Периодические движения спутника на круговой орбите тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ НЕСИММЕТРИЧНОГО

СПУТНИКА.

§ I.I. Постановка задачи

§ 1.2. Типы периодических движений

§ 1.3. Построение периодических движений

§ 1.4. Устойчивость периодических движений

ГЛАВА 2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ ГИПЕРБОЛОИДАЛЬНОЙ

ПРЕЦЕССИИ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Два типа периодических движений

§ 2.3. Построение периодических движений

§ 2.4. Устойчивость периодических движений I типа

§ 2.5. Устойчивость периодических движений II типа

§ 2.6. Результаты исследования периодических движений

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ.

§ 3.1. О периодических движениях конечной амплитуды

§ 3.2. Метод численного продолжения периодических движений лагранжевой системы с двумя степенями свободы. Постановка задачи

§ 3.3. Предиктор.

§ 3.4. Корректор

§ 3.5. Устойчивость в первом приближении

§ 3.6. Метод нелинейного исследования устойчивости периодических движений конечной амплитуды

§ 3.7. Численное продолжение короткопериодических движений из окрестности гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника

В работе рассматриваются некоторые задачи теории периодических решений гамильтоновых систем и их приложения к механике.

С давних пор наблюдения за небесными телами обнаружили периодичность или почти периодичность движений планет Солнечной системы и их спутников. Описание этих движений методами небесной механики связано с изучением свойств периодических решений систем дифференциальных уравнений.

К сожалению, в настоящее время не существует общего метода нахождения периодических решений систем дифференциальных уравнений, описывающих движения интересующих нас небесных тел.

Первые фундаментальные результаты в решении этой одной из важнейших задач небесной механики были получены в конце 19-го века в классических работах А.М.Ляпунова [18] и А.Пуанкаре[33] .

Общим в теориях периодических решений Ляпунова и Пуанкаре является предположение о существовании заранее известного (порождающего) периодического решения. При этом рассматривается вопрос о нахождении периодических решений, близких к заданному.

В конкретных небесно-механических задачах важный частный класс периодических решений заданной системы дифференциальных уравнений образуют решения, соответствующие положениям равновесия системы. Такие решения можно рассматривать как периодические с произвольным периодом. При этом их нахождение сводится к решению систем уравнений, не содержащих производных неизвестных функций, что существенно упрощает построение порождающих решений при использовании теорий Ляпунова и Пуанкаре.

Если найдены периодические решения (или положения равновесия) системы уравнений движения небесного тела при любых значениях параметров данной небесно-механической задачи из некоторой области их изменения, то задача Ляпунова состоит в отыскании других периодических решений (при тех же значениях параметров) , близких к уже известным.

Если же существуют периодические решения системы при некоторых частных значениях параметров, то подход Пуанкаре заключается в нахождении периодических решений при значениях параметров, близких к этим частным значениям.

В определенном смысле теорию Пуанкаре можно трактовать как некоторый частный ( или особый) случай теории Ляпунова, так как параметры задачи, входящие в уравнения движения, можно считать неизвестными функциями. С другой стороны, реальные возможности применения этих теорий в конкретных механических задачах конечно различны.

Фундаментальный признак существования периодических движений, близких к данному ( или к положению равновесия системы ) , был сформулирован А.М.Ляпуновым в его замечательном сочинении "Общая задача об устойчивости движения" (1892 г. ) в теореме о голоморфном интеграле С18, 13] . Им также был предложен способ построения самих движений в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра ( амплитуды периодического движения ) с коэффициентами, периодически зависящими от времени [18] .

Применение и дальнейшее развитие теорий периодических решений Ляпунова и Пуанкаре тесно связано с исследованиями, посвященными одной из старейших и наиболее важных задач космодинами-ки, классической задаче трех тел (см., например, С211 ) , которой занимались еще Л.Эйлер и Ж.Лагранж.

В 1899 году К.Шарлье ( см., например, С 50] ) , а затем в 1901 году Г.Пламмер [62] , используя фундаментальные результаты Ляпунова [18] и Пуанкаре [33] , установили существование двух семейств малых периодических движений, близких лагранжевым решениям плоской круговой ограниченной задачи трех тел.

Последовавший затем большой цикл работ, в основном зарубежных авторов, посвященных "немашинному" исследованию периодических движений, завершился работой Ю.А.Рябова 1952 года [341 , в которой наиболее четко обосновывается существование малых периодических движений, следующее из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле, а также методом Ляпунова найдены первые три члена разложения периодического движения в ряд по орбитальному параметру. Эта работа показала, что проведение дальнейших исследований в области построения периодических движений возможно только с помощью современных ЭВМ.

Методы, основанные на использовании ЭВМ, были созданы в работах А.Депри, Е.Рейба, Дж.Хенрарда и др. [52-55, 57, 58, 63-66] . В работах Депри [52, 55] рассмотрен метод аналитического продолжения, в основе которого лежат классические процедуры Ляпунова и Пуанкаре. Этот метод состоит в рекуррентном вычислении коэффициентов разложения периодического движения в ряд по степеням малого орбитального параметра и удобен для применения ЭВМ. В работах Хенрарда £58] и Шмидта [66] исследован вопрос о существовании периодических движений при таких значениях параметров задачи, для которых их существование не следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.

Во всех вышеупомянутых работах не рассматривался вопрос об устойчивости периодических движений в строгом нелинейном смысле, да и вопрос об устойчивости в первом приближении решался только дая отдельно найденных орбит, а не для всего их семейства.

В настоящее время для решения вопроса об устойчивости движений гамильтоновых систем принята идеология нормальных форм, основы которой заложены в работах А.М.Ляпунова [18] и Дж.Д.Бирк-гофа [7] .

Не останавливаясь на подробном рассмотрении критериев устойчивости и способов нормализации ( см., например, [21] ), отметим, что наиболее удобным, с точки зрения машинной реализации, для получения нормальной формы функции Гамильтона на наш взгляд является метод, разработанный Хори ( Нori , [591 , 1966 г.; Merswan , [61] , 1970 г. ) и Депри ( £)eprit С 56] , 1969 г.; КоivntC , [60] , 1969 г. ) , основанный на применении преобразований Ли (см. [25] ) .

В работах А.П.Маркеева и А.Г.Сокольского [28, 29] был разработан комплекс методов исследования периодических движений Ляпунова в автономных гамильтоновых системах со многими степенями свободы в окрестности положения равновесия. Основная цель этих работ заключалась в создании метода исследования устойчивости периодических движений в строгом нелинейном смысле. Соответствующим образом был приспособлен и метод нахождения этих движений. При этом использовался подход, примененный А.Д.Брюно в работах [9, 10] , который позволяет исследовать полную окрестность периодического движения с помощью канонических преобразований, а в окрестности периодического движения ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмущенного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия.

Дальнейшая модификация этого метода [ 29 ] позволила для нахождения и исследования устойчивости всех типов периодических движений Ляпунова в окрестности положения равновесия проводить нормализацию исходной функции Гамильтона только в окрестности самого положения равновесия.

Для решения конкретных небесно-механических задач в работе А.П.Маркеева и А.Г.Сокольского [25 1 рассмотрен комплекс программ нормализации, реализующий алгоритмы Депри-Хори. С помощью этого комплекса и методов работ [28, 29] было, например, проведено полное исследование малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел в плоском и пространственном случаях (см. [24, 27] ).

За последние два десятилетия в связи с запуском искусственных спутников возникло много новых задач определения качественных характеристик их движения, в частности движения около центра масс.

При этом важной практической задачей является исследование устойчивости некоторых стационарных положений спутника при его движении по орбите. По-видимому, при изучении локальных свойств положения равновесия в конкретной небесно-механической задаче необходимо не только исследование устойчивости самого положения равновесия, но и решение вопроса о существовании, построении и устойчивости малых периодических движений, близких положению равновесия. В настоящей работе рассмотрены две задачи такого класса.

Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и двух Приложений.

Основные результаты настоящей работы, на наш взгляд, заключаются в следующем.

Рассмотрена задача построения и устойчивости малых периодических движений в окрестности положения относительного равновесия несимметричного спутника на круговой орбите. Доказано существование трех типов малых периодических движений.

Создан быстродействующий комплекс программ нормализации функции Гамильтона автономных канонических систем с тремя степенями свободы в окрестности положения равновесия ( программы написаны на языке ФОРТРАН и отлажены на ЭВМ серии ЕС ) .

С помощью комплекса программ нормализации решена задача об устойчивости двух типов периодических движений Ляпунова, близких положению относительного равновесия несимметричного спутника. Численно-аналитическими методами построены области параметрического резонанса, поверхности неустойчивости, устойчивости в четвертом приближении, а также поверхности и порождающие области формальной устойчивости и исследована устойчивость для большинства начальных условий.

Рассмотрена задача о построении и устойчивости периодических движений, близких гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника на круговой орбите. В точной нелинейной постановке аналитическими методами полностью исследованы оба типа возможных движений и в зависимости от значений параметров получены выводы "об устойчивости по Ляпунову или неустойчивости.

Разработан предиктор-корректорный метод численного продолжения произвольных периодических движений двумерных канонических систем, применение которого позволяет одновременно с построением самих периодических движений исследовать их устойчивость в первом приближении.

Создан численно-аналитический метод полного нелинейного исследования орбитальной устойчивости произвольных периодических движений автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

С помощью методов численного продолжения исследовано семейство короткопериодических движений, рождающихся из окрестности гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника на круговой орбите.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин Э. Теория колебаний. -М.: Физматгиз, 1959. -915 с.

2. Арнольд В.И. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае. -ДАН СССР, I96I, т. 137, Га 2, с. 255-257.

3. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Ж Н 1963, т. 18, Г 5, с. 13-40.

4. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. -УТЛН, 1963, т. 18, 6, с. 91-192.

5. Белецкий В.В. .Движение искусственного спутника относительно центра масс, -М.: "Наука", 1965. -416 с.

6. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. -М.: Изд-во МГУ, 1975. -308 с.

7. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. -М.-Л.: Гостехиздат, I94I. -320 с.

8. Брумберг В.А. Небесно-механические методы проведения буквенных операций на ЭВМ. -Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1974.-115 с.

9. Брюно А.Д. Неустойчивость в системе Гамильтона и распределение астероидов. -Матем. сб., 1970, т. 83 125 i 2 10) с. 273-312.

10. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференци- альных уравнений. -М.: "Наука", 1979. -256 с.

11. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. -М.: "Наука", 1979. -319 с.

12. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. -М.: "Наука", 1978. -455 с.

13. Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы при резонансе второго порядка. -ШШ, 1980, т. 44, В 5, с. 811-822.

14. Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы при параметрическом резонансе основного типа. -ШМ, 1980, т. 44, f 6, с. 963.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. -М.: "Наука", 1973. -208 с.

16. Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах. Собр. соч., т. I. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954. -с.327-401.

17. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч., т. 2. -М. Л.: Изд-во АН СССР, 1956. -с. 7-263.

18. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Собр. соч., т. 2. -М. Л Изд-во АН СССР, 1956. -с. 272-331.

19. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат, 1956. -491 с.

20. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. -М.: "Наука", I97S. -312 с.

21. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости периодических движений несимметричного спутника на круговой орбите. Препринт ИПМ АН СССР, 1975, lb 58.

22. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование периодических движений, близких лагранжевым решениям ограниченной задачи трех тел. Препринт Шй АН СССР, 1975, Н О

23. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Некоторые вычислительные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем,- Препринт ИПМ АН СССР, 1976, А 31.

24. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование устойчивости плоских периодических движений спутника на круговой орбите. Известия АН СССР, сер. "Механика твердого тела", 1977, }Ь 4, с. 46-57.

25. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости периодических движений, близких лагранжевым решениям. Астрон. ж., 1977, т. 54, А 4, с. 897-908.

26. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Метод построения и исследования устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем. nVC/i, 1978, т. 42, Г I, с. 52-65.

27. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Метод исследования периодических движений Ляпунова в гамильтоновых системах и его реализация на ЭВМ. Труды ИТА АН СССР, 1978, 17, с. 62-68.

28. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: "Мир", 1973. 167 с.

29. Погорелов А.В. Диадеренциальная геометрия. М.: "Наука", 1974.

30. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. тр., т. I, 2. М.: "Наука", I97I, 1972. 771 с 999 с.

31. Рябов Ю.А. О периодических решениях вблизи треугольных точек либрации ограниченной плоской круговой задачи трех тел. Астрон. ж., 1952, т. 29, 5, с. 582-596.

32. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Мельник Н.В. Пространственные периодические колебания спутника относительно центра масс. Космич. исслед., 1980, т. 18, }Ь 5, с. 659.

33. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Гравитационная ориентация вращающегося спутника.- Космич. исслед., I98I, т. 19, 4,с. 499.

34. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Одноосная гравитационная ориентация искусственных спутников. Космич. исслед., I98I, т. 19, 5, с. 659.

35. Сокольский А.Г. Программа автоматического построения кривых на плоскости.- Препринт УМА АН СССР, 1976, 1 32.

36. Сокольский А.Г. К задаче об устойчивости регулярных прецессий симметричного спутника. Космич. исслед., 1980, т. 18, 5, с. 698-706. я

37. Сокольский А.Г. Об устойчивости относительного равновесия твердого тела на круговой орбите при граничных значениях параметров. М.: М И 1980, с. I-IO. Деп. в ВИНИТИ 3.7.80, }Ь 2818-

39. Сокольский А.Г., Хованский А. Периодические движения, близкие гиперболоидальной прецессии симлетричного спутника на круговой орбите. Космич. исслед., 1979, т. 17, Ih 2, с. 208-217.

40. Сокольский А.Г., Хованский А. Пространственные периодические движения несимметричного твердого тела на круговой орбите, близкие относительному равновесию.- М.: М И 1980, с. 1-48. Деп. в ВИНИТИ 3.7.80. 2819-80. ШАех., В 9А47.

41. Сокольский А.Г., Хованский А. Программы нормализации гамильтоновых систем с трегля степенями свободы. М.: МАИ, I98I, с. 1-40. Деп. в ЗШИТИ 4.8.81, !h 3382-81.

42. Сокольский А.Г., Хованский А. Вычислительный алгоритм нормализации двумерных канонических систем. М.: М И I98I, с. 1-40. Деп. в ВИНИТИ 4.8.81, !Ь 3883-81.

43. Сокольский А.Г., Хованский А. О численном продолжении периодических решений лагранжевой системы с двутля степенями свободы. Космич. исслед., 1983, т. 21, В 6, с. 851-860.

44. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: "Наука", 1967.

45. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: Гостехиздат, 1937.

46. Хазин Л.Г. Об устойчивости гамильтоновых систем при наличии резонанса. ILM, I97I, т. 35, Г 3, с. 423-431. 1980,

47. Якубович В.А., Старжинский В.М.. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: "Наука". 1972. 718 с.

48. DeprctA., Detit А. Trojan orhit. I. dMembtir nt% at U -Icarus, yaCvof., h/Ъ p. 21-1в€. 53. DepKtt A. Henrard J. taUral orkh, 54. faryfltus ofperioJcc ii-iZ. -AstroH.T., /3?,vof.72,/V£2, p. bepnt A. Herward J. ,Rom A. Tfoja orBitsf, Btr/claoff normaLzatLOU.-Icarus /9fV, vot.Q /1/- 3 p.iM-Vo

49. Deprit A.,Henraro/J. A жaк1LfoЫ of periodic orBct, -AJ loviolovo AcaolekHcc Pres.S /968 vot Ь, p. /o2 V. DepKtt A. CaioKiCcaC tra и sfо гж at C nS dzf>ty\i.lY\ on a. o eter.-Ce{est.Meek,/39vot>/,/V5y p. /2-30.

50. DeprCt A. jH€nrar(?( T. ,Prtce J.jRokvi A. Itrlcdoff horma-

51. Htarard T. Penodic oKbCt. ежаиаГСиа frokM a resonaut e(jULflSrLuw.-Ceust.Meck/9?(?,v/of./,/Vfi3A,p. V3?-Vff.

52. Hori. G.l. Тиеоги of Qzzrat pirtiAvSatcoyii with unspectTttol cak\oiatcat vartaKfe.-J. Злраи Astyoyi, %c. {в€С уоГУ8Л/2/р.2?-Д9е.