Асимптотическое распределение точек квазирешеток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

003452853

На правах рукописи

Красильщиков Василий Вячеславович

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК КВАЗИРЕШЕТОК

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003452853

На правах рукописи

Красильщиков Василий Вячеславович

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК КВАЗИРЕШЕТОК

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории чисел Владимирского государственного гуманитарного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Владимир Георгиевич Журавлев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сергей Геннадьевич Танкеев

кандидат физико-математических наук Николай Николаевич Мануйлов

Ведущая организация - Санкт-Петербургское отделение

математического института РАН им. В.А. Стеклова

Защита диссертации состоится 5 'декабря 2008 г. в_на заседании диссертационного совета Д.212.002.03 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144, аудитория 426.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Автореферат разослал jL ноября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационого совета С.И. Яблокова

Общая характеристика работы Актуальность темы

В теории чисел вместе с изучением периодических структур (прогрессий, решеток, периодических разбиений) активно исследуются непериодические структуры, в частности, квазипериодические структуры. Интенсивно развивается новое направление в теориии чисел, имеющее многочисленные приложения - теория одномерных квазипериодических разбиений. Характерным примером таких разбиений являются бесконечные разбиения Фибоначчи, впервые введенные N. de Brujin1 при рассмотрении задач теории квазикристаллов. Эти разбиения можно определить с помощью метода инфляции-дефляции, с помощью проектирования точек целочисленной решетки 1? на прямую у = т'лх, где г = — золотое сечение, с помощью рекуррентных соотношений, а также с помощью алгебраического метода2. Применение разбиений Фибоначчи к теории чисел берет свое начало в работе G. Rauzy3.

Последовательности Штурма — классический объект теории чисел. Если нулю из этой последовательности поставить в соответствие полуинтервал большей длины, а единице — полуинтервал меньшей длины, то получим одномерные квазипериодические разбиения, обобщающие разбиения Фибоначчи4. Последовательности Штурма определяются с помощью кодировок иррационального поворота окружности. Поэтому изучение данных разбиений тесно связано как с кодировками иррациональных поворотов окружности, так и задачей распределения дробных долей.

Г. Вейль5 доказал, что для иррационального а последовательность {na}%L0 равномерно распределена по модулю 1. В теории распределения дробных долей по модулю 1 многочисленные общие результаты были получены в монографии Н.М. Коробова6, а также в работах Г.И. Архипова, A.A. Карацубы7 и В.Н. Чубарикова8 при помощи метода тригонометрических сумм. При этом рассматривались быстро растущие последовательности (степенные, экспонен-

'De Brujin N.G. Sequences of zeros and ones generated by special production rules // Kon.Nederl.Acad.Wetensch.Proc. - 1982. - Ser.A. - V. 84. - P. 3S-52.

2Журавлев В.Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распределение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. - 2008. - Т. 20. - №3. - С. 18-46.

3Rauzy G. Echenges d'intervales et transformations induites // Acta Arithmetica. — 1978. — V. 34. — P. 315-328.

4Fogg N. Pytheas. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. - Springer, 2002.

5Вейль Г. Избранные труды. — M.: Наука, 1984.

6Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. — М.: Наука, 1989.

7Карацуба A.A. Дробные доли специального вида функций // Известия РАН, сер.матем. — 1995. — Т. 59.

- С. 61-88.

'Карацуба A.A., Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких

переменных // Математические заметки. — 1979. — Т. 25. — С. 3-14.

циальные)9'10, а медленно растущие линейные последовательности, кроме дробных долей {па}, изучались мало.

В 1921 году при изучении последовательностей {na}$£L0 Э. Гекке11 для произвольной иррациональности ввел класс множеств ограниченного остатка. Изучением этих множеств занимались А. Островский, П. Эрдеш, X. Кестен и другие математики. Было найдено12 необходимое и достаточное условие для интервалов ограниченного остатка. Первая оценка остаточного члена проблемы распределения дробных долей {na} была получена Э. Гекке. Существуют13,14'15 различные примеры улучшений этой оценки при некоторых a ah. A.B. Шутовым16 получены точные по порядку оценки остаточного члена для всех а и h. При этом точные значения максимума и минимума остаточного члена проблемы Гекке-Кестена распределения дробных долей {na} и алгоритм их вычисления найдены не были.

Вложение в n-мерные решетки решеток меньшей размерности — это классическая задача теории квадратичных форм17'18,19. Вложение решеток в решетки эквивалентно их вложению в периодические разбиения. При моделировании квазикристаллических конструкций возникает вопрос о вложении решеток в квазипериодические разбиения20. Но этот важный для теории чисел вопрос оставался открытым.

Цель работы

Целью работы является изучение распределения квазирешеток, а также получение приложений этих результатов к решению проблемы Гекке-Кестена распределения дробных долей {па}, к описанию теоретико-числового спектра и к

'Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. — М.; Наука, 1989. '"Постников А.Г. Избранные труды. — М.:Физматлит, 2005.

"Hecke Е. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math.Sem.Hamburg Univ.

- 1921. - V. 5. - P. 54-76.

12Kesten H. On a conjecture of Erdös and Szüsz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. — 1966. - V. 12. - P. 193-212.

13Журавлев В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Известия РАН, сер. матем. — 2007. — Т. 71. — №2.

- С. 287-321.

14Мануйлов H.H. Число попаданий точек последовательности {птд} в полуинтервал // Чебышевский сборник. - 2004. - Т. 5. - Вып. 3. - С. 72-81.

15Шутов A.B. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. — 2004. — Т. 5. — Вып. 3. — С. 112-121.

18Шутов A.B. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей па на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. — 2007. — №7. — С. 168-175.

17Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.

18Венков Б.А. Элементарная теория чисел. - М, 1937.

13Журавлев В.Г. Вложение р-элементарных решеток // Изв. РАН. Сер. матем. — 1999. — Т. 63. — №1. — С. 77-106.

s0Baake М., Joseph D., Kramer Р., Schlottmann M. Root lattices and quasicrystals// J. Phys. A: Math. Gen.

- 1990. - V. 23. - P. 1037-1041.

изучению вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения. Научная новизна

В диссертации вводится новый класс одномерных квазипериодических разбиений, обобщающих разбиения Фибоначчи. Впервые изучено вложение решеток (арифметических прогрессий) в одномерные квазипериодические разбиения. Получено полное описание сильно и слабо вкладывающихся решеток. В случае некоторых иррациональностей (классические разбиения Фибоначчи, разбиения, порождаемые четно-фибоначчевыми числами и др.) вычислены основные характеристики сильно и слабо вкладывающихся решеток.

Для случая интервалов рассматриваемых одномерных квазипериодических разбиений получены явные формулы и алгоритм вычисления точных значений максимума и минимума остаточного члена проблемы Гекке-Кестена распределения дробных долей {па}, оценена вычислительная сложность этого алгоритма. Изучены соответствующие верхние и нижние грани, как функции иррационального а.

Получено описание теоретико-числового спектра квазирешеток в случае некоторых иррациональностей. Найдены необходимое и достаточное условия принадлежности действительных чисел спектру квазирешеток.

Вычислены для квазирешеток значения функции распределения по произвольному модулю.

Основные методы исследования

В диссертации используются следующие методы: метод параметризаций одномерных квазипериодических разбиений, который позволяет исследование одномерных квазипериодических структур связать с арифметикой иррационального поворота окружности; метод вложения решеток; методы аналитической теории чисел.

Теоретическая и практическая ценность работы

Полученные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы в теории чисел, теории квазикристаллов. Могут применяться в научных исследованиях, проводимых в МГУ, Санкт-Петербургском отделении МИ РАН им. В.А. Стеклова, Хабаровском отделении Института прикладной математики ДВО РАН, ТГПУ, ВГГУ.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на XVII Международной летней школе-семинаре "Волга - 17'05" по современным проблемам теоретической и математической физики (Петровские чтения) (Казань, 2005 г.), XIII

Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2006 г.), XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006 г.), Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию проф. В.Е. Воскресенского (Самара, 2007 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (2006-2007 гг., секция "Алгебра и теория чисел"), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по теории чисел ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Г. Журавлева.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[9], в том числе одна работа — в журнале из перечня ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих 13 параграфов и списка литературы из 61 наименования, включая работы автора. Объем диссертации составляет 126 страниц машинописного текста.

Во введении обосновывается актуальность и указывается степень разработанности проблемы, формулируется цель исследования и указываются основные результаты диссертации.

В первой главе диссертации изучается вопрос о сильном вложении решеток в разбиения ТИ00(а, 1\, /2), порождаемые квазирешетками. Пусть решетка — арифметическая прогрессия вида Ь — {Но + пНь}, где п = 0,1,2,.... Будем говорить, что решетка Ь сильно вкладывается в разбиение ТИж(а, /ь 1г), если каждый интервал разбиения содержит единственную точку решетки Ь.

В первом параграфе определяются одномерные квазипериодические разбиения ТИ^а, 1\, ¿2), состоящие из интервалов двух типов, порождаемые квазирешеткой {х^} на положительном действительном луче. Пусть Д = [0; ¡3) и ¡2 = [/3; 1). Тогда квазирешетка {х^} определяется по правилу:

Краткое содержание работы

где (■) - дробная доля.

Также первый параграф посвящен изучению основных свойств и характеристик сильно вкладывающихся в разбиения Тгloo(<x,h,h) решеток для случая произвольного (3, определяющего квазирешетку [х^}. В теореме 1.1 доказано, что если решетка L = {/го + пкь} сильно вкладывается в разбиение TUоо(а, h, h), то

hL = hP + h(l-ff). (1)

Из этого следует, что решетка, которая сильно вкладывается в разбиение, единственна с точностью до параллельного переноса.

В предложении 1.4 получено необходимое условие сильного вложения решеток, в котором описаны допустимые границы нулевого члена ho арифметической прогрессии (решетки).

Пусть функция N(a, п, I) определяет количество точек последовательности (ia), попадающих в интервал I:

N(a, п, I) = #{г : 0 < г < п, {ia) е I}.

Величина r(a,n, I), называемая остаточным членом проблемы равномерного распределения дробных долей, определяется по формуле:

r(a,n,I) = N(a,n,I) — n\I\.

В теореме 1.4 доказано необходимое и достаточное условие сильного вложения решеток. Пусть rf = sup„i{ntt)6/l r{a,n,h),r^ = mfn,(na)e/l r{a,n, h), r+ = suPn,(na)e/2 r(a>nJi)>r2 = infn,(na)eh r(a,n, II). Определим функции li, если h> h, ^ _f h, если l\ < I2, k, если k> h И mM ~ \ h, если h < l\. Теорема 1.4. Решетка L сильно вкладывается в разбиение Til^aJi,^) тогда и только тогда, когда выполняются три условия. 1. При li > I2: 1) r+-rf< —lj-

Imax lm

' " и *тах 1п1

3) rt - r2~ < jzztnz, гели гГ > г2-;

4 - rï < Нч

пах lm»n

2. При 12 >Х'

1) г1+-г1-<г4Г

2) 4 - г>Г < г-^г

*таг *го»п

3) 4 -r{ < и если г+ <

г,+ — Г, < 7-1-2-,—, если г? < г?.

Данная теорема позволяет получить необходимые и достаточные условия сильной вложимости решетки Ь в разбиение ТИ^а, 1\) /2) при любых частных значениях /3 € аЪ + 2, если известны оценки для г(а, га, Д).

В теоремах 1.5, 1.10 и 1.11 доказан ряд достаточных условий сильного вложения решеток.

Также в теореме 1.2 первого параграфа доказано, что если /3 $ аЪ + 2, то при любых /1 и ¿2 не существует сильно вкладывающейся решетки.

Второй параграф первой главы диссертации посвящен описанию свойств сильно вкладывающихся решеток для частного случая разбиений ТИ^а, 1\, ¿2), когда /3 = 1 — а. Здесь также в теоремах 1.15 и 1.16 получено описание сильно вкладывающихся решеток соответственно в разбиения, порождаемые четно-фибоначчевыми числами и в классические разбиения Фибоначчи.

В третьем и четвертом параграфах первой главы диссертации рассмотрены сильно вкладывающиеся решетки в частных случаях разбиений ТИ^а,^,^), когда /3 = (2а) и /3 = (За).

Вторая глава диссертации посвящена изучению вопроса о слабом вложении решеток. Будем говорить, что решетка Ь слабо вкладывается в разбиение Тг/оо(а, ¿1, ¿2)1 если каждый длинный интервал разбиения содержит единственную точку решетки Ь, а короткие интервалы разбиения не содержат точек решетки Ь.

В параграфе 1 получены основные свойства и характеристики слабо вкладывающихся в разбиения Гг^00(а, /х,^) решеток для случая произвольного /3. В теореме 2.1 доказано, что если решетка Ь слабо вкладывается в разбиение Т^оо(а, /х, Ь), то /гх, представимо в виде

Ьь =-д-,

где Д = [к > У/3 + [12 > 4(1 - /3), причем [я >!/] = { £ В

теореме 2.2 описаны допустимые границы нулевого члена прогрессии (решетки) /¿о. Доказано необходимое и достаточное условие слабого вложения решеток.

Теорема 2.3. Решетка Ь слабо вкладывается в разбиение ТИ^а,^,^) тогда и только тогда, когда

вир г (а, п, /х) — 1^г(а,п,11) < ДА, где А =

^тах

Данная теорема позволяет получить необходимые и достаточные условия слабой вложимости решетки Ь в разбиение Тг[эо(а, /2) при любых частных

значениях ¡3, если известны оценки для остатка г(а,п,Д). В теоремах 2.4, 2.5 и 2.6 доказан ряд достаточных условий слабого вложения решеток.

Второй параграф второй главы диссертации посвящен описанию свойств слабо вкладывающихся решеток для частных случаев разбиений ТИх(а, ¿1, классических разбиений Фибоначчи, разбиений, порождаемых четно-фибонач-чевыми числами, случаев, когда ¡3 = 1 — а, ¡3 = (2а), [3 = (За).

В третьей главе диссертации получены точные значения максимума и минимума остаточного члена проблемы распределения дробных долей г(а,тг, Д).

В первом параграфе приводятся некоторые свойства функций кусочно-линейных на отрезке [0;1], поскольку в основу исследования функции г(а,п,1{) были положены понятие и свойства кусочно-линейных на отрезке [0; 1] функций.

Во втором параграфе кусочно-линейная на отрезке [0; 1] функция г(а, п, 1\) рассматривается как функция от (па). В предложениях 3.4 и 3.5 получены явные формулы для вычисления значений функций ЛГ(а,п, 1\) и г{а,п,1\) в случае, когда 1\ = [5; 5+ {та)). На их основе получены явные формулы для зир„?"(а,п,/1) и Ыпг{а,п,11).

Введем следующее обозначение:

т

Ст(а, х) = ]Р((г - 1)а + 5 - х).

г=1

Определим функции: (х)* = | С*т(а,х) = ££=1<(* - 1)а +

5 — х)*. Функция (х) — непрерывна слева, а функция (х)* — непрерывна справа в точках :го е Ъ. Функция Ст{а, х) — непрерывна слева, а функция С^(а, х) — непрерывна справа в точках я, = ((г - 1)а + <5). В теореме 3.1 получена точная формула для вычисления наибольшего значения функции г(а, п, Д).

Теорема 3.1. Справедливо следующее равенство:

Бирг(а, п, Д) = (та) + тах С^(а, {(] - 1)а + ¿)) - Ст(а,0).

„ ]=\.....га

В теореме 3.2 получен аналогичный результат для вычисления наименьшего значения функции г(а,п,1\).

Теорема 3.2. Справедливо следующее равенство:

Мг(а, п, 1{) = (та) + шш Ст(а, ((;' - 1)а + 5)) - Ст(а, 0).

п ¿=1,...,т

В случае, когда S — 0, то есть при h = [0, (та)), для функций, определенных следующим образом:

rf = sup ri(a,n),rî — inf r\{a,n), n,(na)e/i n,(na)e/i

rj = sup п(а,п),Г2 - inf ri(a,n) n,(na)eh n,(na)el2

получены точные значения.

Предложение 3.12. Справедливы следующие равенства:

ri = . „ max Q(a, (ja)) - Ст(а, 0),

гГ = . „ min Ст(а, (ja)) - Cm(a, 0),

3=0.....T7i:(ja)e[0;(ma)]

rt = . n max С* (a, (ja)) - Cm(a, 0), r2 = . „ pin Cm(a, (ja)) - Cm(a,0).

Точные формулы, полученные в теоремах 3.1, 3.2 и предложении 3.12, позволяют решить вопрос о сильной и слабой вложимости решеток в разбиения Tilж(а, li, I2) при любых ¡3 = (та), на основе необходимых и достаточных условий, полученных в теоремах 1.4, 2.3.

В предложениях 3.11 и 3.13 доказано, что существует алгоритм вычисления значений функций supnr(a,n,h), inf„r(a,тг, h), rf, rj и за O(m) операций.

В третьем параграфе г(а, п, Д) рассматривается как функция от а, получены оценки количества точек нелинейности функций supn г (а, п, Д) и infn r(a, n, Ii), как функций от аргумента а, где Ii = [<5; 6 + (та.)).

В четвертой главе диссертации исследуется теоретико-числовой спектр и распределение последовательности {х%} в случае, когда /3 — 1 — а (обозначим эту последовательность как {£„}), по произвольному модулю h такому, что

В первом параграфе четвертой главы приведены основные понятия и свойства равномерного распределения последовательности по произвольному модулю h, полученные на основе классических результатов Г. Вейля для равномер-

ного распределения по модулю I21-22'23. Обозначим через Еь интервал если Е = [а, Ь). Очевидно, что ¡Е^ = Обозначим целую часть по модулю Л, как [х]л = /¡.[|]. Определим символ (х)к, как единственное число у, удовлетворяющее двум условиям: 1) 0 < у < Л, 2) у = х(тос1 Ь). Другими словами (х)к = х - [х]ь. Введем функцию ^(Е^п, {хп})\

Л/л(Ял,п, {®п}) = Ц{0 < г < п : (х{)к е Ек).

Последовательность {хп} равномерно распределена по модулю Л, если для любой пары действительных чисел а и Ь, удовлетворяющих условию 0 < а < Ь < Л, имеем

ЯЛ([а,6),п, {хп}) = Ъ^а = |Е\

п~> оо П /1/1

В параграфе 3 рассматривается последовательность {хп} по модулю к вида/г = 1^)а+ка' где I и к — произвольные целые числа, удовлетворяющие условию к2 + 12 ф 0. Для описания неравномерности распределения последовательности по такому модулю вводится функция распределения и{е) при ко > 0: ^ + ™п{е, <Ло>Л»> и при Ь0 < 0: и{е) = щ([|й0|]л£ + шах{0, е -

(к — (|Ло|)л)}), где ко = (¿^а+к■ ® теоремах 4.7 и 4.8 дается описание распределения последовательности {з;„} по модулю к с помощью данной функции.

Теорема 4.7. Пусть к0 > 0. Тогда

М - / + 1), есл" г € [0; (Ло)А),

т I + <Ло)к), если £ б [<Ло>А; к).

Теорема 4.8. Пусть ко < 0. Тогда

м _ J itl^oOh, если е е [0; Л - (|Ло|>А),

~ I + 1) - h + (\hü\)h), если ее [к- fl/iolV, h).

Данные теоремы показывают, что интервал [0;Л) разбивается точкой (|/io|)A на два подинтервала, на каждом из которых рассматриваемое распределение равномерно. В частном случае, когда |/io| = h, рассматриваемое распределение

21Weyl Н. Über die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. - 1910. - V. 30. - P. 377-407.

22Вейль Г. О равномерном распределении чисел по модулю 1 // Вейль Г. Избранные труды. - М.: Наука, 1984. - С. 58 - 93.

23Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

равномерно на всем интервале [0;h). В случае, когда ho > 0 и ho < h точки квазирешетки {хп} распределены равномерно и сосредоточены лишь на интервале [0;/io); когда ho < 0 и \ho\ < h точки квазирешетки {хп} распределены равномерно и сосредоточены только на интервале [h — |/iq|; h).

В предложениях 4.18 и 4.19 дано интегральное представление функции распределения v{e).

В параграфе 2 четвертой главы вводится понятие множества Spec — теоретико-числового спектра одномерного квазипериодического разбиения. Получены некоторые свойства множеств Spec и Spec*. Определим последовательность {Уп} соотношениями

У-1 = О,

_ / (Уп + h)h, если (па) € [0; 1 - а), Уп+1 1 (Уп + k)h, если (па) € [1 - а; 1). Отметим, что уп = (xn)h. _

Рассмотрим множество Y(h) такое, что Y(h) = {уп}, где черта обозначает замыкание множества. Очевидно, что Y(h) С [0; h). Обозначим множество Ye(h) = [0,е). Будем говорить, что h 6 Spec, если выполняется условие Y(h) Ф [0; К). В предложении 4.8 доказано, что если h € Spec, то и mh € Spec при любом целом т.

Будем говорить, что h & Spec*, если последовательность {жп} не является равномерно распределенной по модулю h. Очевидно, что Spec С Spec*. В следствии 4.2 показано, что почти все действительные h $ Spec*.

В.Г. Журавлевым24 был изучен дифракционный спектр четно-фибоначчевых чисел. В диссертации рассматривается более широкий класс последовательностей. Дифракционным спектром DiffSpec последовательности {хп} будем называть максимальное подмножество X из множества действительных чисел Ж, для которого выполняется условие для всех А € X

1 п

/(Л) = lim — У схр(2/тгх,'А) ^ 0.

п—>оо Tt.

П—>00 П

i

Используя методы, примененные В.Г. Журавлевым для четно-фибоначчевых чисел, в теореме 4.6 получено описание всех действительных чисел h из множеств Spec и Spec*.

Теорема 4.6. Если h е Spec*, то h можно представить в виде

¿i(l - а) + ha

h = ra-

il — к)а + к

24Журавлев В.Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распределение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. - 2008. - Т. 20. - №3. - С. 18-46.

где m,l,k — произвольные целые числа, удовлетворяющие условию к2+12 Ф 0.

В четвертом параграфе на основе свойств функции распределения v{e) последовательности {хп} по произвольному модулю h, исследованных в параграфе 3, получены в теоремах 4.9 и 4.10 достаточные условия попадания действительного числа h во множества Spec и Spec*. Теорема 4.9. Если выполняется условие

Д = |lxl - l2k\ < h{l - а) + 12а,

где 1,к — произвольные целые числа такие, что k2 + I2 ф 0, то при любом целом т, отличном от нуля, действительное число

, h(l~a) + l2a

h = т—~—-т-—

(I -к)а + к

принадлеокит множеству Spec.

Теорема 4.10. Если выполняется условие

& = \hl-l2k\ ф h(l - а) + 12а,

где 1,к — произвольные целые числа такие, что k2 + I2 ф 0, то при любом целом т, отличном от нуля, действительное число

. li(l-a) + ha п = т—г,—,■■

(/ — к)а + к

принадлежит множеству Spec*.

В заключение, автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Журавлеву за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Получено полное описание сильно и слабо вкладывающихся решеток в одномерные квазипериодические разбиения.

2. Вычислены основные характеристики сильно и слабо вкладывающихся решеток для некоторых иррациональностей.

3. Получены точные значения и алгоритм вычисления максимума и минимума остаточного члена проблемы Гекке-Кестена распределения дробных долей {па}. Оценена вычислительная сложность этого алгоритма. Изучены соответствующие верхние и нижние грани, как функции иррационального а.

4. Изучен теоретико-числовой спектр квазирешеток в случае некоторых иррациональностей .

5. Вычислены значения функции распределения квазирешетки по произвольному модулю.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, включенных в перечень ВАК

[1] Красильщиков, В.В. Некоторые вопросы вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения / В.В. Красильщиков, A.B. Шутов // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. — 2007. — №7. — С. 84-91.

Другие публикации

[2] Красильщиков, В.В. Одномерные квазикристаллы: аппроксимация периодическими структурам и вложение решеток / В.В. Красильщиков, A.B. Шутов // Новейшие проблемы теории поля (Труды XVII Международной летней школы-семинара "Волга - 17'05" по современным проблемам теоретической и математической физики (Петровские чтения)). — Казань: Изд-во КГУ, 2006. - Т. 5. - С. 145-154.

[3] Красильщиков, В.В. Одномерные квазипериодические разбиения: вложение решеток / В.В. Красильщиков // Сборник трудов молодых ученых ВГПУ. - Владимир: Нерль, 2006. - Вып. 6.- С. 89.

[4] Красильщиков, В. В. О распределении некоторой последовательности по переменному модулю / В.В. Красильщиков, A.B. Шутов // Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". - Москва: Изд-во МГУ, 2006. - Т. IV. - С. 85-86.

[5] Красильщиков, В.В. О распределении последовательности по переменному модулю / В.В. Красильщиков, A.B. Шутов // Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ.

— Москва: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2006. - С. 90-93.

[6] Красильщиков, В.В. Об одном классе прогрессий, вкладывающихся в одномерные квазипериодические разбиения / В.В. Красильщиков // Чебы-шевский сборник. - 2006. - Т. 7. - Вып. 1. - С. 239-245.

[7] Красильщиков, В.В. Вложение решеток в квазипериодические решетки / В.В. Красильщиков, A.B. Шутов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сборник научных трудов. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2007. — Вып. 4.

- С. 45-55.

.[8] Красильщиков, В.В. Вложение решеток в одномерные квазипериодические разбиения / В.В. Красильщиков // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара, Россия, 21-25 мая, 2007: тез. докл. — Самара: Изд-во "Универс групп", 2007. - С. 30-31.

[9] Красильщиков, В.В. .О некоторых свойствах одномерных квазипериодических разбиений / В.В. Красильщиков // Инновационные методы и технологии в кооперативном образовании: материалы научной конференции профессорско-преподавательского состава, сотрудников и аспирантов кооперативных вузов России. — Владимир: ВФ РУК, 2008. — С. 78-80.

Подписано в печать Усл. печ. л. 1,0 Заказ- О В

Формат 60x84 1/16 Уч. изд. л. 1,0 Тираж 100

Отпечатано с готового оригинал-макета в отделе оперативной полиграфии ВГГУ, 600024, г.Владимир, ул. Университетская, 2

Введение

1 Сильное вложение решеток

§1 Основные определения и свойства. Общий случай произвольного Р.

§2 Случай /?= 1 -а.

§3 Случай Р = (2а).

§4 Случай Р = (За).

2 Слабое вложение решеток

§1 Общий случай. Основные определения и свойства.

§2 Частные случаи.

3 Описание и оценки остаточного члена проблемы распределения дробных долей

§1 Основные определения кусочно-линейных функций.

§2 Свойства функции г(а,п, Д)

§3 Поведение г (а, п, Д), как функции от а.

4 Спектр и распределение квазирешеток по произвольному модулю

§1 Основные определения и теоремы равномерного распределения по произвольному модулю.

§2 Некоторые свойства спектра.

§3 Описание функции распределения.

Диссертация посвящена изучению основных теоретико-числовых характеристик одномерных квазипериодических разбиений и их приложений к теории чисел.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Изучено вложение решеток (арифметических прогрессий) в одномерные квазипериодические разбиения. Получено полное описание сильно и слабо вкладывающихся решеток.

2. Вычислены основные характеристики сильно и слабо вкладывающихся решеток для некоторых иррациональностей.

3. Получены точные значения и алгоритм вычисления максимума и минимума остаточного члена проблемы Гекке-Кестена распределения дробных долей {па}. Оценена сложность этого алгоритма. Остаточный член изучен как функция аргумента а.

4. Изучен теоретико-числовой спектр квазирешеток в случае некоторых иррациональностей.

5. Вычислены значения функции распределения квазирешеток по произвольному модулю.

Существует несколько способов построения квазипериодических разбиений [33], [60], [1], в том числе разработанные Н. де Брейном [38]. Эти подходы основаны на сечении периодических разбиений п - мерного пространства плоскостями меньшей размерности - метод проекции (cut and project method) [48]. Эти разбиения можно также определить с помощью пересечения луча у = ах с иррациональным углом наклона а и целочисленной решетки Z2 [42]. В результате получают бесконечное слово из нулей и единиц — последовательность Штурма — по правилу: 0, если луч у = ах пересекает вертикальную линию целочисленной решетки; 1, если ЛУЧ у — ах пересекает горизонтальную линию целочисленной решетки. Если поставить в соответствие нулю из этого слова интервал длины 1\, а единице — I2, то получим одномерное квазипериодическое разбиение луча на интервалы двух типов. Данная конструкция эквивалентна следующей [42]. Определим последовательность {а;п} по следующему правилу: 1) =0,2) переход от хп-\ к хп осуществляется по формуле: где (•) — дробная доля, а — некоторая иррациональность. Последовательность {хп} порождает на положительном действительном луче одномерное квазипериодическое разбиение. Саму же последовательность {жп} будем называть квазирешеткой.

Таким образом одномерное квазипериодическое разбиение можно определить с помощью кодирующей последовательности. Понятие кодирующей последовательности отображения было введено G.Rauzy в работах [54] —[58]. Обозначим Т — отображение в себя единичного полуинтервала 1° — [0; 1), Р = {/о, • • •, Ik-1} — разбиение полуинтервала 1° на к интервалов, х — точка из 1°. Кодирующая последовательность {sn} отображения Т определяется равенством sn = i, если Тп(х) G Ii. В частности, если отображение Т — поворот окружности: Т : х —» х + a (mod 1), то обычно выбирают /о = [0; 1 — а) и 1г = [1 — а; 1). Представители xn-i + а, если (па) G [0; 1 — а), xn-i + 1 — а, если (па) G [1 — а; 1). французской теоретико-числовой школы Rauzy, Ferenczi, Arnoux, Berthe и др. в работах [54], [34], [35], [36] показали, что многие свойства иррационального поворота окружности можно описать пользуясь терминами его кодирующей последовательности.

Отметим характеристическое свойство кодирующих последовательностей {sn} в случае иррационального поворота окружности [35],[42].

Последовательность {sn} является кодирующей последовательностью некоторого иррационального поворота окружности тогда и только тогда, когда для любого т G N число различных подслое длины т последовательности Ю равно т+1.

Последовательности {sn}, удовлетворяющие этому свойству, называются последовательностями Штурма, введенными G. Hedlund и М. Morse в 1940 году.

В случае, когда а = т-1, где г = 1+2V^ — золотое сечение, кодирующая последовательность является последовательностью Фибоначчи, открытой М.Морсом [49].

Известно несколько способов определения последовательности Фибоначчи [42].

1. Как единственное слово, начинающееся с нуля и являющееся неподвижной точкой подстановки

0->01,1->0. (1)

2. Как слово, начинающееся с символов 01 и удовлетворящее рекуррентному соотношению wn+2 = wn+\Wn, где wn — первые Fn символов последовательности Фибоначчи и Fn — n-ое число Фибоначчи, определяемое рекуррентным соотношением Fn+2 = Fn+1 + Fn и начальными условиями Fq = F\ = 1.

3. n-ый символ последовательности Фибоначчи есть коэффициент при Fo в разложении п в фибоначчиеву систему счисления.

Последовательность Фибоначчи имеет многочисленные приложения к теории чисел, фрактальной геометрии, теории формальных языков, теории сложности вычислений, квазикристаллам [42].

В последние годы были найдены применения общих последовательностей Штурма к анализу сигналов, теории автоматов и диофантовым приближениям [42].

В работах [38],[39] N. de Brujin ввел разбиения Фибоначчи Tilm{r~l), которые являются геометрическим обобщением последовательности Фибоначчи.

В работе [60] В.Г. Журавлев ввел понятие В -оператора и на его основе предложил альтернативный подход к определению разбиений Фибоначчи. В своих работах [3] — [5] на основе этого подхода им были вычислены основные инварианты разбиения Тг/т(т-1) и получены многочисленные приложения к изучению отображения х —» х + г (mod 1).

В.Г. Журавлевым была сформулирована задача получения аналогичных результатов для других иррациональностей. В работах [21] - [24] Н.Н. Мануйлов обобщил результаты В.Г. Журавлева на случай а — тд, где разложение тд в цепную дробь имеет вид тд = [0; (д)] (в круглых скобках записан период разложения в цепную дробь). А.В. Шутов в работах [25] — [30] получил обобщение результатов В.Г. Журавлева в случае произвольного иррационального а.

В диссертации рассмотривается более общий случай таких разбиений. Последовательность {xffl} определяется по правилу: 1) x^fl =0,2) переход от ! к осуществляется по формуле: I 4-1 + если (па) <Е [0;/?), Хп — \ hi если {па) € [/?; 1), где (•) — дробная доля, а — некоторая иррациональность, ~ произвольные действительные числа.

Последовательность {х^} порождает на положительном действительном луче разбиение Til, состоящее из интервалов двух типов. На рисунке 1 изображен пример такого разбиения для случая, когда к>12н—н 0

Рис. 1. Разбиение Til^a, Zi, , h > I2

В главе 1 диссертации изучается вопрос о сильном вложении решеток в разбиения Til^a, U). Пусть решетка — арифметическая прогрессия вида L = {ho+nhb}, где п — 0,1,2,---- Будем говорить, что решетка

L сильно вкладывается в разбиение TilOQ(a, 12), если каждый интервал разбиения содержит единственную точку решетки L.

Параграф §1 посвящен изучению основных свойств и характеристик сильно вкладывающихся в разбиения Til^a^li,^) решеток для случая произвольного /3, определяющего последовательность {ж^} . В теореме 1.1 доказано, что если решетка L = {/г0 + пКь} сильно вкладывается в разбиение Til^a, 12), то hL = h(3 + l2(l-l3). (2)

Из этого следует, что решетка, которая сильно вкладывается в разбиение Тг1оо(а, /1, 12), единственна с точностью до параллельного переноса.

Пусть функция N(a, n, I) определяет количество точек последовательности (га), попадающих в интервал I:

N(a, п, I) = #{г : 0 < г < п, (га) € /}.

Остаток r(a, n, I) определяется по формуле: г(а, п, /) = iV(a, n, I) — п\1\.

Пусть Д = [0;/?) и Д = [/?; 1), тогда г(а,та, Д) = iV(a,n, Д) — та/?, г(а, п, Д) = N(a,n, Д) — п(1 — /?), где /3 — доля интервалов длины Zi, а 1 — /? — доля интервалов длины /2 во всем разбиении TiZ^a, Zi, Д).

В предложении 1.4 получено необходимое условие сильного вложения решеток, в котором описаны допустимые границы нулевого члена прогрессии (решетки) /г0. В теореме 1.4 доказано необходимое и достаточное условие сильного вложения решеток. Пусть rf = supn (na)e/l r(a,n, Ji),rf = inf^^)^ r(a, n, Д), г? = supn;(na)e/2 r(a, та, Д), rj = infnj(„a)6/2 r(a, n, Д).

Определим функции

Zi, если h > h, Z2, если Z2 > Zi и

Im.in

Zi, если Zi < Z2, Z2, если l2 < h

Теорема 1.4. Решетка L сильно вкладывается в разбиение ТИоо(а, Zi, Z2) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия.

1. При Zi > I2:

1) г+ - гГ < j—; х А ■*■ tniax 1тгп

2) r J - r J < -^-; hnax 'mm rf — rvT < т—Ц— , если r7 > Го ;

7 А ^ tmax — lmin 7 1 z rt — г-1 < т—Ц— , ес./ш Го > гЛ . л 1 'max brain л х

2. При h > h -1) г+ - гГ < г

J. л. Ir

Imax lmin

2) г+ - г2- <-ь

Imax — пгп 7

3) rt — гГ < т—Ц— , если rt < rt;

J * 1 Imax — lmm ' 1 z ' rt — r«7 < —— , если rt < rt. х л imaa; *min ^

Данная теорема позволяет получить необходимые и достаточные условия сильной вложимости решетки L в разбиение TU^a^li,^) при любых частных значениях /3 G aL + Z, если известны оценки для г(а, п, 1г).

В теоремах 1.5, 1.10 и 1.11 доказан ряд достаточных условий сильного вложения решеток.

На основе результатов Э. Гекке [45], X. Кестена [46] и А. Островского [51], связанных с оценкой остаточного члена проблемы распределения дробных долей г(а,п, Д), в теореме 1.2 доказано, что если [3 £ olL 4- Z, то при любых Zi и U не существует сильно вкладывающейся решетки.

В главе 2 диссертации изучается вопрос о слабом вложении решеток. Будем говорить, что решетка L слабо вкладывается в разбиение Til0Q(a, li, /2), если 1) каждый длинный интервал разбиения содержит единственную точку решетки L; 2) короткие интервалы разбиения не содержат точек решетки L.

В параграфе §1 получены основные свойства и характеристики слабо вкладывающихся в разбиения Til^a, Zx, h) решеток для случая произвольного (3. В теореме 2.1 доказано, что если решетка L слабо вкладывается в разбиение Тй^а,^,^), то hi представимо в виде hP + h( 1-Р) hL А

1, если х > у, где Д = [h > l2}j3+[l2 > h](l~P), причем [a; > у]

О, если х < у.

В теореме 2.2 описаны допустимые границы нулевого члена прогрессии (решетки) ho . Доказано необходимое и достаточное условие слабого вложения решеток.

Теорема 2.3. Решетка L слабо вкладывается в разбиение Tilooictihih) тогда и только тогда, когда

777 П.СГ. sup r(a, п, Ii) — inf r(a, п, I\) < АЛ, где А =

1г

Данная теорема позволяет получить необходимые и достаточные условия слабой вложимости решетки L в разбиение Til^ia^liJ^) при любых частных значениях (3, если известны оценки для остатка г (а, п, Ii). В теоремах 2.4, 2.5 и 2.6 доказан ряд достаточных условий слабого вложения решеток.

Параграфы §2 — §4 главы 1 и параграф §2 главы 2 диссертации посвящены описанию свойств соответственно сильно и слабо вкладывающихся решеток для частных случаев разбиений ТИоо(а, 1,2): классических разбиений Фибоначчи, разбиений, порождаемых четно-фибоначчевыми числами, случаев, когда (3 = 1 — а, (3 = (2а), (3 = (За).

В главе 3 диссертации получены точные значения и алгоритм вычисления максимума и минимума остаточного члена г(а, п, Д) проблемы Гекке-Кестена распределения дробных долей {па} . Оценена сложность этого алгоритма. Остаточный член изучен как функция аргумента а.

Рассмортим величины

N(a, а, п, I) = : 0 < i < п, (га + а) <Е /}, г (а, о, n, I) = N(a, а, п, /) — п|/|.

Величина r(a,a,n, I) называется остаточным членом в проблеме равномерного распределения дробных долей (па).

Известно, что в общем случае остаточный член улучшить нельзя. В работе [45] Э. Гекке поставил задачу нахождения интервалов I, для которых остаточный член r(a, а, п, I) принимает наименьшее значение. Им было введено понятие интервала ограниченного остатка, то есть интервала I, для которого sup jr(а, а, n, I) | < оо. ne N

Сам Э. Гекке на основе полученной им точной формулы для остаточного члена доказал, что при |/| € aZ + Z справедливо неравенство г(а, а, п, /)| < (3) где h(I) — единственное целое число, которое удовлетворяет условию |/| — h(I)a € Z. Другое доказательство оценки (3) было получено А. Островским [51] на основе введенной им системы счисления. Особенность оценки Э.Гекке (3) состоит в том, что она не учитывает структуру полуинтервала и арифметику иррационального а. Вследствие чего, константа в оценке Гекке стремится к бесконечности |/г(/)| —> оо при бесконечном уменьшении длины полуинтервала |/| —> 0.

В работе [46] H.Kesten доказал, что интервал I является интервалом ограниченного остатка тогда и только тогда, когда |/| £ aZ + Z. Впоследствии в работах [43],[50],[52] были получены и другие доказательства этого результата.

Рассмотрим величину r(a,h)= sup sup |r(a, а,п,/)|.

I:\I\€aZ+Z,\h(I)\=h a,n

Тогда оценка (3) перепишется в следующем виде r(a, К) < h. (4)

Кестен предположил, что данная оценка может быть существенно улучшена. Н.Н. Мануйлов в работе [24] улучшил оценку (4) в случае, когда а = тд — квадратичные числа Пизо, являющиеся корнями уравнений х2 — дх — 1 = 0. Особенность оценок Н.Н. Мануйлова состоит в том, что границы для остатка не стремятся к бесконечности при уменьшении длины интервала. Различные примеры подобных улучшений при некоторых а и h приводятся в работах [5], [26].

А.В. Шутовым в работе [32] получены точные по порядку оценки r(a, h) для всех а и h.

В диссертации в основу исследования функции r(a,n, Ii) были положены понятие и свойства кусочно-линейных на отрезке [0; 1] функций. Определенная на отрезке [0; 1] функция f(x) называется кусочно-линейной, если отрезок [0; 1] разбивается на конечное число интервалов, на каждом из которых функция f(x) линейна. Точка называется точкой нелинейности кусочно-линейной функции f(x), определенной на отрезке [0; 1], если либо функция в точке Xq терпит разрыв 1-го рода, то есть lim f(x) ф lim f(x), либо производная f'(x) в точке xq не является непрерывной.

В параграфе §1 приводятся некоторые свойства функций кусочно-линейных на отрезке [0; 1].

В параграфе §2 кусочно-линейная на отрезке [0; 1] функция r(a, п, Д) рассматривается как функция от (па). В предложениях 3.4 и 3.5 получены явные формулы для вычисления значений функций N(a,n, Д) и г (a, n,Ii) в случае, когда Д — J+ (та)). На их основе получены явные формулы для supn г(а, п, Д) и infn г(а, п, Д).

Введем следующее обозначение:

Функция (х) — непрерывна слева, а функция (х)* — непрерывна справа в точках xq £ Z. Функция Ст(а,х) — непрерывна слева, а функция C^(a, х) — непрерывна справа в точках Xi = ((г — 1)о; + £).

В теореме 3.1 получена точная формула для вычисления наибольшего значения функции г(ск, п, Д).

Теорема 3.1. Имеет место следующее равенство: supr(a, п, Д) = (та) + max С^(а, ((j — 1)а + 6)) — Ст(а, 0). n j=l,.,m

В теореме 3.2 получен аналогичный результат для вычисления наименьшего значения функции г(а, п, Д).

В случае, когда 5 = 0, то есть при Д = [0, (та)), для функций, определенных следующим образом: г= sup r(a, п, Ji), rjf = inf r(o;,n, Д), n,{na)eh n, (па) Eli m

Определим функции: m r2 = sup r(a, n, ii), r2 = inf r(a,n,Ii) n,(na)El-2 " n,(na)<Zl2 получены точные значения.

Предложение 3.12. Имеют место следующие равенства: ri=.n ^ гп , u ст(<*> tia)) ~ 0), j=0,.,m-l:Oa)e[0;(ma)J

Г1 = ■ п W г , х, О'а» - Ст{а, 0), j=0,.,m:Oa)€[0;(ma)J r2 = . п max С^(а, (ja)) - Cm(a, 0), = ■ n Р/Ч г/ ч „ ^(q;, (ja)) - Cm(or, 0).

Точные формулы, полученные в теоремах 3.1, 3.2 и предложении 3.12 позволяют решить вопрос о сильной и слабой вложимости решеток в разбиения ТИоо(а, h, 12) при любых (3 = (та), на основе необходимых и достаточных условий, полученных в теоремах 1.4, 2.3.

В предложениях 3.11 и 3.13 доказано, что существует алгоритм вычисления значений функций sup„ r(a, п, I\), infnr(a,n, Ii), rf , , r2 и r2 за О (га) операций.

В параграфе §3 r(a, n, It) рассматривается как функция от а, получены оценки количества точек нелинейности функций supn r(a, n, It) и infn г (a, п, Ii), как функций от аргумента а, где 1\ — [£; 5 + (та)).

В главе 4 диссертации исследуется теоретико-числовой спектр и распределение последовательности {х^} в случае, когда (3 = 1—а (обозначим эту последовательность как {хп}), по произвольному модулю h такому, что i(l - а) + l2a 2 2 / п h = ^ + к , гдс1,ке%, к +Z ^0.

Пусть задана последовательность действительных чисел {хп} , где п — 0,1, 2,Определим подмножество Е: i? = [a, 6) С / С [0,1). Введем функцию N(E,n, {хп}), определяющую число точек последовательности {(жп)} , попадающих в интервал Е :

N(E,n, {хп}) = }}{0 < г < п : (Xi) £ Е}.

Последовательность {жп} называется равномерно распределенной по модулю 1 (сокращенно p.p. мод 1), если для любой пары а, Ъ действительных чисел, для которых 0 < а < b < 1, имеем п—>оо ТЬ

Исследование последовательностей, равномерно распределенных по модулю 1, начал Г. Вейль в работах [2],[61]. Им было сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие равномерной распределенности числовой последовательности по модулю 1 — критерий Вейля. Н.М. Коробовым [11], А.А. Карацубой, Г.И. Архиповым и В.Н. Чубариковым [7]-[9], а также в книгах [10], [40] были получены многочисленные общие результаты о распределении последовательностей по модулю 1.

В параграфе §1 главы 4 приведены основные понятия и свойства равномерного распределения последовательности по произвольному модулю h, полученные на основе классических результатов Г. Вейля для равномерного распределения по модулю 1. Обозначим через Eh интервал [f, f), если Е = [а, Ъ). Очевидно, что l-E^I = ^. Обозначим целую часть по модулю h, как [x]h = /i[f ] - Определим символ (x)h , как единственное число у, удовлетворяющее двум условиям: 1) 0 < у < h ,2) у = x(mod h). Другими словами (x)h — х — [.x]h . Введем функцию Nh{Eh,n, {жп}):

Nh(Eh,n, {жп}) = #{0 < г < п : (xi)h € Eh}.

Последовательность {жп} равномерно распределена по модулю h, если для любой пары действительных чисел а и Ъ, удовлетворяющих условию 0 < а < b < h, имеем

JVfc([g, Ь),п, fa}) b- а \Е\ lim -= —-— = —. п—>оо п II Г1

В параграфе §3 рассматривается последовательность {жп} по модулю h вида h = 5 гДе Ink — произвольные целые числа, удовлетворяющие условию к2 + I2 ф 0. Для описания неравномерности распределения последовательности по такому модулю вводится функция распределения v{e) при ho > 0: u(e) = + niinje, (/&о}ь})} и при Ло < 0: v{s) = ^(Мле + тах^е- (Л - (|Ло|>Л)}), где h0 = ^gfc -В теоремах 4.7 и 4.8 дается описание распределения последовательности {жп} по модулю h с помощью данной функции.

Теорема 4.7. Пусть hQ > 0. Тогда \ I ho «Лок + 1), если е £ [0; <Ло>Л),

Ь>[£) = < 0 ^(£[ho]h + (hQ>h)> если £ е l(h0)h] К). Теорема 4.8. Пусть ho < 0. Тогда ф = J если (l^o|)Л),

1 щ(£([1/го1к + 1) - Л + (М>Л), если ee[h- (|Ло|)Л; h).

Данные теоремы показывают, что интервал [0; h) разбивается точкой (1/ioD/j на два подинтервала, на каждом из которых рассматриваемое распределение равномерно. В частном случае, когда \ho\ — /г, рассматриваемое распределение равномерно на всем интервале [0; К). В случае, когда ho > 0 и hQ < h точки квазирешетки {хп} распределены равномерно и сосредоточены лишь на интервале [0; h0); когда h0 < 0 и \ho\ < h точки квазирешетки {жп} распределены равномерно и сосредоточены только на интервале [h — \ho\',h).

В предложениях 4.18 и 4.19 дано интегральное представление функции распределения и{е).

В параграфе §2 главы 4 вводится понятие множества Spec — теоретико-числового спектра квазирешетки {а;п}. Получены некоторые свойства множеств Spec и Spec*. Определим последовательность {уп} соотношениями

Отметим, что уп = (xn)h .

Рассмотрим множество Y(h) такое, что Y(h) = {уп} , где черта обозначает замыкание множества. Очевидно, что Y{h) С [0; К). Обозначим множество Ye(h) = [0, е). Будем говорить, что h € Spec, если выполняется условие Y(h) ф [0; h). В предложении 4.8 доказано, что если h € Spec, то и mh £ Spec при любом целом т.

Будем говорить, что h G Spec*, если последовательность {гсп} не является равномерно распределенной по модулю /г. Очевидно, что Spec С Spec* . В следствии 4.2 показано, что почти все действительные h g Spec*.

В.Г. Журавлевым в работе [6] был изучен дифракционный спектр четно-фибопаччевых чисел. В диссертации был рассмотрен дифракционный спектр более широкого класса последовательностей. Дифракционным спектром DiffSpec последовательности будем называть максимальное подмножество X из множества действительных чисел R, для которого выполняется условие для всех Л G X

У-1 = о,

Уп + h)h, если (па) G [0; 1 - а), (Уп + k)h, если (па) G [1 - а; 1).

3=1

Используя методы, примененные В.Г. Журавлевым в работе [6], в теореме 4.6 получено описание всех действительных чисел h из множеств Spec и Spec*.

Теорема 4.6. Если h G Spec*, то h можно представить в виде Zi(l — а)+12а h = т—п--Г~>

I - к)а + к где т,1,к — произвольные целые числа, удовлетворяющие условию к2+ 12^0.

В параграфе §4 на основе свойств функции распределения г/(е) последовательности {хп} по произвольному модулю h, исследованных в параграфе §3, в теоремах 4.9 и 4.10 получены достаточные условия попадания действительного числа h во множества Spec и Spec*. Теорема 4.9. Если выполняется условие

А = \kl - l2k\ < Zi(l - а) + 12а, где 1,к — произвольные целые числа такие, что k2 + I2 ф О, то при любом целом т, отличном от нуля, действительное число h( 1 - а) + 12а h — га—-—-—

I - к)а + к принадлежит множеству Spec.

Теорема 4.10. Если выполняется условие

А = |hi - 12к\ ф h(l ~ а) + 12а, где 1,к — произвольные целые числа такие, что k2 + I2 07 то при любом целом га, отличном от нуля, действительное число Zi (1 — а) 4- 12а h = га—-—--—

I - к)а + к принадлежит множеству Spec*.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]-[20], в том числе 1 работа — в журнале из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Результаты диссертации докладывались на XVII Международной летней школе-семинаре "Волга -17'05" по современным проблемам теоретической и математической физики (Петровские чтения) (Казань, 2005 г.), XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2006 г.), XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006 г.), Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию проф. В.Е. Воскресенского (Самара, 2007 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (2006-2007 гг., секция "Алгебра и теория чисел"), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по теории чисел ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Г.Журавлева.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Журавлеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и многочисленные ценные советы.

1. Арнольд В.И. Замечания о квазикристаллической симметрии // Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. - М.: Наука, 1989. - С. 291-300.

2. Вейль Г. О равномерном распределении чисел по модулю 1 // Вейль Г. Избранные труды. М.: Наука, 1984. — С. 58 - 93.

3. Журавлев В.Г. Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к диофантовым уравнениям и алгоритму Евклида // Алгебра и анализ. 2007. — Т. 19. - №3. - С. 154-185.

4. Журавлев В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Известия РАН, сер. матем. 2007. - Т. 71. — №2. — С. 287-321.

5. Журавлев В.Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распределение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20. №3. — С. 18-46.

6. Карацуба А.А. Дробные доли специального вида функций // Известия РАН, сер.мат. 1995. - Т. 59. - С. 61-88.

7. Карацуба А.А. О дробных долях быстрорастущих функций // Известия РАН, сер.мат. 2001. — Т. 65. - С. 89-110.

8. Карацуба А.А., Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных // Математические заметки. 1979. — Т. 25. — С. 3-14.

9. Кейперс JL, Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

10. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

11. Красильщиков В.В. Одномерные квазипериодические разбиения: вложение решеток // Сборник трудов молодых ученых ВГПУ. — Владимир: Нерль, 2006. — Вып. 6 — С. 89.

12. Красильщиков В.В., Шутов А.В. О распределении некоторой последовательности по переменному модулю // Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". — Москва: Изд-во МГУ, 2006. — Т. IV. — С. 85-86.

13. Красильщиков В.В. Об одном классе прогрессий, вкладывающихся в одномерные квазипериодические разбиения // Чебышевский сборник.- 2006 — Т. 7. — Вып. 1. С. 239-245.

14. Красильщиков В.В., Шутов А.В. Некоторые вопросы вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. — 2007. — №7. — С. 84-91.

15. Мануйлов Н.Н. Перенормировки на одномерном торе // Записки научных семинаров ПОМП. — 2004. — Т. 314. — С. 142-154.

16. Мануйлов Н.Н. Рекуррентные самоподобные разбиения // Чебышев-ский сборник. 2001. — Т. 4. — Вып. 2. — С. 87-91.

17. Мануйлов Н.Н. Самоподобие некоторых последовательностей точек на окружности // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 302. С. 81-95.

18. Мануйлов Н.Н. Число попаданий точек последовательности {птд} в полуинтервал // Чебышевский сборник. — 2004. — Т. 5. Вып. 3. — С. 72-81.

19. Шутов А.В. Обобщенные разбиения Фибоначчи и их приложения к теории чисел // Диссертация па соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Владимир: ВГПУ, 2005.

20. Шутов А.В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. 2004. - Т. 5. — Вып. 3. — С. 112-121.

21. Шутов А.В. Перенормировки вращений окружности // Чебышевский сборник. — 2004. Т. 5. - Вып. 4. - С. 125-143.

22. Шутов А.В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2004. — Т. 314. — С. 272-284.

23. Шутов А.В. О распределении дробных долей II // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвузовский сборник научных трудов. — Саратов: Из-во Саратовского университета, 2005. — Вып. 3. — С. 146-158.

24. Шутов А.В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. — 2006. — Т. 7. — Вып. 3. — С. 110-128.

25. Шутов А.В. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей па на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. — 2007. — №7. — С. 168-175.

26. Агпоих P., Berthe V., Ei Н., Ito S. Tilings, quasicrystals, discrete planes, generalized substitutions and multidiinencional continued fractions // Discrete models: combinatirics, computation and geometry. — Paris, 2001. P. 59-78.

27. Arnoux P., Rauzy G. Representation geometrique de suites de complexite 2n+ 1 // Bull.Soc.Math.France. 1991. — V. 119 — P. 199-215.

28. Berthe V., Ferenczi S., Zamboni L. Interactions between Dynamics, Arithmetics and Combinatorics: the Good, the Bad and the Ugly // Contemporary Math. — 2005. — V. 385. — P. 3-35.

29. Berthe V., Chekova N., Ferenczi S. Covering numbres: arythmetics and dynamics for rotations and interval exchange // J.Anal.Math. — 1989. — V. 79. P. 1-31.

30. Berthe V., Tijeman R. Balance properties of multidimensional words // Theoret.Cornput.Sci. 2002. - V. 273. - P. 197-224.

31. De Brujin N.G. Sequences of zeros and ones generated by special production rules // Kon.Nederl.Acad.Wetensch.Proc. 1982. — Ser.A. — V. 84. - P. 38-52.

32. De Brujin N.G. Updown generation of Beatty sequences // Kon.Nederl.Acad.Wetensch.Proc. — 1989. — Ser.A. V. 92. — P. 385-407.

33. Drmota M., Tichy R.F. Sequences, discrepancies and applications. -Berlin:Springer, 1997.

34. Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. — 1992. — V. 61. P. 319-326.

35. Fogg N. Pytheas. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Springer, 2002.

36. Furstenberg H., Keynes M., Shapiro L. Prime flows in topological dynamics // Israel J.Math. 1973. — V. 14. — P. 26-38.

37. Graham R. L., Knuth D. E. and Patashnik O., Concrete Mathematics. Addison-Wesley, Reading, MA, 1990. — P. 307-308 of 2nd edition.

38. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math.Sem.Hamburg Univ. — 1921. — V. 5. — P. 54-76.

39. Kesten H. On a conjecture of Erdos and Sziisz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. 1966. — V. 12. — P. 193-212.

40. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. — 1987. — V. 61. — P. 267-293.

41. Moody R.V. Model sets: a survey. Quasicrystals to More Complex Systems. Les Houches, 1998. (F. Alex, J.-P. Gazeau, eds.) Centre de Physique des Houches. Springer-Berlin, 2000. — V. 13. — P. 145-166.

42. Morse M., Hedlund C.A. Symbolic Dynamics II: Sturmian trajectories // Amer.J.Math. 1940. - V. 62. — P. 1-42.

43. Oren I. Admissible functions with multiplie discontinioutes // Israel J.Math. 1982. - V. 42. — P. 353-360.

44. Ostrowski A. Math. Miszellen XVI//Notiz zur Theorie der Diophantischen Approximationen und zur Theorie der linearen Diophantischen Approximationen // Jahresber.d.Deutschen Math.Ver. — 1939. V. 39. - P. 34-46.

45. Petersen K. On a series of cosecants related to a problem in ergodic theory // Compositio Math. 1973. - V. 26. — P. 313-317.

46. Pinner C.G. On Sums of Fractional Parts {/га + 7} // J.Number Theory. 1997. - V. 65. - P. 48-73.

47. Rauzy G. Des mots en arithmetique // Avignon Conference on Language Theory and Algorithmic Complexity, Univ. Claude-Bernard, Lyon,1984. — Lyon. 1984. - P. 103-113.

48. Rauzy G. Echenges d'intervales et transformations induites // Acta Arithmetica. 1978. — V. 34. — P. 315-328.

49. Rauzy G. Ensembles a restes bornes // Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984. — Bordo, 1984. — Expose 24.

50. Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull.Soc.Math.France.- 1982. V. 110. - P. 147-148.

51. Rauzy G. Une generalization du developpement en fraction continue // Seminaire Delange-Pisot-Poitou 1976/1977, Theorie des Nombres. — Paris, 1979. Fasc. 1, Exp. no. 15,16.

52. Zeckendorf, E. Representation des nombres naturels par une somme des nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas, Bull. Soc. Roy. Sci. Liege 41. 1972. - P. 179-182

53. Zhuravlev V.G. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotations of a circle // Max-Plank-Institut fur Mathematik. Preprint Series. 2004. - V. 59. - P. 1-43.

54. Weyl H. Uber die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo.- 1910. V. 30. - P. 377-407.