Периодические решения Пуанкаре и их устойчивость в задаче о движении твердого тела под действием гравитационных моментов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Об устойчивости периодических решений Пуанкаре гамильтоновых систем

§ 1.1. Введение

§ 1.2. Теорема Пуанкаре

§ 1.3. Теоремы об устойчивости периодических решений Пуанкаре гамильтоновых систем с двумя степенями свободы

§ 1.4. Теорема об устойчивости периодических решений Пуанкаре гамильтоновых систем с тремя степенями свободы (вырожденный случай)

ГЛАВА 2. Исследование устойчивости периодических движений твердого тела с эллипсоидом инерции близким к сфере на круговой орбите

§ 2.1. Введение

§ 2.2. Функция Гамильтона задачи

§ 2.3. Существование периодических решений Пуанкаре и их устойчивость в случае движения динамически симметричного твердого тела

§ 2.4. Существование периодических решений Пуанкаре и их устойчивость в случае движения трехосного твердого тела

ГЛАВА 3. Периодические движения, рождающиеся из плоских колебаний и вращений твердого тела на круговой орбите

§ 3.1. Введение

§ 3.2. Функция Гамильтона задачи

§ 3.3. Невозмущенное движение. Переменные "действие-угол"

§ 3.4. Условия существования периодических решений Пуанкаре, рождающихся из колебаний и вращений тела в плоскости орбиты

§ 3.5. Схема исследования устойчивости периодических решений Пуанкаре

§ 3.6. Устойчивость периодических движений, рождающихся из малых колебаний твердого тела

§ 3.7. Устойчивость периодических решений, рождающихся из вращений почти-сферического твердого тела и из быстрых вращений тела

ГЛАВА 4. Исследование устойчивости периодических движений почти-симметричного твердого тела, рождающихся из регулярных прецессий симметричного тела на круговой орбите

§ 4.1. Введение

§ 4.2. Условия существования периодических решений Пуанкаре

§ 4.3. Гамильтониан возмущенного движения

§ 4.4. Линейная нормализация

§ 4.5. Нелинейная нормализация. Случай резонансов третьего и четвертого порядка

§ 4.6. Исследование устойчивости решений Пуанкаре при нерезонансных значениях параметров. Заключение

ГЛАВА 5. О периодических движениях твердого тела относительно центра масс вблизи коллинеарной точки либрации

§ 5.1. Введение. Постановка задачи

§ 5.2. Функция Гамильтона задачи

§ 5.3. Случай 8=0. Стационарные движения

§ 5.4. Случай £ ^0. Периодические движения тела при отсутствии внешних резонансов .

§ 5.5. Периодические движения в случае внешнего резонанса

Проблемы исследования движений спутников (твердых тел) относительно центра масс в гравитационном поле важны в задачах стабилизации спутников относительно центра масс и имеют самостоятельный теоретический интерес как раздел динамики твердого тела.

Настоящая диссертация посвящена исследованию периодических движений твердого тела относительно центра масс в гравитационном поле на круговой орбите. Во всех решаемых задачах предполагается, что линейные размеры тела малы по сравнению с размерами орбиты, поэтому влиянием движения тела относительно центра масс на его орбитальное движение можно пренебречь ^1*].

К настоящему времени в задаче о движении твердого тела от- ; носительно центра масс на круговой орбите наиболее полно изуче-( ны стационарные и плоские периодические, когда одна из главных : центральных осей эллипсоида инерции тела во время движения перпендикулярна плоскости орбиты, движения тела. Анализу движения тела в окрестности известных периодических решений посвящено большое количество исследований, в которых применяются различные методы нелинейной механики: метод Ляпунова [2], метод Пуанкаре [з,4], метод усреднения [б*], методы Чезари - Хейла [б - э], основанные на свойстве симметрии системы уравнений движения, и другие [ю]. Подробный обзор по указанным задачам приведен в [п*].

В данной работе основное внимание уделяется периодическим решениям Пуанкаре. Предполагается, что функция Гамильтона задачи о движении твердого тела относительно центра масс на круговой

- б орбите аналитически зависит от малого параметра и невозмущенная система допускает периодическое решение.■ Рассмотрены как интегрируемый, так и неинтегрируемый случай невозмущенной системы.

Обычно, при анализе решений Пуанкаре в различных задачах динамики твердого тела ограничиваются исследованием устойчивости решений в линейном приближении. В данной работе проводится нелинейный анализ орбитальной устойчивости получаемых периодических решений Пуанкаре возмущенной системы. Исследование основано на применении идей теории устойчивости гамильтоновых систем, разработанных в основном в последние два десятилетия [12 -14]. Кроме того, мы пользовались способами анализа орбитальной устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, предложенными в работах [15,16^. В этих работах постановка задачи об устойчивости периодических движений отличается от классической тем, что значение постоянной энергии не фиксируется, а может изменяться в некотором интервале. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, причем в окрестности периодического движения каноническими преобразованиями можно ввести такие локальные координаты, что функция Гамильтона возмущенного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Этот метод успешно применялся в работах [17, 18] при исследовании устойчивости плоских движений твердого тела на круговой орбите.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, семи приложений, куда вынесены доказательства двух теорем и громоздкие формулы, заключения и списка использованной литературы.

Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем:

-Получены достаточные условия орбитальной устойчивости периодических решений Пуанкаре автономных гамильтоновых систем в случае интегрируемости невозмущенной системы

- С помощью полученных теоретических результатов проведено исследование устойчивости периодических решений Пуанкаре в задаче о движении твердого тела с эллипсоидом инерции близким к сфере на круговой орбите под действием гравитационных моментов

- Методом малого параметра Пуанкаре построены периодические движения в окрестности плоских колебаний и вращений динамически симметричного твердого тела и регулярных прецессий симметричного тела. Проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости полученных решений

- Исследованы в первом приближении периодические движения относительно центра масс твердого тела, рождающиеся из "цилиндрической прецессии" в предположении, что центр масс тела движется по периодической орбите в окрестности коллинеарной точки либрации ^.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс вгравитационном поле. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1975. 308с.

2. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр.соч., т.2. М.,Л.: Изд-во АН СССР, 1956, с.7-263.

3. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. I. Новые методы небесной механики. М.: Наука, 1971. 771с.

4. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: Изд-во иностр.лит., 1959. 300с.

5. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.

6. Киев: Наук, думка, 1971. 440с.

7. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.230с.

8. Хайнбокел Дж., Страбл Р.А. Периодические решения систем дифференциальных уравнений, обладающих симметрией. Сб. пе-рев. Механика, 1966, № I, с.3-17.

9. Сазонов В.В., Сарычев В.А. Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, близких автономным. -Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1977, № 90. 60с.

10. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решенийобыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 476с.

11. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.:1. Наука, 1981. 400с.

12. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Итоги науки и техники. Сер. Исследование космического пространства. т. II -М.: ВИНИТИ, 1978, с.10-52

13. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. Успехи матем. наук, 1963, т.18, вып.6, с.91-192.

14. Мозер 10. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.168с.

15. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинаке. -М.: Наука, 1978 . 312с.

16. Брюно А.Д. Неустойчивость в системе Гамильтона и распределение астероидов. Матем. сб., 1970, т.83, вып.2, с.273-312.

17. Брюно А.Д. О локальных задачах механики. Препринт Ин.прикл. матем им. М.В.Келдыша АН СССР, 1973, №96. Пс.

18. Маркеев А.П. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника на круговой орбите. Космич. исследования, 1975, т.13, вып.З, с.322-336.

19. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование устойчивости плоских периодических движений спутника на круговой орбите. -Изв. АН СССР, Мех. тверд, тела, 1977, №4, с.46-57.

20. Саитбатталов A.A. Об устойчивости периодических решений Пуанкаре гамильтоновых систем. Прикл. мат. и мех., 1984, т.48, вып. 2, с.214-220.

21. Саитбатталов A.A. Об устойчивости периодических решений Пуанкаре гамильтоновых систем в вырожденном случае. Прикл. мат. и мех., 1983, т.47, вып. 5, с.728-736.

22. Саитбатталов A.A. Об устойчивости периодических движенийспутника относительно центра масс на круговой орбите. -Космич. исследования, 1984, т.22, вып. 3, с.341-351.

23. Саитбатталов A.A. О периодических движениях спутника относительно центра масс на круговой орбите. В кн.: 1У Че-таевская всес. конф. по устойчивости движения, аналит.механике и управлению движением: Тез. докл. М., 1982, с.52.

24. Баркин 10.В., Панкратов A.A. О периодических движениях осесимметричного спутника относительно центра масс на круговой орбите (I). Вест. МГУ. Сер. физ., астрон., 1973, № 19, вып. I, с. 95-104.

25. Баркин Ю.В. 0 движении космического аппарата относительноцентра масс, расположенного в точке либрации Земля-Луна. -Космич. исследования, 1980, т.18, вып.2, с.191-206.

26. Сазонов В.В., Сидорюк М.Е. Периодические движения динамически вытянутого спутника в режиме одноосной гравитационной ориентации. Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1981, № 163. 28с.

27. Петров А.Л., Сарычев В.А., Сазонов В.В. Устойчивость периодических колебаний спутника, близкого к осесимметрично-му, в плоскости эллиптической орбиты. Изв. АН СССР, Мех. тверд, тела, 1983, № 4, с.41-50.

28. Кондурарь В.Т. Частные решения общей задачи о поступательно-.вращательном движении сфероида под действием притяжения шара. Астрон. ж., 1959, т.36, вып.5, с.890-901.

29. Дубошин Г.Н. 0 вращательном движении искусственных небесныхтел. Бюл. ин-та теор. астрон. АН СССР, i960, т.7, № 7,с. 511-520.

30. Sperling II. J. The general equilibria of a spinning in a satellite in a circular orbit. Cel. Hech., 1972, vol.6,1. 3, p. 278-293.

31. Озиранер А.С. Об одноосной стабилизации динамически симметричного спутника на круговой орбите. Изв. АН СССР, Мех. тверд, тела, 1974, № 3, с.П-18.

32. Маркеев А.П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарныхвращений спутника. Космич. исследования, 1967, т.5, вып.З, с.365-375.

33. Thomson W.T. Spin stabilization of attitude against gravitytorgue. J. Astronaut. Sci., 1962, vol.9, И 1,p.31-33.

34. Kane T.R., March E.L., Wilson W.G. Letter to the editor.

35. J. Astronaut. Sci., 1962, vol.9, IT 4, p. 108-109.

36. Сокольский А.Г. К задаче об устойчивости регулярных прецессий симметричного спутника. Космич. исследования, 1980, т.18, вып.5, с.698-706.

37. Meirovich. L„, Wallace P. Attitude instability regionstof a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit. J. Astronaut. Sci., 1967, vol. 14, H 3,p.123-131.

38. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Гравитационная ориентация вращающегося спутника. Космич. исследования, 1981, т.19, вып.4, с. 499-512.

39. Маркеев А.П., Красильников П.С. О движении спутника относительно центра масс в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Космич. исследования, 1981, т.19, вып.2, с.178-190.

40. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. О резонансных периодическихрешениях гамильтоновых систем, рождающихся из положений равновесия. Прикл. мат. и мех., 1982, т.46, выл Л, с.27-33.

41. Саитбатталов A.A. О периодических движениях твердого телаотносительно центра масс вблизи коллинеарной точки либрации. В кн.: Аналитич. методы мех. и динамики летат. аппаратов. МАИ, 1982, с.38-45.

42. Barrar R. A proof of the convergence of the Poincaré von

43. Zeipel procedure in celestial mechanics. Arn.J. of math., 1966, vol.88, Ж 1, p.206-220.

44. Белецкий B.B. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. Сб. Искусств, спутн. Земли. М.: изд-во АН СССР, 1958, № I, с.25-43.

45. Белецкий В.В. Эволюция вращения динамически симметричногоспутника. Космич. исследования, 1963, т.1, № 3, с. 339386.

46. Черноусько Ф.Л. О движении спутника относительно центрамасс под действием гравитационных моментов.-Прикл. мат. и мех., 1963, т.27, вып.З, с.474-483.

47. Торжевский А.П. Исследование движения спутника около центрамасс. М.: Ин. прикл. мат. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1969, 224с.

48. Волков М.С. Плоские периодические движения в задаче двухтел конечных размеров, обладающих плоскостью симметрии. -Бюл. ин-та теор. астрон. АН СССР, 1962, т.8, № 4, с.299-316.

49. Волков М.С. Периодическое поступательно-вращательное движение спутника в поле тяготения шара. Бюл. ин-та теор. астрон. АН СССР, 1962, т.8, № 5, с.343-358.

50. Волков М.С. Ряды, представляющие периодическое поступательно-вращательное движение спутника в поле тяготения шара. -Бюл. ин-та теор. астрон. АН СССР, 1963, т.9, № 2, с.120-143.

51. Баркин Ю.В., Демин В.Г. Поступательно-вращательное движениенебесных тел. Итоги науки и техники. Сер. Астрономия, т.20 М.: ВИНИТИ, 1982, с.87-206.

52. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. К задаче об устойчивостиотносительного равновесия спутника на круговой орбите. -Космич. исследования, 1975, т.13, вып.2, с.139-146.

53. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз, 1960,т.2. 487с.

54. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.:Наука,1966. 300с.

55. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положений равновесийгамильтоновых систем. Прикл. мат. и мех., 1970, т.34, вып.6, с.997-1004.

56. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.,Л.: Гостехиздат,1941. 320с.

57. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумястепенями свободы при наличии резонанса. Прикл. мат. и мех., 1968, т.32, вып. 4, с.738-744.

58. Журавский А.М. Справочник по эллиптическим функциям. М.:1. Изд-во АН СССР, 1941.

59. Уиттекер Э., Ватсон Д. Курс современного анализа. Т.2.

60. М.: Физматгиз, 1963. 515с.

61. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 256с.

62. Сокольский А.Г., Хованский С.А. Периодические движенияблизкие гиперболоидальной прецессии симметричного спутника на круговой орбите. Космич. исследования, 1979, т.17, вып.2, с.208-217.

63. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. 0 периодических движенияхтвердого тела, близких его цилиндрической прецессии. -В кн.: Некоторые вопросы механики. МАИ, 1978, вып.460, с.17-24.

64. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Метод построения и исследования устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем. Прикл. мат. и мех., 1978, т.42, вып.1, с.52-65.

65. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Метод построения периодических движений Ляпунова в гамильтоновых системах и его реализация на ЭВМ. Тр. Ин. теор. астрон. АН СССР, 1978, вып.17, с.62-68.

66. Сокольский А.Г., Хованский С.А. 0 численном продолжении периодических решений лагранжевой системы с двумя степенями свободы. Космич. исследования, 1983, т.20, вып.6, с.851-860.

67. Сарычев В.А. Асимптотически устойчивые стационарные вращения спутника. Космич. исследования, 1965, т.З, вып.5, с.667-673.

68. Маркеев А.П. Устойчивость стационарного вращения спутника наэллиптической орбите. Космич. исследования, 1965, т.З, вып. 5, с.674-676.

69. Маркеев А.П. 0 вращательном движении динамически симметричного спутника на эллиптической орбите. Космич. исследования, 1967, т.5, вып.4, с.530-539.

70. Kane T.R., Barba P.M. Attitude stability of a spinning satellite in an elliptic orbit. Trans.ASME, J. Appl. Mech., 196b, vol.33, N 2, p.402-405.

71. Wallace F.B.,Jr., Meirovich L. Attitude instability regionsof a spinning symmetrical satellite in an elliptic orbit.-AIAA, Journal, 1967, vol.5, N 9, p.1642-1650.

72. Modi V.J., Neilson J.E. Attitude dynamics of slowly spinningaxisymmetrical satellites under the influence of gravity gradient torgues. In: Proc. 20-th Intemat. Congr., Mar del Plata,1969,S.l.,1972,p.563-596.

73. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. Об устойчивости цилиндрическойпрецессии спутника на эллиптической орбите. Прикл. мат. и мех., 1976, т.40, вып.6, с.1040-1047.

74. Сазонов В.В.,Сидорюк М.Е. Периодические движения оси симметрии динамически симметричного спутника под действием гравитационного момента. Препринт Ин. прикл. мат. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1981, № 31. 28с.

75. Сидорюк М.Е. Периодические колебания оси симметрии динамически симметричного спутника на слабоэллиптической орбите. -Препринт Ин. прикл. мат. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1981, № 165. 28с.

76. Маркеев А.П. Исследование устойчивости лагранжевых решенийплоской эллиптической задачи трех тел. Препринт Ин. прикл. мат. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1973, № I. 32с.

77. Маркеев А.П. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы .-Прикл. мат. и мех., 1969, т.33, вып.З, с.562-569.

78. Хазин Л.Г. Об устойчивости гамильтоновых систем при наличиирезонансов. Прикл. мат. и мех., 1971, т.35, вып.З, с.423-431.

79. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественныеметоды. -М.: Наука, 1978. 454с.

80. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.

81. М.: Гостехиздат, 1956. 491с.

82. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальныеуравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 719с.