Некоторые методы построения периодических решений систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ5 04

I л лп?

КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

РАХМАНОВ КАШ КИЯМОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Киев -1695

Диссертацией является рукопись.

Работа выполнена на кафедре высшей математики №1

Киевского политехнического института.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор СТРШАК Тамара Григоревна

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор МАРТЫН® Дмитрий Иванович

Ведущая организация -Институт кибернетики

им. В.М.Глушкова НАН Украины

седании специализированного совета К 01.01.21 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Киевском университете им. Тараса Шевченко по адресу: 252127,г.Киев, просп. академика Глунасова, 6, механико-математический факультет .

С диссертацией можно оэнокомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослал ¿¿^ _1995г.

кандидат физико-математических наук, доцент МАКАРЕНКО Александр Сергеевич

Защита состоится ЯН {Щ/ЪиУ- Г995г. часов на за-

Ученый секретарь специализированного совета

А.А.КУРЧЕНКО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время вопросы нелинейных колебаний привлекают к себе внимание в самых разнообразных областях физики и технике.

Быстро развивающаяся техника выдвигает новые задачи,связанные с изучением нелинейных колебательных процессов, и настоятельно требует создания методов решения дифференциальных уравнений, описывэщих эти процессы.

Вопрос существования и построения периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений является одним из важнейших вопросов в современной теории дифференциальных уравнений.

■ Значительный'вклад в развитие теории и полупение новых методов построения .периодических решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений внесли А.Пуанкаре, А .ы. Ляпунов, Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Митропольский, И.Г.Малюш.Л.Чезари, A.M.Самойленко,Н.А.Перестюк,Д.И.Мартынюк,С.Н.Шаманов.В.И.Зубов, А. ХалаваЯ.Н. И. Роято, Ю.А.Рябов и'другие отечественные к зарубежные математики.

Первые работы по теории периодических решений были посвящены,в основном,линейным уравнениям и автономным системам на плоскости. Дальнейшие работы связаны уже и с нелинейными уравнениями,однако и до настоящего времени задача нахождения условий существования и построения периодически:: решений продолжает оставаться актуальной.

Цель работы состоит в разработке некоторых методов построения периодических решений системы дндаерениичльйо-раз-ностных уравнений в сложных ре'допаниян:с случаях и создания

некоторых способов построения периодических решений системы дифференциальных уравнений.

Методы исследования. В работе используется метода аналитической и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений,функционального анализа, численные метода решения алгебраических и дифференциальных уравнений.

Научная новизна:

-получены необходимо и достаточные условия существования периодических решений квазилинейной и квазистационарной системы диффйренциально-разностных уравнений,зависящей периодически от времени;

- получен способ построения периодических решений в случае непростых элементарных делителей;

- построено помощью ЭВМ численное периодическое решение нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ньютона;

- показан способ численного вычисления периода на ЭВМ дая систем дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты могут быть применимы дая исследования реальных колебательных процессов, возникающих во многих практических задачах.

Апробации работы. Материалы диссертации докладывались ;■;.'. на научных семинарах кафедры интегральных и дифференциальных уравнений механико-математического факультета Киевского университета, кафедры математичных методор системного анализа Киевского политехнического института, на научно-техни-

ческих конференциях "Применфяе вычислительной техники и математических методов в научных я экономически! исследованиях" и "Памяти академика М.И.Кравчука".

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которах отражено se основное содержание.

Структура и об'ем диссертации. Диссертационная рэбота состовт из введения, трех глав, приложений и содержит странщ машинописного текста. Библиографический список включает 200 наименования литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается-актуальность задач диссертации, формулируется цель исследования,приводится краткий обзор работ,связанных с темой диссертации,а также перезолены основные результаты работы.

_В первой главе диссертации рассматривается квазилинейная и квазйстационарная система дифференциально-разностных уравнения,периодически зависящая от времени.

В.§1.1 рассматривается гильбертово пространство н ког-шгекснозначных етолОц«ых векторов хсо с 2п-периодическими относительно *. проекциями xjct>,...,x^ct.3.

Вводится дифференциально-разностный оператор - tXM з £ £* dV^j , «»=4г С1Х

а рассмотрен неоднородная система линейных дифференциально-рззностных уравнений с постоянными коэффициентами я постоянными отклонениями аргумента

п I. 5

£ £А ------ь » Г<0 , ЯСОеН. С23

к=о 1=1 1 111

где Л.^ ^ (к*о.».1 . .г,:)=1____о -постоянные тки матрицы с

комплексными элементами, т. (п... л.з -постоянные вещественные отклонения аргумента.

Систему уравнений (г) монно записать в виде

ьсазхси » ию , гсосн сэз

Введем сопряженный дифференциальный оператор ьсс<« в н, определяемый равенством

сьсазхсо, усо> в схсо, ь с«иус1ЭЭ Из формулы интегрирования по частям находится явные выражения для сопряженного дифференциального оператора

и » £ Е А* С-<Х>*е~6гь <*)

с к=о '

Наряду с системой <з) рассматривается однородная система .дифференциально -разностных уравнений

Г, 1. йкУ*С1-т >

1- сйэую г г га одэ---1-я о, с53

с . к 1 ..к к=о <Н

сопряженную к системе уравнений '

ьсаэхсо » £ £ а --—¿—-о. С6>.

к = о ; = » 1 сНк

Ищем периодические решения системы уравнений (з),(е) с периодом 2п. Всегда предполагаем, что рассматривается резонансный случай,т.в. системы уравнений (з),(б) имеют 2п-пе-рмодические решения- Полагая, в системах (з),(е)

x ги=с е'1»' , * «но е11.' с*=1.....0, сгэ

а ь ее

приходим к системам однородных линейных уравнений

I Г I к 5С =0 , I. СЛс 30=0 <»=1.....0 II».

я- ь с * в

Из формул <1 )»<■*) следует, что справедливы равенства I. «к э»ь*сдк э и вторую систему уравнений (в) можно записать в виде

Дальше через х^съэ, у^сю с==»____о обозначаем все линейно независимые 2п-периодические решения сопряженных система дифференциально-разностных уравнений (в),(в). Всегда предполагаем, что 121.

Из систем уравнения (в) следует, что вектор с^являетсп правым столбцовым собственным вектором матрицы шьр, вектор о* является левым строчным вектором матрицы 'с¡к^, соотвествуодим нулевому собственному числу матрицы ьси^з.

Из теории матриц вытекает результат

Теорема 1.1. Для того, чтобы система линейных дкфферен -циально-разностныг уравнения (в) имела 2п-периодичес,кйе ненулевые решения хсо»с>е1к.1 необходимо и достаточно,чтоби сопряженная система уравнений (5)' имела 2п-периодические ненулевые решения уси^е'1.1.

• При 'этом число линейно независимых периодческих решений системы (в) равно числу линейно независимых периодических решений сопряженной системы (з).

В§1.2. введен линейшя подпространства иг с,»о.».г.. з в пространстве н, определяемые следующими условиями.

1 >Комплекснозначная вектор-функция гсо, периодическая с

периодом 2п, принадлежит н , если

' в „

аьг

2)ДЯЯ ТОГО, чтобы ГСОеН^ НвОбХО.ПКМО И ДОСТАТОЧНО-ЧТОСЫ

сходался ряд

at drFCt> со "

Е i^'lFj'-l-r-;-Н < ® • Е-1 Ч.

к = ™оо dt к=-а>

Определение!. Будем называть систему дифференциально-разностных уравнений (г) регулярной,если лишь конечное число величин det. L(iic) сic-о,±1,±2,...з обращаются в нуль и при условии

Е ll\JH> (0)

J- 1

выполняется при достаточно больших значениях |к| неравенство

\

IlL-'iiions-C— (10)

|кр

Регулярные системы дифференциально-разностных уравнений (2) являются наиболее простыми для исследования. Доказывается теорема.

Теорема 1.2. Для того, чтобы регулярная система дифференциально-разностных уравнений (г) имела 2п-периодическое решение необходимо и достаточно, чтобы 'неоднородная часть. F(t) была ортогональна всем 2п-периодическим решениям сопряженной системы уравнений (5).

Определение 2.Будем называть систему дифференциально-разностных уравнений (г) г-нерегулярной, если лишь конечное число det i.(ik) (k«o, ±i, ±г,...) обращаются в нуль при условии (э) выполняется при достаточно больших значениях |>;| неравенство

||Ь-'(1к)||<.^1_ (г=1,г,.. .,п). (11)

Доказывается следующая теорема.

Теорема 1.3. Для того,чтобы г-нерегулярная система дифференциально-разностных уравнений (г) имела 2п-периодачекое решение при F(t)eHf необходимо и достаточно, чтобы неоднородная часть F(t) была ортогональна всем 2п-периодическим решениям сопряженной системы уравнений (s), т.е. чтобы выполнялись равенства

(F(t J.Q^e11.1 )-0 <•=«,. ..!> (12)

Замечание I. Если F(t)cH^ (чгг), то из условия (и) ело

дует, что решение системы уравнений (г) xtt)««^ и, ояр-

довательно d"x<t) dtr

-еН

q-r.

Если q2r , то ИЗ УСЛОВИЯ F (t следует, что F(t )еН . Поэтому для-существования 2п-периодаческого решения x(t) системы (г) необходимо и достаточно выполнение условия <12).

• Замечание 2. Если вектор-функция F<t) содержит конечное число гармоник в разложении F(t) в ряд Фурье, то условия (12) необходимы и достаточны для существования ' 2п-перио даческого решения системы линейных дифференциально-разностных уравнений (2).

Замечание 3. Система дифференциально-разностных уравнений (2) вида

j£

/. v n-i l d XCt+r ) jL*lil + E £ A -—L. . FCO

dt71 k = o ы k) dt*

будет всегда регулярной.

В §1.3. формализуется процесс построения пера^^^чгпкого

решения системы уравнений (г). Построим проектор р в пространстве н по формуле гп\

PF(1)=^LJ EQiQ%llt."-T,F(T)dT <13)

m = *

о

Разлогая функцию f(t) в ряд'Фурье, находим выражение

Из равенства p2f(l }-pf(t) следует, что оператор р является проектором. Выражение дая PF(t) можно представить в виде

e-1

и поэтому условия (ia) существования периодического решения системы (г) можно представить в виде

PF(t)sO (14)

Из условия (14) следует, что регулярная система линейных дифференциально-разностных уравнений (г) рида

L(d)X(t)=(E-P)F(t) (153

имеет всегда ¡Зл-периодическое решение, так как выполнено

тождество (1-4),

Система уравнений (is) имеет неедакственпое Яп-перг.оди-

чекое решение, так как наряду с каким-либо йп-пераодлческиы

решением x(i) система уравнений (is) всегда имеэт 2п-пе-

рисугачзсксе решения

1 i X(t)=Ko(l)+ nasXR (t)-Xo(t)+ JÇ^C^V (IB)

a = i s = i

Д';ч тою, ^то^н выделить noirororoR влипсте етюя £n-лари-

одаческое решение системы <1з), будем требовать выполнения дополнительных условий

(X <1 ) .Х^ <«.))= (X (I ) .Се1к.' )=0 <5=1.....1 )

При атом коэффициенты »( .....1) в формуле (ш) выбираются единственным способом и поэтому существует линейный оператор в н такой, что

Х(1)*:ЦГ(1 Е мкв'к' ' "Т>|г(т)с,т

1с 3 .00

о

Дяя определения матриц ык (к-о.±«.±»,... ) имеем систему линейных алгебраических уравнений хк которая равно-

сильна системе уравнений

и(1к)Хк <к-0, ±1,±2, ...¡к-к.) »

Если то из уравнений (17) сразу находим,что мк-и"'(ис). Подробнее рассмотрен вопрос о построении матриц ик в случае, когда Ь(1к)-0.

Р §1.4.■ищем 2п-периодическое решение возмущенной квазилинейной системы дифференциально-разностных уравнений

где г(1)«нг, ^-малый параметр.Предполагаем,что век-

тор-функдия ), («.),... (о> достаточное число

раз диффер9нп;:руема относительно проекций векторов (ь) и т. ^ (к-о, 1,...,п-г« где ^.-ввществпнянв

отклонения аргументов.

Предполагаем, что система уравнений (т) имеет при *=0 Ял-пориодическоп решение,т.е. рг(1 )=о. Полагаем х (1)«мг(с).

Ищем 2п-периодическое решение уравнения cie) в вида

1 ik i x<t,*)-xo(tJ+ Z a,<e)c#e'V

где а6(е) <5-1,...,1>-нскомыа функции, зависящие от малого параметра Необходимые и достаточные условия существования 2п-периодического решения системы уравнений (ie) принимают вид системы уравнений

PV (t, X (t, с ), dX (t, с ), . . . , d^'XC t, ci 5 -O,

которую можно записать в виде

2П

~гп

1 Ja*elk»lV(t,,X(t,¿)> dX(t, с), ...,dn~rXCt, í3)dt-0 (19)

В система уравнений (19) решение х («-,*) неизвестно. Это решение удовлетворяет системе уравнений

1 I

Х(Ъ,с)»Х («4 Г а С е. + о в •

»1

*еК(1, X (I, с ). ¿X (Ь, «:), ..., а"~гХС I,

которую можно записать в виде

X (Ь, £ )«Х (Ь> + Г а С +

... ' • (20)

гп у ' 1 00

Е мк®1 Е),ах(т,с), гхст,£»ат

-со

о

а решать методом последовательных приближений.

В §1.5. рассмотрен особый случай системы дифференциально-разностных уравнений, представленной в специальной форме )Х(и Х(1, е))

где выполнены условия

Ь(0)-0, <1е1 Цк1)Л (к-±1, ±г, . . . )

-13В этом случав условия существования Еп-периодического решения принимают вид

о

Введем оператор N

гп

г п

о еда1"

Предполагая, что ЦиЦ ограничена в пространстве н, можем найти периодическое решение методом последовательных приближений

х' х' «))> 1, 2, . . .5

Х<<„*)" и*Х' 11 (I, л), Х'°' (Ъ, * )гС.

Этот метод последовательных приближений сходится, если вектор- функция у(1, х) удовлеворяет условию Липшица

Достаточное условие ддя сходимости имеет вид

питч,«

Поскольку х0> <<,,«) является приближенным выражением для то вектор С можно приближенно определить из системы уравнений

2п J

Во второй главе применяя разностные метода построены периодические решения системы дифференциальных уравнений.

В §§2.1 и 2.2 разностным методом Эйлера построено решение периодически правой части дифференциальных уравнений первого порядка и системы дифференциальных уравнений, соот-вественно. Дана оценка погрешности.

Теорема 2.1 Приближенное периодическое решение системы дифференциальных уравнений, построенное методом Эйлера, сходится к точному периодическому решению при ь—>0(где ь-шаг интегрирования).

В §2.3 Построено периодическое решение системы дифференциальных уравнений разностным методом Адамса. Доказана теорема.

Теорема 2.2 Приближенное периодическое решение системы дифференциальных уравнений, построенное методом Адамса, сходится к точ- ному реиению при ь—>0(ь-шаг интегрирования).

Б §§3.1-3.2 третьей главы приведены алгоритмы построения периодического решения дифференциальных уравнений первого, второго порядков, а также системы дифференциальных уравнений методом Ньютона.

В §3.4 указан алгоритм численного вычисления периода периодического решения дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

I.Рахманов К.К. Аналитическое построение периодического

1.Рахманов K.K. Аналитическое построение периодического решения системы дафференциалных уравнений методом ЭПлевч. -//В cö."Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения" -Киев: Ин-т математики HAH Украины, T9S4. -С.169.

2.Рахманов К.К. Численное определение периода релаксационного колебания системы с двумя степенями свободы. -К. 1994,-70. Деп. в УкрИНТЭИ 03.06.94,№1058-Ук.Э4.

3.Рахманов К.К. Аналитическое построение периодического решения системы обыкновенных дифференциальных уравнения разностными методами. -К. 1994, -14с. Деп в УкрЮП'ОИ 03.06.94, »ЮБ9-УК-94.

4.Рахманов К.К. Построение периодического решения дифференциального уравнения второго порядка методом Ньютона.

-К. 1994.-8с.Деп. в УкрИНТЭИ 03.06.94,№Ю60-Ук-94.

5.Рахманов К.К. Вислобоцкая 0. Об исследование резонан-сов в системах с квадратной нелинейностью. -//Науч.-техн. конференция "Применение вычислительной техники и математических методов в научных и ¡экономических исследованиях", -Киев,1991, С.194.

6.Барановская Г.Г..Рахманов К.К. Применение операции фильтрации для преобразования системы линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими кооШпийнтэми. -//Науч.- техн.конференция "Памяти академика М.П.Кравчука", Киев,1992, С.12.

Rahmanov K.K. Some mettiods of the construction of periodic solutions of differential equations system. Manuscript. Thesis for a degree of candidate of sciences (F'h.D. Ï in physics end mathematics,- soeciality 01.01.02 -differential equations. Kiev University. Kiev. 1V95,

■Neassary end sufficient conditions of the existing of periodic isoitftions of quasi-linear and quasi -stat ionary system of differentlal-difference equation are obtained. Numeric»! iperiadic 'solution of ron-iinear system 'of ordinary di'ffer-entia'l equations .by trhe .Newton's method is constructed on .computer, "The .method vof numerical calculation of ■the period .of system of sec-ond-'order di-f+erenti-al eauations »wi<t'h <sma;lil (parameter sis 'Shown,

■Рахманов ж .к. Дгяк! метода дабудови пер1одачних розв'яз-jHl-в ¡системи яиферешйаша р1вняаь, Рукопис. ДисергаШя на здобутпя ®квнаго сступвня кандидата фiзико-эдзтемэтачних наук 010 снвщаяьностт (QI,'01~V?, - дифэренцйш! р1вняння. Кшв-оький унхверсгавт. ;Ки1в. 1995.

(Отримшга шеобйда! та достатн! •умови 1снування перходич-ншх ¡розв'шзкхв жваз1я±н1йно1 та :кваз1стац1онарпо1 с истеки ¿щфережййно-дйзшщевих р!внянь,яка .заложить порядочно в1д часу-Лабудовано -чисельниг лерпшгашш рав'язок сиг ..«л :авичайних дифереяцхйних р1вняиь (методом Ньютона- Hasr-лен-:; ;cnoci6 чшсельного визначення юдйоду 'розв'язку системи ди^ренцхйних ¡ртвнянь другого порядку з .малим параметром.

гКДЮЧОВ! 'СЛОВА: тальбертовиа npocrip, иертодичи! розв яз-ки,, -система даференцИшо-1р1звии^аих pi-внянь, 'звичагшт дд}«?-реншин! р!вняння, 'спряжения дкференщгвий оператор.