Предельное состояние анизотропного пластического слоя при деформировании жесткими плитами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Балашникова, Анжелика Вениаминовна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Чебоксары
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2013
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
КАЛАШНИКОВА Анжелика Вениаминовна 1) 1Н #
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ АНИЗОТРОПНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ ЖЕСТКИМИ ПЛИТАМИ
01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук
17 ОКТ 2013
Чебоксары - 2013
005535323
005535323
Работа выполнена на кафедре математического анализа ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»
Научный руководитель: Максимова Людмила Анатольевна,
доктор физико-математических наук
Официальные оппоненты: Ковалев Владимир Александрович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и аналитической поддержки принятия решений ГАОУ ВПО «Московский городской университет управления Правительства Москвы» Санаева Татьяна Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики и информационных технологий Чебоксарского института экономики и менеджмента (филиала) ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский
государственный политехнический университет»
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный
университет им. Н. Г. Чернышевского»
Защита состоится: 23 октября 2013 г. в 15.00 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» по адресу: 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»
Электронная версия автореферата размещена на сайте ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации http://vak2.ed.gov.ru и на официальном сайте ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» по адресу: www.chgpu.edu.ru
Автореферат разослан «20» сентября 2013 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук
С.В. Тихонов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Совокупность свойств и качеств анизотропных материалов, которые в наше время активно применяются в машиностроении, является важным, так как прочностным свойствам изделий предъявляются повышенные требования.
Задачи, связанные с анизотропией материала в теории пластичности, были рассмотрены в трудах Б. Д. Аннина, Г. И. Быковцева, С. А. Вульман, Г. А. Гениева, Л. В. Ершова, В. Г. Зубчанинова, С. В. Ивановой, Д. Д. Ивлева, А. Ю. Ишлинского, А. А. Ильюшина, Л. М. Качалова, Ю. И. Кадашевича, Е. Е. Кузнецова, А. В. Ковалева, А. П. Леденева, А. А. Маркина, Л. А. Максимовой, Н. М. Матченко, И. Н. Матченко, Е. В. Маховера, Б. Г. Миронова, Т. В. Митрофановой, А. Надаи, В. В. Новожилова, Р. И. Непершина, Т. Н. Павловой, В. Прагера, Б. Е. Победри, Ю. Н. Радаева, Т. И. Рыбаковой, В. В. Соколовского, Т. Д. Семыкиной, А. И. Спорыхина, Л. А. Толоконникова, А. А. Трещева, С. О. Фоминых, Р. Хилла, А. И. Шашкина, Л. Б. Шитовой, С. С. Яковлева, С. П. Яковлева, и др.
Л. Прандтлю принадлежит известное решение о сжатии слоя из идеальнопластического жесткопластического материала шероховатыми параллельными плитами.
В диссертационной работе исследуется предельное состояние анизотропного идеальнопластического слоя сжатого жесткими шероховатыми плитами при различных условиях пластичности. Рассматривается также сжатие анизотропного идеальнопластического слоя в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления.
Новые результаты, которые учитывают влияние различных видов анизотропии на напряженно-деформированное состояние слоя, являются важными и актуальными. Цель работы:
1. исследование предельного состояния плоского анизотропного слоя, сжатого шероховатыми плитами, при различных условиях пластичности;
2. изучение напряженно-деформированного состояния пространственного анизотропного слоя сжатого шероховатыми плитами при различных условиях предельного состояния;
3. исследование напряженно-деформированного состояния плоского и пространственного анизотропного слоя в случае, когда условие предельного состояния зависит от среднего давления.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
1. определено напряженно-деформированное состояние идеальнопластического плоского слоя сжатого шероховатыми плитами в случае трансляционной анизотропии и анизотропии Хилла;
2. определено аналитическое решение задачи о сжатии анизотропного идеальнопластического пространственного слоя сжатого жесткими шероховатыми плитами при различных условиях пластичности;
3. определено предельное состояние анизотропного плоского и пространственного слоя сжатого шероховатыми плитами в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления.
Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования, а также непротиворечивостью с результатами исследований других авторов.
Практическая значимость. Полученные результаты диссертационной работы могут быть использованы при расчетах жесткопластических анизотропных сред; при получении решений важных задач пластического деформирования материалов и т. д.
Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом докладывались на: семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора ИвлеваД. Д. (Чебоксары, 2010-2012), семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Миронова Б. Г. (Чебоксары, 2010-2013); научно-практических конференциях докторантов, аспирантов и соискателей (Чебоксары, 2011-2013); научной конференции «XXXVI Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е. В. Золотова» (Владивосток,
2012); 2-ой Международной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Опыт прошлого - взгляд в будущее» (Тула, 2012); III Международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Современная российская наука глазами молодых исследователей» (Красноярск, 2013); международной научно-практической конференции «Наука и образование в XXI веке» (Москва, 2013); всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Г. И. Быковцева «Актуальные проблемы математики и механики» (Самара, 2013); международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий (Чебоксары, 2013); международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 90-летию со дня рождения профессора Л. А. Толоконникова (Тула,
2013); заседаниях кафедры математического анализа ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева».
На защиту выносятся результаты:
1. исследование и определение напряженно-деформированного состояния идеальнопластического плоского слоя, сжатого параллельными, шероховатыми плитами при различных видах анизотропии;
2. определение предельного состояния плоского анизотропного идеальнопластического слоя, ориентированного в плоскости под определенным углом к оси абсцисс;
3. определение аналитических решений задачи о сжатии идеальнопластического пространственного слоя жесткими шероховатыми плитами при условии предельного состояния, обобщающем условие пластичности Хилла на случай трансляционной анизотропии;
4. определение аналитических решений задачи о сжатии идеальнопластического пространственного слоя жесткими шероховатыми плитами при условии предельного состояния, обобщающем условие полной пластичности на случай трансляционной анизотропии;
5. определение напряженного состояния анизотропного плоского слоя сжатого жесткими шероховатыми плитами в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления;
6. аналитическое решение задачи о сжатии пространственного анизотропного слоя жесткими шероховатыми плитами в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 26 научных работах, из них 7 работ опубликованы в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, дан обзор результатов, примыкающих к рассматриваемой проблеме, определены цели исследования, сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.
Глава первая посвящена изучению предельного состояния плоского анизотропного слоя сжатого жесткими шероховатыми плитами и состоит из трех параграфов.
В первом параграфе исследуется предельное состояние плоского идеальнопластического слоя в случае трансляционной анизотропии.
Рассмотрим плоский идеальнопластический слой параллельный оси Ох толщиной 2Л (рис.1). Слой сжимается параллельными шероховатыми плитами вдоль оси Оу.
Рис. 1
Предельное состояние идеальнопластического плоского слоя характеризуются условием пластичности
(1)
где ах, ау, х — компоненты напряжения, А, В, к0, кх, к2, к,-const. Уравнения равновесия имеют вид
да дт дт да
-^ = 0, —^н--^ = 0. (2)
дх ду дх ду
Определено напряженно-деформированное состояние слоя, которое
характеризуются следующими соотношениями
к,-к,
{тг*
ах = -х + С, ±2-| -B y2 +
, а=-х+Си т^=у + к,. (3)
где С. =--+—-arcsin-^L ] + (£,-к,).
h-y[A 2 4в) v 2 "
и = с ■ х + С, +
2с-ф-В-уг
ВМ ' (4)
г = су + к3.
где и, V-скорости перемещения, которые связаны с компонентами деформации.
Получены линии скольжения
(*■' соэ 2/ -2к-зт 2у)г
'¿у, у =/с (у) сов 2/-к,, (а)
с = -Г=Т=.
к'Б'т 2/+2ксоз 2/+4кг"
сЧ ^2г-2^п2гУ ^ у = к{г)соз2г_^ (/?)
к'ят2у+2к<х>ъ + 4к-2
где аг =
V
Ох=А5тг2г+Всо5г2г-АВ
эт4у-АВ
к1 вт2 2/ +
№
соъ22у
/-угол
между осью Ох и максимальным касательным напряжением. Найдено предельное сжимающее усилие
= -/2
-I -— 1---Ш 1/3111-^
Л-л/Л 2 ^
(6)
Во втором параграфе исследуется предельное состояние анизотропного плоского слоя сжатого жесткими шероховатыми параллельными плитами, которое характеризуется условием пластичности
где ах, ау, - компоненты напряжения, Л, В, С, к-0, -со/мл
Определено напряженное состояние
^С1{а1у + Ь1~кгУ-А{Ща1у+Ь1-к,)1-4)-С(а1у + Ь1 + £7,, = -о,х+С2, т =а1у+Ь„
о-,=-а,х+С2±--
= (7)
(8)
где
С, =±а.4с2 -АВ
1+-
а, J я,(С2-Лй)
+ 1
ь-к,) к ь-к,
а, J а, (с2 - АВ^
о,(С2-ЛВ)
•1п
1+-
V
1--
а, \
1-3^1+- л
а, а, (С2 - АВ)
а также поле скоростей перемещения
2 а
и --а-х +
я, ) а^С'-АВ)
^В^у+Ь-к,)
А *
26 у-ау + къ,
(9)
где й = ^С1(а,у + Ь1-кг)1-А{АВ(а1у + Ь,-к1)1-^-С(а,у+Ь1-кг).
В третьем параграфе исследовано предельное состояние плоского анизотропного слоя, которое характеризуются условием пластичности 'ст„-ст к,-к,
2 2 , +(г«у-*з) =«?■
Определено напряженно-деформированное состояние, которое имеет вид ст,=С*+2(-Су+4),. + ,+d2, <ту = Cx + d2, tv=-Cy + dv
I±\¡12 +m2 -п2
, -2al(-Cy + dl-k3) u = -alX+¡-IV . У = а,У'
(10)
(П) (12)
*rcos2 (p-d1 —
Аналогично определено напряженно-деформированное состояние плоского слоя при условии пластичности вида
''ст.
+ Вт1=к1
(13)
В четвертом параграфе исследовано предельное состояние сдавливаемого плоского анизотропного слоя, ориентированного в плоскости под определенным углом к оси абсцисс. Предельное состояние определяется соотношением (1).
Предполагается, что плоский идеальнопластический слой ориентирован в плоскости под углом а к оси Ох. Слой сдавливается параллельными шероховатыми плитами. Введена новая система координат х',у', где ось Ох' направлена вдоль границы слоя, ось Оу' перпендикулярна к слою (рис. 2).
У
Рис. 2
Связь между напряжениями в декартовой систем координат х,у и напряжениями в новой системе координат х',у' имеет вид СТ..+СГ, ст.-ст.
2 2 ст..+ст„. a,-a j
2
ст.. - ст„,
cos 2a + rxySin2a, cos 2 а - г.. sin 2а,
-sin2or + r. .cos2a,
А У
где координаты х,у и х',у' связаны между собой
х' = х cos а + у sin а, у' = -х sin а + cos а.
(14)
Из (1), (14) следует условие пластичности в новой системе координат
А1 -<Гу)г + Аг-г1у + Д2(°-,-<ту)тх.у. + = (16)
где
. /icos2 2а + В sin2 2а . г- „ \ , • , / , „\
Л,, =---,Ац =4^sin 2a + 5cos =sm4a(/4 + B),
к -к к, -к А = А——-cos 2а + Вк, sin 2а, А, =4 А——- sin 2а-4М, cos 2а. 1 2 2
Определено напряженно-деформированное состояние слоя
<тх =-c(x<Msa+yúna)+c+^^+^^oos2a+c{^xs\na + j> cos a) sin 2а,
<ту =-c(xcosa+j'sina)+c+^-yÍ-^-^^cos2a-c(-A:sina+j'cosQ;)sin2a, (17)
tv = sin2a+c(-;csina +_ycosa)cos2a,
и = -b¡ eos а+_ysin a)+ (У), v = 6,(-A:sina+j'coscir)+^1(y), (18)
где
Ailcxsina-A¡1cycosa-A¡ +
^(-jcsina + j'cosa)2(v412c-44iv422c) + (_;cs'na + >'cosa)(2442c~4414¡c) + .3 1 Mi '
A = 4242c+441Í2,
/(y)
--5—isin2a + cy cos2ar-X:3+c
й(/)=2b,í í /00-2-П7М-V»'
Д, -^-^sin2a + Q>'cos2a-yt, +c -tfJ ^-^cos2g + o>'sin2g-^ 2 2 + c
У-определяется согласно (15).
Вторая глава посвящена исследованию предельного состояния пространственного анизотропного слоя сжатого жесткими плитами и состоит из двух параграфов.
В первом параграфе рассмотрен пространственный слой из идеальнопластического материала толщиной 2 А, который сдавливается параллельными шероховатыми плитами вдоль оси Oz (рис. 3).
Рис. 3
Предельное состояние определяется условием пластичности вида
*[*>(*»-К)' +F{ry.-К)' -А:6)2] =
где "■^а ,аж,т ,т -компоненты напряжения, A,B,C,D,F,E,k0,kt,k2,k3,kA,ks, k6 - const.
Определено напряженно-деформированное состояние слоя
3 3
ах=-а1х-агу+С+—[(А + В)щ+Ап2],ау=-а1х-а2у+С+—[Ащ+(А+С)п2~],
п.+т, . ,
Г™ =-T„=a,z + b,, T„=a,z+b,.
v 12 XD "
(20)
где
(2A + B)m.+(2A + C)n,
С = р+аЛ+а2у0-±-'-^Л-U..q
hA
A = FG + HG + HF, 1
,- arcsin (h ■ JEa2 + Fa\ )
6Л
Qjl-(Eaf+Fa22)z2'
j -Cn,)2 + + (A + C)n2f + C((A + B)ml + Ar^f +m2f
Q= A '
u = plx + qiy+ui(z), v = p^ + q^+v^z), w = mz, (21)
где p,, p2, q„ q2, m-const,
v,(-Q = - , Jl-(ga,2 + fa2V + F\hl~k,) arcsin(zJEaf + Fal ) + C,
3(&j+F<£)QV V ^ 3 Q^+Fal
"■00= / 2Д|£ JH£A2 + ^2V+ arcsin (zJEaf + Fa2) + C.
lW 3(£a2 + Fa2)e^ ^ ^ з QjEal + Fa]
В частности, если A=B=C=D=E=F=l имеет место условие пластичности
[fc - «О-в - *i)J+[(<v■■■-*>)!+
(22)
^[{^f^-k5f+(ra-k6y] = 6.
где сг^, CTj,, стг, tv, , rn- компоненты напряжения, £0, Л,, £2, k3, kt, k}, k6-const. Напряженно-деформированное состояние слоя в этом случае определяется в
виде
ff^C.x+Qy + Q+^Z?+(*,-*,), СТу=С,х+Сгу + Сг+^- + {к2-кг),
6Я 6Л (23)
= «L+m1+ с г = C2z,
ху 12/1
где С,, С2 -const,
р + сл+сгу0 +
Jl-{Ct+Ciy +_Ii_i.aicsin (h-^ + Cl)
V6
6Л У V ' *' д/Ц ~"i)2+(", -?)2 +H -?)2 +3(/i, + m2)2
u = mlx + nxy+<j\(z), v = т2х+п2у + ф2 (z), w = m}x + nsy+q(z-a),
где m(, и,, a-const. 4 C,A
Л/"» л
12Ä
Ч+С,
R= I—1—-z2 + VC1 +C2
Jchcl2
\2Ak5 z 2(c^cfr^^l
R—trijz+C,
4+cl
i
Во втором параграфе исследуется предельное состояние пространственного анизотропного идеальнопластического слоя в случае, когда условие пластичности имеет вид
ст, = <х-^кч-Ал12 +ki-k,rxy = кп1п2+ка,
ау = а-^к,+кп1+к2-к,ту! = кп2п1+к5,
иг =<т-+кг-к,т1а =К1\щ+к6,
к = + к2+к3), к-const. Определено напряженно-деформированное состояние слоя
(25)
ах =-ах-Ьу+С-
ab
а = -ах-Ьу+С -
аб
<хг =-ах-6>> + С, T^=az + k6, Ty!=bz + k5, т,
гдеС = 1 J
(г , w„ — —мл — и у ----т г
г»-*«) А
аЪк+^¿V + 4a2iV(a2+62) 2(а2+62)
+ ¿4,
(26)
•cos —+2
sinl- + (rv-*4)sini»
rfz, a, b-const.
b 2 a
u = mlx+nly+pl+U(z), v = m2x+n2y + p2+v(z), w = gz, (27)
где m„ щ, q, a-const.
_ AR-B _ _ ß-Г Л-Я-Д z2 = . г 1/ л г
» = ——-г + С, v =—-—z- —--А = щщщ-\—(nl+m2)ntn2ns-qnins,
S-R-T
R (S R-T)R 2
ß = ^("l + m2) "l«2«! + "24 "<?"2"з > Ä = = 7'=|«1«2«3-
Третья глава посвящена исследованию предельного состояния анизотропного идеальнопластического слоя сжатого шероховатыми плитами при условии зависимости предела текучести от среднего давления и состоит из двух параграфов.
В первом параграфе исследуется предельное состояние идеальнопластического анизотропного плоского слоя в случае, когда условие пластичности имеет вид га.-ву к,-к2
+ В(тху-к3) =(к-0+а(т)2
2 2
Следуя идеям Гартмана, определено напряженное состояние
(28)
а + с, ее» 40
сое 20
е1жМу)+к,-Ь,
а ^1+с, соб 40
вш 20
сое 2в
+ к2-Ь,
(29)
у/1 + с, ее« 40
где
X г -]с% +с, аю 80 +1 + 2с. сое 40 - аЛ+с, соб 40
у+С =--р-2—- ,. , ^ -<1в,
2сг 1 (1 + с, соз40-а}%/1 + с| ссМб
с, Бт 4в Бт 20^1 +с, соз40 + сое 20-^(1 + с, сое 40)' - асг (1 + с, сое 49)
с, бш 46 сое 20 (1 + с, сое 40)2 20-^(1 +с, со5 40)' + ас,с2 бш 40
6 = -!-3.+-2-, л-, Я, кг-сопИ.
2 а
Во втором параграфе исследуется предельное состояние идеальнопластического анизотропного пространственного слоя сжатого параллельными шероховатыми плитами.
Предполагается, что условие пластичности имеет вид
4а*-^У+в{<ту +с(а- ~а-У+6(°<+Е<(з°)
где <г-^(7х + (Ту +стг), А, В, С, Д F, Е, к0, а-сош.
Следуя идеям Гартмана, определено напряженно-деформированное состояние
'Е^Аи + ^У^^АУ + Л^) (;!,£/-ЛИ') '
Е{а„+А) (^(Л + 2С)-(2С + В))
'ЕЛ1(Аи + Л,1Г)-А2Е(АГ + Л2№г') 6
Е(аа+А) (Л,(Л + 2С)-(2С + £))
[Аи + Х}У)
£ ^и-^А^+АНС
+ А
^ ^ЕАи + Лр) аи+А +М'Т*У~ Аи + Ц¥
(Аи + Л,1У)
+ М,
(АУ + Я^У] /гу"1"1'"'*^'
■г —а +*1У*Л-мС
> 'жг — и13е >
(31)
(32)
где а,3 =1 Е ли + ф ) ^
(¿¡ШЕ-^УАК) а
2/, 1 16Д2 Д2 16Д2 Д2 16Д2
3Е ЗF 32а2 ' 2 2Д 8Д2 Д2
2Д ^ ' ЪЕ 3F 16а2
'з = ^^^ )'-
16Д2 v 4 ^ ' ЪЕ ЗF 32а2 4 ^ ;
Основные результаты и выводы диссертационной работы
1. определено напряженно-деформированное состояние идеальнопластического плоского слоя, сжатого параллельными шероховатыми плитами при различных видах анизотропии;
2. определено предельного состояние плоского анизотропного идеальнопластического слоя, ориентированного в плоскости под определенным углом к оси абсцисс;
3. определено аналитическое решение задачи о сжатии идеальнопластического пространственного слоя жесткими шероховатыми плитами при условии предельного состояния, обобщающем условие пластичности Хилла на случай трансляционной анизотропии;
4. определено аналитическое решение задачи о сжатии идеальнопластического пространственного слоя жесткими шероховатыми плитами при условии предельного состояния, обобщающем условие полной пластичности на случай трансляционной анизотропии;
5. определено напряженное состояние анизотропного плоского слоя сжатого жесткими шероховатыми плитами в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления;
6. определено аналитическое решение задачи о сжатии пространственного анизотропного слоя жесткими шероховатыми параллельными плитами в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления.
Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:
Статьи в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ
1. Балашникова, А. В. О сжатии идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми плитами в случае трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. —
2011.-№2(10).-С. 115-118.
2. Балашникова, А. В. О сжатии пространственного идеальнопластического слоя при трансляционной анизотропии при обобщении условия пластичности Мизеса / А. В. Балашникова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. -
2012.-№ 1 (11).-С. 56-59.
3. Балашникова, А. В. О предельном состоянии пространственного слоя из идеальнопластического материала при трансляционной анизотропии, сжатого параллельными шероховатыми плитами / А. В. Балашникова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. — 2012. — № 2 (12). — С. 39-44.
4. Балашникова, А. В. О сжатии идеальнопластического слоя с учетом трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Естественные и технические науки. - 2012. - № 4 (76). - С. 28-31.
5. Балашникова, А. В. Сжатие пространственного идеальнопластического слоя при трансляционной анизотропии Мизеса-Хилла / А. В. Балашникова // В мире научных открытий. — Красноярск : Научно-инновационный центр, 2013. — №6 (42).-С. 261-271.
6. Балашникова, А. В. О предельном состоянии слоя из идеальнопластического материала при условии трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Естественные и технические науки. — 2013. — №2 (78). -С. 3-7.
7. Балашникова, А. В. О сжатии пространственного слоя идеальнопластического материала при обобщении условия пластичности Мизсса в случае трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Естественные и технические науки. — 2013. —№ 2 (78). — С. 8-11.
Публикации в других научных изданиях
8. Балашникова, А. В. О сжатии пространственного идеальнопластического слоя при трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // Интеллект и наука : труды XII Междунар. науч.-практ. конф. - Красноярск : Центр информации, 2012.-С. 96-99.
9. Балашникова, А. В. О предельном состоянии пространственного слоя из идеальнопластического материала при трансляционной анизотропии, сжатого параллельными шероховатыми плитами / А. В. Балашникова // Materialy VIII
Mi?dzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji «Dynamika naukowych badañ» -2012». - Techniczne nauki.: Przemysl. Nauka I studia, 2012. - Vol. 24. - Р. 11-17.
10. Балашникова, А. В. Сжатие идеальнопластического слоя параллельными жесткими шероховатыми плитами при трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова// XXXVI Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е. В. Золотова. — Владивосток : ПАПУ ДВО РАН, 2012. -С. 110-114.
11. Балашникова, А. В. О сжатии идеальнопластического слоя шероховатыми плитами / А. В. Балашникова // I Международная научно-практическая конференция «ГРАНИ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ» : сб. материалов. -Краснодар : Пресс-Имидж, 2012. - С. 91-93.
12. Балашникова, А. В. О предельном состоянии идеальнопластического слоя, сжатого параллельными шероховатыми плитами при трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф. : в 2 ч. Ч. 2. — Воронеж : Воронежский государственный университет, 2012.-С. 24-31.
13. Балашникова, А. В. Предельное состояние идеальнопластического слоя при трансляционной анизотропии, сжатого параллельными плитами / А. В. Балашникова // «Опыт прошлого - взгляд в будущее» - 2-я Международная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов : сб. материалов. - Тула: ТулГу, 2012. - С. 221-227.
14. Балашникова, А. В. Сжатие жесткими шероховатыми плитами изделия конечного размера из идеальнопластического материала при трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // материали за VIII международна научна практична конференция «БЪДЕЩЕТО ВЪПРОСИ ОТ СВЕТА НА НАУКАТА - 2012», София.-2012.-С. 12-16.
15. Балашникова, А. В. Прессовка пространственной анизотропной металлической заготовки шероховатыми плитами / А. В. Балашникова // Современная российская наука глазами молодых исследователей : материалы III Международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов. - Красноярск : Научно-инновационный центр, 2013. - С. 208-213.
16. Балашникова, А. В. Сжатие пространственного идеальнопластического слоя при трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // ВИНИТИ РАН. - М., 2013.
— № 92. — В2013. — 11 с.
17. Балашникова, А. В. Сжатие анизотропного пространственного идеальнопластического материала при обобщении условия пластичности Мизеса-Хилла / А. В. Балашникова // Альманах современной науки и образования. - Тамбов : Грамота, 2013. - № 5 (72). - С. 24-26.
18. Балашникова, А. В. О сжатии идеальнопластического материала при обобщении условия пластичности Мизеса-Хилла с учетом трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // Новый университет. Серия : Вопросы естественных наук.
— 2013. —№ 1 (7).-С. 12-14.
19. Балашникова, А. В. Сжатие анизотропного идеальнопластического слоя при обобщении условия пластичности Мизеса-Хилла / А. В. Балашникова // Технические науки — от теории к практике : материалы XIX Международной заочной научно-практической конференции. — Новосибирск : СибАК, 2013. — С. 15-22.
20. Балашникова, А. В. Сжатие идеальнопластического материала при
трансляционной анизотропии в случае плоской деформации / А. В. Балашникова // Международное научное издание «Современные фундаментальные и прикладные исследования». - Кисловодск : УЦ «Магистр», 2013.-№ 1 (8).-Т. 1.-С. 76-79.
21. Балашникова, А. В. Сжатие идеалыюпластического слоя параллельными жесткими шероховатыми плитами при обобщении условия пластичности Мизеса-Хилла в случае трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // Наука и образование в XXI веке : сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции : в 6 ч. Ч. 3. - М. : АР-Консалт, 2013. - С. 132-133.
22. Балашникова, А. В. Предельное состояние идеальнопластического материала, сжатого параллельными шероховатыми плитами при трансляционной анизотропии в случае обобщения условия полной пластичности / А. В. Балашникова // Актуальные проблемы математики и механики : материалы и доклады всерос. науч. конф., посвященной 75-летию со дня рождения д. ф.-м. н., профессора Г. И. Быковцева. - Самара : Самарский университет, 2013.-С. 21-22.
23. Балашникова, А. В. Предельное состояние пространственного слоя из идеальнопластического материала, сжатого параллельными шероховатыми плитами при трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // VIII Окуневские чтения : материалы докладов международной конференции. -Санкт-Петербург: Балт. гос. техн. ун-т, 2013. - С. 69-71.
24. Балашникова, А. В. К вопросу о сжатии параллельными плитами идеальнопластического слоя при трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий : сб. ст. по материалам междунар. науч.-практ. конф. : в 2 ч. Ч. 1. - Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2013. - С. 22-27.
25. Балашникова, А. В. Обобщение решения Надаи о сжатии пластического слоя при трансляционной анизотропии / А. В. Балашникова, Л. А. Максимова // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий : сб. ст. по материалам междунар. науч.-практ. конф. : в 2 ч. Ч. 1. - Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2013. - С. 28-30.
26. Балашникова, А. В. Сжатие шероховатыми плитами идеальнопластического слоя при трансляционной анизотропии в случае плоской деформации / А. В. Балашникова И Современные проблемы, материалы, механики, информатики : материалы международной конференции. - Тула : ТулГУ, 2013. — С. 167-171.
Автореферат разрешен к печати диссертационным советом Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» 12.08.2013 г.
Подписано в печать 13.09.2013 г. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №1404
Отпечатано на участке оперативной полиграфии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, д. 38
Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет
им. И.Я. Яковлева»
На правах рукописи
04201362186
БАЛАШНИКОВА Анжелика Вениаминовна
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ АНИЗОТРОПНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ ЖЕСТКИМИ ПЛИТАМИ
01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель -
доктор физико-математических наук
Максимова Людмила Анатольевна
Чебоксары -2013
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................3
ГЛАВА 1. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛОСКОГО АНИЗОТРОПНОГО
СЛОЯ ПРИ СЖАТИИ ЖЕСТКИМИ ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ........10
1.1.0 предельном состоянии плоского анизотропного слоя при сжатии жесткими шероховатыми плитами...................................................................10
1.2. О сжатии плоского анизотропного слоя
из идеальнопластического материала..............................................................16
1.3. О сжатии плоского анизотропного слоя
при различных условиях пластичности...........................................................22
1.4. Предельное состояние сдавливаемого плоского анизотропного слоя, ориентированного в плоскости под определенным углом к оси абсцисс.... 29
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО АНИЗОТРОПНОГО СЛОЯ, СЖАТОГО ЖЕСТКИМИ ПЛИТАМИ..............34
2.1. О сжатии пространственного идеальнопластического слоя жесткими плитами в случае трансляционной анизотропии............................................34
2.2. О предельном состоянии анизотропного пространственного слоя из идеальнопластического материала, сжатого параллельными шероховатыми плитами при условии обобщения полной пластичности...............................52
ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ АНИЗОТРОПНОГО СЛОЯ, СЖАТОГО ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ ПРИ УСЛОВИИ ЗАВИСИМОСТИ ПРЕДЕЛА ТЕКУЧЕСТИ ОТ СРЕДНЕГО ДАВЛЕНИЯ... 64
3.1. Предельное состояние анизотропного плоского слоя, сжатого шероховатыми плитами при условии зависимости предела текучести от среднего давления..............................................................................................64
3.2. Предельное состояние анизотропного пространственного слоя, сжатого шероховатыми плитами при условии зависимости предела текучести от среднего давления..............................................................................................67
Библиографический список.................................................................................76
ВВЕДЕНИЕ
Сен-Венаном была создана первая математическая теория пластичности на основе гипотезы о пропорциональности девиатора тензора скоростей пластических деформаций и тензора напряжений при условии текучести Треска. Условие пластичности, заключающееся в том, что пластическое состояние наступает, как только максимальное касательное напряжение достигает некоторого определенного предельного значения, было предложено Сен-Венаном.
Обобщая уравнения движения вязкой жидкости Навье-Стокса, опираясь на гидродинамическое представление о течении металлов, Сен-Венан рассмотрел задачу о пластическом плоском деформированном состоянии. Сен-Венан исследовал только плоское деформированное состояние, и поэтому его теория нуждалась в дальнейшем обобщении на случай трехмерного состояния. Соответствующее обобщение было сразу же выполнено: уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности впервые были получены Леви.
В настоящее время имеется ограниченный круг методов и результатов математической теории пластичности, раскрывающей свойства пространственного пластического напряженно-деформированного состояния.
Основой теоретического анализа прикладных задач обработки металлов давлением является решение плоской задачи о сжатии слоя из идеальнопластического материала жесткими шероховатыми плитами, предложенное Прандтлем [ 104].
Позднее Надаи [93] дополнил решение Прандтля, определив соответствующее поле скоростей перемещений.
Численные решения о сжатии слоя при различных соотношениях длины и толщины выполнены В. В. Соколовским [109].
В. В. Гартман обобщил решения Прандтля на случай линейной зависимости максимального касательного напряжения от среднего давления.
Перечисленные результаты относятся к случаю плоской задачи. Хилл [104] предложил решение задачи о вдавливании стержня из сжимающейся шероховатой втулки. Ряд обобщений решения Прандтля на случай осесимметрического и пространственного течения приведен в работах [47], [43], [59], а также в монографии М. А. Задояна [44].
Решение Прандтля получило многочисленные обобщения в работах прикладного характера, изложенных в трудах Д. Д. Ивлева [47], А. Д. Томленова [117], В. JI. Колмогорова [72], И. Я. Тарновского [114], Л.А.Максимовой [82], М.В.Михайловой [90], Н. М. Михина [91], М. Я. Бровмана [29], Н. П. Громова [39], С. И. Губкина [40], А. А. Королева [73], И. М. Павлова [96], М. В. Сторожева и Е. А. Попова [99], Е. П. Унксова [118], Э. Томсона, Ч. Янга, Ш. Кобаяши [137], А. И. Целикова [121], И. Л. Перлина [97].
Проблема течения пластического слоя между шероховатыми поверхностями исследовалась А. А. Ильюшиным [62], [63]. В основе исходных предположений лежит решение Прандтля, а также некоторые упрощения, имеющие кинематический характер. Предполагается, что осредненные скорости перемещений постоянны по толщине слоя. Предполагается, что в плоскости, касательной к любой эквидистантной поверхности, касательные напряжения равны нулю, главные напряжения равны между собой (условие полной пластичности), нормальное напряжение вдоль толщины слоя постоянно. В этом случае для определения давления, действующего со стороны сжимающих плит, имеет место уравнение постоянного ската, и, следовательно, справедлива песчаная аналогия.
Численное решение задачи о сжатии диска между параллельными плитами предложено Р. И. Непершиным [95], это решение обсуждалось в монографии Б. А. Друянова и Р. И. Непершина [42]. Установлено, что
распределение осевого давления близко к линейному, тем не менее, нелинейный характер распределения выражен.
Актуальность темы. Учет свойств анизотропных материалов, которые в наше время активно применяются в машиностроении, является необходимым в связи с требованиями наиболее полного использования прочностных свойств изделий.
Задачи, связанные с анизотропией материала в теории пластичности, были рассмотрены в трудах Б. Д. Аннина, Г. И. Быковцева, С. А. Вульман, Г. А. Гениева, Л. В. Ершова, В. Г. Зубчанинова, С. В. Ивановой, Д. Д. Ивлева, А. Ю. Ишлинского, А. А. Ильюшина, Л. М. Качанова, Ю. И. Кадашевича, Е. Е. Кузнецова, А. В. Ковалева, А. П. Леденева, А. А. Маркина, Л. А. Максимовой, Н. М. Матченко, И. Н. Матченко, Е. В. Маховера, Б. Г. Миронова, Т. В. Митрофановой, А. Надаи, В. В. Новожилова, Р. И. Непершина, Т. Н. Павловой, В. Прагера, Б. Е. Победри, Ю. Н. Радаева, Т. И. Рыбаковой, В. В. Соколовского, Т. Д. Семыкиной, А. Н. Спорыхина, Л. А. Толоконникова, А. А. Трещева, С. О. Фоминых, А. И. Шашкина, Р. Хилла, Л. Б. Шитовой, С. С. Яковлева, С. П. Яковлева и др.
В диссертационной работе исследуется предельное состояние анизотропного идеальнопластического слоя, сжатого жесткими шероховатыми плитами при различных условиях пластичности. Рассматривается также сжатие анизотропного идеальнопластического слоя в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления.
Новые результаты, которые учитывают влияние различных видов анизотропии на напряженно-деформированное состояние слоя, являются важными и актуальными.
Цель работы:
1) исследование предельного состояния плоского анизотропного слоя, сжатого шероховатыми плитами при различных условиях пластичности;
2) изучение напряженно-деформированного состояния пространственного анизотропного слоя, сжат ого шероховатыми плитами при различных условиях предельного состояния;
3) исследование напряженно-деформированного состояния плоского и пространственного анизотропного слоя в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
1) определено напряженно-деформированное состояние идеальнопластического плоского слоя, сжатого шероховатыми плитами в случае трансляционной анизотропии и анизотропии Хилла;
2) определено аналитическое решение задачи о сжатии анизотропного идеальнопластического пространственного слоя, сжатого жесткими шероховатыми плитами при различных условиях пластичности;
3) определено предельное состояние анизотропного плоского и пространственного слоя, сжатого шероховатыми плитами в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления.
Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования, а также непротиворечивостью с результатами исследований других авторов.
Практическая значимость. Полученные результаты диссертационной работы могут быть использованы при расчетах
жесткопластических анизотропных сред; при получении решений важных
задач пластического деформирования материалов и т. д.
Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом
докладывались:
- на семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ивлева Д. Д. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2010-2012 гг.);
- на семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Миронова Б. Г. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2010-2013 гг.);
- на научно-практической конференции докторантов, аспирантов и соискателей по итогам научно-исследовательской работы за 2010-2011 гг. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2011 г.);
- на научно-практической конференции докторантов, аспирантов и соискателей по итогам научно-исследовательской работы за 2011-2012 гг. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2012 г.);
- на научно-практической конференции докторантов, аспирантов и соискателей по итогам научно-исследовательской работы 2012-2013 гг. (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2013 г.);
- на международной конференции «Бупагшка паико\¥усЬ Ьаёап - 2012» (г. Рггешув!, 2012 г.);
- на международной научной конференции «XXXVI Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова» (г. Владивосток, 2012 г.);
- на XII Международной научно-практической конференции «Интеллект и наука» (г. Железногорск, 2012 г.);
- на I Международной научно-практической конференции «ГРАНИ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ» (г. Краснодар, 2012 г.);
- на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2012 г.);
- на 2-й Международной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Опыт прошлого - взгляд в будущее» (г. Тула, 2012 г.);
- на VIII Международно научно практично конференции «БЪДЕЩЕТО ВЪПРОСИ ОТ СВЕТА НА НАУКАТА - 2012» (г. София, 2012 г.);
- на III Международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Современная российская наука глазами молодых исследователей» (Красноярск, 2013 г.);
- на Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 75-летию со дня рождения д. ф.-м. н., профессора Г. И. Быковцева, Самара, 18-21 апреля 2013 г. (Самара, 2013 г.);
- на VIII Международной конференции по механике и баллистике «Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, 2013 г.);
- на Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий» (г. Чебоксары, ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2013 г.).
На защиту выносятся результаты:
1) исследование и определение напряженно-деформированного состояния идеальнопластического плоского слоя, сжатого параллельными шероховатыми плитами при различных видах анизотропии;
2) определение предельного состояния плоского анизотропного идеальнопластического слоя, ориентированного в плоскости под определенным углом к оси абсцисс;
3) определение аналитических решений задачи о сжатии идеальнопластического пространственного слоя жесткими
шероховатыми плитами при условии предельного состояния, обобщающем условие пластичности Хилла на случай трансляционной анизотропии;
4) определение аналитических решений задачи о сжатии идеальнопластического пространственного слоя жесткими шероховатыми плитами при условии предельного состояния, обобщающем условие полной пластичности на случай трансляционной анизотропии;
5) определение напряженного состояния анизотропного плоского слоя, сжатого жесткими шероховатыми плитами в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления;
6) аналитическое решение задачи о сжатии пространственного анизотропного слоя жесткими шероховатыми плитами в случае, когда предел текучести зависит от среднего давления.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 26 научных работах, из них 7 работ опубликованы в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.
Личный вклад. Все представленные в диссертации научные результаты получены автором лично. Идеи исследований обсуждались с Д. Д. Ивлевым.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.
ГЛАВА 1. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛОСКОГО АНИЗОТРОПНОГО СЛОЯ ПРИ СЖАТИИ ЖЕСТКИМИ ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ
1.1. О предельном состоянии плоского анизотропного слоя при сжатии
жесткими шероховатыми плитами
Рассмотрим плоский идеальнопластический слой, параллельный оси Ох, толщиной 2/г (рис. 1). Слой сжимается параллельными шероховатыми плитами вдоль оси Оу [2].
Рис. 1
Предельное состояние идеальнопластического плоского слоя
характеризуется условием пластичности
гсг -а к -к
х у "-1
где <Ух,ау,тху- компоненты напряжения, А,В,кх,кх,к2,къ -const, которые
определяют параметры анизотропии и предел текучести.
В дальнейшем перейдем к безразмерным величинам. В се вели чины, которые имеют размерность напряжений, отнесем к величине предела текучести кх и сохраним обозначения напряжений а и констант к{, к2, къ. Условие пластичности (1.1.1) примет вид
Гс>х-ау к} - к2
+ В\тяу-къ)2=\.
(1.1.2)
Уравнения равновесия имеют вид [69]
да дт
ху
= 0,
дт да
" ' ' =0.
(1.1.3)
дх ду ' дх ду
Величины, имеющие размерность длины, будем считать безразмерными, отнесенными к к.
При условии пластичности (1.1.2) рассмотрим предположения, аналогично идеям Прандтля
тху=у + к3. (1.1.4)
Используя (1.1.2), (1.1.4), найдем
2 , К к2
(1.1.5)
Согласно (1.1.3), (1.1.4) получим
о-х=-х + /(у), ау=у/(х).
Из (1.1.5), (1.1.6) находим, что
(1.1.6)
-х + /(у)-у/(х) = ±2. Учитывая (1.1.7) следует
2 , К
(1.1.7)
ц/{х) = -х + С,,
/Ы=и
Из (1.1.6), (1.1.8) получим сгх=-х + С,±2 сг = -х + С,.
2,^1 ^2
2
(1.1.8)
2 , К
2
(1.1.9)
Постоянную С^ определим из условия отсутствия суммарных усилий вдоль оси х при х = 0 по свободному краю полосы:
1
= 0.
(1.1.10)
-1
Из (1.1.9), (1.1.10) найдем
1
г
С = —
1 4А {у/В
Согласно (1.1.11) из (1.1.9) имеем
• у/\--В + ^ ■ агсзт-^= ^ + {к2-кх}. (1.1.11)
2 ¡л Р ? 1 ( 1 ГГ~Б 1 • 1 сг^--х + —!=-у1\-В-у~--■ VI - о Н---агсБт
^ у[а {У/В 2
л/я
1
/
* у/А {у/В
^■у/^В+^-атсБт-^ Ы^-А;,).
(1.1.12)
2 у/в. Из условия экстремума функционала
- г г V
2 +В(тху-к3) -1
~<*у кх- к2
определим соотношения ассоциированного закона пластического течения:
£ _ = Л ■ А ■
е „ =-Л■А■
/ 'С2
2-£ху=2Л-В-(тху-къ).
Согласно (1.1.13) имеем
ех + еу=0.
(1.1.14)
Имеют место формулы Коши [69]:
ди dv 1 (ди
ах " ау
ду дх
(1.1.15)
Тогда из (1.1.14), (1.1.15) получим
ди dv Л — + — = 0.
дх ду
Предположим, что
у = су + кг, с-const. Тогда из (1.1.16), (1.1.17) следует
и - с • х + Cj + ф(у\
(1.1.16)
(1.1.17)
(1.1.18)
Формулы Коши (1.1.15) согласно (1.1.14), (1.1.17), (1.1.18) запишутся в
виде
ди
б —-- -с,
ох dv
(1.1.19)
Sxy~2
Из (1.1.18) имеем
- = -2с = 2Л ■ А ■
X у
(д£
(1.1.20)
Согласно (1.1.5), (1.1.20) найдем
Л = -
\ ■
(1.1.21)
Из (1.1.18) получим
Єху 2
1 (дф^
= Л-{тху-кз)-
(1.1.22)
Используя (1.1.22), будем иметь
Ф(у) = -
2c-yj\-B-y2
в • -Ja
(1.1.23)
Согласно (1.1.17), (1.1.18), (1.1.23) деформированное состояние слоя определено в виде
у
W_C'X + Cl В-у/А ' (1-1.24)
v = cy + k2.
Уравнению (1.1.2) удовлетворим, полагая [69]
сгх = о - к(/)sin 2у, <jy =<j + к (/) sin 2у, Txy=K(y)cos2y,
где у - угол между осью Ох и максимальным касательным напряжением,
(1.1.25)
-А
ÁTj к 2
sin 2 у + В eos 2у ± y/D^
/с -
vísin 2у + В eos 2у
(1.1.26)
Ц = A sin2 2у+ В eos2 2^ -
k^ k2 ^
къ sin 4у - АВ
Г- fk-kV 7 2 • 2 о ,
к3 sin 2у +
1 2
Л
V 2 ,
eos 2^
Найдем линии скольжения. Согласно (1.1.4), (1.1.25) получили
у = к(у)со82у - кг.
Отсюда
— = (л"'соз2/ -
¿¿X йх
. с1к
где к =-.
с1у
(1.1.27)
(1.1.28)
Согласно (1.1.3), (1.1.25) будем иметь
dy л:'sin + 2 л: eos 2/л:')2 + 4л:2 dx
(1.1.29)
к' со§2у - 2к $т2у Дифференциальные уравнения линий скольжения согласно (1.1.29) примут вид
(a:'cos2/ - 2а: sin 2/)
dy к's'm2y+ 2к cos2y + +4к
dx
к' eos 2у-2к sin 2y
dy fe's'm2y + 2/ccos2y - J(fc') + 4a:
(at'cos2^ - 2a: sin 2y)— -----
dx к' eos 2y - 2k sin 2y
(1.1.30)
Разделяя переменные и интегрируя, получим параметрические уравнения семейств линий скольжения:
(a:'cos2/ - 2/csin2^)2
-hz
-Ь
к' sin 2у + 2к eos 2у + -^(а:')2 + 4л:" (Veos 2^ - 2а: sin 2^)2
к'sin 2у + 2кeos 2у - ■sj(fc')2 + 4к1
rdy, у = /с(у)eos2у-къ, (а)
■dy, y = /c(y)cos2y-k3 . (/?)
(1.1.31)
Обозначим через 2Р предельное сжимающее усилие. Тогда из (1.1.12) найдем
= 2 J*^^ = jf-^r - " • Vi - ^/г2 + ^ - aresin-^] + - =
^)
= -12-
——7= • • л/l - Btí + aresin +2(L-t)\l
h-y¡A 4b V 2 lJ
h
(1.1.32)
где / - протяженность слоя.
1.2. О сжатии плоског
