Задачи со свободной границей в моделях динамики вязкоупругих сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Оес/

Осипов Сергей Владимирович

ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ В МОДЕЛЯХ ДИНАМИКИ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11111111! 11111111III

ООЗ 174225

Новосибирск - 2007

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

чл.-корр. РАН В.В. Пухначев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

О.В. Воинов;

кандидат физико-математических наук, доц. А.А. Чесноков.

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург .

Защита состоится "7" ноября 2007 года в "15.00" часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.274.09 по присуждению ученой степени кандидата наук при Тюменском государственном университете по адресу: 625000, г. Тюмень, ул. Перекопская, 15а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан "7" октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы С развитием высоких технологий, медицины, добывающей и химической индустрии широкое внедрение в практику получили различные реологически сложные материалы - полимерные растворы и расплавы, эмульсии, суспензии Описание и анализ соответствующих процессов и явлений, таких как движение высокопарафинистой и смолистой нефти, седиментация взвесей, биофизические процессы в живых клетках, дегазация растворов и расплавов полимеров, произодство химических волокон, нанесение покрытий, требуют привлечения математических моделей соответствующей сложности, учитывающих индивидуальные реологические особенности и имеющих существенные отличия от классических ньютоновских жидкостей Использование материалов и жидкостей в условиях, при которых в них присутствуют полости, твердые частицы, капли отличных сред приводит к необходимости исследования вопросов движения дисперсных элементов в жидкой матрице с неньютоновскими свойствами

В работе не рассматриваются задачи воздействия взрывных нагрузок на вязкоупругие среды, распространение звуковых волн в них и тд Область применимости - это медленно меняющиеся нагрузки, слабые силовые поля, состояния, близкие к равновесным Это позволяет не учитывать вязкую диссипацию энергии и ограничиться случаем изотермических течений несжимаемых сред

Работа относится к актуальному направлению гидродинамики — изучение движения вязкоупругих сред со свободными границами

Целью работы является теоретическое исследование сложных по своей природе вязкоупругих и вязкопластических сред на примерах сред Максвелла, Кельвина-Фойгта и Бингама, выявления новых закономерностей, явлений и свойств, возникающих в известных задачах движения дисперсных элементов, полостей, но в более сложных, чем ньютоновских, и малоизученных средах

Методы исследования При получении результатов работы использовались методы теории уравнений математической физики, функций комплексного переменного, преобразование Лапласа Для численного решения применялись конечно-разностные методы

Основные результаты и их научная новизна.

1 Сформулирована задача о нестационарном движении капли вязкоупру-гой максвелловской жидкости в среде Максвелла под действием переменных массовых сил Найдено преобразование, осуществляющее перевод координат в неинерциальную систему, связанную с движением центра масс капли, относительно которого уравнение импульса инвариантно

В осесимметричном случае в линейном приближении построено интегро-дифференциальное уравнение для скорости движения капли Осуществлен

предельный переход по плотности и вязкости внутренней среды В данных предельных случаях проведен переход к дифференциальному уравнению 6 порядка Получено аналитическое решение задачи для твердого шарика и пузырька газа для случая монотонных и периодических внешних сил Проведен анализ зависимости амплитуды скорости капли и сдвига фазы колебаний от времени релаксации внешней и внутренней сред, а также от частоты колебаний вынуждающей силы Показано, что время релаксации внешней среды оказывает большее влияние на картину течения, чем внутренней Установлена немонотонная зависимость скорости и сдвига фазы колебаний от времени релаксации внутренней среды

В предельном случае, когда время релаксации, характеризующее среду Максвелла, стремится к нулю, установлено согласование результатов с классической формулой Адамара-Рыбчинского для вязкой жидкости

2 Рассмотрена математическая модель процесса схлопывания сферической полости в вязкоупругой среде Максвелла под действием постоянного давления на бесконечности Построено дифференциальное уравнение движения границы полости и найдено его численное решение

Найдено существование трех различных типов поведения границы Установлено, что наличие сил упругости приводит к существованию новых режимов, отсутствующих в вязкой жидкости, при которых граница полости движется колебательно с затуханием колебаний с течением времени Показано, что режимы, при которых стягивание полости происходит за конечное и бесконечное время, отделяются друг от друга поверхностью в пространстве трех параметров числа Рейнольдса, времени релаксации, характеризующем среду Максвелла, и начального ускорения границы полости

Определена асимптотика решения задачи вблизи момента стягивания полости в точку в установленных случаях

Проведен анализ зависимости решения от времени релаксации, начального радиуса полости и начального ускорения движения ее границы Показано, что увеличение этих параметров стимулируют стягивание полости в точку за конечное время

3 Рассмотрена задача схлопывания сферической полости в вязкоупругой среде Кельвина-Фойгга Построено дифференциальное уравнение движения границы полости и найдено его численное решение

Установлено существование трех различных режимов поведения границы и построена карта данных режимов на плоскости определяющих параметров Найдена асимптотика решения задачи во всех установленных случаях

Показано, что наличие сил упругости на начальном этапе ускоряет, а с течением времени замедляет процесс схлопывания полости, а также приводит к существованию третьего режима, отсутствующего в вязкой жидкости, при котором радиус полости стремится к определенному положительному значению по колебательному закону

Построено численное решение задачи с учетом сил поверхностного натяжения Проведен анализ зависимости решения от капиллярных сил, начального радиуса полости и упругих свойств среды Показано, что капиллярные силы ускоряют процесс схлопывания полости

4 Построено точное решение задачи о стационарном течении жидкости Бингама в цилиндрической трубе с водяной смазкой Найдено поле скоростей течения жидкостей Определены границы «жесткой зоны» Получена формула расхода жидкости Бингама, показывающая наличие оптимального режима транспортировки нефти, моделируемой жидкостью Бингама, при определенной толщине слоя воды

В задаче о движении капли в среде Бингама под действием сил плавучести в случае стационарного осесимметрического течения приближенно определена форма «поверхности текучести», качественно совпадающая с поверхностью, численно построенной ранее [10]

Все полученные результаты являются новыми.

Достоверность результатов исследований подтверждается точностью применяемых методов, сравнением аналитических решений и численных расчетов, а также согласованием результатов в предельных случаях с известными ранее соотношениями для ньютоновских жидкостей

Теоретическая и практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы для расчета динамики дисперсных элементов и процесса схлопывания полостей в вязкоупругих средах Результаты могут использоваться в некоторых случаях оптимизации транспортировки нефти и других вязкопластических жидкостей Построенные в работе решения найдут применение при интерпретации экспериментов по движению двухфазных систем в условиях микрогравитации

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на международных конференциях, а также научных семинарах

Конференции

1 Международная научная конференция «Нелинейные уравнения в частных производных» (НРБЕ-2007), посвящена памяти академика И В Скрыпника Ялта, Украина, сентябрь, 2007,

2 Международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость», Санкт-Петербургский государственный университет Санкт-Петербург, апрель, 2007,

3 Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Московский государственный университет Москва, апрель, 2006,

4 Международная конференция «Математическая гидродинамика модели и методы», посвящена 70-летию профессора В И Юдовича Ростов-на-

Дону, октябрь, 2004,

5 Международная Научная Студенческая Конференция, Новосибирский государственный университет Новосибирск, Апрель 2003, 2004, 2005

Семинары

1 Научный семинар ТФ ИТПМ СО РАН, рук проф А А Губайдуллин Тюмень, сентябрь, 2007,

2 Совместный семинар Отдела прикладной гидродинамики Института гидродинамики им Лаврентьева СО РАН и кафедры гидродинамики Новосибирского государственного университета, рук-ли чл -корр РАН В В Пухначев, чл -корр РАН В М Тешуков Новосибирск, июнь, 2007,

3 «Нестационарные задачи механики и физики», рук чл -корр РАН Ю В Петров, Институт Проблем Машиноведения РАН Санкт-Петербург, апрель 2007,

4 Семинар кафедры математического моделирования ТюмГУ, рук-ли проф В О Бытев, проф В Н Кутрунов, Тюменский государственный университет Тюмень, февраль, 2007,

5 «Гидродинамика и тепломассообмен в невесомости», семинар отдела прикладной гидродинамики, рук чл -корр РАН В В Пухначев, Институт гидродинамики им Лаврентьева СО РАН Новосибирск, май, 2005

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 статьи в рецензируемых журналах [11]-[12], включенных в перечень ВАК, одна статья находится в печати [13], 4 печатных работы опубликованы в материалах и трудах международных конференций [14]-[17]

Структура работы. Диссертация объемом 72 страницы состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы В тексте содержится 26 рисунков Список литературы включает 44 наименования работ отечественных и зарубежных авторов

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель выполненных исследований, научная новизна и достоверность результатов, описана структура и содержание работы, дан список публикаций и апробации работы

В первой главе рассматривается движение капли, а также пузырька и твердого шарика в вязкоупругой среде Максвелла

1 1 Введение Краткий обзор литературы Определение и свойства среды Максвелла

1 2 Постановка задачи Требуется найти поверхность Г,, которая разбивает пространство i?1 на ограниченную односвязную область П* и ее

дополнение = i?1 \Q , поле скоростей v, давлений p, зависящих от времени t и пространственных координат х и удовлетворяющих уравнениям д\ 1

--1- v V v=—divP+g, V v=0

dt ~ P (1 1)

Г„,^ + Р = -р1+2/Ш, dt

условиям сопряжения

[P n]1 =aK n

(1 2)

V„ = v n, [v]' = 0 на Г, условию на бесконечности

v-*0,|x|->oo, (13)

и начальным условиям

v = 0,r, =Г,={х \х\=а},Р = Р0, г = 0 (14)

Здесь [f]1=ff-f~,f± - предельные значения функции f{x,t) при стремлении х к точке поверхности Г из О.' соответственно, g(0) = 0, dP dP

— =--ьР ¡V + (Р W)т - вращательная производная Яуманна,

dt di

обеспечивающая инвариантность уравнений движения относительно

вращений, W = -^-(vv— Vvr)

1 3 Решение задачи Решение строится с перехода в неинерциальную систему координат, связанную с центром масс капли, движущимся в исходной системе со скоростью u(í) = (0,0,u(t)) , и вводятся соответствующие новые искомые функции, т е

х' = х- f u(í)dt, v' = v-u,Р'=Р + px'{g-и), р'=р- px'[g + Tnlg-u(t)~Tnlu(t)](l 5)

Важно отметить, что уравнение движения системы (1 1) инвариантно относительно указанного преобразования

После обезразмеривания возникают параметры М = а ,Т = —гТе,, где

(■v ) а

gri некоторое «среднее» ускорение Предполагается ^g0«{v')2 и р ag„ «oía Раскладывая формально функции v, р,Р в ряд по М , получим для первого приближения задачу с М = 0, которая допускает точное решение со сферической границей раздела Г, = Г = {х | х [= I}

Решение строится с помощью преобразования Лапласа, которое определяется по формуле A'(s) =

В результате определяется поле образов скоростей внутри и вне капли Для скорости центра масс капли строится интегродифференциальное уравнение

д + =(р° -i)(Tg'(0+g(0) (1 б)

2 о

Скорость, получаемая в результате предельного перехода по времени релаксации внутренней и внешней жидкостей, переходит в скорость, равную аналогичной в статье Антановского и Копбосынова для ньютоновской жидкости [1]

Предполагая, что существует предел функции g(t) при t оо, получаем формулу для предельной скорости

<-«. (1/2 + p )s + aB(s) 3(2 + 3¿и ) <-*»

Полученная установившаяся скорость в точности совпадает со скоростью движения капли под действием архимедовых сил, представляемой формулой Адамара-Рыбчинского [2] Вполне закономерно, что данный результат не зависит от времени релаксации Тге/ Это согласуется с физическими законами

поведения жидкости Максвелла

1 4 Результат действия монотонных массовых сил В некоторых предельных случаях уравнение (1 6) может быть проинтегрировано Рассматривается движение газового пузырька в среде Максвелла в случае воздействия на систему силы, изменяющейся по закону g(t) - te~', чему соответствует g*(i) = l/(i + l)2 Положим = О В итоге получим

' P(s)

Для определения оригинала скорости u(t) движения дисперсного элемента в среде Максвелла используем обратное преобразование Лапласа и методы ТФКП В результате, скорость определяется следующим способом

u(t) = — °Jf (s)e"ds = £ Res[F' (s)e", at ]

2m a-œ

Аналогично рассматривается случай движения твердого шарика, когда

/л" =00

1 5 Результат действия периодических массовых сил Рассмотрим задачу о движении капли, возникающем при действии периодических сил Задачи такого типа называются «g-jitter» задачами

Полагаем, что g(t) = Ае"". В этом случае функции и,у,Р,р могут быть найдены в виде

и = Яе не"", V = Яе , Р = ЯеРе"", р = Яе ре'".

Вводя сферическую систему координат и применяя процедуру, аналогичную решению задачи с монотонной функцией g(t), получим выражение для скорости, равное

(р'-1)Аеш

и(0 = Яе-

(1.7)

(1/2 + p°)ico + a B(ico)

Переходя к пределу по плотности и вязкости, из выражения (1.7) несложно получить результат для скорости пузырька газа или твердого шарика.

Представляет интерес анализ зависимости скорости капли и сдвига фазы колебаний от параметров времени релаксации Ты окружающей среды и капли.

На первых двух рисунках (Рис. 1.1-1.2) представлены графики амплитуды скорости и сдвига фазы колебаний капли соответственно (скорость указана в сотых см/с). Положено, что частота колебаний вынуждающей силы равна

со = 500 Гц, амплитуда g = 5 см/с 2 , что почти в 200 раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли; отношение плотности внутренней жидкости к внешней р" = 2 , отношение динамических вязкостей р" = 4. На графиках видно, что зависимость движения от параметра времени релаксации внешней жидкости более значительная. Кроме того, с ростом T'tl (от «external» - внешний) снижается влияние Т'г1 (от «internal » - внутренний) на картину движения. Интересным и неожиданным результатом явилось наличие на графиках пиков и впадин. На данный момент это не получило точного обоснования, но по всей видимости, является следствием резонанса собственных колебаний капли и колебаний вынуждающей силы.

Рис.1.!

Рис. 1.2

Далее рассмотрим в качестве параметров время релаксации внешней жидкости Т'с, и частоту со . Фиксируем Т'гг, =0.1с.

0.5

0 I

-0 5- |

-1.5

0 V

200

и 1С

800

1000 0 2 Рис. 1.4

В этом случае видим (Рис. 1.3), что при достаточно малой частоте колебаний (порядка 100 Гц) амплитуда скорости капли растет с увеличением времени релаксации среды Т'е1 . С ростом частоты до 500 Гц такая зависимость исчезает и величина Г*, практически не оказывает влияния на скорость капли. При частоте около 100 Гц сдвиг фазы колебаний близок к нулю (Рис.1.4). При ¿у = 300 Гц и выше, напротив, сдвиг фазы достигает я/2. Заметим, что с увеличением Г", на обоих графиках уменьшается «бугристость», что говорит о снижении относительного влияния Г', .

Ф И

} )к

0.5 щ

0 шШ ■"- т

-0.5

-1 -1.5 11

>

800 -^ЗУ 0 .15 1000 0 2

т3 (С)

Рис. 1.5

На рисунках 1.5 и 1.6 даны графики зависимости исследуемых величин от времени релаксации внутренней жидкости Т'г1 и частоты колебаний а внешней силы (Т'с1=0Лс). Очевидно, что более существенное влияние на картину течения оказывает время релаксации внешней среды, чем внутренней.

На рисунках 1.7 и 1.8 представлены графики амплитуды скорости как функций от времени релаксации внешней среды и частоты колебаний вынуждающей силы при движении твердого шарика и газового пузырька соответственно.

800' 0 ,5 1000 0 J

Рис.1.7

Рис.1.8

Во второй главе рассматривается задача о заполнении полости в среде Максвелла под действием постоянного давления на бесконечности.

2.1. Постановка задачи. Уравнение импульса и реологическое соотношение для среды Максвелла в сферической системе с учетом диагональности тензоров Р и £> и симметрии движения имеют вид:

ди Эич 1 3(г2Р,)

р(— + и—) = —г—--

Эг л с1/"

2 Рм

(2.1)

дР дРЛ „ „ „

— + и— + Р = -pI + 2fiD. dt 8r J

Рассматривается несжимаемая среда Максвелла; для нее справедливо уравнение неразрывности, которое в сферических координатах записывается следующим образом:

ди 2 и — + — = 0 . дг г

(2.2)

Начальные и граничные условия:

ргг =0, r-s(t), />0, (2.3)

Ргг-Рйй=^(''), / = 0, (2.4)

2.2. Решение. Переход к дифференциальному уравнению. Решение строится при естественном предположении RB = 0, что соответствует шаровому тензору напряжений в начальный момент времени t = 0 .

В результате формируется задача для границы полости s(t):

Рп 1

.. J S . S

s +--+ 4v —

2 s s~

•s(0) = о;

s(0) = 0;

Р s

{si.. 3 i2^ d

- + — s +--f

K 2 ■y dt , 2 sjj

0, t > 0 .

(2.5)

(2.6)

dPrr

dr

1 I

2 3 Численное и асимптотическое решение Решение уравнения (2 5) с начальными данными (2 6) строится численно методом Рунге-Кутта В результате, в задаче о охлопывании полости в среде Максвелла определяется 3 различных режима заполнения

1 Монотонное уменьшение радиуса полости до нуля за конечное время с ростом скорости движения границы до бесконечности,

2 Немонотонное схождение полости в точку за конечное время с ростом скорости до бесконечности,

3 Немонотонное схождение полости в точку за бесконечное время с затуханием колебаний границы с убыванием скорости до нуля

Важно отметить, что «точка покоя» в уравнении (2 5) всегда одна, s = О Первый режим, указанный выше, по существу рэлеевский Колебания, возникающие в режимах 2 и 3 за счет сил упругости, продолжаются конечное время, а финальные асимптотики дают монотонное изменение радиуса полости

В случае конечного времени схлопывания увеличение времени релаксации среды Максвелла стимулирует более быстрое стягивание полости в точку

Значительное влияние на конечность времени схлопывания оказывает начальное ускорение полости Большое в абсолютном выражении ускорение наделяет границу полости достаточной кинетической энергией для преодоления сил вязкости и упругости и способствует стягиванию полости

Аналогичное влияние оказывает число Рейнольдса Чем оно выше, что соответствует большему начальному радиусу, тем с большей накопленной энергией проходит граница «критический» радиус, благодаря чему происходит схлопывание за конечное время Критический начальный радиус полости при фиксированном времени релаксации среды — это максимальный радиус, при котором полость не стягивается в точку за конечное время при нулевом начальном ускорении

Резюмируя, отметим, что режимы, при которых стягивание полости в среде Максвелла происходит за конечное и бесконечное время, отделяется друг от друга уже не сепаратрисой, как было у Забабахина в случае вязкой жидкости [3], а поверхностью в пространстве параметров Re, Т и s(0)

На основе асимптотического решения для случаев стягивания полости в точку за конечное и бесконечное время проводится анализ поведения решения задачи (2 5)-(2 6) вблизи момента схлопывания

Устанавливается следующая асимптотика для соответствующих режимов

1 s(t)«A(L-tf'\t-^t.,

t_

2 s(t) к Be 4, t -» oo

В третей главе исследуется задача о заполнении сферической полости в среде Кельвина-Фойгта

3 1 Заполнение сферической полости под действием постоянного давления на бесконечности Математически модель среды Кельвина-Фойгта определяется уравнением состояния вида

Р = -р! + 2/иИ + 2 ркЕ (3 1)

где Е - тензор конечных деформаций Используя уравнения состояния, движения и неразрывности, а также кинематическое условие на границе раздела, формируется задача для неизвестной функции Р

После интегрирования и использования условия согласования на бесконечности Р„=-ра, г —> оо, строится нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с известными начальными данными для границы полости ¿(/)

• а

3 s л s 2s s +--+ 4v— + к-

2 2 Я

s s s а

о

(3 2)

(3 3)

Р }s

s(t) = а, s(t) = 0,t = 0

В результате численного решения, устанавливается, что существует несколько режимов поведения границы полости

1 Схождение в точку,

2 Монотонное уменьшение радиуса до положительного значения,

3 Немонотонное уменьшение радиуса до положительного значения

В первом случае скорость схлопывания растет до

бесконечности, во втором и третьем - убывает до нуля

На рисунке 3 1 приведена карта соответствующих режимов на плоскости определяющих

параметров М =

кр

и Re = —_

А.

Ра " " V Р выделением областей На рисунке 3 2 приводится динамика поведения границы полости для

1.....у

J

-

--- _ область адлебзнии гранку

< ~ -----__

граница монотонно еходатея к положитепьному s кзчеинп

Рис 3 1 Карта режимов поведения границы полости на плоскости М, Ре

случая №3, который отсутствует в вязкой жидкости и появляется благодаря упругим свойствам среды

В случае, когда полость сходится в точку, строится асимптотика решения уравнения (14) вблизи момента схлопывания, которая представляется выражением

m(s) = - - (в + (64 + Ш Re2 Y1 ,

(3 4)

При переходе к пределу «по упругости» асимптотика согласуется с результатом в задаче Забабахина о схлопывании полости в вязкой жидкости [3]-

Во втором и третьем случаях, когда силы упругости достаточно велики и препятствуют схлопыванию полости, предельное значение границы полости с1 определяется из уравнения

Для данных двух случаев проведен анализ на фазовой плоскости 3 2 Учет капиллярных сил Рассматривается поведение полости в вязко-упругой среде Кельвина-Фойгта с учетом капиллярных сил В этом случае уравнение (3 2) принимает следующий вид

Решение строится с помощью численного интегрирования Учет капиллярных сил приводит к результатам, аналогичным рассмотренным выше В отличие от результата Гальперина, описанного в работе [6], в случае малого начального радиуса капиллярные силы не устремляют скорость движения границы полости до конечного ненулевого значения и не приводят к схлопыванию полости за конечное время Режим, обнаруженный Гальпериным, при учете сил упругости вписывается в режим номер два, описанный выше в настоящей работе скорость уменьшается до нуля при стремлении радиуса полости к положительному значению Влияние капиллярных сил проявляется в том, что они стремятся стянуть полость быстрее, чем это происходит только лишь благодаря давлению на бесконечности в случае отсутствия капиллярности Но в процессе схлопывания, при достаточно большом начальном радиусе, силы упругости начинают преобладать и с некоторого момента могут препятствовать полному стягиванию полости в точку, стабилизируя ее радиус на определенном уровне (режим 2)

Асимптотическое поведение границы полости в среде Кельвина-Фойгта в момент схлопывания при наличии капиллярных сил совпадает с асимптотикой движения границы без их учета

В случаях, когда силы упругости велики и препятствуют схлопыванию полости, предельное значение границы с определяется уравнением

[5]

2МсГ + Яе(1 + М)й2 - А/Ле1 = О

(3 5)

2Мс" + Р.е(1 + М)с2 + 2КсЫс-М Яе' = 0 , где N =

а

(3 6)

Рис 3 2 Ке=10, М=1 Немонотонное уменьшение радиуса до положительного значения с убыванием скорости до нуля

В четвертой главе рассматривается течение жидкости Бингама в круглой трубе с водяной смазкой

4 1 Введение Краткий обзор литературы Определение вязкопластиче-ской среды Бингама

4 2 Постановка задачи Рассматривается стационарное течение двух жидкостей в круглой трубе под действием постоянного градиента давлений Жидкость у стенок - ньютоновская, в центре - бингамовская На границе раздела ставится условие равенства скоростей и касательных напряжений Уравнения движения записываются в терминах напряжений

о,

& г

Р' = ц,к + P^,sgnk, к * О, | Р|< Р\ ,к = 0,

0 <г<1,

[н]* =0,[Р']1 = 0, г = 1,

и = 0, / = /?, йи

= О,

с1г г т = цгк, 1<г< Я

(4 1)

(4 2)

™ ф

где к = —, О = —— - градиент давлении, и - скорость течения жидкости, <Лг ск

М0М2 " динамические вязкости жидкостей Бингама и ньютоновской соответственно, I - радиус области, занимаемой средой Бингама, Я - радиус трубы

Система уравнений (4 1)-(4 2) включают в себя условия на границе «жесткой» зоны г = г,, для которой выполнены соотношения

¿и

И-

= О, Р'= Р.,

где к - неизвестная величина Очевидно, в силу симметрии течения жесткая зона существует

4 3 Решение Анализ результатов В качестве масштабов напряжения, длин по радиусу и по оси трубы, скорости выбираются величины Р\, Я и X, Р\ Ш ¡лг соответственно Здесь X - некоторая характерная длина С1 = С/?/ X В результате решения находится поле скоростей

М, 4 4 6,

Щ-> 1, и(г) =

-(-

С?,/

С,//, ~

^(1 -г2), 4

4

О <г< —,

С/

1<г< 1

<77

<1, и(г) =

(1-/2),0<г</,

(1-г2),/<г<;1

Расход 2 жидкости Бингама определяется следующими выражениями

4

б =

(1 г2) I (1

4

<77 ЗШ

3&7:

-), 0,112 > 1,

При I -> 1 значения скорости и(>) и расхода 2 стремятся к уже известным результатам [7] Полагая, что жидкость Бингама моделирует нефть, а ньютоновская жидкость - воду, можем рассмотреть зависимость расхода нефти от толщины слоя воды Оказывается, находится такое /, при котором расход нефти существенно увеличивается по сравнению со случаем, когда нефть не обладает водяной смазкой Это иллюстрирует Рис 4 1 Здесь М,/Мг = 10,6, = 50

Большую роль играют значения коэффициентов вязкости жидкостей Чем больше отношение ц, к ¡л,, тем ощутимее относительное увеличение расхода жидкости Бингама со слоем смазки и без него

С уменьшением же коэффициента вязкости внутренней жидкости до значения «смазывающей» жидкости и ниже, и при условии <7, »2, величина оптимального слоя смазки, при котором достигается максимум расхода

жидкости Бингама, стремится к нулю (Рис 4 2 /у',и2 = 0 5,0, = 50 ) Если последнее не выполняется и вязкость внутренней жидкости не выше вязкости смазки, то и в этом случае смазка увеличивает расход жидкости Бингама

Рис 4 1

Рис 4 2

Заметим, что при малом градиенте давлений, в случае, когда О, < 2, «жесткая» зона занимает всю область жидкости Бингама и при отсутствии водяной смазки расход будет нулевым

4 4 Движение капли под действием сил плавучести Рассматривается задача движения капли в среде Бингама под действием массовых сил. Важной особенностью, которая отличает данную задачу от задачи из первой главы, является существование поверхности, выделяющей области, где среда движется как жидкость и твердое тело В первой области течение описывается уравнением

Р\

Р'= 2иО + -—— £>,

\о\

во второй напряжение не определено и является искомой величиной Поверхность, отделяющая эти зоны, задается тождеством | Р'\= Р\

Используя выражение для установившейся скорости движения капли в вязкой жидкости (задача Стокса) [2] и уравнение состояния Р'= 2/Ю, можно определить поверхность, находящуюся на некотором расстоянии от капли, которая качественно совпадает с границей текучести при движении твердого шарика в теле Бингама, численно найденной в работе Бериса и других [10] Уравнение для «свободной границы» имеет следующий вид

Р'1

, где -

Зсоб2 &\ А +

3 В

+ 18 В

&т2в

Картина сечения данной поверхности в сравнении с ранее полученным результатом [10] приведена на Рис 4 5

...... Численное решение

- Аналитическое решение

Рис.4.5

В заключении приводятся основные выводы и результаты, полученные в работе.

ЛИТЕРАТУРА.

[1] Антановский Л.К., Копбосынов Б.К. Нестационарный термокапиллярный дрейф капли вязкой жидкости // ПМТФ. 1986. №2. С. 59-64.

[2] Бэтчелор Дж. К. Введение в механику жидкости. М.: Мир, 1973.

[3] Забабахин Е.И. Заполнение пузырьков в вязкой жидкости // ПММ. 1960. С. 1129-1131.

[4] Poritsky Н. The Collapse or growth of a Spherical Bubble or Cavity in Viscous Fluid // Proceeding First U.S. Nat. Congress Applied Mech., ASME. 1952. P. 813-821.

[5] Shu S.S. Note on the Collapse of a Spherical Cavity in a Viscous Incompressible Fluid // Proceeding First U.S. Nat. Congress Applied Mech., ASME. 1952. P. 823-825.

[6] Андреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: ВО Наука. 1992.

[7] Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа. 1983.

[8] Стебновский С.В. Динамооптический эффект в гомогенных жидкостях // ЖТФ. 2002. Т.72, №11. С. 24-27.

[9] Стебновский С.В. О сдвиговой прочности структурированной воды // ЖТФ. 2004. Т.74, №1. С .21-25.

[10] Beris A.N.Creeping motion of a sphere through a Bingham plastic // Journal of Fluid Mechanics. V.158. 1985.

В заключение автор искренне благодарит научного руководителя чл.-корр. РАН В.В. Пухначева за постановку задач, полезные консультации и большое внимание к работе; д.ф.-м.н. С.В. Стебновского за ценные замечания и советы; проф. В.В. Шелухина за постановку задачи о течении жидкости Бингама и интерес к работе; проф. В.О. Быгева за важные рекомендации.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

[11] Осипов C.B. Нестационарное движение капли максвелловской жидкости в среде Максвелла под действием монотонных и периодических сил // ПМТФ. 2005. Т. 46, №4. С. 55-65.

[12] Осипов C.B. Стационарное течение жидкости Бингама в круглой трубе с водяной смазкой // Вестник НГУ. 2002. Т.И, вып. 3. С. 67-72.

[13] Осипов C.B. Задача о заполнении сферической полости в среде Кельви-на-Фойгта // ПМТФ. - 2007. В печати.

[14] Osipov S.V. Free Boundary Problems in Models of Viscoelastic Fluids Dynamics II NPDE-2007: Book of Abstracts, International Conference. Yalta, Ukraine, 2007. P. 52-53.

[15] Осипов C.B. Задачи о заполнении полости в вязкоупругих средах Максвелла и Кельвина-Фойгта // Процессы управления и устойчивость: Тез. мат. Международной научной конференции аспирантов и студентов. Санкт-Петербург, 2007. С. 123-124.

[16] Осипов C.B. О некоторых точных решениях в задачах о движении среды Максвелла // «Ломоносов-2006»: Сб. тез. XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Москва, 2006. С. 89-90.

[17] Осипов C.B. Задача Адамара-Рыбчинского для тел Максвелла и Бингама // Студент и научно-технический прогресс: Материалы XLI Международной научной студенческой конференции. Новосибирск, 2003. С. 25-26.

Подписано к печати "5" октября 2007 г. Формат 60x84/16. Объем 0,8 уч.-изд. л. Объем 1,17 усл. печ. л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Тюменском государственном университете. 625000, Тюмень, ул. Семакова, 8а

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ДВИЖЕНИЕ ДИСПЕРСНОГО ЭЛЕМЕНТА В ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЕ МАКСВЕЛЛА.

1.1. Введение.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Преобразование координат.

1.4. Решение.

1.5. Результат действия монотонных массовых сил.

1.6. Результат действия периодических массовых сил.

ГЛАВА 2. ЗАПОЛНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В СРЕДЕ МАКСВЕЛЛА.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Решение. Переход к дифференциальному уравнению.

2.3. Численное и асимптотическое решение.

ГЛАВА 3. ЗАПОЛНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В СРЕДЕ

КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА.:.:.;;:.

3.1. Заполнение сферической полости под действием постоянного давления на бесконечности.

3.2. Учет капиллярных сил.

ГЛАВА 4. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ БИНГАМА В КРУГЛОЙ ТРУБЕ С ВОДЯНОЙ СМАЗКОЙ.

4.1. Введение.

4.2. Постановка задачи.

4.3. Решение. Анализ результатов.

4.4. Движение капли под действием сил плавучести.

Актуальность работы.

С развитием высоких технологий, медицины, добывающей и химической индустрии широкое внедрение в практику получили различные реологически сложные материалы - полимерные растворы и расплавы, эмульсии, суспензии. Описание и анализ соответствующих процессов и явлений, таких как движение высокопарафинистой и смолистой нефти, седиментация взвесей, биофизические процессы в живых клетках, дегазация растворов и расплавов полимеров, произодство химических волокон, нанесение покрытий, требуют привлечения математических моделей соответствующей сложности, учитывающих индивидуальные реологические особенности и имеющих существенные отличия от классических ньютоновских жидкостей. Использование материалов и жидкостей в условиях, при которых в них присутствуют полости, твердые частицы, капли различных сред приводит к необходимости исследования вопросов движения дисперсных элементов в жидкой матрице с неньютоновскими свойствами.

В работе не рассматриваются задачи воздействия взрывных нагрузок на вязкоупругие среды, распространение звуковых волн в них и т.д. Область применимости - это медленно меняющиеся нагрузки, слабые силовые поля, состояния, близкие к равновесным. Это позволяет не учитывать вязкую диссипацию энергии и ограничиться случаем изотермических течений в несжимаемых средах.

Работа относится к актуальному направлению гидродинамики -изучение движения вязкоупругих сред со свободными границами.

Целью выполненных исследований является теоретическое исследование сложных по своей природе вязкоупругих и вязкопластических сред на примерах сред Максвелла, Кельвина-Фойгта и Бингама, выявления новых закономерностей, явлений и свойств, возникающих в известных задачах движения дисперсных элементов, полостей, но в более сложных, чем ньютоновских, и малоизученных средах.

Научная новизна работы заключается в том, что автором впервые решены задачи нестационарного движения капель в вязкоупругих средах под действием монотонных и периодических массовых сил; задачи о схлопывании полости в вязкоупругих средах; получено точное решение задачи о стационарном течении двухфазной системы «жидкость Бингама -ньютоновская жидкость» в круглой трубе.

Достоверность результатов исследований подтверждается точностью применяемых методов, сравнением аналитических решений и численных расчетов, а также согласованием результатов в предельных случаях с известными ранее соотношениями для ньютоновских жидкостей.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы для расчета динамики дисперсных элементов и процесса схлопывания полостей в вязкоупругих средах. Результаты найдут применение при интерпретации экспериментов по движению двухфазных систем в условиях микрогравитации. В некоторых случаях их можно использовать для оптимизации транспортировки нефти по трубам.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на разделы, заключения и списка литературы. Нумерация

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Сформулирована задача о нестационарном движении капли вязкоупругой максвелловской жидкости в среде Максвелла под действием переменных массовых сил. Найдено преобразование, осуществляющее перевод координат в неинерциальную систему, связанную с движением центра масс капли, относительно которого уравнение импульса инвариантно.

В осесимметричном случае в линейном приближении построено интегродифференциальное уравнение для скорости движения капли. Осуществлен предельный переход по плотности и вязкости внутренней среды. В данных предельных случаях проведен переход к дифференциальному уравнению 6 порядка. Получено аналитическое решение задачи для твердого шарика и пузырька газа для случая монотонных и периодических внешних сил. Проведен анализ зависимости амплитуды скорости капли и сдвига фазы колебаний от времени релаксации внешней и внутренней сред, а также от частоты колебаний вынуждающей силы. Показано, что время релаксации внешней среды оказывает большее влияние на картину течения, чем внутренней. Установлена немонотонная зависимость скорости и сдвига фазы колебаний от времени релаксации внутренней среды.

В предельном случае, когда время релаксации, характеризующее среду Максвелла, стремится к нулю, установлено согласование результатов с классической формулой Адамара-Рыбчинского для вязкой жидкости.

2. Рассмотрена математическая модель процесса схлопывания сферической полости в вязкоупругой среде Максвелла под действием постоянного давления на бесконечности. Построено дифференциальное уравнение движения границы полости и найдено его численное решение.

Найдено существование трех различных типов поведения границы. Установлено, что наличие сил упругости приводит к существованию новых режимов, отсутствующих в вязкой жидкости, когда граница полости движется колебательно с затуханием колебаний с течением времени. Показано, что режимы, при которых стягивание полости происходит за конечное и бесконечное время, отделяются друг от друга поверхностью в пространстве трех параметров: числа Рейнольдса, времени релаксации, характеризующем среду Максвелла, и начального ускорения границы полости.

Определена асимптотика решения задачи вблизи момента стягивания полости в точку в установленных случаях.

Проведен анализ зависимости решения от времени релаксации, начального радиуса полости и начального ускорения движения ее границы. Показано, что увеличение этих параметров стимулируют стягивание полости в точку за конечное время.

3. Рассмотрена задача схлопывания сферической полости в вязкоупругой среде Кельвина-Фойгта. Построено дифференциальное уравнение движения границы полости и найдено его численное решение.

Установлено существование трех различных режимов поведения границы и построена карта данных режимов на плоскости определяющих параметров. Найдена асимптотика решения задачи во всех установленных случаях.

Показано, что наличие сил упругости на начальном этапе ускоряет, а с течением времени замедляет процесс схлопывания полости, а также приводит к существованию третьего режима, отсутствующего в вязкой жидкости, при котором радиус полости стремится к определенному положительному значению по колебательному закону.

Построено численное решение задачи с учетом сил поверхностного натяжения. Проведен анализ зависимости решения от капиллярных сил, начального радиуса полости и упругих свойств среды. Показано, что капиллярные силы ускоряют процесс схлопывания полости.

4. Построено точное решение задачи о стационарном течении жидкости Бингама в цилиндрической трубе с водяной смазкой. Найдено поле скоростей течения жидкостей. Определены границы «жесткой зоны». Получена формула расхода жидкости Бингама, показывающая наличие оптимального режима транспортировки нефти, моделируемой жидкостью Бингама, при определенной толщине слоя воды.

Сформулирована задача о движении капли в среде Бингама под действием сил плавучести. В случае стационарного осесимметрического течения приближенно определена форма «поверхности текучести», качественно совпадающая с поверхностью, численно построенной ранее [30].

1. Аванесов A.M., Аветисян И.A., J1.cmpoe А.Т. // Акуст. Журн. - 1976. - Т. 22.-№6.-С. 812-817.

2. Андреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: ВО Наука, 1992.

3. Антановский JI.K., Копбосынов Б.К. Нестационарный термокапиллярный дрейф капли вязкой жидкости // ПМТФ. 1986. -№2. - С. 59-64.

4. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.

5. Бэтчелор Дж.К. Введение в механику жидкости. М.: Мир, 1973.

6. Воинов О.В., Петров А.Г. ii Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М. - 1976. - Т. 10. - С. 86 - 147.

7. Воинов О.В., Пухначев В.В. Модель термокапиллярного движения эмульсии // Доклады Академии Наук. 2005. -Т 402. - № 2. - С. 193 — 196.

8. Воинов О.В., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в газожидкостной смеси // ПМТФ. 1980. - № 5. - С. 38 - 45.

9. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

10. Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.

11. Забабахин Е.И. Заполнение пузырьков в вязкой жидкости // ПММ. -1960г.-С. 1129-1131.

12. Левицкий СЛ., ЛистровА.Т. // ПМТФ. 1974. - № 1. - С. 137 - 142.

13. Левицкий С.П., Шульман З.П. Динамика и теломассообмен пузырьков в полимерных жидкостях. Мн.: Навука i тэхнжа, 1990.

14. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязко-пластических сред. Издательство Московского Университета, 1971.

15. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарное движение вязко-пластичных сред. Издательство Московского Университета, 1970.

16. ПерникА.Д. Проблемы кавитации. JL: Судпромгиз, 1963.

17. Петров А.Г. Точные решения краевой задачи о нестационарном течении вязкопластичной среды между двумя пластинами // Доклады Академии Наук. 1998. - Т. 362. - №3. - С. 343 - 347.

18. Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965.

19. РэлейДж. Теория звука. Т.2. М.: ГИТТЛ, 1955.

20. Стебновский С.В. Динамооптический эффект в гомогенных жидкостях// ЖТФ. 2002. - Т.72, - №11. - С. 24-27.

21. Стебновский С.В. О механизме коагуляции дисперсных элементов в средах, изолированных от внешних воздействий // ПМТФ. 1999. -Т.40,-№4.-С. 156-161.

22. Стебновский С.В. О сдвиговой прочности структурированной воды// ЖТФ. 2004. - Т.74, - №1. - С. 21-25.

23. Стебновский С.В. Термодинамическая неустойчивость дисперсных сред, изолированных от внешних воздействий// ПМТФ. 1999. - Т.40, -№3. - С. 53-58.

24. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М.: Мир, 1964.

25. Хан Ч. Д. Реология в процессах переработки полимеров. М.: Химия, 1979.

26. Шелухин В.В. Модель жидкости Бингама в переменных напряжение-скорость // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 377. - №4.- С. 455-458.

27. Шульман З.П., Левицкий СЛ. Замыкание полости в полимерной жидкости // ИФЖ. 1987. - Т. 53. - № 2. - С. 218-222.

28. Balasubramaniam R., Subramanian R.S. The migration of a drop in a uniform temperature gradient at large Marangoni numbers // Physics of Fluids. April 2000. - V. 12. - Issue 4. - P. 733-743.

29. Basov I. V., Shelukhin V. V. IIZ. angew. Math, und Mech. 1999. - Bd. 79. -P. 185-192.

30. Beris A.N. Creeping motion of a sphere through a Bingham plastic// Journal of Fluid Mechanics. September 1985. - V. 158. - P. 219 - 244.

31. Morison F.A., Stewart M.B. Small Bubble Motion in an accelerating Liquid // Trans. ASME: J.Appl.Mech. 1976. - V. 43. - P. 339 - 403.

32. Pearson G„ Middleman S. // AIChE J. 1977. - Vol. 23. - N 5. - P. 714-722.

33. Poritsky H. The Collapse or growth of a Spherical Bubble or Cavity in Viscous Fluid // Proceeding First U.S. Nat. Congress Applied Mech., ASME. 1952.-P. 813-821.

34. Shima A., Tsujino T. //Sci. Repts. Res. Inst.Tohoku Univ. 1975. - Vol. -B32. - P. 75-86.

35. Shu S.S. Note on the Collapse of a Spherical Cavity in a Viscous Incompressible Fluid // Cal. Inst. Tech. Report. 1952. V. 26. - N. 4 - P. 823-825.

36. Subramanian R.S. Of drops and bubbles the technology of Space processing // Perspect. Comput. - 1984. - V 4. - N. 2-3. - P. 4 - 19.

37. TingR.Y. II AIChE J. 1975. - Vol. 21. - N 4. - P. 810-813.

38. Yoo H.J, Han C.D. II AIChE J. 1982. - Vol. 28. - N 6. - P. 1002-1009.

39. Yoo H.J, Han C.D. И Polym. Proc. Eng. 1984. - Vol. 2. - N 2-3. - P. 129-151.

40. Zana E., LealL.G. И Ind. Eng. Chem. Fundam. 1975. - Vol.14. - N 3. - P. 175-182.

41. Zana E., Leal L.G. II Int. J. Multiphase Flow. 1978. - Vol.4. - N 3. - P. 237-262.

42. Осипов C.B. Нестационарное движение капли максвелловской жидкости в среде Максвелла под действием монотонных и периодических сил // ПМТФ. 2005. -Т.46. -№4. - С. 55-65.

43. Осипов С.В. Стационарное течение жидкости Бингама в круглой трубе с водяной смазкой // Вестник НГУ. 2002. - Т.Н. - Вып. 3. - С. 67-72.

44. Осипов С.В. Задача о заполнении сферической полости в среде Кельвина-Фойгта // ПМТФ. 2007. В печати.