Обобщенные разбиения Фибоначчи и их приложения к теории чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Шутов Антон Владимирович

Обобщенные разбиения Фибоначчи и их приложения к теории чисел

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория

чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владимир - 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры Владимирского государственного педагогического университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор ЭКуравлев В.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Добровольский Н.М.

доктор физико-математических наук, профессор Танкеев С.Г.

Ведущая организация - Московский государственный

университет имени М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится в_часов 16.12.2005 г.

на заседании диссертационного совета К.212.024.01 во Владимирском государственном педагогическом университете по адресу: 600024, Владимир, проспект Строителей, 11, ауд. 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан __ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К.212.024.01 во Владимирском государственном педагогическом университете, доктор физико-математических наук, профессор

Степанов С.Е.

ggf ШШ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория разбиений Фибоначчи и их обобщений представляет собой новое и интенсивно развивающееся направление в теориии чисел, имеющее многочисленные приложения. Впервые разбиения Фибоначчи ввел N. de Brujin1 в связи с задачами теории квазикристаллов. Первоначально разбиения Фибоначчи определялись с помощью проектирования точек целочисленной решетки Z2 на прямую у — т~1х, где г = - золотое сечение. В дальнейшем было найдено еще несколько эквивалентных определений на основе преобразований инфляции-дефляции и фибоначчиевых систем счисления. В.Г.Журавлевым2 было предложено определение разбиений Фибоначчи на основе развитого им метода В-оператора. Однако, остался открытым вопрос о существовании аналогов этих разбиений в случае произвольного иррационального а.

Применение разбиений Фибоначчи к теории чисел берет свое начало в работе G.Rauzy3. Им был разработан метод кодирующих последовательностей для изучения иррационального поворота окружности. В частности, было доказано, что кодирующая последовательность разбиения Фибоначчи нулевого уровня есть последовательность Штурма. Впоследствие в работах Р. Arnoux, V. Berthe, Н. Ei, S. Ito4. было обнаружено, что разбиения Фибоначчи высших порядков являются геометрической реализацией последовательностей Штурма. Эти результаты были доказаны для классических разбиений Фибоначчи, связанных с а = При этом было неизвестным, для каких иррациональных а существуют аналоги этих результатов.

Еще одно применение разбиений Фибоначчи к теории чисел связано с задачей распределения последовательности {rm}£L0 по модулю 1. Г.Вейль5 доказал, что для иррационального а последовательность {na}£L0 равномерно распределена по модулю 1.

Многочисленные общие результаты в теории распределения дробных долей были получены в монографии Н.М.Коробова6, а также в работах Г.И.Архипова,

'De Brujin N.G. Sequences of zeros and опев generated by special production rules // Kon.Nederl.Acad.Wetensch.Proc. - 1982. - Ser.A. - V. 84. - P. 38-52.

'Zhuravlev V.G. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotations of a circle // MaxPlank-Institut fur Mathematik. Preprint Series. — 2004. — V. 59. — P. 1-43.

3Rauzy G. Echenges d'intervales et transformations induites // Acta Arithmetica. — 1978. — V. 34. — P. 315-328.

4Arnoux P., Berthe V., Ei H., Ito S. Tilings, quasicrystals, discrete planes, generalized substitutions and multidimendonal continued fractions // Discrete models: com bin atirics. computation and geometry — Paris. —

2001. - 225 P.

бВейль Г. О Избранные труды. — М.: Наука. — 1984. — 438 С.

"Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. — М.:Наука. — 1989. — 240 С.

f

мС. НАЦИОНАЛЬНАЯ / БИБЛИОТЕКА |

J

А.А.Карацубы7 и В.Н.Чубарикова8 при помощи метода тригонометрических сумм.

При изучении последовательностей {па}^0 наибольшее внимание традиционно уделялось множествам ограниченного остатка, введенным Э.Гекке0. Их изучением занимались А.Островский, П.Эрдеш, Х.Кестен, Х.Фюрстенберг ид-ругие математики. Было доказано10, что интервал / является множеством ограниченного остатка тогда и только тогда, когда ¡/| g пЪ + Z. Здесь |7| — длина интервала I. При этом оценка Гекке для остаточного члена имеет вид

ir(n)i < т\, о)

где h(I) — целое число, определяемое условием |/| - h(I)a G Z. Эта оценка не учитывает структуры интервала и арифметики а. Проблема получения лучших оценок для остаточного члена долгое время оставалась открытой.

Новый подход к проблеме был предложен G.Rauzy11 и S.Ferenczi12 на основе отображений первого возвращения. Оказалось, что любой интервал ограниченного остатка есть конечное объединение интервалов для которых отображение первого возвращения вновь является поворотом окружности. В дальнейшем выяснилось, что интервалы с таким свойством представляют собой интервалы разбиений Фибоначчи. Однако им не удалось в явном виде вычислить отображения первого возвращения и длины интервалов разбиений Фибоначчи. Как следствие, полученные результаты имели качественный характер и не привели к улучшению остаточного члена.

Разбиения Фибоначчи также применяются при изучении /Т-пребразований ранга два — отображений', являющихся непосредственным обобщением поворота-окружности, введеных в работе М.Бошерницана и И.Корнфельда13. Ими было доказано существование предельного распределения орбиты IT-преобразования. Однако, задача явного вычисления этого предельного распределения оставалась нерешенной.

тКарацуба A.A. Дробные доли специального вида функций // Известия РАН, сер.матем. — 1995. — Т. 59.

- С. 61-88.

8Карацуба A.A., Архипов Г.И., Чубариков В Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных // Математические заметки. — 1979. — Т. 25. — С. 3-14.

äHecke Е. Eber Analytische Funktionell und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math Sem.Hamburg Univ

- 1921. - V. 5. - P. 54-76.

"Kesten П. On a conjecture of Erdös and Szüsz related to uniform distribution mod I // Acta Arithmetica. — 1966. - V. 12. - P. 193-212.

"Rauzy G. Ensembles a restes bornes // Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984, — Bordo. -1984. — Expose 24.

"Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. — 1992. — V. 61. — P. 319-326. "Bosbernitzan M., Kornfeld I. Interval translation mappings // Ergod.Th. and Dynam.Sys. — 1995 — V. 15.

- P. 821-831.

Цель работы. Целью работы является изучение обобщенных разбиений Фибоначчи для произвольного иррационального а, а также получение приложений этих результатов к изучению иррационального поворота окружности и /Т-преобразований ранга два.

Общая методика исследования. В диссертации используются следующие методы: метод ¿?-оператора для определения обобщенных разбиений Фибоначчи; для вычисления основных инвариантов обобщенных разбиений Фибоначчи использовались, методы комбинаторики слов, а также аппарат теории цепных дробей; при изучении иррационального поворота окружности, интервалов ограниченного остатка и /Т-преобразований ранга два были использованы метод орбит Фибоначчи и метод отображений первого возвращения, а также некоторые результаты эргодической теории и аппарат теории дробей Фарея.

Научная новизна. В диссертации впервые изучены обобщенные разбиения Фибоначчи ТИт(а) для произвольного иррационального а и построены алгоритмы вычисления их основных инвариантов. В случае квадратичных ирраци-ональностей для инвариантов найжены линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Доказаны теоремы о глобальных и квазилокальных координатах обобщенных разбиений Фибоначчи.

Вычислено отображение первого возвращения для иррационального поворота окружности на произвольном полуинтервале. Указаны явная и асимптотическая формула для функции п-го попадания точки в интервал обобщенного разбиения Фибоначчи.

Для случая интервалов обобщенных разбиений Фибоначчи получена новая оценка остаточного члена проблемы распределения последовательности {гга}^0 по модулю 1, улучшающая классическую оценку Гекке. Для чисел с ограниченными неполными частными разложения в цепную дробь показано, что остаточный член остается ограниченным при уменьшении длины интервала.

Изучено распределение орбит общих /Т-преобразований ранга два. Найдены условия существования плато — интервалов постоянства частоты иь попадания орбиты /Т-преобразования в полуинтервал [0; е).

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссерта-( ции результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы в теории чисел, теории дискретных динамических систем подстановочного типа и теории квазикристаллов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 5-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов (Ярославль, 2004 г.), V и VI международных конференциях "Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения" (Тула,

2003 г. и Саратов, 2004 г.), международных конференциях "Analytical Methods In Number Theory, Probabylity Theory And Mathematical Statistics"(Санкт-Петербург, 2005 г.) и "5th International Algebraic Conference in Ukraine"(Одесса, 2005 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (2002-2004 гг.), на научно-исследовательском семинаре "Теория чи-сел"(МГУ, 2005 г., руководитель — проф. Ю.В. Нестеренко), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по теории чисел (ВГПУ, 2002-2005 гг., руководитель — проф. В.Г.Журавлев).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[И].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 14 параграфов и списка литературы из 72 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 142 страницы машинописного текста.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность и указывается степень разработанности проблемы, формулируется цель исследования и указываются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена изучению обобщенных разбиений Фибоначчи Tilm(a) и их цветных аналогов CTilm(a).

В первом параграфе определяются обобщеннные разбиения Фибоначчи Tilm(a) для произвольного иррационального а. Для их определения используется В-оператор, отображающий множество разбиений единичного полуинтервала на конечное число частей в себя. Его действие на разбиение заключается в откладывании от левых концов полуинтервалов разбиения интервала наименьшей длины. Разбиение Tilm(a) определяется по формуле

Tilm(a) = Bm(Til0(a)),

где

Til0(a) = [0; (а)) ф [(а); 1).

Здесь © - некоммутативная операция прикладывания полуинтервалов, а (■) -дробная часть числа.

Разбиение Tilm{a) состоит из интервалов двух длин lm(a) и 5j7i(oi). Их количества равны Lm (а) и Sm{a) соответственно. Числа lm(a), sm(a), Lm(a) и Sm(a) являются основными инвариантами разбиений Tilm(a). Все свойства обобщенных разбиений Фибоначчи могут быть выражены в их терминах.

В следствиях 1.2, 1.3 получены рекуррентные формулы, выражающие инварианты разбиения Тг1т^.\{р1) через инварианты разбиения ТИт (а). Эти формулы дают алгоритм вычисления инвариантов разбиения ТИт{а), требующий 0(т) операций.

Также в первом параграфе изучена симметрия между разбиениями ТИт(а) и ТИт( 1 — а). В теореме 1.1 доказано, что разбиение ТИт( 1 — а) получается из ТИт(а) с помощью перекладывания двух крайних правых интервалов.

Второй параграф первой главы посвящен явному вычислению основных инвариантов разбиения ТИт(а). В нем получены формулы, выражающие инварианты разбиения в терминах разложения а в цепную дробь.

Наибольший интерес представляет случай, когда а - квадратичная иррациональность. В этом случае инварианты разбиения удовлетворяют линейным рекуррентным соотношениям с постоянными коэффициентами. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.3. Пусть а = [0; <71,..., (<?ан ьЯк-г)} - квадратичная иррациональность, М0(а) + ... + %, Т(а) = ф-41 + ... + дь+г- Тогда существует не зависящая от т постоянная с такая, что при т > Мо(а)

Теорема 1.4. В условиях теоремы 1.3 существует не зависящая от т постоянная а такая, что при т > Мо(а)

В квадратных скобках записано разложение а в цепную дробь, в круглых скобках записан период разложения. Постоянные с и с\ эффективно вычислимы в терминах этого разложения. Ранее аналоги соотношений (2),(3) были известны только в случае квадратичных чисел Пизо вида а = тд = [0; (<?)].

В третьем параграфе дается описание разбиений ТИт(а), где а - квадратичная иррациональность, в терминах подстановок, переводящих разбиение ТИт{а) в разбиение Тйт+т(а)(а)■

В четвертом параграфе вводятся цветные обобщенные разбиеттия Фибоначчи СТИт(а). Они получаются из разбиений ТИт(а) с помощью отображения Со1т<а, ставящего в соответствие каждому из интервалов ТИт(а) одну из двух цветовых меток с соблюдением двух условий:

1) Интервалы из ТИт(а), имеющие одну и ту же длину, получают одинаковые метки, интервалы разной длины - разные метки.

Ьт+2т(а) = сЬт+т(а) + (-1 )т+гЬт(а), вт+Ма) = сЗт+т{а) + (-1)г+15т(а).

(2)

1т+2т(а) = с\1т+т{а) + (-1)г+1/т(а),

5т+2гИ = сьчт+т(а) + (-1)г+1йт(а).

(3)

2) Крайнему правому интервалу из Tilm(a) ставится в соответствие метка

Е.

Основными инвариантами разбиения CTilm(a) являются длины интервалов ет(а),дт(а) и количества интервалов Ет(а), Gm(a). Отображение ColmA вычислено в явном виде. Тем самым, вопрос о вычислении инвариантов разбиения CTilm(a) сводится к вычислению инвариантов разбиения Tilm(a), проведенному ранее. Использование разбиений CTilm(a) позволяет формулировать основные результаты в инвариантной форме. Поэтому разбиения CTilm(a) оказываются более удобными для приложений.

В пятом параграфе вычисляются координаты интервалов разбиения СТйт{а) в терминах его основных инвариантов. В теореме 1.5 доказано, что разбиение CTilm{a) состоит из интервалов Gf, ЕЦ", имеющих координаты

GT = (<(Gm(a) - i)ot)\{-ia)), 0 < i < Gn(a), , .

E? = (<(Cm(a) - En{a) - i)a); <(Gm(a) - *)<*», 0 < i < Em{a).

Данный результат, получивший название теорема о глобальных координатах, позволяет описать действие иррационального поворота окружности

Raix —>х — a (mod 1) (5)

на разбиении CTilm(a). Точнее, справедлива следующая теорема. Теорема 1.9. Справедливо равенство

CTilm(a)-a = CTilm(a){+) (modi). (6)

Операция означает перекладывание двух крайних правых интервалов разбиения. Формула (6) является ключевой при использовании разбиений CTilm(a) для изучения иррационального поворота (5).

В шестом параграфе доказана следущая теорема о квазилокальных координатах.

Теорема 1.13. Пусть е™,..., ¿¡¡т(а)-\ ' последователъность номеров Е-интервалов разбиения СТйт(а), выписанных справа палево, д™,..., <7™т(«) ' аналогичная последовательность номеров G-интервалов. Тогда

= fcef (mod Ет(а)), gf = kgf (mod Gm(a)) '

Номера E uG -интервалов разбиения CTilm (a) определяются с помощью формулы (4).

Эта теорема позволяет выписывать последовательность соседних Е— и G—интервалов разбиения CTilm(a). Она также обеспечивает возможность применения разбиений CTilm(a) к изучению /Т-преобразований ранга два.

Вторая глава диссертации посвящена приложениям обобщенных разбиений Фибоначчи к изучению иррационального поворота окружности.

В первом параграфе второй главы изучаются отображения первого возвращения (индуцированные отображения) для иррационального поворота Ra (5). Пусть Х- некоторое множество, Y С X, А : X —> X - отображение множества X в себя. Отображение первого возвращения dyA определяется соотношением

dyA(x) = Апу^(х),

где

nY{x) = тт{п € N : Ап(х) <Е У}.

В теоремах 2.1, 2.2 вычислены индуцированные отображения d/Ra, где I - некоторый интервал. Обозначим гт(а) = ет(а) + 5т(а)• Тогда отображение diRa является поворотом окружности, если |/| = гт(а), и перекладыванием трех отрезков в противном случае.

Результаты об отображениях первого возвращения можно переформулировать на языке орбит иррационального поворота окружности. Пусть Orb(a,a,I) = {а + ia (mod /)}~_00. Тогда, согласно предложению 2.3, для произвольного интервала I длины im(a) существуют числа а/, сРа и гомотетия hj такие, что

IП Orb(a, а, 7°) = hiOrb(aj, (Г1 а, 1°), (7)

где 1° = [0; 1).

Наибольший интерес формула (7) представляет, когда а = [0; (gi,..., qr)] — квадратичная иррациональность с чисто периодическим разложением в цепную дробь и I = 1т = [1—гт{а)\ 1). В этом случае справедливо равенство (следствие 2.8)

1Т П ОгЪ( 0, а, 1°) = hfr0rb(0, а, 1°), (8)

где Т - некоторая функция, зависящая от разложения а в цепную дробь. Равенство (8) означает, что орбита поворота Ra обладает свойством самоподобия, в случае, когда а — квадратичная иррациональность.

Второй параграф посвящен вычислению величин d^a из формулы (7). Величина d^a выражается через инварианты разбиения CTilm{a) по формуле

jna. _ 9m{a)

em(a) + gm(a)

Также найдено выражение для величины (Ра в терминах разложения а в цепную дробь.

Третий параграф посвящен вычислению времени г-го попадания точки в интервал под действием поворота Яа. В случае интервала 1т это время выражено в явном виде через инварианты разбиения СТИт(а). Доказана следующая теорема.

Теорема 2.5. Пусть Ят(а, х,г) - время г-го возвращения точки х £ 1т в интервал 1т под действием отображения Яа. Тогда

р ( л _ / + ~ Ет(а))\и1Га + 1 - ит_1 (а) = О

Ъп(а,х,1) - | Ст(а){ + (Ет(а) _ Ст(а)т _ йша) Шт_1{а) = х ■

(9)

Здесь шо(а), ^г(<у), ... — элементы разложения а в последовательность Штерна-Броко. Из формулы (9) вытекает, что при фиксированных а, г их, пробегающем интервал 1т функция Ят(а, х, г) принимает всего два значения. Ранее это было известно14 только для случая г = 1. Кроме того, из (9) вытекает асимптотическая формула

х,г) = т-рг + 0(1).

Отметим, что в случае произвольного интервала I наилучший известный остаточный член в аналогичной асимптотической формуле имеет вид О (г).

В четвертом параграфе получена явная формула для количества дробных долей (ка), 0 < к < г, попадающих в интервал 1т.

Пятый параграф второй главы посвящен изучению множеств ограниченного остатка. Рассмортим величины

]У(а,о,п, I) = саг<1{& : 0 <к<п, (ка + а) е /},

г(а,а,п,1) = М(а,а,п, I) — п\1\.

Величина г(а, а, п, I) называется остаточным членом в проблеме равномерного распределения дробных долей (па). В случае, когда I - интервал обобщенного разбиения Фибоначчи доказана следущая оценка.

Теорема 2.10. Пусть |/| = гт(а). Тогда справедливо неравенство

го-1 т—1 3=1 к-]

14Floreik K. line remarque sur la repartition des nombres mod 1 // Coll Math Wroclaw — 1951. ~ V. 2. — P. 323-324.

где Dka — тах{с^а, 1 - dka}.

Из неравенства (11) вытекает, в частности, что для величина

гтпт{а) = sup sup sup |r(a, a, n, I) |

W\=im(a) a n

удовлетворяет неравенству

rmm(a) < т. (И)

Доказано, что оценка (11) лучше классической оценки Гекке (1) для почти всех а. Также показано, что для почти всех а и т — ап — <7> оценка (10) принимает вид

гт^а) < Кп

с абсолютной постоянной К. Оценка Гекке для соответствующих значений то имеет вид

rm^a) < \h(Ian)\ = е®н5"(1 + о(1)).

Таким образом, в этом случае экспоненциальная оценка остаточного члена улучшена до линейной.

Наиболее важным является случай, когда неполные частные разложения а в цепную дробь ограничены. Этому классу принадлежат, в частности, все квадратичные иррациональности. Доказан следующий результат.

Теорема 2.12. Пусть а - иррационально и все неполные частные разложения а в цепную дробь меньше N. Тогда для всех натуральных т справедливо неравенство

rmm(a) < N + 1. (12)

Особенность оценки (12) состоит в том, что, в отличие от оценки Гекке (1), она не стремится к бесконечности при уменьшении длины интервала.

В теореме 2.15 доказано, что длина произвольного интервала ограниченного остатка I может быть представлена в виде |/| = Y?k=ihk(a)' т0 есть в виде суммы длин интервалов обобщенных разбиений Фибоначчи. Значение этого результата состоит в том, что он позволяет оценивать остатки г (а. а, п, I) на произвольном интервале ограниченного остатка I через остатки на интервалах обобщенных разбиений Фибоначчи.

Третья глава диссертации посвящена приложениям обобщенных разбиений Фибоначчи к изучению /Т-преобразований ранга два.

В первом параграфе третьей главы определяется общее IT-преобразование ранга два Se(a,b,a)(x) и изучаются его основные свойства. Отображение Se(a,b,a) : [0; 1) —► [0; 1) задается формулой

„ , . ч/ ч fx — аа modi, х<е 11

где a, b - натуральные взаимно простые числа, а ф Ъ. Отображение Se(a,b,a) также называется двухцветным поворотом окружности.

Во втором параграфе изучаются отображения первого возвращения Se(a, b, = S£(a,b,a)\jmxIm; где ограничение берется по ж и по е. Справедлива

Теорема 3.1. Пусть S£(a,b,a) - сложный сдвиг с натуральными взаимно простыми а, Ь. Пусть

Еп(а) = Gm(a) = F (moda)

с 1 < F < а. Пусть (¿>F_1)a - наименьшее положительное решение сравнения xF = b (mod a) ub< st^bF'1)^ m). Тогда

SE(a, b, a)'771' ~ S£'(a, (bF'\, cTa), (13)

где

, _ g - 1 + im(à) im(a)

и

st(k, m) = varn{Em(a),Gm(a)}k + |Em(a) - <Зт(а)|[ЛеГа]. Подобие сложных сдвигов (13) означает их сопряженность

S£(a, b, = hm о SAa, {bF~\, сГа) с hm'

гомотетией hm с центром в точке 1, переводящей 1т в Io.

Эта теорема обобщает аналогичный результат для отображения Ra, доказанный во второй главе. Аналогичная теорема получена для отображения

m)

= [0; im{a)). Для случая квадратичной иррациональности а с чисто периодическим разложением в цепную дробь доказано, что при а > b > 0 существует число Ть такое, что

Se{a,b,a)™ ~Se,{a,b,a). (14)

Формула (14) также обобщает аналогичный результат для Rn и означает самоподобие двухцветного поворота окружности.

В третьем параграфе изучается распределение точек (a, b, а)} на полуинтервале [0; 1). Для описания этого распределения рассматривается величина ,

_ card{fc : 0 < k < п, S*(a, b, а)(х) € (0; g)}

£ п—»оо П

- частота попадания точек {S¡?(a, b, о)} в полуинтервал [0; г), а также множество Att = Пь=о SHa, b, a) (Io) - аттрактор двухцветного поворота. Известно15, что множество {S* (а, Ь, а)} равномерно распределено на аттракторе, а частота ь>£ не зависит от х. Доказан следующий результат.

Теорема 3.14. Пусть

rnax{Em(a),Gm(a)} = 0 (moda) , .

min {Em(a),Gm(a)} = b (modo)' ^ '

Тогда при взаимно простых а > b > 0 существуют интервалы Im{5), Jm такие, что при е £ J™ множество Att(SE(a,b,a)) совпадает с S£{a,b,a)-орбитой интервала Im(ô).

Интервалы 1т(5) и Jm вычислены в §3 третьей главы диссертации в явном виде.

Эта теорема представляет собой единственный известный пример описания аттрактора для произвольных а, Ь, а. Более того, при выполнении условий (15) аттрактор не зависит от е при е £ Jm. Поэтому, для s € Jm частота vE не зависит от е. Соответствующие значения частоты вычислены в в предложении 3.4.

В заключение, автор выражает благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Журавлеву за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации, выносимые па защиту

1) Алгоритм вычисления основных инвариантов обобщенных разбиений Фибоначчи.

2) Формулы для отображений первого возвращения для иррационального поворота окружности.

3) Точные и асимптотические формулы для времени n-го возвращения точки в интервалы обобщенных разбиений Фибоначчи.

4) Уточненные оценки остаточного члена в проблеме распределения последовательности по модулю 1 в случае множеств ограниченного остатка.

5) Описана структура распределения орбит двухцветного поворота окружности.

16Boshernitzan M., Kornfeld I. Interval translation mappings // Ergod.Th and Dynam.Sys — 1995. — V 15. - P. 821-831.

Публикации автора по теме диссертации 6

[1] Шутов А.В. Рост 1-периодических графов // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2003. - Т. 286. - С. 215-226. (0,69 пл.).

[2] Шутов А.В. Число слов заданной длины в плоских кристаллографических группах // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 302. - С. 188-197. (0,57 п.л.).

[3] Шутов А.В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2004. - Т. 314. - С. 272-284. (0,75 пл.).

[4] Шутов А.В. О распределении дробных долей // Тезисы докладов VI международной конференции "Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения", Саратов, 13-17 сентября 2004 г. - Саратов:Изд. СГУ.

- 2004. - С. 128-129. (0,06 пл.).

[5] Шутов А.В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник.

- 2004. - Т. 5, Вып. 3. - С. 112-121. (0,62 печ. л.).

[6] Шутов А.В. Перенормировки вращений окружности // Чебышевский сборник. - 2004. - Т. 5, Вып. 4. - С. 125-143. (1,13 пл.).

[7] Shutov A.V. New estimates for remainder term in the problem of the distribution of fractional parts (na) // Abstracts of Communications of the International conference "Analytical Methods In Number Theory, Probabylity Theory And Mathematical Statistics", St.Petersburg, Russia, April 2529,2005. - St.Petersburg. - 2005. - P. 31-32. (0,06 пл.).

[8] Shutov A.V. On the distribution of the two-colour shift values modulo one // Abstracts of the 5th International Algebraic Conference in Ukraine, Odessa, July 20-27, 2005. - Odessa. - 2005. - P. 194. (0,06 пл.).

[9] Shutov A.V., Zhuravlev V.G. Derivatives of circle rotations and similarity of orbits // Max-Plank-Institut fur mathematik. Preprint Series. — 2004. - V. 62. — P. 1-11. (0,69 пл., вклад соискателя составляет 50% работы).

[10] Шутов А.В., Мануйлов Н.Н. Глобальный порядок разбиения окружности // Сборник научных статей участников 5-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов

"Молодежь.Образование.Экономика.", 4 мая 2004 г. Ярославль1 Изд. Ремдер. — 2004. — С. 314-320. (0,38 п.л , вклад соискателя составляет 50% работы).

[11] Шутов A.B., Мануйлов H.H. Обобщенные разбиения Фибонач-чиглокальная геометрия и дальний порядок // Сборник научных статей участников 5-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов "Молодежь.Образование.Экономика.", 4 мая 2004 г. — Ярославль: Изд. Ремдер. — 2004. — С. 376-381. (0,31 п.л., вклад соискателя составляет 50% работы).

Подписано в печать 8.11.2005 Формат 60x84 1/16

Усл. печ. л. 1,0 Уч. изд. л. 1,0

Заказ 102-05 Тираж 100

Отпечатано с готового оригинал-макета в отделе оперативной полиграфии ВГПУ, 600024, г.Владимир, ул. Университетская, 2

*22986

РНБ Русский фонд

2006:4 26859

Введение

1. Обобщенные разбиения Фибоначчи.

§1. Определение и основные свойства обобщенных разбиений

Фибоначчи.

§1.1. В -оператор.

§1.2. Обобщенные разбиения Фибоначчи порядка т.

§2. Вычисление длин и количеств полуинтервалов.

§2.1. а;-регулярные числа.

§2.2. Вычисление длин полуинтервалов.

§2.3. Рекуррентные формулы для количеств и длин полуинтервалов.

§2.4. Связь между длинами и количествами полуинтервалов.

§2.5. Неравенства для количества полуинтервалов.

§3. S-свойство.

§4. Разбиения CTilm(a) и их основные свойства.

§4.1. Отображение Colm^a.

§4.2. Разбиения CTilm(a).

§4.3. Последовательность Штерна-Броко.

§5. Глобальные координаты.

§6. Квазилокальные координаты.

2. Производные поворота окружности и их приложения.

§1. Производные поворота окружности.

§1.1. Определение производной отображения на множестве.

§1.2. Производные на собственных интервалах.

§1.3. Производные на несобственных интервалах.

§2. Операторы dm.

§3. Прямые перенормировки.

§3.1. Определение и основные свойства прямых перенормировок.

§3.2. Вычисление прямых перенормировок.

§3.3. Время к-то возвращения точки в интервал.

§3.4. Некоторые неравенства для R^ia^i).

§3.5. Перенормировки на произвольном собственном интервале.

§4. Обратные перенормировки.

§4.1. Определение и основные свойства обратных перенормировок.

§4.2. Вычисление обратных перенормировок.

§4.3. Композиции прямых и обратных перенормировок.

Диссертация посвящена изучению обобщенных разбиений Фибоначчи и их приложений к теории чисел. В диссертации получены следующие основные результаты.

1) Изучены обобщенные разбиения Фибоначчи и вычислены их основные инварианты.

2) Вычислены отображения первого возвращения для иррационального поворота окружности.

3) Получены точные и асимптотические формулы для времени к -го возвращения точки в интервалы обобщенных разбиений Фибоначчи.

4) Получены новые оценки остаточного члена в проблеме распределения последовательности {na;}£L0 по модулю 1 в случае множеств ограниченного остатка.

5) Изучено распределение орбит двухцветного поворота окружности.

Использование разбиений при изучении иррационального поворота окружности берет свое начало в работах [52],[55],[56]. G.Rauzy ввел понятие кодирующей последовательности отображения. Пусть Т - отобра-ение единичного полуинтервала 1° = [0; 1) в себя, Р = {/0,., h-i} -разбиение 1° на интервалы, х - точка из 1°. Последовательность {sn}, определяемая равенством sn = г, если Тп(х) G Ii, называется кодирующей последовательностью отображения Т. Если Т : х —> х + a (mod 1)

- поворот окружности, обычно выбирают /0 = [0; 1 — а) и h = [ 1 — ск; 1). В работах Rauzy, Ferenczi, Arnoux, Berthe и др.[22],[27],[28],[52] было доказано, что многие свойства иррационального поворота окружности могут быть описаны в терминах его кодирующей последовательности.

Сами кодирующие последовательности {sn} обладают целым рядом интересных свойств. Отметим следующую комбинаторную характериза-цию кодирующих последовательностей в случае иррационального поворота окружности [28],[51].

Последовательность {sn} является кодирующей последовательностью некоторого иррационального поворота окружности тогда и только тогда, когда для любого натурального т число различных подслое длины т последовательность {s„} равно т + 1.

Такие последовательности {sn} называются последовательностями Штурма.

Наибольший интерес представляет случай а = т-1, где г = золотое сечение. В этом случае кодирующая последовательность представляет собой знаменитую последовательность Фибоначчи, открытую М.Морсом [46].

Последовательность Фибоначчи можно определить многими различными способами [51]

1) Как единственное слово, начинающееся с нуля и являющееся неподвижной точкой подстановки а)

1-0,

2) Как слово, начинающееся с символов 01 и удовлетворящее рекуррентному соотношению wn+2 = wn+\wn, где wn - первые Fn символов последовательности Фибоначчи и Fn - п -ое число Фибоначчи, определяемое рекуррентным соотношением Fn+2 — Fn+1 4- Fn и начальными условиями

F0 = F1 = 1.

3) n -ый символ последовательности Фибоначчи есть коэффициент при Fo в разложении п в фибоначчиеву систему счисления.

Последовательность Фибоначчи имеет многочисленные приложения к теории чисел, фрактальной геометрии, теории формальных языков, теории сложности вычислений, квазикристаллам [51].

В последние годы были найдены применения общих последовательностей Штурма к анализу сигналов, теории автоматов и диофантовым приближениям [51].

N. de Brujin в работах [32],[33] ввел разбиения Фибоначчи Тг/т(т-1), являющиеся геометрическим обобщением последовательности Фибоначчи. Разбиения ТИт(т~1) можно определить различными способами [21]

1) С помощью подстановок интервалов, обобщающих подстановки (1).

2) С помощью проектирования на прямую у = тх ближайших к ней точек целочисленной решетки 1? .

3) С помощью рекуррентного соотношения для разбиений, имеющего вид

Tilm{r-1) = т^ТИп-^т-1) е т-2ТИт-2{т-1), где символ 0 означает некоммутативную операцию прикладывания интервалов [70].

4) С помощью разложения чисел из полуинтервала [0; 1) по степеням т.

5) С помощью сечения некоторого периодического разбиения плоскости.

P.Arnoux в работе [21] заметил, что разбиения Фибоначчи Тйт(т~1) также могут быть использованы для изучения иррационального поворота окружности х —> х + т (mod 1). При этом он предположил, что разбиения позволяют доказывать значительно более тонкие результаты об иррациональном повороте окружности, чем кодирующие последовательности. Аналогичное предположение было высказано V.Berthe в работе [26].

В.Г.Журавлев в работе [70] ввел понятие В -оператора и предложил на его основе новый подход к определению Фибоначчи. На основе этого подхода им были вычислены основные инварианты разбиения ТИт{т~1) и получены многочисленные приложения к изучению отображения х —> х + г (mod 1).

В.Г.Журавлев сформулировал задачу получения аналогичных результатов для других иррациональностей. Н.Н.Мануйлов в работах [8] - [11] получил обобщение результатов Журавлева на случай а ~ тд, где разложение тд в цепную дробь имеет вид тд = [0; (<?)] (в круглых скобках записан период разложения в цепную дробь). В диссертации мы получаем обобщение результатов В.Г.Журавлева на случай произвольного иррационального а.

Первая глава диссертации посвящена изучению обобщенных разбиений Фибоначчи для произвольного ирационального а. В основе определения этих разбиений лежит понятие В -оператора. В -оператор представляет собой оператор, отображающий множество всех разбиений единичного полуинтервала на конечное число отрезков в себя. Действие В -оператора на разбиение заключается в откладывании от левых концов всех интервалов разбиения интервала наименьшей длины.

Разбиение Tilm(a) определяется по формуле

Tilm(a) = Bm(Til0(a)), где

Tilo(a) = [0;a)©[a; 1).

Первый параграф посвящен изучению некоторых свойств В-оператора. На их основе показано, что разбиение Tilm(a) состоит из интервалов двух различных длин (предложение 1.1). Отсюда вытекает, что разбиение Tilm{a) описывается четырьмя основными численными инвариантами: количествами Lm(a) и Sm(a) длинных и коротких интервалов, а также их длинами 1т(а) и sm(a). В следствиях 1.2, 1.3 получены рекуррентные формулы, выражающие инварианты разбиения Тг7то+1(а) через инварианты разбиения Tilm(a). Также в этом параграфе изучена симметрия между разбиениями Tilm(a) и Tilm{l — а). В теореме 1.1 доказано, что разбиение Tilm( 1 — а) получается из разбиения ТИт{а) с помощью перекладывания двух крайних правых интервалов.

Второй параграф первой главы посвящен вычислению инвариантов разбиения Tilm{a) в терминах разложения а в цепную дробь. Наибольший интерес представляет случай, когда а - квадратичная иррациональность. В теоремах 1.3, 1.4 доказано, что для квадратичной иррациональности а с разложением в цепную дробь вида а = [0-,qi,.,qk,(qk+1,.,qk+r)} и т > М0(а) = q1 + . + qk справедливы рекуррентные формулы

Ьт+2т(а) = cLm+T(a) + (-l)r+1Lm(ct!), Sm+zr{a) = cSm+T(a) + (-1 )r+1Sm(a), 1т+2т{а) = Cilm+T(a) + (-1 )r+1ZTO(a),

Sm+2rO) = CiSm+T{a) + (-l)r+1sm(a), где T = qk+1 + . + qk+r .

Значение формул (2) состоит в том, что они позволяют в случае конкретной квадратичной иррациональности получить явные формулы для чисел Lm(a), Sm(a), lm(a), sm(a). В остальных случаях вместо явных формул для вычисления Lm(a), 5'тгг(ск), lm{ct), sm(a) используются различные рекуррентные формулы и алгоритмы. Для а = г-1 из формул (2) вытекает, что

Таким образом, Ьт(т~1) и Sm{r~l) есть числа Фибоначчи. Этот факт впервые был доказан В.Г.Журавлевым [70].

В четвертом параграфе вводятся цветные разбиения Фибоначчи CTilm(a). Они получаются из разбиений Tilm(a) с помощью отображения Colmj0l, ставящего в соответствие каждому из интервалов Tilm(a) одну из двух цветовых меток Е ,G с соблюдением двух условий:

1) Интервалы из ТИт{а), имеющие одну и ту же длину, получают одинаковые метки, интервалы разной длины - разные метки.

2) Крайнему правому интервалу из ТИт{а) ставится в соответствие метка Е.

Разбиения СТИт(а) оказываются более удобными для изучения иррационального поворота окружности, чем разбиения Tilm(a).

Разбиения CTilm(a) имеют четыре основных численных инвыарианта: количества интервалов Ет(а) ,Gm(a) и длины интервалов ет{а) ,дт(а). В предложении 1.16 вычисляется отображение Colm^a. С его помощью результаты §1-§3 переносятся на разбиения CTilm(a) (предложения 1.17

Длины интервалов разбиения CTilm(a) определяют последовательность (о;т(о!)} по правилу

Lm+2{r 1) = Lm+i(r 1) + Lm(r -Wr-1) = Sm+lCr-1) + SUr-1).

1.24).

0, gm(a) < em(a)

1, 9m{oi) > em(a)

В предложении 1.25 показано, что для о; = [0; gl5 q2,.] последовательность {u)m{oi)} имеет вид 09111920®194., где символ хп означает п-кратное повторение символа х. Таким образом, (и;т(о;)} есть известная последовательность Штерна-Броко [2].

В §5 первой главы доказана теорема о глобальных координатах. Эта теорема позволяет вычислять координаты интервалов разбиения CTilm{a), если известны Gm(a), Ет(а) и а. Точнее, согласно теореме 1.5, разбиение CTilm{a) состоит из интервалов G™, Е™, имеющих координаты

GT = (((Gm(a) - i)a); (~ia)), 0 < г < Gm(a),

Е™ = {{(Gm(a) - Ет{а) - г)а); {(Gm(a) - г»), 0 < г < Ет{а).

Теорема о глобальных координатах позволяет описать действие иррационального поворота окружности на разбиения CTilm(a). В теореме 1.9 показано, что

CTilm(a) - а = Стат(а)(+) (mod 1), где - разбиение, полученное из разбиения X перекладыванием двух крайних правых интервалов. Этот результат является основным при использовании разбиений СТИт(а) для изучения иррационального поворота окружности.

На основе теоремы о глобальных координатах получено новое доказа-тельствого известной гипотезы Штейнгауза.

Теорема 1.10. Пусть Qдг - разбиение единичной окружности, образованное точками (ка), 0 < к < N. Тогда интервалы разбиения Qn имеют не более трех различных длин.

Ранее различные доказательства гипотезы Штейнгауза были получены в работах [61], [62], [65]. Новым в предлагаемом доказательстве является то, что оно позволяет явно описать те значения N, для которых разбиение Qn содержит интервалы только двух длин (это те значения N, для которых N = Еп(а) + Gn(a) для некоторого п), а также явно вычислить все возможные значения длин (lm(a), sm(a) и lm{a) — sm(a)). Ранее длины интервалов разбиения Qn были вычислены лишь в случае, когда N является знаменателем подходящей дроби для а [47].

Отметим, что распределение длин разбиения QN для точек (ка) резко контрастирует с распределением длин для других последовательностей. Рассмотрим, например, последовательность (а(п)}, удовлетворяющую условию > с > 1 для всех п и разбиение Q'N, образованное точками (а(к)а), 0 < к < N. Известно [58],[59], что множество длин разбиения Q'N имеет распределение, сходящееся при N —> со к распределению Пуассона.

Еще одно приложение теоремы о глобальных координатах к теории чисел дано в теореме 1.11, содержащей новое решение классической задачи о наилучших односторонних приближениях к ск.

В §6 главы 1 доказывается следующая теорема о квазилокальных координатах.

Теорема 1.13. Пусть е™,., €,Em(a)-i ~ последовательность номеров Е -интервалов разбиения CTilm(a), взятых справа налево, д™,. ,9от(а)-1 ~ аналогичная последовательность номеров G-интервалов. Тогда ef = ке™ (mod Ет(а)), g% = kg™ (mod Gm{a)) (номера Е и G-интервалов разбиения CTilm{a) определяются с помощью формулы (3)).

Теоремы о глобальных и квазилокальных координатах впервые были доказаны В.Г.Журавлевым в работе [70] для а = г-1.

Теорема о квазилокальных координатах позволяет построить алгоритм вычисления последовательности Е и G -интервалов в разбиении CTilm(a). Эта теорема также применяется при изучении двухцветного поворота окружности в главе 3.

Вторая глава диссертации посвящена применениям обобщенных разбиений Фибоначчи при изучении иррационального поворота окружности.

В основу изучения иррационального поворота окружности в диссертации положено понятие отображения первого возвращения (индуцированного отображения, производной отображения на множестве), введенное Пуанкаре.

Пусть X - некоторое множество, Y С X, А : X —> X - отображение множества X в себя. Отображение первого возвращения dyA определяется соотношением dYA{x) = Ап^х\х), (4) где пу(х) = min{n G N : Ап(х) еУ}.

В диссертации рассматривается случай, когда X = S1, Y = I - некоторый полуинтервал и А = Ra : х —» х — a (mod 1) - иррациональный поворот окружности.

Отображения (4) в теории чисел впервые были использованы в работах Rauzy [53] и Arnoux [22]. В этих работах впервые было вычислено отображение diRa для полуинтервала I = [а; 1). Впоследствии это же отображение независимо вычислил Mintchev [45]. Arnoux и Rauzy нашли бесконечное семейство интервалов /, для которых d/Ha вновь является поворотом окружности, но не смогли вычислить отображения первого возвращения на этих интервалах. В часных случаях отображения первого возвращения для Ra были вычислены в работах В.Г.Журавлева [70] (о; = т) и Н.Н.Мануйлова [8] (а = тд). В диссертации отображение djRa вычисляется для произвольного интервала / и произвольного иррационального а.

Полуинтервал / будем называть собственным, если его длина \I\ = im{a) = em(a) + gm(a) для некоторого га. В диссертации доказаны следующие результаты.

Теорема 2.1. Пусть I - собственный интервал. Тогда diRa вновь является поворотом окружности.

Теорема 2.2. Пусть I - несобственный интервал. Тогда diRa есть нециклическое перекладывание трех отрезков.

Эти результаты применяются к вычислению величины nj(x) - времени первого возвращения точки х £ / в полуинтервал I под действием отображения Ra . Функция П/(х) была впервые изучена в работах Floreik [38] и Slater [61]. Ими было доказано, что при фиксированном интервале I функция riiix) принимает не менее двух и не более трех значений. R.Twarock в работе [68] вычислил множество значений функции nj(x) при а = т и сформулировал гипотезы для случая а = тд . В диссертации fij{x) вычислена для произвольных а, I. Точнее, в следствии 2.2 доказано, что для собственного интервала / функция ni(x) принимает только значения Em(a), Gm(a). Следствие 2.3 утверждает, что в случае несобственного интервала / величина ni(x) принимает три значения: Ет(а), Gm(a) и Ет(а) + Gm(a).

Поведение функции ni(x) для отображения Ra отличается от поведения этой функции для большинства других отображений. Известно [31], что для широкого класса гиперболических отображений величина ni(x) имеет распределение Пуассона. Точнее,

1 -ji{x € / : п/(ж) > —грг} —е *

С0 ' v при /л(1) —> 0.

Результаты об отображениях первого возвращения можно переформулировать на языке орбит иррационального поворота окружности. Пусть Orb(a,a,I) = {а + icx (mod ЛЖ-оо • Тогда, согласно предложению 2.3, для произвольного интервала I с |/| = im(ai) существуют числа а/, и гомотетия hi такие, что П Orb(a, а, /°) = hiOrb(ai, dma, /°). (5)

Наибольший интерес формула (5) представляет, когда а = [0; (qi,., qr)\ - квадратичная иррациональность с чисто периодическим разложением в цепную дробь и I = Im = [1 — im{a) \ 1). В этом случае справедливо равенство (следствие 2.8)

1Т П 0r&(0, а, /°) = hTOrb(0, а, /°), (6) где Т = кТ0,

J gi + • • • + 9r, r = 0 (mod 2) T0 (а) = < 2(qi + . + gr), r = l (mod 2) и hr - гомотетия, переводящая 1° в IT.

Формула (6) означает самоподобие орбиты Orb{0, а, /°) иррационального поворота окружности в случае квадратичной иррациональности. Эффект самоподобия орбит был обнаружен В.Г.Журавлевым [70] в случае а = т.

Величина dma из формулы (5) может быть вычислена в терминах длин интервалов обобщенных разбиений Фибоначчи.

Га = (9™{а) . . (7)

Для т — 1 формула (7) принимает вид (предложение 2.7) a <

1-а. а > ± а ' 2

Отобрадение a d1 а известно как возвратное отображение и применяется при решении многих теоретико-числовых задач. Величины dma могут быть вычислены также в терминах разложения а в цепную дробь и в терминах последовательности Штерна-Броко.

§3 главы 2 посвящен вычислению времени г-го возвращения точки х 6 / в интервал I под действием отображения Ra при условии, что / - собственный интервал. Наибольшее внимание уделено случаю I = 1т . Основной результат доказан в следующей теореме.

Теорема 2.5. Пусть Rm(a,x,i) - время г-го возвращения точки х £ 1т в интервал 1т под действием отображения Ra . Тогда

Ет(а)г + (Gm(a) - Em{a))\idma + 1 - -Ь^], wmi(a) = О

Gm{a)i + (Ет{а) - Gm(a))[i(l - сГа) + wmi(a) = 1

8)

Формула (8) представляет собой явную формулу для вычисления функции Дто(а,ж,г) в терминах инвариантов разбиения СТИт{а) . Она допускает ряд интересных следствий. В частности, из формулы (8) вытекает, что Rm(a,x,i), рассматриваемая как функция от х принимает всего два значения при ж€/т (следствие 2.17). Этот результат обобщает аналогичное утверждение о функции nj{x) - времени первого возвращения точки х в интервал. Кроме того, из формулы (8) можно получить асимптотическую формулу для Rm(a,x,i) (следствие 2.22).

Rm(a, х, г) = —— + 0(1).

Для сравнения отметим, что в случае несобственного интервала I остаточный член в асимптотической формуле для времени г-го возвращения точки в интервал имеет порядок о(п).

В §5 второй главы доказанные результаты применяются для изучения распределения дробных долей (an).

Пусть X — {жп} - некоторая последовательность точек из единичного полуинтервала, I - некоторый интервал,

N(X, n, I) = #{& : 0 < к < п, хк € 1}

- число точек последовательности X, попадающих в интервал I. Последовательность X называется равномерно распределенной по модулю 1, если lim sup п—>оо J

N(X,nJ) п

-и 0.

Исследование последовательностей, равномерно распределенных по модулю 1, начал Г.Вейль в работах [1],[69]. Он нашел необходимое и достаточное условие для того, чтобы последовательность {хп} была равномерно распределенной по модулю 1 (критерий Вейля).

Многочисленные общие результаты о распределении последовательностей по модулю 1 получены в работах Н.М.Коробова [7], А.А.Карацубы, Г.И.Архипова и В.Н.Чубарикова [3]-[5], а также в книгах [6],[34].

Для количественной оценки равномерности распределения последовательности X обычно рассматривается величина

N(X, n, I)

Dn{X) = sup п

-И 0.

Если X = {(cm)}, то величину Dn(X) обозначают Dn{a). Величина Dn{X) может быть оценена с помощью неравенства Эрдеша-Турана [35] к=1 п=1

J2mxr,

Точные значения констант с\, были найдены в работе [57].

Альтернативный подход к изучению величины Dn(X) предложил Chen [24]. В основе этого подхода лежит усреднение величины Dn(X) по всем возможным п -элементным последовательностям X.

Еще один подход к оценке Dn{X) основан на точных формулах для этой величины, получаемых с помощью систем счисления Островского и Цеккендорфа [51].

В случае X = {(an)} для иррационального а Г.Вейль доказал, что

Dn(a) = о( 1). (9)

Равенство (9) эквивалентно равномерности распределения дробных долей (cm) по модулю 1.

Известно [2], что остаточный член в формуле (9) нельзя улучшить без дополнительных предположений об а.

С другой стороны, известны классы иррациональностей, для которых оценка (9) допускает существенное улучшение. Behnke было доказано [25], что для чисел а с ограниченными неполными частными разложения в цепную дробь справедлива оценка

1п Згг

Dn(a) < Сп

Им же были получены общие оценки на Dn(a) в терминах неполных частных разложения а в цепную дробь. Для величины Dn(a) известна также оценка снизу [60] nDn(a) lim sup —--> 0.

Inn n—> oo

Наименьшее значение величина lim supn^oc принимает при a = r

231

Рассмортим величины

N(a, а, n, I) = N((an + а), п, /), г (а, а, п, /) = iV(a, а, п, /) — п|/|.

Величина г(а, а, п, /) называется остаточным членом в проблеме равномерного распределения дробных долей (an). Заметим, что величина Dn{a) описывает наихудшее возможное значение r(a,a,n, I) при фиксированном п.

Гекке в работе [40] поставил задачу нахождения интервалов I для которых остаточный член r(a,a,n, I) принимает наименьшее значение. Им было введено понятие интервала ограниченного остатка, то есть интервала I, для которого sup | г (а, а, п,1)1 < со. пеш

Сам Гекке на основе полученной им точной формулы для остаточного члена доказал, что при \1\ € аЪ + Ъ справедливо неравенство г(а,а,п, 1)\ < |Л(/)|, (10) где h(I) - единственное целое число, для которого |/| — h(I)a 6 Z. Другое доказательство оценки (10) получил Островский [48] на основе введенной им системы счисления. Особенность оценки (10) состоит в том, что 1ВД1 оо при \1\ -> 0.

H.Kesten в работе [41] доказал, что интервал I является интервалом ограниченного остатка тогда и только тогда, когда |/| G ouL + Z. Впоследствии другие доказательства этого результата были получены в работах [39],[49],[50]. Большинство этих доказательств основано на том, что для произвольной последовательности X с хп = Тп{хо) ограниченность остатка r(X, n, I) = N(X,n,I) — an эквивалентна разрешимости когомологического уравнения

F(x) - F(T(x)) = Xi{x) - a в классе ограниченных функций. Основным недостатком этого метода является невозможность получать эффективные оценки для остаточного члена.

Liardet доказал [42], что последовательность дробных долей значений произвольного многочлена степени, большей или равной 2, не имеет нетривиальных множеств ограниченного остатка.

Альтернативный подход к изучению интервалов ограниченного остатка был предложен Rauzy в работе [54]. Им было доказано, что если отображение первого возвращения diRa вновь является поворотом окружности, то I - интервал ограниченного остатка. Некоторое обращение этого результата было получено Ferenczi [36]. Berthe нашла описание интервалов ограниченного остатка в терминах кодирующих последовательностей. Все эти результаты по-прежнему были неэффективными [29].

В диссертации предложен эффективный вариант метода Rauzy, позволяющий улучшать оценку (10) при условии, что I - собственный интервал. В основе предлагаемого подхода лежит следующее утверждение, связывающее количества точек, попадающих в различные интервалы.

Предложение 2.29. Пусть С Д , |/i| = im{&), \h\ = 2п(а). Тогда

N{a, а, п, /2) = N((Ta, ah,N(a, а, п, /х), h^{I2)).

Основное неравенство для величины г (а, а, n, I) доказано в следующей теореме.

Теорема 2.10. Пусть |/| = гт(а). Тогда справедливо неравенство т—1 ш—1 j=1 k=j где Dka = тах^ск, 1 — dka} .

Из неравенства (11) вытекает, в частности, что величина rmm{a) = sup supsup \r(a, а, п, /)|

I:\I\=im(a) а п определена корректно. Используя тривиальную оценку Dka < 1, неравенство (11) можно переписать в виде г(а,а,п, 1)\ < т. (12)

В предложеении 2.32 доказано, что оценка (12) улучшает оценку Гекке (10), при условии, что неполные частные разложения а в цепную дробь растут не слишком быстро. Точнее, при условии

2^Чк< \ -~--£ к=1 справедливо соотношение r(a, a, п, Im)\ т hm -,7 .,-= lim ,, ., = 0. т—юо \h(Im)\ ш^оо \h{Im'

Еще более точные результаты на основе оценки (11) можно получать, если известны неполные частные разложения а в цепную дробь. Как и в случае величины Dn(a) наилучшие оценки получаются для чисел с ограниченными неполными частными.

Теорема 2.12. Пусть а - иррационально и все неполные частные разложения а в цепную дробь меньше N. Тогда для всех натуральных т справедливо неравенство rmm(a)<N + l. (13)

Заметим, что наилучшая оценка получается для о: = т, как и в случае Dn(a). Еще одна важная особенность оценки (13) состоит в том, что она не растет с ростом т, то есть с уменьшением длины интервала. В этом состоит ее главное отличие от оценки Гекке.

Для произвольного иррационального а ограничимся рассмотрением интервалов I длины |/| = гйп(а), где ап = Ylk=i Чк • ® предложении 2.33 доказано неравенство rman(a) < 2(ln qxq2 .qn + Cn). (14)

Неравенство (14) позволяет оценивать г (a, а, п, I) через неполные частные разложения а в цепную дробь. Для почти всех а относительно меры Лебега может быть записана в виде (следствие 2.24) гтап(а) < Кп.

Для сравнения отметим, что оценка Гекке (10) в этом случае принимает вид rman(a) < \h(Ian)\ = е^2п(1 + о(1)) для достаточно больших п. Таким образом, предложенный в диссертации метод позволяет улучшить оценку остаточного члена с экспоненциальной на линейную.

Для произвольного интервала ограниченного остатка / в диссертации доказано (теорема 2.15), что его длина может быть представлена в виде t

J\ = XX'* k=1 то есть в виде суммы длин собственных интервалов обобщенных разбиений Фибоначчи. Значение этого результата состоит в том, что он позволяет оценивать остатки r(a, а, п, I) на произвольном интервале ограниченного остатка I через остатки на собственных интервалах обобщенных разбиений Фибоначчи.

Третья глава диссертации посвящена обобщению доказанных результатов на случай более общих отображений - двухцветных поворотов окружности Se(a,b,a).

Попытки перенести результаты, полученные для поворота окружности на более общие отображения предпринимались многими математиеками. Наибольшее внимание всегда уделялось так называемым перекладываниям интервалов. Rauzy нашел достаточные условия для того, чтобы отображение первого возвращения, соответствующее перекладыванию d интервалов, вновь было перекладыванием d интервалов [53]. Другие примеры вычисления отображения первого позвращения для перекладываний интервалов привели Зорич [72] и da Rocha [43]. Ferenczi, Holton и Zamboni нашли описание кодирующей последовательности для перекладываний трех интервалов [37]. Arnoux вычислил кодирующие последовательности перекладываний шести интервалов [22]. Marmi, Moussa и Yorcoz изучили разрешимость когомологического уравнения F(x) — F(T(x)) — Xi(x) ~ а в случае, когда Т является перекладыванием интервалов и доказали существование множеств ограниченного остатка [44]. Подробное изучение распределения точек {Тп(х)} в случае, когда Т является перекладыванием d интервалов провел Зорич [72]. Он доказал, что для почти всех перекладываний Т точки {Тп(х)} равномерно распределены по модулю 1 и получил для остаточного члена проблемы равномерного распределения оценку 0(п$), в < 1.

Корнфельд и Бошерницан ввели понятие IT -отображения, обобщающего как понятие поворота окружности, так и понятие перекладывания интервалов [30].

Пусть Д) = 0 < (3i < . < (3r = 1, А( = [fii-i, (3i). Отображение Т, задаваемое соотношением Т(х) = x + ^i (mod 1) при же Д, называется IT -отображением ранга г.

В диссертации изучаются отображения S£(a, 6, а), задаваемые соотношением

Такие отображения называются двухцветными поворотами окружности. Отображение S£(a,b,a) является IT -отображением ранга два. При этом для почти всех £ отображение Se (а, 6, а) не является перекладыванием отрезков.

В §2 третьей главы изучаются отображения первого возвращения для S£(a,b,a) на собственных интервалах обобщенных разбиений Фибоначчи. Пусть Se(a,b,a)^ = S£(a,b,a)\imxim ~ ограничение двухцветного поворота по х и по £ на полуинтервал Im. Пусть st(k,m) = min{£'m(a), Gm{a)}k + \Em(a) — Gm(a)\{kdma]. Основной результат о производных двухцветного поворота сформулирован в следующей теореме.

Теорема 3.1. Пусть S£(a, b, а) - сложный сдвиг с натуральными взаимно простыми а, Ъ. Пусть с 1 < F < а. Пусть (bF x)a - наименьшее положительное решение сравнения xF = b (mod а) и b < s£((&F-1)a, m). Тогда x — aa mod 1, x < e x — ba mod 1, x > e

Em(a) = Gm(a) = F (mod a)

Se(a,b,a)M ~ S£'(a, (bF'^cTa)

15) где - 1 + im(a)

Подобие сложных сдвигов (15) означает их сопряженность a)(m) - hm о SA*, {bF-^dTa) о h'1 гомотетией hm с центром в точке 1, переводящей 1т в 1°.

Аналогичный результат получен для отображения S£{a, 6, a)(m) = Se(a, 6, a)\ImXlm , где Im = [0; im{a)).

Наибольший интерес формула (15) представляет в случае, когда а -квадратичная иррациональность с чисто периодической последовательностью Штерна-Броко (в этот класс попадают, в частноти, все квадратичные иррациональности с чисто периодическим разложением в цепную дробь). В этом случае, согласно теореме 3.5 при дополнительном условии а > b существует число Ts{a) такое, что

S£(a:b,a)(T*(a» (а, Ь, а). (16)

Формула (16) означает самоподобие двухцветного поворота окружности и обобщает соответствующий результат (6) для отображения Ra. Эффект самоподобия двухцветного поворота был открыт В.Г.Журавлевым в работе [70] на примере а = г.

В диссертации получены также некоторые достаточные условия для того, чтобы отображение первого возвращения для S£(a,b,a) на некотором интервале являлось обычным поворотом окружности (теорема 3.9). Для исследования IT -отображений Корнфельд рассмотрел аттрактор оо

AttiT) = р| Тп(/°) п=О и поставил задачу нахождения этого множества. Трубецкой доказал [67], что для IT -отображений ранга два аттрактор состоит из конечного числа-отрезков и орбита любой точки плотна на аттракторе. Доказательство

Трубецкого является неконструктивым и не позволяет найти аттрактор в явном виде. В диссертации доказан следующий результат.

Теорема 3.14. Пусть nrnx{Em(a),Gm{a)} = 0 (mod а) тт{Ет(a),Gm(a)} = b (mod 6)

Тогда при взаимно простых а > b > 0 существуют интервалы 1т(6), Jm такие, что при е £ Jm множество Att(Ss(a,b,a)) совпадает с 5е(а, 6, а) -орбитой интервала 1т{5).

Интервалы /ш(5) и Jm вычислены в диссертации в явном виде.

В §3 третьей главы изучается проблема распределения последовательности Х£ = {S£(a, Ь, о;)} по модулю 1. Главное отличие двухцветного поворота S£(a,b,a) от обычного поворота Ra состоит в том, что при а^Ъ и е ф 0 последовательность Х£ не является равномерно распределенной и даже всюду плотной по модулю 1. С другой стороны, в теореме 3.14 доказано, что последовательность Х£ равномерно распределена относительно меры, сосредоточенной на аттракторе.

Для количественного описания распределения последовательности Х£ вводится величина r ${k:0<k<n,S!?(a,b,<x)(x) £ (0;g)} n—* oo 77,

Функция v£ называется диагональной частотой. В.Г.Журавлев вычислил функцию v£ для отображения Se{2,l,r) [70]. Н.Н.Мануйлов получил аналогичный результат для отображения S£(g,l,rg). В.Г.Журавлев при исследовании отображений 5е(а,Ь,г) с произвольными натуральными a, b обнаружил эффект плато - наличие интервалов постоянства функции v£ . В диссертации найдены достаточные условия на иррациональность а при которых имеет место эффект плато и приведены примеры вычисления диагональной частоты v£. Доказано (предложение 3.4), что при выполнении условий (17) и е е Jm диагональная частота р£ вычисляется по формуле

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12],[14]-[20],[63]-[64],[71]. Они докладывались на 5-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов (Ярославль, 2004 г.), V и VI международных конференциях "Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения." (Тула, 2003 г. и Саратов, 2004 г.), 5th International Algebraic Conference in Ukraine (Odessa, 2005 г.), International conference "Analytical Methods In Number Theory, Probabylity Theory And Mathematical Statistics"(St.Petersburg, 2005 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (2002-2004 гг., секция "Алгебра и теория чисел"), на научно-исследовательском семинаре по "Теории чисел "МГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю.В. Нестеренко, а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по теории чисел ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Г.Журавлева (2002-2005 гг.)

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Журавлеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и многочисленные ценные советы.

1. Вейль Г. О равномерном распределении чисел по модулю 1 // Вейль Г. Избранные труды. -М.: Наука. -1984. -С. 58-93.

2. Грехэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. -М.: Мир. -1998. -С. 709.

3. Карацуба А.А. Дробные доли специального вида функций // Известия РАН, сер.мат. -1995. -Т. 59. -С. 61-88.

4. Карацуба А.А. О дробных долях быстрорастущих функций // Известия РАН, сер.мат. -2001. -Т. 65. -С. 89-110.

5. Карацуба А.А., Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных // Математические заметки. -1979. -Т. 25. -С. 3-14.

6. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. -М.:Мир. -1985.

7. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. -М.:Наука. -1989. -240 с.

8. Мануйлов Н.Н. Перенормировки на одномерном торе // Записки научных семинаров ПОМИ. -2004. -Т. 314. -С. 142-154.

9. Мануйлов Н.Н. Рекуррентные самоподобные разбиения // Чебышев-ский сборник. -Тула:Изд.ТГПУ. -2001. -Т. 4, Вып. 2. -С. 87-91.

10. Мануйлов Н.Н. Самоподобие некоторых последовательностей точек на окружности // Записки научных семинаров ПОМИ. -2003. -Т. 302. -С. 81-95.

11. Мануйлов Н.Н. Число попаданий точек последовательности {птд} в полуинтервал // Чебышевский сборник. -Тула:Изд.ТГПУ. -2004. -Т. 5, Вып. 3. -С. 72-81.

12. Хинчин А.Я. Цепные дроби. -М.:Физматлит. -1961. -112 с.

13. Шутов А.В. О распределении дробных долей // Тезисы докладов VI международной конференции "Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения", Саратов, 13-17 сентября 2004 г. -Саратов:Изд. СГУ. -2004. -С. 128-129.

14. Шутов А.В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. -Тула: Изд. ТГПУ. -2004. -Т. 5, Вып. 3. -С. 112-121.

15. Шутов А.В. Перенормировки вращений окружности // Чебышевский сборник. -Тула: Изд. ТГПУ. -2004. -Т. 5, Вып. 4. -С. 125-143.

16. Шутов А.В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМИ. -2004. -Т. 314. С. 272-284.

17. Шутов А.В. Рост 1-периодических графов // Записки научных семинаров ПОМИ. -2003. -Т. 286. С. 215-226.

18. Шутов А.В. Число слов заданной длины в плоских кристаллографических группах // Записки научных семинаров ПОМИ. -2003. -Т. 302. С. 188-197.

19. Arnoux P., Berthe V., Ei Н., Ito S. Tilings, quasicrystals, discrete planes, generalized substitutions and multidimencional continued fractions // Discrete modelsrcombinatirics, computation and geometry. -Paris. -2001. -P. 59-78.

20. Arnoux P., Rauzy G. Representation geometrique de suites de complexite 2n + 1 // Bull.Soc.Math.France. -1991. -V. 119 -P. 199-215.

21. Baxa C. Comparing the distribution of (no;)-sequences // Acta Arithmetica. -2002. -V. 94 -P. 345-363.

22. Beck J., Chen W.W.L. Irregularities of distribution. -Cambridge -1987.

23. Behnke H. Zur Theorie der diophantischen Approximationen I // Abh.Math.Sem.Hamburg. -1924. -V. 3. -P. 261-318.

24. Berthe V. Free group automorphisms and tilings // Procedings of the EWM International workshop on Groups and Graphs, Varna, Bulgaria. -Varna. -2003. -P. 9-14.

25. Berthe V., Chekova N., Ferenczi S. Covering numbres: arythmetics and dynamics for rotations and interval exchange // J.Anal.Math. -1989. -V. 79. -P. 1-31.

26. Berthe V., Ferenczi S., Zamboni L. Interactions between Dynamics, Arithmetics and Combinatorics: the Good, the Bad and the Ugly // Contemporary Math. -2005. -V. 385. -P. 3-35.

27. Berthe V., Tijeman R. Balance properties of multidimensional words // Theoret.Comput.Sci. -2002. -V. 273. -P. 197-224.

28. Boshernitzan M., Kornfeld I. Interval translation mappings // Ergod.Th. and Dynam.Sys. -1995. -V. 15. -P. 821-831.

29. Bruin H., Saussol В., Troubetzckoy S., Vaienti S. Return time statistics via inducing // Ergod.Th. and Dynam.Sys. -2003. -V. 23. -P. 991-1013.

30. De Brujin N.G. Sequences of zeros and ones generated by special production rules // Kon.Nederl.Acad.Wetensch.Proc. -1982. -Ser.A. -V. 84. -P. 38-52.

31. De Brujin N.G. Updown generation of Beatty sequences // Kon.Nederl.Acad.Wetensch.Proc. -1989. -Ser.A. -V. 92. -P. 385-407.

32. Drmota M., Tichy R.F. Sequences, discrepancies and applications. -Berlin:Springer. -1997.

33. Erdos P., Turan P. On a problem in the theory of uniform distribution II // Indag.Math. -1948. -V. 10. -P. 406-413.

34. Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. -1992. -V. 61. -P. 319-326.

35. Ferenczi S., Holton Ch., Zamboni L. The structure of three-intervalexchange transformation I: An arithmetic study // Ann.Inst.Fourier. -2001. -V. 51. -P. 861-901.

36. Floreik K. Une remarque sur la repartition des nombres m£ mod 1 // Coll.Math.Wroclaw. -1951. -V. 2. -P. 323-324.

37. Furstenberg H., Keynes M., Shapiro L. Prime flows in topological dynamics // Israel J.Math. -1973. -V. 14. -P. 26-38.1 40. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen modEins // Math.Sem.Hamburg Univ. -1921. -V. 5. -P. 54-76.

38. Kesten H. On a conjecture of Erdos and Sztisz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. -1966. -V. 12. P. 193-212.

39. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. -1987. -V. 61.-P. 267-293.

40. Lopes A.O., da Rocha L.F.C. Invariant measures for Gauss maps associated with interval exchange maps // Indiana Univ.Math.J. -1974. -V. 43. -P. 1399-1438.

41. Marmi S., Moussa P., Yoccoz J.-C. The cohomological equation for Rothtype interval exchange maps // J.Amer.Math.Soc. -2005. -V. 18. -P. 823872.

42. Mintchev S. Continued fraction expansions and self-similarity of rotation on the circle // J.Phys.A.Math.Gen. -2002. -V. 36. -P. 1-14.

43. Morse M., Hedlund C.A. Symbolic Dynamics II: Sturmian trajectories // Amer.J.Math. -1940. -V. 62. -P. 1-42.

44. Mukherjee M. On "Three-Gap Theorem"in 0; 1] // Preprint of Virgine Tech. Center for Mathematical Phisics. 1994.

45. Ostrowski A. Math. Miszellen XVI//Notiz zur Theorie der Diophantischen Approximationen und zur Theorie der linearen Diophantischen Approximationen // Jahresber.d.Deutschen Math.Ver. -1939. -V. 39. -P. 34-46.

46. Oren I. Admissible functions with multiplie discontinioutes // Israel J.Math. -1982. -V. 42. -P. 353-360.

47. Petersen K. On a series of cosecants related to a problem in ergodic theory // Compositio Math. -1973. -V. 26. -P. 313-317.

48. Pytheas Fogg N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. -Springer. -2001. -402 p.

49. Rauzy G. Des mots en arithmetique // Avignon Conference on Language Theory and Algorithmic Complexity, Univ. Claude-Bernard, Lyon, 1984. -Lyon. -1984. -P. 103-113.

50. Rauzy G. Echenges d'intervales et transformations induites // Acta Arithmetica. -1978. -V. 34. -P. 315-328.

51. Rauzy G. Ensembles a restes bornes // Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984, -Bordo. -1984. -Expose 24.

52. Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull.Soc.Math.France. -1982. -V. 110. -P. 147-148.

53. Rauzy G. Une generalization du developpement en fraction continue // Seminaire Delange-Pisot-Poitou 1976/1977, Theorie des Nombres. -Paris. -1979. -Fasc. 1, Exp. no. 15,16.

54. Rivat J., Tenenbaum G. Constantes d'Erdos-Turan // The Ramanujan Journal. -2005. -V. 9. -P. 111-121.

55. Rudnick Z., Zaharescu A. The distribution of spacings between fractional parts of lacunary sequences // Forum Math. -2002. -V. 14. -P. 691-712.

56. Rudnick Z., Sarnak P., Zaharescu A. The distribution of spacings between fractional parts of n2a // Inventories Math. -2001. -V. 145. -P. 37-57.

57. Schmidt W.T. Irregularities of distribution VII // Acta Arithmetica. -1972. -V. 21. -P. 45-50.

58. Slater N.B. Gaps and steps for the sequence пв mod 1 // Proc.Cambridge Phil.Soc. -1967. -V. 63. -P. 1115-1123.

59. Sos V.T. On the distribution mod 1 of the sequence na // Ann.Univ.Sci.Budapest Eotvos, Sect.Math. -1958. -V. 1. -P. 127-134.

60. Shutov A.V. On the distribution of the two-colour shift values modulo one // Abstracts of the 5th International Algebraic Conference in Ukraine, Odessa, July 20-27, 2005. -Odessa. -2005. -P. 194.

61. Swierczkowski S. On successive settings of an arc on the circumference of a circle // Fundam.Math. -1958. -V. 46. -P. 187-189.

62. Sziisz R. Uber die Verteilung der Vielfachen einer Komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats // Acta Math.Acad.Sci.Hungar. -1954. -V. 5. -P. 35-39.

63. Troubetzkoy S., Schmeiling J. Interval translation maps // World Scientific. -2000. -P. 291-302.

64. Twarock R. Recurrence times in dynamical systems via a quasicristal approach // Phisics of Particles and Nuclei. -2002. -V. 33. -P. 114-117.

65. Weyl H. Uber die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene / / Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. -1910. -V. 30. -P. 377-407.

66. Zhuravlev V.G. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotations of a circle // Max-Plank-Institut fur Mathematik. Preprint Series. -2004. -V. 59. -P. 1-43.

67. Zhuravlev V.G., Shutov A.V. Derivatives of circle rotations and similarity of orbits // Max-Plank-Institut fur mathematik. Preprint Series. -2004. -V. 62. -P. 1-11.

68. Zorich A. Deviation for interval exchange transformation // Ergod.Th. and Dynam.Sys. -1995. -V. 15. -P. 1477-1499.