Спектр резонансов одномерного оператора Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004612554

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

Тарасов Алексей Геннадьевич

СПЕКТР РЕЗОНАНСОВ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На 1си

УДК 517.9

1 1 НОЯ 2010

Москва 2010

004612554

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель профессор Степин Станислав Анатольевич

Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты профессор Шафаревич Андрей Игоревич,

кандидат физико-математических наук, Титов Василий Александрович

Ведущая Институт проблем механики

организация им. А.Ю. Ишлинского РАН

Зашита диссертации состоится 26 ноября 2010 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 26 октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Метод перевала является эффективным средством исследования асимптотического поведения при Л —> оо интегралов вида

где 7 — контур в комплексной плоскости 2. Такие интегралы возникают в различных областях математики и ее приложениях. Предметом настоящей диссертации является развитие метода перевала и его применение в задаче о локализации и асимптотическом распределении резонансов одномерного оператора Шре-дингера.

Способы получения асимптотических оценок интегралов вида (*) восходят к Эйлеру и Лапласу, заложившим основы подхода, впоследствии названного методом перевала. Дальнейшее развитие он получил в работах Стокса, Кельвина, Дебая и многих других авторов. Данный метод состоит из двух этапов: выбора подходящего пути интегрирования (перевального контура) и вычисления асимптотики интеграла по этому пути. Перевальный контур строится таким образом, чтобы он проходил через критические точки (точки перевала) фазовой функции 3(г), дающие основной вклад в асимптотику интеграла. Этот этап на практике представляет собой трудную задачу, поскольку неизвестен общий простой алгоритм построения такого контура.

Развитию и применению указанных идей посвящено большое количество работ (см. [1]-[5] и цитируемую там литературу). Особый интерес, как в теоретическом, так и в прикладном

[1] Эрдейи А., Асимптотические разложения, М., Физматгиз, 1962.

[2] Евграфов М.А., Асимптотические оценки и целые функции, М., Физматгиз, 1962.

[3] Копсон Э., Асимптотические разложения, М., Мир, 1966.

[4| Федоркж М.В., Асимптотика: интегралы и ряды, М., Наука, 1978.

[5) Олвер Ф., Асимптотика и специальные функции. М., Наука, 1990.

7

отношении, представляет случай зависимости подынтегральной функции / также и от комплексного параметра А, когда изучение вопроса об асимптотическом поведении интегралов типа (*) является сложной проблемой. Именно к такой постановке сводится исследование спектра резонансов (полюсов матрицы рассеяния) одномерного оператора Шредингера с быстро убывающим потенциалом V.

Изучение распределения и локализации резонансов, в частности отыскание зон свободных от них, является важным направлением в математической теории рассеяния. Этой проблематике посвящено огромное количество работ, среди которых отметим наиболее близкие к теме диссертации [6]-[12]. Для резонансов оператора Шредингера с финитным потенциалом известны оценка сверху считающей функции [8] и оценка снизу соответствующего показателя сходимости [12]. Применительно к этой ситуации в одномерном случае в [9] получены асимптотические формулы для полюсов матрицы рассеяния (см. также [7]). Для оператора Шредингера с супер-экспоненциально убывающим потенциалом в работе [10] изучалась локализация резонансов в терминах их угловой считающей функции. В работе [11] установлена связь между различными подходами к решению задачи о локализации и распределении резонансов. Об актуальности данной тематики свидетельствуют также исследования по локализа-

[6] Regge Т., Analytic properties of scattering matrix, Nuovo Cimento, 10, 8, (1958), 671-679.

[7] Кравицкий А.О., О двукратном разложении в ряд по собственным и присоединенным функциям одной краевой задачи, Дифф. уравнения, 4, 1 (1968), 165-177.

[8] Melrose R., Polynomial bounds on the number of scattering poles, J. Funct. Anal., 53, (1983), 287-303.

[9] Zworski M., Distribution of poles for scattering on the real line, J. Funct. Anal., 73, (1987), 227-296.

[10] Froese R., Asymptotic distribution of resonances in one dimension, J. Differential Equations, 137, (1997), 160-193.

[11] Simon В., Resonances in one dimension and Fredholm determinants, J. Funct. Anal., 178, (2000), 396-420.

[12] Степин C.A., Спектр резонансов и формула следа в задаче потенциального рассеяния, Функц. анализ и его прил., 38:3 (2004), 79-89.

ции резонансов численно-аналитическими методами (см., например. [13], где такое исследование проводится в случае гауссов-ского потенциала). Основные результаты диссертации уточняют и усиливают утверждения об асимптотическом распределении резонансов, полученные в [9| и [10].

Искомые резонансы являются нулями целой функции - определителя матрицы рассеяния, элементы которой (так называемые коэффициенты отражения и прохождения) представляют собой интегралы вида (*). Разработанная в диссертации техника оценок таких интегралов позволяет установить, что распределение полюсов матрицы рассеяния определяется ее борцовским приближением, получающимся линеаризацией относительно потенциала V. Применительно к рассматриваемому классу потенциалов, включающего гауссовский, обоснование данного факта сводится к асимптотической оценке интегралов типа (*) с комплексным параметром А в показателе экспоненты и подынтегральной функцией /(г), также зависящей от этого параметра.

Исходным пунктом применяемого подхода является информация об асимптотическом поведении преобразования Фурье потенциала V в комплексной плоскости. Полученные на этом пути сведения представляют самостоятельный интерес с точки зрения теории целых функций.

Цель диссертации

Разработка техники (на базе метода перевала) асимптотических оценок интегралов типа (*), и ее применение для исследования спектра резонансов одномерного оператора Шредингера.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми. В работе развита техника исследования поведения интегралов вида (*) при больших по модулю значениях параметра Л. С помощью данной техники изучено распределение резонансов одномерного оператора Шредингера.

[13] Abramov A.A., Aslanyan A.. Davies E.B., Bounds on complex eigenvalues and resonances, J. Phys. A: Math. Gen., 34, (2001), 57-72.

1. В случае финитного комплекснозначного потенциала с нулями произвольных (не обязательно целых) порядков касания на концах носителя показано, что спектр резонансов состоит из двух серий, расположенных вблизи логариф-мик, параметры которых определяются размером носителя потенциала и порядками нулей на его концах. Получена асимптотика резонансов с оценкой остатка.

2. Для класса супер-экспоненциально убывающих потенциалов, включающего гауссовский, выявлены зоны асимптотически свободные от полюсов матрицы рассеяния. В случае потенциалов вида V{x) = е~х m/2m; щ € N, установлено, что спектр резонансов состоит из двух серий, расположенных вблизи лучей, угловой коэффициент которых определяется порядком роста преобразования Фурье V(k). Выписана асимптотическая формула для полюсов матрицы рассеяния с оценкой остатка.

3. Дано обоснование борновского приближения в задаче о локализации и распределении полюсов матрицы рассеяния применительно к потенциалам вида где Р(х) — многочлен с вещественными коэффициентами, представляющий собой асимптотически знакоопределенное возмущение монома четной степени. Для таких потенциалов исследовано асимптотическое поведение преобразования Фурье в комплексной плоскости. Получены соотношения типа правил квантования, определяющие местоположение больших по модулю резонансов.

Методы исследования

В работе используются асимптотические методы, результаты комплексного анализа, техника теории возмущений.

Практическая и теоретическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в спектральной теории дифференциальных операторов, в теории целых функций, а также при исследовании асимптотического поведения интегралов с большим параметром.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на

• заседаниях научно-исследовательских семинаров механико-математического факультета МГУ

— на семинаре "Математическая теория рассеяния" под руководством проф. P.A. Минлоса (2005-2008),

— на семинаре "Негармонический анализ" под руководством проф. A.M. Седлецкого (2010),

— на семинаре "Геометрические вопросы математической физики" под руководством проф. А.И. Шафа-ревича (2010);

• в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (Москва, 2009);

• на конференциях

— на Международной конференции, посвященной 105-летию академика С.М. Никольского (Москва, МГУ, 2010),

— на Международной Добрушинской конференции (Москва, ИППИ РАН, 2009),

— на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008; 2010).

Поддержка

Настоящая диссертационная работа выполнена в рамках программы исследований по гранту НШ - 4564.2006.1 поддержки научной школы академика В.А. Садовничего.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах (их список приведен в конце автореферата); в том числе, две работы - в журнале из списка рекомендованного ВАК.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав (первая из которых содержит пять параграфов, а вторая разделена на десять параграфов) и списка литературы, насчитывающего 50 наименований. Имеется 16 иллюстраций. Общий объем диссертации -102 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор результатов, связанных с тематикой исследования, приводятся постановки задач и сформулированы результаты диссертации.

В первой главе изучается спектр краевой задачи

-у"(х) + V{x)y{x) = к2у{х), (1)

y'(a)+iky(a) = y'(b) - tfcy(b) = 0, (2)

где спектральный параметр к входит в уравнение (1) и в граничные условия (2). Предполагается, что комплекснозначная непрерывная функция V(x) в точках а и b имеет нули порядков а и ß соответственно:

V{x) = (x-a)aq{x)(b-x)ß, q{a) ■ q(b) ф 0.

Предложение 1. В верхней полуплоскости С+ находится лишь конечное число собственных значений задачи (1)-(2), причем все они расположены в круге {|/с| ^ 3(Ь — а) тах |У(з;)|}.

i€[a,6] '

Точки спектра рассматриваемой задачи, лежащие в С_. являются резопансами заданного на всей прямой оператора Шрединге-ра Ly = —cP/dx2 + V(x) с потенциалом, продолженным нулем за пределы отрезка [а, Ь]. Основным результатом данной главы является

Теорема 1. Пусть q 6 6], N ^ max {а,(3} + 2. Тогда в

полуплоскости С_ спектр резонансов оператора Ly состоит из двух серий с асимптотиками

± _ 7ГП ¿7 111 П i 111 С 7Г7

" ~ 2(6—а) + 2(6—а) 4(6-а)

" + № где С = Г(а + 1)Г(/3 + 1 )q(a)q{b){b - а)а+0; 7 = а + (3 + 4.

Задача (1)-(2) в случае целых а и fl исследована в статье [9], где резонансы вычислены с точностью о(1) при п —» оо. Сформулированная выше теорема дополняет (и в определенном смысле усиливает) основной результат работы [9], а именно она позволяет рассматривать комплексные потенциалы V(x) с нулями произвольных, не обязательно целых, порядков касания в точках а и 6, и для таких потенциалов выписывать асимптотику собственных значений задачи (1)-(2) с квалифицированной оценкой остатка. В [14] рассмотрена задача Редже. отличающаяся от (1)-(2) заменой первого из краевых условий (2) условием у(а) = О, и для нее там получены асимптотические формулы распределения точек спектра. Метод получения асимптотических формул (3) родственен подходу, используемому в [14], и существенно отличается от метода работы [9].

Спектр задачи (1)-(2) совпадает с нулями ее характеристического определителя

у[(а, k) + ikyi(a,k) у'2(а,к) + iky2{a,k) y[(b,k) -ikyi(b,k) y'2{b,k) -iky2(b,k) '

[14] Федорюк М.В., Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1977.

который строится по фундаментальной системе решений 2/1>2(х, к) уравнения (1). В ходе доказательства теоремы 1 в качестве такой системы выбирается пара у\(х,к) = е1кхУ1(х, к) и г/2(х, к) = е~гкхУ2(х, к), где Ух(х, к) и г>2(;г, суть решения интегральных уравнений

В результате исследование спектра задачи (1)-(2) сводится к изучению корней уравнения

В §1 построены решения У\{х, к) и У2(х, к) указанных выше интегральных уравнений и. затем, изучено их асимптотическое поведение при больших по абсолютной величине значениях параметра к. На основе этой информации в §2 установлено предложение 1.

В §3 исследованы асимптотические свойства интегралов типа Лапласа

с подынтегральной функцией / из специального класса (^Л^), при больших по модулю значениях комплексного параметра л, лежащего в правой полуплоскости.

Определение 1. Функция / : (а, Ь) —» С принадлежит классу ЫЩв), где 7], в € К и N € N. если / е См\а,Ь) и для к < N и 5 е (а, Ь) найдется такое с6к > 0, что

1л(х, к) = 1 + ^ ¡\\ - (¿М*. к) ¿1,

у2(х, к) = 1 + ^ 1\ 1 - е-я*<4-*>)К(*Ь(«, к) <11.

21к

2 гк

е2^ь~аЦ(Ь,к)у'2{а,к) = 4 к2.

(4)

х € {а, 5], х € [¿,6).

Утверждение 1. Пусть д € где N = 2 —[-в] и в > —I,

причем g(x)(b — х)~в £ CN(a,b\. Тогда при достаточно больших значениях а = Re z имеет место равенство

I(g,z) = fir{9+l)z-e-1 + 0(z~9-2) + 0([1 + <т-"]е-''(ь-а))>

где /i = liing(x)(b — x)~9.

х—>Ь

Результаты §3 применяются в §4 для исследовании поведения производных

гь

v[(b,k) = / e~2ik(-b~^V(t)vi(t,k) dt J а

И

rb

v'2(a,k) = / e-2ik{l-b]V(t)v2{t,k) dt j a

при больших по модулю значениях к € С_.

Утверждение 2. В нижней полуплоскости С_ справедливы следующие асимптотические формулы

v[(b,k) = q(b)(b-a)aT(p+l)(2ik)-0-1 + Oik'?'2) + 0{e2^lmk), v'2(a,k) = —а)/3Г(а+1) (2ik)~a~l + 0{k~a~2) + 0(e2(i,-a)Im *).

Это утверждение является ключевым при выводе асимптотик (3). Идея его доказательства основана на использовании формулы

d

e-*W-*)f(x)Vlfak)dx =

I

(f(x)Vi(x, k)e-2ik^ + Jj(t) dt J* e-2^b-%(t)Vl(t, k) dt

2 ik

+

где М] С (а, 6), a </)(i) := -f'(x) - V(x) f f(t)dt -

J X

интегро-дифференциальная операция, переводящая класс функций (r]\N\0) в класс функций (т/ — l|iV — 1\0 - 1). Применение формулы (5) позволяет сначала "грубо" оценить производные v[(b, к) и v'2(a, к) величиной порядка 0(к~т), где т = min{a, /3}, а, затем, используя утверждение 1, вывести требуемые асимптотические формулы.

Параграф 5 посвящен доказательству теоремы 1, которое проводится по следующей схеме. Сначала с помощью "грубых" оценок v[(b, к) и v'2(a, к) выявляются зоны свободные от резонан-сов оператора Ьу-

Предложение 2. Существует т < 0 такое, что множество

G = { Ira к <: г, 12*1" ^ e~2Im k{b~a) }, н = min{a, /?} + 2,

не содержит точек спектра задачи (1)-(2), а в полосе {т ^ Im k ^ 0} находится лишь конечное их число.

Далее, из утверждения 2 вытекает, что в области С_ \ G множество корней уравнения (4) совпадает с множеством, состоящим из решений семейства уравнений

2ik - In 2ik + 8{k) = un, n G Z, b—a

где utn = '~7rm _ и ¿(/л — 0(k~l). Каждое из этихуравне-b—a b—a

ний может иметь лишь конечное число решений; более того, при достаточно больших по модулю значениях п соответствующее уравнение имеет единственный корень

kn = ~шп/2 - г 7 + 0(lti|n|/|n|).

¿(b—a)

Обоснование этого факта завершает доказательство теоремы 1.

Во второй главе диссертации рассматривается оператор Шредингера Ьу — — &/¿х2 + V с потенциалом V(х), удовлетворяющим условию супер-экспоненциалного убывания: для любого М > 0 найдется Т = Т(М) > 0 такое, что при всех гбМ

Под резонансами оператора Ьу понимаются полюса аналитического продолжения в нижнюю полуплоскость его матрицы рассеяния

Элементы этой матрицы (коэффициенты отражения и прохождения) при к € С+ представимы в виде интегралов

где уЮ{х,к) = е±{кх - Яу{к)е±{кхУ, а Яу(к) = {Ьу ~ к21)~1

- резольвента рассматриваемого оператора, и, соответственно,

Данное выше определение резонансов согласуется с определением, принятым в первой главе для финитных потенциалов. Основной целью главы 2 диссертации является изучение спектра резонансов для супер-экспоненциалыю убывающих потенциалов и, в частности, обоснование того факта, что асимптотически распределение полюсов матрицы рассеяния определяется ее борцовским приближением.

ад

и

Определение 2. Борновским приближением матрицы рассеяния S(k) называется матрица

r1 + ±. jv{x)dx у .-»„ад* >

получающаяся в результате линеаризации S(k) относительно потенциала V.

В работе [10] в случае оператора Шредипгера с суперэкспоненциально убывающим потенциалом V{x) дано описание асимптотического распределения резонансов в терминах их угловой считающей функции. Для потенциалов рассматриваемого там класса предполагается, что преобразование Фурье V{k) — целая функция порядка р > 1 и вполне регулярного роста, а также выполнены некоторые дополнительные условия технического характера. В этих предположениях в [10] утверждается, что резонансы оператора Шредингера сосредоточены (концентрируются) вблизи лучей argfc = — ж¡2 ± 7г/2р. Эту информацию о локализации спектра резонансов подтверждают и уточняют результаты главы 2.

В §1 показано, что резонансы оператора Ly совпадают с нулями определителя E(k) = det S(—k), который имеет следующий вид

Е(к) = 1 + В{—к)С{~к) + 0{к~1), С_ Э к оо.

Таким образом, задача об исследовании распределения резонансов сведена к анализу асимптотического поведения (при больших по модулю значениях параметра к € С_) интегралов типа Фурье

I+(k) := —2ikB(—k) = I e2ikx V{x) (l - /_(я, к)) dx

Jr

и

/_(*) := -2ikC(-k) = [ e~~2ikx V(x) (l - f+(x, k)) dx ,

jr

в которых

f±(x,k) = e±ikx Rv{-k)eTikx V.

Предварительные оценки функций f±(x,k) и интегралов 1±{к) установлены в §2, где, в частности, показано, что ограниченность преобразования Фурье V(k) на множестве {к € С_, | arg(±A;)| ^ влечет и ограниченность рассматриваемых интегралов на этом множестве. Применение этих результатов в задаче о локализации и распределении резонансов позволяет выделить зоны асимптотически свободные от них (ср. [15]).

Предложение 3. Пусть преобразование Фурье V{k) ограничено на множестве {|arg(±A;)| ^ ii'}. Тогда в указанных секторах может содержаться лишь конечное число резонансов оператора Шредингера Ly = —d2/dx2+V(x).

Далее, в §§ 3-5 для потенциалов вида V(x) = e"l2m/2m, где т € N, детально изучено распределение резонансов. Случай гауссовского потенциала рассмотрен отдельно в §3.

Теорема 2. Множество резонансов оператора Шредингера с потенциалом V(x) = е~х !2 состоит из двух серий {/с^} с асимптотиками

ч = + i +

В случае т ^ 2 предварительно исследовано асимптотическое поведение интегралов I±(k) в секторе К := {argк € ( — 7Г + 7Г/4 171, —7Г/4Ш)}.

Лемма 1. При К Э к —> оо справедливы формулы = х

Г 2т — 1 , , . 2m 1 / . 1 —т . \

exp ^ U 1 + 0(k^)j .

[15| Hitrik M., Bounds on scattering poles in one dimension, Commun. Math. Phys., 208, (1999), 381-411.

В соответствии с этим уравнение Е{к) = 0 в секторе К преобразуется к виду

2ж , , . 4-6т I 2т — 1 , , . 2т | , _ , 1-т у . ——-(2гк)2т~1 ехр <———(2^)^-1 |.(1 + О(к^)) = О,

пригодному для вычисления корней с нужной точностью. Отметим, что такого же вида уравнение получается, если приравнять к нулю определитель борновского приближения матрицы рассеяния.

Теорема 3. Множество резонансов оператора Шредингера Ьу с потенциалом У{х) = е~х т/2т; где т ^ 2, состоит из двух серий {к„}, имеющих при п —> +оо асимптотики

_ , 2пт

~ ± 2 \2т — 1 /

(Зт-2)(2т- 1) Inn

1 ^ г-J^--- Т

47rmJ п

г

. (2т - 1)С± 1

А / I -лт ч

- +

4я"т2 п

, „ , 2т — 1 ,„ . /, 2пт , . ял где С± = т In--h (Зт - 2) In -- ± г - .

± 2тг ^ Ч 2т-1 2/

Исходным пунктом подхода, применяемого для вычисления асимптотик интегралов 1±(к), является информация об асимптотическом поведении преобразования Фурье V(k) в комплексной плоскости: функция V(k) экспоненциально растет вне секторов |arg(±A;)| ^ 7г/4т и убывает внутри этих секторов с ростом модуля аргумента (см., например, [16] ). В силу предложения 3, соответствующий оператор Шредингера имеет внутри

[16] Backhoom N. G., Asymptotic expansions of the function F^x) /0°° e-"l+Iudu, Proc. Lond. Math. Soc., 33, 2, (1933), 83-100.

этих секторов лишь конечное множество резонансов. В секторе К с помощью метода перевала устанавливается, что асимптотика преобразования Фурье к) при |А;| —> оо определяется вкладом от точки перевала г0(к) — (2гк)2т~1 функции 8(г,к) = 2гкг — г2т ¡2т, а именно

У(±2к) = ^р„1Ык)) ехР {ЗЫк),к)) (1 + 0(к*Ь)) =

2 7Г

2т

В итоге, обоснование асимптотических формул для 1±(к) сводится к получению оценок

¡ e±2ikxV{x)J1:{x,k)dx = / e2lkxV{x)f_(x,k)dx = j R J R

I 2m — 1 2m | , 2—2m .

= exp < —--(2гА;)2"-' > O^2"-1) )

которые установлены с помощью определенной модификации метода перевала. Важным элементом этой конструкции, представляющей собой одно из ключевых мест работы, является построение аналитического продолжения (по переменной z) подынтегральной функции f-(z, к) в область, содержащую перевальный контур Е_ U [0, 2z0(k)} U (2z0(k) + R+) фазовой функции S(z,k).

Лемма2. При каждом фиксированном к £ К, |fc| ^ 2||V||i, функция f-(z,k) аналитически продолжается по переменной z в область

{| argz| < ж/Am) Р) {|Imz| < sin (тг/4т)]А;|/4} ,

где для нее справедлива оценка

\\У\\1 + 2\1тг\/5т{п/Аш) I J-\z} k) ^ щ .

Полученные для f-(z,k) оценки свидетельствуют о том, что в секторе К интеграл 1±{к) есть относительно малое возмущение преобразования Фурье y/2nV(±2k), а матрица рассеяния S(k) -соответственно малое возмущение своего борновского приближения. Последнее и позволяет использовать это приближение вместо самой матрицы S(k) для локализации ее полюсов и вывода асимптотического закона их распределения.

В параграфах 6 - 10, описанная выше схема исследования спектра резонансов, распространена (с соответствующими изменениями) на потенциалы более широкого класса.

Теорема 4. Для четных потенциалов вида

V(x) = е-рЫ , Р(х) = а2тх2т + а2пх2п + ...+<*>,

таких, что а2т, а2п > 0, т > 2, множество резонансов оператора Ly = — cß/dx2 + V{x) состоит из двух серий определяемых при достаточно больших и G N соотношениями типа правил квантования

где z0(k) ~ (ikjтл2т) 1 - точка перевала функции S(z, к) = 2ikz - P{z) и

w±v = —- In ((2т-1)а2т)+^ In {2m-l)a\mj-n).

¿iTYi &

Способ построения для фазовой функции S(z, к) перевального контура, используемого в дальнейшем при выводе асимптотик интегралов 1±(к), описан в §§6-8. Исследование асимптотического поведения преобразования Фурье V{±k) в нижней полуплоскости проведено в §9.

Положим Кс := {k G С_, Re S{z0(k),k) > С}.

Предложение 4. На множестве Кс, где С > 0 достаточно велико, имеет место асимптотическая формула

V(±2k) = -j=^=exp(s(z0(k),k))[l + O(\k\^)

В секторах С_ \ К рассматриваемая функция ограничена по модулю величиной

[ ехр (-11 еР(е^)) 6.1. На множестве К \ Кс имеет место оценка

тах

У(±2к) = О

1 +

Из ограниченности преобразования Фурье в секторах С_ \ К, в силу предложения 3, вытекает, что оператор Шредингера имеет там лишь конечное число резонансов.

Наконец, в §10 производится оценка выражений 1±(к)— к) в секторе К, которая (в совокупности с результатами §9) приводит к формулам

ш

ш

2тг ^1/2

р'ит) ехр

(5(гь(к), к))

1 + 0(\к\^) К с Э к -

эо,

О

(Ык)?

V 1*1

1+ехр (КеЗ(г0(к),к))

К Э к -> оо.

Применение этих формул позволяет установить, что множество К \ Кс является асимптотически свободным от резонансов, а на множестве Кс нули Е(к) асимптотически тождественны нулям определителя борцовского приближения матрицы рассеяния и удовлетворяют уравнению

Р'(20(к))*Р"(г0(к))

7Г

= ехр

(23(г0(к),к)^ [1 + 0(к^)

Последнее решается с нужной точностью, что позволяет вывести асимптотический закон распределения резонансов оператора Ьу, и приводит к указанным в теореме 4 соотношениям типа правил квантования.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю Станиславу Анатольевичу Степину за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

Список работ автора по теме диссертации

1. Асимптотическое распределение резонансов для одномерного оператора Шрсдингера с финитным потенциалом. Ма-тем. сборник, 198:12 (2007), стр. 87-104.

Совместно с С.А. Степиным; диссертанту принадлежат утверждения 2 и 3 указанной статьи.

2. Spectrum of resonances in one dimension. Сборник трудов Добрушинской международной конференции. Москва, 2009, стр. 164-166.

3. Спектр резонансов одномерного оператора Шредингера с быстроубывающим потенциалом. Матем. сборник, 200:12 (2009), стр. 121-156.

Совместно с С.А. Степиным; диссертанту принадлежат теорема 2, предложения 1, 2 и утверждение 5.

4. Локализация полюсов матрицы рассеяния в случае нефинитного потенциала. Тезисы Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2010. стр. 183-184.

Подписано в печать 23.10.2010 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1037 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

Обзор исследований, связанных с диссертационной темой.

Описание результатов диссертации. .И

1 Оператор Шредингера с финитным потенциалом

1.1 Фундаментальная система решений уравнения Шредингера

1.2 Характеристический определитель.

1.3 Асимптотика интегралов типа Лапласа.

1.4 Асимптотика решения одного интегрального уравнения.

1.5 Локализация спектра задачи.

2 Оператор Шредингера с супер-экспоненциально убывающим потенциалом

2.1 Матрица рассеяния и ее борновское приближение.

2.2 Зоны свободные от резонансов.

2.3 Случай гауссовского потенциала у(х) = е-*2/2.

2.4 Общая схема.

2.5 Случай У(х) = е-х2т/2т, т ^

2.6 Класс многочленов 8.

2.7 Точки перевала фазовой функции.

2.8 Перевальный контур для фазовой функции.

2.9 Асимптотика преобразования Фурье быстро убывающих функций

2.10 Распределение резонансов в борновском приближении.

Метод перевала является эффективным средством исследования асимптотического поведения при Л —> оо интегралов вида где 7 — контур в комплексной плоскости Такие интегралы возникают в различных областях математики и ее приложениях. Предметом настоящей диссертации является развитие метода перевала и его применение в задаче о локализации и асимптотическом распределении резонансов одномерного оператора Шредингера

Способы получения асимптотических оценок интегралов вида (*) восходят к Эйлеру и Лапласу, заложившим основы подхода, впоследствии названного методом перевала Дальнейшее развитие он получил в работах Стокса, Кельвина, Дебая и многих других авторов. Данный метод состоит из двух этапов: выбора подходящего пути интегрирования (перевального контура) и вычисления асимптотики интеграла по этому пути. Перевальный контур строится таким образом, чтобы он проходил через критические точки (точки перевала) фазовой функции в (г), дающие основной вклад в асимптотику интеграла. Этот этап на практике представляет собой трудную задачу, поскольку неизвестен общий простой алгоритм построения такого контура.

Развитию и применению указанных идей посвящено большое количество работ (см. [1]-[5] и цитируемую там литературу). Особый интерес, как в теоретическом, так и в прикладном отношении, представляет случай зависимости подынтегральной функции f(z) от комплексного параметра Л, когда изучение вопроса об асимптотическом поведении интегралов типа (*) является сложной проблемой. Именно к такой постановке сводится задача исследования спектра резонансов одномерного оператора Шредингера с быстроубывающим потенциалом V.

Под резонансами оператора Шредингера, согласно принятому определению, подразумеваются полюса аналитического продолжение в С его матрицы рассеяния (МР). Наряду с волновыми операторами МР является одним из центральных объектов математической теории рассеяния. Она связывает 7 поведение решения эволюционного уравнения при £ —> —оо и при £ —> +оо. Изучению различных свойств МР посвящено огромное количество литературы (см., например, [6] - [13]). Структура распределения ее полюсов содержит в себе информацию о рассеявателе - потенциале оператора Шредингера, а также о поведении решения эволюционного уравнения при больших временах. В этой связи важным направлением математической теории рассеяния является изучение распределения и локализации полюсов МР.

Наибольшее число результатов в данной области касается верхних и нижних оценок числа резонансов в шаре произвольного радиуса. Обширную библиографию по вопросу можно найти в [15, 16]. С другой стороны на сегодняшний день имеется не так много работ, раскрывающих структуру распределения резонансов.

В случае вещественного потенциала полюса МР являются нулями ее определителя, который при условии достаточного быстрого убывания потенциала на бесконечности является целой функцией. Данное обстоятельство позволяет использовать результаты комплексного анализа для исследования резонансов соответствующего оператора Шредингера, если для него удается выписать определитель МР.

Для многомерного оператора Шредингера МР матрицей не является, а' представляет из себя оператор умножения на оператор-значную функцию. Явное ее описание довольно сложно, что делает затруднительным исследование ее полюсов. Одним из выходов в этой ситуации является подход основанный на связи (впервые установленной Бирманом и Крейном в [17]) детерминанта МР и так называемого определителя возмущения, который выражается через свободную резольвенту и потенциал оператора Шредингера. Данный определитель при условии достаточного быстрого убывания потенциала является целой функцией. Его нули совпадают с нулями детерминанта МР соответствующего оператора, что позволяет исследовать распределение резонансов не вычисляя матрицу рассеяния, а анализируя поведение в комплексной плоскости определителя возмущения.

Для одномерного ОШ матрица рассеяния выписывается явно. Ее элементы — так называемые коэффициенты отражения и прохождения — представляют собой интегралы вида (*). Разработанная в диссертации техника оценок таких интегралов позволяет установить, что распределение полюсов матрицы рассеяния определяется ее борцовским приближением, получающимся линеаризацией относительно потенциала V. Применительно к рассматриваемому классу потенциалов, включающего гауссовский, обоснование данного факта сводится к асимптотической оценке с помощью метода перевала интегралов типа (*) с комплексным параметром Л в показателе экспоненты и подынтегральной функцией f(z) также зависящей от этого параметра.

Обзор исследований, связанных с диссертационной темой

Первые результаты, касающиеся информации о распределении и локализации резонансов, восходят к Т. Редже. В своей работе [18] он исследовал данный вопрос для одномерного оператора Шредингера Ly = —d2/dx2 + V-(x). заданного на полуоси R+ условием у(0) = 0. В предположении финитности потенциала V{x) с нулем конечного порядка Л > 0 на правом конце носителя Редже установил, что множество полюсов МР оператора Ly состоит из двух серий

7ГП .Л + 2 к±п ~ ±— — г-m n, п —► -t-oo. а 2 а

При исследовании спектра резонансов Редже использовал результаты комплексного анализа — теоремы о связи различных характеристик целой функции с распределением ее нулей. В рассматриваемом случае полюса МР совпадают с нулями целой функции f(k) := f(x,k), где /(ж, к) — решение Поста уравнения Шредингера, равное егкх при х ^ а := sup(supp V). Последнее, как известно, удовлетворяет интегральному уравнению Грина fix,к) = eik*- £Sink{*-t]V(t)nt,k)dt и может быть разложено в итерационный ряд. Оценив по индукции члены этого ряда, Редже пришел к выводу, что f(k) является (в некотором смысле) малым возмущением относительно первого члена своего разложения. Данный факт совместно с теоремами Йенсена и Карлемана позволил ему извлечь требуемую информацию о распределении резонансов.

Известно, что резонаисы оператора Ly совпадают с собственными значениями задачи Редже:

-у"{х) + V{x)y{x) = к2у(х), у{0) = у'{а) - гку{а) = 0.

Спектр этой задачи (в контексте вопроса о двукратном разложении в ряд по ее собственным функциям) был исследован А. Кравицким в работе [19]. В предположениях бесконечной дифференцируемости потенциала V на отрезке [0, а] и наличия у него нуля в точке х = а целого порядка Л им было получено асимптотическое разложение спектра задачи z л.7™ 1 1 к±п = ±--г-In а 2 а

2тгт)Л+21 , ^Pj(\nn) dx

EJ^nllll 10

ЗК , , п +оо, j=i где Pj(lnn) - полином степени j от Inn с коэффициентом при старшем члене — , а о?д = —V^(a)ax+2. В случае, когда функция V(x) имеет лишь Л + I производных на отрезке [0, а], бесконечную сумму в указанном разложении следует заменить ее первыми I слагаемыми с остатком о(1/к1).

Способ исследования спектра, используемый Кравицким, существенно отличается от методов ранее примененных Редже и основывается на разложении функции Иоста в асимптотический ряд ikx f(x, к) = е

1 4- V"

1 + ^^т

3=1

4- е гкх(2а—х)

Vх [а) (-2 ik)x+2 У з=1

Коэффициенты аДж) и Ъ^{х) находятся после подстановки данного ряда в уравнение Шредингера и приравнивании членов одного порядка по степени к. С учетом этого разложения уравнение /(£;) = 0 преобразуется к виду оо g2 ika

2ik)

А+2 i + Е i=i aj (о)

VW (а) оо

1 + Е

3=1 ьл 0) пригодному для вычисления корней с нужной точностью. С способы приближенного вычисления корней, в частности, такого вида уравнений можно найти в [4].

Для потенциалов

V(x) = (а - x)xq(x), q G С°°[0, а], q{a) ± О, с нулем произвольного (не обязательно целого) порядка Л > — 1 асимптотика собственных значений задачи Редже с точностью О (In n/n) была вычислена в [23] М. Федорюком:

Л + 2

7ГП к±п = ±— а

2а

Inn — — 2 а

А + 2) 1п(-2тгг) - (Л + 2) In а-1п(—д(а)Г(Л + 1))] + 0{\пп/п), п +оо.

Основу подхода, примененного им для вычисления требуемой асимптотики, составляет метод Лапласа.

Искомые точки спектра суть нули так называемого характеристического определителя краевой задачи Редже. Построенный по фундаментальной системе решений ш,2(ж) уравнения Шредингера, где 2/1(0) = 2/2 (&) = 1 и 2/1(0) = ~У2(а) = данный определитель имеет вид

А(к) = у2(0)(у;(а) - г/сШ(а)) + 2гк.

Применение метода Лапласа позволяет вычислить асимптотики при |/с| —> оо решений yij2(x,k) а, значит, и асимптотику А (к). С использованием последней, уравнение А(к) — 0 в окрестности бесконечно удаленной точки решается с требуемой точностью.

В случае произвольных потенциалов из L2(0,a) задача Редже исследовалась в работах авторов [24] и [25].

В [24] Г. Губреевым и В. Пивоварчиком установлено необходимое и достаточное условие того, что множество комплексных чисел А является спектром данной задачи с некоторым потенциалом V G Ь2{0, а). Для этого необходимо и достаточно, чтобы множество А совпадало с множеством корней функции определенного вида оо 2 оо 2

П (£(п - 1/2))" К - к2) - гкаЦ - к2), п=1 п—1 где последовательности чисел

V\ < [1\ < V2 < [Х2 < ■ ■ • при некоторых {о;п}, {Дг} Е 12 и с > 0 допускают представления j-2 yj-2

Vn — - 1/2)2 - c + Pn, Un = -^n2 - с + an. az az

A. Шкаликов (см. [25]) в контексте задачи о двукратной полноте собственных и присоединенных функций задачи Редже с вещественным потенциалом установил, что область комплексной плоскости, лежащая выше некоторых логарифмических кривых, является асимптотически свободной от точек спектра исследуемой задачи. Все собственные значения из верхней полуплоскости лежат на мнимой оси. Кроме того, при условии знакоопределенности функции V{x) в окрестности точки х — а на —iR+ может находиться лишь конечное число точек спектра.

М. Зворский в статье [20] рассмотрел оператор Ly = —d2/dx2 + V, заданный на всей вещественной оси. В предположениях финитности потенциала V G CN[a,b] с нулями натуральных порядков m,l < N на концах носителя он установил, что (как и в случае оператора на полуоси) большие по модулю резонансы к±п расположены вблизи логарифмик. Параметры этих логариф-мик зависят от порядков нулей уже на обоих концах носителя: п , 7П + / + 47Г 7Г , . к±п = ±--7Г ± —ТГ-Г- + -7-Г 1 + Sign С о — а 2(6 — а) 2 2(6 — а)4 m + I + 4. .m + l-h 4, тг . In |С7| , 2(6 — а) 2(6 — а) 6 — а 2(6 — а)

Здесь С - константа, зависящая только от потенциала, а еп —> 0 при п —» со. В случае суммируемого на отрезке [а, Ь] потенциала Зворским была получена асимптотика количества резонансов в круге {|2;| ^ г} достаточно большого радиуса , 2 (Ь-а) , ч п(г) = —--г + о(г).

7Г

Кроме того, был приведен пример потенциала V е Со° такого, что матрица рассеяния соответствующего оператора Шредингера имеет бесконечно много полюсов на мнимой полуоси Ж.

При исследовании асимптотического распределения полюсов матрицы рассеяния Зворский опирался на специальное (полученное в [41] Мелином) представление этой матрицы в котором ее элементы выражаются через преобразование Фурье обобщенных функций

Х(у) = *Ъ) - §(у)1 (Ьу{х)(1х - \ У(х)1{у(х,х-У)(1х, За 1 7-2(Ь-а) И у (у) = \у{у/2) + I [ У(х)Ку{х,х-у)<1х.

4 I .7—2(6—а)

Здесь 8{х — у) + Иу{х,у) — ядро оператора преобразования для пары Ьу и ¿о- Из этого представления МР вытекает, что ее полюса являются корнями уравнения о и~2{Ь-а)

Подынтегральная функция д(у) = / У{х)11у{х, х — у)(1х в рассматриваемом случае достаточно гладкая и имеет в точке — 2(5 — о) нуль порядка т + 1 + 2. С помощью т+1+2 кратного интегрирования по частям последнее уравнение приводится к виду пригодному для вычисления корней с нужной точностью.

1к У (к)

Х(к) Х{к)

У {-к) гк

Х(к) Х(к)

У(х)Яу(х, х — у) с1х \ е1ку йу = С- г/с.

Первые результаты, касающиеся информации о локализации и распределении резонансов одномерного оператора Шредингера с не финитным потенциалом, принадлежат Фрезе. В своей работе [21] для оператора Ly с суперэкспоненциально убывающим потенциалом V он дал описание асимптотического распределения резонансов в терминах их угловой считающей функции. Для потенциалов рассматриваемого им класса предполагалось, что преобразование Фурье V(k) — целая функция порядка р > 1 и вполне регулярного роста, а также выполнены некоторые дополнительные условия технического характера. В этих предположениях в [21] утверждается, что резонан-сы оператора Ly сосредоточены (концентрируются) вблизи лучей arg А; = —7г/2 ± 7г/2р: в любом секторе, содержащим один из указанных лучей, количество резонансов в круге {\z\ ^ г} определяется формулой п(г) = ——-----—г +

27Г

In F(reie) где /&f(0) = lim sup-- — индикатор-функция. В секторе, не содержаг—> оо TP щем указанных лучей, п(г) = о(г).

Фрезе отталкивался от определения резонансов как полюсов аналитического продолжения в С оператор-функции Vl/2{Lv — к2)~1 |У|1//2. В силу принципа Бирмана-Швингера, эти полюса совпадают с нулями определителя возмущения

D(k) = det + y1//2(L0 — k2)~l\V\1^.

Последний, как известно из общей математической теории рассеяния (см., например, [13]), связан с определителем матрицы рассеяния - Е(к) соотношением D(k) = D(—k)E(k). Используя данное соотношение, Фрезе свел задачу исследования асимптотики считающий функции п(г) к анализу поведения элементов MP при больших по модулю значениях к, т.е. к анализу асимптотического поведения интегралов вида (*) оо e2lkxV(x)(l - e~lkx(Lv - k2)~1eikxV)dx.

00

Разработанная Фрезе техника оценок таких интегралов основывается на разложении резольвенты в ряд Неймана и перехода к Фурье-представлению. В результате данных преобразований исходные интегралы записываются в виде рядов

V(±2k) +

71=1 где

00 1 - к - +*№.

Члены такого ряда оцениваются по индукции с помощью выбора подходящего пути интегрирования. В конечном итоге описанная техника позволяет установить порядок роста, тип и индикатор функцию определителя Е(к), и тем самым (с помощью теорем о связи данных характеристик целой функции с распределением ее нулей) получить требуемую информацию о распределении резонансов.

Зворский доказал теоремы о распределении резонансов опираясь на представления элементов МР через преобразование Фурье определенных функций. Фрезе хотя формально использовал определение резонансов, как нулей определителя возмущения, реально оперировал с элементами МР. Таким образом, методы Зворского и Фрезе существенно опираются на возможность явно выписать МР. Подход не требующий вычисления МР был предложен Б. Саймоном в [22], который показал, что определитель возмущения 0(к) может быть реализован как преобразование Лапласа от некоторой функции, выражающейся через потенциал.

Верхние оценки числа резонансов для одномерного оператора Шредингера с произвольным супер-экспоненциально убывающим потенциалом были получены Хитриком в [46]. Способ их получения, также как метод используемый Зворским в [20], основывается на том факте, что искомые полюса являются нулями преобразования Фурье обобщенной функции При этом само преобразование Фурье Х(к) допускает представление

1 ОО -I п+оо

Х{к) = гк- - р(х) ах - - / р(х) (е1кхд{х, к) - 1) и-оо ^ ./-ОО где решения Йоста д(х,к) ~ е~гкх, х —> +оо. Хитрик показал, что второй интеграл из последнего равенства мажорируется величиной щехр(||У||£1/|А;|)г7(1т к), ф) = Ц е^'^У{х)У{у) Шу.

Последнее вместе с формулой Йенсена (см. [43]) приводит к оценкам числа резонансов п(г) в произвольном шаре

Г иШаь ^ с + ыфу,

Л/2 ^ а так же (с помощью разложения Рисса для субгармонических функций) позволяет установить, что число резонансов в полосе 0 ^ 1тк ^ —а/2 не превосходит величины С(1 + г]{а)). Здесь литерой С обозначаются, вообще говоря, разные положительные константы.

Кроме верхних оценок числа резонансов Хитрик в случае неотрицательных потенциалов получил точные оценки ширины полосы полностью свободной от полюсов МР. Отметим также, что Хитрик предложил альтернативный подход к решению проблемы локализации резонансов, основу которого составляет запись уравнения Шредингера в виде системы уравнений Рикка-ти.

В случае гауссовского потенциала резонансы исследовались и численно-аналитическими методами (см. [50]). Основную сложность такого подхода составляет вычисление быстро осциллирующих интегралов, через которые выражаются элементы матрицы рассеяния.

Аппарат теории целых функций используемый в работах Редже, Фрезе, Хитрик дает лишь ограниченную информацию о локализации и распределении полюсов МР. Однако и требует минимальных ограничений на потенциал. С другой стороны, асимптотические методы позволяют довольно точно локализовать большие по модулю резонансы и, кроме того, выявить структуру их распределения. Дополнительной информацией, необходимой для эффективного применения этих методов в случае, например, финитного потенциала, является знание порядков его нулей на концах носителя. Как показывают результаты работ Кравицкого, Федорюка и Зворского, асимптотическое распределение резонансов существенно зависит от этих порядков. В нефинитном случае естественно ожидать, что на расположение больших по модулю резонансов будет влиять скорость убывания потенциала на бесконечности. Результаты второй главы диссертации как раз свидетельствуют об этом.

Вопрос о распределении резонансов изучался для достаточно широкого класса возмущений лапласиана на многообразиях размерности больше чем один. Переход к размерностям большим единицы существенно усложняет задачу. Поэтому результаты по этой тематике касаются, в основном, верхних оценок числа резонансов п(г) в круге произвольного радиуса г и получены лишь для возмущений с компактным носителем. Асимптотические формулы известны только в специальном случае - сферически симметричных потенциалов. Основные результаты в этой области принадлежат авторам [26]-[34]. Нижние оценки числа резонансов можно найти в работах [38]-[40]. Подробное описание вопроса, а так же обширную библиографию по теме можно найти в [15].

В заключении отметим, что по данной проблематики и в последнее время появляются новые результаты (см., например, [35]-[ЗТ]), что также свидетельствует об актуальности темы. '

Описание результатов диссертации

Основными целями данной диссертации является изучение асимптотических свойств спектра резонансов одномерного оператора Шредингера с достаточно быстро убывающим потенциалом (в том числе и финитным).

В первой главе изучается спектр краевой задачи на отрезке [а, 6]

-у"(х) + V(x)y(x) = к2у(х), (1) у'(а) + iky(a) = у'(Ъ) - iky(b) = 0, (2) где спектральный параметр к входит и в уравнение (1), и в граничные условия (2). Предполагается, что комплекснозначная непрерывная функция V(x) в точках а и b имеет нули порядков а и ß соответственно:

V(x) = (x-a)aq(x){b-x)ß, q{a) ■ q(b) ф 0.

Предложение 1. В верхней полуплоскости С+ находится лишь конечное число собственных значений задачи (1)-(2); причем все они расположены в круге {\k\ ^ 3(6 — а) max |V(x)|}. х е[а,Ь]

Точки спектра рассматриваемой задачи, лежащие в С, являются резонан-сами заданного на всей прямой оператора Шредингера Ly = — d?/dx2 + V{x) с потенциалом, продолженным нулем за пределы отрезка [а, 6]. Основным результатом данной главы является

Теорема 1. Пусть q G a,b], N ^ таx{a,ß} + 2. Тогда в полуплоскости С спектр резонансов оператора Ly состоит из двух серий {кс о симптотиками

7гп ¿7 Inn г In С 7Г7 n 2(6—а) + 2(6—а) 4(Ь-а) ~

- ос, (3)

2(6—а) \b-aJ \ п / где С = Г(а + 1)Г(/? + l)q(a)q{b){b - a)a+ß, 7 - а + ß + 4.

Задача (1)-(2) в случае целых а и ß исследована в статье [20], где собственные значения k* вычислены с точностью о(1) при п +оо. Сформулированная выше теорема дополняет (и в определенном смысле усиливает) основной результат работы [20], а именно она позволяет рассматривать комплексные потенциалы V(x) с нулями произвольных, не обязательно целых, порядков касания в точках а и 6, и для таких потенциалов выписывать асимптотику собственных значений задачи (1)-(2) с квалифицированной оценкой остатка. В [23] рассмотрена задача Редже, отличающаяся от (1)-(2) заменой первого из краевых условий (2) условием у(а) = 0, и для нее там получены асимптотические формулы распределения точек спектра. Метод получения асимптотических формул (3) родственен подходу, используемому в [11], и существенно отличается от метода работы [20].

Спектр задачи (1)-(2) совпадает (см., например, [44]) с нулями се характеристического определителя у[(а,к) -И/сг/1 (а, к) у'2{а,к) + iky2(a, к) у[(b,k) - ikyi(b, к) y'2(b,k)-ikу2(Ь, к) который строится по фундаментальной системе решений к) уравнения (1). В ходе доказательства теоремы 1 в качестве такой системы выбирается пара yi(х, к) — etkxvi(x, к) и у2(х, к) = e~lkxv2(x, к), где Vi(x, к) и v2(x, к) суть решения интегральных уравнений

Vl^X,k) = 1 + ¿/V-e-^-^m^i^^di, (4) v2(x,k) = 1 + ^j\l-e~2ik^)V{t)v2{t,k)dt. (5)

В результате, исследование спектра задачи (1)-(2) сводится к изучению корней уравнения еш(ь-аЦ(Ъ,к)у'2(а,к) = 4 к2. (6)

В §1 построены решения Vi(x, к) и v2(x, к) интегральных уравнений (4) и (5) и, затем, изучено их асимптотическое поведение при больших по абсолютной величине значениях параметра к € С. На основе этой информации в §2 установлено предложение 1.

В §3 исследованы асимптотические (при больших по модулю значениях параметра z 6 гС) свойства интегралов типа Лапласа

I(f,z) := [Ь e-*Mf(t)dt с подынтегральной функцией / из специального класса (r]\N\9).

Определение 1. Функция /: (о, Ь) —► С принадлежит классу (77где г], в е К и N е если / е Сы (а, Ь) и для к ^ N и д Е (а, Ь) найдется такое с5к > 0; что f{K4*)\ <

4< [1 + {х - af-K], же (а, <5], (б-ж)®-", же [(5,6).

Утверждение 1. Пусть g е где N = 2 — [—0] и в > —1, причем g(x)(b — х)~в е CN(a} Ь]. Тогда при достаточно больших значениях c = Rez имеет место равенство

1(9, z) = дГ^+1)^-1 + 0{z~9-2) + 0([1 + <Г*]е-а(ь"а)), где /2 = limg(x)(b — х)~в. x—>b

Результаты §3 применяются в §4 для исследовании поведения функций rb v'^k) = / e-2ik^V{t)Vl(t,k) dt J a И pb v'2(a, k) = / e-2ik{t-a)V{t)v2{t,k)dt J a при больших по модулю значениях k е С.

Утверждение 2. В гшжней полуплоскости С справедливы следующие асимптотические формулы v[(b,k) = q(b)(b—a)ar(ß+l) (2ik)~/3~1 + 0{k^~2) + 0{e2{b~a)lm *), (7) v'2(a,k) = -q{a)(b-a)ßT{a+l) (2гкуа^ + 0(k'a-2) + 0(e^b~a)hn k). (8)

Это утверждение является ключевым при выводе асимптотик (3). Идея его доказательства основана на применении формулы d е-^-^ДяЫ^) dx = ^ (^{х)уг{х, k)e~2ik^ - f{~l\x) J^ е-^-^ОЫ*, к) dt

J* e-2ik(b-X) l{f){x) ^ k) ^ (g) d с 2 ik где [c,d] С (а, 6), a l(f){x) := —f{x) — V(x) / f(t)dt - интегро-диф

J X ференциальная операция, переводящая класс функций (rj\N\6) в класс функций (г] — l|iV — 1\в — 1). Применение формулы (9) позволяет сначала "грубо" оценить производные v[(b,k) и v'2(a,k) величиной порядка 0(к~т), где т = min{o;,/?}, а, затем, используя утверждение 1, вывести асимптотические формулы (7)-(8).

Параграф 5 посвящен доказательству теоремы 1, которое проводится по следующей схеме. Сначала с помощью "грубых" оценок v[(b,k) и v'2(a,k) выявляются зоны свободные от резонансов оператора Ly.

Предложение 2. Существует т < 0 такое, что множество

G = {lm к < г, \2к\" ^ е"21т }, и = min{a, /?} + 2, не содержит точек спектра задачи (1)-(2); а в полосе {т ^ Im k ^ 0} находится лишь конечное их число.

Далее, с использованием формул (7)-(8) устанавливается, что в области С-\G множество корней уравнения (6) состоит из решений однопараметрического семейства уравнений

2ik - T-^—\n2ik + 5(к) = ип, п е Z, о—а где cjn = — и 5(к) = ОСкГ1). Каждое уравнение из этого семей

Ъ—а о—а ства может иметь лишь конечное число решений, более того, при достаточно больших по модулю значениях параметра п уравнение с номером п имеет единственный корень 7 кп = -г'а;п/2 - + 6>(ln|n|/|n¡).

Обоснование этого факта завершает доказательство теоремы 1.

Во второй главе диссертации рассматривается оператор Шредингера Ly — —d2/dx2 -f V с вещественным потенциалом V(x), удовлетворяющим условию супер-экспоненциалного убывания: для любого М > 0 найдется Т = Т(М) > 0 такое, что при всех же® V{x) | ^ Те-М|ж|.

Под резонансами оператора Ly понимаются полюса аналитического продолжения в нижнюю полуплоскость его матрицы рассеяния s(k) - (m [С(к) D(k) J • 14

Элементы этой матрицы - так называемые коэффициенты отражения и прохождения - при к 6 С+ представимы в виде интегралов

В(к) = ЪЪ I е-иаУ(х)у^к)ах,

2гк

2гк JR где у№(х, к) = е±{кх — Еу(к)е±(кхУ, а Яу{к) = (Ьу — А;2/)-1 - резольвента рассматриваемого оператора, и, соответственно,

А(к) = 1 + -V / 2г/с 7М

И (к) = 1 + / е{кхУ(х)у{-){х,к)йх. 2ък JR

Данное выше определение резонансов согласуется с определением, принятым в первой главе для финитных потенциалов. Основной целыо главы 2 диссертации является изучение спектра резонансов для супер-экспоненциально убывающих потенциалов, в частности обоснование того факта, что асимптотически распределение полюсов МР определяется ее борновским приближением.

Определение 2. Борновским приближением матрицы рассеяния называется выраэюение получающееся в результате линеаризации относительно потенциала У.

В работе [21] для оператора Шредингера с супер - экспоненциально убывающим потенциалом У(х) дано описание асимптотического распределения резонансов в терминах их угловой считающей функции. Для потенциалов рассматриваемого там класса предполагается, что преобразование Фурье У {к) — целая функция порядка р > 1 и вполне регулярного роста, а также выполнены некоторые дополнительные условия технического характера. В этих предположениях в [21] утверждается, что резонансы оператора Шредингера сосредоточены (концентрируются) вблизи лучей ащк = —7г/2 ± 7г/2р. Эту информацию о локализации спектра резонансов подтверждают и уточняют результаты главы 2.

В §1 показано, что резонансы оператора Ly совпадают с нулями определителя Е{к) = detS(-k), который имеет следующий вид

Е(к) = 1 + В{—к)С{—к) + 0{к~1), С э к оо.

Таким образом, задача исследования распределения резонансов сведена к анализу асимптотического поведения при больших по модулю значениях параметра к б С интегралов типа Фурье

1+(к) := -2ikB(-k) = [ e2ikxV{x)(l- f-(x,k))dx

JR И

I-(k) := -2ikC{-k) = [ e~2ikx V{x) (l — f+(x, к)) dx,

JR где f±(x,h) := e±ikx Rv{-k)e*ikxV.

Предварительные оценки функций f±(x,k) и интегралов /±(&) установлены в §2; в частности, там показано, что ограниченность преобразования Фурье V(k) на множестве {к 6 С, | arg(±fc)| ^ ф} влечет и ограниченность рассматриваемых интегралов на этом множестве. Применение данных результатов в задаче о локализации и распределении резонансов позволяет выделить зоны асимптотически свободные от них (ср. [46]).

Предложение 3. Пусть преобразование Фурье V{k) ограничено в секторах {|arg(±fc)| < ф). Тогда в указанных секторах может содержаться лишь конечное число резонансов оператора Шредингера by = —d2/dx2 + V(x).

Далее, в §§ 3-5 для потенциалов вида V{x) = ea:2m/2m, где т € N, детально изучено распределение резонансов. Случай гауссовского потенциала рассмотрен отдельно в §3.

Теорема 2. Множество резонансов оператора Шредингера с потенциалом V(x) = е~х 12 состоит из двух серий } с асимптотиками - Т + I + „^-н».

В случае т ^ 2 предварительно исследовано асимптотическое поведение интегралов 1±{к) в секторе К := { arg A; G (—7г + 7г/4га, — 7г/4т)}.

Лемма 1. При К Э к оо справедливы формулы

1±{к) = l (2ik)^ exp j27^ 1 (2г/с)^г| (l + O(fc^)) .

В соответствии с этим уравнение Е(к) = 0 в секторе К преобразуется к виду

2?Г , . ■ 4-6 т \ 2т — 1 ч2т 1 /., / Т 1-"» \ \ „ ——- ехр <———(2гк)^ М1 + 0[к^)) = О, пригодному для вычисления корней с нужной точностью. Отметим, что такого же вида уравнение получается, если приравнять к нулю определитель борновского приближения МР.

Теорема 3. Множество резонансов оператора Шредингера Ьу с потенциалом У{х) = е-х2т/2т) где т ^ 2, состоит из двух серий {к^}, имеющих при п —» +оо асимптотики етг4т / 2ттт

К = ± —г

П 2

2т - 1 /

2т-1

2 т

1 I ~ 2)(2т~ 1) 1пп % Акт2 п

2т—1)С± 1 „ / 1-зтч

Т -+ 0(п^ )

47ггл/ п 2т — 1 /. 2-7гт , . яд где С± = т 1п —-- + (Зт - 2) 1п --- ± г - .

2тг ^ 2т-\ 2)

Исходным пунктом подхода, применяемого для вычисления асимптотик интегралов 1±(к), является информация об асимптотическом поведении преобразования Фурье У {к) в комплексной плоскости: функция У{к) экспоненциально растет вне секторов |аг§(=ЬА;)| ^ 7г/4т и убывает внутри этих секторов с ростом модуля к (см., например, [49]). В силу предложения 3, соответствующий оператор Шредингера имеет внутри этих секторов лишь конечное множество резонансов. В секторе К с помощью метода перевала устанавливается, что асимптотика преобразования Фурье У(±2&) при \к\ —► оо определяется вкладом от точки перевала го (к) = (2 гк) 2т-1 функции Б (г, к) = 2гкг — г2гп/2т, а именно

9(±2к) = е*Р №о№, к)) (1 + 0(к^)) =

В итоге, обоснование асимптотических формул для 1±(к) сводится к получению оценок е±2**у(х)^{х,к)<1х = / еШхУ(х)/-(х,к)(1х =

У® . 2т 1 / . 2-2т х

2гк)^ У О(к2™-1),

2т — 1 которые установлены с помощью определенной модификации метода перевала. Важным элементом этой конструкции, представляющей собой одно из ключевых мест работы, является построение аналитического продолжения (по переменной z) подынтегральной функции f-(z, к) в область, содержащую перевальный контур R U [0, 2zo(k)] U (2zQ(k) +R+) фазовой функции S(z, к).

Лемма 2. При каоюдом фиксированном k Е К, |А;| ^ 2|| V||i, функции f~(z, к) аналитически продолжаются по переменной z в область argz| < 7г/4т} р| {|Imz| < sin (тг/4т)\к\/А} , где для них справедливы оценки 2\lmz\/sin (тг/4т) f-(z,k) | ^ k\

Полученные для f-(z,k) оценки свидетельствуют о том, что в секторе К интеграл I±(k) есть относительно малое возмущение преобразования Фурье а матрица рассеяния S(k) - соответственно малое возмущение своего борновского приближения. Последнее и позволяет использовать это приближение вместо самой матрицы S(k) для локализации ее полюсов и вывода асимптотического закона их распределения.

В параграфах 6-10, описанная выше схема исследования спектра резо-нансов, распространена (с соответствующими изменениями) на потенциалы более широкого класса.

Теорема 4. Для четных потенциалов вида

V(x) = е~рМ , Р(х) = а2тх2т + а2пх2п + . + а0, таких, что а2т,а2П > 0, m > 2, множество резонансов оператора Шредин-гера Ly состоит из двух серий kf, определяемых при достаточно больших значениях v € N соотношениями типа правил квантования

S(z0(k±),k±) = + Ц^г1^ + о^-^1-™'^), 1/(2т-1) где z^ik) ~ lik/ma2m) — точка перевала функции S(z,k) = 2ikz —

Р(х) и

3 ж — 2 1 ш±„ — ±7тги - —-In ((2т - 1)а2т) + - In (4т3(2т - 1)а2т/тг) .

АТТЬ А

Способ построения первального контура для фазовой функции Б (г, к), используемого в дальнейшем при выводе асимптотик интегралов 1±{к), описан в §§6-8. Исследование асимптотического поведения преобразования Фурье У{±к) в нижней полуплоскости проведено в §9.

Предложение 4. На множестве Кс {к € С, Ые 3(го(к),к) > С}; где С > 0 достаточно велико, имеет место асимптотическая формула 1

У(±2к) ехр (^(А),*)) [1 + 0(|Л|^г) у/Р"Ык))

В секторах С \ К рассматриваемая функция ограничена по модулю величиной тах ехр (-КеР{е1фг))(И. На множестве К \ Кс имеет место оценка

У{±2к) = О(|^0(/с)| 1 + ехр(КеЗ(г0(к),к)^ ).

Из ограниченности преобразования Фурье в секторах С \ К, в силу предложения 3, вытекает, что оператор Шредингера имеет там лишь конечное число резонансов.

Наконец, в §10 производится оценка выражений 1±{к) — л/ЪтУ (^2к) в секторе К, которая (в совокупности с результатами §9) приводит к формулам

1 + 0(\к\^) , КсЭк^ оо, и ш = О (МОЕ

1 + ехр (Ые 5 (гго{к), к

К Э к —► оо.

Применение этих формул позволяет установить, что множество К\Кс является асимптотически свободным от резонансов, а на множестве Кс нули Е{к) асимптотически тождественны нулям определителя борновского приближения матрицы рассеяния и удовлетворяют уравнению

Р'(20(к))2Р"Ык))

7Г ехр к

2—т

1 + 0(/с2^г)

Последнее решается с нужной точностью, что позволяет вывести асимптотический закон распределения резонансов оператора Ьу, и приводит к указанным в теореме 4 соотношениям типа правил квантования.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю Станиславу Анатольевичу Степину за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

1. Эрдейи А., Асимптотические разложения, М., Физматгиз, 1962.

2. Копсон Э., Асимптотические разложения, М., Мир , 1966.

3. Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, М., Физматгиз, 1962.

4. Федорюк М. В., Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

5. Олвер Ф., Асимптотика и специальные функции. М. Наука, 1990.6. де Альфаро В., Редже Т., Потенциальное рассеяние. М.: Мир, 1966.

6. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивиской квантовой механике. М.: Наука, 1971.

7. Ньютон Р. Теория рассеяния воли и частиц, М.:Мир, 1969.

8. Лаке П., Филипс Р., Теория рассеяния, Москва, Н., 1971.

9. Kuroda S.T., An introduction to scattering theory, Lecture-Notes Series, 51, 1978.

10. Рид M., Саймон Б., Методы современной математической физики, т. 4. М.: Мир, 1982.

11. Меркурьев С.П., Фадеев JI.B., Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, М.: Наука, 1985.

12. Яфаев Д.Р., Математическая теория рассеяния (общая теория), Изд-во С.Петербурского университета, 1994.

13. Melrose R., Geometric scattering theory. Cambridge University Press, 1995.

14. Zworski M., Counting scattering poles. Spectral and Scattering theory, Lecture Notes in Pure and Appl. A/lath., 1994, vol. 161, pp. 301-331.

15. Sjostrand J., A trace formula and review of some estimates for resonances. Microlocal analysis and spectral theory, Math. Phys. Sci., 1997, vol. 490, pp. 377-437.

16. М.Ш.Бирман, М.Г.Крейн, "К теории волновых операторов и операторов рас сеяния Докл .АН СССР ,144 :3 (1962),475 -478 ;ан-r\n.nep.:M.Sh.Birman, M.G.Krejn, "On the theory of wave operators and scattering operators Soviet Math. Dokl., 3 (1962),740 -744.

17. Regge T., Analytic properties of scattering matrix, Nuovo Cimento, 9, № 3, 1958. (Перевод в сб. "Математика"7:4, 1963)

18. Кравицкий А. О., О двукратном разложении в ряд по собственным функциям одной иесамосопряженноп краевой задачи, Дифф. уравнения 4, № 1 (1968), 165-177.

19. Zworski M., Distribution of poles for Scattering on the Real Line. J. Funct. Anal., 1987, vol. 73, no. 2, 277-296.

20. Froese R., Asymptotic distribution of resonances in one dimension, J. Diff. Equat., 137 (1997), 251-272.

21. Simon В., Resonances in one dimension and Fredholm determinants, J. Funct. Anal., 178(2002), 396-420.

22. Федорюк M. В., Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

23. Губреев Г.М., Пивоварчик В.Н., Спектральный анализ задачи Редже с параметрами, Функ. анализ и его прил., 31:1, (1997), 70-74.

24. Shkalikov A. A., Spectral analysis of the Regge Problem, Russ. journal of math, phys., Vol. 8, № 3, (2001), 356-364.

25. Melroze, R.,B., Polynominal bound on the number of scattering poles, J.Func. Anal. 53, (1983), 287-303.

26. Melroze, R.,B., Polynominal bound on the distribution of poles in scattering in scattering by an obstacle, Jornèes "Equations aux Dérivées Partielle Saint-Jeen-de-Montes, (1984).

27. Melroze, R.,B., Weyl asymptotics for the phase in obstacle scattering, Commun. Partial Differ. Eqs., 13, (1988), 1431-1439.

28. Zworski M., Sharp polynomial bounds on the number of scattering poles of radial potentials, J. Funct. Anal., 82:2 (1989), 370-403.

29. Zworski M., Sharp polynomial bounds on the number of scattering poles, Duke Math. J., 59:2 (1989), 311-323.

30. Vodev G., Polinominal bounds on the number of scattering poles for symmetric system, Ann. Inst. H. Poincare(Physique Theeorique) 54, (1991), 199-208.

31. Vodev G., Sharp polinominal bounds on the number of scattering poles for metric perturbations of the Laplacian in R", Math. Ann. 291, (1991), 39-49.

32. Sjostrand J., Zworski M., Complex scaling and distribution of scattering poles, J. Am. Math. Soc., (1991), 729-769.

33. Vodev G., Sharp bounds on the number of scattering poles for perturbations of the Laplacian, Comunnun. Math. Phys. 146, (1992), 205-216.

34. Степин С.А., Спектр резонапсов и формула следа в задаче потенциального рассеяния, Функ. анализ и его прил., 38:3, (2004), 70-74.

35. Cristiansen Т., The resonance counting function for Schrodinger operator with generic potentials, Math. Res. Lett. 12, 5-6, (2005), 821-826.

36. Cristiansen Т., Several complex variables and the oder of growth of the resonance counting function in Euclidean scattering, Int. Math. Res. Notices 2006, (2006), article ID 43160, 36 pages.

37. Sjostrand J., Zworski M., Lower bounds onthe number of scattering poles, Comm. partial Differential Equations 18, 5-6, (1993), 847-857.

38. Cristiansen Т., Some lower bounds on the number of resonances in Euclidean Scattering, Math. Research Letters 6,(1999), 203-211.

39. Sa Baretto A., Lower bounds on resonances in even-dimensonal potential scattering, J.Func. Anal. 169, 1, (1999), 314-323.

40. Melin A., Operanor methods for inverse scattering on the real line, Comm. partial Differential Equations 10 (7) (1985), 677-766.

41. Левин Б. Я., Распределение нулей целых функций

42. Tichmarsh Е. С., The zeros of certian classes of intefgral functions, Proc, London Math. Soc. 25 (1926), 283-296.

43. Наймарк M. А., Линейные дифференциальные операторы. M.: Наука, 1969.

44. Вазов В., Асимптотические разложения решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

45. Hitrik М., Bounds on scattering poles in one dimension, Comm. in Math. Phys., 208 (1999), 381-411.

46. Березин Ф.А., Шубин M.A., Уравнение Шредингера, Изд-во Моск. ун-та, М., 1983.

47. Левитан Б.М., Обратные задачи Штурма-Лиувиля, Наука, М., 1984.49. Backhoom N.G.,г ооAsymptotic expansion of the function Fk(x) = / e~u +xu du, Proc. London Math. Soc., 33:2 (1933), 83-100. °

48. Abramov A.A., Aslanyan A., Davies E., В., Bounds on complex eigenvalues and resonances, J. Phys. A: Math. Gen. 34, (2001), 57-72.Список работ автора по теме диссертации

49. Асимптотическое распределение резонансов для одномерного оператора Шредингера с финитным потенциалом. Матем. сборник, 198:12 (2007), стр. 87-104.Совместно с С.А. Степииым; диссертанту принадлежат утверждения 2 и 3 указанной статьи.

50. Spectrum of resonances in one dimension. Сборник трудов Добрушинской международной конференции. Москва, 2009, стр. 164-166.

51. Спектр резонансов одномерного оператора Шредингера с быстроубыва-ющим потенциалом. Матем. сборник, 200:12 (2009), стр. 121-156.Совместно с С.А. Степиным; диссертанту принадлежат теорема 2, предложения 1, 2 и утверждение 5.

52. Локализация полюсов матрицы рассеяния в случае нефинитного потенциала. Тезисы Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2010, стр. 183-184.