Линеарнзированные течения вязкопластических тел с учетом сил инерции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

САНАЕВА ТАТЬЯНА АЛЕКСАНДРОВНА

ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ С УЧЕТОМ СИЛ ИНЕРЦИИ

01.02.04. - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор ИВЛЕВ Д.Д.

Чебоксары - 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Глава I. Устойчивость течения вязкопластической

полосы при наличии сил инерции. 11

§1. Возмущенное течение вязкопластической полосы при

начальном деформировании отличном от нуля (е° Ф 0). 13 §2. Возмущенное течение вязкопластической полосы в

случае отсутствия начального деформирования (е° = 0). 23

Глава II. О растяжении прямоугольного бруса из ;

вязкопластического материала с учетом сил инерции. 32 §1. Вязкопластическое течение прямоугольного бруса при

начальном деформировании отличном от нуля ф 0). 35 §2. Вязкопластическое течение прямоугольного бруса в

случае отсутствия начального деформирования (в,0 = 0 ). 43

Заключение 58

Литература

59

ВВЕДЕНИЕ

Использование конструктивных материалов в экстремальных условиях нагружения требует учета различных механических свойств тел. Металлы в условиях высоких температур изменяют свои свойства со временем, обнаруживают текучесть и со временем могут накапливать большие деформации (явление ползучести).. Учет вязкости нередко необходим при быстрых движениях (например, связанных с колебаниями, ударами).

В современной технике все больше используются сложные механические свойства высокополимеров. Для таких материалов характерна важная роль времени: процессы деформации здесь являются неравновесными.

Механические свойства сложных сред с достаточной степенью точности можно описать при помощи механических моделей. Для простоты рассмотрим одноосное напряженное состояние (растяжение стержня); обозначим через ст - напряжение, е - относительное удлинение.

Упругий элемент, подчиняющийся закону Гука а = Ее, изображается в виде пружины (рис. 1а).

Вязкий элемент, следующий закону вязкости Ньютона а = |х—,

Л

изображается в виде поршня, двигающегося в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 16).

Жесткопластический элемент изображается в виде элемента с сухим трением. Такое тело не испытывает деформации при напряжениях ниже

предела текучести; деформирование развивается только при напряжениях, удовлетворяющих условию текучести (а = к) (рис. 1в).

Комбинируя простые модели, можно рассматривать различные модели сложных Сред.

При параллельном соединении упругого и вязкого элементов

йг

получается упруговязкая среда Фойхта а = Ее + ц— (рис.2а).

си

При последовательном соединении упругого и вязкого элементов складываются скорости деформации, отвечающие одному и тому же направлению. Закон деформации такой среды впервые получил

Масквелл — = —— + — (рис. 26). Л ЕЛ ц

Последовательное соединение вязкого и пластического элементов приводит к ползуче-пластической среде. Такая среда представляет большой интерес в теории ползучести металлов (рис.За).

Параллельное соединение вязкого и пластического элементов дает вязкопластическую среду, закон деформации которой имеет вид

Iе*8 ^,

<т = к + и.— при ст>к; ск Р

при ст<к среда не деформируется (рис.3б).

Вязкопластическую среду рассматривали Ф.Н. Шведов (1890), Бингам и Грин (1919). Бингам и Грин ввели понятие идеализированного пластического тела, которое сопротивляется пластической деформации за счет своего предела текучести и за счет вязкости, называемой пластической вязкостью. Такое тело именуется в настоящее время телом Бингама.

Для многих веществ заметное течение появляется лишь при определенной нагрузке; вязкость среды при этом влияет на скорость течения. Вязкопластическими свойствами характеризуются многие реальные вещества - металлы при достаточно высокой температуре, различные густые смазочные материалы, краски и т.д. Совершенствование многих технологических процессов (горячая обработка металлов, перемещений различных пластических масс в машинах, трубопроводах и т.д.) требует изучение движения вязкопластических материалов; гидродинамическая теория смазки при густых смазочных материалах также основывается на уравнениях вязкопластического течения. Прочностный расчет элементов конструкций, стержней, пластин, оболочек, труб при учете вязкопластических свойств, принадлежит к числу актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

Настоящая работа посвящена линеаризированным задачам теории вязкопластических изотропных тел с учетом сил инерции. Линеаризация проводится методом малого параметра.

Постановка задачи об устойчивости вязкопластического течения принадлежит A.A. Ильюшину [20-22]. А.А.Ильюшин предложил дифференциальные уравнения, описывающие возмущенное поведение вязкопластических сред, и определил соответствующие граничные условия, решил задачи о течениях близких к плоскому равномерному деформированию полосы и плоскому деформированию цилиндра. При этом A.A. Ильюшин использовал лагранжевый метод описания движения сплошной среды.

Дальнейшее развитие устойчивости течений вязкопластической среды получила в работах А.Ю. Ишлинского [24-28]. А.Ю. Ишлинский

применил эйлеровый способ рассмотрения течения вязкопластического тела, получил уравнения пространственного деформирования вязкопластической среды. Им был решен ряд конкретных задач: об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута, боковая поверхность которого имеет периодическое осесимметрические возмущения; о вязкопластическом течении круглой пластины под действием нормальных сил, приложенных по ее цилиндрической границе; об ударе о жесткую преграду вязкопластического стержня конечной длины; о медленном течении вязкой жидкости в круглой трубе переменного сечения и др.

Решения ряда задач по теории вязкопластических тел проводятся в работах В.А. Знаменского [12-13], П.П.Мосолова и В.П.Мясникова [3239], Г.И.Быковцева и А.Д.Чернышова [3], П.М.Огибалова и А.Х.Мирзаджанзаде [41], П. Пежиной [43], Т.И.Рыбаковой [45-46] и др.

Метод возмущений для решения задач жесткопластического анализа применили Онат Е. и Прагер В. [42], в работе определено поле напряжений, поле скоростей для растягиваемой полосы, ослабленной пологими выточками, решение получено в виде полиномов. Задача о течении полосы из идеального жесткопластического материала при малых возмущениях границы следует, как частный случай, из решения А.Ю. Ипшинского [24] о течении вязкопластической полосы при равенстве нулю коэффициента вязкости. Позднее А.Ю. Ишлинский дал решение задачи [30], решение получено в виде тригонометрических рядов.

Малый параметр может быть введен в теории пластичности различным образом. Он может характеризовать возмущение как статических, так и геометрических краевых условий. В качестве малого

параметра А.А.Ильюшин [23] использовал величину, обратную модулю объемного сжатия, и исследовал напряженное состояние балки при чистом сдвиге за пределом упругости.

Линеаризацию по параметру, характеризующему геометрию тела, предложил A.M. Качанов [31]. Им исследовано кручение круглых стержней переменного диаметра и ползучесть овальных и разностенных труб.

Л.В. Ершов и Д.Д. Ивлев в [11], И.П. Григорьев [4] предложили использовать в качестве параметра величину, характеризующую различие между плоским деформированным и осесимметричным состояниями тела.

Малый параметр, характеризующий свойства пластического материала, предложен в работах Л.А. Толоконикова и его сотрудников [47-49]. Используя метод приближений, Б.А. Друянов [7-8] учел неоднородность пластического материала. Малый параметр характеризовал возмущение условия пластичности. А.Н. Гузь [6] рассмотрел метод малого параметра напряженно-деформированное состояние композитных материалов мелкомасштабными искривлениями в структуре.

Дальнейшее развитие метод малого параметра получил в работах Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [16]. Получены общие соотношения для плоских и осесимметричных задач теории идеальной пластичности и теории малых упругопластических деформаций. Решен ряд конкретных задач: о вдавливании тонкого тела в жесткопластическую среду, о деформировании конической, эллиптической, искривленной труб, находящихся под действием нормального давления, о двуостном растяжении толстой и тонкой пластины с круговым и эллиптическим

отверстиями и др. В частности, произведен учет упругой сжимаемости для упругопластических тел за счет разложения в ряд коэффициента Пуассона.

При описании поведения сложных сред возникают характерные трудности. Деформационные теории, как правило, используют лагранжево представление о поведении среды, в теориях течения может быть использовано эйлерово представление. Задачей описания совместного течения и деформирования элементов сложных сред является формулировка всех соотношений в одной системе координат: лагранжевой или эйлеровой. А.Н. Гузь [5] рассмотрел четыре класса задач о совместном движении упругих или твердых тел и сжимаемой вязкой жидкости. И показал, что для малых колебаний (малых движений) эйлеровы и лагранжевы координаты можно отождествлять, пренебречь конвективной составляющей для материальной производной

О б/ d

: — = — + V V* » — •

Ж

В данной работе рассматриваются некоторые динамические задачи вязкопластического течения тел на основе идей работ А.Ю.Ишлинского. В настоящей работе малый параметр характеризует возмущение геометрических граничных условий.

Целью настоящей работы является исследование устойчивости линеаризированного течения вязкопластических тел, ослабленных пологими выточками, с учетом сил инерции.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе в постановке А.Ю.Ишлинского исследуется вязкопластическое состояние растягиваемой полосы с возмущенной границей с учетом инерционных сил. Рассматриваются два случая.

В первом случае компоненты скорости исходного движения отличны от нуля, т.е. и® Ф 0. При р = 0 получаем решение А.Ю.Ишлинского.

Во втором случае в исходном состоянии движение отсутствует и возникает только за счет возмущений: иг° = 0, и\ * 0, где мг° -компоненты скорости исходного движения, и\ - компоненты скорости возмущенного состояния движения. Рассмотрен случай при р = 0.

Во второй главе исследуется предельное состояние растягиваемого изотропного бруса переменного прямоугольного поперечного сечения из вязкопластического материала с малым возмущением поверхности с учетом сил инерции.

В первом случае начальное деформирование отлично от нуля ф 0), где компоненты деформации исходного движения. Во втором случае начальное деформирование отсутствует (е,° = 0,8- ф 0), где г'{- компоненты деформации возмущенного состояния движения.

Всюду рассматривается первое приближение. На защиту выносятся следующие результаты:

- решение задачи о растяжение вязкопластической полосы с учетом сил инерции при условии равенства нулю скоростей перемещения в начальном состоянии;

- дано обобщение задачи А.Ю. Ишлинского об устойчивости течения растягиваемой полосы из вязкопластического материала с возмущенной границей на случай учета инерционных сил;

- решение задачи об устойчивости вязкопластического пространственного течения прямоугольного бруса с учетом сил

инерции при условии равенства нулю скоростей перемещения в начальном состоянии;

- исследование вязкопластического пространственного течения растягиваемого прямоугольного изотропного бруса с учетом сил инерции, ослабленный пологими выточками.

Полученные результаты могут быть использованы при расчетах вязкопластического состояния изотропных тел.

Результаты диссертации опубликованы в работах [52-58].

Отдельные результаты диссертации и работы в целом докладывались

- на семинарах по механике деформируемого твердого тела, под руководством профессора Д.Д.Ивлева (Чебоксары, ЧГПУ, 19981999г.);

- на аспирантских и общеинститутских конференциях ЧГПУ им. И.Я.Яковлева (Чебоксары, 1998-1999г.);

- на международной конференции "Итоги развития механики в Туле" (Тула,12-15.10.98).

ГЛАВА I.

УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЫ С УЧЕТОМ СИЛ ИНЕРЦИИ.

Рассмотрим пластическое состояние растягиваемой полосы из вязкопластического материала, ослабленной выточками. Возьмем прямоугольную систему координат ху, причем ось х выберем по направлению приложенного усилия (рис. 4).

В дальнейшем рассмотрим малое колебание (малое движение, согласно терминологии А.Н. Гузь [5] ), в этом случае для материальной производной можно пренебречь конвективной составляющей.

Плоское течение вязкопластического материала определяется уравнением движения

где <5Х, ау - нормальные, т^ - касательные компоненты напряжения,

р - плотность, / - время, и, V - компоненты скорости перемещения. Выражение вязкопластического потенциала запишем в виде:

к - const, предел текучести, \х - коэффициент вязкости, гх, sy, s^ -компоненты деформации.

дах дх ди дх да dv

—^ + —- = р—, —+ —- = р—. дх ду dt дх ду dt

(1.0.1)

(1.0.2)

Имеют место условие несжимаемости

= 0,

условие изотропии

(1.0.3)

'ху

'ху

ех-£у ^х-^у

(1.0.4)

ди

Эу

£х ах' 8у"ау' Сху~2

ди. ду^

+

ду дх

1

В дальнейшем перейдем к безразмерным переменным. Все величины, имеющие размер длины отнесем к величине /г, ширина прямолинейной полосы, компоненты напряжения - к пределу текучести к, время - к характеризующей величине Т. Тогда р, р будут иметь вид

р -^—г = р , р, — = р. Ниже опустим черту р, р, но будем иметь в виду,

кТ кТ

что они безразмерные величины.

Уравнения границы полосы представим в виде:

у = ±(1 + Т8созах), а = /и =0,1,2..., 5«1, (1.0.5)

где 8 - величина, характеризующая глубину выточки.

Линеаризируем компоненты напряжений, деформации и перемещений по малому параметру 5 . Индекс нолик наверху приписан компонентам невозмущенного состояния, а индекс штрих - компонентам возмущения.

§1. Возмущенное течение вязко пластической полосы при начальном

деформировании отличном от нуля (в° * 0). В нулевом приближении имеем

=¿И - 2*>. Vе=-¿(«2 -2*)у,

^ + 8° =0^=0, 8^=^=0, а0, = 2Лг + 2м£;. (1.1.1)

Для первого приближения соотношения (1.0.1), (1.0.2), (1.0.3), (1.0.4) примут вид

За; дх' ди' дх' да' —- +—- = р—, —- +—- = р—. (1.1.2) дх ду д1 дх ду 3/

е> в^ = 0

а'х = ст' + ц£^ ау = с+\1ву. (1.1.3)

Т*У = ТГ~0£ху ~ %гху> (1-1-4)

2ех

о 1

я* к

Обозначим

= ^.у ~ , Хху — XхуТ, Ех = £ХТ, 8 у = £уТ, 8^ = 2^уТ

и' = й'Т, V' = у*Т. (1.1.5)

Подставляя (1.1.5) в систему уравнений (1.1.2), решая методом разделения переменных, получим

йТ

сИ

= ХТ, Т - ехр(А^)

дст! дг

■ху

дх ду

= р ХгГ,

ху

дх ду

= рАД>\

(1.1.6)

(1.1.7)

Удовлетворим условию несжимаемости, положив

и =--=

ду ' дх

Подставляя (1.1.3), (1.1.4), (1.1.8) в уравнения (1.1.7) будем иметь

(1.1.8)

да'

дх

5а'

д3х¥

1

Г оз

дх2ду 2

д3ч>

ду дхду

Ъ. 2

V ду

Г

дх ду у

а3хр | дУ

дхду1 дх3

= -рХ

эт

ду'

дУ дх

(1.1.9)

Исключая <У в (1.1.9) приходим к уравнению

%д4Ч>

2 дхА

4-2

г хд^Ч* п(д2х¥ д1х¥Л

М-

V 2) дх2ду2 2 ду

рХ

V дх2 ду2)

. (1.1.10)

Решение уравнения (1.1.10) будем искать в виде:

Т = (р^ау^тах, где а = ^у-

(1.1.11)

Подставляя выражение (1.1.11) для функции ¥ в уравнение (1.1.10) и вводя новую переменную = ау, получим для функции ц>(ау) = ср(£) дифференциальное уравнение

> + 2-^-2' X га

ф"(£.) +

/ Л Л

2-^ + 1 V га у

<р($) = 0. (1.1.12)

Его можно с помощью произведения двух коммутативных дифференциальных операторов представить в виде

^ 2

у

+ У

ф = 0,

(1.1.13)

где у = а + р/, у — ос — р/ - два сопряженных комплексных числа,

причем

ос

V

2 га X

Нетрудно убедиться, что

2 га X

уу = а2+р2 = 2-^+1,

га

у2+у2 = 2(а2 -р2) =

л

4—+ 2-^--2 V X Ж )

(1.1.14)

(1.1.15)

Решение уравнения (1.1.13) состоит из произвольной линейной комбинации функций соБуъ, соБуг, этуг, Бтуг. В симметричных точках относительно оси х проекции скоростей на ось у в силу формулы (1.0.5)

должны иметь противоположные знаки. Поэтому у(х,-у)=-у(х,у). Так как

V

дх

а собах(р(ау), то функция ср(оу) должна быть нечетной.

Тогда решение уравнения (1.1.13) следует взять в виде

ср(£) = СБту^ + СБту^

(1.1.16)

При таком выборе вида решения функция ф(£,) принимает вещественные значения и зависит от двух произвольных постоянных, входящих в состав сопряженных комплексных констант С, С . Подставим (1.1.11) в уравнение (1.1.9) имеем

дх ду

X3 - ца31 ф7/(?) + (X3 + арХ]фй) \2 / \2 /

Бтш:

со $ах

(1.1.17)

Интегрируя выражение для производной а'по х, приходим к формуле

а = -

собах + /(у), (1.1.18)

где /(.у) - произвольная функция от переменной у.

Подставляя выражение для а' во второе уравнение (1.1.17) получаем

Г лЛ

2а:

V

X

\ ^ /

+ рХа ф7/(^)+ Ф(£)

У

X

хсоБах- у = О с1у

(1.1.19)

Сумма, стоящая в квадратных скобках равна нулю, согласно (1.1.12). Тогда /(у) сводится к некоторой постоянной, которую обозначим через А.

Для компонент тензора напряжений возмущенного движения <з'у и

т^, имеем

ау = а + ре

.у

- —а2ц>ш © + 2ря2 - ^я2 + рХ |фу ©

2 V 2

соэах + А,

= г^'Ху=~\а1 (ф7/ ($) + Ф(0)яп ах. (1.1.20)

Граничные условия на криволинейных краях возмущенной полосы в данном случае имеют вид

(1.1.21)

а =0, 1'^ =-<5 хЬаТ $тах

Обозначим через Ь = ак, соответствующее границе полосы у - к. Тогда при у = ±к а'у должно обратиться в нуль при любом значении х: