Устойчивость течения вязкопластических тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

о „' министерство общего и профессионального

р! ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ДУВАШСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИИ - ИНСТИТУТ им.И.Я.ЯКОВЛЕВА

На правах рукописи

РЫБАКОВА ТАТЬЯНА ИВАНОВНА

УДК 539.374

УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары - 1996

Работа выполнена в Чувашском государственном педагогическом институте им.И .Я .Яковлева.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор ИВЛЕВ Д.Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор ПАЙМУШИН В.Н., кандидат физико-математических наук, доцент МИРОНОВ П.Г.

Ведущая организация: Воронежская государственная технологическая академия.

Защита состоится 24 декабря 1996 г. в 15 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 113.67.01 в Чувашском государственном педагогическом институте им.И.Я.Яковлева по адресу: 428000, г.Чебоксары, К.Маркса, д.38, ауд. 404.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического института им.И.Я .Яковлева.

Автореферат разослан " ^ " ноября 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета '

кан. физ.- мат. наук Г.Е.ЧЕКМАРЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вязкопластическими свойствами характеризуются многие реальные вещества - металлы при достаточно высокой температуре, различные густые смазочные материалы, краски и т.д. Совершенствование многих технологических процессов (горячая обработка металлов, перемещение различных пластических масс в машинах, трубопроводах и т.д.) требует изучения движения вязкопластических материалов. Прочностный расчет элементов конструкций, стержней, пластин, оболочек, труб при учете вязкопластческих свойств принадлежит к числу актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

Цель работы. Целью работы является исследование устойчивости вязкопластического течения изотропных и анизотропных тел.

На защиту выносятся:

- новое решение задачи о растяжении плоского вязкопластического образца, полученное в полиномах для двух приближений;

- решение задачи об устойчивости вязкопластического течения анизотропной полосы, обобщающее решение, данное А.Ю.Ишлинским;

- исследование устойчивости вязкопластического течения толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления.

Научная новизна. В диссертации рассмотрены конкретные задачи: образование шейки в растягиваемой вязкопластической полосе, ослабленной двумя осесимметричными пологими выточками; устойчивость вязкопластического течения анизотропной полосы и толстостенной трубы, находящейся под действием

внутреннего давления.

Достоверность подтверждается апробированностью методов математической физики, используемых при решении поставленных задач, соответствием полученных результатов имеющимся экспериментальным данным.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах вязкопластического состояния изотропных и анизотропных тел. Подходы, предложенные в работе могут быть распространены на расчет вязкопластического состояния массивов горных пород вблизи выработок и полостей.

Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом докладывались:

- на итоговых научно - практических конференциях преподавателей и сотрудников Чувашского государственного педагогического института имени И.Я.Яковлева (1995 - 1996);

- на семинаре по механике деформируемого твердого тела, руководимом профессором Д.Д.Ивлевым (ЧГПИ 1995 - 1996);

- на Всероссийском семинаре "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (Чебоксары, июнь, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1, 2].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (7 параграфов), заключения и списка используемой литературы. Объем работы составляет 57 страниц. Библиография содержит 61 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации.

Теория пластичности, как и теория упругости, не учитывает изменения деформирования во времени.

Однако не всегда можно пренебрегать влиянием вязкости (связанным с тепловым движением атомов). Прочные стали в условиях высоких температур обнаруживают текучесть при малых напряжениях и со временем могут накапливать большие деформации (явление ползучести). Учет вязкости необходим при быстрых движениях (например, связаных с ударами, колебаниями).

В современной технике все больше используютя сложные механические свойства высокополимеров (резины, различные искусственные и естественные волокнистые материалы). Таким материалам характерна важная роль времени; процессы деформации здесь являются неравновесными.

Впервые вязкопластическую среду рассмотрел Ф.Н.Шведов (1890). Бингам и Грин (1919) ввели понятие вязкопластиче-ской модели, именуемой в настоящее время телом Бингама. Постановка задачи об устойчивости вязкопластического течения принадлежит А.А.Ильюшину. Он составил дифференциальные уравнения и граничные условия плоскопараллельного течения вязкопластической среды, а также решил задачи о нахождении течений, близких к плоскому равномерному деформированию полосы и плоскому деформированию цилиндра. При этом А.А.Ильюшин использовал лагранжевый метод описания движения сплошной среды.

Дальнейшее развитие теория вязкопластической среды получила в работах А.Ю.Ишлинского. Впервые он применил со-ответстующий сути рассматриваемого явления эйлеровый способ описания течения вязкопластического тела, получил уравнения пространственного деформирования вязкопластической среды. Им был решен ряд конкретных задач: об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута, боковая поверхность которого имеет периодические осесимметриче-ские возмущения; о вязкопластичеком течении круглой пластины под действием нормальных сил, приложенных по ее цилиндрической границе; об ударе о жесткую преграду вязкопластического стержня конечной длины; о медленном течении вязкой жидкости в круглой трубе переменного сечения и др.

Решения ряда задач по теории вязкопластических тел проводятся в работах Г.И.Быковцева, А.Х.Мирзаджанзаде, П.П.Мосолова, В.П.Мясникова, П.М.Огибалова, А.Д.Чернышева и др.

Метод возмущений для решения задач вязкопластического анализа был использован А.А.Ильюшиным, А.Ю.Ишлинским, для решения задач жесткопластического анализа - Е.Онатом и В.Прагером. Дальнейшее развитие метод малого параметра применительно к решению задач теории пластичности получил в работах А.Н.Гузя, Б.А.Друянова, Л.В.Ершова, Д.Д.Ивлева, А.М.Качанова, Ю.Н.Немиша, Л.А.Толоконникова и других исследователей.

В данной работе рассматриваются новые задачи вязкопла-стическго течения тел на основе идей работ А.Ю.Ишлинского.

В первой главе рассматриваются линеаризированные задачи об образовании шейки в растягиваемой вязкопластиче-

ской полосе, об устойчивочти вязкопластического течения анизотропной и изотропной полосы.

В параграфе 1.1 дается постановка задачи плоской деформации теории вязкопластического тела в декартовой системе координат.

Следуя подходу АЛО.Ишлинского к характеристике вяз-копластических свойств среды, условие несжимаемого вязкопластического тела в случае плоской деформации записывается в виде

((оъ - <7у) ~ Фх ~ £у))2 + 4(тху - Ц£ху)2 = 4к2, (1)

где к - предел текучести, ц - коэффициент вязкости.

Рассматривая условие (1) в качестве пластического потенциала, для компонент скорости деформации имеем следующие соотношения

ех = 2А — сгу) — ц(ех — £у)), £у = —£х,

еху = 4А(тху - ц£ху"), А > 0. (2)

В параграфе 1.2 производится линеаризация основных уравнений и соотношений. Решение ищется в виде рядов по степеням малого параметра <5

оо со оо оо

= £ «.- = Е Ып\ ец = £ л = £ ™(п)- •

п=0 п=0 п=0 п=0

(3)

В параграфе 1.3 решается задача об образовании шейки в растягиваемой вязкопластической полосе, используя полиномиальные решения. Полоса ослаблена двумя осесимметричными пологими выточками, уравнения которых имеют вид

у = ±(к + дх2), 9>0, <?М<1, (4)

где 2Н - наименьшая ширина полосы, (//, /г - постоянные).

Условие вязкопластичности записывается в виде (1). Предполагается, что начальное состояние является недеформирован-ным

<г?> = 2*г, е(о) = £(о)=еа) = (7(о, = т(о, = 0-

(5)

Используя линеаризированные уравнения равновесия, соотношения (1), (2), (5), граничные условия, найдены два приближения для поля скоростей премещения и поля напряжений в верхней части полосы (у > 0):

= -2дху, г;(1) = 4{х2 + у2- к2),

= Акд{к-у)-Ацду, а^ = Акд{И - у), = 4кдх;

и

(2) _

-8д2ху2

(2) 0 2 3

^ ' = -д у ,

а?) = -8кд2 (Н - у)2 + х(к - у) +

X

к{к-у) + 2у2

оЮ = _8 кд2 = -4 кд2

(к-у)2+ х{к-у)-х2 -8М2к(к-у),

{1г-у)2 + 4х{к-у) + х'

— 8 цд2кх.

(6)

Параграф 1.4 состоит из двух пунктов. В пункте 1 исследуется устойчивость вязкопластического течения анизотропной полосы, используя разложение по тригонометрическим функциям.

Предполагается, что полоса претерпевает малое "возмущение" , которое описывается уравнениями

у = ±(Ь + ¿совта;), 5/6 «С 1,

(7)

где 2Ъ - ширина исходной прямолинейной полосы, 6 - амплитуда возмущения.

Будем считать, что по длине полосы укладывается целое число полуволн возмущения, т.е. т = т07г//, где то - целое число, I ~ длина полосы.

Следуя подходу А.Ю.Ишлинского в теории анизотропного упрочняющегося пластического тела, условие несжимаемого анизотропного вязкопластического материала записывается в виде

А[(ах — (ту) — ех — £у)) + 4 В\тху - цеху ) +

+2С[(<тх - ау) - ц{ех - £у)у |тху - = 4к , (8)

где А, В\ С - постоянные, характеризующие анизотропию материала.

Соотношения ассоциированного закона пластического течения записываются в виде:

= 2А [а^ - (Ту - ц(ех - + С(тху - [1£ху}

Ч £у — Ех

&ху - ^

4в(тху - цеху) + С (ах - ау - ц(£х - £у))

, А > 0. (9)

В результате линеаризации уравнений равновесия и соотношений (8), (9), при условии, что

Ф о, 4°) = г(;) = о,

£

получается система двух дифференциальных уранений для нахождения функции Эри и^(х,у) и функции тока ф(х)(а:,у):

дх2 ду2 дхду 2 \ дх2 ду2 / ^ дхду

2ад2ЦЮ _/д2Я1Ю Э'фАЛ ае^фМ_0

дхду \ дх2 ду2 ) дхду '

где

р = А(а?> - 2^4°)) - д = С(<40) - 2це™) - 4

А<°> = 40)/2р = в!?/,, (12)

а = А(°>(Аае2 - Сге + 4£), с = /ш + 1.

В случае изотропии (А = В=1, С = 0) ге = q = е^ — 0. Одним из частных решений системы (11) будет

[/(1)

+Сз соз(тз: 4- а^сЬ/?^ + С4 зт(т:г + а^вЬ/?^, Ф*1) = Б0 С2 соз(тж + — С1 зт(тж + «з^вЬ/^—

—С4соз(тх + а^ск/З^ + Сзз'т(тх + а^вЪ/З^ , (13)

= 9

Ж р! -X 1-1- -ху ,

где

2 а эг 1 /—-—---

г = ту, О0 = —, а = -—, р = -у/ца(ге2 + 4с),

аг=а2-/?2 + 4, & = 2а/?, а4 = -^(а + а2),

«2 = ^ + , = (-O! + >/«? +a3) ,

a3 = i(-a + aa), /З3 = - A), A =-¿(0 +fc). (14)

Неизвестные постоянные С,- определяются из линеаризированных граничных условий.

Рассматривая какую-либо точку границы с абсциссой х, вертикальная составляющая г/1) возмущения скорости основного течения выражается формулой

(1) 4D0OÍ0)/C- , С • \

vy ' =--——(¿>! cosmx + ¿2smmx), (15)

где h = mb,

д = {al + P2)ch2j32h - {a22 + P¡)ch2¡3h + _ ¡32)cos2a2h,

S1 = 3(cos2a2h - ch2/?2h)-—(^(sin ah cos a2hch./3hsh(32h — cos ah sin a2hshf3hchf32h)+ +/?2(sin ah sin a2hch(3hchp2h + cos ah eos a2hsh.(3hsh02h),

S2 = \{a2s\i2^h - (32h sin 2a2h)+ (16)

+a2(sin ah sin a^sh/J/ich/^/i — cos ah cos a2hchflhsh/32h)+ (sin ah cos a2hsh[3hshf32h — cos ah sin a2hch.{3hchf32h). Поведение

амплитуды возмущения Si, S2 определяет устойчивость течения полосы. В случае изотропии: S2 = 0.

В пункте 2 рассматривается устойчивость течения изотропной вязкопластической полосы, которая претерпевает малое "возмущение", описывающееся уравнениями (7).

Условие вязкопластичности записывается в виде (1). Аналогично §1.3 предполагается, что начальное состояние является недеформированным (5).

Используя линеаризированные уравнения равновесия, соотношения (1), (2), (5) найдены первые приближения для поля напряжения и поля скоростей перемещения:

= 4 к

а™ = 4 к

т Ихувхп ту — сов ту

сое тх,

сое тх,

т£> = -4 к

т2Б\у этту — 6 сое ту

гг?В\у сое ту 4- (т2В2Ь + тД) вт ту

вт тх

/я 4А;£>1 . т 4кБг . . .

их ' =-сов ту иттх, ' =-вт ту соя тх. (17)

И

И

где

соэ к

£>2 =

вт к

к = тЪ.

2к + эт 2к ' 2А + вт2А'

Следуя подходу А.А.Ильюшина и А.Ю.Ишлинского, условие неустойчивости представится в виде

2птг < 2Л = 2~~Ъ < (2п + 1)тг,

(18)

где п - целое число.

При деформировании длина полосы I увеличивается, а ширина Ь уменьшается, поэтому одно и то же возмущение попеременно возрастает и убывает. После того, как величина 2к станет меньше ■к движение становится окончательно неустойчивым, по А.А.Ильюшину, и полоса должна разорваться.

Во второй главе рассматривается линеаризированная задача об устойчивости вязкопластической течения толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Предполагается, что внешняя и внутренняя границы получают малое "возмущение".

Постановка задачи принадлежит А.А.Ильюшину, исследовавшего деформирование трубы в лагранжевых переменных. Ниже в аналогичной постановке рассматривается течение трубы в эйлеровых переменных, следуя идеям А.Ю.Ишлинского.

В параграфе 2.1. дается постановка задачи в полярной системе координат. Условие несжимаемого вязкопластического тела в случае плоской деформации записывается в виде

((сгг - ад) - ц(ег - ee)f + 4(тгв - цетв)2 = 4А;2. (19)

В качестве пластического потенциала рассматривается условие (19). Согласно ассоциированному закону пластического течения для компонент скорости деформации имеем следующие соотношения

£$ =—Sri sre{(Tr — ere) = тгв(ег — £в)- (20)

В параграфе 2.2 проводится линеаризация основных соотношений и уравнений. Аналогично §1.2 решение задачи ищется в виде рядов по степеням малого параметра 6 (3).

Все полученные соотношения записываются в безрамер-ных координатах. Величины, имеющие размерность напряжения, отнесены к величине предела текучести к, величины, имеющие размерность длины,- к внутреннему радиусу трубы а "невозмущенного" состояния.

В параграфе 2.3 решается задача об устойчивости вязкопластического течения толстостенной трубы, находящейся

под действием внутреннего давления.

Рассматривается толстостенная труба радиусов а, Ъ (а < Ь), находящаяся под действием внутреннего давления р0. Материал трубы предполагается несжимаемым. Методом малого параметра ищется решение вблизи некоторого "невозмущенного" состояния

Т«? = е<3 = 40) = 0. (21)

Обозначим <70 = Ро/к, /3 = Ь/а.

На внутреннем контуре трубы имеют место следующие условия

^ = -90, и<0) = и<°> при /9 = 1, (22)

где и^ - скорость перемещения на внутренней границе трубы.

Из (21), (22) видно, что в качестве нулевого "невозмущенного" состояния выбирается осесимметричное состояние трубы

„(0) - <г(0) _ _

Р ~~ ' Р ~ в — 2 '

^ Р И р2

(23)

40) = -Яо + 2(1 + 1п р) + ¿ш^ [ 1 +

1 ?

Предполагается, что внутренняя и внешняя границы трубы получают малые "возмущения", которые соответственно описываются уравнениями

р= 1 + 8С1 эш п9, рр = ¡3 + 8С2 втп&, Сг, С2 — const. (24)

Для нахождения первых приближений линеаризируются уравнения равновесия и соотношения (19), (20), вводится замена

¿D-lUW + M Ur - п ЯД ' ио - йп ' * -9Г'

р р2 дв ^ р дРдв)

(1) m ( 1 ЗФ^ 1 <Э2Ф(1)\

м-З^ + Т^^ь (25)

(1) 1, л 2j дч^ I^1) 1 а2Фт # = ^ + V) + +

Для нахождения функции Ф'1' получается следующее дифференциальное уравнение

Р4(м + + +3 - РЧМ -3

о 94ф(х) дфО) 53ф(1)

- V) ^ + - з V)-^ - 2,(я + V)

о 54ф(г' Я2ф(1) +(/< + V)^r +4,-^ = 0. (26)

Функция ф(х) ищется методом разделения переменных в

виде

Ф(1)(р,0) = .ВДсозпЯ. (27)

Подставив выражение (27) в уравнение (26) и сократив на cos получится следующее дифференциальное уравнение для определения функции R

Р2

pARIV + 6pzRUI + (2n2 + 3)p1Rn + (2n2 - 3)pR: + n4R

+

рАЯ1У + 2р3Я1И - (2п2 + 1)^" +

2 Ы1

+(2п2 + 1)рЯг + (гг4 — 4п2)Л =0. (28)

Функция Л ищется в виде ряда по степеням коэффициента р

Я = До + рЯх + + - (29)

Пренебрегая малыми более второго порядка, получено следующее решение

Ф(1) = + С02 + С03Р2 + Р

+

- (Си + С12 1п р) + р(С13 + См 1п р)

ОО г 2

+ _ (р"-\ СО!5 X + ^ х) + Р (СпЗ СОЭ X + СП4 8Ш х)

п=2

00 Г 1

+ Е (кт со:з X + Кп2 зт х) + 1

-\- — (Кпз сое X + КпА ЭШ х) 1п р

где

2 р

X = \/п2 — 1 1п /9,

сое

соэ пв+

соэ

(30)

соэ пв >,

кп1 = ((п4 - 1)Сп1 + (п2 +

Т1 "Г" О \

п2 I ?

/1,

1

п2

п2 + 3

(п4 - 1)С„2 - (п2 + 7)\Л^ТСп1 ),

Кп3 = (1 - П2)Сп3 + у/^ХСпА, (31)

Кп4 - (1 - П2)Сп4 - у/п2 -1 Сп3.

Неизвестные постоянные С,у находятся из линеаризированных граничных условий.

Поле напряжений и поле скоростей перемещения определены из соотношений (25) и (30).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Дано новое решение задачи о растяжении плоского вяз-копластического образца, ослабленного пологими выточками. Решение получено в полиномах для двух приближений.

2. Рассмотрено решение задачи об устойчивости вязкопла-стического течения анизотропной полосы, обобщающее решение, данное А.Ю.Ишлинским.

3. Исследована устойчивость вязкопластического течения толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ

1. Рыбакова Т.И. Об устойчивости вязкопластического течения анизотропной полосы.// Изв. ИТА ЧР.- 1996.- N1(2).-С.41-45.

2. Рыбакова Т.И. Об устойчивости вязкопластического течения толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления.// Изв. ИТА ЧР.- 1996.- N2(3).-С.36-40.

№