Методы двойственности при решении нелинейных вариационных задач механики сплошной среды тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Перечень условных обозначений.

Введение.

Глава 1.

Устойчивый метод решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе, основанный на схеме двойственности

§1. Постановка задачи.

§2. Метод итеративной ргох-регуляризации.

§3. Методы двойственности.

§4. Алгоритм отыскания седловой точки.

§5. Оценка погрешности численного решения.

§6. Численная реализация.

Глава 2.

Устойчивый метод решения задачи о движении вязкопластичной жидкости Бингама с условием трения на границе.

§1. Постановка задачи.

§2. Теорема эквивалентности.

§3. Методы двойственности.

§4. Численная реализация.

§5. Движение в осесимметричном канале.

Актуальность темы. Моделирование задач механики сплошной среды имеет большое прикладное значение для машиностроения, добывающей, перерабатывающей, химической промышленности, энергетики и т.д. Применение вычислительной техники позволяет заменить трудоемкий и дорогостоящий натурный эксперимент и с достаточно высокой точностью получить требуемые результаты. Однако применение вычислительного эксперимента требует тщательного исследования и обоснования используемых математических методов и алгоритмов, получения оценок погрешности приближенного численного решения.

Математическая постановка задач механики сплошной среды сводится к краевым задачам для уравнений в частных производных. Многие линейные краевые задачи допускают естественную вариационную постановку, что позволяет ослабить ограничения на гладкость искомого решения, при этом естественным образом вводится понятие обобщенного (слабого) решения, а исходная краевая задача сводится к отысканию минимума некоторого выпуклого функционала на линейном множестве.

Однако большой класс важных с практической точки зрения задач имеет нелинейный характер. В последние десятилетия интенсивно

T-vQoDT*D<3i/-vri/->cr тэаг»тдаттт,тг»ттит,та ттпттуптттл т,я тттта тятгпгт» ппггя ряпяи R ияг"тчтпг"ттл таких, как задача об упругопластическом кручении цилиндрического стержня [1, 29, 71, 72], контактная задача теории упругости [17, 24, 37, 51, 57, 64, 73, 74, 75], задача о движении вязкопластичной жидкости Бингама [61, 78], задача фильтрации [28] и другие. Соответствующие вариационные задачи состоят в минимизации выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве и, тем самым, являются задачами на условный экстремум. Они могут быть представлены и в эквивалентной форме вариационных неравенств. Исследования по вариационным неравенствам первоначально были проведены в школе Ж.Л. Лионса [18, 20, 29, 30, 57]. Данное направление развивалось и в работах отечественных исследователей: П.П. Мосолова [34], П.П. Мосолова и В.П. Мясникова [36], В.Л. Бердичевского [4], Н.Н Уральцевой [49], Н.Н Уральцевой и Т.Н. Рожковской [50], Б.Д. Аннина и Г.П. Черепанова [1], A.M. Хлуднева [51, 69, 70], А.В. Лапина [27, 28] и др.

В настоящей работе исследуется задача о движении вязкопластичной жидкости Бингама [54], основной сложностью моделирования которой является наличие у среды предельного напряжения сдвига (предела текучести). Основной вклад в математическое исследование течений вязкопластичных сред внесли П.П. Мосолов и В.П. Мясников [35, 34, 36], в своих работах они сформулировали вариационный принцип для движения жестко-вязкопластичной среды общего вида и обосновали эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок задачи (задача Мосолова-Мясникова). В работах Ж.Л. Дюво, Г.Лионса и Р. Гловински [20, 65] для математического описания движения жидкости Бингама применена теория вариационных неравенств.

Для анализа и решения вариационных задач широко используется аппарат выпуклого анализа и математического программирования, развитый в работах Р. Рокафеллара [44, 74, 75], Б.Н. Пшеничного [42], Б.Н. Пшеничного и Ю.М. Данилина [43], И. Экланда и Р. Темама [53], Ж.П. Обена и И. Экланда [40], Ф.П. Васильева [15, 16], Ж. Сеа [45],

А.С. Антипина [2, 3], А.А. Каплана и К. Гроссмана [19], Е.А. Нурминского [39] и др. В работах [64,18, 58, 66, 67, 68] отражен опыт численного решения нелинейных вариационных задач с использованием методов оптимизации и приводится основательный анализ этих методов с учетом специфики получающихся в результате аппроксимации конечномерных задач.

Проблемой численного решения задач о движении нелинейно-вязких и вязкопластичных сред занимаются достаточно давно. С конца 70-х годов наибольшее распространение получил метод конечных разностей. Здесь в первую очередь следует отметить работы И.М. Васенина, Г.Р. Шрагера, А.П. Нефедова, И.В. Щербаковой [13, 14, 38, 52], в которых решена задача о заполнении цилиндрических емкостей вязкой жидкостью в поле силы тяжести. Развитие методик расчета по данной тематике отражено в работах И.К. Березина [5, 6].

С середины 80-х годов для моделирования движения неньютоновских сред интенсивное развитие получил метод конечных элементов. Систематическое изложение теоретических основ метода конечных элементов имеется в книгах [21, 22, 32, 40, 41, 46, 48]. Проблема конечно-элементной аппроксимации вариационных неравенств отражена в монографиях Р. Гловинского, Ж.Л. Лионса, Р. Тремольера [18], и Главачека, 51. Гаслинтера, 14. Нечаса, 53. Ловкшека [64], Ф. Сьярле [48], С. Бреннера и Л. Скотта [55], Ф. Скарпини и М.А. Вивальди [77], Р.С. Фалка [59, 60] и др. В работах В.К. Булгакова, К.А. Чехонина и М.А. Проценко [7, 8, 9, 10, 11, 12] методом конечных элементов исследовано заполнение осесимметричных областей нелинейно-вязкопластичной жидкостью в неизотермических условиях, исследовано влияние основных реологических параметров на характер гидродинамического процесса, произведен анализ схем конечно-элементных аппроксимаций. Работа A.M. Липанова, М.Ю. Альеса, Ю.Н. Константинова [31] посвящена разработке устойчивых конечно-элементных алгоритмов решения задачи о движении вязкопластичной жидкости.

Минимизируемые функционалы для такого рода задач являются негладкими (недифференцируемыми), что накладывает определенные сложности при разработке алгоритмов их минимизации. Одной из возможностей преодоления таких трудностей является их полное или частичное сглаживание, которое успешно применялось в работах Г. Шмитта [78], А.Я Золотохина, Р.В. Найма и А.В. Пачиной [23]. Другим из направлений является применение вариационных принципов двойственности, в результате чего исходная задача минимизации заменяется задачей по поиску седловой точки функционала Лагранжа, данное направление получило свое развитие в работах Р. Гловински [65], М. Фортена [62], А. Фортена и Д. Коте [61], Брезиса [56].

Несмотря на ряд важных достижений в этой области, применительно к математическому моделированию задач о течении вязкопластичной жидкости остаются открытыми вопросы корректности и точности ттттлттлттттллл ГЧЛТТТЛТТТТГТ ПГ>ПТ>ТТТ1(Т1ЛТТТ ТТЛЛГУ OTTO TTTJOO ТТ Т/ГМТГПЛГУТТЛТ) т> т т^лпо iWWi'oiinui и ojjLLv^Aiifxzi ^ o^/Ctiumx^iuiiv/i ч/ шхшхаии жл. uuivvj/ui конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа, разработки методик численного расчета и эффективных алгоритмов, устойчивых в широком спектре изменения реологических параметров вязкопластичных сред. Вследствие выполнения лишь ослабленного условия коэрцитивности минимизируемых функционалов требует дополнительного исследования и вопрос о существовании и единственности решения.

Цель работы. Разработка и обоснование приближенных методов решения негладких полукоэрцитивных вариационных неравенств с использованием выпуклого анализа, вариационных принципов двойственности, аппарата конечно-элементных аппроксимаций и математического программирования.

Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа [26], теория выпуклого анализа и вариационных неравенств, вариационные принципы двойственности [62], методы вычислительной математики и математического программирования. Применяется теория пространств C.JI. Соболева [47], общая теория нелинейных краевых задач [20, 29, 40].

Научная новизна. В диссертации исследуется задача о движении вязкопластичной жидкости Бингама с условиями трения на границе в вариационной формулировке Мосолова-Мясникова (глава 1) и в смешанной постановке (глава 2). Получены следующие новые результаты:

1). для задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона:

1.1) исследована краевая постановка задачи;

1.2) построен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляризацией;

1.3) обоснована замена задачи по минимизации исходного функционала задачей по отысканию седловой точки функционала Лагранжа;

1.4) построен и обоснован алгоритм Удзавы по поиску седловой точки функционала Лагранжа;

1.5) установлена теоретическая оценка погрешности конечно-элементной аппроксимации;

1.6) проведены численные эксперименты;

2). для задачи о движении жидкости Бингама с условиями трения на границе в смешанной постановке:

2.1) получена вариационная постановка задачи;

2.2) исследован алгоритм решения, основанный на схеме двойственности;

2.3) проведены численные расчеты.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции по вычислительной математике в г. Новосибирске в 2002 г., на семинарах "Дифференциальные уравнения" (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А.Г), на семинаре "Функциональный анализ" при ВЦ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Степанов В.Д.), на научном семинаре в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Кузнецов В.Н.), на секционных заседаниях Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова в г. Владивостоке в 2001 и 2002 г., на Хабаровской региональной межвузовской конференции

А/Г Г\ гг<>1 г г» тттттллтгпл ИЛТМТЛ ТТТТ И <Г/гЛГП/"\ ттт т тт гтгчтт гтм/-Атттг гт» ^ оппо lVJLCb ±\JiSL<A) X. JCl T.C'V/JLVl'lV/ iViVy Л- KJ^Ui. Xi. JLOVIVV^lXJ^i^X J-> UKJ\JLd A.) 11СД)

VIII-om Международном симпозиуме по совместному применению информационных технологий и технологий в сфере окружающей среды в 2002 г. По теме диссертации опубликовано 7 работ (5 статей и 2 тезиса выступлений) [79-85].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

1. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. - М.: Наука, 1983. - 239 с.

2. Антипин А.С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа. М., 1979. - 74 с. - Препринт ВНИИ системных исследований.

3. Антипин А.С. О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. - т. 35, № 5. - с. 688-704.

4. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 448 с.

5. Березин И.К. Численное решение задачи о ползущем движении жидкости со свободной поверхностью. //Исследования по механике полимеров и систем. Свердловск, 1978. - с. 3-8.

6. Березин И.К. Метод расчета течений жидкости с вязкостью, зависящей от времени. //Исследования течений и фазовых превращений в полимерных системах. Свердловск: УНО АН СССР, 1985. - с. 3-15.

7. Булгаков В.К., Липанов A.M., Чехонин К.А. Моделирование течений неньютоновских жидкостей, имеющих предел текучести. //Механика композитивных материалов. 1988. - N2 6. - с. 1112-1116.

8. Булгаков В.К., Чехонин К.А. Гидродинамика течений полимеризующейся нелинейно-вязкопластической жидкости, имеющей свободную поверхность. //ИФЖ. 1990. - т. 59, № 4. - с. 764-771.

9. Булгаков В.К., Чехонин К.А. Основы теории метода смешанных конечных элементов для задач гидродинамики. Хабаровск: изд-во Хабар, гос. техн. университета, - 1999. - 283 с.

10. Булгаков В.К., Чехонин К.А., Глушков И.А. Моделирование процесса формирования границы раздела двух неньютоновских жидкостей. //Механика композитивных материалов. 1990. - № 4. - с. 579-584.

11. Булгаков В.К., Чехонин К.А., Липанов A.M. Заполнение области между вертикальными коаксиальными цилиндрами аномально вязкой жидкостью в неизометрических условиях. //ИФЖ. 1989. - т. 57, № 4. - с. 577-583.

12. Васенин И.М., Нефедов А.П., Шрагер Г.Р. Метод расчета течений вязкой жидкости со свободной поверхностью. //Численные методы механики сплошной среды. 1985. - т. 16, JYe 6. - с. 29-43.

13. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. -М.: МГУ, 1974. 374 с.

14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980. 518 с.

15. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. -М.: Наука, 1980. 303 с.

16. Гловински Р., Лионе Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

17. Гроссман К., Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе• ТТ ^ ТТ 1ЛЛ1 O.I-TOоезусловнои минимизации. повосиоирск: паука, i^oi. - z/o с.

18. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в физике и механике. М.: Наука, 1980. - 480 с.

19. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

20. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М. Мир, 1986. - 284 с.

21. Золотухин А.Я., Намм Р.В., Пачина А.В. Приближенное решение вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона. //Сиб. журн. вычисл. математики. РАН, Сиб. отделение. Новосибирск, 2000. - Т.4, № 2. - С. 163-177.

22. Каплан А.А., Намм Р.В. К характеристике минимизирующих последовательностей для задачи Синьорини. //Доклад АН СССР. -1983. т. 273, № 4. - с. 797-800.

23. Каплан А.А., Намм Р.В. Об оценке скорости сходимости итерационных процессов с ргох-регуляризацией. //В сборнике "Исследования по условной корректности задач математической физики". Новосибирск, 1989. - С. 60-77.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

25. Лапин А.В. Решение вариационных неравенств с нелинейнымиполукоэрцитивными операторами. В книге "Вычислительные процессы „ л/г . шея о 01 о оалXI INITIO J.CiViJ31 . 1VX. X XCfcj 1YC*, J.i/UU. 4JJ.!/ iil/i.

26. Лапин А.В. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации. ЖВМ и МФ. - 1979. - т. 19, № 3. - С 689-700.

27. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с.

28. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 415 с.

29. Липанов A.M., Альес М.Ю., Константинов Ю.Н Численное моделирование ползущих течений неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью. //Мат. моделирование 1993. - т. 5, № 7. -с. 3-9.

30. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 416 с.

31. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: "Высшая школа", 1977. - 430 с.

32. Мосолов П.П. О некоторых вопросах теории несжимаемых вязкопластичных сред. //ПММ. 1978. - т. 42, вып. 4. - с. 737746.

33. Мосолов П.П, Мясников В.Н. Вариационные методы в теории течений вязкопластичной среды. //ПММ. 1965. - т. 29, вып. 3. - с. 468-492.

34. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 208 с.

35. Намм Р.В. О некоторых алгоритмах для решения задачи Синьорини. //Оптимизация. 1983. - вып. 33 (50). - с. 63-78.

36. Нефедов А.П. Численное моделирование пространственных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью. //Мат. моделирование.- 1994. т. 6, № 2. - с. 102-112.

37. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. М.: Наука, 1991. - 167 с.

38. Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. - 510 с.

39. Оганесян J1.A., Ривкинд В.Я., Руховец JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. 4.1,2 -Дифференциальные уравнения и их применение, Вильнюс 1974. -вып. 5,8. 394 с.

40. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. - 320 с.

41. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1976. - 319 с.

42. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Наука, 1989. - 403 с.

43. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы М.: Мир, 1973. - 244 с.

44. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 378 с.

45. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск.: Изд-во СО АН СССР, 1962.- 255 с.

46. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических систем. М.: Мир, 1980. - 512 с.

47. Уральцева Н.Н. О регулярности решений вариационных неравенств. //УМН. 1987. - т. 42, вып. 6. - с. 151-174.

48. Уральцева Н.Н., Рожковская Т.Н. Теоремы регулярности для вариационных неравенств и односторонних задач //Дифференциальные уравнения с частными производными (Труды международной конференции). Новосибирск: Наука, - 1987. -с. 187-192.

49. Хлуднев A.M. Оптимальное управление пластиной над препятствием. //Сибирский математический журнал. 1990. - т. 32, № 1. - с. 172-178.

50. Шрагер Г.Р., Щербакова И.В. Течение жидкости в процессе заполнения цилиндрических областей. //Механика жидкости и газа -1990. № 1. - с. 65-70.

51. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. -М.: Мир, 1979. 400 с.

52. Bingham Е.С. Fluidity and Plasticity. New York: McGraw-Hill, 1922.

53. Brenner S., Scott L. The mathematical theory of finite element methods. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1996. 297 p.

54. Brezis H. Maltiplicateur de Lagrange en torsion elastoplastique. //Arch. Ration. Mech. Anal 1972. - v. 49, pp 32-40.

55. Brezis H. Problemes unilateraux. J. de Math. Pures et Appliquees, 51 (1972), pp 1-168.

56. Brezzis F., Hager W.W., Raviart P. A. Error estimates for the finite element solution of variational iequalities. //Numer. Math. 1977. - v. 28, pp 431443.

57. Falk R.S. Error esimates for the approximation of a class of variational inequalities //Math. Comput.- 1974. v. 28, pp 963-971.

58. Falk R.S. Approximation of an elliptic boundary value problem with unilateral constraints. //R.A.I.R.O., Ser. Rouge Anal. Numer.- 1975. v. 2, pp 5-12.

59. Fortin A., Cote D. On the imposition of friction boundary conditions for numerical simulation of Bingham fluid flows. //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 88 (1991). North-Holland. - pp. 97-109.

60. Fortin M., Glowinski R. Augmented Lagrangian Methods. North Holland, Amsterdam, 1983.

61. Tanguy P.A., Fortin A., Bertard F. Advances in Polymer Technology. //№ 8, 1988, pp. 99-113.

62. Glavacek I., Haslinger J., Necas I., Lovisek J. Numerical solution of variational inequalities. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1988. 322 p.

63. Glowinski R. Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. New York: Springer, 1984. 381 p.

64. Haslinger J., Glavacek I. Contact between elastic bodies. I. Continious problem. //Appl. Math. 1981. - v. 25, pp 324-347.

65. Haslinger J., Glavacek I. Contact between elastic bodies. II. Finite element analysis. //Appl. Math. 1981. - v. 26, pp 263-290.

66. Haslinger J., Glavacek I. Contact between elastic bodies. III. Dual finite element analysis. //Appl. Math. 1981. - v. 26, pp 321-344.

67. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of Cracks in Solids. //WIT Press, Southampton-Boston, 2000. 408 p.

68. Khludnev A.M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. //Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997. 384 p.

69. Namm R.V. About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity. //International series of numerical mathematics. -Basel, 1992. v. 106, pp. 223-228.

70. Namm R.V. On a rate of convergence of the finite element method in variational inequalities with a weakly coercive operator. Khabarovsk, 1991. - 13 p. (Report № 4, Institute of Applied Mathematics F.-E.B. of the Russian Academy of Sciences).

71. Namm R.V. Stable methods for ill-posed variational inequalities in mechanics. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997. v. 452, pp. 214-228.

72. Rockafellar R.T. Characterization of the subdifferentials of convex functions. //Pasific J. Math. 1966. - v. 17, pp. 497-510.

73. Rockafellar R.T. Convex programming and systems of elementary mono-tonic relations. //J. Math. Anal. Appl. 1967. - v. 19, pp. 543-564.

74. Yousef Saad. Iterative methods for sparse linear systems. 2000.

75. Scarpini F., Vivaldi M.A. Error estimates for the approximation of some unilateral problems. //R.A.I.R.O. Ser. Rouge Anal. Numer. 1977. - v. 11, № 2, pp. 197-208.

76. Schmitt H. On the regularized Bingham problem. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997. v. 452, pp. 298-315.Список работ, опубликованных по теме диссертации

77. Сачков С.А. Метод решения задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе, основанный на принципах двойственности. Препринт 2001/56. Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, 2001. - 30 с.

78. Сачков С.А. Об устойчивом методе решения задачи о движении вязкопластической жидкости Бингама. //Математические модели, методы и приложения. Сборник научных трудов. Хабаровск: Издательство ХГПУ, 2002. - с 27-37.

79. Намм Р.В., Сачков С.А. Об устойчивом методе решения задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе, основанном на схеме двойственности. //Сиб. журн. вычисл. математики. РАН, Сиб. отделение. Новосибирск, 2002. - Т. 5, № 4. - с. 351-365.

80. Namm R.V., Sachkoff S.A. On a stable method for solving the Mosolov and Miasnikov problem with boundary friction. //Proceedings: The international conference on computational mathematics. Novosibirsk, 2002. -Part II, pp. 655-661.

81. Сачков С.А. Схема двойственности для решения полукорцитивной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе. //Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара им акад. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2002. - с 25.