Модифицированные функционалы Лагранжа в механике

Ткаченко, Алексей Сергеевич

Модифицированные функционалы Лагранжа в механике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Ткаченко, Алексей Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Хабаровск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Модифицированные функционалы Лагранжа в механике»

Автореферат диссертации на тему "Модифицированные функционалы Лагранжа в механике"

Ткаченко Алексей Сергеевич

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ЛАГРАНЖА В МЕХАНИКЕ

01.01.07 - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 1 ДПР 20

Хабаровск - 2011

4844176

Работа выполнена в ГОУВПО «Тихоокеанский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Намм Роберт Викторович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чеботарев Александр Юрьевич

кандидат физико-математических наук, Илларионов Андрей Анатольевич

Ведущая организация:

Вычислительный центр ДВО РАН, г. Хабаровск

Защита состоится «27» апреля 2011 года в 15-00 на заседании диссертационного совета К 212.294.02 при Тихоокеанском государственном университете по адресу: 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ауд. 315я.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского государственного университета.

Автореферат разослан «_»_2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Э.М. Вихтенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория вариационных неравенств возникла в шестидесятых годах двадцатого века. Первой задачей в области вариационных неравенств стала задачи из теории упругости - задача Синьорини. Далее исследование вариационных неравенств продолжилось в работах Ж. Лионса, Г. Стампак-кьи и их учеников. В настоящее время данная теория активно развивается и представляет интерес для математиков, механиков и экономистов.

Исследование по численному анализу вариационных задач проводится с использованием метода конечных элементов. Большой вклад в данный вопрос внесли работы французских математиков Гловински Р., Лионса Ж.-Л., Тре-мольера Р. и других, которые подробно исследуют применение метода конечных элементов для аппроксимации непрерывных задач и алгоритмы решения их конечномерных аналогов.

В данной работе используются функции Лагранжа, которые лежат в основе общепринятой схемы анализа экстремальных задач с ограничениями. Функция Лагранжа формируется по исходной задаче и зависит от двух групп переменных - прямых (переменных исходной задачи) и двойственных (переменных, отвечающих ограничениям). В работах Антипина A.C., Голикова A.A., Евтушенко Ю.Г., Поляка Б.Т., Третьякова Н.В., Рокафеллара Р.Т. исследовались модифицированные функции Лагранжа применительно к конечномерным задачам линейного и выпуклого программирования. В последнее время получили развитие схемы двойственности с модифицированными функционалами Лагранжа, для решения бесконечномерных вариационных неравенств механики.

Известные двойственные методы решения вариационных неравенств в механике, основанные на поиске седловых точек функционалов Лагранжа, как правило, предполагают сильную выпуклость минимизируемых функционалов. Для подобных задач сходимость имеет место только по прямой переменной классического функционала Лагранжа и обеспечивается согласованием константы сильной выпуклости с шагом сдвига по двойственной переменной. Поэтому для полукоэрцитивных вариационных неравенств алгоритмы поиска седловых точек, основанные на классических функционалах Лагранжа, непригодны. Для преодоления этого затруднения рассматривается модифицированный функционал Лагранжа. Методы двойственности, основанные на модифицированном функционале Лагранжа обеспечивают сходимость к седловой точке, как по прямой, так и по двойственной переменной, причем не, только в коэрцитивных, но и в полукоэрцитивных вариационных неравенствах.

Вариационные задачи минимизации недифференцируемых функционалов часто возникают в задачах механики, учитывающих трение. Конечноэлемент-ная аппроксимация таких задач приводит к конечномерной выпуклой задаче негладкой оптимизации. Поэтому стандартный подход к решению таких задач заключается в сглаживании недифференцируемого слагаемого в исходной задаче, либо в применении специальных алгоритмов негладкой оптимизации. В некоторых случаях задачу безусловной минимизации недифференцируемого функционала удается свести к задаче условной минимизации дифференцируе-

мого функционала, для решения которой можно применить эффективные методы условной оптимизации. В данной работе исследуется метод решения полукоэрцитивной задачи с заданным трением, позволяющий сглаживать вспомогательный функционал на каждом шаге итерационного процесса.

Цель работы. Построение и обоснование новых методов двойственности для решения полукоэрцитивных вариационных неравенств, соответствующих скалярной задаче Синьорини и модельной задаче с заданным трением.

Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа, теория выпуклого анализа, теория вариационных неравенств, методы вычислительной математики и математического программирования, теория пространств С.Л. Соболева, общая теория нелинейных краевых задач.

Положения, выносимые на защиту.

1. Решение полукоэрцитивной задачи Синьорини методами двойственности, основанными на модифицированном функционале Лагранжа.

2. Сравнение классических и модифицированных методов двойственности при решении коэрцитивных задач.

3. Исследование модифицированных методов двойственности для решения модельной задачи с трением.

Научная новизна. В диссертации исследуется задача Синьорини в полукоэрцитивной и коэрцитивной постановках и полукоэрцитивная модельная задача с заданным трением. Для данных задач были получены следующие результаты:

- разработан, обоснован и реализован алгоритм численного решения полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения;

- показано, что даже в коэрцитивном случае модифицированные функционалы Лагранжа ведут себя лучше как в теоретическом, так и в практическом плане;

- введен и изучен новый вид модифицированного функционала Лагранжа и на его основе разработан, обоснован и реализован сглаживающий алгоритм численного решения модельной задачи с заданным трением методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения, когда сглаживание вспомогательного функционала происходит на каждом шаге итерационного процесса.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на X (2007 г., г. Хабаровск) и XIII (2011 г., г. Хабаровск) краевых конкурсах молодых ученых; на научных семинарах по дифференциальным уравнениям в ТОГУ (руководитель проф. А.Г. Зарубин); на XXXIV (2009 г., г. Хабаровск) и XXXV (2010 г., г. Владивосток) Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золотова; на девятом международном форуме студентов, аспирантов и молодых учёных стран Азиатско-Тихоокеанского региона (2009 г., г. Владивосток); на научном семинаре Вы-

числительного центра ДВО РАН (рук. член.-корр. РАН, д.ф.-м.н., Смагин С.И.), г. Хабаровск (2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и трех приложений. Общий объем диссертации составляет 105 страниц машинописного текста, включает список литературы из 80 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы, указана актуальность темы исследования, цель и новизна полученных результатов, а также сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Первая глава посвящена исследованию метода итеративной проксимальной регуляризации модифицированного функционала Лагранжа для решения полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини и построению алгоритмов её численного решения рассмотренным методом.

Рассматривается полукоэрцитивная задача Синьорини, вариационная постановка которой имеет следующий вид (§ 1):

I J(v) = - ||Vvf dQ-¡JvdQ. -> min, j 2я n (1)

IveG = {ws(íí):/w>0 на г},

где QeR"(n = 2,3) - ограниченная область с достаточно гладкой границей Г,

/e¿j(П) - заданная функция и yweW^fT) - след функции wе W2'(Q) на Г.

Условие существования и единственности решения задачи (1) имеет вид

J/rfOcO. (2)

Соответствующая вариационной постановки задачи (1) краевая задача имеет вид:

-Ди = / в Д

к>0, — >0, и^ = 0наТ. дп дп

Решаем задачу (1) используя метод двойственности. Введем классический функционал Лагранжа:

L(y,l) = J(y)- jlyvdr V(v,/) 6 W¡(П)х4(Г). г

Определение 1. Точка (у',/')бЖ2|(П)х(^!(Г))+ называется седловой точкой функционала L(v,l), если выполнено двустороннее неравенство

Цу ,I) < L(v ,l')<L(v,l') V(v,/) е W¡ (О) х (L,(Г))*. Модифицированный функционал Лагранжа имеет следующий вид:

Ar(v)/) = J(v) + i-|j[(/-rrv)+J-/3jrfr VKOe^'O^xI^r),

где r>0 - const, символ w* означает положительную срезку, т.е. (/ - ryvf = max {0,1 - ryv}.

Определение 2. Точка (v',/')s^'(n)x(i2(r)) называется седловой точкой функционала М(у,1), если выполнено двустороннее неравенство

M(v,l)<M(v',l')<,М(у,Г) V(v,/)еЖ,'(П)хL,(Г). Известно, что седловые точки для классического и модифицированного функционалов совпадают.

В § 2 рассматривается метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций.

Пусть (aVje^'injx^'"^) - произвольная стартовая точка. Построим.последовательность {(«*/)} в два этапа:

(i) на (£+1)-ой итерации строится сильно выпуклый в IV,' (П) функционал 4(v) = M(v,/*) + ^|v-ti*||* и определяется точка и**' eiV2(0) из условия

^,гДе "t+,=argmin4(v), St >0, <«,;

(ii) двойственная переменная 1Ы корректируется по формуле /*+1 = {!" - гуи"* У = max {0/ - гуим}.

Обозначим =(/' -гуйм)*. В работе показывается, что последовательность {й\//} ограничена в fV2'(Q)х (Г) и, более того, последовательность {й*} является компактной в fV2'(Q). Предположения регулярности

(A) й" e W2J(ii),k=l,2,...,

(B) ||й*|| , <С,С>0-const 4 7 II ll(Kj!(n)

обеспечивают единственность седловой точки функционала L(v,l) (а, значит, и М(у,Т)) и сходимость к ней в пространстве РК2'(П)хД(Г) последовательности

К-'4}-

На первом шаге метода Удзавы возникает вспомогательная задача:

4(v)-> min, veWl(ß).

Задача (3) решается с помощью метода конечных элементов в предположении, что QeJt2 — ограниченный многоугольник. Пусть Fh - триангуляция области П, hk - характерный параметр триангуляции, Nh - множество всех узлов триангуляции FK, Mht = TnNht - множество узлов триангуляции Fht на границе области Q, Vht - линейная оболочка соответствующих кусочно-аффинных базисных функций и,( = 1,([¿\| - количество узлов Nht), 1К - множество индексов узлов триангуляции, Jht - множество индексов граничных узлов.

Получаем конечно-элементную задачу

Введем обозначения: ик - решение задачи (3), и,ч - решение задачи (4). Теорема 1. Пусть П - ограниченный многоугольник в Я2, выполнены предположения (А), (В). Тогда имеет место оценка

\\щ -«*! , к = 1,2,..., с > 0 -согч1.

II Ни','*

В § 3 рассматривается алгоритм численного решения задачи (1) методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Ла-гранжа на последовательности триангуляций.

Обозначим у = , и" = . Пусть Мт - граничный узел,

т = 1,2,...,|м(^| количество граничных узлов триангуляции области П).

Тогда, используя квадратурную формулу трапеций, и учитывая, что расстояние |А/,Мы| между двумя соседними узлами на границе равно \, получаем

-2Л , ч

' )) \ /

Получаем конечномерную задачу

400-»тт,

(5)

Для решения задачи (5) применим метод поточечной релаксации.

Выберем начальный вектор г" = ^г,0,..11. На (п + 1)-ом шаге итерационного процесса координаты г°+|,/ = 1,2,...,|л^| определяются из условия

4 ((гГ',...,^'.^'') ^ 4 ((^'.••■.О.й,.»-.^,)/) V/ 6 (-СО.+СО). Модифицированная функция 1к(г) непрерывно дифференцируема по

г„ « = Для ге^Ц

а, = {V\<р^а, р, =

положим г"*1 = —-

Для г е /Л обозначим = —

. К ¡>1

\]<! ¡>I

. Получаем

если ц/1 > — г

где

а„+гк

В § 4 рассмотрен метод Удзавы на основе модифицированной функции

, если Ц1,<—.

Лагранжа для конечномерного случая.

Задача (1) аппроксимируется с помощью метода конечных элементов по аналогии § 2 главы 1 (й-характерный параметр триангуляции). Gh = {v„ e Vh: v„0) > 0для j е Mh). Решение uh' конечномерной задачи

•/(vj-nnin, e Gh

существует, единственно, причем Пт|мА*— Ы*|Ж.(П) =0» гДе> и' ~ решение задачи (1). При условии, что и eW*(Q), доказывается оценка ^chm, где

с > 0-const. Обозначим 1{у) = ^(Ау,у)-{р,у), А = (аи\^

Составляем классическую функцию Лагранжа

L(y, I) = I {у)-h'Z l,y, Vy 6 V/ e .

's'»

Определение 3. Пара называется седловой для L(y,l), если

выполняется двустороннее неравенство

L(.y',l)<L(y\l')<L(yS) Vy s л'"*', V/sä'"'1, где 4"*1 = {г б : г > о}. Вводим модифицированную функцию Лагранжа М(у,1) = -О-,)*)' "¿У е Л1"'1, V/ е RHi, где r>0-const.

Определение 4. Пара (yJ) e д'""' х называется седловой для М(у,1), если

выполняется двустороннее неравенство

M(y,l) < M{yj) < M(y,I) Vу б Л1"'1, V/ е Rw"]. Метод Удзавы с модифицированной функцией М(у,1) выглядит так: выбираем начальный вектор /° =(/,°.....Далее

1) на к-м шаге решаем задачу безусловной минимизации М(у,1к) по переменной у, то есть находим ук*] = argmin M(y,lk);

2) полагаем Iм = (lk - гум)+ и переходим на шаг 1.

Теорема 2. Пусть выполнено условие разрешимости (2). Тогда для любого ' = ('■.....'К|)-° задача

Ш(у,1) -» min, [уе№

имеет решение.

Далее рассматривается алгоритм численного решения задачи (1) методом Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа. На каждом шаге метода Удзавы требуется решить вспомогательную задачу вида

Функция М{у,1к), построенная в § 4 для задачи (1), не является сильно выпуклой по переменной у. Это затрудняет применение метода Удзавы для' ре-

шения рассматриваемой задачи. Для преодоления этой проблемы в § 5 рассматривается метод Удзавы с одновременной итеративной проксимальной регуляризацией модифицированной функции М(у,1к).

Пусть (/,/") - произвольная стартовая точка. Метод вырабаты-

вает последовательность {(У,/4)} в два этапа:

(i) на (£+1) -ой итерации строится сильно выпуклый в Л1"*' функционал Lk{y)-M {у,1к) + ^у-ук, и определяется точка укл е Л1""1 из условия

IK'-^IL ^ 8к, где =argmin4W, St>0, о»;

уш^ I i. I

(ii) двойственная переменная 1к*' корректируется по формуле Iм =(/»-г//+1)+=тах{0,/' -ту/*'} •

На шаге (i) решается задача

ysR]

■Kl

(8)

Для решения задачи (8) применяется метод поточечной релаксации.

Зададимся начальным вектором 2° = .....2щ|. На (л+1)-ом шаге итерационного процесса координаты г"*'= \,2,...,\Ы):\ определяются из условия

А ((Г,гГ1,^,...,^),^) < 4 ((^....^Ч*,;,,..,^)/) V? е (-«,+»). Модифицированная функция 1к(г) непрерывно дифференцируема по г„/ = 1,...,|А/»|. Для ге/Й1 \7Л[ координаты

, где û^ = {v^V^Q+2^., д. = {/^П + 2^,

Ч У<' />' J а п

1, если i = j

8„ =

0, иначе.

Для i е Ih обозначим ц>,= —-

а„

KJ1

. Получаем

a,. + rh

I vT'+Evî-ta+w,4)

Ч J«' /х

если у/, > — г

, если у/,<—.

Вторая глава посвящена исследованию методов двойственности на основе модифицированных функционалов Лагранжа при решении коэрцитивной скалярной задачи Синьорини.

Рассматривается коэрцитивная вариационная задача Синьорини

J{v) = ^ J(|Vvf + v2) dQ. - jfvdQ. min, > e G = {w e Wj (П): yw> 0 п.в.наГ},

где QeR"(n = 2,3) - ограниченная область с достаточно гладкой границей Г, / еЩП) - заданная функция и yweW2m(T) -след функции weW2'(Q) на Г. Вводим классический функционал Лагранжа

I(v,/) = J(v)- ¡lyvdT = - |(|Vvf +v2)rfn- jfidi1- \lyvdT V(v,l)eW2l(Q)xL2(r).

Г 2 a n r

Пусть (4(Г))+ - конус неотрицательных функций из ^(Г). Для решения задачи (9) рассмотрим метод Удзавы. Пусть р" е . Да-

лее, для п = 0,1,2,..., вычислим («",/>"*') по формулам:

L(u",p")<L(y,p"), Vver2'(fi), и" eW'(Cl), (10) = р {к(п)лрп-рги")=(р"-ргиг, (11) где Р00(мп). - оператор проектирования v на (¿¡(Г))* в норме ^(Г), р > 0 - const.

Сходимость итерационного процесса (10), (11) по прямой переменной

можно установить только при достаточно малых р (0<р <—у). Для преодоле-

ния этого затруднения вводится модифицированный функционал Лагранжа

М(у,о=J(y)+~jj[(/->rvr]2-I2)dT V(v.06, где г > 0 - const.

Для модифицированного функционала можно рассмотреть аналогичный (10), (11) алгоритм решения задачи (9).

Пусть p°e(w"2(Г))+. Для п = 0,1,2,..., вычислим (и",р"*]) по формулам:

М(и\р")<М(у,р"), VvefrlCQ), и" eWl(Q),

= Р(мг>). (У ~ РГи") = (Р" - руиУ .

Решим задачу (9) по методу конечных элементов в предположении аналогично § 3 главы 1. Получаем конечно-элементную задачу

[/(vj^min,' (12)

K^G,.

Для решения и„ задачи (12) Ит||и„ -г/Ц^ = 0, где и - решение задачи (9).

В § 2 рассматривается алгоритм решения задачи (9) методом Удзавы на основе классической функции Лагранжа.

Вводим классическую функцию Лагранжа для задачи (13)

На первом шаге метода Удзавы требуется решить вспомогательную задачу

f£Cy/)-> min,

Для решения задачи (14) применяется метод поточечной релаксации. Выберем начальный вектор z" На (л + 1)-ом шаге итерационного процесса координаты z"*\i = \,2.....определяются из условия

Функция L(z) непрерывно дифференцируема по z,.,/ = 1,...,|7V;,|.

для ielh\lh, для i s 74,

"/I \J-tI у>/

где = + , р, = ]"/(?,¿Ю.

п п п

В § 3 рассматривается алгоритм решения задачи (9) методом Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа.

Вводим модифицированную функцию Лагранжа для задачи (13)

ЩУЛ^ПУЬ^^-гуХ)1 ~/,2} Ууе Д'ЧМ 6 ЯК1,

где г > 0 - произвольная постоянная. На первом шаге метода Удзавы требуется решить вспомогательную задачу вида

[л/(у,/1)-» гшп,

yeÄ1

(15)

Для решения задачи (15) применяется метод поточечной релаксации аналогично § 3 главы 1.

Третья глава посвящена исследованию модифицированных функционалов Лагранжа для решения модельной задачи с трением. Рассматривается задача

J(v) = I J|Vvf dQ-J jvdQ. + \g\v\dV -> min, ,, 2 n n г \ *

veW'(Ct).

Здесь CleR2 - ограниченная область с достаточно регулярной границей Г, /еL2(C1), gе¿"(Г) - заданные функции, g>0 на Г. Функционал в (16) не является сильно выпуклым в w\ (П) и, задача разрешима, если выполнено условие

\gdT- рип>0. (17)

Г £1

Решение задачи единственно в классе Wf (П). Переходим к задаче, эквивалентной исходной:

7(v,w) = - ||Vv|3 dCl- |fodCl + Jg|v- w|dl -» min, ■) nr

[w = О на Г, (v, w) e W' (n) X Д(Г).

Используем метод двойственности для решения задачи (18).

На пространстве W\ (n)xij(r)xij(T) вводим классический функционал Ла-

гранжа L(y,w;l) = J(y,w)+ \lwdT V(v,w)<sfV^(a.)xL1(r), /еД(Г). г

Определение 5. Точка (v\w;]*)eWl(o)xL1(T)-><.Ll(T) называется седловой, если L(v\w'-,l)<L{v\w';l')<L(v,w;l') V(v,w;/) s ^(П)х^(Г)х ^(Г).

Введем функционал

J(v,vc) + jlmdr+— JmVr, если w = mnaT

К(у,м>\1,т) = -

+оо, иначе.

Определяется модифицированный функционал Лагранжа

М(у, = Ы К(у,ж,1,т) = к) + ^ШТ + - .

г ^ г

Вводим функцию чувствительности %(т) = М 7(у, т). (19)

Вводим двойственный функционал М(1) = Ы М(у,м>\1), определяемый двояко:

М(1) = Ыу(у,м>)+ ]\Л£Г|, (20)

М(1) = \lmdV+~ |. (21)

Теорема 3. Пусть (и,д) - решение задачи (20). Если и е Ш} (О), деС(Г), то решение единственно в (й).

Далее рассматривается задача тГ (у, ж) + |ы?Г+гс!Г |. Для упрощения

г - г

дальнейшего изложения возьмем g > 0 - const, получаем inf j Jg|v-w|fifir+ J/wrfr+-JVrfrUgJ

• rll I /w r 2

mf i\v-w +—+—w ' S 2g

rfr.

Отдельно исследуется задача М •{ | V - ц+—+—н- |. Получаем

8 (4)' 4

—-—если V >-

1 g 2g Г

2 г

1 + -

— < v<——

—у+—V , если 8 1 2

-V--1-если V <--—.

2 г г_

Известно, что ^ е С' (0). Имеем М(1) = Ш1и/) + \lwdY+- \м>2с1г\ = Ы +

Для поиска седловой точки рассматривается следующий алгоритм: 1) задаемся еЩ"2(Г);

2) определяем

' (vt+l, m/+i ) = arg min M (v, w; /*) = arg min j - J)Vvf da - jfadü+g Jfw (v)rfrl;

*■'* ' L^n а г J

3) lk*V=lk W.

Теорема 4. Пусть vk s W] (il), к = 1,2,... и, кроме того,

WPW*

где о 0 - const. Тогда последовательность {v\w*;/*} компактна в

W2' (С2)х¿¡(Г)х ¿¡(Г), и любая её предельная точка является седловой точкой для

классического или модифицированного функционала Лагранжа.

В § 3 рассматривается метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа.

Возьмем произвольную начальную точку (v°, /0) е W\ (а) х р^"2 (г) и построим последовательность следующим образом.

(i) На (к+1) -ой итерации (£ = 0,1,2,...) строим функционал

Lk(y,w) = M(v,w;lk)+^v-vkи находим zk*x = (v*+1,w*+l) из критерия

zt+l =(v*tl,wtt') = argminii(v,w), <5t >0,

(ii) Корректируем двойственную переменную по формуле

Вместе с 1к*] введем =lk + rwM. Обозначим рк =(v\/'), qk = (v\//). Теорема 5. Пусть функционал Лагранжа I(v,w;/) имеет непустое множество седловых точек. Тогда последовательность {У}" |, генерируемая алгоритмом (i), (ii) ограничена в Wl (fl)xZ, (г)х (Г). Более того, {v*} является компактной в 0?(П),а в (Г).

Теорема 6. Пусть v* s W22 (П), // е И^ (Г), fc = 1,2,... и, кроме того,

ИИЦ^с,

где с >0-const. Тогда последовательность [v*,wf;/'j сходится в РГ2'(П)х£2(Г)х4(Г) к седловой точке {v,0,7~} функционала L(v,w;l). Более того,

V eW22(Q).

Вспомогательная задача минимизации на РР2'(П)х4(Г) недифференцируе-мого функционала Lk(v,w) сводится к минимизации в W[(П) дифференцируемого функционала 4 (v) = - J(|Vv|2 + v2) dQ - J(/ + v*) vdCl + g j>t+1 (v)dT.

^n n г

На первом шаге метода Удзавы возникает вспомогательная задача 4 w) min, (v, w) 6 W\ (П) x 4 (Г). (23) Используя метод конечных элементов, получаем конечно-элементную задачу

i4(v)^min, (24)

Введем обозначения: г* - решение задачи (23), zh={vht,wht), где vA< - решение задачи (24).

Теорема 7. Пусть Q - ограниченный многоугольник в R2, выполнены предположения (А'), (В'). Тогда имеет место оценка \zK - / (г) < cjhk,

к = 1,2..... с > 0- const.

В § 4 рассматривается алгоритм численного решения задачи (24). Получаем конечномерную задачу

(40<)-»min,

yeR

(25)

Для решения задачи (25) применим метод поточечной релаксации. Выбираем начальный вектор 2° =|г1°,...,г°дг На (и + 1)-ом шаге итерационного

процесса координаты = | определяются из условия

4<4.'.й..»,^,)/) V/6(-«,+»). (26)

Получаем z"+l = —

«В

EVT+Evj-A

\j«

для ielhi\lht. Для ie/ftj 1-Ü

V. JO J*

aa+hkr

если >-

' г g

W«

Xvf +Zv" -л+v I, «««<—* zT

1-;_g_

I vr1~Pt~sK L«*«fr1 <-

В заключении приводятся основные результаты работы:

1) разработан, обоснован и реализован алгоритм численного решения полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения;

2) показано, что даже в коэрцитивном случае модифицированные функционалы Лагранжа ведут себя лучше как в теоретическом, так и в прак-

тическом плане (параметр сдвига 0 < р <—г для классического функ-

ционала должен быть достаточно мал, а для модифицированного функционала он должен быть лишь положительным (г > о ));

3) введен и изучен новый вид модифицированного функционала Лагранжа и на его основе разработан, обоснован и реализован сглаживающий алгоритм численного решения модельной задачи с заданным трением методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения, когда сглаживание вспомогательного функционала происходит на каждом шаге итерационного процесса.

В приложениях 1, 2 и 3 приведены результаты численных расчетов с применением метода конечных элементов.

О достоверности полученных результатов можно судить по совпадению (в рамках некоторых допустимых погрешностей) приближенных решений, полученных при решении задач различными методами: методом поточечной релаксации с проектированием и методами двойственности, как с классическим, так и с модифицированным функционалом Лагранжа.

Главный вывод по диссертационной работе. Модифицированные функционалы Лагранжа открывают новые возможности при исследовании и решении как полукоэрцитивных, так и коэрцитивных вариационных неравенств механики.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Намму Роберту Викторовичу за всестороннюю поддержку на всех этапах выполнения работы.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Ткаченко, A.C. Решение полукоэрцитивной задачи Синьорини методом итеративной проксимальной регуляризации модифицированного функционала Лагранжа / Р.В. Намм, A.C. Ткаченко // Известия вузов. Математика. - 2010. - № 4. - С. 36-46.

2. Ткаченко, A.C. Решение полукоэрцитивной скалярной задаче Синьорини методом Удзавы / Р.В. Намм, A.C. Ткаченко // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2007. - № 4 (7). - С. 161-170.

3. Ткаченко, A.C. О сходимости методов двойственности в вариационном неравенстве Синьорини / A.C. Ткаченко II Дальневосточный математический журнал.-2010.-Т. 10, № 1.-С. 70-80.

4. Ткаченко, A.C. О сглаживающей методе двойственности для решения модельной задачи с заданным трением / Р.В. Намм, A.C. Ткаченко // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2010. — №3 (18).-С. 13-23.

Подписано в печать 16.03.2011. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ 65.

Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ткаченко, Алексей Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. РЕШЕНИЕ ПОЛУКОЭРЦИТИВНОЙ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ МЕТОДОМ ИТЕРАТИВНОЙ ПРОКСИМАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ МОДИФИЦИРОВАННОГО

ФУНКЦИОНАЛА ЛАГРАНЖА.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала

Лагранжа на последовательности триангуляций.

§3. Алгоритм численного решения методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций.

§4. Метод Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа для конечномерного случая.

§5. Метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированной функции

Лагранжа для конечномерного случая.

Глава 2. РЕШЕНИЕ КОЭРЦИТИВНОЙ СКАЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ

МЕТОДОМ УДЗАВЫ.

§1. Коэрцитивная скалярная задача Синьорини.

§2. Алгоритм решения коэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы на основе классического функционала Лагранжа.

§3. Алгоритм решения коэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы на основе модифицированного функционала Лагранжа.

Глава 3. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛАГРАНЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С ТРЕНИЕМ.

§1. Постановка задачи. Функционалы Лагранжа.

§2. Метод Удзавы.

§3. Метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала.

§4. Алгоритм численного решения методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций.

Введение диссертация по математике, на тему "Модифицированные функционалы Лагранжа в механике"

Актуальность темы.

Теория вариационных неравенств возникла в шестидесятых годах двадцатого века. Основы данной теории были заложены в работах [26], [27]. Первой задачей в области вариационных неравенств стала задачи из теории упругости - задача Синьорини, впервые полностью описанная в работе [26]. Далее исследование вариационных неравенств продолжилось в работах Ж. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников. В этой связи следует упомянуть следующие работы [1], [2], [5], [28], [29]. В настоящее время данная теория активно развивается и представляет интерес для математиков, механиков и экономистов. В экономике вариационные неравенства применяются при моделировании и исследовании равновесных задач экономики и исследований операций. Вариационные неравенства развивались и развиваются в работах Андерсена JI.-E. и Хлуднева A.M. [30], Аннина Б.Д. и Садовского В.М. [31], Аннина Б.Д. и Черепанова Г.П. [32], Антипина A.C. и Васильева Ф.П. [33], БадриеваИ.Б. и Задворнова O.A. [34], Бердичевского B.JI. [35], Вихтенко Э.М. и Намма Р.В. [20, 21, 23], Коннова И.В. [36-40], Лапина A.B. [41, 42], Мосолова П.П. и Мясникова В.П. [43], Рудого Е.М. и Хлуднева A.M. [44], Рязанцевой И.П. [45-47], Уральцевой H.H. [48], Уральцевой H.H. и Рожковской Т.Н. [49], Хлуднева A.M. [50], Чеботарева А.Ю. [51], Лапина A.B. и Игнатьевой М.А. [52], Лапина A.B., Лайтинена Е. и Пиеска Д. [53] и многих других.

В вариационной постановке формулируются такие задачи, как задача об упруго-пластическом кручении стержня, контактные задачи теории упругости, задача о течении вязкопластических сред, задача о препятствии, задачи теории пластичности и другие.

Для решения вариационных неравенств широко используется аппарат функционального и выпуклого анализа, развитый в работах Васильева Ф.П. [14, 54, 55], Гроссмана К. и Каплана A.A. [12], Нурминского Е.А. [56], Мину М. [57], Поляка Б.Т. [58], Пшеничного Б.Н. и Данилина Ю.М. [59], Рокафеллара Р. [60], Экланда И. и Темама Р. [61], и в других многочисленных источниках.

Исследование по численному анализу вариационных задач проводится с использованием метода конечных элементов. Большой вклад в данный вопрос внесли работы французских математиков Гловински Р., Лионса Ж.-JL, Тремольера Р. и других, которые подробно исследуют применение метода конечных элементов для аппроксимации непрерывных задач и алгоритмы решения их конечномерных аналогов.

Известные методы решения вариационных неравенств в механике, основанные на поиске седловых точек функционалов Лагранжа, как правило, предполагают сильную выпуклость минимизируемых функционалов. Для подобных задач сходимость имеет место только по прямой переменной классического функционала Лагранжа и обеспечивается согласованием константы сильной выпуклости с шагом сдвига по двойственной переменной. Поэтому для полукоэрцитивных вариационных неравенств алгоритмы поиска седловых точек, основанные на классических функционалах Лагранжа, непригодны. Для преодоления этого затруднения в работах [3], [4], [23], [24] рассматривается модифицированный функционал Лагранжа. Методы двойственности, основанные на модифицированном функционале Лагранжа, обеспечивают сходимость к седловой точке, как по прямой, так и по двойственной переменной, причем не, только в коэрцитивных, но и в полукоэрцитивных вариационных неравенствах.

Так же вариационные задачи минимизации недифференцируемых функционалов часто возникают в задачах механики, учитывающих трение. Конечноэлементная аппроксимация таких задач приводит к конечномерной выпуклой задаче негладкой оптимизации [5], [8]. Поэтому стандартный подход к решению таких задач заключается в сглаживании недифференцируемого слагаемого в исходной задаче [24], либо в применении специальных алгоритмов негладкой оптимизации. В некоторых случаях задачу безусловной минимизации недифференцируемого функционала удается свести к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала, для решения которой можно применить эффективные методы условной оптимизации [22], [25]. В данной работе исследуется метод решения полукоэрцитивной задачи с заданным трением, позволяющий сглаживать вспомогательный функционал на каждом шаге итерационного процесса.

Несмотря на ряд важных достижений в области решения вариационных неравенств, в настоящее время мало проводится исследований, относящихся к обоснованию применения принципов двойственности для решения вариационных задач механики.

Цель работы.

Построение и обоснование новых методов двойственности для решения полукоэрцитивных вариационных неравенств, соответствующих скалярной задаче Синьорини и модельной задаче с заданным трением.

Методы исследования.

В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды [2], методы функционального анализа, теория выпуклого анализа, теория вариационных неравенств [2], методы вычислительной математики и математического программирования, теория пространств С.Л. Соболева, общая теория нелинейных краевых задач.

Научная новизна.

В диссертации исследуется задача Синьорини в полукоэрцитивной и коэрцитивной постановках и модельная задача с заданным трением. Для данных задач были получены следующие результаты:

- показано, что даже в коэрцитивном случае модифицированные функционалы Лагранжа ведут себя лучше как в теоретическом, так и 2 в практическом плане (параметр сдвига 0 < р < для классического функционала должен быть достаточно мал, а для модифицированного функционала он должен быть лишь положительным г > 0 );

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на X (2007 г., г. Хабаровск) и XIII (2011 г., г. Хабаровск) краевых конкурсах молодых ученых; на научных семинарах по дифференциальным уравнениям в ТОГУ (руководитель проф. А.Г. Зарубин); на XXXIV (2009 г., г. Хабаровск) и XXXV (2010 г., г. Владивосток) Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золотова; на девятом международном форуме студентов, аспирантов и молодых учёных стран Азиатско-Тихоокеанского региона (2009 г., г. Владивосток); на научном семинаре Вычислительного центра ДВО РАН (рук. член.-корр. РАН, д.ф.-м.н., Смагин С.И.), г. Хабаровск (2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы (§§1-5 в главе 1, §§1-3 в главе 2, §§1-4 в главе 3), заключения и трех приложений. Общий объем диссертации составляет 105 страниц машинописного текста, включает список литературы из 80 наименований. Нумерация формул в диссертационной работе состоит из двух чисел: первое число — номер параграфа, второе -порядковый номер формулы в этом параграфе. Нумерация теорем состоит из двух чисел: первое число — номер главы, второе — порядковый номер теоремы в этой главе.

Заключение диссертации по теме "Вычислительная математика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена обоснованию и применению новых схем двойственности, основанных на модифицированных функционалах Лагранжа, для решения вариационных неравенств. Исследования были проведены с использованием вариационных принципов механики сплошной среды, методов функционального анализа, теории выпуклого анализа, а так же методов вычислительной математики и математического программирования. Получены следующие новые результаты:

1) разработан, обоснован и реализован алгоритм численного решения для полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения;

2) показано, что даже в коэрцитивном случае модифицированные функционалы Лагранжа ведут себя лучше как в теоретическом, так и в практическом плане (параметр сдвига 0<р< —^у для И классического функционала должен быть достаточно мал, а для модифицированного функционала он должен быть лишь положительным г > 0 );

О достоверности полученных результатов можно судить по совпадению (в рамках некоторых допустимых погрешностей) приближенных решений, полученных при решении задач различными методами: методом поточечной релаксации с проектированием и методом Удзавы, как с классическим, так и с модифицированным функционалом Лагранжа.

Главный вывод по диссертационной работе. Модифицированные функционалы Лагранжа являются эффективным инструментом при исследовании и решении как полукоэрцитивных, так и коэрцитивных вариационных неравенств механики.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ткаченко, Алексей Сергеевич, Хабаровск

1. Главачек, И. Решение вариационных неравенств в механике /

2. И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас, Я. Ловишек. М.: Мир, 1986.

3. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. -М.: Мир, 1980.

4. By, Г. Метод итеративной проксимальной регуляризации для поиска седловой точки в полукоэрцитивной задаче Синьорини / Г. By,

5. С. Ким, Р.В. Намм, С.А. Сачков // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. Т. 46, № 11. — С. 2024-2031.

6. Гловински, Р. Численное исследование вариационных неравенств / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М.: Мир, 1979. - 574 С.

7. Brezis, H. Problèmes unilatéraux / H. Brezis // J. de Math. Pures et Appliquées. 1972. -№ 51. - P. 1-168.

8. Grisvard, P. Boundary value problems in nonsmooth domains / P. Grisvard // Univ. Dept. Math. College Park, MD, Maryland, 1980.

9. Glowinski, R. Numerical methods for nonlinear variational problems / R. Glowinski. New York: Springer, 1984. - 381 P.

10. Гроссман, К. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации / К. Гроссман, А.А. Каплан. — Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1981. — 183 С.

11. Голынтейн, Е.Г. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации / Е.Г. Голынтейн, Н.В. Третьяков. М.: Наука, 1989.-400 С.

12. Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1981. -400 С.

13. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. -М.: Мир, 1979. 399 С.

14. Scarpini, F. / F. Scarpini, М.А. Vivaldi // Error estimates for the approximation of some unilateral problems // R.A.I.R.O. Analyse Numeriqe / Numerical Analysis. 1977. - №11. - C. 197-208.

15. Намм, P.B. О единственности гладкого решения в статической задаче с трением по закону Кулона и двусторонним контактом /Р.В. Намм // ПММ. 1995. - Т. 59, № 2. С. 330-335.

16. Бертсекас, Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа / Д. Бертсекас. М.: Радио и связь, 1987. - 399 С.

17. Ito, К. Augmented Lagrangian methods for nonsmooth convexoptimization in Hilbert spaces / K. Ito, K. Kunisch // Nonlinear Analysis. -2000.-V. 41.-P. 591-616.

18. Вихтенко, Э.М. Схема двойственности для решения полукоэрцитивной задачи Синьорини с трением / Э.М. Вихтенко,

19. P.B. Намм // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. - Т. 47, № 12. - С. 2023-2036.

20. Кушнирук, H.H. Метод Удзавы с модифицированной функцией Лагранжа для решения задачи о движении жидкости в бесконечной трубе с трением на границе / H.H. Кушнирук // Информатика и системы управления. -2009. № 1(19). - С. 3-14.

21. Вихтенко, Э.М. Характеристические свойства модифицированного функционала Лагранжа в полукоэрцитивной скалярной задаче Синьорини / Э.М. Вихтенко, Р.В. Намм // Вестник ТОГУ. 2008. - № 4 (11).-С. 77-86.

22. Kikuchi, N. and Oden T. Contact Problem in Elasticity: A Study of Variational Inequalities and Finite Element Method / N. Kikuchi, T. Oden. -Philadelphia: SIAM, 1988. P. 495.

23. Кушнирук, H.H. Метод множителей Лагранжа для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением / H.H. Кушнирук, Р.В. Намм // Сибирский журнал вычислительной математики. 2009. -Т. 12, №4.-С. 409-420.

24. Fishera, G. Problemi elastostatici con vincoli unilaterali : il problema di Signorini con ambiguë condizioni al contorno / G. Fishera // Mem. Accad. Naz. Lincei. Ser. 8, 7. - 1964. - P. 91-140.

25. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 587 С.

26. Байокки, К. Вариационные и квазивариационные неравенства: Приложения к задачам со свободной границей / К. Байокки, А. Капело. -М.: Наука, 1988. 448 С.

27. Glavachek, I. Numerical solution of variational inequalities / Glavachek I., J. Haslinger, I. Ñecas, J. Lovishek. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1988.-322 P.

28. Андерсен, JI.-E. Трещина, выходящая за контактную границу. Метод фиктивных областей и инвариантные интегралы / JI.-E. Андерсен,

29. A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. -2008. Т. XI, № 3. - С. 15-29.

30. Аннин, Б.Д. О численной реализации вариационного неравенства в задачах динамики упругопластических тел / Б.Д. Аннин,

31. B.М. Садовский // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1996. Т. 36, № 9.

32. Аннин, Б.Д. Упруго-пластическая задача / Б.Д. Аннин, Г.П. Черепанов. М.: Наука, 1983. - 239 С.

33. Антипин, A.C. Регуляризированный метод с прогнозом для решения вариационных неравенств с неточно заданным множеством / A.C. Антипин, Ф.П. Васильев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. Т. 44, № 5. - С. 796-804.

34. Бадриев, И.Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами / И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов // Известия ВУЗов. Математика. 2003. - № 1. - С. 20-28.

35. Бердичевский, B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды / В.Л. Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 С.

36. Коннов, И.В. Комбинированный метод для решения вариационных неравенств с монотонными операторами / И.В. Коннов // Журналвычислительной математики и математической физики. — 1999. — Т. 39, №7.-С. 1091-1097.

37. Коннов, И.В. Метод множителей Лагранжа для вариационных неравенств / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, № 9. - С. 1344-1357.

38. Коннов, И.В. Метод спуска для негладких вариационных неравенств / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. Т. 46, № 7. - С. 1251-1257.

39. Коннов, И.В. О системах вариационных неравенств / И.В. Коннов // Известия ВУЗов. 1997. - № 12. - С. 79-88.

40. Konnov, I.V. Combined relaxation methods for variational inequality problems over product sets / I.V. Konnov // Lobachevskii J. Math. 1999. -V. 2.-P. 3-9.

41. Лапин, A.B. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации / A.B. Лапин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. - Т. 19, № 3. — С. 689-700.

42. Лапин, A.B. Об аппроксимации нелинейных стационарных вариационных неравенств / A.B. Лапин // Исследования по прикладной математике. — 1981. — Вып. 9. С. 9-23.

43. Мосолов, П.П. Механика жестко-пластических сред / П.П. Мосолов, В.П. Мясников. -М.: Наука, 1981.-208 С.

44. Рудой, Е.М. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием / Е.М. Рудой, A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - Т. XII, № 2. - С. 120-130.

45. Рязанцева, И.П. О разрешимости вариационных неравенств с неограниченными полумонотонными отображениями / И.П. Рязанцева // Известия ВУЗов. Математика. — 1999. № 7. — С. 49-53.

46. Уральцева, Н.Н. О регулярности решений вариационных неравенств / Н.Н. Уральцева // Успехи математических наук. 1987. - Т. 42, № 6. -С. 151-174.

47. Уральцева, Н.Н. Теоремы регулярности для вариационных неравенств и односторонних задач / Н.Н. Уральцева, Т.Н. Рожковская // Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды международной конференции. Новосибирск: Наука.- 1987.-С. 187-192.

48. Laitinen, E. Large splitting iterative methods and parallel solution of variational inequalities / E. Laitinen, A.V. Lapin, J. Pieska // Lobachevskii J. Math.-2001.-V. 8.-P. 167-184.

49. Васильев, Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач / Ф.П.Васильев. М.: Изд-во Московского университета, С. 1974. — 374.

50. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1980. 518 С.

51. Нурминский, Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации / Е.А. Нурминский. М.: Наука, 1991. - 167 С.

52. Мину, М. Математическое программирование: теория и алгоритмы / М. Мину. М.: Наука, 1990. - 485 С.

53. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. — М.: Наука, 1983. — 384 С.

54. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. М.: Наука, 1975. - 319 С.

55. Рокафеллар, Р.Т. Выпуклый анализ / Р.Т. Рокафеллар. — М.: Мир, 1973.-469 С.

56. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. -М.: Мир, 1979. 399 С.

57. Martinet, В. Determination apprachee d'un point fixe d'une application pseudo-contractence / B. Martinet // C.r.Acad.Sci. 1972. - V. 274, № 2. -P. 163-165.

58. Martinet, B. Regularization d'inequations variationelles par approximations successives / B. Martinet // RIRO. 1970. - V. 4, № 3. -P. 154-159.

59. Namm, R.V. About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity / R.V. Namm // International series of numerical mathematics. Basel, 1992. -V. 106. - P. 223-228.

60. Namm, R.V. Sadie methods for ill-posed variational inequalities / R.V. Namm // Lecture notes in economics and mathematical systems. -Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997. -V. 17. P. 497-510.

61. Namm, R.V. Introduction to the theory and solution methods for variational inequalities / R.V. Namm, W. Gyungsoo. Changwon National University Press, 2002. - 117 P.

62. Nguyen, Buong. On parameter choice and convergence rates in regularization for a class of ill-posed variational inequalities / Buong Nguyen, Van Loi Pham // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. - Т. 44, № 10. - С. 1735-1744.

63. Powell, M.J.D. A method for nonlinear constraints in minimization problems / M.J.D. Powell // Optimization, Fletcher R., ed. London: Academic Press, 1969. - P. 283-298.

64. Rockafellar, R.T. A dual approach to solving nonlinear programming problems by unconstrained optimization / R.T. Rockafellar // Mathematical programming. 1973. - V. 5, № 3. - P. 354-373.

65. Rockafellar, R.T. Augmented Lagrangians and applications of the proximal point algoritm in convex programming / R.T. Rockafellar // Math, operations Res. 1979. - V. 1, № 2. - P. 97-116.

66. Rockafellar, R.T. Moreau's proximal mappings and convexity in Hamilton-Jacobi theory / R.T. Rockafellar // Nonsmooth Mechanics and Analysis. 2006- V. 12. - P. 3-12.

67. Rockafellar, R.T. The multiplier method of Hestenes and Powele applied to convex programming / R.T. Rockafellar // Journal of optimization theory and applications. 1973. - V. 12, № 6. - P. 555-562.

68. Schmitt, H. On the regularized Bingham problem / H. Schmitt // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997. V. 452. - P. 298-315.

69. Turner, M.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures / M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp // J. Aero Sci. 1956. -№23.-P. 805-823.

70. Список работ, опубликованных по теме диссертации

71. Ткаченко, A.C. Решение полукоэрцитивной скалярной задаче Синьорини методом Удзавы / Р.В. Намм, A.C. Ткаченко // Вестник ТОГУ. 2007. - № 4 (7). - С. 161-170.

72. Ткаченко, A.C. Решение полукоэрцитивной задачи Синьорини методом итеративной проксимальной регуляризации модифицированного функционала Лагранжа / Р.В. Намм, A.C. Ткаченко // Известия вузов. Математика. 2010. — № 4. - С. 36-46.

73. Ткаченко, A.C. О сходимости методов двойственности в вариационном неравенстве Синьорини / A.C. Ткаченко // Материалы III конкурса-конференции научных работ молодых ученых Тихоокеанского государственного университета. — 2010. С. 44-51.

74. Ткаченко, A.C. О сходимости методов двойственности в вариационном неравенстве Синьорини /A.C. Ткаченко // ДМЖ. -2010.-Т. 10, № 1.-С. 70-80.

75. Ткаченко, A.C. О сглаживающем методе двойственности для решения модельной задачи с заданным трением / Р.В. Намм, A.C. Ткаченко // Вестник ТОГУ. 2010. - № 3 (18). - С. 13-23.