Нелинейные колебания спутника-твердого тела относительно центра масс в гравитационном и магнитных полях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГ6 од

1 О ?РОССИйЙШ| УНИВЕРСИТЕТ ДРУЛБЫ НАРОДОВ

На правах рукопиои

КА8ЫМ0В РАМИ8 ЧИНГИЗ ОГЛЫ

УДК 521.1

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СПУТНИКА - ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС В ГРАВИТАЦИОННОЙ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Спец.01.02.01 - теоретическая механике

АВТОРЕФЕРАТ дноевргация на соискание ученой охепени кандидате фивико-ивтвиатическйх наук

Кооквв - 1993

Работа выяодненв в Институте иатеиатики и механики Академии неук Азербайджанской Рвопублики.

Научный руководитель - доктор фиаико-иатвизтичв оких неук, профессор ДБШН В.Г.

Официальные оппоненты;

- доктор фиаико-ивтаиатичвских наук, профессор МДРКЕЕВ А.П.

- кв иди да г физико-математических паук, доцент КОСЕНКО И.И.

Ведудая организация - Государственный Астрономический Институт иы.П.Штернбергв. ^

Защите состоится "СР'-О^^ "1993г. в ^ ~ . часов на заседании Специализированного совета * к 053.22.03 по приоуаданию ученой степени кандидата физико-ыатвиэги-чеоких наук в РосойЛокон Университете Дружба народов по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, 3

Автореферат рааосаав т22я Оч/) аМ "1993г.

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное исследование коомичеоко-го пространстве на современном этапе определяет значительный интерес к проблемам движения спутников относительно центра песо под действием моментов сил различной физической природы, По-прекнему остается актуальной задача о движении спутника -твердого тела в гравитационном и магнитном полях. Эта задаче важна при решении проблемы ориентации и стабилизации опутни-ков. Кроне того, задачи о движении спутников относительно центра касс ииеют большое теоретичеокое и практическое значение и широко обоуждаютоя в оовреыанной научной литературе.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена в не диву нелинейных колебаний спутника-твердого тела относительно центра иасс в гравитационной и магнитной полях.

Погоды исследования, В диосертвционной работе иопольву-ютоя следующие методы современного анализа: теория устойчивости движения, метод малого параиетра, теория возмущений, метод Депри-Хори, методы численного анализе и др.

Научная новизна работы:

1. Подробно исследован характер плоских нелинейных колебаний и вращений спутника в резонансной и нарезонанснои олучаях в гравитационном и магнитном полях на круговой полярной орбите в предположении о мэлооти моментов оия магниевого поля по сравнению о гравитационными моментами.

2. Доказана неинтегрируемость уравнения, опиоывавдвго

плоские движения намагниченного спутника на круговой полярной орбите,

3. Исследованы периодические, условно-периодические и асимптотические движения динамически симметричного спутнике вблизи его цилиндрической прецессии в гравитационной поле не круговой и слабоэллиптической орбитах в случае, когдэ линеаризованные уравнения не содержат гироскопических членов.

Решена задаче об устойчивости плоского вращения спутника относительно центре месс под действием гравитационных моментов на эллиптической орбите произвольного зкоцен-триоитета, для которого спутник принимает исходное положение через два оборота его центра ивсс по орбите.

5. Проведен численный анализ периодических движений спутника относительно центре масс под действием иоыентов геомагнитного поля и в авдаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в центральном ньютоновском поле.

Практическая ценность. В связи о практическими потрес^ ноотями развивающейся техники космических полетов большой интерес представляет изучение движения спутников относительно центра касс под действием сил различной физической природы. Проведенный в диссертационной работе анализ нелинейных колебаний спутника твердого теле относительно центра месс в гравитационном и магнитном полях относится к проблемам ориентации и стабилизации спутников; полученные результаты новые и представляют значительный научный интерес.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссерта-' ционной работе, доложены и обсуядены на семинаре в Институте математики и механики Азербайджанской Республики.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, описка литературы и 3 приложений. Содержит 154 страницы машинописного текста, 68 рисунков и 3 таблицы. Список литературы включает в себя 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ .ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, изложены основные методы исследования» деется краткая характеристика структуры диссертации,

В главах I и 2 иаучаетоя движение спутника относительно центра масс под действием моментов гравитационных и магнитных сил.

В § I главы выписано известное дифференциальное уравнение второго порядке о периодическими коэффициентами, описывающие плоские движения спутника относительно центра меоо под действием гравитационных и магнитных моментов. При £ - О ато уравнение олиоываех плоские движения спутнике на круговой орбите под действием моментов ньютоновского гравитационного поля. Его решения хорошо иавестны. Это -либо равновесия (устойчивое или неустойчивое), либо колебания произвольной амплитуды, либо вращения, либо геиро-кпинныв двояковсииптотические движения. В глэве I изучается вадача о влиянии налой ( 0 < <? <<г 1) намагниченности

- ^ _

спутнике на эти пяоокие движения спутника под действием гравитационных моментов.

В § 2 главы I научаются АИ~- периодические по аргументу широты и движения, рождающиеся при £ ^ О из устойчивого положения равновесия в нерезонансном случае, когда частота \Г*Г малых колебаний спутника при £ = О не близка к единице. В гтом случае, согласно методу малого параметра Пуанкаре, при О С£ « •/ существует единственное периодическое

решение, аналитическое по £ .

В пункте 2.1 найдены первые три члена ряда, Представляющего вто вращение.

В пункте 2.2 исследована устойчивость этого решения в линейной приближении, в плоскости /7, £ указаны области устойчивости в линейном приближении, в также области неустойчивости.

Уравнения границ облеетей неустойчивости найдены в виде рядов по степеням малого параметра

п Ь (00 е 1 оо

В п.2.3 в областях устойчивости в первом приближении

найдены характеристические показатели Т I $ с точностью £ 1

до членов порядка с включительно.

- В пп.2Л и 2.5 для малых ¿ строго ревев вопрос об

устойчивости в линейном приближении.

Нелинейный анализ устойчивости основывается на отрогой теории устойчивости гамилыоновых оиотаи. Найдены уравнения кривых, на которых реализуются резонаноы третьего иди четвертого порядка (когда 3 ^ или 4 /] являются целым чиолоы). Показано, что при резонаноах третьего порядка периодическое движение неустойчиво, а при резонаноах четвертого порядка и при отоутотвии резонансов до четвертого порядка включительно периодическое движение устойчиво по Ляпунову, еоли только параметр достаточно мал.

В § 3 главы I изучаются 2Т - периодические движения, рождающиеся при ¿-¿О из устойчивого положения разновеоия, когда частота малых колебаний при ¿=0 равнв или близка к единице. При приведении функции Гамильтоне к виду, удобному для исследования, применяются канонические преобразования метода Делри-Хори. В плоскости И, ¿ найдены области, где существует одно или три £Т - периодических движения. Эти облаоти отделяются одна от другой кривой. Не атой кривой происходит ветвление Р.Т ~ периодичеоких движений. Найдены первые члены рядов (по отепекям <£ ^ ), представляющих периодические движения. Получено уравнение кривой разветвления в виде ряда

® 3 ,

П-= г---

Показано также, что при точном ревонэное существует

одно периодическое движение, причем его амплитуда приближенно равна « 6 </ь •

Исследована устойчивость найденных периодических движений в линейном приближении.

В § А рассматриваются периодические движения, рождающие-оя при ¿-4 0 иг колебаний произвольной амплитуды и из вращений, существующих при ¿~ О .В основу исследования здеоь положены результаты работы, в которой исследована задача о существовании и устойчивости периодических решений Пуанкаре в близкой к интегрируемой гамилмоновой системе с одной отеленыо овободы. В л.4.1 приведены необходимые результаты ив атой работы. В п.2 гамильтониан невозмущенной задачи (при <5 -О ) записан в переменных действие - угол (1,ш) в выпиоан гамильтониан возмущенной сиотемы (при 0<1<-<1 ).

В п.4.3 рассмотрены периодические движения, рождающиеся ив колебаний о чвототой 10 г . Получено, что в первом приближении по £ обнаруживаются периодические движения только тогда, когда и),-^, где 5 - натуральное число. Существует ¿$ периодических движений. Для этих движений опутник совершает одно полное колебание относительно радиус-вектора его центра мвсо за £ оборотов по орбите. В невоа-ыущевном движении переменная

У-т+п+ .....

Анализ показал, что при четных £ периодические движения неустойчивы, и при нечетных £ - устойчивы по Ляпунову.

В п.4.3 изучены периодические движения, рождающиаоя на вращений по оредней частотой [Ог . Аналогично случаю колебаний, в первой приближении по 6 существуют лишь такие

периодические движения, для которых при ¿<0 ^¿-^ ( 5 -

7Г~

натуральное число). В невоэмущенвом движении Ь] - г*

__25

+ (г-1,2,. ¿5). Число периодичеоких движений равно

/

их период равен , Для зтих периодических движений опут-ник оовершает один полный оборот относительно радиус-векто-рв центре маос за 5 оборотов по орбите. Показано, что для прямых вращений (когда направление угловой скорооти вращения вокруг центра ивсо совпадает о направлением угловой скорости движения центра масо по орбите) периодичеокие движения о четным £ неустойчивы, а о нечетным £ - уотой-чивы по Ляпунову. Для обратных вращений картина обратная* -периодичеокие движения для четных аначений устойчивы

по Ляпунову, а для нечетных - неустойчивы.

Глава 2 посвящена доказательству неинтегрируемооти уравнения плооких движений намагниченного спутника на круговой полярной орбите.

В § I главы 2 выписаны решения, отвечающие сепаратрисам невоамущенной (¿-.о) задачи. В § 2 для малых £ найдены периодические движения, рождающиеся иа неустойчивых положений рввновеоия и методом Депри-Хори построены ряды, представляющие входящую и выходящую сепвратриоы для найденных периодических движений. В § 3 поковано, что при 0< <£ <с 7 ахи сепвратриоы не оовпедают, т.е. при ыалых

ti-Q ныв01 шею расщепление сепаратрис и, следовательно, ~ уравнение плоских движений спутника при достаточно палых £ О не имеет вещественно аналитического первого интеграле, отличного от константы. Теп оамым доказана неинтегрируемость уравнения плоских движений намагниченного спутника.

Б главе 3 рассматриваются периодические решения в задаче о движении спутнике относительно центре масс под действием моментов оил геомагнитного поля. Орбита предполагается круговой и лежащей в плоскости гкватора. Геомагнитное поле, как и в главах I и 2, моделируется диполем, ось которого совпедает с осью вращения Земли.

Ориентация спутника относительно геоцентрической системы координат определяется при помощи углов Эйлера Н' , fp V -• Угол прецесоии ^ является циклической координатой. Это позволяет понизить порядок дифференциальных уравнений вращательного движения спутника на две единицы. Приведенная система описывается дифференциальными уравнениями Реуоэ, которые имеют четвертый порядок и допускают интеграл анергии, Эта система записывается в нормальной форме Коии, a seieu, ввиду ее автономности, сводится к трем дифференциальные уравнениям первого порядка, в которых роль независимой переменной играет угол собственного вращения. При фиксированной константе анергии анализ сводится к рассмотрению фаговой плоокооти двух переменных. Исследование периодических по ¥ движений проводится численно. При 8sou используется метод "поверхности сечений" Пуанкаре.

Неподвижные точки построенного отображения отвечают 2Т -периодический по / движениям спутника. Использование инвариантности уравнений движения относительно замены У—■> -V, </ ~' Ч » В д % $ ~ 0 позволяет упростить необходимые вычисления. Для фиксированных параметров задачи дан анализ поведения фазовых траекторий в плоскостях ¿0, ¿V,

, 4} , /V / V ' в зависимости от константы интеграла анергии. Результаты численного анализа представлены в виде таблиц и рисунков.

Глава 4 посвящена исследованию движения динамически симметричного опутника относительно центра маоо под дейотви-ем гравитационных моментов на круговой и эллиптической орбитах. Гамильтониан зэдэчи содержит три независимых параметра 4 » / . ( е< - / . / - . ? и А " полярный и экваториальные моменты инерции спутника, О-сЫ. < 2 ; со - проекция вектора угловой скорости опутника на ооь его динамической оимыетрии, являющаяся интегралом уравнений движения, Юо - среднее движение центре идее; £ - эксцентриситет орбиты). Уравнения движения допускают решения, соответствующего вращению спутника о произвольной по вели-, чине угловой скоростью вокруг оои симметрии, которая вое время движения остается перпендикулярной плоскости ор&ты. Это движение называют цилиндрической прецессией. В главе 4 диссертации изучается случай, когда о(» для которого рассмотрены нелинейные колебания опухвпка и некоторые вопросы его устойчивости. Изучаемый случай интересен теы,' что

- ю -

в линеаризованных уравнениях движения на круговой орбите (1-0) отсутствуют гироокопические члены, а на слабо-вллиптической орбите (0< ^ всегдв еоть резонанс, одна из частот малых колебаний на круговой орбита в точности

Г--

равнв чвототе параметрического возмущения, обусловленного эллиптичностью орбиты.

В § I главы 4 подробно сформулирована постановка рассматриваемой 'задачи и выписана функция Гамильтона, описывающая движения спутнике, близкие цилиндрической прецессии в случае Л/ -2 ; за независимую переменную принятв истинная

аномалия, В § 2 изучается олучай круговой орбиты,при

2.

[) <Со( < линеаризованная системе имеет две вещественных и два чисто мнимых корня. В этом случае при достаточно малых значениях фаговых переменных уравнения возмущенного движения интегрируемы. В п.2.1 при помощи метода Депри-Хори получено приближенное выражение общего решения уравнения возмущенного движения. При частных аначениях начальных условий из общего решения выделены две семейства решений, асимптотических к решению, отвечающему цилиндрической прецессии, а также двухпараметрические семействе периодических движений. Указана приближенная зависимость периода от начальных условий. В п.2.2 рассматривается случай Щ- <о<< Р когда характеристическое уравнение линейной системы имеет две пары чисто мнимых корней. Получена нормальная форма гамильтониана возмущенного движения о точностью до четвертых отепаней фазовых переменных включительно.

В § 3 изучается параметрический резонанс на орбите малого эксцентриситета. Предполагается, что < 2 » т.е. на круговой орбите цилиндрическая прецессия устойчива. Показано, что если с/ , то и в первом, и во втором приближениях по в цилиндрическая прецессия устойчива. Если ве - , то одна из чаотот сО малых колебаний равна ^ и в этом случае имеет место неустойчивость, причем этот факт обнаруживается уже в первом приближении по С .

Заключительный, § 4 глввы ^ посвящен анализу нелинейных колебаний оои симметрии спутника при параметрическом резонансе и] - ^ . В § 4 получена нормальная форма гамильтониана нелинейной зэдачи, выписана укороченная система уравнений возмущенного движения и дан ее подробный анализ. Результаты представлены на фазовой плоскости, где выделены области о различным характером нелинейных колебаний и разделяющая эти области сепаратриса. Получены устойчивые 47!~ -периодические движения вблизи неустойчивого положения равновесия (отвечающего исследуемой цилиндрической прецеосии).

Для нелинейных колебаний укороченной системы получено аналитическое представление. Движения, отвечающие сепаратрисе, описываются в элементарных функциях, а движения, соответствующие областям колебательного движения, опиоываютоя при помощи эллиптических функций.

Глава У диссертации посвящена аналитическому и чиоленному исследованию уотойчивооти одного точного колебания спутника-твердого тела относительно центра маоо под дейот-

Вием гравитационных моментов. Упомянутое уравнение имеет второй порядок и содержит два независимых параметра: И (С* h - 1Л) - инерционный параметр, - эксцентриситет орбиты центра масс спутнике. Известно, что если И-£6 [ 0 £ О- F) , то ато уравнение имеет частное решение 0 _ д"- , где 0 - угол между одной из главных центральных осей инерции спутника, лежащей в случае плоских движений в ялоскооти орбиты и радиусом -^вектором центра масс, а \) - истинная аномалия. Иавестно, что при 0- 0(> 'J<■'£О 6' рассматриваемое вращение спутника неустойчиво по Ляпунову, а при Qc-в^ О-01*9 устойчиво в первом приближении. Цель главы У соотоит в получении строгих выводов об устойчивости при -¿Vg <0-060.

В § I опиоана постановке задачи. В § 2 выписана функция Гамильтона возмущенного движения. В § 3 содержится аналитическое исследование для малых значений эксцентриситета, в § 4 дается численный анализ для произвольных аксцентрисите-тов ив раосматриваемрго интервала (0,069). В результате аналитического и численного анализа показано, что для значений t ив интервала (0,0.69) устойчивости в первом приближении вращения спутника 9 - j- действительно устойчиво за исключением трех вначений € в 0,0489, £ =0,0598, t = t^ «0,055; для первых двух ив атих вначений вращение спутника неуотойчиво, вопрос об устойчивости при t- ^-остается открытым.

В главе 6 используются периодические движения твердого

теле вокруг неподвижной точки в центральной ньютоновской гравитационной поле. В § I главы б выписаны уравнения движения и указаны их первые интегралы. Затем в § 2, опираясь на существование интеграла площадей, выписана приведенная система уравнений Русэ. В § 3 указано свойство симметрии уравнений движения и описан алгоритм численного исследования периодических по углу собственного вращения ~ У движений тала вокруг неподвижной точки. Для анализа эволюции периодических движений в зависимости от величины константы интеграла энергии полученные результаты подробно иллюстрируется При помощи твблиц и рисунков.

В заключении кратко оформулировэяы основные р«вушвт диссертации.

В приложении вынесены некоторые гроввздкив йьМйсления, необходимые в глзмв диссертации.

Основные результаты диссертационной рЗбЬФы отражены в следующих публикациях:

1. Казымов Р.Ч. Периодические решения в задача о движении намагниченного экваториального спутника вокруг центре масс. ВИНИТИ, № 5964, 20.09.89.

2. К88ымов Р.Ч. Периодические движения твердого тела в ньютоновском поле сил. ВИНИТИ, К» 4020-90. 17.07.90.

3. Казымов Р.Ч. Об устойчивости в одном честной олучае плоских вращений спутнике относительно центра мвео на эллиптической орбите. ВИНИТИ, № 954, 20.03.92.

4. К88Ш0В Р.Ч. Устойчивость и не линейные колебания в одной чаохаоч случае прецессионного движения опутника в гравитационной поле. ВИНИТИ, . № 955, 20,03.92.

21.04,93 г.

Объем 1п„ л» Тир. 100

Тш. РУдИ. Орджоникидзе, 3

Зяк. 257