Возмущенное эйлерово движение твердого тела при соизмеримых частотах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ВОЗМУЩЗННСЕ ДВИШИЕ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ТЯ-ЖЛСГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ МАЛОМ НАКЛОНЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА К ЭКВАТОРИАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ II

1.1. Уравнения движения динамически симметричного тела. II

1.2. Усреднение уравнений движения. Качественный анализ усредненных уравнений.

1.3. Периодические решения Пуанкаре первого рода

1.4. Обращение квадратур.

1.5. Либрационное движение динамически вытянутого тела

1.6. Либрационное движение динамически сплюснутого тела.

1.7. Вращательное движение тела.

1.8. Интерпретация движения. Расчеты на ЭВМ.

Глава 2. ВОЗМУВрННСЕ ДВИШИЕ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО

ТЯНЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ОСТРСЙ СОИЗМЕРИМОСТИ ЧАСТОТ.

2.1. Усреднение уравнений движения по схеме Делоне-Хилла.

2.2. Качественный анализ усредненных уравнений.

2.3. Обращение квадратур усредненных уравнений.

2.4. Вращательное движение тела при острой соизмеримости частот.

2.5. Либрационное движение тела при острой соизмеримости частот

2.6. Движение при острой соизмеримости частот и периодические решения Пуанкаре

2.7. Интерпретация движения. Результаты расчетов на

Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЁННОГО ШЕРСЗВА ДВШЖНШ

ТВЕРДОГО ТЕМ ПРИ СОИЗМЕРИМЫХ ЧАСТОТАХ.

3.1. Уравнения движения тела с трехосным эллипсоидом инерции.

3.2. Усреднение уравнений движения тела при соизмеримости частот нечетного порядка. Анализ усредненных уравнений.

3.3. Решение уравнений движения тела, усредненных с учетом нечетной соизмеримости частот.

3.4. Вращательное движение динамически несимметричного тела

3.5. Либрационное движение динамически несимметричного тела.

3.6. Исследование движения тела при соизмеримости частот четного порядка.

3.7. Погрешность метода усреднения по Делоне-Хиллу

ЗАКЛЗЖНИЕ.

Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляет большой теоретический и практический интерес и ей посвящены многочисленные исследования.

Известно, что без ограничения на начальные данные задача проинтегрирована лишь в трех случаях: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. При дополнительных ограничениях на начальные данные в задаче найдено еще около пятнадцати частных случаев интегрируемости [22].

В.В.Козловым было доказано [29 - 31], что уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в возмущенном случае Эйлера не имеют дополнительного аналитического интеграла к трем известным (энергии, площадей и тривиального геометрического), необходимого для сведения задачи к квадратурам. Этот результат имеет важное значение. Ранее была доказана теорема Гюссона [9] об отсутствии дополнительного алгебраического интеграла в данной задаче. Но свойство интеграла быть алгебраическим в сильной мере зависит от выбора переменных для исследования.

Если ввести в рассмотрение пространство параметров (отношение главных моментов инерции, координаты центра масс, координаты, определяющие начальное положение тела, начальные угловые скорости), то в этом пространстве параметры, соответствующие проинтегрированным случаям, составляют множество нулевой меры. В реальных объектах эти параметры могут быть реализованы лишь приближенно. В связи с вышеизложенным представляет большой интерес выявление особенностей движения тела с помощью методов теории возмущений при параметрах, близких к их значениям в случае интегрируемости. Для гамильтоно-вых систем исследование задач, близких к интегрируемым, Пуанкаре называл даже "основной задачей динамики" [40].

Исследования в данной задаче чрезвычайно обширны. № кратко остановимся на результатах, полученных в данной задаче с помощью методов теории возмущений.

Значительное количество работ посвящено отысканию периодических решений Пуанкаре первого рода. Так, например, в работах [II, 16, 17, 32] доказывается существование периодических решений уравнений движения динамически симметричного, или же достаточно близкого к динамически симметричному, тела в однородном поле тяжести при условии, что центр масс расположен достаточно близко к точке закрепления. В работах [18, 21, 25, 26] для той же задачи поле тяготения выбрано линейным, являющимся первым приближением к центральному ньютоновскому. Использование переменных действие-угол, введенных в динамику твердого тела Ю.А.Садовым [42, 43] на основе интегрируемого случая Эйлера, позволило В.В.Козлову доказать существование периодических движений тяжелого твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции при малом отклонении центра масс от точки закрепления [32]. И.М.Аксененковой [i] переменные действие-угол были определены на основе интегрируемого случая Лагран-жа, что позволило доказать существование периодических движений тела мало отличающегося от волчка Лагранжа [44]. Периодические решения являются наиболее простыми после положений равновесия. Они характеризуются одной базисной частотой и строятся в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра с периодически зависящими от времени коэффициентами. Значение периодических решений Пуанкаре первого рода заключается не только в том, что они открывают возможность изучить один из классов решений, но также и в том, что они позволяют локально изучить некоторые свойства разбиения фазового пространства, чему в предшествующих работах не уделялось достаточного внимания.

Другим важным результатом, полученным с помощью малого параметра в данной задаче, является доказательство В.В.Козловым отсутствия нового аналитического интеграла [29 - 31]. При этом были проанализированы причины, препятствующие его появлению, такие как рождение изолированных периодических решений Пуанкаре, расщепление сепаратрис, ветвление решений возмущенных уравнений движения [28, 29, 33].

Не менее важным пунктом в изучении свойств решений задачи является доказательство В.И.Арнольдом теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона [4, 5, 35]. Условно-периодические функции являются частным случаем почти-периодических и характеризуются конечным набором базисных частот. В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, если зафиксировать постоянную площадей, имеются две базисные частоты. В фазовом пространстве невозмущенной задачи движение происходит по инвариантным, в общем случае двумерным, торам. При малом, порядка JUL , возмущении большинство инвариантных торов сохраняется, лишь немного деформируясь. Мера разрушившихся и деформация сохранившихся торов ограничивается сверху величиной порядка [38].

В диссертации изучается возмущенное движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, когда частоты невозмущенного эйлерова движения связаны соотношением

7,6), -t плЬ)г =О, П[ e Z, (I = У7 г), In.hlnj

Уравнения движения тела приводятся к стандартной по Боголюбову форме [15] и проводится их усреднение с учетом соизмеримости частот (усреднение по схеме Делоне-Хилла). Получаемые в результате усреднения уравнения интегрируются в квадратурах. Решение усредненных уравнений позволяет выделить основные, эволюционные эффекты в движении тела. При этом важным является вопрос о погрешности метода усреднения. Если обозначить через x(x0j {) , х=(хи решение исходных уравнений, а через ЗС(Т0,£) - решение усредненных уравнений с такими же начальными условиями, то необходимо иметь оценку нормы ПхЩ-£(Ш . Согласно теореме Е.А.Гребеникова [23] при усреднении по Делоне-Хиллу дифференциальных уравнений с правыми частями в веде рядов Фурье для медленных переменных ИхШ -X(i)U<0(ju) на отрезке времени , где JJ-малый параметр. Если же правые части уравнений - тригонометрические многочлены, то аналогичная оценка справедлива на отрезке [О, Jit.'*].

С помощью теории периодических решений Пуанкаре и теоремы Колмогорова-Арнольда [4, 5, 35] некоторые результаты о качественных свойствах движения тела, полученные из анализа усредненных уравнений, обоснованы на всем бесконечном интервале времени. Сущность этого заключается в следующем. Так как усредненные уравнения интегрируемы в квадратурах, то согласно теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемых системах [в] движение в фазовом пространстве происходит по инвариантным торам. Эти инвариантные торы уже учитывают основные особенности решений возмущенных уравнений в случае соизмеримости частот. Если теперь в уравнениях движения принять во внимание те слагаемые, которые были отброшены при усреднении, то из теоремы Пуанкаре об асимтотических поверхностях [41] и теоремы Колмогорова-Арнольда [4, 5, 35] следует, что большинство инвариантных торов лишь немного деформируется. Сохранившиеся двумерные инвариантные торы делят трехмерный уровень интеграла энергии на ограниченные области, из которых не может выйти фазовая траектория. В фазовом пространстве невозмущенной задачи Эйлера-Пуансо движение также происходит по инвариантным торам. Но последние "плохо" учитывают резонансные эффекты. С подобным явлением ранее столкнулись при изучении резонансных задач в небесной механике и поэтому в качестве нулевого приближения стремятся принимать не кеплеровские орбиты, а орбиты, вычисленные из решений усредненных уравнений [23].

В первой главе диссертации изучается возмущенное движение динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести в случае, когда кинетический момент находится достаточно близко к экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Исследование проводится в канонических переменных Андуайе L , Q , Н, £, $ * ^ и оскулирующих переменных Q, 6>, g , 2, ft , Pi . Изучены два типа движений. Для либрационного движения угол собственного вращения колеблется в ограниченных пределах с амплитудой менее 2ft . Период колебаний имеет большое, порядка , значение. Для вращательного движения поворот тела относительно оси динамической симметрии происходит монотонно. Проведены численные расчеты на ЭВМ.

Во второй главе диссертации изучаются возмущенные движения динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести в случае, когда частоты невозмущенного эйлерова движения характеризуются соизмеримостью типа 1:1. Резонансные эффекты приводят к тому, что на регулярные прецессии накладываются долгопериодические колебания амплитуды порядка ja* . Это может приводить, в частности, к временному изменению направления прецессии кинетического момента (годограф кинетического момента имеет самопересечения). Ранее подобные движения кинетического момента были обнаружены В.В.Белецким в задаче о движении спутника [13]. Полученное решение усредненных уравнений позволяет, с соответствующей точностью, провести интерпретацию движения тела, основанную на теоремах Пуансо. Для некоторых начальных значений проведены численные расчеты на ЭВМ.

В третьей главе изучается возмущенное движение твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции. Исследование проводится в переменных действие-угол, введенных Ю.А.Садовым [42, 43] В отличие от динамически симметричного тела здесь имеется бесконечное количество различных типов соизмеримостей частот. Усреднение уравнений движения тела по схеме Делоне-Хилла позволило в окрестности фиксированной соизмеримости частот получить интегрируемую в квадратурах систему уравнений. По решению усредненных уравнений изучены либрационный тип движений тела, когда аномалия Делоне колеблется в ограниченных пределах, вращательный тип движения, когда аномалия Делоне изменяется монотонно, и асимптотические движения. Для либрацион-ного и вращательного движений переменные действия h , испытывают, в общем случае, долгопериодические изменения с амплитудой порядка ju* . Период изменения стремится к бесконечности, если, изменяя произвольные постоянные интегрирования, устремить решение к асимтотическому. Качественные свойства движения тела, выявленные из решений усредненных уравнений, уточнены с помощью теории периодических решений Пуанкаре первого рода и теоремы Колмогорова-Арнольда. Исходя из решений усредненных уравнений проведена интерпретация движения тела, основанная на теоремах Цуансо. Оценка Е.А.Гребеникова погрешности метода усреднения по Делоне-Хиллу распространена на интервал времени порядка у/. *.

По теме диссертации были сделаны доклады на кафедре "Теоретическая механика" МВТУ" им. Н.Э.Баумана (зав. кафедрой член-корр. АН СССР Колесников К.С.), на семинаре по классической динамике в МГУ им. М.В.Ломоносова (руководители проф. Демин В.Г., доц. Колесников Н.Н., ст.н.с. Татаринов Я.В.), на заседании кафедры "Теоретическая механика" УДР им. П.Лумумбы (зав. кафедрой проф. Галиуллин А.С.).

Основные результаты изложены в работах

18, 19, 24, 47].

ЗАКМЯЕНИЕ

В диссертации изучались возмущенные движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки при рационально соизмеримых частотах в предположении, что центр масс расположен достаточно близко к точке закрепления или же тело имеет достаточно большую угловую скорость. Результаты диссертации позволяют сделать следующие выводы:

1. В асимптотическом приближении изучены долгопериодичес-кие возмущения в движении тела, которые кратко можно описать следующим образом: расстояние от неподвижной точки до плоскости Пуансо изменяется периодически с периодом и амплитудой ~, где ju« / - параметр Пуанкаре. Долгопе-риодические возмущения могут приводить, в частности, к временному изменению направления прецессии кинетического момента.

2. Дано геометрическое объяснение долгопериодических возмущений в движении тела. В фазовом пространстве невозмущенной задачи при точной соизмеримости частот фазовая точка движется по окружности. Для усредненных по Делоне-Хиллу уравнений движения тела эти окружности переходят, в общем случае, в двумерные торы. Частота движения фазовой точки по меридиану инвариантного тора усредненной задачи мала порядка ju* .

3. Изучены инвариантные торы усредненной задачи. Для строгой постановки задачи результаты о качественных свойствах движения тела уточнены с помощью теории периодических решений Пуанкаре первого рода и теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений.

4. Определены условия существования либрационных, вращательных и асимптотических движений тела.

5. Выявлен гироскопический эффект, отличающий движение динамически вытянутого и динамически сплюснутого тел. В некоторой малой окрестности вращений тела вокруг экваториальной оси инерции центр масс для всех т? находится ниже точки подвеса для динамически вытянутого и выше точки подвеса для динамически сплюснутого тел. б. Применительно к движению твердого тела с неподвижной точкой уточнена погрешность метода усреднения по Делоне-Хиллу.

1. Аксененкова Й.М. Канонические переменные угол-действие в задаче о волчке Лагранжа. -Вестн. МГУ, сер. матем., механ., 1981, P1. с. 86-90.

2. Аппель П. Теоретическая механика, т. 2. -М.: Шизматгиз, I960. -487 с.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. 2-е изд. -М.: Наука, 1979. -431 с.

4. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. -УМН, 1963, т. 18, вып. 5, с. 13-40.

5. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике. -УМН, 1963, т. 18, вып. 6, с. 91-192.

6. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. -304 с.

7. Арнольд В.И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резонансы. -ДАН СССР, 1965, т. 161, Р I, с. 9-12.

8. Арнольд В.И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики. -Сиб. матем. ж., 1963, т. 4,2, с. 471-475.

9. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. -M.s Наука, 1977. -328 с.

10. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. 2-е изд. -М.: Наука, 1970. -3Q1 с.

11. Баркин Ю.В. Периодические и условно-периодические решения в задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. -ПШ, 1981, т. 45, вып. 3, с. 535-544.

12. Белецкий Б.Б. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. 308 с.

13. Еиркгоф Дж.Д. Динамические системы. -М.-Л.: Гостех-издат, 1941. -320 с.

14. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 2-е изд. -М.: Физматгиз, 1958. -406 с.

15. Вагнер Э.А., Демин В.Г. Об одном классе периодических движений тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. -1ШМ, 1975, т. 39, вып. 5, с. 927-929.

16. Вагнер Э.А. Об одном семействе периодических движений тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. -ПММ, 1977, т. 41, вып. 3, с. 553-556.

17. Винокуров В.Н. О периодических решениях в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой. -Проблемы механики управляемого движения. -Пермь, 1982, с. 52-57.

18. Винокуров В.Н. О возмущенном движении динамически симметричного твердого тела с неподвижной точкой. -М. -II с. -Рукопись представлена МВТУ им. Н.Э.Баумана. Деп. в ВИНИТИ 20 дек. 1982, № 6246-82.

19. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод усреднения в теории нелинейных колебаний. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. 507 с.

20. Горелов В.И., Сорокин В.А. О периодических движениях твердого тела с одной неподвижной точкой. -Проблемы механикиуправляемого движения. -Пермь, 1982, с. 72-77.

21. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова JI.A. Классические задачи динамики твердого тела. -К.: Наукова думка, 1978. -294 с.

22. Гребеников Е.А., Рябов D.A. Новые качественные методы в небесной механике. -М.: Наука, 1971. -442 с.

23. Демин В.Г., Баркин Ю.В., Винокуров В.Н. Применение конструктивных методов для изучения движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. -Третье республиканское совещание по проблемам динамики твердого тела: Тез. докл. -Донецк, 1981, с. 13.

24. Демин В.Г., Киселев Ф.И. Новый класс периодических движений твердого тела с одной неподвижной точкой в ньютоновском силовом поле. -ДАН СССР, 1974, т. 214, № 5, с. 997-998.

25. Демин В.Г., Киселев Ф.И. О периодических движениях твердого тела в центральном ньютоновском поле. -ПММ, 1974, т. 38, вып. 2, с. 224-227.

26. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. -М.: Наука, 1979. -320 с.

27. Зиглин C.JI. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела. -Труды ММО, т. 41, с. 287-308.

28. Козлов В,В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. -230 с.

29. Козлов В.В. Несуществование дополнительного аналитического интеграла в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. -Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., мех., 1975, Р I, с. I05-II0.

30. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в га-мильтоновой механике. -УШ, 1983, т. 38, вып. I, с. 3-67.

31. Козлов В.В. Новые периодические решения в задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. -ПММ, 1975, т. 39, вып. 3, с. 407-414.

32. Козлов В.В. Расщепление сепаратрис возмущенной задачи Эйлера-Пуансо. -Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., мех., 1976, № 6, с. 99-104.

33. Козлов В.В. Геометрия переменных "действие-угол" в задаче Эйлера-Пуансо. -Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., мех., 1974, W 5, с. 74-79.

34. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. -ДАН СССР, 1954, т. 98, № 4, с. 527-530.

35. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. -М.: Мир, 1977. -584 с.

36. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1969. -380 с.

37. Нейштадт А.И. Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условно-периодических движений. -ПММ, 1981, т. 45, вып. 6, с. 1016-1025.

38. Нейштадт А.И. О прохождении через резонансы в двухчас-тотной задаче. -ДАН СССР, 1975, т. 221, W 2, с. 301-304.

39. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики, т. I. -Пуанкаре А. Избр. труды, т. I. -М.: Наука, 1971, с. 8-326.

40. Пуанкаре А. О проблеме трех тел и об уравнениях динамики. -Пуанкаре А. Избр. труды, т. 2. -М.: Наука, 1972,с. 357-444.

41. Садов Ю.А. Переменные действие-угол в задаче Эйлера-Пуансо. -ПММ, 1970, т. 34, вып. 5, с. 962-964.

42. Садов Ю.А. Переменные действие-угол в задаче Эйлера-Пуансо. -Препринт W 22, Ин-т прикл. матем. АН СССР, 1970. -27 с.

43. Сергеев B.C. Периодические движения твердого тела с неподвижной точкой, близкого к динамически симметричному. -ПММ, 1983, т. 47, вып. I, с. 163-166.

44. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. -М.: Наука, 1979. -832 с.

45. Шварц JI. Анализ, т. I. -М.: Мир, 1972. -824 с.

46. Винокуров В.Н. Один случай возмущенного эйлерова движения твердого тела с неподвижной точкой. М., 1984. 16 с. -Рукопись представлена МВТУ им. Н.Э.Баумана. Деп. в ВИНИТИ7 мая 1984, Р 2877-84 Деп.