Численные методы на основе вариационных неравенств для вязкопластической среды Бингама тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Муравлёва Екатерина Анатольевна

Численные методы на основе вариационных

неравенств для вязкопластической среды

Бингама

01.01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

1 АПР ?0!0

004600181

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институте вычислительной математики РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук Замарашкин Николай Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Репин Сергей Игоревич доктор физико-математических наук, профессор Сухинов Александр Иванович

Ведущая организация: Учреждение Российской Академии наук Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится Ч^? апуеля 2010 V. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 в Учреждении Российской Академии наук Институте вычислительной математики РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской Академии наук Института вычислительной математики РАН.

¿1

Автореферат разослан «_» маута 20 10 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.045.01 доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Существует широкий круг материалов, которые обладают поведением среды Вингама, а именно: ниже определённого предельного значения напряжений среда ведёт себя как жёсткое тело, выше этого предела - как несжимаемая вязкая жидкость. Примерами служат геоматериалы (высо-копарафинистая нефть, глины, грязи, сели, кристаллизующаяся лава), кровь в капиллярах, множество косметических и пищевых продуктов, строительные (свежий бетон, масляные краски) и химические материалы. При течении среды Вингама могут образовываться два типа зон: жёсткие зоны, в которых среда неподвижна или движется как твёрдое тело, и зоны течения. При этом естественным образом возникает «предельная» поверхность, разделяющая области с разным движением материала. Таким образом, характерной особенностью задач о течении вязкопластической среды является необходимость строить решения в областях с неизвестной границей. Это обстоятельство создает значительные трудности при построении эффективных методов решения. Основная сложность при численном моделировании течения вязкопластической среды связана с сингулярностью определяющих соотношений и невозможностью определения напряжений в жёстких зонах.

Существуют две основные группы методов для преодоления отмеченных математических трудностей: методы эффективной вязкости и методы, основанные на вариационной постановке. Методы эффективной вязкости (регуляризованные модели) состоят в аппроксимации недифференци-руемых определяющих соотношений гладкой функцией. Таким образом, среда рассматривается как нелинейная вязкая жидкость. Это упрощённый инженерный подход, который иногда приводит к нефизичным результатам, особенно для нестационарных задач.

Альтернативой регуляризованным моделям может служить вариационная формулировка, впервые предложенная для вязкопластической среды A.A. Ильюшиным (1938). Одно из первых систематических исследований модели Вингама было предпринято П.П. Мосоловым и В.П. Мяснико-вым (1965-1967). Дюво и Анонсом (1972) с помощью выпуклого анализа задача минимизации функционала энергии сформулирована в виде вариационного неравенства, эквивалентного исходной системе уравнений.

Вариационная формулировка задачи автоматически учитывает наличие неизвестной границы, отделяющей области течения от жёстких областей. Более 30 лет назад в работах французских математиков 1 были предложены алгоритмы численного решения вариационных неравенств,

'Р. Гловински, Ж.Л. Лионе, Р. Треыольер (1976), М. Фортен (1984), П. Ле Таллек (1989)

однако они казались слишком сложными.В 2001 году алгоритм АЬй2 был записан в виде удобной вычислительной процедуры, и стал активно применяться. Дискретизация проводилась методом конечных элементов, для которых он был предложен и обоснован.

Метод конечных разностей в рамках данного подхода не применялся, поэтому построение конечно-разностных схем, для которых обоснована аппроксимация и сходимость, является актуальной задачей, решению которой и посвящена диссертация. Необходимость разработки надёжных (обоснованных) и эффективных численных методов, соответствующих точной математической модели среды Вингама, обуславливает актуальность данной работы.

Цель работы

Основная цель работы состоит в разработке и исследовании новых численных методов решения задач вязкопластичности на основе вариационных неравенств с использованием разностных схем.

Методы исследования

Теория внешних аппроксимаций вариационных неравенств, теория разностных схем, методы оптимизации, методы вычислительной линейной алгебры.

Научная новизна работы

Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

• Предложены две разностные схемы для смешанной постановки в переменных «скорость-тензор скоростей деформаций-тензор напряжений», являющиеся обобщением хорошо известных в вычислительной гидродинамике схем на разнесённых (МАС-схема) и полуразнесённых сетках, для задачи о течении в канале, плоской и трехмерной задач вязкопластичности. На основе теории внешних аппроксимаций обоснована сходимость решения конечномерной задачи к решению непрерывной.

• Разработаны, обоснованы и численно реализованы новые методы решения задачи течения среды Вингама (на основе алгоритма Узавы и АЬС2).

• Для схемы на полуразнесённых сетках в трёхмерном случае проведено аналитическое исследование ядра дискретного оператора градиента. Предложены, обоснованы и численно реализованы два подхода

решения вырожденной задачи Стокса: поиск нормального решения на подпространстве, ортогональном ядру, и стабилизация разностной схемы путём введения дополнительного слагаемого в уравнение несжимаемости.

• На основе разработанных разностных схем и известной схемы по времени проведено численное моделирование нестационарных течений вязкопластической среды для задач течения в каверне и каналах.

Практическая значимость работы

Предложенные разностные схемы могут быть использованы как для расчёта течений среды Бингама, так и других неньютоновских жидкостей, в том числе моделей с нелинейной вязкостью.

Апробация работы

Результаты диссертации обсуждались на научных семинарах Института вычислительной математики РАН, («Вычислительные и информационные технологии в математике» рук. проф. В.И. Лебедев, проф. Ю.М. Нечепуренко, чл.-корр. Е.Е. Тыртышников, 2008, 2009), Института математического моделирования РАН (2008), Института автоматизации проектирования РАН (рук. акад. О.М. Велоцерковский, 2008), Институт прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша (семинар им. К.И. Вабенко, 2009), Института проблем механики РАН им. А.Ю. Ишлинского (рук. акад Д.М. Климов и акад. В.Ф. Журавлёв, 2009), на научно-исследовательских семинарах кафедр механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова: теории упругости (рук. проф. И.А. Кийко, 2008), механики композитов (рук. проф. Б.Е. Победря, 2008), вычислительной математики (рук. проф. Г.М. Кобельков, 2008), оптимального управления (рук. проф. В.М. Тихомиров, 2009), теории пластичности (рук. чл.-корр. Е.И. Ломакин и акад. И.Г. Горячева, 2009); на семинаре кафедры высшей математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. проф. В.Ф. Бутузов, 2009), семинарах университетов Humboldt University, IWTM Kaiserslautern (2007), University of Cape Town, TU Cape Town, TU Darmstadt, Hausdorff Institute of Mathematics (HIM, Bonn) (2008).

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Ломоносов» (Москва, 2005, 2009), «Ломоносовские чтения» (Москва, 2006, 2009), III International conference «Computational methods in applied mathematics CMAM-3» (Минск, 2007), II International conference «Matrix methods and operator equations» (Москва, 2007), Седьмой Всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2007), Workshop «Viscoplasticity: from Theory to Application» (Тичино, Швейцария, 2007), International Conference on Numerical Analysis and Applied

Mathematics ICNAAM (2008), ENUMATH (Уппсала, Швеция, 2009), Workshop on Advanced Computer Simulations for Junior Scientists (Санкт-Петербург, 2009), Workshop «Viscoplasticity: from Theory to Application» (Лимассол, Кипр, 2009).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 статей в рецензируемых журналах, из них [2-8] - в журналах из списка, рекомендованного ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 120 наименований, содержит 44 рисунка и 28 таблиц. Объем диссертации — 175 страниц.

Личный вклад автора

Постановка задач принадлежит: в работе [1] из списка публикаций — Е. В. Чижонкову, [2-7] — Л. В. Муравлёвой, [8] — автору. Во всех работах, выполненных в соавторстве, основные результаты получены автором. В работе [4] Л. В. Муравлёвой принадлежит совместное доказательство, в [5,7] — совместный анализ результатов, в [6] М. А. Ольшанскому принадлежит доказательство леммы, в [8] И. В. Оселедцу принадлежит обобщение структуры ядра градиента на d-мерный случай.

Во введении обсуждаются рассматриваемые в работе задачи и существующие методы их решения, дан краткий обзор современного состояния области исследований. Описывается структура диссертации, кратко формулируются основные полученные результаты.

Первая глава является вводной, в ней приведена постановка задачи (раздел 1.1), а также приведены основные понятия и вспомогательные сведения из функционального и выпуклого анализа (раздел 1.2), элементы теории внешних аппроксимаций (раздел 1.3). Введены определяющие соотношения вязкопластической среды Вингама:

где с - тензор напряжений, р - давление, т - девиатор тензора напряжений, ц, ст5 - коэффициент вязкости и предел текучести, соответственно; V - вектор скорости, - тензор скоростей деформаций

Краткое содержание работы

если |D(v)| ф 0, если |D(v)| = 0,

ислхир илиуииш, v j — 2 I

и |D(v)|2 = Dij(v)Dij(v).

Во второй главе рассматривается задача о течении вязкопластической среды в цилиндрической трубе поперечного сечения О. с границей Г под действием градиента давления f. Предполагается, что скорость среды направлена вдоль оси Охз, то есть V = (0, 0, у(х), Х2)).

В разделе 2.1 формулируется вариационная постановка задачи:

(Р0) 1М= шш Пи), Пи) = 1а (и, и) + Ни) ■

иен5(П) 2

йкЬс,

где а (и, -ц>) = ц /п Уи • У™ dx, ) (и) = т5 /а |Уи| dx, т5 = ст5/у/2. Решение V задачи (Ро) удовлетворяет также вариационному неравенству

аКи-у) + 0(и)-]М) >

^и-у^х, УиеН^(О)

В разделе 2.2 рассматриваются внешние аппроксимации задачи (Ро). Пусть вектор К = [Гц, Кг] е М2, рассмотрим сетку Як = {М | М. е М2, М = {гКт, )К2}, г,) 6 Щ. Каждому узлу М сетки Ян поставим в сответствие брус с центром Мц: {М) = ((г-1/2)Нь (г+1/2)К, ) х ( ()-1/2)Н2, () + 1 /2)Ь2 ) и крест с центром М (е{ означает г-й единичный базисный вектор в К2): (М) = с< (М ±(К]е,)/2) и ш£ (М ±(К2е2)/2). Определим далее

Он = { М | а>1 (М) С О}, Ун = { | = КОмеОн. ^ е К}, и отображение Як : Ун -> Ь2(М2) по формуле qнvн = Имеп„ ^ 0н* ■ ГАе - характеристическая функция множества о>° (М). Функции не принадлежат пространству н^п), следовательно, а (и, уу), ]'(и) нельзя определить на Ун. Поэтому производные заменяются отношениями конечных разностей. Для первой внешней аппроксимации положим для 1=1,2

61 <р (х) = [ф(х+(Н1е1)/2)-(р(х-(К1е1)/2)]/Кь (1)

для второй внешней аппроксимации определим

т, <р (х) = (6, ср (хьХ2 + Н2/2) +6, <р (х1,х2-Н2/2))/2,

т2 ср (х) = (62 ср (х, + К,/2,х2) + Ь2 ф (х, - Н1/2,х2))/2. (2)

Определим формы : Ук х Ук —> К и функции : Ук —) К, к = 1,2:

2

ан (ин, ™н) = ц

У_ 5íqнUк6tqкWнdx, )^(ин)=тЛ (¿(б^нин)2) ' dx, "2 (ин, = М- ¿, т^нин^нУМх, (ин) = т51 (¿('Мнин)2) ' dx.

Функционал J (и) аппроксимируем функциями (uh) : Vh -1

Jh (uh) = 2 QH (UH. uH) + )h (TJ-H)

fqhUhdx, k = 1,2.

В качестве приближенной рассматривается следующая задача:

(Рон)к : min Jt (тд-к), k=1,2.

uhevh

Решение задач (Рок)к, к = 1,2, существует и единственно. Первая аппроксимация функционала J(u) предложена ранее 2, вторая аппроксимация является новой. Доказана сильная сходимость решения приближённой задачи (Рон)к к решению исходной задачи (Ро). Для нестационарных задач рассматривается задача минимизации функционала

Jth (uh) = Jh (ин) + a/2

|qhuh|2dx, k= 1,2

(изменения в доказательстве сходимости технические).

X—

i !

(Ь)

Рис. 1. (а) □ - Rh, . - Rt\, о - R*, (b) □ - Rh, X - R^

В разделе 2.3 задача минимизации функционала сводится к нахождению седловой точки лагранжиана £гк • Вводится независимая переменная qtг = У^ик (У]к определяется(1), Угн определяется (2)), компоненты которой задаются на пространствах С2кк, к = 1,2, соответственно:

«Эш = (ян | Ян = (Чк. Чк). Чк = ( ч[ц/2,)} е кн> Чк = ( Ч?,,'+1 ц) е Кк).

Q2h = {ян|ян=(Чк. Чк). Чк ={ ч!+1/2,Н1/2}е КнД =1.2}. и лагранжиан £гн : Ук х (Зн х С}н —> К

£тн(ик,ак, Цк) = а/2||ин||2 + ц/2||як||2 + т5)к(ян)-(^,ин)+

2См. Р. Гловински, Ж.Л. Лионе, Р. Тремольер

+( Цн, Уин - Ян) + т/2\\Уин - <1к112. г > 0.

Теорема Пусть ^н, Ун, Ан) - седло в ая тонка £гн(ин, як, ц к) ■ Тогда она также является седловой точкой СТ'н для любого г' > 0 и Vн -решение задачи минимизации функционала Ни). Для поиска седловой точки используется алгоритм типа Узавы (АЬС2) 3:

Пусть заданы произвольные у^, Л^ е Рк х (Зн;

Для п = 0,1,2,... с известными , А£ найти V", у£, :

^нК.тГ'.Л^) < £гн(ин,т;г\ла Уин 6 Ун, < 6 Ун, (3)

ГгнК.у^Л^) < £гнК,Чн,Л£), УЧн 6 (Зн, у£ € СЗн, (4)

= Л£ + р(Ук<-<Й). (5)

Теорема Пусть (vн, ун, Лн) - седловая точка СТн на Ун х С}н х С}н. Если 0 < р < г(1 + л/5)/2, то имеет место следующая сходимость: —> v^l в Ун, Ун ~> Ун 0 Як- Более того, если Лн - предел подпоследовательности (Лн), то ^н, Ун, Ан) - седловая тонко, Их\\ ид Ун х с$н х <3н.

Раздел 2.4 посвящен особенностям реализации алгоритма (3)-(5) на предложенных разностных схемах. Для первой схемы он приобретает вид: Первый шаг: -гД,^ = Ь + Ут- Л£-гУ)н- >л'н1г = 0> второй шаг:

если |т| = (у/[т\+щл)2 + (тЦ2)* 4- ^+1/2,;)2 + (т?+1,+1/2)2"

у1*Ш = \ ] + «,,Ы/2)2 + у/«^2 + Кыл)2)/4 < т.,

1^(1-^.), иначе, здесь т = + 2гУ,ну£;

TiJ+i/2 =

'0. если |т| = (^(T?+1/2j)2 + 1/2)2 + + (т2.+1/2)

третий шаг: Л£+' = К + P(^vh ~ Ун)-

Здесь Д)н - стандартная пятиточечная аппроксимация оператора Лапласа, сеточный оператор дивергенции имеет вид Ун- : Qh —> Ун:

(V1h- AK)i,j = ((Aj+u -A{j)/h, + (A?j+1 - A2j)/h2).

2

3См. M. Fortin, R. Glowinski

Для второй схемы первый и третий шаги формально не меняются, однако оператор Лапласа аппроксимируется девятиточечным шаблоном

(A2hUh)i,j = (Ui+lj+l -2иг,,'+1 +Ui_i,j+i+ (6)

+ 2иг+и -4ui,j +2ui_i,j +гц+и_1 -2иу_1 +tu-i,j-i)/(4hf) +

+ (ui+i,i+i+2ui,j+i+Ui-i,j+i-

- 2ui+ij — 4uij — 2tii-i,i +ui+ij_i +2ui,j_i + iXi-ij-i)/(4H|), сеточный оператор дивергенции имеет вид Угн- : Qh —> Vh. :

(V2H- Лн)у =-^-+-2К2-•

Второй шаг принимает вид (здесь т = + 2rV2hv£)

_ Tt+1/2,HV2 i0' 6СЛИ \/(TW/2,i+V2)2+(T?+1/2,j+l/2)2 < Ti+V2,j+V2 = -1ПГТТ- | _ ? ), иначе.

В разделе 2.5 приведены результаты численных экспериментов. В разделе 2.6 проведено сравнение полученного численного решения в прямоугольной области с теоретическими оценками 4 и результатами других авторов, использовавших конечноэлементную дискретизацию.

В главе 3 рассматривается плоская задача. Течение предполагается медленным, поэтому конвективным слагаемым, как правило, пренебрегают. В разделе 3.1 приводится вариационная постановка: найти v(t) € (Hj(fl))d,d = 2,3, такую, что для каждого t е (О,Т) справедливо

Р

" 8v

— .(u-v(t))dx + 2ц n 3t

D(v(t)) : D(u — v(t))dx +

a

+(Ts

(|D(u)|-|D(v(t))|)dx >

f(t) ■ (u-v(t))dx,

Jn

Vu6U = {u£(HÎ(a))d|v-u = o}, V • v(t) = 0 в П, v(0)=v0BiQ, v(t) = 0 на Г.

Для дискретизации по времени используется неявная схема Эйлера. Пусть At > 0 - постоянный шаг по времени. Положим v° = vo, a = = f (m.At)+avm_1. На каждом временном шаге для m > 1, находим vm 6 U, зная vm_1 (далее индекс m опускаем), как точку минимума Ja(u) на U (задача (Р0)):

V = arg min Ja(и), (7)

u€U

4П.П. Мосолов, В.П. Мясников

ю

J«(u) =

|u|2dx + ц

|D(u)|2dx+crs

|D(u)|dx ■

fudx. (8)

В разделе 3.2 рассмотрены две внешние аппроксимации для плоской задачи вязкопластичности. Дополнительная сложность, возникающая в плоской задаче, - условие несжимаемости. Для первой внешней аппроксимации вводится семейство конечномерных пространств Уж - ступенчатых функций вида

и,к(х) = u,h(M)9™(x), u2h(x) = u2h(M)e^(x), Uih(M) e R, м enl Mea;

которые дискретно соленоидальны в следующем смысле:

6,qhu,h(M) + 62qhu2h(M) = О VM € Rh,

определяется форма a^ : Vih х Vih —> R и функция jl: Vih —) R:

2 1 1

ан(ин. Wh) = 2ц ^(^(MhUjh + SjqHUiH^^^hWjh + MhWih^dx,

QU= '

Л

jÍ(Uh) = ffs

¿ QtMhUjH + MhUih)) dx Vuh, vh 6 Vih. i,)=1

Для второй внешней аппроксимации вводится семейство конечномерных пространств У2к - ступенчатых функций вида

ин(х) = £ ин(М)ейл(х), ик(М) 6 К.

МеПк

с условием дискретной соленоидальности

т^нитМ+тгЧкигнМ =0УЫ е определяется форма а^ : У2н х У2Н —> М и функция ^ : У2н —> К:

ан (uh, wh) = 2(i

j^(Uh) = ст5

2 1 ^

(^КЧн^к + ^иш)) (^(TiqhWjh + Tjqhwih))dx,

RÍU=i

R2

Y (^(TiqhUjh + TjqhUih)) dx Vuh, vh e V2h-

Для нестационарных задач билинейные формы

aah (ин, wh) = qh (uh, wh) + cxfqnuh, qnwh)2. 11

В качестве приближенной будем рассматривать следующую задачу: (PotJk: min JSk(uh), k=1,2.

uh€Vh

Jak (Uh) = J Qah K. "h) + )h («h) ~

fhuh dx, k = 1,2.

n

Теорема Пусть у}; - решение задачи (Рок)к,к = 1,2, V - решение задачи (Р0); если й —> 0, то

{Чнун> бчч^н, М^н) -> (v, Зу/Зхь Эу/Эх2} сильно в (12(0))6,

{ч^н, ттЧку^, тгчьун) -> {v, Эу/Зхь Эу/Эх2} сильно в (1-2(П))6.

В разделе 3.3 рассмотрен алгоритм Узавы. Задаче минимизации функционала (8) эквивалентна задача поиска седловой точки лагранжиана 1_: (н^п))" х л —> к

w \ а

L(u; П ) = 2

Л ={А | Л е (L°°(n))d><d, Л = ЛТ,|Л| < 1 п.в. на О),

т| : D(u)dx

|u| dx + ц

n

|Б(и)|Мх+ст5 л : D(u)dx — Гис1х. Jfi .ш Jn

Для нахождения седловой точки применяется алгоритм Узавы. На каждой итерации этого алгоритма первый шаг состоит в минимизации по переменной уп, второй шаг - метод проекции градиента для поиска максимума по переменной Лп:

Пусть задан произвольный Л° е Л; Для п = 0,1,2,... с известным Лп(е А) :

1. Найти уп { ^ - ' - " ДП + ^ = Г' (9) | V ■ уп = 0 в О, уп = 0 на Г; w

2. Вычислить Лп+1 =Рд(Лп + га5В(уп)), где (10)

[чМ/кМ!, если |Ч(х)| > 1,

Теорема Предположим, что выполняется условие 0 < г < 4ц/а2.

Тогда для последовательности {уп}, порождаемой алгоритмом (9)-(10), верно Шпп_,+00уп = у в (Но(0))й, где у - решение (7), (8)

Метод Узавы реализован на двух разностных схемах, соответствующих внешним аппроксимациям, предложенным в разделе 3.2. Определим пространства компонент сеточных функций скорости и давления и сеточных тензорных функций для первой разностной схемы:

Uk = {Uij = u(Xij) | Xij € Rh, UO,j = Ui,N)_i = Ui,o = UN2,j = 0}, К = (Vij = v(xij) | Xij g R2, v0,j = viiN) = Vi,0 = Vn2-i,í = 0},

V?H = U°h x V°, P1K = {Pij = p(xij) | Xij g Rh, 21PU = 0}.

i,)

Qih = {qu I qh = {q!i\ q^2, 4?, q?}; K'kj = Ч^Хц),

(q?)ij = q^(xij), xij g Rh, (q^Jy = 4h (хц), (Чн Ki = Чн (*ч). *ч € Rh }

Через Uh, Vh будем обозначать пространства сеточных векторных функций, заданных только во внутренних точках. Определим разностный аналог тензора скоростей деформаций Din : V°h —» Q\h, оператора градиента V,h : Ph -> Uhx Vh и дивергенции V,h- : VfH -> Ph, Vih- : Qih -> Uhx Vh:

(Djt(vh))u = (ui,j-ui_,,j)/hb (D^(vh))i,j = (Vi,j-Vi,j-,)/h2, (D¡2(vh)Kj = (D^lvhDi.j = (uij+i — иу)/2Н2 + (vi+ij —Vij)/2hi,

(Vihphkj = ((Pi+i,j-Pi,j)/Ki, (Pi,j+i-Pi,j)/h.2),

(Vih • vh)i,j = (Uij -m_i,j)/hi + (vt,j - vtj-,)/h2,

T11 _T11 T12_T12 T21_T21 T22 22 (Vih-ThKj - ( hl + h2 - h) + h2 )-

оператору Лапласа Дц, : Vfh —> Uh x Vih соответствует стандартный пятиточечный шаблон «крест» на сетках R^ и R^. Норма тензорной сеточной функции вводится в соответствии с внешней аппроксимацией функционала.

Определим пространства компонент сеточных функций скорости и давления и сеточных тензорных функций для второй разностной схемы:

V2h = {Vij = (u(Xij),v(Xij)) I Xij g Rh, v0,j = Vi,N2 = vN,,j = Vi,o = 0}, P2h = (pij =p(x4) | xij g R^, 21 Pij = °1>

Q2h = {qh I qh = (Чн . Чн - Чн » Чн2}.' (qn)i,¡ = Ян(хц), хц 6 R&.

Через V2H будем обозначать пространства сеточных векторных функций, заданных только во внутренних точках. Определим разностный аналог тензора скоростей деформации D2h : V2h —> Q2h, оператора градиента

У2н ■ Р2н -> и дивергенции У2К- : У2Н Р2Н, У2н- : <32н -» У2н

(У2Н-унЬ = -—-+-^-'

(Т7 „ , - Рг-1,; + Рг,;-1 - Рг-1,1-1 Рч ~ Ру,7~1 + Рг-1.) ~ Рг-1,)-1 , = {-2^-'-2Нг-''

(02н(ук))^ = (гц+и+1-гц,Н1+гц+и-^)/2Нь

= --+--,

(У2к-Лн)ц = (-—-+-2кг-'

41 ~4-1.) + 41-1 ~4-1 .

2Н, 2Н2 )'

оператор Лапласа Д2н : У°к —> У2н определяется шаблоном (6).

В разделе 3.4 рассматривается АЬв2, изложенный в предыдущей главе, в применении к плоской задаче вязкопластичности. Введём лагранжиан:

£гн(ин, ен, = ^||ик||2 + Ц.||ек||2 + сг5К(ен) - ин) +

+(цъ Б(ин) - ен) + т||Б(ин) - ен||2, г > 0.

Теорема Пусть (ун, £н> т)г) - седловая тонка £тн(ин, ен, М-к) ■ Тогда она также является седловой точкой СТ>н для любого г' > 0 и Ун - решение задачи (7). Для нахождения седловой точки £гн(ин> Чн( Цн) запишем АЬС2:

Пусть заданы произвольные е®, т" е Ян х Ян; Для тг = 0,1,2,... с известным е^, : п+, ] - тДкуГ1 + УнрГ = Ун ■ К - 20 + Ь,

1. Найти Ун , Рн

2. Вычислить = ^ ' .тЁ+мцу;*1)

_ ' ИН '

3. Вычислить т£+1 = + 2р(В(Ун+1) - е£+1).

Если |т£+1 - Тн1 > £, то переходим к 1.

Теорема Пусть (ун, £н, тн) - седловая точка Сгн на Ун х С}н х Qн. Если 0 < р < т(1 + у/5)/2, то имеет место следующая сходимость: у£-*УнвУк, ££-> £н в С1ь.

Ун-УЙ+1 =0, Ун+1|г = 0. 0, если |Тн + 2гБ(у£+,)| < сг5,

В разделе 3.5 содержатся численные эксперименты. Алгоритмы верифицировались на задачах о течении вязкой жидкости и вязкопластиче-ской среды, имеющих аналитические решения. Решена тестовая задача о течении вязкопластической среды в каверне с движущейся крышкой, проведено сравнение с результатами других авторов, использовавших ре-гуляризованные модели и конечноэлементную дискретизацию.

Глава 4 посвящена исследованию трехмерной задачи вязкопластично-сти. Поскольку при обобщении предложенных разностных схем на пространственный случай вторая разностная схема оказывается более удобной, то именно она была выбрана для численной реализации. В разделе 4.1 приводится вариационная постановка задачи, рассмотрены две внешние аппроксимации, для которых доказана сходимость приближённого решения к точному.

Первый шаг как метода Узавы, так и ALG2 состоит в решении задачи Стокса. Для схемы с неразнесёнными сетками матрица системы, соответствующей дискретной обобщённой задаче Стокса, имеет нетривиальное ядро, причем размер этого ядра не меньше, чем Зп —2, где п.—число узлов по одному направлению. В разделе 4.2 приводится доказательство этого факта, а также получен явный вид базисных векторов ядра. Из наличия ядра следует, что данная схема не удовлетворяет условию LBB и, следовательно, решение задачи не может быть получено без дополнительных ограничений. В диссертации рассмотрено два подхода к решению этой проблемы. В разделе 4.3 используется техника стабилизации решений, предложен новый тип стабилизации. Обоснование данного метода основывается на понятии «слабого» LBB-неравенстваЕ. Для рассматриваемой схемы оно имеет вид

J phdiv hUhdOh

sup "h .......>c,||ph||0-c2hi||[ph]||rh. (11)

uh£Vh 11 "К 112H

На основании (11) с помощью проектора П строится стабилизирующая добавка к уравнению для давления.

Теорема Для любых uh е Vh и Рн в Рк существуют vk 6 Ун и qn € Рн такие, что (С = const не зависит от параметра сетки h)

>C(||u||2h + ||Ph||o)(||v||2h+||qK||o)-

В разделе 4.4 исследован подход, основанный на использовании структуры базисных векторов ядра. Показано, что для прямоугольных областей

5См. M.D. Gunzburger, P.Bochev (2006)

1 Ah Bh Uh

В- —(I — FT) * (I — П) Рк

ядро имеет тензорную структуру, на основе которой предложен быстрый алгоритм построения проекции вектора на линейное пространство, ортогональное ядру. Показано, что рассматриваемая на подпространстве ортогональном ядру матрица, соответствующая задаче Стокса, имеет (п — 2)3 собственных значений, равных 1, и ограниченное спектральное число обусловленности. В разделе 4.5 содержатся результаты численных экспериментов с использованием двух предложенных подходов для задачи Стокса и для задачи о течении среды Бингама, проведено сравнение эффективности.

В пятой главе на основе предложенных разностных схем решены нестационарные задачи. Важной качественной особенностью задач о нестационарном движении вязкопластических сред является конечность промежутка времени затухания движения при отсутствии внешних сил или их уменьшении до величины ниже некоторого порогового значения. Это является принципиальным отличием от соответствующего течения вязкой жидкости, которое затухает экспоненциально за бесконечно большое время. Численно исследованы задачи об установлении и об остановке течения в каналах и каверне. Полученные результаты правильно воспроизводят поведение вязкопластической среды и полностью согласуются с теоретическими оценками.

При решении обнаружены неизвестные ранее качественные особенности нестационарных режимов - появление застойных зон, полностью или частично охватывающих контур границы; при этом застойные зоны выходят за критические кривые, ограничивающие застойные зоны в стационарном случае.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты работы

Основной результат

— на основе постановки в виде вариационного неравенства и теории разностных схем разработаны и исследованы новые численные методы решения задач вязкопластичности (среды Вингама). Этот результат состоит в следующем:

• Предложены две разностные схемы для смешанной постановки в переменных «скорость-тензор скоростей деформаций-тензор напряжений», являющиеся обобщением хорошо известных в вычислительной гидродинамике схем на разнесённых (MAC-схема) и полуразнесённых сетках, для задачи о течении в канале, плоской и трёхмерной задач вязкопластичности. На основе теории внешних аппроксимаций обоснована сходимость решения конечномерной задачи к решению непрерывной.

• Разработаны, обоснованы и численно реализованы новые методы решения задачи течения среды Вингама (на основе алгоритма Узавы и ALG2)

• Для схемы на полуразнесенных сетках в трехмерном случае проведено аналитическое исследование ядра дискретного оператора градиента. Предложены, обоснованы и численно реализованы два подхода решения вырожденной задачи Стокса: поиск нормального решения на подпространстве, ортогональном ядру, и стабилизация разностной схемы путём введения дополнительного слагаемого в уравнение несжимаемости.

• На основе разработанных разностных схем проведено численное моделирование нестационарных течений вязкопластической среды для задач течения в каверне и каналах.

Автор выражает благодарность к.ф.-м.н. Н.Л. Замарашкину за научное руководство и внимание к работе. Автор искренне благодарит проф. В.И. Агошкова, проф. A.B. Лапина, проф. В.Е. Тыртышникова за ценные советы и поддержку. Автор благодарит проф. А.Е. Алояна, проф. О.В. Арушаняна, д.ф.-м.н. A.B. Богатырёва, проф. В.А. Васенина, к.ф.-м.н. И.В. Оселедца, проф. В.Е. Победрю, к.ф.-м.н. И.А. Султанова, д.ф.-.м.н. Н.Г. Яковлева за плодотворные обсуждения и поддержку. Автор выражает глубокую признательность к.ф.-м.н. Л.В. Муравлёвой за постановку ряда проблем, исследованных в диссертации, и всестороннюю поддержку.

Публикации по теме диссертации

1. Муравлёва Е.А. О ядре дискретного оператора градиента Ц Вычислительные методы и программирование. 2008. Т. 9, №1. С. 97-104.

2. Муравлёва Е.А. Разностные схемы для расчета течений вязкопласти-ческой среды в канале / Математическое моделирование. 2008. Т. 20. №12. С. 76-88.

3. Муравлёва Е.А. Задача об остановке течения вязкопластической среды в канале Ц Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2009. №1. С. 68-71.

4. Муравлёва Е.А., Муравлёва Л.В. Нестационарные течения вязкопластической среды в каналах Ц Изв. РАН. Механика твердого тела. 2009. №5. С. 164-188.

5. Muravleva L.V., Muravleva Е.А. Uzawa-like algorithm on semi-staggered grids for unsteady Bingham medium flows //Rus. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 2009. V. 24. №6. P. 543-563.

6. Muravleva E.A., Olshanskii M.A. Two finite-difference schemes for the Bingham cavity flows / Rus. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 2008. V. 23. №6. P. 615-634.

7. Муравлёва Л.В., Муравлёва Е.А. Торможение течений вязкопластической среды в каналах //Доклады РАН. 2010. Т. 430. №3. С. 1-4.

8. Oseledets I.V., Muravleva Е.А. Fast orthogonalization to the kernel of the discrete gradient operator with application to Stokes problem / Linear Algebra and its Applications. 2010. V. 432. №6. P. 1492-1500.

Изд. лиц. ИД ЗС'03991 от 12.02.2001. Компьютерный иабор.

Подписано в печать 05.03.2010. Усл. веч, л. 1.1. Тираж 100 экз._

Институт вычислительной математики РАН. 119333, Москва, ул. Губкина, 8.

Введение

1.1 Модель Бингама

1.2 Содержание работы по

главам

Глава 1. Постановка задачи и предварительные сведения

1.1 Постановка задачи.

1.2 Некоторые сведения из выпуклого анализа.

1.3 Определение внешних аппроксимаций V, a, j и (Ро)

Глава 2. Задача о течении среды Бингама в канале

2.1 Задача о течении вязкопластической среды в канале

2.2 Внешние аппроксимации вариационного неравенства для задачи о течении в канале.

2.2.1 Первая внешняя аппроксимация Н^П).

2.2.2 Вторая внешняя аппроксимация Hq(£1).

2.2.3 Аппроксимация a,j,f

2.2.4 Сходимость внешних аппроксимаций

2.3 Сходимость ALG2 для задачи о течении в канале

2.4 Разностные схемы.

2.4.1 Схема на разнесенных сетках.

2.4.2 Схема на неразнесённых сетках.

2.5 Численные результаты.

2.6 Качественный анализ течения в трубах.

Глава 3. Двумерная задача

3.1 Вариационная постановка для плоской задачи.

3.2 Внешние аппроксимации дл.я плоской задачи.

3.2.1 Первая аппроксимация V.

3.2.2 Вторая аппроксимация V.

3.2.3 Аппроксимация aj,f

3.3 Алгоритм Узавы.

3.3.1 Сходимость алгоритма.

3.3.2 Первая разностная схема.

3.3.3 Вторая разностная схема.

3.4 Алгоритм ALG2.

3.4.1 Сходимость алгоритма.

3.4.2 Реализация алгоритма на разностных схемах

3.5 Численные эксперименты.

Глава 4. Трёхмерная задача

4.1 Внешние аппроксимации для пространственной задачи.

4.1.1 Первая аппроксимация V.

4.1.2 Вторая аппроксимация V.

4.2 Ядро дискретного оператора градиента.

4.2.1 Структура дискретного оператора градиента.

4.2.2 Тензорная структура оператора градиента и его ядра.

4.2.3 Процедура ортогонализации.

4.3 Спектр дополнения по Шуру.

4.4 Стабилизация.

4.5 Численные эксперименты.

4.5.1 Аналитические решения для вязкой жидкости.

4.5.2 Аналитические решения для вязкопластической среды.

Глава 5. Моделирование нестационарных течений среды Бингама

5.1 Течение в канале

5.2 Течение в каверне.

i.l. Модель Бингама

В природе и технике существует широкий круг материалов, которые обладают поведением среды Бингама, а именно: ниже определенного предельного значения напряжений среда ведет себя как жесткое тело, выше этого предела - как несжимаемая вязкая жидкость. Примерами могут служить геоматериалы (глины, грязи, тяжелые масла, сырая нефть, а также сели, оползни, кристаллизующаяся лава), множество косметических (кремы, гели, зубная паста) и пищевых (жидкий шоколад, фруктовые сиропы) продуктов, строительные (свежий бетон, масляные краски) и химические (коллоидные растворы, порошкообразные смеси, полимерные соединения) материалы.

Интерес к этой модели возник на рубеже 19-20 веков, после того как в экспериментальных работах Шведова [50], Бингама [5] и других, было показано, что ряд реальных материалов обнаруживает этот тип реологического поведения. Модель была предложена для описания движения суспензий в условиях чистого сдвига (одномерная задача)1. Позднее Генки [66] и Ильюшин [74] предложили пространственное обобщение уравнения состояния Шведова-Бингама, В дальнейшем эта модель подробно исследовалась Олройдом [42] и Прагером [44], Мосоловым и Мясниковым [98], а также Дюво и Анонсом [72]. Анализ различных вязкопластических материалов и перечень многих известных аналитических решений приведены в обзоре [11]. В отечественной литературе исследованию течений бингамовской жидкости посвящены, в частности, монографии [69, 98, 100]. В недавно вышедшей монографии [80] наряду с классическими постановками задач и точными решениями рассмотрены новые направления в исследовании вязкопластических течений.

Рассмотрим определяющие соотношения вязкопластической среды Бингама: ч = -р8ц+тч, ^{^М + '-Ш. —РМ!'4». (ил)

1М<0-5) если |D(v)| — 0,

1Это классический эксперимент, при котором: можно получить зависимость между единственной ненулевой компонентой тензора напряжений п соответствующей компонентой тензора скоростей деформации (остальные Dij = 0), например, СГ12 = ffD^). Фактически, это соответствует одноосному напряженному состоянию. Переход к определяющий соотношениям в условиях многосного (многокомпонентного) состояния является нетривиальной задачей. или, эквивалентно,

Dli(v) = ((1-ra)5i. если |т1 > <7S> если |т| < <т5. где сг - тензор напряжений, р - давление, т - девиатор тензора напряжений 2. Используются стандартные обозначения: ц., crs - коэффициент вязкости и предел текучести вязкопластической среды, соответственно; v - вектор скорости, D(v) = ^[Vv + (Vv)T] - тензор скоростей деформаций и |D(v)|2 = Dij(v)Dij(v).

Модель Бингама является двухпараметрической моделью. Если в определяющих соотношениях вязкопластической среды положить as = 0 или |х = 0, то эти уравнения формально перейдут в хорошо известные определяющие соотношения вязкой жидкости или идеальной пластической среды. Если crs > 0, то в потоке могут быть зоны, в которых жидкость ведет себя как твердое тело (жесткие зоны). При возрастании crs эти зоны увеличиваются, а при достаточно большом crs блокируют течение. Как правило, традиционно рассматриваются два вида жестких зон: зоны застоя, в которых среда покоится, и ядра течения, в которых среда движется как жёсткое тело.

Когда существуют оба вида движения, естественно возникает «предельная поверхность». Эта поверхность разделяет две области с разным движением материала. Таким образом, в задачах о течении вязкопластической среды характерной особенностью является необходимость строить решения в областях с неизвестной границей. Это обстоятельство создает большие трудности при построении эффективных методов их исследования. Основная сложность при численном моделировании течения вязкопластической среды связана с сингулярностью определяющих соотношений (i.1.1) и невозможностью определить напряжения в тех областях, где скорость деформации равна нулю. Для того чтобы преодолеть отмеченные трудности, вводятся различные модификации модели вязкопластической среды. Они приближают поведение среды Бингама, когда скорость деформации стремится к нулю. Запишем (i.1.1) в виде: тч =ii(|D(v)|)DtJ> л =2^+j^j если |D(v)| ± 0, (i.1.2) т| < ffs, если |D(v)| = 0.

2Если задан произвольный тензор второго ранга с компонентами "fy , то разложение его на шаровую часть и девиатор имеет вид Тц = TSi; + Т° , где Т = jTkk и Tj^ = 0

Функция ri(D) называется эффективной вязкостью. Методы регу-ляризованной вязкости состоят в аппроксимации определяющих соотношений непрерывной функцией, которая описывает одновременно как жесткую зону, так и зону течения. Таким образом, среда рассматривается как нелинейная вязкая жидкость (без использования предельной поверхности): где r)e(|D(v)|) —> ri(|D(v)|) при в —> 0. Наиболее популярные модели - Берковьера-Энгельмана [3]

Кроме гладких регуляризованных моделей, широко используется модель с кусочно-постоянной вязкостью («biviscosity») [41]. В этой модели жесткая зона заменяется течением ньютоновской жидкости с очень большой, но конечной вязкостью. При использовании регуляризованных моделей при в —» 0 (то есть когда модель приближает модель Бингама) численные методы становятся менее эффективными и время вычислений растет очень быстро. Одним из недостатков регуляризо-ванной модели является следующее: при значениях внешней нагрузки, меньших некоторого ненулевого критического значения, в среде Бингама течение в области отсутствует. При использовании регуляризованных моделей течение имеет место всегда, хотя и с малыми скоростями. В случае нестационарной задачи регуляризованная модель может неправильно воспроизводить поведение решения при t —> оо [16, 20, 130]. Кроме того, для регуляризованных моделей не определено понятие жесткой зоны и наличие жесткой зоны вводится условием малости деформаций или условием Мизеса: (]т| = crs). Это иногда приводит к неточному решению.

Альтернативой регуляризованным моделям могут служить вариационные методы. Вариационная постановка дает возможность построения эффективных методов анализа конкретных задач. В частности, она позволяет дать метод изучения геометрической структуры решений, их асимптотического поведения,, разработать эффективные чис

Tij^TledDMDDi,, е<1 и Папанистоса [43] ленные методы. В работе [74] Ильюшиным впервые предложена ва-риционная формулировка для плоской задачи, позднее занявшая преобладающее место в теории. На основе неклассического вариационного анализа в работах Мосолова и Мясникова [95]-[97] было проведено исследование качественных особенностей течений в цилиндрических трубах произвольного поперечного сечения. Развитые ими вариационные методы оказались особенно эффективны в связи со сложностью формулировок задач в традиционных терминах дифференциальных уравнений. Была обнаружена тесная связь теории жесткопластиче-ских сред с функциональным анализом, интегральной геометрией и выпуклым анализом. В [95] впервые было указано на недифференцируемость функционалов теории вязкопластичности, была дана новая математическая формулировка известной задачи механики, доказаны существование и единственность ее решения. Эти работы, ставшие уже классическими, нашли отклик как в отечественной, так и в зарубежной научной литературе [72, 120].

К изучению систем неравенств с частными производными приводят многочисленные задачи механики, физики и теории управления; исследование этих неравенств способствовало развитию метода, названного методом вариационных неравенств [53, 57, 72, 79, 101, 120]. Так, например, классический подход в теории упругости состоит в минимизации квадратичного функционала на векторных пространствах [92, 93]. Минимизация аналогичных функционалов на выпуклых множествах, не являющихся векторными пространствами, привела к возникновению неравенств в идеальной пластичности [102]. Задачи теории упругости с односторонними краевыми условиями [51, 116] и с краевыми условиями, учитывающими трение упругого тела об ограничивающую поверхность, приводят к эллиптическим вариационным неравенствам, в эволюционном случае - к гиперболическим вариационным неравенствам. Математическое изучение таких задач было начато в начале шестидесятых годов прошлого века работами Фикеры, Лионса и Стампаккьи [36, 89, 116]. Моро связал теорию вариационных неравенств с выпуклым анализом, в частности, с теорией субдиф-ференцируемости. В отечественной литературе теории вариационных неравенств посвященны работы Лапина [84, 85], Кравчука [33], Кон-нова [32].

Применение теории вариационных неравенств к задачам течения жидкостей Бингама изложено в книгах [72, 120], были доказаны теоремы существования и единственности дла вариационной постановки (в полной постановке с учётом конвективных слагаемых) в двумерном случае, исследовалась регулярность полученного решения. Дальнейшему исследованию математических свойств решений задач вяз-копластичности посвящены работы Като [29], Кима [30], Ладыженской [34, 35, ?], Серёгина [49], Фукса [21].

В настоящее время в вычислительной математике фактически сформировалось новое новое направление, которое изучает методы апостериорного контроля точности приближённых решений. Целью этого напрвления является построение вычисляемых оценок нормы разности между точным и приближённым решением, а также локальных характеристик (индикаторов), показывающих распределение локальных ошибок по области. Апостериорные оценки для среды Бингама получены в работах Репина (см. [39, 45] и цитируемую там литературу)

Первое систематическое изложение численных методов решения вариационных неравенств содержится в монографии [67]. Вычислительные алгоритмы на основе двойственной постановки, использующие модифицированную функцию Лагранжа, были предложены в [17, 23], однако они практически не использовались для численного моделирования среды Бингама в связи с их сложностью. Различные алгоритмы для решения задач оптимизации можно найти в [65, 70, 73, 99].

Более широкое распространение получил подход, основанный на регуляризации, несмотря на то, что регуляризованные модели часто дают недостоверные результаты. Однако, начиная с 2000 года, появился ряд статей, в которых численное решение было получено с использованием алгоритма ALG2, предложенного в [17]. В качестве дискретизации использовались конечные элементы с кусочно-линейным полем скоростей, так как именно для этих элементов этот метод был предложен и обоснован, в работах [46, 47] использовались конечные элементы второго порядка (без обоснования). Метод конечных разностей для описанных алгоритмов не применялся, поэтому построение конечно-разностных схем, для которых обоснована аппроксимация и сходимость, является актуальной задачей, решению которой и посвящена диссертация. i.2. Содержание работы по главам

• В первой главе содержится постановка задача, а также приведены вспомогательные сведения из функционального и выпуклого анализа, элементы теории внешних аппрокимаций. Эти дополнительные сведения позволяют сделать дальнейшее изложение, по возможности, замкнутым.

Во второй главе доказана сходимость двух внешних аппроксимаций вариационного неравенства, соответствующего задаче о течении вязкопластической среды в канале. В первом случае аппроксимация функционалов предложена в [67], вторая аппроксимация предложена впервые. Доказана сходимость решения конечномерной задачи к решению исходной задачи. Обоснована сходимость ALG2 на дискретном уровне. Реализованы предложенные разностные схемы, проведен анализ результатов вычислительных экспериментов с точки зрения качественного поведения решения (согласованность с теоретическими оценками Мосолова и Мясникова) и сравнение с результатами работ других авторов.

В третьей главе рассматривается плоская задача. Предложены две внешние аппроксимации вариационного неравенства, соответствующего двумерной задаче. Доказала сходимость двух различных алгоритмов (метод проекции и ALG2) поиска минимума функционала Ильюшина. Проведена верификация предложенных схем на тестовых примерах для задачи Стокса и задачи вязкопластичности, имеющих аналитическое решение, и решена задача о каверне с подвижной верхней крышкой.

В четвертой главе рассмотрена трехмерная задача течения среды Бингама. Реализована разностная схема на полуразнесенных сетках. При обобщении двумерной схемы на пространственный случай было выявлено нетривиальное ядро соответствующего дискретного оператора градиента, найдена его структура. Предложено два способа нахождения нормального решения — поиск решения на подпространстве, ортогональном ядру, и введение стабилизационной добавки. Исследован спектр оператора давления.

В пятой главе на основе предложенных во второй главе разностных схем для задачи Мосолова (течение вязкопластической среды в канале) промоделированы нестационарные режимы. Полученные результаты полностью согласуются с теоретическими оценками [16]. Проведено сравнение с работами других авторов, использовавших регуляри-зованные модели; полученные в работе результаты правильно воспроизводят поведение вязкопластической среды. Отмечены неизвестные ранее качественные особенности нестационарных режимов - появление застойных зон, полностью или частично охватывающих контур границы; при этом застойные зоны выходят за критические кривые, ограничивающие застойные зоны в стационарном случае.

Заключение

В заключение диссертации сформулируем ее основные результаты.

• Предложены две разностные схемы для смешанной постановки в переменных «скорость-тензор скоростей деформаций-тензор напряжений», являющиеся обобщением хорошо известных в вычислительной гидродинамике схем на разнесённых (МАС-схема) и полуразнесённых сетках, для антиплоской, плоской и трехмерной задачи вязкопластичности. На основе теории внешних аппроксимаций обоснована сходимость решения конечномерной задачи к решению непрерывной.

• Разработаны, обоснованы и численно реализованы новые методы решения стационарной и нестационарной задачи течения среды Бингама (на основе алгоритма Узавы и ALG2)

• Для схемы на полуразнесенных сетках в трехмерном случае проведено аналитическое исследование ядра дискретного оператора градиента. Предложены, обоснованы и численно реализованы два подхода решения вырожденной задачи Стокса: поиск нормального решения на подпространстве, ортогональном ядру, и стабилизация разностной схемы путём введения дополнительного слагаемого в уравнение несжимаемости.

• На основе разработанных разностных схем и известной схемы по времени (неявная схема Эйлера) проведено численное моделирование нестационарных течений вязкопластической среды для задач течения в каверне и каналах.

1. Arrow К., Huiwicz L., Uzawa H. Studies in Nonlinear Programming. — Stanford University Press, Stanford , CA, 1958.

2. Benzi M., Golub G. H. and Liesen J. Numerical solution of saddle point problems. //Acta Numerica. 2005. V. 14. P. 1-137.

3. Bercovier M., Engelman M. A finite element method for incompressible non-Newtonian flows. Ц J. Сотр. Phys. 1980. V. 36. P. 313-326.

4. Berrone S. Adaptive discretization of the Navier Stokes equations by stabilized finite element methods. // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2001. V. 190(40). P. 4435-4455.

5. Bingham F.C. Fluidity and Plasticity. — New York, 1922.

6. Bochev P.B., Dohrmann C.R., Gunzburger M.D. Stabilization of low-order mixed finite elements for the Stokes equations // SIAM J. Num. Anal. 2006. V. 44. P. 82-101.

7. Boland J.M., Nicolaides R.A. Stability of finite elements under divergence constraints // SJAM J. Numer. Anal. 1983. V. 20.

8. Boland J.M., Nicolaides R.A. On the stability of bilinear-constant velocity-pressure finite elements // Numer. Math. 1984. V. 44. P. 219-222.

9. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. — New York: Springer-Verlag, 1991.

10. Byron-Bird R., Dai G.C., Yaxusso B.J. The Rheology and Flow of Viscoplastic Materials //Rev. Chem. Eng. 1983. V. 1. №1. P. 2-70.

11. Cea J. Approximation variationelle des problemes aux limites // Annales de I'institut Fourier. 1964. V. 14. P. 345-444.

12. Chatzimina M. et.al. Cessation of Couette and Poiseulle flows of a Bingham plastic and finite stopping times // J.N on-Newtonian Fluid Mech. 2005. V. 129. P. 117-127.

13. Chatzimina M. et.al. Cessation of annular Poiseulle flows of Bingham plastics Ц J.Non-Newtonian Fluid Mech. 2007. V. 142. P. 135-142.

14. Dean Б. J., Glowinski R. Operator-splitting methods for the simulation of Bingham visco-plastic flow. / Chin. Ann. Math. 2002. V. 23. P. 187-204.

15. Dean E. J., Glowinski R., Guidoboni G. On the numerical simulation of Bingham visco-plastic flow: Old and New results Ц J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2007. V. 142. P. 36-62.

16. Fortin M., Glowinski R. Augmented Lagrangian Methods: Applications to the Numerical Solution of Boundary-Value Problems. — North-Holland, Amsterdam, 1983.

17. Fortin M., Peyret R., Temam R. Resolution numerique des equations de Navier-Stokes pour un fluide visqueux incompressible Ц J. Mecanique. 1971. V. 10. P. 357-390.

18. Franca L.P., Stenberg R. Error analysis of some Galerkin least-squares methods for the elasticity equations // SI AM J. Numer. Anal. 1991. (V. 28.) P. 1680-1697.

19. Frigaard I.A., Nouar C. On the usage of viscosity regularisation methods for visco-plastic fluid flow computation Ц J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2005. V. 127. P. 1-26.

20. Fuchs M., Seregin G.A. Variational Methods for Problems from Plasticity Theory and for Generalized Newtonian Fluids. Lecture Notes in Mathematics. — Springer, Berlin, 2000.

21. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. — Springer, Berlin, 1986.

22. Glowinski R. Numerical methods for Nonlinear Variational Problems. — Springer-Verlag, New York, 1984.

23. Glowinski R., Le Tallec P. Augmented Lagrangians and Operator-Splitting Methods in Continuum Mechanics. — SIAM, Philadelphia, PA, 1989.

24. Gunzbuger M. D. Finite element methods for viscous incompressible flows. A guide to theory, practice and algorithms. — Acad. Press Inc., Boston, 1989.

25. Huilgol R. R., Mena В., Piau J.M. Finite stopping time problems and rheometry of Bingham fluids Ц J.N on-Newtonian Fluid Mech. 2002. V. 102 P. 97-107.

26. Huilgol R. R., You Z. Application of the augumented Lagrangian method to steady pipe flows of Bingham, Casson and Herschel-Bulkley fluids // J.N on-Newtonian Fluid Mech. 2005. V. 128. P. 126-143.

27. Ionescu I.R., Sofonea M. Functional and numerical methods in viscoplasticity. — Oxford University Press, Oxford, 1993.

28. Kato Y. Variational inequalities of Bingham type in three dimensions Ц Nagoya Math. J. 1993. V. 129 P. 53-95.

29. Kim J.U. On the initial boundary value problem for a Bingham fluid in a three-dimensional domain Ц Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 304 P. 751-770.

30. Kobelkov G. M., Valedinskiy V. D. On the inequality ||p|| < c||gradp||i and its finite dimensional image // Sov. J. of Numer. Anal, and Math. Modelling. 1986. V. 1. P. 189-200.

31. Konnov I.V. Equilibrium Models and Variational Inequalities. — Elsevier, Amsterdam, 2007.

32. Kravchuk A. S., Neittaanma"ki P. J. Variational and Quasi-Variational Inequalities in Mechanics. — Springer Verlag, Berlin, 2007.

33. Ladyzhenskaya O. A. On modified Navier-Stokes equations for large velocity gradients // Zapiski Nauchnyh Seminarov LOMI. 1968. V. 7. P. 126-154.

34. Ladyzhenskaya O. A., Seregin G.A. On semigroups generated by initial-boundary value problems descibing two-dimensional visco-plastic flows //Amer. Math. Soc. Transl. 1995. V. 164. P. 99-123.

35. Lions J. L. С ours d'analyse numerique. — Faculte des Sciences, Paris, 1961.

36. Mitsoulis E., Zisis Th. Flow of Bingham plastics in a lid-driven cavity Ц J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2001. V. 101. P. 173-180.

37. Moyers-Gonzalez M. A., Frigaard I. A. Numerical solution of duct flows of multiple visco-plastic fluids Ц J. N on-Newtonian Fluid Mech. 2004. V. 122. P. 227-241.

38. Neittaamaki P., Repin S. Reliable Methods for Computer Simulation. Error Control and A Posteriori Estimates. — Elsevier, New York, 2004.

39. Nicolaides R. A. Analysis and Convergence of the MAC Scheme I. The Linear Problem //SIAM J. Num. Anal 1992. V. 29. P. 15791591.

40. O'Donovan E. J., Tanner R. I. Numerical study of the Bingham squeeze film problem. /J J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1984". V. 15. P. 75-83.

41. Oldroyd J.G. Two-dimensional plastic flow of a Bingham solid. A plastic boundary-layer theory for slow motion / Proc. Camb. Phil. Soc. 1947. V. 43. P. 383-395.

42. Papanastasiou T.C. Flow of Materials with Yield. Ц J. Rheol. 1987. V. 31. №5. P. 385-404.

43. Prager W. On Slow Visco-Plastic Flow /Chapter in Studies in Mathematics and Mechanises. Volume presented to Richard fon Mises. — Academic Press, 1954.

44. Repin S. A Posteriori Estimates for Partial Differential Equations. — De Gruyter, Berlin, 2008.

45. Roquet N., Saramito P. An adaptive finite element method for viscoplastic fluid flows in pipes Ц Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2001. V. 190(40). P. 5391-5412.

46. Roquet N., Saramito P. An adaptive finite element method for Bingham fluid flow around a cylinder / Comput. Meth. Appl Mech. Eng. 2003. V. 192. P. 3317-3341.

47. Sanchez F.J. Application of a first-order operator splitting method to Bingham fluid flow simulation Ц Comput. Math. Appl. 1998. V. 36. №3. P. 71-86.

48. Seregin G. A. Continuity for the strain velocity tensor in two-dimensional variational problems from the theory of the Bingham fluid Ц Italian Journal of Pure and Applied Mathematics. 1997. V. 2. P. 141-150.

49. Shwedov F.N. La rigidite de liquides Ц Rapport Congr. Intern. Phys. 1900. Paris, V. 1. P. 478-486.

50. Signorini A. Sopra alcune questioni di Elastostatica. // Atti della Societa Italiana per il Progresso della Scienza. 1933.

51. Stenberg R. Error analysis of some finite element methods for the Stokes problem / Math. Сотр. 1990. V. 54. P. 495-508.

52. Tremolieres R. Inequations variationnelles: existence, approximations, resolution. Ц These, Universite de Paris VI. 1972.

53. Vincent C., Baret G. On the stability of the Stokes operator discretized by the Q1-P0 finite-element method / Commun. Numer. Meth. Eng. 1998. V. 14. P. 959-961.

54. Vola D., Boscardin L., Latche J.C. Laminar unsteady flows of Bingham fluids: a numerical strategy and some benchmark results // J. Сотр.Phys. 2003. V. 187. P. 441-456.

55. Zhu H., De Kee D. A numerical study of Couette flow of non-Newtonian fluids with a yield stress. // J.N on-Newtonian Fluid Mech. 2007. V. 143. P. 64-70.

56. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей. — М.: Наука, 1988.

57. Ваничук Н.В. Расчёт течений вязкопластической среды в трубах методом локальных вариаций Ц Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966ю Т. 1 №6. С. 197-200.

58. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М., Наука, 1975.

59. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М., Физико-математическая литература, 1994.

60. Белоцерковский О. М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости //ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15. №1. С. 197207.

61. Бескачко В.П., Головня О.А., Коренченко А.Е. Численная модель нестационарного течения вязкопластической жидкости в ротационном вискозиметре // ИФЖ. 2007. №1. С. 12-14.

62. Вабшцевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесённых сетках ЦМатематическое моделирование. 1997. Т. 9. №4. С. 85-114.

63. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. — М., МГУ, 1987.

64. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. — М.: Факториал, 2002.

65. Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического равновесия //Изв. АН СССР. ОТН. 1937. №2.

66. Гловински Р., Лионе Ж. Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. — М.: Мир, 1979.

67. Голуб Д. Матричные вычисления. — М.: Мир, 2001.

68. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1989.

69. Гольштейн Е. Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. — М.: Наука, 1989.

70. Гущин В.А. Пространственное обтекание трёхмерных тел потоком вязкой жидкости II ЖВМ и МФ. 1976. Т. 16. №2. С. 529-534.

71. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980.

72. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. — М.: Наука, 1982.

73. Ильюшин А.А. Деформация вязко-пластического тела Ц Уч.записки МГУ, Механика. 1940. Вып. 39. С. 3-81.

74. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: Издательство МГУ, 1990.

75. Ильюшин А.А. Труды. Т. 1 (1935-1945). — М.: Физматлит, 2003.

76. Карчевский М. М., Ляшко А. Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. — Казань: Изд-во КГУ, 1976.

77. Каханер Д., Молер К., Нэш С. Численные методы и математическое программное обеспечение. — М.: Мир, 1998.

78. Киндерлерер Д., Стампакья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. — М.: Мир, 1983.

79. Климов Д. М., Петров А. Г., Георгиевский Д. В. Вязкопластиче-ские течения. Динамических хаос, устойчивость, перемешивание. — М.: Наука, 2005.

80. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление Ц Вычислительные процессы и системы. Вып. 8. М.: Наука, 1991. С. 204-236.

81. Коренченко А.Е., Бескачко В.П., Головня О.А. Возможность идентификации вязкопластических свойств жидкостей в экспериментах с крутильным вискозиметром // ПМТФ. 2006. Т. 47. №6. С. 59-63.

82. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970.

83. Лапин А. В. Введение в теорию вариационных неравенств. — Казань: Изд-во КГУ, 1981.

84. Лапин А. В. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств. — Казань: Изд-во КГУ, 1984.

85. Лебедев В.И. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных //Изв. АН СССР. 1958. Т.22. С. 717-734.

86. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, фундаментальных дифференциальных операторов и основных начально-краевых задач математической физики // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. №3, 4.

87. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Физматлит, 2000.

88. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972.

89. Марчук Г.И. Методы расщепления. — М.: Наука, 1988.

90. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981.

91. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала.1. М.: Гостехиздат, 1952.

92. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.1. М.: Наука, 1970.

93. Мосолов П.П. Вариационные методы в нестационарных задачах (параболический случай) Ц Изв. АН СССР. Серия матем. 1970. Т. 43. №2. С. 425-457.

94. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды // ПММ. 1965. Т. 29. №3. С. 468-492.

95. Мосолов П.П., Мясников В.П. О застойных зонах течения вязко-пластической среды в трубах Ц ПММ. 1966. Т. 30. №4. С. 705-717.

96. Мосолов П.П., Мясников В.П. О качественных особенностях течений вязко-пластической среды в трубах / ПММ. 1967. Т. 31. т. С. 609-613.

97. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязкопластических сред. — М.: Изд-во МГУ, 1971.

98. Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. — М.: Мир, 1988.

99. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. — М.: Изд-во МГУ, 1970.

100. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. — М.: Мир, 1989.

101. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. — М.: Иностранная литература, 1963.

102. Рейнер М. Реология. — М.: Наука, 1965.

103. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.

104. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977.

105. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: УРСС, 2003.

106. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — М.: Физматлит, 2001.

107. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.

108. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1994.

109. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

110. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. — М., Мир, 1991.

111. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 2004.

112. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра. — М.: Физматлит, 2007.

113. Федоренко Р. П. Приближённое решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978.

114. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. — М.: Издательство МФТИ, 1994.

115. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. — М.: Мир, 1974.

116. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. — М.: Мир, 1991.

117. Черноусько Ф.Л, Баничук Н.В., Петров В.М. Численные решения вариационных и краевых задач методом локальных вариаций Ц ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6. №6.

118. Чижонков Е.В. Релаксационные методы решения седловых задач. М.: ИВМ РАН, 2002.

119. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. — М.: Мир, 1979.

120. Публикации по теме диссертации:

121. Муравлёва Е.А. О ядре дискретного оператора градиента Ц Вычислительные методы и программирование. 2008. Т. 9. №1. С. 97-104.

122. Муравлёва Е.А. Разностные схемы для расчета течений вязко-пластической среды в канале Ц Математическое моделирование. 2008. Т. 20. №12. С. 76-88.

123. Muravleva Е.А., Olshanskii М.А. Two finite-difference schemes for the Bingham cavity flows Ц Rus. J. of Num. Anal, and Math. Modelling. 2008. V. 23. №6. P. 615-634.

124. Муравлёва Е.А. Задача об остановке течения вязкопластической среды в канале Ц Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2009. №1. С. 68-71.

125. Муравлёва Е.А., Муравлёва Л.В. Нестационарные течения вязкопластической среды в каналах Ц Изв. РАН. Механика твердого тела. 2009. №5. С. 164-188.

126. Муравлёва А.В., Муравлёва Е.А. Торможение течений вязкопластической среды в каналах Ц Доклады РАН. 2010. Т. 430. №3. С. 1-4.

127. Muravleva L.V., Muravleva Е.А. Uzawa-like algorithm on semi-staggered grids for unsteady Bingham medium flows Ц Rus. J. of Num. Anal, and Math. Modelling. 2009. V. 24. №6. P. 543-563.

128. Oseledets I.V., Muravleva E.A. Fast orthogonalization to the kernel of the discrete gradient operator with application to Stokes problem Ц Linear Algebra and its Applications. 2010. V. 432. №6. P. 14921500.

129. Муравлёва Л.В., Муравлёва Е.А. Нестационарные течения вязкопластической среды в каналах Ц Рукопись деп. в ВИНИТИ РАН 25.01.10, № 26 В2010.1. Я) «И- 174-1-1 ЧЬ/

130. Muravleva L.V., Muravleva E.A., Georgiou G.C., Mitsoulis Б. Numerical simulations of cessation flows of a Bingham plastic with the Augmented Lagrangian Method // J. Non-Newtonian Fluid. Mech. 2010. V. 165. P. 544-550.

131. Muravleva E.A. Finite-difference schemes for Bingham fluid flow in cavity Ц International conference «Matrix methods and operator equations». Book of abstracts. Moscow. 2007. P. 61.

132. Муравлёва E.A. Решение одной нестационарной задачи для среды Бингама на основе эволюционных вариационных неравенств //Материалы Седьмого Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань. 2007. С. 213-218.

133. Muravleva E.A. Numerical simulation of 3D flows of Bingham fluid ]/ Workshop « Viscoplasticity: from Theory to Application». Book of abstracts. Monte Verita, Ticino, Switzerland. 2007. P. 35.

134. Muravleva L.V., Muravleva E.A. Start-up and cessation of Couette and Poiseuille flows of a Bingham plastic // Workshop «Vis coplasticity: from Theory to Application». Book of abstracts. Limassol, Cyprus. 2009. P. 30.

135. Muravleva E.A., Muravleva L.V. Numerical simulation of unsteady flows of Bingham plastic in pipes of different cross-section // Workshop «Viscoplasticity: from Theory to Application». Book of abstracts. Limassol, Cyprus. 2009. P. 29.

136. Муравлёва E.A. Исследование вырожденной схемы для задачи Стокса // Труды XXVIII конф. молодых ученых механико-математического факультета МГУ. Москва, изд-во Моск. ун-та. 2006. 2006. С. 120.

137. Л.В. Муравлёва, Муравлёва Е.А. Решение задачи о каверне для среды Бингама / Сборник тезисов «Ломоносовские чтения». Москва, изд-во Моск. ун-та. 2006. С. 120.

138. Муравлёва Е.А. Анализ сходимости алгоритмов типа Узавы для расчета течений вязкопластической среды в каналах / Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009». Москва, изд-во Моск. ун-та. 2006. С. 94.