Некоторые задачи, связанные с периодическими и условнопериодическими структурами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

Коломейкина Екатерина Викторовна

Некоторые задачи, связанные с периодическими и условнопериодическими структурами

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 514.174+519.148+511.4

Ои345и584

Москва 2008

003450584

Работа выполнена на кафедре теории чисел Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Н.П. Долбилин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н.М. Добровольский (Тульский государственный педагогический институт имени Л.Н. Толстого)

кандидат физико-математических наук Р.В. Михайлов

(Математический институт имени В.А. Стек-лова РАН)

Ведущая организация: Владимирский государственный

гуманитарный университет

Защита диссертации состоится 21 ноября 2008 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 21 октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор А.О. Иванов

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

В диссертации изучаются вопросы, относящиеся к геометрии чисел. Характерными задачами геометрии чисел являются задачи о нлотнейшей решеточной упаковке и о редчайшем решеточном покрытии евклидова пространства рапными шарами. Особый интерес представляют расположения тел в пространстве, которые удовлетворяют условиям упаковки и покрытия одновременно. Такие расположения тел называются разбиением пространства. Так, одним из центральных понятий геометрии чисел является понятие на-раллелоэдра. Параллелоэдр был введен Е.С.Федоровым1 как многогранник, который допускает разбиение евклидова пространства параллельными копиями нормальным образом, то есть грапь-в грань. Разбиение пространства на параллелоэдры обладает трансляционной группой симметрии, транзитив-но действующей на множестве параллелоэдров. В силу этого, разбиение на параллелоэдры имеет решеточное строение.

В теорию параллелоэдров большой вклад внесли Г.Минковский (характеристические свойства параллелоэдра и точная верхняя оценка для числа гиперграней параллелоэдра произвольной размерности2), Г.Ф.Вороной (метод непрерывных параметров в изучении параллелоэдров Дирихле-Вороного, алгоритм для нахождения аффинных типов параллелоэдров Дирихле-Вороного3), Б.А.Венков (теорема о достаточности, обратная к теореме Мин-ковского4), Б.Н.Делоне (вывод всех 4-мерных параллелоэдров5; метод «пустого шара»6), С.С.Рышков и Е.П.Барановский (вывод всех 5-мерных примитивных параллелоэдров Вороного7). Разными аспектами теории параллелоэдров занимались также А.Д.Александров, О.К.Житомирский, П.Макмюллен, П.Энгел, Р.Эрдал и другие.

Обобщением понятия параллелоэдра является стереоэдр. Согласно Е.С. Федорову, стереоэдр — это многогранник, допускающий разбиение пространства с транзитивной группой симметрии. Транзитивность группы движений означает, что произвольную ячейку разбиения можно перевести в любую дру-

1 Федоров Е С , Симметрия правильных систем фигур С. По., 1890

2Minkowski И., Allgemeine Leherzätzeuber Konvexe Polyeder Nach Ges. Wiss Güttingen, 1897, 198-219

3Бороной Г.Ф , Исследование о примитивных параллелоздрах, Собрание сочинений, 2, Киев, 1952.

* Венков Б А , О некотором классе эвклидовых многогранников, Вестник Ленинградского Университета, сер. матем , физ., хим., 1954, 9, 11-31.

5 Delaunay В., Sut la partition reguliere de l'espace a 1 dimension, Изв. АН СССР, 1929, No 1, 79-110, No 2, 147-164.

"Delaunay В Sur la sphere vide. Изв. АН СССР, OMEH, N6, 1934, 793-800.

7Рышков С.С, Барановский Е П., С-типы n-мерных решеток и пятимерные параплелоэдры (с приложением к теории покрытий), Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 137, 1976.

гую ячейку этого разбиения посредством некоторой симметрии данного разбиения. Такое разбиение называется правильным.

Правильные разбиения и их группы изучались в работах Е.С.Федорова,

A.Шснфлиса, Л.Бибербаха, Б.Н.Делоне, Н.Н.Сандаковой, А.Д.Александрова, М.И.Штогрина, Н.П.Долбилина, Р.В.Галиулипа и других. Фундаментальные результаты по теории групп правильных разбиений в пространстве Лобачевского принадлежат Г.С.М.Кокстеру, Э.Б.Винбергу, В.С.Макарову,

B.В.Никулину, М.Н.Прохорову и другим.

Правильные разбиения являются обобщением разбиений на параллелоэд-ры в силу знаменитой теоремы Шенфлиса-Бибербаха8,9. Последняя явилась ответом на вопрос о кристаллографических группах, поставленный Гильбертом в XVIII проблеме10. Из этой теоремы следует, что любая кристаллографическая группа G (дискретная группа с компактной фундаментальной областью), действующая в d—мерном евклидовом пространстве, обладает трансляционной подгруппой конечного индекса h. Группа симметрий правильного разбиения Т является кристаллографической группой. Поэтому множество стереоэдров (ячеек разбиения) распадается в h трансляционных орбит. Если в группе G индекс h = 1 (то есть G — чисто трансляционная группа), то разбиение, на котором G действует транзитивно, является разбиением на па-раллелоэдры. Таким образом, по теореме Шенфлиса-Бибербаха всякое правильное разбиение есть объединение конечного числа решеточных упаковок евклидова пространства конгруэнтными многогранниками.

Заметим, что индекс h ограничен сверху для любой размерности d. Для d = 1,3,5 и d > 10 индекс ограничен константой H(d) = 2d ■ dl, которая является порядком полной группы d—мерного куба11'12.

Е.С.Федоров1 и А.Шенфлис9 нашли все кристаллографические группы движений трехмерного евклидова пространства.

Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова6'13 получили оценку сверху для числа i гиперграней d-мерного стереоэдра: i ^ 2(2d — 1) + (h — l)2d. Эта теорема обобщает оценку Мипковского fd-i ^ 2(2d — 1) для числа гиперграней параллелоэдра (то есть при h = 1). Позднее она была слегка улучшена А.Тарасовым14. В отличие от результата Минковского, более общая оценка Делоне-Сапдаковой не является точной. Из этой оценки была вы-

8ßieberbaeh L-, Ucber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II, Math Ann. bf 72, 1912, 400-412

9Schönjitfsi А , Kristallsysteme und Kribtallstruktur. Leiptzig, 1891

10 Гильберт Д , Проблемы Гильберта, ред. П С.Александров, "Наука Москва, 1969, 238 с.

11 Fett W , The orders of finite linear groups. Preprint, 1995.

11 Fnedland S., The maximal orders of finite subgroups in GL„(Q), Proc. Amer. Math Soc., 125(12), 1997, 3519-3526

13Делоне Б Н , Сандакова H.И., Теория стереоэдров, Труды математического института им. В А.Стеклова, 1961, No 64, 28-51.

14 Тарасов А С, Сложность выпуклых стереоэдров, Матем. заметки, 1998, Т. 61, В. 5, 797-800.

ведена конечность числа комбинаторно неэквивалентных типов нормальных правильных разбиений пространства па выпуклые многогранники. Опираясь на этот результат, а также метод «пустого шара»0, Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова построили общую теорию правильных разбиений Вороного евклидова пространства13.

М.И.Штогриным были выведены все типы стереоэдров для II триклин-ной группы.15 Это единственный пока (за исключением трансляционной и коксетеровской групп) пример кристаллографической группы, действующей » 3-мерном евклидовом пространстве, для которой были перечислены всевозможные; типы стереоэдров Вороного. Отметим также важную работу А.Д.Александрова16, который обобщил идею Пуанкаре на многомерный случай, показав, что требование к cnjH.no связному одноевязпому полиэдральному комплексу быть разбиением в окрестности каждой его (<1 — 2)—мерной грани есть достаточное условие того, что весь полиэдральный комплекс является разбиением односвязного пространства.

Задачи, рассматриваемые п первых двух главах диссертации, имеют кристаллографическую мотивацию. Вполне естественно, что атомы кристалла образуют так называемую (г, Л)—систему или множество Делоне (равномерно дискретное и однородное точечное множество; определение см. в главе 1). Но помимо этого, атомы кристалла находятся в узлах одной или нескольких целочисленных решеток, параллельно расположенных друг относительно друга. Таким образом, в идеальном кристалле расположение атомов периодично, сколь угодно большой фрагмент повторяется бесконечное число раз. Положение ближних атомов обусловлено наличием и геометрией межатомных связей.17 Атомы одного наименования в процессе кристаллизации стараются окружить себя идентичным образом. Так как взаимодействие между далекими атомами ничтожно, то с физической точки зрения подобная идентичность может быть объяснима взаимодействием близлежащих атомов. Другими словами, идентичность структуры всех атомов одного и того же сорта может быть физически обусловлена лишь в некоторой окрестности. При этом глобальный порядок, наблюдающийся в кристаллах, должен быть следствием этой локальной идентичности. Локальные условия точечных систем можно высказать в терминах разбиений пространства на многогранники. Это следует из того, что каждой точке множества Делоне можно поставить в соответствие область Вороного, а точечной системе можно поставить в соот-

15Штогрин М.И., Правильные разбиения Дирихле-Вороного для второй триклинной группы. Труды МИАН им. в А.Стеклова 123, 1973.

16 Александров А Д., О заполнении пространства многогранниками Вестник Ленинградского Университета, сер матем., физ , хим , 1954, 9, 33-43.

17 Фейнман Р, Лейтон Р, Сэндс М , Фейнмановские лекции по физике, 7, »Мир», Москва, 1966, 290 с.

ветствие разбиение Вороного на многогранники.

Приведенное выше определение правильности разбиения использует понятие группы явным образом. Д.Гильберт и С.Кон-Фоссен18 требование правильности переформулировали более наглядно, а именно: разбиение правильное, если каждая его ячейка окружена до бесконечности так же, как и любая другая. На первый взгляд, в этом определении не используется понятие группы. Однако уточнение того, что нее ячейки разбиения окружены другими ячейками до бесконечности идентично, и состоит в том, что каждую ячейку можно перевести в любую другую ячейку движением, совмещающим все разбиение с собой. Но это и есть условие транзитивности группы симметрии разбиения на множестве его ячеек. Таким образом, определение правильности по Гильберту и Кон-Фоссену также опирается на понятие группы.

В 1974 году Б.Н.Делоне и Р.В.Галиулиным была инициирована задача: вывести правильность разбиения (или правильность системы точек) из локальной идентичности данного разбиения лишь в некоторой окрестности каждой его ячейки. Была доказана локальная теорема, отвечающая на этот вопрос одновременно для точечных систем и для разбиений19,20.

Из локальной теоремы, а также оценки Делоне-Сандаковой, вытекает, что для любой размерности d существует такая константа к = k(d), что разбиение Т евклидова пространства Ed на конгруэнтные ячейки является правильным тогда и только тогда, когда число гиперграней fd-i ^ 2(2d — 1) + (H(d) — l)2d и все короны радиуса к попарно конгруэнтны21.

Обобщением правильного разбиения является мультиправильное (или тп-эдральное) разбиение, то есть разбиение, множество ячеек которого распадается в конечное число ттг орбит относительно группы симметрии данного разбиения. Были найдены локальные условия, необходимые и достаточные для того, чтобы разбиение, а также точечное множество Делоне, были муль-типравильными с заданным числом тп орбит21,22. Эта теорема получила название обобщенной локальной теоремы. До открытия квазикристаллических разбиений Пенроуза23 бесконечная повторяемость любого локального фрагмента разбиения рассматривалась многими не только как необходимое, но и достаточное условие кристаллографичности разбиения. Однако это казавше-

18Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. Пер с немецкого. УРСС, 2004, 344 с

19 Делоне Б.Н., Долбилин Н.П., Штогрин М.И., Галиулин Р.В , Локальный критерий правильности системы точек, ДАН СССР, матем., 227, el, 1976, 319-322.

20Dolbihn N P., Schattschneider D , The local theorem for tilings Quasicrystals and discrete geometry Ed.J Patera Providence (RI) Amer.Math. Soc., 1998, 193-200.

21 Dolbihn N.P., Which clusters can form a crystal?. Volume "Voronoi's impact on modern science book 2, Kyiv, 1998, 96-104

22 H П.Долбилин, М.И Штогрин, Локальный критерий для кристаллической структуры, IX Всесоюзная геометрическая конференция, тезисы, Кишинев, 1987, 64, с. 99

23R.Penrose, The role of aesthetics in pure and applied research. Bull. Inst. Maths. Appl. 10, 1974.

еся правдоподобии »im утверждение является неверным: в квазипериодическом узоре Пепроуза каждый локальный фрагмент встречается бесконечное число раз, тем не менее, разбиение Пепроуза кристаллографическим не является. Обобщенная локальная теорема уточняет условия кристаллографичпости и, тем самым, проводит четкую границу между кристаллографическими и пскриеталлографическими разбиениями.

Глава 3 посвящена применению методов геометрической теории диофанто-вых приближений в одной задаче о распределении последовательности Кро-некера. Пусть числа «i,... ,as € R, s ^ 1, линейно независимы вместе с 1 над Z. Последовательностью Кронекера называется последовательность точек

& = ({<*!*},...,{<»,*;}), к = 0,1,2,3,..., в единичном кубе [0; l)s.

Согласно теореме; Кронекера, эта последовательность всюду плотна в [0;l)s. Г.Вейль доказал, что эта последовательность равномерно распределена 24, то есть, если обозначить A^(7i, ..., 7S) количество попаданий первых р членов последовательности Кронекера в параллелепипед [0, 7i] х ... х [0,7S], 7i £ (0,1), г = 1,..., s, то для величин!,[

Dp= sup |Л^(7ь • • • 17s) — 7i • • • 7sPl

7i,...,'7.6(0,1]

будет выполнено

Dp — о(р), р-> оо.

В общем случае более сильную оценку для Dp, чем вышеприведенная, получить нельзя. Это связано с существованием чисел Qi,... ,as, допускающих аномально хорошие диофантовые приближения в смысле линейной формы — сингулярных систем А.Я.Хинчина20'26.

Напомним читателям определение ц—сингулярных систем Хинчина. Пусть функция ц(у) = o{y~s), у —» оо, убывает к нулю. Набор чисел ai,...,as называется /х—сигулярной по Хинчину системой (в смысле линейной формы), если для любого Т > 1 имеется решение системы неравенств

\\miai + ... + гпаЦ < ц(Т), 0 < max \m,\ ^ Т в целых числах mi,. ■., ms.

"Я. Weyl, Uber die Gleicliverteiluug von Zahlen mod. Eins. Math. Ann 1916, Bd. 77, 313-352.

25A. Khmtchtne, Uber eine klasse linearer Diophantisher approximationen. Rendiconti Circolo Matemático di Palermo. 50, 1926, s. 170-195

2GКасселс Дж В С., Введение в теорию диофантовых приближений М. ИЛ, 1961.

о

В главе 3 мри будут построены сингулярные системы Хинчина специального вида, с помощью которых получены новые результаты о распределении последовательности

в среднем по начальным фазам ..., <р5.

Обзор близких задач о геометрических свойствах диофантовых приближений имеется в работе27.

Пусть б' = 1 и F(a;l) — абсолютно непрерывная вещественпозпачная функция, периодичная по вещественной переменной Х\ с периодом единица и нулевым средним значением Р(х\)с1х1 = 0. Е.А.Сидоровым28 было доказано, что если с*1 иррационально, то

Несколько ранее В.В.Козловым29'30 подобный результат был получен в предположении дважды дифференцируемости F. Отметим, что, согласно Г.Всйлю, при всяком я для гладкой функции Р(х1,... ,х$), периодичной (с периодом 1) по каждому из аргументов и со средним значением равным нулю в случае, когда числа ах,... линейно независимы вместе с 1 над полем (¡2, выполняется

Н.Г.Мощевитиным31'32 было доказано, что при всяком s для гладкой функции F(xi, . ■., xs), периодичной по каждому из аргументов и со средним значением равным нулю в случае, когда числа ay,...,as линейно независимы вместе с 1 над полем Q, для каждой фиксированной начальной фазы (</?i,..., ipb) выполняется

27 MoAhchevittn N.G., Best Diophantine approximations : the phenomenon of degenerate dimension. Surveys in Geometry and Number Theory. London Math. Society, Lecture Note S-, Cambridge University Press, London, 2007, vol 338,

28 Сидоров E A , Об условиях равномерной устойчивости no Пуассону цилиндрических систем, УМН , 1979, Т. 34, В 6, 184-188.

29Козлов В В , Об интегралах квазипериодических функций. Вестник Московского Университета Сер.1, Матем , 1978, В.1, 106-115.

30 Козлов В В , Методы качественного анализа в динамике твердого тела М.' МГУ, 1980

31 Мощевитпин ИГ О возвращаемости интеграла гладкой условнопериодической функции// Матем. заметки, 1998, Т. 63, В. 5, С 737-748.

32Moshchevitin N G., Algebraic Number Theory and Diophantine analysis. Proc. Int. Conf. Graz, Austria, 2000, p

{aiк + ¥>!},..., {ask + <ps}, к = 0,1,2,3,...

sup ^ F(onk + cpi,.ask + ips) =o(q), q —> +oo.

162-182.

311-329

ч-1

ИшшГ Р(а1к + ... ,а$к + 1р3) <+оо.

и—+оо ^—' к=О

На самом деле, конструкция доказательства из работ Н.Г.Мощевитииа 31,32 позволяет иметь этот результат при € Ст(Тв),т = е7б1г'\

Цель работы

Целью настоящей работы является поиск локальных условий, обеспечивающих правильность разбиений евклидовой плоскости и двумерной сферы; поиск локальных условий, обеспечивающих биправильность триангуляции евклидовой плоскости; поиск условий, обеспечивающих отсутствие равномерной возвращаемости гладких сумм по начальной фазе при наборе частот, линейно независимых вместе с 1 над полем рациональных чисел.

Методы исследования.

В работе используются методы геометрии чисел, теории разбиений, теории цепных дробей, методы комбинаторного, функционального и математического анализа.

Научная новизна

Основные результаты, полученные в данной работе, являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано, что разбиение евклидовой плоскости является правильным тогда и только тогда, когда все неполные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны.

2. Доказано, что разбиение двумерной сферы является правильным тогда и только тогда, когда все неполные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны.

3. Доказано, что триангуляция евклидовой плоскости является биправиль-ной тогда и только тогда, когда множество полных корон радиуса 1 разбиения распадается на 2 класса.

4. Найдены необходимые и достаточные условия на множество, называемое спектром гладкой периодической функции F(x],... ,х3), обеспечивающие отсутствие равномерной возвращаемости по начальной фазе 1р1,...,<р3 суммы ^21=о ■^('З^ + ^ь • • • > О-вкЛ-<р3) при частотах о^,..., а8, линейно независимых вместе с 1 над полем рациональных чисел.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы исследований могут быть применены в области геометрической кристаллографии, теории разбиений и динамических систем.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались:

• Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю.В. Нестеренко, А.А. Карацубы и Н.Г. Мощевитипа, 2007 г.;

• «Дискретная геометрия и геометрия чисел» под руководством Н.П. Дол-билина и Н.Г. Мощевитина, 2007 г.;

• «Выпуклые многогранники» под руководством Н.П. Долбилина, 2007 г.;

• «Геометрия в целом» под руководством И.Х. Сабитова и Э.Р. Розендорна, 2007 г.;

• V международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», (г. Тула, ТПГУ, 19-24 мая 2003 г.);

• VI международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная 100-летию Н.Г. Чудакова (г. Саратов, СГУ, 13-17 сентября 2004 г.);

• Международная конференция «Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике», посвященная 90-летию Ю.В. Линника (г. Санкт-Петербург, С.-Пб.ГУ, 25-29 апреля 2005

г.);

• Международная конференция «Аналитические и комбинаторные методы в теории чисел и геометрии», посвященная Н.М. Коробову (г. Москва, МГУ, 25-31 мая 2006 г.);

• IX Международный семинар «Дискретная математика и ее приложения», посвященный 75-летию со дня рождения академика О.Б. Лупанова (г. Москва, МГУ, 18-23 июня 2007 г.).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приводится в конце автореферата [1-5].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разделенных на параграфы, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 87 страниц. Библиография включает 58 наименований.

Краткое содержание работы.

Введение содержит постановку основных задач, рассматриваемых в диссертации. Также во введении приведен обзор результатов, относящихся к содержанию работы.

В главе 1 изучаются задачи по локальной теории правильных разбиений. Результаты как первой, так и второй главы диссертации формулируются в терминах корон радиуса 1 (полных и неполных). Под неполной короной радиуса 1 ячейки данного разбиения понимается подкомплекс разбиения, состоящий из данной ячейки и всех ячеек разбиения, смежных с данной по общим сторонам. Под полной короной радиуса 1 ячейки разбиения понимается подкомплекс разбиения, состоящий из ячейки и всех ячеек разбиения, смежных с данной как по целым сторонам, так и по общим вершинам. В работе33 было показано, что для обеспечения правильности разбиения евклидовой плоскости достаточно условия попарной конгруэнтности полных корон радиуса 1 или, что то же самое, достаточно существования в данном разбиении ровно одного класса эквивалентности полных корон радиуса 1.

В первой части главы 1 диссертации доказывается теорема 1, улучшающая результат работы33.

Теорема 1. Разбиение евклидовой плоскости на выпуклые многоугольники правильно тогда и только тогда, когда все неполные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны.

Доказательство теоремы 1 носит комбинаторный характер и в значитель-

90 Ti

нои степени опирается на локальную теорему и теорему о полных коронах .

Отметим, что для плоскости Лобачевского это утверждение не верно. В разбиении, построенном К. Böröczky34, не только все неполные, но и полные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны. Однако данное разбиение не только не правильно, но даже не кристаллографично, то есть площадь фундаментальной области группы симметрий разбиения бесконечна (М.И.Штогрин).

33 Schattschneider D., Dolbilm N.P , One Corona is enough for the Euclidean Plane. Fields Institute Monographs Quasi Crystals and Discrete Geometry, Ad G.Patera, A M S , Rod Island, 1998, 207-246

3< Böröczky К, Gombkito] tesek all ando gorbuletu terekben Mat Lapok 1974, V. 25, P 265-306; 1975, V. 26, P. 67-90

Этот факт иереи также и для многомерных разбиений Böröczky (ем. Макаров35; N.DoIbilin, D.Frettlöh30).

Отметим также, что в евклидовых пространствах размерности 3 и выше попарная конгруэнтность полных корон радиуса 1 также не достаточна для обеспечения правильности разбиений. В работе37 приведен пример трехмерного разбиения, в котором все полные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны, но разбиение правильным не является.

В этой же главе 1 исследуется вопрос о локальных условиях правильности разбиений двумерной сферы. Доказывается следующая теорема, являющаяся аналогом теоремы 1:

Теорема 2. Разбиение двумерной сферы на выпуклые сферические многоугольники правильно тогда и только тогда, когда все неполные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны.

В главе 2 рассматриваются мультиправильные (тп—эдральные) разбиения евклидовой плоскости. Пусть фиксировано тп € N, тп—эдральное разбиение — это разбиение, множество ячеек которого распадается в тп орбит относительно группы симметрии данного разбиения. Такое разбиение называют так же кристаллографическим разбиением. Правильные разбиения являются частным случаем кристаллографических разбиений при тп = 1.

На основе обобщенной локальной теоремы была получена работа38, в которой дается оценка сверху для числа гиперграней произвольной ячейки в тп—эдральном разбиении пространства Ed. Из этой работы следует существование такого целого числа k = k(d,m), что если все ячейки разбиения имеют не более гиперграней и все короны радиуса к данного разбиения распадаются в m классов, то разбиение является мультиправильным с то орбитами. Оценка k(d,m) груба, поэтому имеет значение нахождение более точных оценок этой величины.

Цель второй главы — улучшить оценку k(d,m) для d = m = 2 в случае, если все ячейки разбиения треугольные. Обозначим через число классов полных корон радиуса к, через N¡t — число классов неполных корон радиуса к. Согласно определению, в т— эдральном разбиении число классов полных корон радиуса к равно т для всех к, начиная с некоторого номера kg.

" ' Макаров В С , Об одном неправильном разбиении га—мерного пространства Лобачевского конгруэнтными многогранниками. "Дискретная геометрия и топология поев. 100-летию со дня рождения Б.Н Делоне, Труды МИАН, 190, 1991, 93-90

36 N Dfílbilm, D Frettlöh, Properties of Boróczki tilings in high dimensional hyperbolic spaces European Journal of Combinatorics, 2008 (в печати).

37 Engel P , Geometric Crystallography, D Reidel Publishing Co, 1986, 266 p

38 N P DolhUin, A.W M Dress and D H Ниьоп. Two finiteness theorems for periodic tilings of d-dimensional euchdean space Discrete and Computational Geometry, 1998,20.143-153.

Для бинравильных разбиений Л^ = 2 для всех А; ^ ¿о.

Основным результатом главы 2 является следующая теорема:

Теорема 3. Триангуляция евклидовой плоскости является биправильной тогда и только тогда, когда число Л^* классов полных корон радиуса 1 а триангуляции равно 2.

В доказательстве теоремы 3 активно используются обобщенная локальная теорема для т—эдральных разбиений21 и теорема 1 диссертации.

Результат теоремы 3 неулучшаем, а именно: в главе 2 приведен пример триангуляции евклидовой плоскости с числом классов неполных корон Ы\ = 2, но с числом классов полных корон N1 = 3. Это означает, что число орбит ячеек данного разбиения как минимум равно 3, и разбиение биправильным не является.

Опишем содержание главы 3. В работе Н.Г.Мощевитина39 было доказано, что для произвольной функции /г(х1,...,хДй ^ 2, у которой все коэффициенты Фурье ,.1Г„я, кроме коэффициента ^ .о, отличны от нуля и для любой положительпозначной функции Х(у) = о{у), у —> +оо, найдется набор чисел ац,...,а3, линейно независимых вместе с единицей над полем рациональных чисел, такой, что

sup

VI > ■

<7-1

k~ О

f 1 1 /-/

4-1

У^ F(aik + tpi,..., ask + <

k=0

2 \ 1/2 dip\... dips I > A (q)

при всех достаточно больших ц.

Глава 3 настоящей работы посвящена уточнению последнего результата. Пусть Р{х\,..., х3) представима рядом Фурье

F(xu...,xs) = F'ne

2m(mixi+...+msxs)

me Z'

В этой главе формулируется и доказывается теорема 4 о необходимых и достаточных условиях на множество

Spec F = {(mlt..., ms) € Z5 : Fmi,...,m. ф 0},

Мощевитин Н.Г., Распределение значений линейных функций и асимптотическое поведение траекторий некоторых динамических систем. Матем. заметки, 1995, Т. 58, В. 3, с. 394-410

называемое спектром функции F, которые бы обеспечивали отсутствие равномерной возвращаемости по начальной фазе (ери ..., <ps) суммы

Теорема 4. Пусть периодическая функция F с периодом 1 принадлежит

Рассмотрим следующие два условия:

А) для любой положительнозначной функции А (у) = о(у), у —> +оо, найдется такой набор чисел а. у,... ,а6, линейно независимых вместе с единицей над полем рациональных чисел, что

при всех достаточно больших: q;

В) найдется положительное R и ненулевая целая точка (pi,---,Pi) € такие, что Spec F С B(R) U С(р), где B{R) обозначает шар с центром в нуле и радиусом R, а С(р) обозначает прямую, проходящую через начало координат и точку р.

Тогда условие А) эквивалентно отрицанию условия В).

Ранее была получена автором похожая теорема, в которой давалось достаточное условие на SpecF для случая s = 2, чтобы выполнялось условие А теоремы 4. Сформулируем эту теорему.

Теорема 5. Пусть / : Т2 —> Е такая функция, Spec / которой имеет две предельные прямые. Тогда для любой функции А = А(у) такой, что •Му) = °{у) и ^^ монотонно убывает к нулю при у —> оо, найдутся числа «1 и ао, линейно независимые вместе с 1 над Z, что для всех достаточно больших q выполняется:

Фактически все конструкции, как из работ Н.Г.Мощевитина, так и наши, основаны на построении сингулярных систем Хинчина специального вида.

классу С1 и

max

Числа а1,...,аь, обладающие еиоПстиами, необходимыми для доказательства теоремы 4, строятся с помощью методом геометрии чисел и основной вспомогательной лемме.

Отметим, что рассматриваемые величины

р-1

+ + и эир

к=о

р-1

к=О

можно интерпретировать как гладкие аналоги соответственно локального и глобального отклонения

мр(ъ,---,ъ) ~ъ---ър и о,, = вир |л/р(7ь...,7я) -7!...7,р|.

71, -,7.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Н.П. Долбилину за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

Автор выражает искреннюю благодарность: заведующему кафедрой теории чисел чл. корр. РАН Ю.В. Нестеренко, профессору Н.Г. Мощевитину и всем участникам семинара «Дискретная геометрия и геометрия чисел», в особенности Е. Маринину, за полезные обсуждения и поддержку.

Публикации автора по теме диссертации.

[1| Коломейкина Е. В., Мощевитпин Н. Г., О невозвращаемости в среднем сумм вдоль последовательности Кронекера. Матем. заметки, 2003, Т. 73, No 1, с. 140-143.

[2| Коломейкина Е. В., Локальные условия правильности разбиения евклидовой плоскости. Чебьпневский сборник, 2004, Т. 5, No 3(11), с. 31 51.

[3| Коломейкина Е. В., Локальные условия правильности разбиения двумерной сферы. Чебышевский сборник, 2005, Т. б, No 2(14), с. 184-195.

[4| Колом,ейкина Е. В., О локальных условиях биправильных триангуляции евклидовой плоскости. Материалы IX Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения», посвященного 75-летию со дня рождения академика О.Б. Лупапова, 2007, с. 384-38G.

(5| Коломейкина Е.В., Асимптотическое поведение временных средних. III Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и приложения», Тула, 1996, с. 80.

В работе [1| второму автору принадлежит концепция доказательства основного результата, первому автору — весьма сложная техническая реализация этой концепции.

Подписано в печать 14.10.2008 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 75 экз. Заказ № 753 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Локальные условия правильности разбиений евклидовой плоскости

§1. Разбиение, основные понятия

§2. Локальные теоремы

§3. Условия правильности разбиений плоскости: теорема

§4. Комбинаторная лемма о разбиениях евклидовой плоскости

§5. Доказательство теоремы

§6. О разбиении К.Берецки гиперболической плоскости

§7. Локальные условия правильности разбиений двумерной сферы

7.1. Условие правильности разбиений двумерной сферы: теорема

7.2. Вспомогательные утверждения

7.3. Доказательство теоремы

ГЛАВА 2. Локальные условия биправильности триангуляций евклидовой плоскости

§1. Критерий биправильных триангуляций: теорема

§2. Основные понятия .'.

§3. Доказательство теоремы

ГЛАВА 3. О невозвращаемости сумм в среднем вдоль последовательности Кронекера

§1. Задача о последовательности Кронекера: теорема 4.

§2. Доказательство того, что из условия В следует отрицание А

§3. Основная лемма.

§4. Доказательство того, что из невыполнения В следует условие А

В диссертации изучаются вопросы, относящиеся к геометрии чисел. Геометрия чисел была заложена в работах Лагранжа и Гаусса, а на рубеже XIX-XX веков, благодаря работам Г.Минковского и Г.Ф.Вороного, оформилась в самостоятельную дисциплину. В геометрии чисел теоретико-числовые задачи формулируются на языке геометрии, и при их решении используются геометрические методы решения. Так, теоретико-числовая задача о максимальном значении целочисленного минимума положительных квадратичных форм от п переменных с данным определителем может быть переформулирована в геометрических терминах как задача о плотнейшей решеточной упаковке евклидова пространства Еп равными шарами. Последняя задача является одной из основных задач геометрии чисел. Другая характерная задача геометрии чисел есть задача о редчайших решеточных покрытиях евклидова пространства равными шарами.

Для нас, в первую очередь, представляют интерес такие расположения тел в пространстве, которые удовлетворяют условиям упаковки и покрытия одновременно. Такие расположения тел называются разбиением пространства. Так, одним из центральных понятий геометрии чисел является понятие па-раллелоэдра. Согласно Е.С.Федорову [45], параллелоэдр — это многогранник, который допускает разбиение пространства параллельными копиями нормальным образом, то есть грань-в-грань. В силу нормальности, разбиение на параллелоэдры обладает трансляционной группой симметрий, транзитив-но действующей на множестве параллелоэдров. Другими словами, разбиение на параллелоэдры имеет решеточное строение.

Большой вклад в развитие теории параллелоэдров внесли Г.Минковский (характеристическая теорема о параллелоэдрах и точная верхняя оценка для числа гиперграней параллелоэдра [33]), Г.Ф.Вороной (метод непрерывных параметров изучения параллелоэдров Дирихле-Вороного, алгоритм для нахождения типов параллелоэдров Дирихле-Вороного [8]), Б.А.Венков (достаточные условия параллелоэдра [7]), Б.Н.Делоне (вывод всех 4-мерных параллелоэдров [17]; элементарный «метод пустого шара» [18], который оказался полезным для изучения разбиений Вороного и Делоне), С.С.Рышков и Е.П.Барановский (вывод всех 5-мерных примитивных параллелоэдров Вороного [39]). Достижения в теории параллелоэдров принадлежат также А.Д.Александрову, О.К.Житомирскому, П.Макмюллену, Р.Эрдалу, П.Энгелу и другим.

Обобщением понятия параллелоэдра является стереоэдр. Стереоэдр — это многогранник, допускающий такое разбиение пространства, группа симметрии которого действует транзитивно на множестве всех ячеек данного разбиения ([8], [13], [52]). Транзитивность действия группы движений означает, что произвольную ячейку разбиения можно перевести в любую другую ячейку этого разбиения посредством некоторой симметрии данного разбиения. Такое разбиение называется правильным.

Обобщением правильного разбиения является мулътиправилъное (или т—эдралъпое) разбиение, то есть разбиение, множество ячеек которого распадается в конечное число т орбит относительно группы симметрий данного разбиения. Такое разбиение называют так же кристаллографическим разбиением. Если число орбит т = 1, то разбиение является правильным, если т — 2, то разбиение называют биправильным. Правильные и мультиправиль-ные разбиения являются математической моделью кристалла.

Правильные разбиения и кристаллографические группы изучались в работах Е.С.Федорова, А.Шенфлиса, Л.Бибербаха, Б.Н.Делоне, Н.Н.Сандаковой,

A.Д.Александрова, М.И.Штогрина, Н.П.Долбилина, Р.В.Галиулина и других. Важные результаты по теории правильных разбиений пространства Лобачевского и их групп симметрий принадлежат Г.Кокстеру, Э.Б.Винбергу,

B.С.Макарову, В.В.Никулину, М.Н.Прохорову и другим.

Правильные разбиения являются обобщением разбиений на параллелоэд-ры в силу знаменитой теоремы Шенфлиса-Бибербаха [42], [4], [5], которая является ответом на вопрос, поставленный в XVIII проблеме Гильберта [10]. В силу этой теоремы, любая кристаллографическая группа G (дискретная группа с компактной фундаментальной областью), действующая в d—мерном евклидовом пространстве, обладает трансляционной подгруппой Т конечного индекса h = \GjT\. Группа симметрий правильного разбиения Т является кристаллографической группой. Поэтому множество стереоэдров (ячеек разбиения) распадается в h трансляционных орбит. Если в группе G индекс h = 1 (то есть G — чисто трансляционная группа), то разбиение, на котором G действует транзитивно, является разбиением на параллелоэдры. Таким образом, по теореме Шенфлиса-Бибербаха всякое правильное разбиение есть, объединение конечного числа решеточных упаковок евклидова пространства конгруэнтными многогранниками.

Заметим, что индекс h ограничен сверху для любой размерности d. В частности, для d = 1,3,5 и d > 10 индекс h ограничен сверху константой H(d), являющейся порядком полной группы d—мерного куба (см. [48], [49]):

H{d) = 2d-dl

Е.С.Федоров [46] и А.Шенфлис [42] нашли все кристаллографические группы движений трехмерного евклидова пространства.

Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова нашли оценку сверху для числа гиперграней cf-мериого стереоэдра ^ 2(2d - 1) + (h - l)2d (см. [13], [14]). Эта теорема обобщает оценку Минковского fd-\ ^ 2(2d — 1) для числа гиперграней параллелоэдра (то есть при h = 1). Позднее она была слегка улучшена А.Тарасовым в работе [44]. В отличие от результата Минковского, более общая оценка Делоне-Сандаковой не является точной. Из этой оценки была выведена конечность числа комбинаторно неэквивалентных типов нормальных правильных разбиений пространства на выпуклые многогранники. Опираясь на этот результат, а также «метод пустого шара» [18], [12], Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова построили общую теорию правильных разбиений Вороного евклидова пространства [13].

М.И.Штогриным были выведены все типы стереоэдров Вороного для II триклинной группы [52], то есть группы, содержащей непрерывные параметры. Отметим также важную работу А.Д.Александрова [1], который обобщил идею Пуанкаре на многомерный случай, показав, что условие разбиения вокруг любой отдельно взятой (d—2)—мерной грани полиэдрального комплекса есть достаточное условие того, что весь полиэдральный комплекс является разбиением односвязного пространства.

Атомы кристалла являются узлами решетки или мультирешетки. В идеальном бесконечном кристалле расположение атомов периодично: сколь угодно большой фрагмент повторяется бесконечное число раз. Положение ближних атомов обусловлено наличием и геометрией межатомных химических связей [47]. Атомы одного наименования в процессе кристаллизации стараются окружить себя идентичным образом. Так как взаимодействие между далекими атомами ничтожно, то с физической точки зрения подобная идентичность может быть объяснима лишь в окрестности каждого атома. Что касается глобального порядка, то он должен быть следствием локальной идентичности. Эти локальные условия точечных систем можно высказать в терминах разбиений на многогранники. Действительно, каждой точке точечного множества можно поставить в соответствие область Вороного, поэтому точечной системе пространства можно поставить в соответствие дуальное разбиение Вороного на многогранники.

Приведенное выше определение правильности разбиения использует понятие группы явным образом. Д.Гильберт и С.Кон-Фоссен в работе [11] требование правильности переформулировали менее формально, а именно: разбиение правильное, если каждая его ячейка окружена до бесконечности так же, как и любая другая. На первый взгляд, в нем не используется понятие группы. Но это определение носит глобальный характер. Ведь уточнение того, что все ячейки разбиения окружены другими ячейками до бесконечности идентично, и состоит в том, что каждую ячейку можно перевести в любую другую ячейку движением, совмещающим все разбиение с собой. Но это и есть условие транзитивности группы симметрий разбиения на множестве его ячеек. Таким образом, определение правильности Гильберта и Кон-Фоссена опирается на понятие группы, и эти два определения эквивалентны.

В 1974 году Б.Н.Делоне и Р.В.Галиулипым была инициирована задача: вывести правильность разбиения (или правильность системы точек) из локальной идентичности данного разбиения лишь в некоторой окрестности каждой его ячейки (точки). Была доказана локальная теорема, отвечающая на этот вопрос, одновременно для разбиений и для точечных систем (Б.Н.Делоне, Н.П.Долбилин, М.И.Штогрин, Р.В.Галиулин, см. [15], [22], а также главу 1).

Из локальной теоремы, а также оценки Делоне-Сандаковой, вытекает, что для любой размерности d существует такая константа к = k(d), что разбиение Т евклидова пространства на конгруэнтные ячейки является правильным тогда и только тогда, когда число fa-1 гиперграней ячейки ограничено сверху и короны радиуса к попарно конгруэнтны: fd-x < 2(2d - 1) + 2d(k - 1) и Ск(Р) = Ск(р') для любых Р, Р' G Т.

В дальнейшем с опорой на локальную теорему предпринимались усилия найти наименьший радиус конгруэнтности корон, обеспечивающий правильность разбиения пространства. В работе [41] было показано, что для обеспечения правильности разбиения евклидовой плоскости достаточно условия попарной конгруэнтности полных корон радиуса 1 или, что то же самое, достаточно существования в данном разбиении ровно одного класса эквивалентности полных корон радиуса 1.

В первой главе диссертации показывается, что на самом деле для обеспечения правильности разбиения евклидовой плоскости на выпуклые многоугольники достаточно условия попарной конгруэнтности неполных корон радиуса 1 или, что то же самое, существования в данном разбиении ровно одного класса эквивалентных неполных корон радиуса 1 (теорема 1, [56]).

Отметим, что для плоскости Лобачевского это утверждение не верно. В разбиении, построенном Boroczky К. [6], все полные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны, однако, как заметил М.И.Штогрин, данное разбиение не только не правильно, но даже не кристаллографично, то есть объем (в данном случае площадь) фундаментальной области группы симметрии разбиения бесконечен (см. также Макаров [32], Dolbilin, Frettloh [24]).

Отметим также, что попарной конгруэнтности полных корон радиуса 1 не достаточно для обеспечения правильности разбиений трехмерного евклидова пространства Е3. В работе [26] приведен пример разбиения, в котором все полные короны радиуса 1 конгруэнтны, но разбиение правильным не является.

В главе 1 также исследуется вопрос о локальных условиях правильности разбиений двумерной сферы. Разбиение сферы на сферические многогранники называется правильным, если, как и в случае евклидова пространства, его группа симметрий действует транзитивно на множестве ячеек разбиения. Группа симметрий правильного разбиения сферы есть конечная группа поворотов пространства Жа вокруг центра этой сферы. Среди правильных разбиений (d— 1)-мерной сферы Sd~1 можно выделить разбиения Вороного, которые непосредственно связаны с d-мерными изоэдрами. Отметим, что при d — 3 изоэдры играют важную роль в кристаллографии. Изоэдром называется выпуклый многогранник, группа симметрий которого транзитивно действует на множестве его гиперграней. Связь между изоэдром и правильным разбиением Вороного сферы такова. Симметрии группы изоэдра обладают хотя бы одной общей неподвижной точкой. Если изоэдр является ограниченным многогранником, то неподвижная точка единственна, а сам изоэдр является многогранником, описанным вокруг сферы с центром в этой неподвижной точке. Если спроецировать поверхность изоэдра на эту сферу из ее центра, то получится разбиение Вороного сферы относительно множества точек касания граней. В силу транзитивности группы, это множество точек является правильным.

В диссертации доказывается аналог Теоремы 1 для двумерной сферы, а именно: нормальное разбиение двумерной сферы на выпуклые многоугольники является правильным тогда и только тогда, когда все неполные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны, то есть в данном разбиении сферы существует ровно один класс эквивалентности Ni = 1 неполных корон радиуса 1 (Теорема 2, см. также [57]). Поскольку имеется много неправильных разбиений двумерной сферы с No — 1, то результат теоремы 2 является неулучшаемым.

Вслед за локальными теоремами были установлены аналогичные условия мультиправильности разбиения (а также точечного множества Делоне) с заданным числом т орбит (Н.П.Долбилин, М.И.Штогрин [20], N.P.Dolbilin

21]). Эта теорема получила название обобщенной локальной теоремы. Отметим интересное следствие обобщенной локальной теоремы: если все ячейки разбиения асимметричны и No — N1, то разбиение является мультиправиль-ным, содержащим ровно Nq орбит ячеек.

Развитием работы [13] явилась работа [23] (N.P. Dolbilin, A.W.M. Dress and D.H. Huson), в которой была дана верхняя оценка i^-i для числа гиперграней любой ячейки в га—эдральном разбиении пространства Ed. Из этой работы, а также обобщенной локальной теоремы, следует существование такого целого числа к = k(d, га), что если все ячейки разбиения имеют не более Fd-i гиперграней и все короны радиуса к данного разбиения Т распадаются в m классов, то разбиение Т является мультиправильным, состоящим из m орбит. Так как оценка k(d,m) очень завышена, имеет значение нахождение более тонких оценок величины k(d, m). Однако в случае, когда ячейки имеют нетривиальные симметрии, оценка радиуса регулярности является трудной задачей. Основной результат второй главы — это получение неулучшаемой оценки k(d: m) для d = 2nm — 2в случае, когда все ячейки разбиения являются треугольниками. По определению, в га—эдральном разбиении число классов корон N& = т радиуса к для всех к ^ ко. Локальные условия даются в терминах где^А^ — число классов полных корон радиуса к (см. определение полных корон на стр. 15). Для биправильных разбиений (не только триангуляций) Щ = 2 для всех к ^ ко.

Теорема 3 утверждает: нормальная триангуляция евклидовой плоскости является биправильной тогда pi только тогда, когда число классов полных корон iVj = 2. Доказательство этой теоремы опирается на доказанную в диссертации Теорему 1 (теорему о локальных условиях правильных разбиений) и обобщенную локальную теорему для га—эдральных разбиений.

Данный результат неулучшаем. В главе 2 нами приведен пример триангуляции плоскости с двумя классами неполных корон ячеек (Ni = 2), в которой число классов полных корон Щ = 3. Это означает, что число орбит ячеек данного разбиения как минимум равно 3, и разбиение биправильным уже быть не может.

Третья глава посвящена применению методов геометрической теории дио-фантовых приближений в одной задаче о распределении последовательности Кронекера. Пусть числа а\б М, s ^ 1, линейно независимы вместе с 1 над Z. Последовательностью Кронекера называется последовательность точек

6 = ({«1^}, к = 0,1, 2, 3, в единичном кубе [0; l)s. Согласно теореме Кронекера, эта последовательность всюду плотна в [0; l)s. Г.Вейль доказал, что эта последовательность равномерно распределена (см. [53]), то есть, если обозначить через Ар(7ъ 7s) количество попаданий первых р членов последовательности Кронекера в параллелепипед [0,71] х . х [0,7S], 7; 6 (0,1), i = 1 то для величины

Dp = sup |iVp(7i, 7s) - 7i-7sP|

7!,.,7.6(0,1] будет выполнено

Dp = d(p), p-+ 00. (1)

В общем случае более сильную оценку, чем (1), получить нельзя. Это связано с существованием чисел ai,., as, допускающих аномально хорошие дио-фантовые приближения в смысле линейной формы — сингулярных систем А.Я.Хипчина (см. [51], [27]).

Напомним определение ^—сингулярных систем Хиичина. Пусть функция У) — °{y~s)i У убывает к нулю. Набор чисел ai,.,as называется х—сингулярной по Хинчину системой (в смысле линейной формы), если для любого Т > 1 имеется решение системы неравенств miq:i + . + msas|| < /х(Т), 0 < max |mj| ^ Т в целых числах mi,ms.

В главе 3 при s ^ 2 будут построены сингулярные системы Хинчина специального вида, с помощью которых получены новые результаты о распределении последовательности aik + <pi},{ask + <ра], к = 0,1, 2,3,. в среднем по начальным фазам ipi,., <ps. Обзор близких задач о геометрических свойствах диофантовых приближений имеется в работе [38]. Перейдем непосредственно к постановке задачи и формулировке наших результатов.

Пусть s = 1 и F{x\) — абсолютно непрерывная вещественнозначная функция, периодичная по вещественной переменной х\ с периодом единица и нуле1 вым средним значением f F{xi)dx\ = 0. Е.А.Сидоровым в [40] было доказано, о что если а\ иррационально, то

Несколько ранее В.В.Козловым [28], [29] подобный результат был получен в предположении дважды дифференцируемости F. Отметим, что, согласно Г.Вейлю, при всяком s для гладкой функции F(xi, .,xs), периодичной (с периодом 1) по каждому из аргументов и со средним значением равным нулю в случае, когда числа ai,as линейно независимы вместе с 1 над полем Q, выполняется

Н.Г.Мощевитиным в [36], [37] было доказано, что при всяком s для гладкой функции F{x 1, периодичной по каждому из аргументов и со средним значением равным нулю в случае, когда числа ai,.,as линейно независимы вместе с 1 над полем Q, для каждой фиксированной начальной фазы (<£>1,., cps) выполняется

На самом деле, конструкция доказательства из работ Н.Г.Мощевитина [36], [37] позволяет иметь этот результат при F 6 Cm(Ts),m = e7slns.

С другой стороны, в работе Н.Г.Мощевитина [35] доказано, что для произвольной функции F(xi, .,xs), s > 2, у которой все коэффициенты Фурье Fmi,.,msi кроме коэффициента i^O.-.O, отличны от нуля и для любой поло-жительнозначной функции А (у) = у +оо, найдется набор чисел ai,.,o;s, линейно независимых вместе с единицей над полем рациональных чисел, такой, что при всех достаточно больших д.

Глава 3 настоящей работы посвящена уточнению этого последнего результата. Пусть F{x 1,.,xs) представима рядом Фурье sup

Vi ,-,<Ps sup ц>1 ,.,(ps mezs

В главе 3 формулируется и доказывается теорема о необходимых и достаточных условиях на множество

Spec F — {(mi,ms) G Zs : F}

7^0} называемое спектром функции F, которые бы обеспечивали отсутствие равномерной возвращаемости по начальной фазе (ipi, .,</?s) суммы q-1

Теорема 4. Пусть периодическая функция F с периодом 1 принадлежит

Рассмотрим следующие два условия:

А) для любой полоэюительнозначной функции А (у) = о(у), у —> +оо, найдется такой набор чисел линейно независимых вместе с единицей над полем рациональных чисел, что при всех достаточно больших q;

В) найдется положительное R и ненулевая целая точка (pi,.,ps) G такие, что Spec F С B(R) U C(p), где B(R) обозначает шар с центром в нуле и радиусом R, а £(р) обозначает прямую, проходящую через начало координат и точку р.

Тогда условие А) эквивалентно отрицанию условия В).

Ранее похожая теорема была получена автором для случая s = 2 в [54]. В этой работе давалось достаточное условие на Spec F для того, чтобы выполнялось условие А. Сформулируем эту теорему.

Теорема 5. Пусть / : Т2 R такая функция, Spec / которой имеет две предельные прямые. Тогда для любой функции А = Л {у) такой, что Х(у) = о(у) и монотонно убывает к нулю при у оо; найдутся числа классу С1 и ol\ и 0L2, линейно независимые вместе с 1 над Ъ, что для всех достаточно больших q выполняется: max уъу2е[о,1] q-l

2f{aik + yi,QL2k + y2) »A(g).

Фактически все конструкции, как из работ Н.Г.Мощевитина, так и наши, основаны на построении сингулярных систем Хинчина специального вида [51]. Числа «1,., as, обладающие свойствами, необходимыми для доказательства теоремы 4, строятся с помощью методов геометрии чисел в основном вспомогательном утверждении — лемме на стр. 75.

Отметим, что рассматриваемые величины можно интерпретировать как гладкие аналоги локального отклонения iVp(7i,., 7S) — ji-.-ЪР и глобального отклонения Dp = sup7ij 7s [iVp(7i, .,7S) — 7i-.7sP| соответственно.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н.П.Долбилину за постановку задач и постоянное внимание к работе. р-1 и sup

1. Александров А.Д., О заполнении пространства многогранниками. Вестник Ленинградского Университета, сер. матем., физ., хим., (1954), 9, 33 - 43.

2. Алексенцева С.А., Классификация разбиений сферы на конгруэнтные треугольники. МГУ, М. 2004, 31 е., рукопись деп. в ВИНИТИ 05.10.2004 № 1559 В2004.

3. Bieberbach L., Ueber die Bewegungsgruppen des n-dimensionalen Euk-lidischen Raumes mit einem endlichen Fundamentalbereich, Gott. Nachr., (1910) 75 84.

4. Bieberbach L., Ueber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I, Math. Ann. bf 70, (1911) 207 336.

5. Bieberbach L., Ueber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume //, Math. Ann. bf 72, (1912) 400 412.

6. Boroczky K., Gombkitol tesek all ando gorbuletu terekben. Mat. Lapok. (1974), V. 25, p. 265 306; (1975), V. 26, p. 67 - 90.

7. Венков Б.А., О некотором классе эвклидовых многогранников. Вестник Ленинградского Университета, сер. матем., физ., хим., (1954), 9, 11 -31.

8. Вороной Г.Ф., Исследование о примитивных параллелоэдрах. Собрание сочинений, 2, Киев, 1952.

9. Галиулин Р.В., Кристаллографическая геометрия. «Наука», Москва, 1984, 135 е.

10. Гильберт Д., Проблемы Гильберта, ред. П.С.Александров, «Наука», Москва 1969, 238 е.

11. Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. Пер. с немецкого. УРСС, 2004, 344 с.

12. Делоне Б.Н., Геометрия положительных квадратичных форм. Успехи матем. наук, Вып.З (1937), Вып.4 (1938).

13. Рышков С.С., Барановский Е.П., С~типы n-мерных решеток и пятимерные параллелоэдры (с приложениель к теории покрытий). Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 137, (1976).

14. Сидоров Е.А., Об условиях равномерной устойчивости по Пуассону цилиндрических систем, УМН., (1979), Т. 34, В. 6, 184 188.

15. Schattschneider D., Dolbilin N.P., One Corona is enough for the Euclidean Plane, In: Fields Institute Monographs Quasi Crystals and Discrete Geometry, Ad. G.Patera, A.M.S., Rod Island, (1998), 207 246.

16. Schonfliess A., Kristallsysteme und Kristallstruktur. Leiptzig, (1891).

17. Senechal M., Quasicrystals and geometry, Cambridge Univ. Press (1995), 286 p.

18. Тарасов А.С., Сложность выпуклых стереоэдров. Матем. заметки, (1998), Т. 61, В. 5, 797 800.

19. Федоров Е.С., Начала учения о фигурах. С.-Пб., (1885); М., (1953), 411 е.

20. Федоров Е.С., Симметрия правильных систем фигур. С.-Пб., (1890).

21. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, 7. Москва, «Мир», 1966, 290 с.

22. Feit W., The orders of finite linear groups. Preprint, (1995).

23. Friedland S., The maximal orders of finite subgroups in GLn(Q), Proc. Amer. Math. Soc., 125(12), (1997), 3519 3526.

24. Хинчин А.Я., Избранные труды no теории чисел. Москва, (2006).

25. Khintchine A., Uber eine klasse linearer Diophantisher approximationen. Rendiconti Circolo Matematico di Palermo. 50 (1926), p. 170 195.

26. Штогрин М.И., Правильные разбиения Дирихле-Вороного для второй триклинной группы. Труды МИАН им. В.А.Стеклова 123, (1973).

27. Weyl Н., Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. Math. Ann. (1916), Bd. 77, 313 352.

28. Коломейкина E.B., Асимптотическое поведение временных средних. Ill Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и приложения», Тула, (1996), с. 80.

29. Коломейкина Е.В., Мощевитин Н.Г., О ?1евозвращаемости в среднем сумм вдоль последовательности Кронекера. Матем. заметки.— (2003), т. 73 вып. 1, с. 140 143.

30. Коломейкина Е.В., Локальные условия правильности разбиения евклидовой плоскости. Чебышевский сборник (2004), Т. 5 вып. 3(11), с. 31 -51.

31. Коломейкина Е.В., Локальные условия правильности разбиения евклидовой сферы. Чебышевский сборник (2005), Т. 6 вып. 2(14), с. 184 195.

32. Коломейкина Е.В., О локальных условиях биправильных триангуля-ций евклидовой плоскости. Материалы IX Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения», посвященного 75-летию со дня рождения академика О.Б.Лупанова, (2007), с. 384 386.