Численное решение задач нестационарного течения вязкопластического материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Окулова, Надежда Николаевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 539 3
ОКУЛОВА Надежда Николаевна
Численное решение задач нестационарного течения вязкопластического материала
Специальность 01 02 04 — механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 2008
003449125
003449125
Работа выполнена на кафедре механики композитов механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова.
Научный руководитель: Доктор физико-математических наук
профессор Д В Георгиевский
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук
профессор А Г Петров Кандидат физико-математических наук доцент А В Муравлев
Ведущая организация: МГТУ "МАМИ"
Защита состоится 24 октября 2008 года в 16 часов на заседании специализированного совета Д 501 001 91 по механике при Московском государственном университете им МВ Ломоносова по адресу 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1610
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан « 23 » сентября 2008 года
Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001.91 профессор
С В Шешенин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Объект исследования и актуальность темы
Наряду с материалами, проявляющими только одно фундаментальное механическое свойство (упругость, вязкость или пластичность), существует значительное количество материалов, обладающих свойствами пластичности и вязкости одновременно Такими материалами являются, например, маслинные краски, полимерные, глинистые и цементные растворы, некоторые металлы при высоких скоростях деформации, высокопарафиннстые и смолистые нефти, селевые поюки, массы влажного снега, потоки бытовых отходов, измельченные продукты пищевой промышленности, т е самые различные материалы (среды) искуственного и природного происхождения в достаточно широком диапазоне внешних условий
Классические модели механики сплошной среды, такие как упругое тело Гука вязкая ньютоновская жидкость и пластическое тело Сен-Венана не описывают характерных особенностей течения подобных сред Для их учета требуется привлечение более сложных математических моделей, имеющих существенные отличия от классических
Одной из таких моделей является модель вязкопластической среды Бин-гама (Bmgham plastic) Первичные представления о рассматриваемой модели связаны с экспериментальными исследованиями Е К Вингама (Б С Bingham) и Ф H Шведова в конце XIX века Теоретические исследования были начаты Б Сен-Венаном (В Saint-Venant), M Леви (M Levy) и Р Мизесом (R Mizes) Значительный вклад в развитие вязкопластнчности внесли отечественные ученые А А Ильюшин А Ю Ишлинский, Г И Баренблатт, П M Огибалов, А X Мирзаджанзаде В П Мясников, П П Мосолов, Б Е Победря И А Кийко, Д M Климов А Г Петров, Д В Георгиевский И M Астрахан, А И Сафрончик А Д Чернышев, А В Гноевой В M Чесноков, а также зарубежные специалисты П Пэжина I R Ionescu, Т С Papanastasiou, R В Bird, Е J Dean, R Glowmski, A N Alexandrou, E Mitsoulis и др
Течение вязкопластической среды Бингама начинается только с того момента, когда максимальное касательное напряжение Т в точках среды достигает некоторой определенной величины то, которая называется предельным напряжением сдвига или пределом текучести При дальнейшем у величе-нин максимального касательного напряжения движение этих сред происходит аналогично движению вязкой ньютоновской жидкости В процессе движения в вязкопластическом теле формируются области вязкопластического течения и области твердого ядра (Т < т0) Образование и эволюция i раниц
между областями зачастую представляют основной интерес в прикладных задачах
Подобные задачи относят к многофазным задачам типа Стефана На данный момент имеется небольшое количество точных аналитических решений подобною класса задач Все они относятся к классу пространственно одномерных автомодельных решений
Основное внимание исследователей сосредоточено на разработках численных и приближенных методов решения Отметим методы Слезкина-Тарга (А X Мирзаджанзаде П M Огибалов, А В Гноевой и др ), Кармана-Поль-гаузена (А Ю Ишлинский, Г И Баренблатт), Колоднера (А И Сафрончик), конечных элементов и конечных объемов (D Fiederic Р-С Gilles, Y Wang и др ), рег>ляризации (M Bercovier, M Engelman, Т С Papanastasiou и др ), вариационные (Е Mitsoulis, R Glowinski и др ) адаптивных сеток (А А Самарский, Б M Б^дак, А II Гильманов и др ) Каждый из методов имеет свои преиму щества и недостатки и свою сфер> применения
В настоящей диссертационной работе предложен эффективный численный метод решения задач одномерного нестационарного течения вязкопластиче-ской среды Такие задачи моделируют многие природные явления и технологические процессы Метод является простым в реализации и не требует больших вычислительных ресурсов
Цель работы
1 Разработка метода решения начально-краевых нестационарных задач вязкопластического течения
2 Программная реализация алгоритма предложенного метода
3 Тестирование алгоритма на задачах, имеющих аналитическое решение, и численных решениях других авторов
4 Численное решение конкретных задач Исследование процесса образования и эволюции жестких зон Построение полей напряжения и скорости Анализ полученных результатов
Научная новизна
1 Разработан численный конечно-разностный метод решения нестационарных задач вязкопластнчсского течения слоистого материала Метод является оригинальной авторской разрабо! кой, универсален для указанного класса задач, отличается точное 1ью и высокой скоропью расчетов
2 Метод реализован в виде программною продукта
3 Решена серия задач, не имеющих автомодельных решений и ранее другими авторами не исследовавшихся, а именно, о течении вязкопластнчсского материала в кольцевой области, о течении между двумя пластинами и о продольном течении в круглой движущейся цилиндрической трубе Построены поля напряжений и скоростей, исследована эволюция границ разделов
4 В задаче о продольном течении вязконластического материала в трубе установлено существование режимов течения с двумя, а в задаче о течении в кольцевой области - с двумя и тремя, границами разделов областей течения и жестких зон
5 В задаче о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости получено аналитическое выражение нижней оценки координаты границы жесткой зоны
6 В задаче о стационарном течении вязконластического материала над вращающейся плоскостью аналитически найдены характерные точки асимптотических границ жестких зон
Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения Проведено тестирование метода путем сравнения результатов счета и точных аналитических решений (задачи о течении вязкопластического материма между двумя плоскостями и в круглой трубе), а также путем сравнения с известными численными решениями Сравнение показало высокую степень близости результатов Установлена устойчивость результатов расчетов при изменении основных вычислительных параметров алгоритма (число узлов сетки, максимальные и минимальные размеры пространственных и временных шагов)
Используемые методы В работе используются конечно-разностные численные методы, методы линейной алгебры, методы уравнений математической физики и методы теоретической механики
Научная и практическая ценность работы
1 Создан метод с помощью которого можно решать и исследовать новые, ранее не исследованные одномерные течения вязкопластических сред
2 Метод может быть применен для решения пространственно одномерных двухфазных задач Стефана (задача о кристаллизации промерзании и тд )
3 На основе разработанного алгоритма можно создать универсальный вычислительный комплекс для решения пространственно одномерных задач типа Стефана
4 С помощью разработанного метода можно проводить расчеты конкретных, важных для практики задач, например, о вязкопластических течениях в каналах трубах, о кристаллизации в слитках и т д
Личный вклад соискателя Основные результаты работы получены автором самостоятельно Работы [5 - 8] опубликованы без соавторов Постановки решаемых в диссертационной работе задач выполнены совместно с научным руководителем автора д ф -м н , проф Д В Георгиевским Разработка алгоритма предлагаемого метода, его программная реализация и тестирование, а также решение конкретных задач выполнены соискателем самостоятельно
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на следующих конференциях
• Научная конференция "Ломоносовские чтения'', секция механики, МГУ им М В Ломоносова, 2006 - 2008 гг
• Научная конференция "Ломоносов-2008', секция механики, МГУ им М В Ломоносова 2008 г
• Научная конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела', Институт механики сплошных сред УрО РАН Пермь, 2008 г
Кроме того результаты докладывались и обсуждались на семинарах
• Аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ
им МВ Ломоносова под руководством д ф -м н , ироф БЕ Победри, 2003 - 2008 I г
• Научно-исследовательский семинар "Амуальные проблемы геометрии и механики' па механико-математическом факультете МГУ
им М В Ломоносова под руководством д ф -м н , проф Д В Геор[ невского, д ф -м н М В Шамолина д ф -м н , проф С А Агафонова, 2008 г
• Научно-исследовательский семинар кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова под руководством д ф -м п , проф И А Кийко, 2008 г
• Научно-исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова под руководством академика РАН проф Е И Шемякина, 2008 г
• Научно-методический семинар для студентов и аспирантов МГТУ
им Н Э Баумана под руководством д ф -м н , проф С А Агафонова, д тн , проф В И Ванько дтн проф В В Феоктистова, 2006 - 2008 гг
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения трех глав, заключения приложения и списка литературы из 130 наименований Работа содержит 74 рисунка Общий объем диссертации - 125 страниц
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приводится общая характеристика работы, включающая в себя обоснование актуальности работы и ее научной новизны Излагается содержание диссертации
В первой главе диссертации обсуждаются физико-механические свойства вязкопластического материала, определяющие соотношения (математические модели вязкопластической среды) постановка начально-краевой задачи, проведен обзор литературы по теме диссертации
Также в первой главе рассматриваются две задачи о течении вязкопластической среды В задаче о течении вязкопластического материала над вращающейся плоскостью (задача Кармана) исследуется стационарный осе-симметрнчный режим Аналитически найдены характерные точки асимптотических границ жестких зон при стремлении безразмерного предела текучести к нулю Исследование задачи о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости основано на сведении классической постановки к системе двух фу нкциональных уравнений решение которых может быть осуществлено численно Получено аналитическое выражение нижней оценки координаты границы жесткой зоны
Во второй главе рассматривается задача о течении вязкопластического материала в кольцевой области Одна из сторон кольца свободна от напряжений на другой поддерживается некоторое изменяющееся во времени касательное напряжение Градиент давления отсутствует, в начальный момент среда покоится
Сформулируем основные результаты, полученые во второй главе Математическая постановка задачи В процессе развития течения в кольце формируются области, в которых материал находится либо в состоянии вязкопластического течения (объединение таких областей обозначим П/(£)), либо движется как твердое тело (объединение таких областей обозначим
Требуется найти функции у(г, £), <т(г, £), рп(£), гг. = 1,2, , N удовлетворяющие
- в областях вязкопластического течения - уравнению движения и определяющему соотношению
ВД)
в жестких зонах - ус юшпо постоянства уиювоП скорости
на i раницах кольца - краевым условиям
а{R,t)=S(t), a{R+ l,i) = О, на разделительных линиях - двум ус юипнм сопряжения
<r{Qn,t) = А„,
dv dt
dv dt
и начальным условиям
Qj(t = 0) = 0, u(r,0)=0
(3)
(4)
(5)
(6)
Переменная Ап является характеристикой разделительной линии и может иметь два значения +1 и —1 Конкретное значение определяется в момент зарождения линии и далее остается постоянным до момента исчезновения линии Условие (4) отражает тот факт, что на границах раздела модель касательного напряжения равен единице условие (5) отражает факт непрерывности ускорения на разделительных линиях Используются обозначения г - радиус (г е [Л, R + 1]) t - время, v(r, t) - скорость, a(r,t) - напряжение, g„(t) - положение разделительных линий Все переменные и функции являются безразмерными
Показано, что условие (5) можно записать в виде
да дг
дат дг
(7)
где функция <тг(г, i) удовлетворяет в Г2г уравнению
д2аг \дат аг
~яТ + ~1Г~ ~ 4~1" = геПг аг1 г ог т
Показано, что задача (1) - (6) сводится к нахождению напряжения, удовлетворяющего в области вязкопластического течения уравнению
(8)
д2а Ida а да „ + 4^г = —, r£üf
(9)
дг2 г дг г2 <9£ условиям на разделительных линиях (4) и (7), краевым условиям (3), и границ раздела между областями
С вычислительной точки зрения удобно рассматривать функции <т(г, t) и <тг(г, t) как части единой функции определенной при г € П/ U Пг
Из (8) и (9) видно, что при переходе из области П/ в Г2Г меняются не только коэффициенты уравнения (как в классической задаче Стефана) а меняется сам тип уравнения В литературе такие задачи обычно называют задачами типа Стефана
Если известны законы изменения границ Q2i{t) и £>2i+i(0 (' = 0,1, [N/2]) жестких зон, входящих в объединение йг, и напряжения на их границах U2i{t) и U2[+1(t), то решение уравнения (8) в каждой из таких зон можно выписать в аналитическом виде ar(r, t) = ar(r, e2i{t), U2i{t), ß2i+i{t), U2i+i{t))
Построение сегпки Область решения D = {(г,t)\r 6 iir(jn/, t > 0} покрывается сеткой U(rt^j) по меРе решения задачи, одновременно с построением решения Сетка строится существенно неравномерная - временные шаги Tj = tj — ij-i могут меняться при переходе от одного временного слоя к другому, пространственные шаги hJt = rj — j непостоянны как в пределе одного временного слоя, так и при переходе с одного временного стоя на другой Границы кольца и все разделительные линии проходят через узлы
Постановка на сетке Дифференциальному уравнению, начальным и граничным условиям ставятся в соответствие их разностные аналоги При этом дифференциальное уравнение в области вязкопластического течения аппроксимируется неявной схемой треугольников
2cj+lhj + 2aJt_lh3t+1 - 2a[{h\ + hj+l) aj+1 - oj oj - 1
k>2l<i<U2l_x, 1 = 1, [N/2], (10)
каждому внутреннему узлу в жестких зонах ставится в соответствие соотношение
= ffr{ri,ß2i, hl, 021+1,^21+1), Ц1+1 < г < k>2l, г = 0,1, [N/2] (11)
В узлах, лежащих на внутренней границе вязкопластического кольца, задаются узловые значения
<>о = ад,
а в разделительных узлах - две группы условий сопряжения первая группа
al=An, п = 1,2, , N, (12)
в ю рая группа Ап — (Ту _ 1
"^'Л^иУи ^пУи .А„_1), если п - нечетное,
и '■v к>„' к>п
к'п
а3 - Хп
-= - хп, есл" п ~ четное (13)
к^ + 1
Штрихом обозначена производная по первому аргументу
Разностное уравнение (10) и первая 1руппа условий сопряжения (12) записываются в виде единой неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
где Е^"1' = ^сг™, _ вектор узловых значений напряжения в узлах
т-го слоя Матрица А^ = (ач) является блочной трехдиагональной Неизвестными величинами на т-м шаге являются напряжения в узлах сетки и величины пространственных шагов (временные шаги задаются и, в случае необходимости, корректируются по заданному правилу) Необходимо найти такое решение системы (14), которое удовлетворяет второй группе условий сопряжения (13)
Важным результатом диссертационной работы является предлагаемый метод решения одномерных нестационарных задач вязкопластического течения В методе используется понятие версии Под версией понимается высказывание о номерах разделительных узлов на каждом временном шаге и векторе пространственных шагов Рассматриваются только допустимые версии Версия допустима, если номер разделительного узла при переходе со слоя на слой либо не изменился, либо изменился на 1 в большую или меньшую сторону, а вектор шагов #(т) входит в допустимое множество шагов Н^п, которое формируется следующим образом
- для разделительной линий с нечетными номерами (п =1,3, ) полагаем
- т < И"1'1 Ьт — Ит~1 4- Л"1-1 — т
- для разделительной линий с четными номерами (п = 2,4, ) полагаем
ит _ < ит-1 ит _ ит-1 , 1
пк™+1 — хп ^ пкт-1+р пк™ ~ к™+1 ^ "к™
Остальные шаги берутся с предыдущего слоя
На рисунке 1 представлена блок-схема алгоритма решения системы (14)
Рис 1 Блок-схема алгоритма численного решения
Алгоритм, Задаем временной шаг, выдвигаем версию В рамках выдвинутой версии элементы матрицы лм и столбца В(т' выражаются через некоторые известные характеристики сетки и течения на предыдущем временном слое и неизвестные пространственные шаги, обозначенные через х±, хг, Поэтому, решив СЛАУ, получим решение как функцию этих переменных (многие системы символьной математики, например, МАРЬЕ и МаЛета^са позволяют получать решение СЛАУ в аналитическом виде), те
а(т) _ £Г(т)(Хь Хъ г = 1^2, ,
Подставляя эти функции в систему из вторых условий сопряжения (13) и решая ее, получаем конкретные значения хх*2, , х*к пространственных шагов /г£т, Если соответствующий вектор пространственных
шагов принадлежит допустимому множеству, то версию признаем верной, а соответствующие напряжения - истинными напряжениями, если версия неверна - берем следующую Если среди версий не обнаружено верной, то то корректируем временной шаг в сторону уменьшения и переходим в начало алгоритма
Метод апробирован Приведены решения задач, в которых возникает одна, две и три линии раздела Проанализирована динамика соответствующих нолей скорости и напряжения Исследованы вопросы перехода из одною режима течения в другой а также зарождения, слияния и исчезновения линий раздета
Рисунки 2-4 иллгострируют одну из решенных задач, в которой на протяжении некоторого промежутка времени существуют три разделительные линии Участки графиков напряжений па рисунке 3, которые располагаются в полосе — 1 < а < 1, соответствуют поведению вспомогательной функции оу(г, £)
Помимо задачи о движении вя жоиластическо! о материала в кольце со свободной внешней границе в диссертационной работе решена задана со свободной внутренней границей Постановка этой задачи отличается от рассмотренной выше граничными условиями Между свободной и напряженной границами имеются принципиальные различия В частности, вблизи свободной границы материал всегда находится в твердом состоянии а линии раздела зарождаются только на напряженной границе Эти факты существенным образом используются в подробно описанном выше алгоритме Поэтому использовать его для решения задачи со свободной внутренней границей, нельзя
В диссертационной работе возникшее затруднение решается с помощью конформного отображение кольца на себя, при котором границы меняются местами Проведено сравнение с задачей со свободной внешней границей Рассмотрен случай, когда динамика разделительных линий существенно различна
В третьей главе диссертации предлагаемым методом решены две задачи о течении между двумя пластинами, одна из которых свободная дру гая -напряженная, и о продольном течении в круглой движущейся цилиндрической трубе В обеих задачах предполагаются ненулевые начальные условия и имеется градиент давления Решено большое количество частных задач, отвечающих различному виду зависимости градиента давления от времени и различным начальным условиям
Решение задач получено способом, аналогичным способу решения задачи о течении материала в кольцевом пространстве Сначала приводится математическая постановка задачи Затем выводится разностный аналог и формируется система уравнений Программа для ЭВМ модифицирована с учетом изменений в постановке
-02-Си—\-_ОЯ-
Рис 2 Граничная функция ¿>(£) - ломаная проведенная через точки с координатами (0,0), (0 35,10), (0 65,-10) и (1,0), Я = 100, динамика разделительных линий Черная линия - первая разделительная линия, серая - вторая тонкая - третья
а
10- 4=.302
5-
0 0 02 04 Об 08 у
-5-
-10-
1=.302
О
10-
0 -5-10-со
^.402
О 02 04 06 08
0 02 04 06 08 V ' '_I_1_ *
-0 01-0 02-0 0Э--0 04
1=.402
t=.5
02 04 06 08
t=.5
02 04 06 08 V _I_I_I_L J
a
10-
t=.541
0*"" 02 04 06 08
t=.S41
t=.558
0
t=.558
a
10-
-10-' (0
t=.563
0 4 0 6 0 8
t=.563
30 02 04 06 08 V < I I J
^.695
О
10-
1=1.00
о ог^ТП-=ГГ
СО
0 01-
1=1.00
О 02 04 06 08 V —ь—— ',1 "
Рис 3 Распределение напряжения и угловой скорости по сечению кольца Серым цветом отмечены жесткие зоны
Рис 4 Зависимость угловых скоростей границ от времени Тонкая линия - внешняя граница, толстая - внутренняя
Особо выделены случаи, в которых имеклся точные автомодельные решения (в работах А Г Петрова получен и исследован широкий ктдес автомодельных решений в задачах о течении в неподвижной трубе и меж^1у двумя неподвижными птастинамн, ГТ Гасапов и АХ Мирзаджанзаде по пучили автомодельное решение для движущейся трубы) Два из этих решений использованы в диссертации для тестирования метода
Анализ численных решений тестовых задач показал что расчетные зависимости размеров жестких зон от времени с высокой степенью точности совпадают с теоретическими Также хорошо совпадают теоретические и расчетные поля скоростей и напряжений и другие характеристики течений
На рисунках 5-7 приведены начальное распределение напряжений и график градиента давления в аналитическом решении А Г Петрова (течение между неподвижными плоскостями), а так же расчетные (толстые линии) и теоретические зависимости (тонкие линии) размера и скорости ядра от времени поля напряжения и скорости для некоторых моментов времени Поскольку графики расчетов и соответствующих теоретических зависимостей визуально неразличимы, то для наглядности линии теоретических зависимостей продлены за границы расчетных линий
Хорошее совпадение результатов расчетов тестовых задач с известными аналитическими решениями является основанием для использования метода в тех случаях, когда аналитическое решение неизвестно
В задаче о торможении вязкопластического материала в круглой трубе дано сравнение с численными результатами других авторов, проведенными с введением регуляризованной модели Папанистоса Установлено хорошее совпадение результатов Рассчитана эволюция границ жестких зон и скорости течения для различных значений числа Бингама Обнаружен и проинтерпретирован эффект образования двух разделительных линий
Несколько примеров численного решения неавтомодельных задач течения между двумя неподвижными пластинами и продольного течения в круглой движущейся цилиндрической трубе завершают третью главу
В приложении приведена программа расчета вязкопластического течения в кольцевой области, внешняя граница которой свободна от напряжений, а на нижней задается изменяющееся во времени напряжения Программа написана на яыке программирования системы Maple 10 Дан обширный ко-ментарий к программе
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д ф-м н , проф Дмитрию Владимировичу Георгиевскому за ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку при преодолении трудностей
1.0-
0.5-
0.0"
(а=0.2)
(а=0.2)
Рис. 5. Начальное распределение напряжения с {у, ¿о) и градиент давления Р(£).
1.0"
0.5"
о.о-
(а=0.2)
(-V■),
2-
(а=0.2)
Рис. 6. Зависимости размера ядра и скорости ядра от времени.
(а=0.2)
1.0-
0.5-
0.0-
(а=0.2)
4 (-V)
Рис. 7. Профили напряжения и скорости для моментов времени £ 0.001, 0.5, 1.0, 2 (кривые 1-4).
Основные результаты и выводы
1 Разработан численный конечно-разностный метод решения одномерных нестационарных задач вязкопластнческо1 о течения Метод является ори-гиналыюй авторской разработкой, универсален для указанного класса задач, отличается точностью и высокой скоростью расчетов Метод реализован в виде программного продукта Это позволяет производить расчеты конкретных задач Программы для реализации решения той пли иной задачи из общего класса имеют незначительные отличия
2 Метод протестирован на задачах имеющих точные автомодельные решения (задача о ючении вязконласглчсчкою материала между двумя плоскостями и в круглой трубе) Во всех случаях анализ численною решения показал высокую степень точности совпадения расчетных и теоретических характеристик решения
3 Установлена устойчивость результатов расчетов при изменении основных вычислительных параметров алгоритма (число узлов сетки, максимальные и минимальные размеры пространственных и временных шагов)
4 Решена серия задач, не имеющих автомодельных решений и ранее другими авторами не исследовавшихся, а именно, о течении вязкопластическо-го материала в кольцевой области, о течении между двумя пластинами и о продольном течении в движущейся цилиндрической трубе Рассматривались различные профили начального напряжения и скорости учитывался перепад давления Построены поля напряжений и скоростей, исследована эволюция границ разделов
5 В задаче о течении вязкопластического материала в кольцевом пространстве установлено существование режимов течения с двумя и тремя границами разделов областей течения и жестких зон Исследованы вопросы перехода из одною режима течения в другой, а также зарождения, слияния и исчезновения линий раздела
6 В задаче о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости получено аналитическое выражение для нижней оценки координаты границы жесткой зоны В задаче о стационарном течении вязкопластического материала над вращающейся плоскостью аналитически найдены характерные точки асимптотических границ жестких зон при стремлении безразмерного предела теку чести к нулю
По теме диссертации опубликованы следующие работы
1 Георгиевский Д В , Окулова Н Н Диффузия разрыва касательного напряжения на границе полуплоскости// Тезисы докладов Научная конференция "Ломоносовские чтения" Секция механики М Изд-во Моек ун-та, '2006 С 48
Постановка задачи принадлежит Д В Георгиевскому Решение задачи приналежит Н Н Окуловой
2 Георгиевский Д В , Окулова Н Н О вязкопластическом течении Кармана//Вести Моек ун-та Сер 1, Математика Механика 2002. № 5 С. 45-49
Общая постановка задачи, постановка задачи первого приближения по пределу текучести и ключевые идеи исследования принадлежат Д В Георгиевскому Часть работы, посвященная задаче Кармана для вязкой жидкости а также поиск характерных точек граничных поверхностей жестких зон в вязкопластическом аналоге задачи Кармана выполнены совместно Д В Георгиевским и Н Н Окуловой
3 Георгиевский Д В , Окулова Н Н Численно-аналитическое исследование движения границ жестких зон в нестационарных задачах вязкопласти-ческого течения// Тезисы докладов Научная конференция "Ломоносовские чтения" Секция механики М Изд-во Моек ун-та, 2008
Постановка задачи выполнена Н Н Окуловой и Д В Георгиевским совместно Остальная часть работы сделана Н Н Окуловой самостоятельно
4 Георгиевский Д В Окулова Н Н Численно-аналитический метод решения одного из вариантов задачи Стефана возникающей в нестационарной вязкопластичности// Тезисы докладов Научная конференция "Ломоносовские чтения" Секция механика М Изд-во Моек ун-та, 2007 С 55-56
Постановка задачи и аналитическое решение в жесткой зоне выполнены Н Н Окуловой и Д В Георгиевским совместно Остальная часть работы сделана Н Н Окуловой самостоятельно
5 Окулова H.H. Об одном методе решения задачи о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости// Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика Механика 2007 № 4. С 6267
О Окулова Н Н Тестовые примеры расчета нестационарных вязконласги-ческих течений// Тезисы докладов Научная конференция "Ломоносов-2008" Секция механики 2008
7 Окулова Н Н Числешю-аналитическое исследование задачи о распределении напряжений в вязкопластическои полосе// Вестн Сам ун-та Естественнонаучная серия 2007 № 6 С 78-84
8 Окулова Н Н Численный метод решения задач одномсрно1 о нестационарного течения вязкопластическою материала// Тезисы докладов Научная конференция "Пробтемы нелинейной механики деформируемого твердого тела" Пермь 2008
Подписано в печать 22 09 2008 Формат 60x88 1/16 Объем 1 пл Тираж 150 экз Заказ № 748 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г Москва, Ленинские горы, д 1 Главное здание МГУ, к А-102
Введение
1 Вязкопластическая среда. Обзор литературы.
1.1 Вязкопластическая среда.
1.2 Обзор литературы.
1.2.1 Основные монографии.
1.2.2 Метод регуляризации определяющих соотношений
1.2.3 Методы, использующие вариационные неравенства
1.2.4 Сдвиговое течение вязкопластической среды
1.2.5 Сдавливание вязкопластического слоя между плоскостями.
1.2.6 Задачи об ударе.
1.2.7 Методы решения задач со свободной границей
1.3 Течение вязкопластического материала над плоскостью
1.3.1 Задача Кармана и её решение.
1.3.2 Задача первого приближения по пределу текучести.
1.3.3 Характерные точки поверхности Е.
1.4 Диффузия вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости
1.4.1 Постановка задачи.
1.4.2 Вспомогательная задача.
1.4.3 Эквивалентная постановка задачи о диффузии вихревого слоя в полупространстве.
1.4.4 Нижняя оценка h(t).
2 Задача о течении вязкопластического материала в кольцевой области
2.1 Постановка задачи.
2.1.1 Описание задачи.
2.1.2 Условия на разделительных линиях.
2.1.3 Математическая формулировка задачи.
2.2 Разностная схема.
2.2.1 Построение сетки.
2.2.2 Формирование СЛАУ
2.3 Алгоритм численного решения.
2.4 Динамика разделительных линий
2.4.1 Режим движения без линии раздела.
2.4.2 Режим движения с одной линией раздела
2.4.3 Режим движения с двумя линиями раздела
2.4.4 Режим движения с тремя линиями раздела
2.5 Результаты расчётов.
2.5.1 Распределение напряжения по сечению кольца
2.5.2 Поле скоростей и скорости движения границ
2.6 Движение в кольце со свободной внутренней границей
2.6.1 Движение в кольце со свободной внутренней границей.
2.6.2 Движение в плоском канале.
2.7 Программная реализации метода.
3 Задачи о течении вязкопластического материала между двумя пластинами и о продольном течении в круглой трубе
3.1 Течение вязкопластического материала между двумя пластинами.
3.1.1 Описание задачи.
3.1.2 Условия на разделительных линиях.
3.1.3 Математическая формулировка задачи
3.1.4 Автомодельное решение.
3.1.5 Тестирование численного метода.
3.1.6 Примеры численных решений неавтомодельных задач.
3.2 Другие виды граничных и начального условий.
3.3 Постановка задачи.
3.3.1 Условия на разделительных линиях.
3.3.2 Математическая формулировка задачи.
3.3.3 Разностная схема.
3.3.4 Автомодельное решение.
3.3.5 Тестирование численного метода.
3.3.6 Примеры численного решения некоторых неавтомодельных задач.
3 ак л ючение
В настоящей диссертационной работе исследуются задачи нестационарного течения вязкопластической среды. Разработан численный конечно-разностный метод решения одномерных нестационарных задач вязкопластического течения. Метод является оригинальной авторской разработкой, универсален для указанного класса задач, отличается точностью и высокой скоростью расчётов. Суть его заключается в том, что разностная схема служит для определения не только узловых значений искомой функции (напряжения), но и для определения параметров сетки (временных и пространственных шагов). Область решения покрывается сеткой по мере решения задачи, одновременно с построением решения. Сетка строится существенно неравномерная - временные шаги могут меняться при переходе от одного временного слоя к другому, пространственные шаги непостоянны как в пределе одного временного слоя, так и при переходе с одного временного слоя на другой. Границы кольца и все разделительные линии проходят через узлы.
Метод реализован в виде программного продукта. Это позволяет производить расчёты конкретных задач. Программы для реализации решения той или иной задачи из общего класса имеют незначительные отличия.
Метод протестирован на задачах имеющих точные автомодельные решения (задача о течении вязкопластического материала между двумя плоскостями и в круглой трубе). Во всех случаях анализ численного решения показал высокую степень точности совпадения расчётных и теоретических характеристик решения.
Установлена устойчивость результатов расчётов при изменении основных вычислительных параметров алгоритма (число узлов сетки, максимальные и минимальные размеры пространственных и временных шагов).
Решена серия задач, не имеющих автомодельных решений и ранее другими авторами не исследовавшихся, а именно, о течении вяз-копластического материала в кольцевой области, о течении между двумя пластинами и о продольном течении в движущейся цилиндрической трубе. Рассматривались различные профили начального напряжения и скорости, учитывался перепад давления. Построены поля напряжений и скоростей, исследована эволюция границ разделов.
В задаче о течении вязкопластического материала в кольцевом пространстве установлено существование режимов течения с двумя и тремя границами разделов областей течения и жёстких зон. Исследованы вопросы перехода из одного режима течения в другой, а также зарождения, слияния и исчезновения линий раздела.
Краткое содержание диссертации.
Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения и списка литературы.
В первой главе диссертации обсуждаются физико-механические свойства вязкопластического материала, определяющие соотношения (математические модели вязкопластической среды), постановка начально-краевой задачи, проведён обзор литературы по теме диссертации.
Также в первой главе рассматриваются две задачи о течении вязкопластической среды. В задаче о течении вязкопластического материала над вращающейся плоскостью (задача Кармана) исследуется стационарный осесимметричный режим. Аналитически найдены характерные точки асимптотических границ жёстких зон при стремлении безразмерного предела текучести к нулю. Исследование задачи о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости основано на сведении классической постановки к системе двух функциональных уравнений, решение которых может быть осуществлено численно. Получено аналитическое выражение нижней оценки координаты границы жёсткой зоны.
Во второй главе рассматривается задача о течении вязкопластического материала в кольцевой области. До начального момента времени материал принимается покоящимся и ненапряжённым. Далее, при t > 0 к внутренней границе кольца прикладывается касательное напряжение и в вязкопластическом материале возникает распределение напряжений. Внешняя граница принимается свободной от напряжений. Градиент давления отсутствует. Ввиду симметрии геометрии области (кольцо) и произвольности граничной функции касательного напряжения, описанная задача является одномерной нестационарной задачей течения вязкопластического материала. Напряжение и скорость имеют по одной отличной от нуля координате (обозначаемым о vl v). Область решения Г2 = {(г, £)}, где г - полярный радиус, t - время. В результате развития течения материал разделяется на области, где ведёт себя либо как твёрдое тело, либо как вязкопластическое. В задаче требуется определить количество N разделительных линий gn(t) между областями, законы изменения их формы и положения, распределение скоростей v(r,t) и напряжений cr(г, t) в областях вязкопластического течения.
Первый параграф второй главы посвящён формулировке задачи. Осуществляется переход к безразмерным переменным и масштабирование. Приводится математическая формулировка начально-краевой задачи. Искомые функции должны удовлетворять: в области вязкопластического течения - уравнению движения и определяющим соотношениям вязкопластической среды; в жёстких зонах - условию постоянства угловой скорости. Ставятся краевые условия на границах кольца; на разделительных линиях требуется непрерывность напряжений и ускорений. В начальный момент времени среда принимается покоящейся с нулевым распределением напряжений.
Относительно напряжения задача сводится к решению линейного дифференциального уравнения второй степени в частных производных. В области течения это уравнение параболического типа (уравнение теплопроводности), в области жёсткой зоны - элиптического типа. Итак, в области решения меняются не только коэффициенты уравнения (как в классической задаче Стефана), меняется сам тип уравнения и граница раздела областей подлежит определению. В литературе такие задачи обычно называют задачами типа Стефана [68], [73].
Во втором параграфе второй главы поставленная в первом параграфе задача формулируется в конечных разностях.
Область решения {г, t} покрывается сеткой по мере решения задачи, одновременно с построением решения. Сетка строится существенно неравномерная - временные шаги могут меняться при переходе от одного временного слоя к другому, пространственные шаги непостоянны как в пределе одного временного слоя, так и при переходе с одного временного слоя на другой. Границы кольца и все разделительные линии проходят через узлы.
Дифференциальному уравнению, начальным и граничным условиям ставятся в соответствие разностные аналоги. При этом дифференциальное уравнение в области вязкопластического течения аппроксимируется неявной схемой треугольников.
Разностное уравнение и первая группа условий сопряжения записываются в виде единой неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Матрица системы является блочной трёхдиа-гональной. Неизвестными величинами на т-м шаге являются напряжения в узлах сетки и величины пространственных шагов (временные шаги задаются и, в случае необходимости, корректируются по заданному закону). Необходимо найти такое решение системы, которое удовлетворяет второй группе условий сопряжения.
В третьем параграфе второй главы подробно описан алгоритм численного решения. Пусть на шаге т — 1 решение найдено (и сетка, соответственно, построена). Входим в шаг т. Задаём временной шаг. После этого необходимо сформировать пространственный шаг, который теоретически может быть любым. Для ограничения перебора вводится допустимое множество версий и допустимое множество шагов. Суть в следующем. Наша задача максимально сохранить информацию с предыдущих шагов, поэтому принимаем, что все пространственные шаги, кроме примыкающих к разделительным узлам, берутся с предыдущего временного слоя. Итак, для каждой разделительной линии имеется три версии относительно её положения на данном временном шаге. Версии друг с другом не пересекается и, следовательно, только одна является верной. Последовательно проверяем одну версию за другой. Для каждой версии решаем системы уравнений, в результате находим напряжение в узловых точках, как функцию неизвестных, примыкающих к разделительным узлам пространственных шагов. Подставляя полученные решения во вторую группу условий сопряжения, получаем конкретные значения шагов. Проверяем версию на истинность. Если ни одна из версий не подтверждается, то корерктируем временной шаг и начинаем ал горим заново. В результате перебора версий и, возможно, корректировки временного шага находим истинную версию. За номера разделительных узлов на m-ом временном слое принимаем те, которые фигурируют в формулировке этой версии. Итак, все, что требовалось найти на m-ом временном слое, найдено: определены номера разделительных узлов, значения всех пространственных шагов, узловые значения напряжения. Переходим на следующий слой.
Четвёртый параграф второй главы посвящён исследование динамики образования и развития разделительных линий. Описаны режимы движения материала с одной, двумя и тремя разделительными линиями. В случае движения без линии раздела весь вся область движется как твёрдое тело. Написана программа, реализующая алгоритм предлагаемого метода.
В пятом параграфе представлены результаты расчётов напряжения, скорости и угловой скорости по сечению кольца.
В параграфе шесть кратко рассмотрена задача о движении вязкопластического материала в кольце со свободной внутренней границей. Постановка этой задачи отличается от рассмотренной выше задачи граничными условиями. Между свободной и напряженной границами имеются принципиальные различия. В частности, вблизи свободной границы материал всегда находится в твердом состоянии, а линии раздела зарождаются только на напряженной границе. Эти факты существенным образом используются в подробно описанном выше алгоритме. Поэтому использовать алгоритм, созданный специально под задачу со свободной внешней границей, для решения задачи со свободной внутренней границей, нельзя.
Преодолеть возникшее затруднение можно двумя способами. Во-первых, создать алгоритм, специально под задачу со свободной внутренней границей. Это несложно сделать по аналогии с рассмотренным выше алгоритмом, внеся в него ряд изменений. Во-вторых, можно воспользоваться тем обстоятельством, что существует конформное отображение кольца на себя, при котором границы меняются местами. Именно этот способ осуществлён в работе.
Проведено сравнение с задачей со свободной внешней границей. Показаны случаи, когда динамика разделительных линий существенно различна.
В третьей главе диссертации предлагаемым методом решены две задачи: о течении между двумя пластинами, одна из которых свободная, другая - напряженная, и о продольном течении в круглой движущейся цилиндрической трубе. В обеих задачах предполагаются ненулевые начальные условия и имеется градиент давления. Решено большое количество частных задач, отвечающих различному виду зависимости градиента давления от времени и различным начальным условиям.
Решение задач получено способом, аналогичным способу решения задачи о течении материала в кольцевом пространстве. Сначала приводится математическая постановка задачи. Затем выводится разностный аналог и формируется система уравнений. Программа для ЭВМ модифицирована с учётом изменений в постановке.
Особо выделены случаи, в которых имеются точные автомодельные решения (в работах А.Г. Петрова получен и исследован широкий класс автомодельных решений в задачах о течении в неподвижной трубе и между двумя неподвижными пластинами; Г.Т. Гасанов и А.Х. Мирзаджанзаде получили автомодельное решение для движущейся трубы). Два из этих решений использованы в диссертации для тестирования метода.
Анализ численных решений тестовых задач показал, что расчётные зависимости размеров жёстких зон от времени с высокой степенью точности совпадают с теоретическими. Также хорошо совпадают теоретические и расчётные поля скоростей и напряжений и другие характеристики течений.
Несколько примеров численного решения неавтомодельных задач течения между двумя неподвижными пластинами и продольного течения в круглой движущейся цилиндрической трубе завершают третью главу.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
В приложении приведена программа расчета вязкопластического течения в кольцевой области, внешняя граница которой свободна от напряжений, а на нижней задается изменяющееся во времени напряжения. Программа написана на языке программирования системы Maple 10. Дан обширный комментарий к программе.
По результатам исследования опубликованы работы [21]-[24] и [56-59].
Апробация работы
Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на следующих конференциях:
• Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006 - 2008 гг.
• Научная конференция "Ломоносов-2008", секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008 г.
• Научная конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела", Институт механики сплошных сред УрО РАН. Пермь, 2008 г.
Кроме того, результаты докладывались и обсуждались на семинарах:
• Аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри, 2003 - 2008 гг.
• Научно-исследовательский семинар "Актуальные проблемы геометрии и механики" на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского, д.ф.-м.н. М.В. Шамолина, д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова, 2008 г.
• Научно-исследовательский семинар кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко, 2008 г.
• Научно-исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика РАН проф. Е.И. Шемякина, 2008 г.
• Научно-методический семинар для студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова, д.т.н., проф. В.И. Ванько, д.т.н., проф.
В.В. Феоктистова, 2006 - 2008 гг.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.
1. Разработан численный конечно-разностный метод решения одномерных нестационарных задач вязкопластического течения. Метод является оригинальной авторской разработкой, универсален для указанного класса задач, отличается точностью и высокой скоростью расчётов. Метод реализован в виде программного продукта. Это позволяет производить расчёты конкретных задач. Программы для реализации решения той или иной задачи из общего класса имеют незначительные отличия.
2. Метод протестирован на задачах имеющих точные автомодельные решения (задача о течении вязкопластического материала между двумя плоскостями и в круглой трубе). Во всех случаях анализ численного решения показал высокую степень точности совпадения расчётных и теоретических характеристик решения.
3. Установлена устойчивость результатов расчётов при изменении основных вычислительных параметров алгоритма (число узлов сетки, максимальные и минимальные размеры пространственных и временных шагов).
4. Решена серия задач, не имеющих автомодельных решений и ранее другими авторами не исследовавшихся, а именно, о течении вязкопластического материала в кольцевой области, о течении между двумя пластинами и о продольном течении в движущейся цилиндрической трубе. Рассматривались различные профили начального напряжения и скорости, учитывался перепад давления. Построены поля напряжений и скоростей, исследована эволюция границ разделов.
5. В задаче о течении вязкопластического материала в кольцевом пространстве установлено существование режимов течения с двумя и тремя границами разделов областей течения и жёстких зон. Исследованы вопросы перехода из одного режима течения в другой, а также зарождения, слияния и исчезновения линий раздела.
6. В задаче о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости получено аналитическое выражение для нижней оценки координаты границы жёсткой зоны. В задаче о стационарном течении вязкопластического материала над вращающейся плоскостью аналитически найдены характерные точки асимптотических границ жёстких зон при стремлении безразмерного предела текучести к нулю.
Заключение
1. Аббасов А.А., Садыхов Б.О. Решение некоторых задач нестационарного прямолинейного движения вязко-пластичных жидкостей. Тр. АзНИИ бурнефти, вып. VII. Л., Недра, 1965.
2. Агаева С.Е. Нестационарное прямолинейное движение тиксо-тропной вязко-пластичной жидкости между двумя параллельными пластиноми// Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1966. № 5. С. 146-147.
3. Астрахан И.М. Нестационарное круговое движение вязкопла-стической жидкости, заключённой между двумя цилиндрами// Изв. ВУЗов. Нефть и газ. 1961. № 4. С. 73-76.
4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М.: Наука, 1969.
5. Бостанджиян С.А., Столиц A.M. Сложный сдвиг вязко-пластической жидкости между двумя параллельными пластинами// Теоретическая и инструментальная реология. Минск, 1970. С. 107-118.
6. Будак Б.М., Соловьёва Е.М., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана/ / Ж. Вычислительной математики и математической физики. 1965. Т.5. № 5. С. 828-840.
7. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во МГУ, 1987.
8. Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностный метод решения двухфазной задачи Стефана// Ж.Вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. № 5. С. 874-886.
9. Виноградов Г.В., Мамаков А.А., Павлов В.П. Течение аномально-вязких систем при действии двух чистых сдвигов во взаимно-перпендикулярных направлениях// Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. № 2. С. 362-365.
10. Вишняков В.И., Макаров A.M. Нестационарное движение вяз-копластичной среды над бесконечной пластиной // Коллоид, журн. 1973. Т. 35. № 1. С. 3-8.
11. Воларович М.П. Исследование реологических свойств дисперсных систем// Коллоид, журн. 1954. Т. 16. № 3. С. 227-240.
12. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУим. Н.Э.Баумана, 2002.
13. Гаипова А.Н. Разностный метод решения задачи об ударе вязкопластического стержня о жёсткую преграду// Инженер, журн. МТТ. 1968. № 1. С. 128-130.
14. Гасанов Г.Т. Нестационарное движение вязко-пластичной жидкости между двумя цилиндрами// Докл. АН АзССР. 1962. Т. 18. № 10. С. 21-25.
15. Гасанов Г.Т., Гасанзаде Н.А., Мирзаджанзаде А.Х. Сдавливание вязкопластического слоя круглыми пластинами// ПМТФ.1961. № 5. С. 88-90.
16. Гасанов Г.Т., Мирзаджанзаде А.Х. Решение обратных задач нестационарного движения вязко-пластичной жидкости. ПМТФ.1962. № 5.
17. Георгиевский Д.В. Диффузия разрыва касательного напряжения на границе вязкопластической полуплоскости// ПММ. 2006. Т. 70 № 5. С. 884-892.
18. Георгиевский Д.В. Задача устойчивости квазилинейных течений относительно возмущений функции упрочнения// ПММ. 1999. Т. 63. № 5. 826-832.
19. Георгиевский Д.В. Некоторые неодномерные задачи вязкопла-стичности: жёсткие зоны и устойчивость// Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 61-78.
20. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вяз-копластических тел. М.: УРСС, 1998.
21. Георгиевский Д. В., Окулова Н. Н. О вязко пластическом течении Кармана// Вестник Моск. Унив. 2002. Сер. 1 "Математика и механика". № 5. С. 45-49.
22. Георгиевский Д.В., Окулова Н.Н. Диффузия разрыва касательного напряжения на границе полуплоскости// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механика. М.: Издательство Московского Университета, 2006. С. 48.
23. Гловински Р., Лионе Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир. 1979.
24. Гноевой А.В., Климов Д.М., Петров А.Г., Чесноков В.М. Плоское течение вязкопластичных сред в узких каналах с деформируемыми стенками// Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 2. С. 23-31.
25. Гноевой А.В., Климов Д.М., Петров А.Г., Чесноков В.М. Течение вязкопластической среды межу круглыми параллельными пластинами при их сближении и удалении// Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 1. С. 9-17.
26. Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Об одном методе исследования пространственных течений вязкопластичных сред// Изв. РАН. МТТ. 1993. № 4. С. 150-158.
27. Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Об уравнениях течения бингамовских сред// Изв. РАН. МТТ. 2001. № 6. С. 108114.
28. Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Основы теории течений бингамовских сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 272с.
29. Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Система уравнений, описывающая течение бингамовских пищевых сред. М.: ВНИ-ИМП, 1997. С. 182-188.
30. Гноевой А.В., Чесноков В.М. Бингамовская среда как объект исследования// Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 90-98.
31. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.
32. Гуткин A.M. Течение вязко-пластичной дисперсной системы на вращающемся диске// Коллоид, журн. 1960. Т. 22. № 5. С. 573575.
33. Дарьин Н.А., Мажукин В.И. Математическое моделирование задачи Стефана на адаптивной сетке // Дифференц. ур-ия. 1987. Т. 23. № 7. С. 1154-1160.
34. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. 1980. М.: Наука.
35. Ильюшин А.А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям// ПММ. 1954. Т. 18. № 3. С. 265-288.
36. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластичных тел // Учён. зап. МГУ. Механика. 1940. Вып. 39. с. 3-81.
37. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластического течения // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностр. 1958. № 2. С. 64-86.
38. Ишлинский А.Ю., Баренблатт Г.И. Об ударе вязко-пластичного стержня о жёсткую преграду// Докл. АН СССР. 1962. Т. 144. № 4. С. 734-737.
39. Ишлинский А.Ю., Баренблатт Г.И. Об ударе вязко-пластичного стержня о жёсткую преграду// ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 3.
40. Ишлинский А.Ю., Слепцова Г.П. К вопросу об ударе вязкопластического стержня о жёсткую преграду// Прикл. механика. 1965. Т. 1. № 2. С. 1-9.
41. Ким А.Х., Воларович М.П. Плоская задача о движении вяз-копластичной дисперсной системы мезду двумя плоскостями, составляющими острый угол// Коллоид, журн. 1960. Т. 22. № 2. С. 186-194.
42. Климов Д.М., Петров А.Г., Георгиевский Д.В. Вязкопластиче-ские течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание. М.: Наука, 2005. 394с.
43. Кузин П.А. Продольный удар по вязкопластическому стержню // Инженер, журн. МТТ. 1968. № 5. С. 94-97.
44. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.
45. Магомедов О.В., Победря Б.Е. Некоторые задачи вязкоупруго-пластического течения// Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1975. Вып. 4. С. 152-169.
46. Макаров A.M., Сальников В.Г. Нестационарное сдвиговое течение вязкопластической среды// Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1972. № 4. С. 133-137.
47. Макаров A.M., Сальников В.Г. Трусова Т.Ф. Обратная задача о нестационарном градиентном течении пластика Шведова-Бингама в плоском канале и цилиндрической трубе// Инж,-физич. журн. 1973. Т. 24. № 4. С. 725-729.
48. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений жёстко-вязкопластических сред. М.: Изд-во МГУ, 1971. 114с.
49. Мосолов П.П., Мясников В.П. О прямолинейных движениях идеально пластической среды// Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. № 3. С.541-544.
50. Мясников В.П. О сдавливании вязкопластического слоя жёсткими плитами// Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. № 4. С. 92-96.
51. Мясников В.П. Течение вязко-пластической среды при сложном сдвиге// Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1961. № 5. С. 76-87.
52. Никитин JI.B. Токбергенов Дж.Б. Взаимодействие с матрицей вязко-пластической динамически деформируемой нити// Изв. АН КазССР. Сер. физико-математич. 1974. № 3. С. 58-61.
53. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. М.: Изд-во МГУ, 1977. 373с.
54. Окулова Н.Н. Об одном методе решения задачи о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2007. № 4. С.62-67.
55. Окулова Н.Н. Тестовые примеры расчёта нестационарных вязкопластических течений//Тезисы докладов. Международный форум молодых учёных "Ломоносов-2008". Секция механика. 2008.
56. Окулова Н.Н. Численно-аналитическое исследование задачи о распределении напряжений в вязкопластической полосе// Вестн. Самар. ун-та. Естественнонаучная серия. 2007. № 6. С. 78-84.
57. Окулова Н.Н. Численный метод решения задач одномерного нестационарного течения вязкопластического материала// Тезисы докладов. Научная конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела". Пермь. 2008.
58. Петров А.Г. Плоская задача о выдавливании вязкопластичной среды параллельными пластинами под действием постоянной силы// ПММ. 1998. Т. 62. № 4. С. 608-617.
59. Петров А.Г. Точные решения краевой задачи о нестационарном течении вязкопластичной среды между двумя пластинами// ДАН. 1998. Т. 362. №3. С. 343-347.
60. Петров А.Г. Точные решения краевой задачи о нестационарном течении вязкопластичной среды между двумя пластинами// Изв. РАН МЖГ. 1999. № 2. С. 3-17.
61. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. 366 с.
62. Пэжииа П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир, 1968. 176 с.
63. Рейнер М. Десять лекций по теоретической реологии. M.-JL: ОГИЗ, Гостехиздат. 1947. 134 с.
64. Рейнер М. Деформация и течение. М.: ГНТИНиГЛ, 1963. 381 с.
65. Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. 224 с.
66. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967. 457 с.
67. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.
68. Сафрончик А.И. Вращение цилиндра с переменной угловой скоростью в вязкопластичной среде// ПММ. Т. 23. Вып. 6. 1959.
69. Сафрончик А.И. Неустановившееся течение вязко-пластичного материала в круглой трубе// ПММ. 24. Вып.1. 1960.
70. Сафрончик А.И. Неустановившееся течение вязко-пластичного материала между двумя параллельными стенками// ПММ. Т. 23. Вып. 5. 1959.
71. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2007. 7 изд.
72. Тихонов В.П., Гуляев С.А., Семенюта С.С. О разрыве слоя вяз-копластической жидкости между двумя поверхностями// Коллоид. журн. 1993. Т. 55. № 4. С. 104-109.
73. Токбергенов Дж.Б. Динамическое деформирование вязко-пластической нити// Изв. АН КазССР. Сер. физико-математ. 1973. № 1. С. 72-76.
74. Шапиро Г.С., Шачнев В.А. О динамическом поведении вязкопластического тела, обладающего необратимой вязкостью// Волны в неупругих средах. Кишинёв: Изд-во МолдССР, 1970. С. 215-220.
75. Шелухин В.В. Модель жидкости Бингама в переменных напряжение-скорость// Докл. РАН. 2001. Т. 377. № 4. С. 455-458.
76. А1 Khatib М.А.М., Wilson S.D.R. The development of Poiseuille flow of a yield-stress fluid// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2001. V. 100. P. 1-8.
77. Alexandrou A.N., Due E., Entov V. Inertial, viscous and yield stress effects in Bingham fluid filling of a 2-D cavity// J.Non-Newton. Fluid Mech. 2001. V. 96 P. 383-403.
78. Alexandrou A.N., Le Menn Ph., Georgiou G., Entov V. Flow instabilities of Herschel.Bulkley fluids// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2003. V. 116. P. 19-32.
79. Bercovier M., Engelman M., A finite element method for incompressible non-newtonian flows// J.Comp.Phys. 36. 1980. P. 313—326.
80. Bingham E. Fluidity and Plasticity. New York, 1922.
81. Bingham E.C., Green H. Paint, a plastic material and not a viscous liquid// Proc. Amer. Soc. Testing Materials. 1919. V. 11. № 19. P. 640.
82. Bird R.B., Dai G.C., Yarusso B.J. The rheology and flow of viscoplastic materials// Rev. Chem. Engng. 1983. V. 1. № 1. P. 1-70.
83. Bittleston S.H., Hassager 0. Flow of viscoplastic fluids in a rotating concentric annuls// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1992. V. 42. № 12. P. 19-36.
84. Blackery J., Mitsoulis E. Creeping motion of a sphere in tubes filled with a Bingham plastic material// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1997. V. 70. P. 59-77.
85. Chatzimina M., Georgiou G.C., Argyropaidas I., Mitsoulis E., Huilgol R.R. Cessation of Couette and Poiseuille flows of a Bingham plastic and finite stopping times// J. Non-Newton. Mech. 2005. V. 129 P. 117-127.
86. Chatzimina M., Xenophontos Ch., Georgiou G.C., Argyropaidas I., Mitsoulis E. Cessation of annular Poiseuille flows of Bingham plastics// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2007. V. 142. P. 135-142.
87. Cetina M., Krzyk M. Dvodimenzijsko modeliranje gibanja drobirskega toka v Logu pod Mangartom kot primer nenewtonska tekocine// Strojn. vestn. 2003. V. 49. № 3. S. 161-172.
88. Chhabra R.P., Uhlherr P.H.T. Static equilibrium and motion of spheres in viscoplastic liquids// Encyclopedia of Fluid Mechanics. V. 7. Rheology and Non-Newton. Flows. Houston: Gulf. Publ., 1988. P. 611-633.
89. Cochran W.G. The flow due to a rotating disk// Proc. Cambrige Phil. Soc. 1934. V. 30. P. 365-375.
90. Danos C., Dustens A. Rheometrie des ecoulements entre plateaux paralleles: Reflexions//European J. Mech. Engng. 1994. V. 39. № 2. P. 77-89.
91. Dapra I., Scarpi G. Start-flow of Bingham fluid in a pipe // Meccanica (Netherlands). 2005. 40. № 1. P. 49-63.
92. Dean E. J., Glowinski R., Guidoboni G., On the numerical simulation of Bingham visco-plastic flow: Old and New results// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2007. V. 142. P. 36-62.
93. Ionescu I.R., Sofonea M. Functional and numerical methods in viscoplasticity. Clarendon Press. N.-Y.: Oxford Univ. Press, 1993. 265 p.
94. Frigaard I.A. Super-stable parallel flows of multiple visco-plastic fluids// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2001. V. 100. P. 49—76.
95. Frigaard I.A., Crawshaw J.P. Preventing buoyancy-driven flows of two Bingham fluids in a closed pipe Fluid rheology design for oilfield plug cementing// J. of Engng. Math. 1999. V. 36. P. 327-348.
96. Gans R.F. On the flow of a yield strength fluid through a contraction// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1999. V. 81. P. 183-195.
97. Glowinski R. Numerical methods for Nonlinear Variational Problems. Springer-Verlag, New York, 1984.
98. Hammad K.J. The effect of hydrodynamic conditions on heat transfer in a complex viscoplastic flow field// Int. J. Heat Mass Transfer. 2000. V. 43 P. 945-962.
99. Huilgol R.R., Mena B. On the time estimate for start-up of pipe flows in Bingham fluid a proof of the result due to Glowinski, Lions and Tremolieres// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2000. 94. № 2-3. P. 113-118.
100. Karman Th. Uber laminare und turbulente Reibung// ZAMM. 1921. № 1. P. 233-252.
101. Kelly J.M., Wierzbicki T. Motion of circular visco-plastic plate subject to projective impact// ZAMP. 1967. B. 18. S. 236-246.
102. Khatyr R., Ouldhadda D., II Idrissi A. Viscous dissipation effects on the asymptotic behaviour of laminar forced convection for Bingham plastics in circular ducts// Int. J. Heat Mass Transfer. 2003. V. 46. P. 589-598.
103. Kolodner I.I. Free baundary problem for the heat equation wich applications of change of phase. Communications on pure and applied Mathematics. Vol.9. № 1. 1956.
104. Liu B.T., Muller S.J., Denn M.M. Convergence of a regularization method for creeping flow of a Bingham material about a rigid sphere// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2002. V. 102. P. 179-191.
105. MAPLE 9, Advanced Programming Guide. MapleSoft. Waterloo Maple Inc. 2003.
106. Matsoukas A., Mitsoulis E. Geometry effects in squeeze flow of Bingham plastics// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2003. V. 109. № 2-3. P. 231-240.
107. Mitsoulis E., Zisis Th., Flow of Bingham plastics in a lid-driven cavity// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2001. V. 101. P. 173—180.
108. Moyers-Gonzalez M.A., Frigaard I.A. Numerical solution of duct flows of multiple visco-plastic fluids// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2004. V. 122. № 1-3. P. 227-241.
109. Nieckele A.O., Naccache M.F., Mendes P.R.S. Crossflow of viscoplastic materials through tube bundles// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1998. V. 75. P. 43-54.
110. O'Donovan E. J., Tanner R. I., Numerical study of the Bingham squeeze film problem// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1984. V. 15. P. 75-83.
111. Papanastasiou Т.О. Flows of materials with yield// J. Rheol. V. 31 № 5. 1987. P. 385-404.
112. Paslay R.P., Slibar A. Laminar flow of drilling mud due to axial pressure gradient and external torque// J. Petrol. Technology. 1957. V. 9. № 11. P. 310-317.
113. Paslay R.P., Slibar A. Criterion for flow of a Bingham plastic between two cylinders loaded by torque and pressure gradient// J. Appl. Mech. 1958. № 2. P. 284-285.
114. Piau M., Piau J.M. Plane Couette flow of viscoplastic materials along a slippery vibrating wall// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2005. V. 125. № 1. P. 71-85.
115. Roquet N., Saramito P., An adaptive finite element method for Bingham fluid flow around a cylinder// Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2003. V. 192. P. 3317-341.
116. Sanchez F. J., Application of a first-order operator splitting method to Bingham fluid flow simulation// Comput.Math.Appl. 1998. V. 33. № 3. P. 71-86.
117. Sherwood J.D., Durban D. Squeeze flow of a power-law viscoplastic solid// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1996. V. 62. № 1. P. 35-54.
118. Soares E.J., Naccache M.F., Mendes P.R.S. Heat transfer to viscoplastic materials flowing axially through concentric annuli// Int. J. Heat and Fluid Flow. 2003. V. 24. P. 762—773.
119. Symonds P.S., Ting T.C.T. Longitudial impact on viscoplastic rods: approximate methods and comparisons// Trans. ASME. 1964. E 31. № 4. P. 611-620.
120. Ting T.C.T., Symonds P.S. Impact on rods of non-linear viscoplastic material numerical and approximate solutions// Internat. J. Solids and Struct. 1967. V. 3. № 4. P. 587-603.
121. Vola D., Boscardin L., Latche J. C., Laminar unsteady flows of Bingham fluids: a numerical strategy and some benchmark results// J. Сотр. Phys. 2003. V. 187. P. 441-456.
122. Vinay G., Wachs A., Agassant J. F., Numerical simulation of non-isotermal viscoplastic waxy crude oil flows// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2005. V. 128. P. 144—162.
123. Wachs A., Numerical simulation of steady Bingham flow through an eccentric annular crosssection by distributed Lagrange multiplier/fictitious domain and augmented Lagrangian methods// J.Non-Newton. Fluid Mech. 2007. V. 142. P. 183-198.
124. Williams R.A., Malvern L.E. Harmonic dispersion analysis of incremental waves in uniaxially prestressed plastic and viscoplastic bars, platesand unbounded media// Trans. ASME. 1969. E 36. № 1. P. 59-64.
125. Zisis Th., Mitsoulis E. Viscoplastic flow around a cylinder kept between parallel plates// J. Non-Newton. Fluid Mech. 2002. V. 105 P. 1-20.
126. Zwick K.J., Ayyaswamy P.S., Cohen I.M. Variational analysis of the squeezing flow of a yield stress fluid// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1996. V. 63. № 2-3. P. 179-199.
