Плоские и пространственные течения вязкопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

/

На правах рукописи

ЕФИМОВА НАТАЛИЯ АНАТОЛЬЕВНА

ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ, СЖАТОГО ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук профессор ИВЛЕВ Д.Д.

Чебоксары - 1999

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................... 3

ГЛАВА I. Приближенное решение плоских задач теории течения вязкопластического слоя.

§ 1. Постановка задачи. Метод решения. 13

§2.Сжатие изотропного слоя шероховатыми

плитами....................................................... 16

§3.Устойчивость течения анизотропного

вязкопластического слоя.................................. 25

ГЛАВА II. Предельное состояние вязкопластического слоя при неоднородности и сжимаемости материала. §1. Влияние неоднородности при сжатии

вязкопластического слоя.................................. 30

§2.Предельное состояние слоя из сжимаемого

материала..................................................... 39

ГЛАВА III. Пространственное течение изотропной вязкопластической плиты при сжатии жесткими

шероховатыми плитами................................... 45

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................... 60

ЛИТЕРАТУРА....................................................................61

ВВЕДЕНИЕ

Пластичность — свойство материалов твердых тел сохранять изменение формы при снятии нагрузки, которые ее вызвали. Пластические деформации испытывают детали конструкций и сооружений, заготовки при обработке давлением (прокатке, штамповке и т. п.), пласты земной коры и другие объекты. Учет пластичности позволяет определять запасы прочности, деформируемости и устойчивости, расширяет возможности создания конструкций минимального веса. В ряде современных конструкций пластичность обеспечивает их наиболее рациональное функционирование, надежность и безопасность, повышает сопротивляемость тел ударным нагрузкам, снижает концентрацию напряжений.

Первые работы по математической пластичности относятся к семидесятым годам прошлого столетия и связаны с именами Треска и Сен-Венана [72,73], рассмотревших уравнения плоской деформации. Дальнейшее развитие теории принадлежит М. Леви [49], составившего, следуя идеям Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.

В начале двадцатого столетия были опубликованы работы Хаара, Кармана (1909 г.) [81] и Р. Мизеса (1913 г.) [50]. В первой из них сделана попытка получить уравнения теории пластичности исходя из некоторого вариационного принципа. В работе Мизеса четко сформулировано новое условие текучести (условие постоянства интенсивности касательных напряжений).

Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается в работах Г. Генки [6], Л. Прандтля[63], Г. Гейрингер[5] и других авторов. Были получены важные результаты, как по основным урав-

нениям теории пластичности, так и по методам решения плоской задачи. К этому времени относятся и первые систематические экспериментальные исследования законов пластической деформации при сложном напряженном состоянии, а также первые успешные приложения теории пластичности к техническим вопросам.

В теории идеальной пластичности классические решения плоской задачи были даны Л. Прандтлем [63]. Прандтль предложил решение плоской задачи о сжатии слоя из идеального жесткопластического материала шероховатыми плитами. Это решение явилось основой теоретического анализа прикладных задач обработки металлов давлением. Надаи [60] дополнил решение Прандтля, определив соответствующее поле скоростей перемещений, и обобщил решение Прандтля на случай сжатия слоя наклонными шероховатыми плитами, а также плитами, изогнутыми в виде концентрических окружностей. Ряд обобщений принадлежит Гартману[60], который обобщил решения Прандтля на случай линейной зависимости максимального касательного напряжения от среднего давления.

Дальнейшее развитие теории пластичности связано с именами С. А. Христиановича [83], А. А. Ильюшина [32-35], А. Ю. Ишлинского [3641], В. В. Соколовского [74], Д. Прагера [64], Р. Хилла [81], П. Пэжиной [65] и других.

С. Григорян [8] исследовал несимметричное течение пластического вещества.

В. В. Соколовским [75] исследовано осесимметричное течение идеально жесткопластического материала внутри шероховатого конического канала с условием текучести Губера-Мизеса.

Р. Хиллом [82], аналогично решению Прандтля, найдено решение задачи об осесимметричном течении идеальнопластического материала

в сжимающейся шероховатой цилиндрической трубе. Используя свое условие пластичности для идеальной пластической анизотропии, Хилл решил задачу Прандтля о вдавливании штампа в анизотропную идеаль-нопластическую среду.

Анализируя решение Прандтля, А. А. Ильюшин [34] дал приближенное математическое описание предельного состояния и пластического течения тел, имеющих форму сравнительно тонкостенных оболочек, подвергающихся обработке давлением. Установлена песчаная аналогия для сдавливающего усилия.

Результаты А. А. Ильюшина использовал И. А. Кийко [46] для анализа процессов течения пластического материала по упруго деформируемым поверхностям. Решил задачу о сжатии слоя из пластического материала двумя упругими поверхностями, которые, сближаясь, заставляют слой растекаться.

Обобщение решения Прандтля на случай неоднородного пластического слоя дал А. И. Кузнецов [48]. Решение плоской динамической задачи теории пластичности при условии степенного упрочнения получил М. А. Задоян [20].

Д. Д. Ивлевым [24] дан ряд обобщений решения Прандтля о пластическом течении материала между шероховатыми параллельными сближающимися плитами.

Теория пластичности в основном рассматривает необратимые равновесные процессы деформации. Однако не всегда можно пренебрегать влиянием вязкости, в этом случае процессы деформирования зависят от времени. Прочные стали в условиях высоких температур обнаруживают текучесть при малых напряжениях и могут накапливать с течением времени большие деформации (явление ползучести). При быстрых движе-

ниях (связанных, например, с колебаниями, ударами) нередко необходим учет вязкости.

В современной технике используются сложные механические свойства полимеров, к которым относятся всевозможные резины и различные искусственные и естественные волокнистые материалы. Для этих материалов характерна важная роль времени; процессы деформации здесь являются неравновесными.

Впервые вязкопластическую среду рассмотрел Ф. Н. Шведов (1890). Бингам и Грин (1919) ввели понятие так называемой вязкопла-стической модели, именуемой в настоящее время телом Бингама. Тело Бингама представляет собой идеализированное пластическое тело, которое сопротивляется пластической деформации не только за счет своего предела текучести, но также и за счет вязкости, которую называют пластической вязкостью.

Заметное течение для многих веществ появляется лишь при определенной нагрузке; скорость течения при этом зависит от вязкости среды. Металлы при достаточно высокой температуре, различные густые смазочные материалы, краски и т. д. характеризуются вязкопластическими свойствами. Для таких технологических процессов, как горячая обработка металлов, перемещение различных пластических масс в машинах, трубопроводах и т. д. необходимо изучение движения вязкопластиче-ских материалов. Также на уравнениях вязкопластического течения основывается гидродинамическая теория смазки при густых смазочных материалах.

Задачу об устойчивости вязкопластического течения в лагранжевых координатах рассмотрел А. А. Ильюшин [32, 33]. Он составил дифференциальные уравнения и граничные условия плоскопараллельного течения вязкопластической среды, а также решил задачи о нахождении те-

чений, близких к плоскому равномерному деформированию полосы и плоскому же деформированию цилиндра.

Дальнейшее развитие теории вязкопластической среды продолжилось в работах А. Ю. Ишлинского [36, 37], который исследовал в эйлеровых координатах течение вязкопластических тел при малых возмущениях границы. Решил ряд конкретных задач: об устойчивости вязкопла-стического течения полосы и круглого прута, боковая поверхность которого имеет периодические осесимметричные возмущения; о вязкопла-стическом течении круглой пластины под действием нормальных сил, приложенных по ее цилиндрической границе; о медленном течении вязкой жидкости в круглой трубе переменного сечения; о пространственном деформировании вязкопластической среды.

Задачам теории вязкопластичности посвящены исследования П.П. Мосолова и В.П. Мясникова [52-59], Г.И. Быковцева и А.Д. Чернышова [3], П.М. Огибалова и А.Х. Мирзаджанзаде [61], В.А. Знаменский [21, 22] и другие.

Т. И. Рыбакова [68, 69] дала решение конкретных задач: образование шейки в растягиваемой вязкопластической полосе, ослабленной двумя осесимметрическими, пологими вытачками, устойчивость течения толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления и другие работы.

В настоящей работе для исследования задач теории вязкопластиче-ского тела используется метод малого параметра.

Метод малого параметра, начиная с работ Пуанкаре, получил широкое распространение в различных задачах механики, математики, физики.

К числу первых работ, связанных с использованием метода малого параметра при решении упругопластической задачи, принадлежит рабо-

та А. П. Соколова [74], который в первом приближении получил решение задачи о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана.

В теории пластичности большая часть уравнений является нелинейной. С помощью метода малого параметра проводится линеаризация этих уравнений, и возникает возможность получения решения, удовлетворяющего практику. Таким образом, могут быть учтены усложнения геометрии области течения, влияние неидеальных свойств материала и другие факторы.

Е. Онат и В. Прагер [62] впервые дали решение задачи жесткопла-стического анализа, основанное на полной линеаризации уравнений для напряжений и скоростей перемещений. В этой работе они отмечают, что линеаризация по малому параметру позволила получить в гидродинамике важные приближенные решения ряда задач, недоступных для других методов. Несколько позднее был выполнен ряд исследований по определению упругопластического состояния тел методом малого параметра.

А. Ю. Ишлинский [41] применил линеаризированные уравнения пластичности для исследования напряженного состояния растягиваемой идеальнопластической изотропной полосы.

Д. Д. Ивлев и Л. В. Ершов [27] методом малого параметра определили соотношения для плоских и осесимметричных задач теории идеальной пластичности и теории малых упругопластических деформаций. Решили ряд конкретных задач: о вдавливании тонкого тела в жесткопла-стическую среду; о деформировании конической, эллиптической, эксцентричной труб, находящихся под действием внутреннего давления и другие.

Фундаментальное значение для малого параметра имеет вопрос о сходимости приближений. Для задач теории пластичности этот вопрос нуждается в решении.

Л. А. Галин [4] и Г. П. Черепанов [86] дали точные решения в напряжениях соответственно для двуосного растяжения толстой и тонкой пластины с круговым отверстием. Если ввести параметр 8, характеризующий разность между растягивающими усилиями ( при 8 = 0 имеет место осесимметричное состояние пластин), то решения Галина и Черепанова могут быть разложены в ряд по 8. Д. Д. Ивлев показал, что четыре приближения, полученные методом малого параметра в точности \/ совпадают с четырьмя членами разложения точных решений. Единый алгоритм метода позволяет получить и последующие приближения, однако для описания точных решений в первом случае достаточно двух, а во втором — четырех приближений.

Точные решения упругопластических задач основаны на знании аналитических выражений для напряжений в пластической зоне, для метода малого параметра не играют в принципе никакой роли отсутствие аналитического решения в пластической зоне, статическая определимость или неопределимость задачи.

В теории устойчивости трехмерных твердых тел, в отличие от постановки Саусвелла, которая предполагает лагранжево представление о деформировании при потере устойчивости, определилась постановка Лейбензона — Ишлинского, которая может быть использована для решения упругопластических задач и наоборот.

В теории пластичности, как и в других разделах механики малый параметр может быть введен различным образом. А. Ю. Ильюшин [33] использовал в качестве параметра величину, обратную модулю объемного сжатия, и исследовал напряженное состояние при чистом изгибе

балки за пределом упругости. Методом малого параметра, характеризующим геометрию тел, Л. М. Качанов [43] рассмотрел кручение круглых стержней переменного диаметра и ползучесть овальных и разно-стенных труб. В работе Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [17] малый параметр характеризует различие между плоским деформированным и осесим-метричным состояниями.

Б. А. Друянов [13, 14] при помощи метода малого параметра, который характеризовал возмущение условия пластичности учел неоднородность пластического материала. В работах Л. А. Толоконникова и его сотрудников [78, 79] малый параметр характеризовал свойства пластического материала.

Отметим также работы А. Н. Гузя и его сотрудников [9-12]. Кауде-рер [42] предложил при помощи малого параметра учитывать физическую нелинейность упругого материала. Эти представления дальнейшее развитие получили в работах И. А. Цурпала [85].

Целью настоящей работы является приближенное решение задач теории вязкопластической среды на основе введения малой величины, в качестве которой принята величина коэффициента вязкости.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе рассматривается плоская задача о сдавливании вяз-копластического слоя шероховатыми плитами. Определены компоненты напряжений и скоростей перемещений в первом и во втором приближениях. В нулевом приближении имеет место аналитическое решение Прандтля. Отмечен также случай, когда вязкопластический материал обладает анизотропными свойствами.

и

Во второй главе получены в первом приближении компоненты напряжений и поля скоростей перемещений при сдавливании вязкопла-стического слоя в случаях учета неоднородности материала и его сжимаемости.

В третьей главе исследуется предельное состояние пространственного слоя из вязкопластического материала, сжатого жесткими шероховатыми плитами. Получены нулевое и первое приближения.

На защиту выносятся следующие результаты:

— дано обобщение решения Прандтля о сжатии слоя жесткими шероховатыми плитами при учете вязкопластических свойств материала;

— приведены приближенные аналитические выражения для определения полей напряжений, скоростей перемещений на случай анизотропного материала;

— исследовано влияние неоднородности вязкопластического материала при сжатии слоя жесткими плитами;

— рассмотрено сдавливание сжимаемого вязкопластического слоя;

— определено поле напряжений и поле скоростей перемещений пространственного вязкопластического слоя.

Полученные результаты могут быть использованы при расчетах вязкопластических состояний изотропных и анизотропных сред в теории устойчивости.

Результаты диссертации опубликованы в работах [87-92].

Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

— на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 1998 -1999);

- на международной конференции " Итоги развития механики в Туле" (Тула, 1998);

- на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1999)

- на аспирантской и общеинститутской конференциях ЧГПУ им. И.Я.Яковлева (Чебоксары, 1999г.).

ГЛАВА I

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ

В данной главе рассматриваются задачи о сжатии жесткими шероховатыми плитами изотропного и анизотропного вязкопластических слоев. Решение задачи §2 дает обобщение решения Прандтля на случай вязкопластического материала.

Общие положения, принимаемые в работе, постановка задачи, метод решения изложены в § 1.

В работе исследуется предельное состояние вязкопластического слоя, сжимаемого плитами (рис. 1). Уравнения осесимметричного со-

I

стояния вязкопластического тела в декартовой системе координат х, у имеют вид:

1. Уравнения равновесия

§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД РЕШЕНИЯ.

дх ду ' дх ду

(1.1.1)

где ах,ау,тху - компоненты напряжения. 2. Условие вязкопластичности

)-М(вх-8,)]2+4(^-^)=4, (1.1.2)

где ¡1 - коэффициент вязкости. При переходе к безразмерным величинам компоненты, имеющие размерность напряжений, отнесены к величине предела текучести к.

3. Условие �