Некоторые задачи об устойчивости движения спутника - твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧУРКИНА Татьяна Евгеньевна

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА - ТВЕРДОГО ТЕЛА

Специальность 01 02 01 — Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

003171721

Работа выполнена на кафедре Теоретической механики Московского авиационного института (государственного технического университета)

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, доцент

Холостова Ольга Владимировна

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Косенко Иван Иванович

кандидат физико-математичсских наук, доцент Родников Александр Владимирович

Ведущая организация — Институт проблем механики им А Ю Ишлинского

Российской академии наук

Защита состоится¿LfUtÜtctf 2008 г в /3 ч ООиш на заседании диссертационного совета Д 212 125 14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ

Автореферат разослан "M&d 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, допент

Гидаспов В Ю

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы В середине XX века в связи с запуском первых искусственных спутников Земли возник повышенный интерес к исследованию движения небесных тел как природных, так и искусственных Однако задача исследования движения космических объектов интересна не только с прикладной точки зрения, но и имеет самостоятельный теоретический интерес, поскольку охватывает большой раздел динамики твердого тела

К середине XX века были разработаны основные математические модели задач небесной механики и космодинамики, а последующее развитие высокоточной и высокопроизводительной вычислительной техники и современных программных систем привело к появлению новых подходов и методов (как численных, так и аналитических) в исследовании данного рода задач В связи с этим у исследователей появились новые возможности эффективно решать как классические задачи, так и новые

Целью данной диссертационной работы является численное и аналитическое решение ряда задач об устойчивости относительного движения спутника — твердого тела, центр масс которого перемещается по орбите спутника в предположении, что на тело оказывают влияние только гравитационные силы А именно

• исследование устойчивости некоторых частных случаев движений для цилиндрической прецессии спутника, а также движений, рождающихся из гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника

• исследование устойчивости плоских движений в том случае, когда спутник вращается в плоскости орбиты, совершая в абсолютном пространстве три оборота за время, равное двум периодам обращения центра масс по орбите (так называемое, движение меркурианского типа)

Методы исследования Для решения поставленных задач применялись различные аналитические и численные методы такие, как метод нормальных форм, метод малого параметра, метод Пуанкаре, алгоритм нормализации Депри—Хори Были использованы известные результаты по устойчивости гамильтоновых систем при резонансах (А П Маркеев), а также результаты КАМ-теории

Для численной нормализации функций Гамильтона в диссертации использовался алгоритм, основанный на построении симплектического отображения окрестности положения равновесия на себя

Научная новизна работы состоит в следующем

• Изучена устойчивость движения динамически симметричного спутника относительно центра масс на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии в предположении, что спутник делая один оборот по орбите поворачивается на угол 2п относительно своего центра масс в направлении движения по орбите или в противоположном В пространстве параметров задачи в областях устойчивости в первом приближении проведен строгий нелинейный анализ

• Проведено исследование движений близкого к динамически симметричному спутника на круговой орбите Построены новые классы периодических движений в окрестности известного частного решения невозмущенной задачи — гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника — как в резонансном случае, при котором отношение одной из частот малых колебаний приведенной системы с двумя степенями свободы в окрестности устойчивого положения равновесия к частоте изменения циклической координаты близко целому числу, так и в случае отсутствия указанного резонанса В строгой нелинейной постановке решен вопрос об устойчивости построенных периодических движений

• Для случая плоского движения меркурианского типа (те движения с соотношением 3 2 между периодами орбитального обращения и осевого вращения соответственно) проведен нелинейный анализ устойчивости периодических решений уравнения Белецкого как внутри областей устойчивости в первом приближении, так и на их границах

• Исследовано движение несимметричного спутника относительно центра масс на эллиптической орбите в одном частном случае плоского движения, когда спутник вращается в плоскости орбиты, совершая в абсолютном пространстве три оборота за время, равное двум периодам обращения центра масс по орбите Возмущения предполагались произвольными (как плоскими, так и пространственными) В пространстве параметров задачи получены области неустойчивости по Ляпунову и области устойчивости в первом приближении В областях устойчивости в первом приближении проведено нелинейное исследование устойчивости движения

• Разработан алгоритм получения коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона для системы с тремя степенями свободы, основанный на построении симплектического отображения окрестности положения равновесия на себя

К практическим вопросам, связанным с рассматриваемыми в диссертации случаями относительного движения спутника на орбите, можно отнести вопросы, касающиеся гравитационной стабилизации искусственных спутников, их ориентации Результаты диссертационной работы по устойчивости движения спутников могут быть использованы при первичном проектировании космических летательных аппаратов (в частности при выборе траекторий полета их центров масс и при разработке моделей их геометрии и распределения плотностей)

На защиту выносятся

1) Решение нелинейной задачи об устойчивости движения динамически симметричного спутника относительно центра масс на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии (при двух фиксированных значениях инерционного параметра, соответствующих прямым и обратным вращениям)

2) Решение задачи о построении и исследовании устойчивости периодических движений близкого к динамически симметричному спутника в окрестности гиперболоидалыюй прецессии динамически симметричного спутника

3) Решение нелинейной задачи об устойчивости 27Г — периодических решений уравнения Белецкого, соответствующих движению меркурианского типа

4) Решение нелинейной задачи об устойчивости движения меркурианского типа несимметричного спутника относительно центра масс на эллиптической орбите при наличии одновременно как плоских, так и пространственных возмущений

5) Алгоритм получения коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона для системы с тремя степенями свободы

Апробация работы Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на ряде международных и всероссийских конференций, симпозиумов, а также на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в Нижнем Новгороде В список публикаций в конце автореферата включены опубчикованные тезисы докладов, представленных на данных конференциях

Публикации По теме диссертации автором лично опубликовано три статьи в журналах, рекомендованных ВАК Четвертая статья (в соавторстве) опубликована в сборнике студенческих научных работ

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложения, списка литературы, включающего 65 наименований, а также 19 иллюстраций и 11 таблиц Полный объем диссертации 143 страницы

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы, обсуждается актуальность темы, указаны цели и новизна исследований, отмечена их практическая значимость, сформулированы положения, выносимые на защиту

Также во введении дан обзор литературы по теме диссертации В связи с рассмотрением в диссертационной работе задач об устойчивости движений, рождающихся из гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника, и устойчивости цилиндрической прецессии отмечается основополагающий вклад в исследование этого направления, следующих авторов В В Белецкого, Г Н Дубошина, А П Маркеева, Ф.Л Черноусько, В Т Кондураря, Томсона, Кейна Данными исследователями были получены результаты, касающиеся вывода основных уравненй движения, получения стационарных режимов, исследования их устойчивости в линейном и в ряде случаев нелинейном приближении, исследования резонансных эффектов В диссертации приведен также список существенных работ по данной тематике, принадлежащих О В Холостовой, А Г Сокольскому, С А Хованскому, Т Н Чеховской, Б С Бардину, которыми в различные годы проводились нелинейные исследования в ряде важных частных случаев, соответствующих упомянутым стационарным режимам При рассмотрении задач об устойчивости плоских движений спутника упоминаются принципиально важные работы таких авторов, как В В Белецкий, Э К Лавровский, А П Маркеев, А Д Брюно, А П Торжевский, В А Златоустов, В А Сарычев, В В Сазонов, В П Варин

В связи с использованием современных методов нормализации л исследования устойчивости гамильтоновых систем дифференциальных уравнений упоминаются основополагающие работы и монографии А Н Колмогорова, В И Арнольда, Ю Мозера, А П Маркеева, И Г Малкина Использованные методы анализа систем близких к системам с циклической координатой, а также методы анализа систем при наличии резонанса в вынужденных колебаниях приведены в работах О В Холостовой

В первой главе, носящей вводный характер, приводится постановка задачи о движении спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на эллиптической или круговой орбите, приведены основные обозначения и выписаны все виды уравнений, используемых далее и описывающих рассматриваемые случаи движения

Ориентация спутника в орбитальной системе координат задастся при помощи углов Эйлера, а состояние системы описывается переменными Гамильтона в которых за обобщенные координаты взяты углы Эйлера За независимую переменную принята истинная аномалия

Отмечено, что частными случаями для данной достаточно общей постановки задачи являются рассматриваемые в диссертации наравне с общим случаем движение динамически симметричного спутника и движение спутника, центр масс которого перемещается по круговой орбите

Дифференциальные уравнения движения, соответствующие гамильтониану в данной задаче, также допускают решения, отвечающие плоским движениям спутника При этом соответствующие гамильтониану канонические уравнения движения можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка (часто называемому уравнением Белецкого)

Вторая глава диссертации посвящена рассмотрению движения динамически симметричного спутника, центр масс которого движется по эллиптической орбите произвольного эксцентриситета

Уравнения движения, соответствующие функции Гамильтона, допускают частное решение, отвечающее одному из трех известных стационарных режимов движения динамически симметричного спутника, называемому цилиндрической прецессией

Возможны два типа вращений спутника на орбите прямые и обратные В случае прямых вращений спутник вращается относительно своего центра масс в направлении его движения по орбите, в случае обратных вращений — в противоположном

Решена задача об устойчивости двух частных случаев прямых и обратных вращений, для которых в абсолютном пространстве спутник, совершив оборот по орбите, возвращается в начальное положение в своем вращении Решение задачи велось как аналитическими, так и численными методами

Для проведения исследования вводится безразмерный инерционный параметр, равный отношению неравных между собой главных центральных моментов инерции спутника Второй параметр задачи — эксцентриситет орбиты центра масс е

Раздел 2 2 посвящен линейнои задаче Сначала рассмотрен предельный случай круговой орбиты центра масс и на оси е = О найдены порождающие

точки областей параметрического резонанса Для достаточно малых значений эксцентриситета при помощи метода Делри—Хори получены аналитически уравнения границ областей устойчивости в первом приближении, представленные в виде рядов по степеням е

При больших значениях эксцентриситета исследование устойчивости потребовало привлечения численных расчетов на ЭВМ Области устойчивости в первом приближении были построены численно

В областях устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений в разделе 2 3 был проведен нелинейный анализ Выявлены и в плоскости параметров задачи построены кривые резонансов четвертого порядка, для малых значений эксцентриситета уравнения данных кривых найдены аналитически Для значений параметров, принадлежащих кривым резонансов четвертого порядка были проверены условия устойчивости движения и условия формальной устойчивости При этом на кривых резонансов четвертого порядка не было выявлено участков, соответствующих неустойчивому движению

В разделе 2 3 вне резонансных кривых четвертого порядка в области устойчивости в первом приближении была проверена устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий и построены кривые, на которых она может нарушаться Также проверены условия формальной устойчивости и получены области значений параметров, для которых движение формально устойчиво

В третьей главе предполагается, что спутник не является динамически симметричным (но близок к нему) и движение его центра масс происходит по круговой орбите Вводятся два безразмерных инерционных параметра а и € один из которых (малый параметр б) характеризует отклонение спутника от динамической симметрии Третьим параметром служит угол фо наклона оси симметрии спутника к плоскости орбиты в невозмущенной задаче

Невозмущенный гамильтониан отвечает движению динамически симметричного спутника Одна из координат (угол собственного вращения) в системе циклическая, а возмущающая часть содержит данную координату и тг-периодична по ней Таким образом, система близка к системе с циклической координатой

Рассмотрено движение системы в окрестности известного частного решения невозмущенной задачи (гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника) В области изменения параметров, соответствующей устойчивому в линейном приближении невозмущенному движению, построены периодические движения возмущенной задачи и исследована их устойчивость

Решение задачи опиралось на теорию периодических движений системы, близкой к системе с циклической координатой

В разделе 3 3 рассматривается случай, когда отношение одной из частот малых колебаний приведенной системы с двумя степенями свободы в окрестности устойчивого положения равновесия к частоте изменения циклической координаты исходной гамильтоновой системы с тремя степенями свободы близко целому четному числу

Для построения периодических решений была проведена нормализация гамильтониана, произведен ряд канонических замен переменных, позволяющих преобразовать гамильтониан системы к форме, характерной для данного резонанса, а затем осуществлен переход к «полярным» координатам и введена резонансная расстройка При этом предполагается, что возмущения позиционных координат и сопряженных им импульсов имеют порядок е1/3, а возмущение обобщенного импульса, соответствующего циклической координате, порядка е2/3

При помощи интеграла энергии осуществляется переход к редуцированной системе с двумя степенями свободы Наличие в исходной системе с тремя степенями свободы рассматриваемого в данном параграфе резонанса между ее частотами означает существование в редуцированной неавтономной системе резонанса в вынужденных колебаниях, когда частота собственных малых колебаний невозмущенной системы в окрестности ее устойчивого положения равновесия близка к частоте внешнего периодического возмущения

В редуцированной системе существуют одно или три семейства периодических решений, аналитических по дробным степеням малого параметра и рождающихся из положений равновесия модельной системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях В исходных переменных найденным семействам решений отвечают одно или три 7г-периодических по углу собственного вращения и аналитических по б1/3 семейства движений спутника Существование одного или трех семейств определяется комбинированным параметром х> зависящим от резонансной расстройки и от постоянной энергии исходной системы с тремя степенями свободы

В разделе 3 3 3 диссертации решен вопрос об устойчивости построенных периодических движений спутника Движения, рождающиеся из неустойчивого положения равновесия модельной системы, неустойчивы Решение вопроса об устойчивости движений, рождающихся из устойчивых положений равновесия модельной системы было проведено при помощи КАМ-теории и показало, что существует лишь одно значение комбинированного параметра х и одна пара значений параметров а,фо, при которых может нарушаться орбитальная устойчивость для большинства начальных условий Для остальных допустимых значений параметров а, фо, соответствующих данному х, и

для всех наборов а,фо,х, соответствующих устойчивым порождающим положениям равновесия модельной системы, рассматриваемые движения орби-тально устойчивы для большинства начальных условий

В разделе 3 4 предполагается, что в системе с гамильтонианом отсутствуют резонансы, рассмотренные в разделе 3 3

Показано что согласно теории Пуанкаре существует единственное 7г-пери-одическое по углу собственного вращения и аналитическое по с однопарамет-рическое семейство движений спутника, построенное в параграфе 3 41 Роль параметра в данном случае играет постоянная энергии

Далее в разделе 3 4 2 проводится исследование устойчивости найденного периодического решения При этом рассмотрены случаи параметрического резонанса, резонансов третьего и четвертого порядков, а также общий нерезонансный случай В резонансных случаях исследование опирается на известные результаты по устойчивости гамильтоновых систем при резонансах, в нерезонансном случае — на результаты КАМ-теории

Расчеты показали, что если параметры задачи а фо принадлежат кривой резонанса третьего порядка то периодическое решение неустойчиво При наличии в системе резонанса четвертого порядка имеет место устойчивость при учете в гамильтониане членов до второго порядка включительно по «полярным» импульсам В общем нерезонансном случае рассматриваемое периодическое движение спутника орбитально устойчиво для большинства начальных условий всюду в области изменения параметров задачи, кроме, возможно, единственной точки

Четвертая глава посвящена плоским движения спутника на эллиптическои орбите описываемым уравнением Белецкого Рассматривается так называемый меркурианский тип движения, т е движение с соотношением 3 2 между периодами орбитального обращения и осевого вращения соответственно, которое характеризуется следующим условием при прохождении перицентра орбиты одна из главных центральных осей инерции тела совпадает с радиус-вектором, а при прохождении апоцентра она же перпендикулярна радиус-вектору

Краевая задача, задающая данный тип движения, не имеет аналитического решения и решается численно на ЭВМ

В области устойчивости в первом приближении построены кривые резонансов третьего и четвертого порядков, на которых проведено исследование устойчивости движения, и выявлены участки устойчивости и неустойчивости

Также проведено нелинейное исследование устойчивости 2тт-периодических решений уравнения Белецкого при отсутствии указанных резонансов В

плоскости параметров задачи (инерционного параметра и эксцентриситета орбиты) в области устойчивости в первом приближении получены кривые, на которых может нарушаться условие устойчивости движения по Ляпунову Исследование устойчивости также было проведено на границах областей устойчивости в первом приближении, где были выявлены участки соответствующие устойчивому и неустойчивому движению

Пятая глава вновь посвящена плоским движения спутника на эллиптической орбите, описываемым уравнением Белецкого Известно, что при некотором частном соотношении на главные центральные моменты инерции спутника и эксцентриситет орбиты центра масс уравнение Белецкого дощ екает решение, для которого спутник вращается в плоскости орбиты, совершая в абсолютном пространстве три оборота за время, равное двум периодам обращения центра масс по орбите

Исследуется задача об устойчивости данного частного случая движения при наличии одновременно и плоских, и пространственных возмущении За параметры задачи приняты инерционный параметр и эксцентриситет орбиты центра масс

В пространстве параметров задачи получены численно области неустойчивости по Ляпунову и области устойчивости в первом приближении Границы этих областей при малых значениях эксцентриситета найдены аналитически при помощи метода Депри—Хори

В областях устойчивости в первом приближении построены резонансные кривые третьего и четвертого порядков Для значений параметров, им принадлежащих, функция Гамильтона приведена к нормальной форме и при помощи известных критериев на коэффициенты этих нормальных форм сделаны выводы об устойчивости движения Все кривые резонансов третьего порядка разделились на две группы для одной движение формально устойчиво, для другой для всех соответствующих значений параметров имеет место неустойчивость по Ляпунову Для всех случаев резонансов четвертого порядка (за исключение одного) движение устойчиво по Ляпунову при учете в разложении гамильтониана форм по крайней мере до четвертого порядка включительно

Для проведения нелинейной нормализации при значениях параметров из области устойчивости в первом приближении применялся алгоритм получения коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона для системы с тремя степенями свободы, изложенный в главе шесть Алгоритм основан на построении симплектического отображения окрестности положения равновесия на себя Проводится нормализация не самой периодической по времени функции Гамильтона, а производящей функции отображения за период по-

рождаемого соответствующей этой функции Гамильтона канонической системой дифференциальных уравнений шестого порядка Затем по нормальной форме производящей функции восстанавливается нормальная форма функции Гамильтона Формулы, задающие явный вид коэффициентов нормальных форм через коэффициенты разложения в ряд производящей функции отображения, приведены в приложении

В заключении сформулированы основные результаты диссертации

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами диссертации являются решения ряда задач об устойчивости движения спутника — твердого тела относительно центра масс на круговой и эллиптической орбите Получены новые классы периодических решений, рождающихся из гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника, для которых, как и для ряда известных частных случаев движения спутника, проведено исследование устойчивости Разработан алгоритм нормализации периодического гамильтониана с тремя степенями свободы, использование которого возможно не только в задачах небесной механики но и в других задачах динамики твердого тела

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Маркеев А П , Чуркина ТЕ Об устойчивости движения спутника на эллиптической орбите //Проблемы создания перспективной авиационной техники М МАИ, 2003 С 89-92

[2] Маркеев А П , Чуркина ТЕ Об устойчивости движения спутника на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии //Collected abstracts XII International Conference on Computational Mechanics and Modern Applied Software Systems (CMMASS'2003) Vladimir, 30 06-5 07 2003 Vol 2 С 462

[3] Чуркина T E On Stability of Cylindrical Precession of Satellite m Elliptic Orbit//Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике, 23-28 августа 2004 г, Великие Луки Тезисы докладов С 214-216

[4] Чуркина Т Е Об устойчивости движения спутника на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии //Математическое моделирование 2004 Т16 №7 С 3-5

[5] Маркеев А П , Чуркина Т Е Исследование устойчивости одного периодического движения спутника относительно центра масс на эллиптической

орбите //XLII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, 17-21 апреля 2006 года, Москва Тезисы докладов, секции математики и информатики Издательство Российского университета дружбы народов С 70

[6] Чуркина ТЕК задаче об одном частном случае плоских движений спутника на эллиптической орбите //Материалы VI международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, Россия, Санкт-Петербург, 26 июня - 1 июля 2006 Издательство Вузовская книга С 339— 340

[7] Чуркина Т Е Об одном случае плоских движений спутника на эллиптической орбите //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22 - 28 августа 2006 г Аннотации докладов Т 1 Издательство Нижегородского университета С 119

[8] Чуркина ТЕ Исследование устойчивости движения спутника относительно центра масс, близкого к частному случаю плоского движения, на эллиптической орбите //5-ая международная конференция "Авиация и космонавтика-2006", 23-26 октября 2006 г Тезисы докладов Издательство МАИ С 175

[9] Чуркина ТЕ Об устойчивости резонансного движения спутника на эллиптической орбите //Thesis of conference reports, International Conference Dynamical System Modelling and Stability Investigation, may 22-25 2007, Kyiv С 248

[10] Чуркина ТЕ Об устойчивости резонансного вращения спутника на эллиптической орбите //Тезисы докладов международной конференции Классические задачи динамики твердого тела, Украина, Донецк, июнь 9-13 2007 С 80-81

[11] Чуркина Т Е Об устойчивости движения меркурианского типа для спутника на эллиптической орбите //Материалы XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, 25-31 мая 2007 С 508

[12] Чуркина ТЕ К задаче об одном частном случае плоских движений спутника на эллиптической орбите //Математическое моделирование 2007 Т19 №12 С 63-69

[13] Чуркина Т Е Об устойчивости одного плоского резонансного движения спутника при наличии пространственных возмущений //Известия АН Механика твердого тела 2007 №4 С 14—25

[14] Чуркина Т Е Investigation of Resonant Satellite Motion m Vicinity of the Hyperbolical Precession //Book of Abstracts, Sixth International Symposium on Classical and Celestial Mechanics, august 01-06, 2007, Velikie Luki С 43-44

[15] Чуркина T E Периодические движения спутника, близкого к динамически симметричному, в окрестности гиперболоидальной прецессии //Тезисы докладов, 6-я международная конференция «Авиация и космонавтика 2007» 1-4 октября 2007, Москва С 55

[16] Холостова О В , Чуркина Т Е Исследование периодических движений спутника, близкого к динамически симметричному, в окрестности гиперболоидальной прецессии //Актуальные проблемы российской космонавтики Труды XXXII академических чтений по космонавтике (Москва, 29 января - 1 февраля 2008) С 133-134

Введение

1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

2. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА НА ЭЛЛИПТИЧЕ

СКОЙ ОРБИТЕ В СЛУЧАЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРЕЦЕССИИ

2.1. Постановка задачи.

2.2. Линейная задача.

2.2.1. Нормализация функции Гамильтона.

2.2.2. Случай параметрического резонанса.

2.2.3. Числеииое построение областей устойчивости в первом приближении.

2.3. Нелинейный анализ.

3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА, БЛИЗКОГО К ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМУ, В ОКРЕСТНОСТИ ГИ-ПЕРБОЛОИДАЛЬНОЙ ПРЕЦЕССИИ

3.1. Постановка задачи.

3.2. Преобразование гамильтониана.

3.3. Периодические движения спутника при резонансе =

3.3.1. Нормализация гамильтоииаиа

3.3.2. Изоэнергетическая редукция. Построение периодических решений.

3.3.3. Исследование устойчивости.

3.4. Периодические движения спутника при отсутствии резонаисов uJifQ — 2TV, i = 1,2 и их устойчивость.

3.4.1. Построение периодических движений.

3.4.2. Исследование устойчивости.

4. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВРАЩЕНИЙ СПУТНИКА ПРИ РЕЗОНАН

СЕ МЕРКУРИАНСКОГО ТИПА

4.1. Постановка задачи.

4.2. Изложение метода.

4.3. Изложение результатов.

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОГО ПЛОСКОГО РЕЗОНАНСНОГО ДВИ

ЖЕНИЯ СПУТНИКА ПРИ НАЛИЧИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

5.1. Постановка задачи.

5.2. Линейная задача.

5.3. Нелинейный анализ.

6. НОРМАЛИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ГАМИЛЬТОНИАНА В СИСТЕМЕ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

6.1. Постановка задачи.

6.2. Алгоритм нормализации периодического гамильтониана

6.2.1. Построение отображения

6.2.2. Линейная нормализация отображения.

6.2.3. Нелинейная нормализация отображения.

6.2.4. Нормальная форма гамильтониана.

В диссертационной работе рассматривается движение спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Орбита центра масс спутника может быть как эллиптической, так и круговой. Данная задача интересна не только с прикладной точки зрения, но и имеет самостоятельный теоретический интерес, поскольку охватывает большой раздел динамики твердого тела. К практическим вопросам, связанным с данной задачей, можно отнести вопросы, касающиеся гравитационной стабилизации искусственных спутников, их ориентации, вопросы о резонансных вращениях планет Солнечной системы (Луны, Меркурия, Венеры и др.).

В середине XX века в связи с запуском первых искусственных спутников Земли возник повышенный интерес к исследованию движения небесных тел. Так, в пятидесятые-шестидесятые годы появился ряд работ В.В. Белецкого [3-5] и Г.Н. Дубошина [11,13], где были опубликованы полные уравнения поступательно-вращательного движения тяготеющих тел и их первые интегралы. В.В. Белецким была предложена постановка задачи [3], называемая теперь «ограниченной постановкой», при которой / размеры спутника полагаются малыми по сравнению с расстоянием до притягивающего центра, орбита считается кеплеровской и рассматривается независимое от поступательного движение около центра масс. В это же время Г.Н. Дубошиным [12] и В.Т. Кондурарем [15] были получены стационарные режимы для симметричных спутников. При этом Г.Н. Дубошиным впервые был проведен линейный анализ устойчивости этих стационарных режимов. Дальнейшие исследования устойчивости некоторых стационарных движений проводились В.Томсоиом [62] и Т.Кейном [59].

Значительный вклад в исследование задачи устойчивости стационарных движений симметричного спутника внесла работа Ф.Л. Черноусь-ко [52], в которой были приведены достаточные условия всех стационарных режимов и установлено, что, помимо найденных в [12, 15] трех стационарных режимов для динамически симметричного спутника на круговой орбите, других не существует. В работе П.Ликинса [60] впервые были введены термины гиперболоидальная, цилиндрическая и коническая прецессии соответственно, в зависимости от вида поверхности второго порядка, описываемой осью симметрии в абсолютном пространстве.

В работе В.А.Сарычева [41] впервые было показано, что решение, соответствующее цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника, существует и на эллиптической орбите. Устойчивость цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника на эллиптической орбите исследована в статье [64]. Отмстим, что в работе [41] также найдены решения уравнений движения динамически симметричного спутника на эллиптической орбите, переходящие в стационарные при нулевом эксцентриситете (в коническую и гиперболоидальную прецессии). Данные решения представлены в виде рядов по степеням эксцентриситета. Обширная библиография по дайной тематике дана в обзоре [42].

Следующим существенным этапом в исследовании явился цикл работ А.П. Маркеева [21,23,24], в которых при помощи разработанных методов теории гамильтоновых систем был проведен подробный нелинейный анализ колебаний симметричного спутника в окрестности стационарных движений, а также получены результаты о резонансных движениях спутника.

В статье А.П.Маркеева, Т.Н.Чеховской [38] был подробно рассмотрен случай цилиндрической прецессии не закрученного вокруг своей оси спутника, проведено полное нелинейное исследование, причем орбита спутника предполагалась эллиптической, а не круговой. Продолжением работ по данной тематике также служит работа О.В.Холостовой [51], в которой задача об устойчивости цилиндрической прецессии спутника решена в предположении, что геометрия масс спутника отвечает тонкой пластии-ке.

В последние годы исследования в области устойчивости стационарных режимов динамически симметричных спутников ведутся, в частности, в направлении изучения кратных резонапсов, а также особых случаев параметрического резонанса, когда характеристическое уравнение невозмущенной линейной системы дифференциальных уравнений имеет две пары совпадающих между собой чисто мнимых корней (работа А.П.Маркеева [33]).

Существование периодических движений спутника, близкого к динамически симметричному, с периодом 27Гп/О, (п — целое число), аналитических по б и при 6=0 переходящих в гиперболоидальную прецессию, доказано в статье А.П.Маркеева [27]. Для динамически симметричного спутника существование периодических движений (короткопериодиче-ских и долгопериодических) при начальных условиях, мало отличающихся от начальных условий гиперболоидальной прецессии, показано в работе А.Г.Сокольского, С.А.Хованского [44]. Там же в строгой нелинейной постановке проведено исследование их орбитальной устойчивости. В работе [45] для упомянутых короткопериодических движений найдено их численное продолжение по двум безразмерным инерционным параметрам и по постоянной энергии. Для цилиндрической прецессии в случае резонанса 3 : 1 задача об устойчивости движений, рождающихся из нее, решена в работе Б.С.Бардина [2].

Дифференциальные уравнения движения спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле допускают решения, отвечающие так называемым плоским движениям, когда одна из главных центральных осей инерции тела перпендикулярна плоскости орбиты во все время движения. Впервые уравнение, описывающее данный тип движения, было получено В.В.Белецким в работе [3], и поэтому часто называется уравнением Белецкого. После работы [3] появился целый ряд работ, посвященных исследованию этого уравнения. Так, в [65] В.А.Златоустовым и А.П.Маркеевым проведено нелинейное исследование устойчивости нечетных 27г—периодических решений уравнения Белецкого, существование которых было показано в статье А.П.Торжевского [46], и линейное исследование которых проведено в [14] группой авторов. Продолжением данной тематики служит работа А.П.Маркеева [36], в которой изложены результаты нелинейного исследования задачи о плоских периодических колебаниях спутника относительно фиксированного в абсолютном пространстве направления (линейная задача исследована также в [14]), в ней отдельно изучены вопросы, касающиеся случаев малого эксцентриситета, почти симметричного спутника, а также случай произвольных значений параметров. В работе А.П.Маркеева [37] решена нелинейная задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний и вращений спутника около центра масс в предположении, что имеют место одновременно и плоские, и пространственные возмущения; в работе [34] решена линейная задача об устойчивости плоских колебаний малой амплитуды по отношению к пространственным возмущениям, причем особое внимание уделено случаю наличия в системе кратного резонанса.

Частным случаем плоских движений спутника является движение меркуриансккого типа (движение с соотношением 3: 2 между периодами орбитального и осевого вращения соответственно). Впервые 27т и 47гпериодические решения уравнения Белецкого, отвечающие такому движению, были найдены и в линейной постановке исследованы на устойчивость в работе В.В.Белецкого и Э.К.Лавровского [7]. Впоследствии результаты линейного исследования данной задачи были уточнены в работах [43,63]. В работе [7] также произведена оценка моментов инерции планеты Меркурий, движение которой хорошо поддается описанию при помощи уравнения Белецкого, и при движении которой имеет место указанный резонанс 3:2. В работе А.Д.Брюпо [9] сопоставлены различные как упомянутые здесь ранее, так и вновь полученные результаты, касающиеся периодических решений уравнения Белецкого; выявлены общие закономерности строения обобщенно периодических решений; помимо этого в данной работе приведена подробная библиографическая справка по данному вопросу.

В данной диссертационой работе проводится исследование устойчивости некоторых частных случаев движений для цилиндрической прецессии спутника, движений, рождающихся из гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника, а также исследование устойчивости плоских движений в том случае, когда спутник вращается в плоскости орбиты, совершая в абсолютном пространстве три оборота за время, равное двум периодам обращения центра масс по орбите. При исследовании применялись такие классические и современные методы, как метод Пуанкаре [17], метод нормальных форм [26], метод Депри—Хори [26]. Были использованы известные результаты по устойчивости гамильтоновых систем при резонансах [26] и результаты КАМ-теории [1].

При решении одной из задач в диссертации (глава 4) использовался алгоритм исследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем, предложенный в работе А.П.Маркеева [32]. Алгоритм основан на построении и анализе симплектического отображения окрестности положения равновесия на себя. При этом осуществляется нормализация не самой функции Гамильтона, а производящей функции отображения. В данной работе приведены также условия устойчивости и неустойчивости, выраженные через коэффициенты производящей функции. В работе [35] упомянутый алгоритм обобщен на системы с двумя степенями свободы, в которой помимо нормализации производящей функции отображения по ее нормальной форме восстанавливается нормальная форма функции Гамильтона. Алгоритм нормализации [35] использовался в диссертации при решении задачи об устойчивости цилиндрической прецессии (глава 2). В главе 6 диссертационной работы разработан алгоритм, аналогичный алгоритму [35], но для систем с тремя степенями свободы, проведена нормализация производящей функции отображения, получены формулы, явно выражающие коэффициенты нормальной формы через коэффициенты производящей функции отображения в различных случаях (как при наличии резопансов третьего или четвертого порядка, так и при их отсутствии).

Исследования периодических движений в окрестности гиперболои-дальной прецессии, проведенные в диссертации (глава 3), опирались на теорию периодических движений систем, близких к системам с циклической координатой, разработанную в работах О.В.Холостовой [49,50]. При этом исследование устойчивости периодических движений систем со многим числом переменных, согласно этой теории, на некотором этапе требует исследования модельной системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях. Системы с таким гамильтонианом и различные вопросы их динамики рассмотрены в работах [8,39,40,48,58].

Данная диссертационная работа структурно состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение

В заключении отметим основные результаты данной диссертационной работы.

1. Изучена устойчивость движения динамически симметричного спутника относительно центра масс на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии в двух частных случаях прямых и обратных вращений. В пространстве параметров задачи в областях устойчивости в первом приближении проведен строгий нелинейный анализ.

2. Проведено исследование движений близкого к динамически симметричному спутника — твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Построены новые классы периодических движений в окрестности известного частного решения невозмущенной задачи — гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника. В строгой нелинейной постановке решен вопрос об их устойчивости.

3. Для случая плоского движения меркурианского типа (т.е. движения с соотношением 3:2 между периодами орбитального обращения и осевого вращения соответственно) проведен нелинейный анализ устойчивости периодических решений уравнения Белецкого как при наличии резонансов третьего или четвертого порядков, так и при их отсутствии, а также на границах областей устойчивости в первом приближении.

4. Исследовано движение несимметричного спутника относительно центра масс иа эллиптической орбите в одном частном случае плоского движения, когда спутник вращается в плоскости орбиты, совершая в абсолютном пространстве три оборота за время, равное двум периодам обращения центра масс по орбите. Возмущения предполагаются произвольными (как плоскими, так и пространственными). В пространстве параметров задачи получены области неустойчивости по Ляпунову и области устойчивости в первом приближении. В областях устойчивости в первом приближении построены резонансные кривые третьего и четвертого порядков, на которых проведено нелинейное исследование устойчивости движения.

5. Разработан алгоритм получения коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона для системы с тремя степенями свободы, основанный на построении симплектического отображения окрестности положения равновесия на себя.

1. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 414 с.

2. Бардин Б.С. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в случае резонанса четвертого порядка // Нелинейная динамика. 2007. Т.З. №1. С. 57-74.

3. Белецкий В.В. О либрации спутника, в сб.: «Искусственные спутники Земли». М.: АН СССР, 1959. № 3. С. 13-31.

4. Белецкий В.В. Некоторые вопросы поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском поле сил, в сб.: «Искусственные спутники Земли». М.: АН СССР, 1963. Вып. 16. С. 46-56.

5. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.

6. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Издательство Московского университета, 1975. 308 с.

7. Белецкий В.В., Лавровский Э.К. К теории резонансного вращения Меркурия // Астрон. журнал. 1975. Т.52. Вып.6. С. 1299-1308.

8. Брюио А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1990. 295 с.

9. Брюио А.Д. Семейства периодических решений уравнения Белецкого // Космические исследования. 2002. Т.40. №3. С. 295-316.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

11. Дубошин Г.Н. О дифференциальных уравнениях поступательно-вращательного движения взаимно-притягивающихся тел // Астрон. журнал. 1958. Т.35. №2. С. 265-276.

12. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюлл. ИТА АН СССР. 1960. Т.7, №7. С. 511-520.

13. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с.

14. Златоустов В.А., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Торжевский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1964. Т.2. Вып.5. С. 657-666

15. Кондурарь В.Т. Частные решения общей задачи о поступательно-вращательном движении сфероида под действием притяжения шара // Астрон. журнал. 1959. Т. 36. №5. С. 890-901.

16. Ляпунов А.М. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах. Собр. соч. Т.1. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 327-401.

17. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.-Л.: ОГИЗ, 1949. 244 с.

18. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.

19. Маркеев А.П. Устойчивость стационарного вращения спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1965. Т.З. №5. С. 674-676.

20. Маркеев А.П, О вращательном движении динамически-симметричного спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1967. Т.5. №4. С. 530-539.

21. Маркеев А.П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарных вращений спутника //Космические исследования. 1967. Т.5. №3. С. 365-375.

22. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса // ПММ. 1968. Т.32. Вып.4. С. 738-744.

23. Маркеев А.П. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.З. С. 563-569.

24. Маркеев А.П. Исследования устойчивости движения в некоторых задачах небесной механики, М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1970. 163 с.

25. Маркеев А.П. О нормализации гамильтоновой системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // ПММ. 1972. Т.36. Вып.5. С. 805-810.

26. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

27. Маркеев А.П. О периодических движениях спутника на круговой орбите // Космические исследования. 1985. Т.ХХШ. Вып.З. С. 323-330.

28. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика» ЧеРо, 1999. 569 с.

29. Маркеев А.П. Исследование устойчивости периодических движений автономной гамильтоновой системы в одном критическом случае // ПММ. 2000. Т.64. Вып.5. С. 833-847.

30. Маркеев А.П. Динамические причины асимметрии расположения люков в поясе астероидов // Письма в Астрон. журнал. 2001. Т.27. №7. С. 554-559

31. Маркеев А.П. Устойчивость гамильтоновых систем // Нелинейная механика. М.: Физматлит, 2001. С. 114-130.

32. Маркеев А.П. Об одном способе исследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем // Изв. РАН. МТТ. 2004. №6. С. 312.

33. Маркеев А.П. Об одном особом случае параметрического резонанса в задачах небесной механики, Письма в Астрон. журнал. 2005. Т.31. №5. С. 388-394.

34. Маркеев А.П. О кратном резонансе в линейных системах Гамильтона // Доклады АН. 2005. Т.402. № 3. С. 339-343.

35. Маркеев А.П. Конструктивный алгоритм нормализации периодического гамильтониана // ПММ. 2005. Т.69. Вып.З. С. 355-371.

36. Маркеев А.П. Об устойчивости колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Доклады АН. 2007. Т.413. №3. С. 340-344.

37. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование устойчивости плоских периодических движений спутника на круговой орбите // МТТ. 1977. №4. С. 46-57.

38. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите // ПММ. 1976. Т.40. С. 10401047.

39. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. О резонансных периодических решениях гамильтоновых систем, рождающихся из положения равновесия // ПММ. 1982. Т.46. Вып.1. С. 27-33.

40. Нейштадт А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром // ПММ. 1975. Т.39. Вып.4. С. 621-632.

41. Сарычев В.А. Асимптотически устойчивые ствционарные вращения спутника // Космические исследования. 1965. Т.З. Вып.5. С. 667-673.

42. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники, серия «Исследование космического пространства», 1978. Т.Н. 224 с.

43. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1979. Т. 17. Вып.2. С. 190-207.

44. Сокольский А.Г., Хованский С.А. Периодические движения, близкие гиперболоидальной прецессии симметричного спутника на круговой орбите // Космические исследования. 1979. Т.ХУП. Вып.2. С. 208-217.

45. Сокольский А.Г., Хованский С.А. О численном продолжении периодических решений лаграижевой системы с двумя степенями свободы //

46. Космические исследования. 1983. Т.ХХ1. Вып.6. С. 851-860.

47. Торжевский А.П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1964. Т.2. Вып. 5. С. 667.

48. Хентов A.A. Об устойчивости по первому приближению одного вращения искусственного спутника Земли вокруг своего центра масс // Космич. исследования. 1968. Т.6. Вып.5. С. 793-795.

49. Холостова О.В. О движении гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынуженных колебаниях // Известия РАН. МТТ. 1996. №3. С. 167-175.

50. Холостова О.В. О внутреннем резонансе в автономной гамильтоновой системе, близкой к системе с циклической координатой // ПММ. 2002. Т.66. Вып.З. С. 366-380.

51. Холостова О.В. Периодические движения близкого к динамически симметричному спутника в окрестности конической прецессии // ПММ. 2004. Т.68. Вып.З. С. 414-432.

52. Холостова О.В. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника в одном частном случае // Космич. исследования. 2008. Т.46. Вып.З. С. 270-278.

53. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. 1964. Т.28. Вып. 1. С. 155-157.

54. Чуркина Т.Е. Об устойчивости движения спутника на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии // Математическое моделирование. 2004. т. 16. т. С. 3-5.

55. Чуркина Т.Е. К задаче об одном частном случае плоских движений спутника на эллиптической орбите // Математическое моделирование. 2007. Т. 19. №12. С. 63-69.

56. Чуркина Т.Е. Об устойчивости одного плоского резонансного движения спутника при наличии пространственных возмущений // Известия АН. МТТ. 2007. №4. С. 14-25.

57. Якубович В.А., Старжииский В.M. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.

58. Glimm J. Formal stability of hamiltonian systems // Communs Pure and Appl. Math. 1964. Vol.17. No.4. P. 509-526.

59. Henrard J., Lemaitre A. A Second fundamental model for resonance // Celest. Mech. 1983. V.30. №2. P. 197-218.

60. Kane T.R., March E.L., Wilson W.G. Discussion on the paper: «Spin stabilization of attitude against gravity tourque», by W.T. Thomson // J. Astonaut Sci. 1962. V. 9 No. 4. P. 108-109.

61. Likins P.W. Stability of symmetrical satellite in attitudes fixed in an orbiting reference frame //J. Astronaut. Sci. 1965. Vol. 12. №1. P. 1824.

62. Moser J. New aspects in the theory of stability of hamiltonian systems // Communs, Pure and Appl. Math. 1958. Vol.11. No.l. P. 81-114.

63. Thomson W.T. Spin stabilization of attitude against gravity tourque // J. Astonaut Sci. 1962. V.9 No. 1. P. 31-33.

64. Varin V.P. Degeneracies of periodic solution of the Beletskii equation // Regular and Chaotic Dynamics. 2000. V.5. № 3. P. 313-328.

65. Wallace F.B., Jr., Meirovich L. Attitude instability regions of a spinning symmetrical satellite in an elliptic orbit // AIAA J. 1967. V.5. № 9. P. 16421650.

66. Zlatoustov V.A., Markeev A.P. Stability of Planar Oscillations of a Satellite in an Elliptic Orbit // Celestial Mechanics. 1973. № 7. P. 31-45.