде и установление связи '-»той проблемы с бесконечными свертками дискретных мер, имеющими ту же природу, что и бесконечные свертки в главе 1.

Методика исследований. При определении указанных классов

разложений и изучении их свойств используются известные результаты из теории непрерывных дробей. Во второй главе, посвященной функции "сумма цифр", основное техническое средство — преобразование Абеля, оказывающееся эффективным для получения "грубых" результатов для нестационарных систем счисления. Техника, основанная на оценках рекурсивных функций, легла в основу последней главы.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и техника могут быть обобщены и использованы в ряде областей символической динамики и теории чисел.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре ПОМИ по теории представлений и динамическим системам. Результаты главы 3 были рассказаны автором на сессии ПОМИ в августе 1995 года.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8, 9, 10, 11, 12].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения и трех глав, разбитых на 12 параграфов. Объем работы — 65 страниц в Т^Х'е, т.е. около 90 машинописных. Список литературы содержит 44 наименования.

Краткое содержание работы

Общее описание. В главе 1 диссертации с каждым иррациональным а из интервала (0,1) связываются два класса разложений вещественных чисел из того же интервала. Каждое разложение задает метрический и топологический изоморфизм адиче-ского преобразования некоторого марковского компакта, строящегося по последовательности элементов разложения числа а в непрерывную дробь, и поворота окружности на угол а. Для каждого из этих классов разложений вычислена марковская мера на соответствующем компакте, являющаяся прообразом лебеговой меры. Также в работе приведены разложения вещественных и целых чисел, ассоциированные с указанными классами разложений. Кроме того, в главе 1 исследуется вопрос о достаточных

условиях выполнимости закона больших чисел, усиленного закона больших чисел и центральной предельной теоремы для последовательностей коэффициентов разложений из второго,класса (ротационных), образующих дискретную неоднородную цепь Маркова. При »том достаточные условия формулируются в терминах элементов непрерывной дроби числа а. Наконец, в §5 главы 1 изучается вопрос о сингулярности некоторой бесконечной свертки дискре тных мер, связанной со вторым классом разложений. Полученный результат близок к критерию.

Глава 2 посвящена исследованию поведения функции "сумма цифр" для некоторых нестационарных систем счисления для натуральных чисел, а именно для баз Кантора и Островского. При этом пример базы Кантора является для нас модельным, основной же для наших целей является база Островского, связанная с первым классом разложений, рассмотренных в главе 1.

В главе 3 исследуется вопрос о поведении сумматорной функции Ф для последовательности /(п), где /(п) определяется как количество представлений натурального числа п в виде суммы различных чисел Фибоначчи. Приводится явное выражение для Ф, содержащее некоторую непрерывную функцию периода 1, дифференцируемую почти всюду. Также установлена спин» указанной функции с бесконечной сверткой мер Верцулли для "золотого сечения", аналогичной конструкции ¡¡Г) главы 1.

Основные, результаты. Перейдем к подробному описанию получеши,IX в диссертации результатов. Их нумерация совпадает с имеющейся в диссертации.

Пусть а — иррациональное число из интервала (0,1), о = [(И , гг>,...] его разложение в непрерывную дробь. Пусть далее (Рп/ЧпУх последовательность подходящих дробей для числа о. и ап := \qnO-Pn\- Положим X« := {(11,12, ■ • •) | 0 ^ х; <С «1 - I. 0 Хк »к, Хк = ак хк-1 = 0, к > 2}, 2)„ := {(хих2, ■ ■ ■ | 0 ^ хк < -гк = "г- хь+1 = 0, к ^ 1}. Снабженные слабой тополо-1 и ей. множества X,, и 210 становятся марковскими компактами. Напомним, что адичсским сдвигом называется преобразование марковского компакта, сопостапляющее каждой последовательности последовательность, следующую непосредственно ¡а ней в смысле определенного на этом марковском компакте (частичного) лексикографического порядка (см. [3]). Пусть теперь 5а и Та — адические сдвиги на компактах Ха и соответственно, причем сдвиг порожден обычным лексикографическим по-

рядком на компакте £„, а сдвиг Та — чередующимся (а именно, (xi,x2,. • •) -< (х'их'2,...), если хк = х'к, к > п, я хп < х'п при нечетном п, и хп > х'п при четном п). В главе 1 доказаны следующие две теоремы об изоморфизме адических сдвигов Та и Sa и поворота окружности Ra.

Теорема 2.1. Отображение да : Ха —* [0,1], задаваемое формулой

оо

да(хих2,...) := a + J^a:fc(-l)*+1afc, (1)

к = 1

корректно определено и непрерывно. При этом да взаимно-однозначно всюду, кроме счетного множества точек, и gaSa = Raga, где Rax := {ж + а) — поворот окружности S1 = K/Z на угол а.

Теорема 3.6. Отображение ha : 2)« —► [0,1], задаваемое формулой

оо

Ха = ha(xx,x2, ...):= ~^2xkak, (2)

k = 1

определено корректно, непрерывно и взаимно-однозначно всюду, кроме счетного множества точек. При этом имеет лгесто соотношение haTa = Raha.

Для преобразований Sa и Та вычислены инвариантные марковские меры ц'а и fia соответственно. Очевидно, ц'а = g~lmes, ¡ха = /г~ 1mes, где mes — мера Лебега на интервале [0,1]. Таким образом, имеет место и метрический изоморфизм динамических систем (Ха, ц'а, Sa) и (2)а,ца, Та) и поворота Ra, и эти изоморфизмы задаются при помощи формул (1) и (2) соответственно.

В §§2, 3 главы 1 также дается интерпретация обеих моделей адической реализации иррационального поворота окружности как естественных обобщений р-адических чисел.

В §4 главы 1 исследуется вопрос о достаточных условиях выполнимости закона больших чисел (ЗБЧ), усиленного закона больших чисел (УЗВЧ) и центральной предельной теоремы (ЦГ1Т) для последовательности Х\,Х2,... случайных величин, связанных в неоднородную марковскую цепь Ya (2}a,/itt). Получены следующие результаты.

Теорема 4.5. Условие

п

= °(»2)> п-*оО

k = 1

достаточно для выполнимости ЗБЧ для марковской цепи Ya. Теорема 4.6. Условие

eI^+c^

п

достаточно для выполнимости УЗБЧ для марковской цепи }'„.

Теорема 4.7. Условие, равномерной ограниченности элементов

а,, является достаточным для справедл ивости ППТдля цепи

В §5 главы 1 решается следующая задача. Пусть а = [ai,a2,...]

то же, что и выше, и f i, ?2> • ■ • — последовательность независимых целочисленных случайных величии, распределенных равномерно, причем 0 £п ^ ап. Проблема заключается в том, будет ли распределение случайной величины

оо

ta = ta(el,£2, .) :=

n= 1

на интервале [0, 1] сингулярным или абсолютно непрерывным относительно меры Лебега. Отмстим, что отличие случайной величины I,, oi г,-, (см. формулу (2)) состоит в том, что величины £■,, независимы, в то время как х„ образуют марковскую цепь. Поэтому вопрос о типе распределения случайной величины является нетривиальным. В диссертации доказана

Теорема 5.13. Расирсделе пи< случайной величины tn является

1. абсолютно непрерывным, если < и

2. сингулярным, сели 7- = + и, кроме то/о, и„ ^ о при ваг достаточно больших п.

Глава 2 носншцсиа исследованию поведения функции "сумма цифр" для системы счисления, связанной с первым классом разложений, рассмотренных в главе 1, а именно с разложениями Островского натуральных чисел. Хорошо известно, что каждому натуральному п можно единственным образом сопоставить 110-

к

гледоватслыюгть (с 1. г .....0. 0, ... ) £ Х„. так что и = Yl-j'li

1

(см.. напр., [G]). Отметим, чю разложение Осгровскш о. будучи

пополненным в естественных топологиях, приводи т к ра -¡ложе-

k

нию (1). Положим s(n) := J2 £j > S'(N) := ,s(n). В диссертации

1 n<N

доказаны следующие утверждения.

Теорема 3.5. Если иррациональное а = [01,02,...] удовлетворяет условию

тах{а1,а2,.. ■ ,ап) - о , п ^ со,

то

= ( У) Якак ) ■ ТУ + 0{ тах ак ■ Ы),

причем

п /п-1 \

£ Якак х ак • Я, к=1 \£=1 /

где

Кк = -у (Чк+1 - Чк + Чк-\), ак = \qka~ Рк\, к Утверяедение 3.6. Всегда

/п-1 \

£ак) -N = 0(S(N)).

Утверярение 3.7.

(1) Если последовательность (01,02,...) такова, что ап =

п-1

0( Е ак), то 1

/п-1 \

S(N) х (¿2 "к )■ N.

(2) Если, напротив, последовательность (о 1,...) удовлетво-

ряет условию ап YI ак, то существует такое N, что 1

Отметим, что в главе 2 также доказывается теорема 3.1, являющаяся аналогом теоремы 3.5 для разложений Кантора (см., напр., [6]). При этом утверждения 3.6 и 3.7 остаются справедливыми и

для этого класса разложений.-----------------------------------------------

Глава 3 целиком посвящена доказательству результата, формулируемого ниже. Пусть F\ — 1, 1Р2 =2,... — последовательность чисел Фибоначчи, и А := . Определим меру Эрдеша, являющуюся бесконечной сверткой некоторых дискретных мер. Пусть случайные величины Sj принимают для любого j ^ 1 значения 0, 1 с вероятностью 1/2, и

оо

w = W(e!, £2.... ) := ]Г Ej1.

j = i

Очевидно, 0 ^ W ^ 1. В работе [7] доказано, что случайная величина W имеет непрерывное, сингулярное относительно лебеговой меры, распределение. Положим Wn := Wn(ei,...,en) =

n

X) £j A-J_1, Dn := supp Wn. Очевидно, множество Dn — дискрет-i=i

ное, причем его мощность равна Fn+2 — 1- При этом, в силу того, что степени А-1 удовлетворяют тем же соотношениям, что и числа Фибоначчи, распределение цп случайной величины Wn задается следующим образом:

/М"-1) = 2„ , W&D п,

п п

где к = k(w), такое что если w = то = а /п(к)

1 1 есть количество представлений числа к в виде суммы не более чем п первых чисел Фибоначчи.

Будем далее через цп обозначать и дискретную меру на интервале [0,1], соответствующую распределению /î„. Пусть, наконец, fi есть слабый предел последовательности мер цп. Очевидно, supp// = [0,1], и из результата Эрдеша, сформулированного выше, легко следует, что мера /( сингулярна. Назовем ее мерой Эрдеша.

Пусть теперь f(n) — количество представлений натурального числа п в виде суммы различных чисел Фибоначчи, и пусть Ф(Л^) есть сумматорная функция для последовательности f(n). Положим Л := logA 2 = 1.4404---- Пусть Е(х) := /х[0, ж) — функция

распределения меры Эрдеша.

Теорема 1.1. Существует непрерывная функция H периода 1, такая что

$(JV) = NAH (\ogxN) + 0(-/N), iV —► оо.

При этом:

(1) H{t) = \-2-*E{y/bЛ4"1), i^-ilogÄ_5.

(2) Функция H принадлежит классу Гёлъдера с показателем Л — I = 0.9404 ..., причем этот показатель неулучшаем.

(3) Остаток 0(V~N) не может быть заменен на o{\/W).

Замечание. Из пункта (1) теоремы сразу следует, что функция H дифференцируема на некотором множестве Е С M полной лебеговой меры, без внутренних точек. При этом для п.в. t G Е

H'(t) = — 1п2 • H(t).

Кроме того, в диссертации получен оптимальный показатель гёльдеровости для функции E(t). А именно, он также равен Л—

Список литературы:

1. P. Arnoux, С. Mauduit, I. Shiokawa and J. Tamura, Complexity of sequences defined by billiard in the cube, Bull. Soc. Math. Fr. 122 (1994), 1-12.

2. P. Arnoux, Le codage du flot géodésique sur la surface modulaire, Enseign. Math. 40 (1994), 29-48.

3. A. M. Вершик, Теорема о марковской аппроксимации в эргодической теории, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 115 (1982), 72-82.

4. А. М. Вершик, Локально-тпрансверсальная символическая динамика, Алгебра и анализ 6 , вып. 3 (1994).

5. А. М. Вершик, Арифметический изоморфизм гиперболических автоморфизмов тора и софических сдвигов, Функцион. анализ и его прил. 26 (1992), 22-27.

6. A. S. Fraenkel, Systems of numeration, Amer. Math. Monthly 92 (1985), no. 2.

7. P. Erdös, On a family of symmetric convolutions, Amer. J. Math. 61 (1939), 974-976.

Работы автора по теме диссертации:

8. A. М. Вершик, H. А. Сидоров, Арифметические разложения, ассоциир о-ванные с поворотом окруснсности и непрерывными дробями. Алгебра и анализ 5 (1993), 97-115.

9. H.A. Сидоров, Законы больших чисел и центральная предельная теор ема для последовательностей коэффициентов ротационных разложений, За.п. научн. сом. ПОМИ 223 (1995), 313-322.

10. Н. А. Сидоров, Сингулярность и абсолютная непрерывность мер, ассоциированных с поворотом окружности, Зап. научн. сем. ПОМИ 223 (1995), 323-336.

11. N. A. Sidorov, Sum-of-digits Junctions for certain non-stationary bases, PDMI preprint 11/1995.

Г2. N. Л. Sidorov, I hi summation function for the number <>j Fibonacci repri senta-hons, PDMI preprint 15/1995.