Оптимизационные методы решения вариационных неравенств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
|
Кушнирук, Надежда Николаевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Благовещенск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
004600234
на правах рукописи
Кушнирук Надежда Николаевна
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ
01.01.07 - Вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 АПР 2010
Хабаровск-2010
004600234
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Амурский государственный университет»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Намм Роберт Викторович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Кожанов Александр Иванович
кандидат физико-математических наук, Сачков Сергей Александрович
Ведущая организация:
Вычислительный центр ДВО РАН, г. Хабаровск
Защита состоится «23» апреля 2010 года в 15-00 на заседании диссертационного совета К 212.294.02 при Тихоокеанском государственном университете по адресу: 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ауд. 315л
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского государственного университета.
Автореферат разослан «/£» л-г«, 2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Э.М. Вихтенко
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Многие задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку, состоящую в минимизации функционала энергии на некотором выпуклом замкнутом множестве. Такая постановка позволяет ослабить ограничение на гладкость искомого решение, при этом естественным образом вводится понятие слабого (обобщенного) решения. Тем самым, вариационные постановки являются задачами на условный (или безусловный, если допустимое множество представляет собой некоторое пространство функций) экстремум. Рассматриваемые задачи допускают постановку в виде вариационных неравенств.
В настоящее время теория вариационных неравенств получила большое развитие и представляет интерес для исследователей в области математики, механики, экономики. Данное направление развивалось и развивается в работах Хлуднева A.M., Аннина Б.Д., Садовского В.М., Антипина A.C., Васильева Ф.П., Вихтенко Э.М., Намма Р.В., Коннова И.В., Лапина A.B., Мосолова П.П., Мяс-никова В.П., Рязанцевой И.П., Уральцевой H.H., Чеботарева А.Ю. и многих других.
В вариационной постановке формулируются такие задачи, как задача об упруго-пластическом кручении стержня, контактные задачи теории упругости, задача о течении вязкопластических сред, задача о препятствии, задачи теории пластичности и другие. Настоящая работа посвящения исследованию и приближенному решению негладкого вариационного неравенства, соответствующего модельной задаче с трением.
Для решения вариационных неравенств широко используется аппарат функционального и выпуклого анализа, развитый в работах Васильева Ф.П., Гроссмана К., Каплана A.A., Мину М., Поляка Б.Т., Пшеничного Б.Н., Данилина Ю.М., Рокафеллара Р., Экланда И., Темама Р. и в других многочисленных источниках.
В данной работе для исследования поставленной задачи будет использован подход, основанный на замене исходной негладкой задачи на гладкую задачу условной оптимизации и построению для последней схемы двойственности, основанной на модификации классического функционала Лагранжа. В работах Антипина A.C., Голикова A.A., Евтушенко Ю.Г., Поляка Б.Т., Третьякова Н.В.,
Рокафеллара Р.Т. модифицированные функционалы исследовались применительно к конечномерным задачам линейного и выпуклого программирования. В последнее время получили развитие схемы двойственности с модифицированными функционалами Лагранжа, для решения бесконечномерных вариационных неравенств механики.
Исследование по численному анализу вариационных задач проводится с использованием метода конечных элементов. Большой вклад в данный вопрос внесли работы французских математиков Гловински Р., Лионса Ж.-Л., Тре-мольера Р. и других, которые подробно исследуют применение метода конечных элементов для аппроксимации непрерывных задач и алгоритмы решения их конечномерных аналогов.
Несмотря на ряд важных достижений в области решения вариационных неравенств, в настоящее время мало проводится исследований, относящихся к обоснованию применения принципов двойственности для решения вариационных задач механики. Как будет показано в работе, в полукоэрцитивном случае применение схем двойственности с классическим функционалом Лагранжа оказывается, вообще говоря, неприемлемым, а при решении коэрцитивных задач сходимость гарантируется только при жестком увязывании параметра алгоритма решения с константой коэрцитивности оператора задачи.
Цель работы. Обоснование и применение приближенных методов для исследования полукоэрцитивной и коэрцитивной постановок модельной задачи с трением с использованием методов математического программирования и выпуклого анализа, аппарата конечных элементов, вариационных принципов двойственности.
Задачи работы. Построение и исследование новых схем двойственности, основанных на модифицированных функционалах Лагранжа в исходных гильбертовых пространствах. Обоснование метода решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением методом множителей Лагранжа в комбинировании с итеративной проксимальной регуляризацией и методом конечных элементов.
Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа, теория выпуклого анализа, теория вариационных неравенств, методы вычислительной математики и математического программирования, теория пространств С.Л. Соболева, общая теория нелинейных краевых задач.
Положения, выносимые на защиту:
1. Сведение задачи безусловной минимизации недифференцируемого функционала к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала.
2. Построение для полукоэрцитивной и коэрцитивной постановок модельной задачи с трением эквивалентных задач поиска седловой точки классического функционала Лагранжа; доказательство теоремы о седловой точке; формулировка теоремы о совпадении седловых точек классического и модифицированного функционалов Лагранжа.
3. Сравнительный анализ численных расчетов, полученных на основе методов двойственности с модифицированным функционалом Лагранжа и стандартных методов. Вывод, что применение схемы двойственности с модифицированным функционалом Лагранжа при численной реализации оказывается наиболее эффективным в сравнении с классической схемой двойственности.
Научная новизна.
В работе исследуется задача с заданным трением, строятся и обосновываются новые схемы двойственности, основанные на модифицированных функционалах Лагранжа. Получены следующие новые результаты.
1) Для полукоэрцитивной модельной задачи с трением:
1.1) осуществлен переход от задачи безусловной минимизации не-дифференцируемого функционала к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала, построены соответствующие эквивалентные постановки в виде вариационного неравенства и краевой задачи, обоснованы существование и единственность решения при выполнении условия разрешимости;
1.2) полученная задача аппроксимирована с помощью метода конечных элементов;
1.3) построен и обоснован алгоритм с пошаговой проксимальной регуляризацией;
1.4) для задачи условной минимизации исследована эквивалентная задача поиска седловой точки для классического функционала Лагранжа; показано совпадение седловых точек классического и модифицированного функционалов Лагранжа; отыскание седловой точки модифицированного функционала Лагранжа осуществлено с помощью алгоритма Удзавы;
1.5) приведены результаты численных экспериментов с различными параметрами задачи.
2) Для коэрцитивной модельной задачи с трением:
2.1) исследована схема двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа;
2.2) проведено сравнение результатов численных расчетов для классического и модифицированного функционалов Лагранжа.
Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью постановки рассматриваемой задачи и методов ее исследования, а также совпадением (в рамках некоторых допустимых погрешностей) результатов численных расчетов при решении задачи различными методами.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XIV Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения», г. Северобайкальск (2008 г.); на Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред», г. Владивосток (2009 г.); на научных семинарах «Дифференциальные уравнения» (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А.Г.) факультета Математического моделирования и процессов управления Тихоокеанского государственного университета, г. Хабаровск (2009 г.); на научном семинаре Вычислительного центра ДВО РАН (рук. член.-корр. РАН, д.ф.-м.н., Смагин С.И.), г. Хабаровск (2010 г.); на научно-методических семинарах кафедры Математического анализа и моделирования факультета Математики и информатики Амурского государственного университета, г. Благовещенск (2007-2010 гг.); на региональных межвузовских научно-практических конференциях «Молодежь XXI века: шаг в будущее», г. Благовещенск (2007-2009 гг.); на внутривузовских конференциях Амурского государственного университета «Дни науки АмГУ», г. Благовещенск (20072009 гг.); на Всероссийской конференции «Современные проблемы философии и техники для будущего России», г. Благовещенск (2008 г.); на международной конференции «Математические методы в технике и технологиях», г. Саратов (2008 г.), г. Псков (2009 г.); на XXXIII Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова, г. Владивосток (2008 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ (6 статей, 5 тезисов докладов), имеется свидетельство о государственной регистрации программы. Список работ (без тезисов докладов) приведен в конце автореферата и построен в хронологическом порядке.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разделенных на пункты (пп. 1.1.-1.5. в главе 1, пп. 2.1.-2.5. в главе 2, глава 3 на пункты не разделена), заключения и двух приложений, включает список литературы из 130 наименований. Общий объем диссертации составляет 109 страниц машинописного текста. Работа включает 20 таблиц, 11 рисунков.
Краткое содержание работы
Во введении приведен краткий обзор литературы, указана актуальность темы исследования, ее цель и новизна полученных в диссертационной работе результатов, дается изложение работы по главам.
Первая глава «Задача о движении жидкости в трубе с трением на границе. Существование и единственность решения. Метод конечных элементов» посвящена постановке исследуемой задачи - модельной задачи с трением - в трех эквивалентных постановках, доказательству теорем существования и единственности решения, применению метода конечных элементов для аппроксимации непрерывной задачи, и обоснованию итеративной проксимальной регуляризации.
Пусть Ü. - ограниченная область в R2 с достаточно гладкой границей Г. Будем исследовать задачу
I
J(v) = - ||Vv|2dQ - }/vdÜ + Jg\y v|dT -> min,
2n n г (1)
veWl (Q),
где / e L2(P) - перепад давления; g = const > 0 - сила трения на границе Г области Q; у V е wj/2(T) - след функции v е Wj {&) на Г.
Известно, что задача (1) допускает постановку в виде вариационного неравенства
' ¡VvV(u-v)dn-\f{u-v)dCl + \g{\yu\-\yv\)dr>0 VuelV^Q).
.q п г
Если предположить, что решение veltfiQ), то задача (1) эквивалентна краевой задаче
-ду=/ в а,
дп
Минимизируемый функционал не является сильно выпуклым в (О) и задача (1) может не иметь решения. Однако если выполнено условие
dv I I n г-< g, v—+ v g = 0 на Г. дп
g mes Г -
\fdQ Q
>0, (2)
то решение v задачи (1) существует и будет единственным.
В предположении, что/< 0 в Q, задача (1) безусловной минимизации не-дифференцируемого функционала сводится к эквивалентной задаче условной минимизации дифференцируемого функционала
J(v) = I J|Vv|2dü - \fvdQ -\gy vdT min,
n г (3)
veG = {w€W}(n):yw<0 на Г}.
Условие разрешимости для данной задачи запишется в виде
gmesr+jfdü> 0. п
Задача (3) равносильна решению вариационного неравенства
Г veG,
\\VvV(u-v)dQ-\f(u-v)dn-jgy(u-v)dr>0 Vk eG, In n г
а в предположении, что решение veW^iQ), задача (3) эквивалентна краевой задаче
- Дv = / в П,
dv (dv Л
— ¿g, v<0, vi— -g\ = 0 на Г.
Конечно-элементная аппроксимация приводит к квадратичной форме с вырожденной матрицей, что влияет на сходимость итерационного процесса при минимизации конечномерной квадратичной функции. Для устранения этого недостатка применяется метод итеративной проксимальной регуляризации, который выглядит следующим образом:
1) задаем произвольный элемент z° 6 G;
2) обозначая = а^1
,/7 + 1
критерию -V
я+1
1ЩП)
<£„+1, где е„ >0, <с0; а>0 - параметр ре-
гуляризации. Примем а равным единице.
Используя указанную схему, на (к+ 1)-й итерации будем решать задачу:
V € б.
где V/, - конечно-элементное решение, полученное на предыдущей итерации; Ик —* 0 при к —> со.
Показано, что для сходимости метода итеративной проксимальной регу-
В главе 2 «Методы двойственности» проводится исследование поставленной задачи с применением методов двойственности, основанных на классической и модифицированной функциях Лагранжа. Эти методы заключаются в замене исходной задачи задачей отыскания седловой точки функции Лагранжа, построенной для задачи условной оптимизации (3).
Классический функционал Лагранжа для задачи (3) записывается в виде
Обозначим (¿2(Г))+ - конус неотрицательных на Г функций, интегрируемых со своим квадратом. Введем определение седловой точки:
Определение 1. Пара (V*,/*) еИ7^(Л) х (¿2(Г))+ называется седловой точкой для Ь(у, Г), если выполняется двустороннее неравенство
- /(|+ 2у2)(Ю- /(/ + 2у/1а гшп,
п г
ляризации достаточно, чтобы сходился ряд .
4=1
¿(V,/) = Ум + \1 /таГ = - \Ш2(К1 - [ - [г гvdГ + [IууаТ,
Ну ,1)<Ь{у ,1*)<ЦуХ), Vve^rj(П), V/ е(/,2(Г))+.
Однако применение методов двойственности для поиска седловой точки с использованием функционала £(у, Г) невозможно, так как сходимость итерационного процесса обеспечивается согласованием длины шага сдвига по двойственной переменной / с константой положительной определенности квадратичной формы минимизируемого функционала. В (3) квадратичная форма
1 2 1 = - сЮ лишь неотрицательно определена в Ш2 (□). Чтобы избавится
2п
от этого недостатка, используются модифицированные функции Лагранжа.
Модифицированный функционал Лагранжа для задачи (3) в (О) х Ь2 (Г) определяется следующим образом
где г > 0 - const; (/ + ryvf = max{0, I + ryv}.
Введем аналогичное определение седловой точки.
Определение 2. Пара {v*,С) е(С1) х (Г) называется седловой точкой для М(у, /), если выполняется двустороннее неравенство
Одним из важных результатов данной главы является следующая теорема.
Теорема 2. Множества седловых точек классического функционала Лагранжа ¿(V,/) и модифицированного функционала Лагранжа М(у,1) совпадают.
Указанное свойство позволяет для нахождения седловой точки классического функционала Лагранжа применить метод Удзавы, построенный для модифицированного функционала.
Алгоритм метода Удзавы выглядит следующим образом. Задаем произвольно /°еИл2'/2(Г), который является следом на Г некоторой функции V0 е (£2). На к-й итерации метода
Шаг 1. Определяем
г
M(v*,/) < M(v*,Г)< M(v,i), VveW^(Q), V/eL2(Г).
v*+1 = arg min M(v.lk):
1че1г2'(п)
Шаг 2. Полагаем
(4)
t '=(/* + ryvk ') ,
(5)
где г - параметр сдвига по двойственной переменной.
Главным результатом главы 2 является следующая теорема сходимости.
Теорема 3. Пусть точки v*=arg min M(v.lk'[). к = 1.2.... удовлетворяют
1
условиям: vk е W22(fi), LMI <С, C>0-eww/. Тогда последовательность
II 11И'22(П)
{(v*,/*)}, полученная по методу (4), (5), сходится в W2 (Q) х ¿2 (Г) к седловой Sv*
точке (v ,g--) при любом выборе начальной точки и любом
дп
фиксированном параметре г > 0.
Однако при конечно-элементной аппроксимации модифицированного функционала Лагранжа матрица квадратичной формы будет вырожденной, поэтому вопрос о сходимости итерационного процесса является открытым. Для устранения этого недостатка также естественно применить итеративную проксимальную регуляризацию, которая будет выглядеть следующим образом. Выберем произвольно пару (v°,/°) е й/2'(П)х 1У^/2(Г). На (/с+1)-м шаге метода
Шаг А. Определяется точка vk и е (^'(Q) из критерия
y+l-vk+l\<5k,
где v*+1=arg min Lk(v) = arg min <M(y,lk) + a\y-vk\ [, a = const>0,
vs(r2'(ß) уеЖ2'(П)1 11 "¿2(q)J
CC
$k >o, Y,h k=1
Шаг Б. Двойственная переменная корректируется по формуле tJ =(lk + ryvk->y, где г- параметр сдвига по двойственной переменной.
II к II2
Положим а равным единице. Регуляризирующая добавка ||v~v || ^
обеспечивает сильную выпуклость минимизируемого функционала Lk (v), а это гарантирует существование и единственность решения вспомогательных задач fLi(v)-»min, [v е IV-! (Q).
Обоснование сходимости получаемой последовательности следует из теорем.
Теорема 4. Пусть множество седловых точек функционала Лагранжа L(v,l) не является пустым. Тогда последовательность jv*+1,/í+1j=
= jví + ',(/* + ryvk+1^j j, генерируемая по алгоритму А),В), ограничена в
W^iQ.)* Ь2(Г) и, более того, последовательность {v* j компактна в W^iQ).
Теорема 5. Пусть выполнено условие теоремы 4 и, кроме того, решения у*, к = 1,2,..., вспомогательных задач (6) удовлетворяют следующим условиям
Vк 6 (Í2), к = 1,2,..., |v ■к II < С, С > 0 - const ■ Тогда последовательность
II iijj'/(fi)
[v*+1,/A+11 сходится к единственной седловой точке (v*, /*) функционала L(v, Г).
Глава 3 «Методы двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа при решении коэрцитивной задачи» посвящена применению схемы двойственности для решения коэрцитивной задачи вида
- J/■v dü. -1 g у v cff~ min, j 2n n г (7)
[veG = {w<=W¡(n):yw<0 на Г}.
Вариационную задачу (7) также можно сформулировать в двух эквивалентных формулировках. Первая - в виде вариационного неравенства veG,
|(VvV(m - v) + v(«- v))dQ.-j/(u-v)dQ -jgy(u-v)dT > О V и e G, n п г
вторая - в виде краевой задачи
-Av + v = f в Q,
■ dv (dv ^
— <g, yv< 0, yv ~-g =0 на Г. on yon j
Следует отметить, что решение (единственное) коэрцитивной задачи
принадлежит пространству ff22(Q).
Классический функционал Лагранжа для задачи (7) имеет вид
L{v,l) = - j(¡Vv|2 + v2]t/Q - \fvdQ. - jg yvdV + J / yvdT,
2n о г r (8)
V(v,/)E(f2'(0)xI2(r). Справедливым остается утверждение.
Теорема 6. Пусть (v* /*) - седловая точка функции Лагранжа и
v* elV-f(Q). Тогда v* = v, l* = g- — , где v - решение (единственное) экстре-
дп
мальной задачи (7).
Для поиска седловой точки функционала (8) можно применить метод Уд-завы, описанный в главе 2. При этом в коэрцитивной задаче (7) квадратичная
форма а(v, v) = — J |vv|2 + v2 является положительно определенной, поэтому в
данном случае имеет место сходимость итерационного процесса по методу Уд-завы при условии, что параметр сдвига по двойственной переменной выбран
согласно правилу 0<г<-, где sup —- норма оператора следа
1И12 Нг^П)
r:W}(a.)->L2(D.
Модифицированный функционал Лагранжа для задачи (7) определяется аналогично
М(v,/) = - J (vv|2 + - J/ vdQ - Jg у vdF + — J{[(/ + г у v)+ f -12 W, 2n or 2rr[ J
где r > 0 - const; {I + ryvf = max{0, I + г у v}.
Для поиска седловой точки модифицированного функционала Лагранжа >
также применяется метод Удзавы
В заключении приводятся основные результаты работы:
1) Для полукоэрцитивной модельной задачи с трением построена эквивалентная задача поиска седловой точки для классического функционала Лагранжа; показано, что множества седловых точек классического и модифицированного функционалов Лагранжа совпадают; построен и обоснован метод нахождения седловой точки, основанный на модифицированном функционале Лагранжа и алгоритме итеративной проксимальной регуляризации.
2) Для коэрцитивной модельной задачи с трением проведен сравнительный анализ методов двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа.
В приложениях 1 и 2 приведены результаты численных расчетов соответственно для полукоэрцитивной и коэрцитивной задач с применением метода конечных элементов.
О достоверности полученных результатов можно судить по совпадению (в рамках некоторых допустимых погрешностей) приближенных решений, полученных при решении задачи различными методами. Также численные решения проверялись на разностном аналоге соответствующей краевой задачи.
Главный вывод по диссертационной работе. Модифицированные функционалы Лагранжа оказываются эффективным инструментом при исследовании и решении как полукоэрцитивных, так и коэрцитивных вариационных неравенств механики.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Намму Роберту Викторовичу за всестороннюю поддержку на всех этапах выполнения работы.
Список работ, опубликованных по теме диссертации
1 Кушиирук, H.H. Метод множителей Лагранжа для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением / H.H. Кушиирук, Р.В. Намм // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2009. - Т. 12. -№ 4. - С. 409-420.
2 Кушиирук, H.H. Метод Удзавы с модифицированной функцией Лагранжа для решения задачи о движении жидкости в бесконечной трубе с трением на границе / H.H. Кушнирук // Информатика и системы управления. - 2009. - № 1(19). - С. 3-14.
3 Кушнирук, H.H. О решении полукоэрцитивной модельной задачи с трением / H.H. Кушнирук, Р.В. Намм // Вестник АмГУ. - 2008. - Вып. 41. -С. 5-8.
4 Кушнирук, H.H. Реализация метода итеративной проксимальной регуляризации на последовательности триангуляций для модельной задачи с трением: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2008612797 Российская Федерация / Кушнирук H.H.; заявитель и патентообладатель Амурский гос. ун-т. - № 2008610910; заявл. 06.03.2008; опубл. 07.06.2008, Бюл. № 3(64) (II ч.). - 1 с.
5 Кушнирук, H.H. Об одном подходе к решению полукоэрцитивной модельной задачи с трением / H.H. Кушнирук, Р.В. Намм // Дальневосточный математический журнал. -2008. - Т. 8. -№ 2. - С. 171-179.
6 Кушнирук, H.H. Об одном подходе к решению полукоэрцитивной задачи с трением / Э.М. Вихтенко, H.H. Кушнирук, Р.В. Намм // Математическое программирование: труды XIV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. - С. 280-285.
7 Кушнирук, H.H. Характеристические свойства седловой точки модифицированного функционала Лагранжа в полукоэрцитивной модельной задаче с трением / H.H. Кушнирук // Вестник АмГУ. - 2009. - Вып. 45. -С. 13-17.
Кушнирук Надежда Николаевна
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Подписано к печати 11.03.2010. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,16. Тираж 100. Заказ Б/н.
Отпечатано в типографии АмГУ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Задача о движении жидкости в трубе с трением на границе.
Существование и единственность решения.
Метод конечных элементов
1.1. Постановка задачи
1.2. Условие разрешимости
1.3. Вариационное неравенство и краевая задача
1.4. Аппроксимация задачи по методу конечных элементов
1.5. Метод итеративной проксимальной регуляризации
ГЛАВА 2. Методы двойственности
2.1. Классическая двойственность
2.2. Модифицированный функционал Лагранжа. Характеристические свойства
2.3. Метод Удзавы нахождения седловой точки
2.4. Итеративная проксимальная регуляризация модифицированного функционала
2.5. Аппроксимация по методу конечных элементов и реализация алгоритмов
ГЛАВА 3. Методы двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа при решении коэрцитивной задачи
ЗАКЛЮЧНИЕ
Актуальность темы
Математическая постановка задач механики сплошной среды сводится к краевой задаче для дифференциального уравнения в частных производных. Многие линейные задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку, которая состоит в минимизации выпуклого функционала потенциальной энергии на некотором линейном множестве. Такая постановка позволяет ослабить ограничение на гладкость искомого решение, при этом естественным образом вводится понятие слабого (обобщенного) решения.
В последнее время наибольший интерес представляют нелинейные краевые задачи, соответствующие вариационные постановки которых состоят в минимизации некоторого выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве. Тем самым, вариационные постановки являются задачами на условный (или безусловный, если допустимое множество представляет собой некоторое пространство функций) экстремум. Третья эквивалентная постановка такого рода задач представляет собой вариационное неравенство.
Теория вариационных неравенств возникла в шестидесятых годах прошлого столетия. Простейшая модельная задача, которая приводит к вариационным неравенствам, - это задача о кратчайшем пути, соединяющим две заданные точки на плоскости и обходящем некоторые препятствия ([43]). Источником же для создания теории вариационных неравенств послужила задача из теории упругости (задача Синьорини), впервые полностью изученная в работе Фикеры [93k где были заложены основы теории вариационных неравенств ([53]). Затем исследование вариационных неравенств продолжилось в работах Ж. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников; в этой связи следует упомянуть следующие работы [13,31, 32, 38, 95]. В настоящее время данная теория находится в стадии бурного развития и представляет интерес не только для исследователей-математиков и механиков, но и для экономистов, поскольку вариационные неравенства нашли свое применение при моделировании" и исследовании равновесных задач экономики и исследовании операций. Данное направление развивалось и развивается в работах следующих исследователей: Андерсена JT.-E. и ХлудневаА.М. [1], Аннина Б.Д. и Садовского В.М. [2], Аннина Б.Д. и Черепанова Г.П. [3], Антипина А.С. и Васильева Ф.П. [9], Бадриева И.Б. и Задворно-ваО.А. [10], Бердичевского B.JT. [14], Вихтенко Э.М. и НаммаР.В. [23-26], Коннова И.В. [47-50, 104], Лапина А.В. [51, 52], Мосолова П.П. и Мяснико-ваВ.П. [60], Рудого Е.М. и ХлудневаА.М. [72], Рязанцевой И.П. [73-75], Уральцевой Н.Н. [82], Уральцевой Н.Н. и Рожковской Т.Н. [83], Хлуднева A.M. [84], Чеботарева А.Ю. [85], Лапина А.В. и Игнатьевой М.А. [101], Лапина А.В., Лайтинена Е. и Пиеска Д. [105] и многих других.
Вернемся к вариационным постановкам нелинейных краевых задач. В этом виде формулируются такие задачи, как задача об упруго-пластическом кручении стержня [3, 53, 86, 108], контактные задачи теории упругости [30, 72, 78, 84, 89, 95, 109], задача о движении вязкопластичной жидкости Бингама [94, 117], задача Синьорини [13, 31, 32, 110], задача теории пластин [78], задача фильтрации [11, 43, 51, 86], задача о препятствии [13], задачи теории пластичности [78] и другие. Из работ, направленных на исследование вариационных постановок подобного рода задач можно также выделить работы Вторуши-наЕ.В. [27], Джангвеладзе Т.А. и Лобжанидзе Г.Б. [37], Клабуковой Л.С. [44, 45] и другие. Настоящая работа посвящения исследованию модельной задачи с трением, которая была сформулирована в работах [31] и [32].
Исследование вариационных постановок проводится с привлечением функциональных пространств С.Л. Соболева, с изложением основ которых можно ознакомиться в работах [46, 55, 58, 59, 80].
Для решения вариационных неравенств широко используется аппарат выпуклого анализа и математического программирования, развитый в работах Васильева Ф.П. [17, 19, 20], Гроссмана К. и КапланаА.А. [36], Нурминско-го Е.А. [63], Мину М. [57], Поляка Б.Т. [66], Пшеничного Б.Н. и Данилина Ю.М. [70], Рокафеллара Р. [71], Экланда И. и Темама Р. [86], и в других многочисленных источниках.
В данной работе для исследования поставленной задачи будет использован двойственный подход, основанный на замене задачи условной оптимизации задачей отыскания седловой точки функции Лагранжа. Конструкция, известная под названием функции Лагранжа, лежит в основе общепринятой схемы анализа экстремальных задач с ограничениями. Описание метода множителей Лагранжа можно найти во многих работах, указанных в предыдущем абзаце. Функция Лагранжа формируется по исходной задаче и зависит от двух групп переменных - прямых (переменных исходной задачи) и двойственных (переменных, отвечающих ограничениям). Главное свойство функции Лагранжа состоит в том, что решение практически любой задачи выпуклого программирования совпадает с вектором прямых переменных седловой точки функции Лагранжа. Однако классической схеме двойственности, то есть схеме, использующей классическую функцию Лагранжа, присущ ряд недостатков, затрудняющих ее применение для построения вычислительных методов ([35]).
От этих недостатков избавлены так называемые модифицированные функции Лагранжа, которые, в отличие от предшественницы, не являются линейными относительно двойственной переменной. Термин «модифицированная функция Лагранжа» впервые был введен в работе [87], а после работ [100] и [112] возник интерес к данным конструкциям. Далее в работах Антипина А.С. [4-6], Голикова А.А. и Евтушенко Ю.Г. [33], Ижуткина B.C. и Петропавловского М.В. [42], Поляка Б.Т. и Третьякова Н.В. [67], Попова Л.Д. [68], Третьякова Н.В. [81], Рокафеллара Р.Т. [113, 114, 116] метод исследовался применительно к конечномерным задачам линейного и выпуклого программирования. В последнее время популяризируется применение схем двойственности, как правило, с применением модифицированной функции Лагранжа, для решения вариационных неравенств, , когда для задачи условной минимизации функционала потенциальной энергии строится функция Лагранжа. Данный подход отражен в работах [2, 23, 28, 29,48, 60].
Одним из вспомогательных подходов, применяемых в данной работе для решения поставленной задачи, является итеративная проксимальная регуляризация минимизируемого функционала. Причина, которая вынуждает прибегнуть к данному методу в исследовании, состоит в том, что при конечно-элементной аппроксимации получается квадратичный функционал с вырожденной матрицей, и при его минимизации возникают проблемы со сходимостью численных алгоритмов. Вообще говоря, методы регуляризации могут быть использованы для задач минимизации, когда неточно заданы либо целевая функция, либо допустимое множество; данный подход достаточно хорошо развит в работах Антипина А.С. и Васильева Ф.П. [7-9, 18, 21]. В настоящее время существуют два вида регуляризации - регуляризация по Тихонову [17, 79] и уже упомянутая, итеративная проксимальная регуляризация. Остановимся более подробно на втором виде регуляризации в силу того, что он нашел отражение в данной работе.
В работах [106, 107] начала семидесятых годов прошлого века впервые был использован итерационный процесс, заменяющий задачу конечномерной оптимизации последовательностью задач минимизации исходной целевой функции с проксимальной регуляризирующей добавкой. Главное преимущество этого вида регуляризации, в отличие от регуляризации по Тихонову, состоит в том, что нет необходимости устремлять параметр регуляризации к нулю, достаточно взять его равным какой-либо положительной постоянной (например, единице, как сделано в данной работе). А в работах Антипина А.С. [4, 5] и Ро-кафеллара Р.Т. [114] был предложен и исследован метод, основанный на введении такой добавки в итерационный процесс отыскания седловых точек модифицированной функции Лагранжа. В настоящее время итеративная проксимальная регуляризация используется для решения широко ряда некорректных задач; например, применение можно встретить в работах Вепринцева С.И. [22], Вихтенко Э.М. и НаммаР.В. [22], By Г., Кима С., Намма Р.В. и Сачко-ва С.А. [28], Гречка Г.Ю. [34], Золотухина А .Я., Намма Р.В. и Пачиной А.В. [40, 41], Попова Л.Д. [69], Стукалова А.С. [76], Gugat М. [98], Hare W.L. [99], Nguyen Buong и Pham Van Loi [111], Рокафеллара Р.Т. [115] и других.
Исследование по численному анализу вариационных задач проводится с использованием метода конечных элементов. Метод конечных элементов впервые был предложен в сороковых годах двадцатого столетия в работах Куранта Р. [91], а затем в пятидесятых годах независимо открыт инженерами [88, 118], название метода было предложено Клафом Р.У. [90]. Систематическое изложение теоретических основ метода конечных элементов имеется в работах [39, 56]; в работе [77] ведется исследование вариационных неравенств с использованием схемы метода конечных элементов, в частности данная схема применена для исследования задачи с препятствиями, задачи об упругопласти-ческом кручении, задачи о минимальной поверхности, задачи о пластине. Большой вклад в данный вопрос вносит работа французских математиков [32], в которой подробно исследуется применение метода конечных элементов для аппроксимации непрерывных задач и исследуются методы решения получаемых их конечномерных аналогов.
Несмотря на ряд важных достижений в области решения вариационных неравенств, в настоящее время мало проводится исследований, относящихся к применению принципов двойственности для решения вариационных задач механики. В некоторых работах встречаются указанные подходы, однако, без строгих математических обоснований сходимости. Как будет показано в работе, в полукоэрцитивном случае применение схем двойственности с классическим функционалом Лагранжа оказывается, вообще говоря, неприемлемым, а при решении коэрцитивных задач данный подход уступает по вычислительной эффективности методу двойственности, использующем модифицированную функцию Лагранжа.
Цель работы
Обоснование и применение приближенных методов для исследования полукоэрцитивной и коэрцитивной постановок модельной задачи с трением с использованием методов математического программирования и выпуклого анализа, аппарата конечных элементов, вариационных принципов двойственности.
Задачи работы
Для исследования полукоэрцитивной модельной задачи с трением применить алгоритм с пошаговой итеративной проксимальной регуляризацией; схему двойственности, основанную на модифицированном функционале Лагранжа. Для исследования коэрцитивной модельной задачи с трением применить схемы двойственности, основанные на классическом и модифицированном функционале Лагранжа. Реализовать указанные методы с использованием конечно-элементной аппроксимации непрерывных задач. Сравнить полученные результаты.
Методы исследования
В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды [16, 38], методы функционального анализа [46], теория выпуклого анализа [71], теория вариационных неравенств [32, 38, 43], методы вычислительной математики [19, 58,'59, 70] и математического программирования [57], теория пространств С.Л. Соболева [46, 80], общая теория нелинейных краевых задач [38, 53].
Научная новизна
В работе исследуется модельная задача с трением, строятся и обосновываются новые схемы двойственности, основанные на модифицированных функционалах Лагранжа. Получены следующие новые результаты.
1) Для полукоэрцитивной модельной задачи с трением:
1.1) осуществлен переход от задачи безусловной минимизации не-дифференцируемого функционала к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала, построены соответствующие эквивалентные постановки в виде вариационного неравенства и краевой задачи, обоснованы существование и единственность решения при выполнении условия разрешимости;
1.2) задача аппроксимирована с помощью метода конечных элементов; для решения задачи применен метод поточечной релаксации с проектированием;
1.3) построен и обоснован алгоритм с пошаговой проксимальной регуляризацией;
1.4) для задачи условной минимизации построена эквивалентная задача поиска седловой точки для классического функционала Лагранжа; показано, что множества седловых точек классического и модифицированного функционалов Лагранжа совпадают; отыскание седловой точки модифицированного функционала Лагранжа осуществлено с помощью алгоритма Удзавы;
1.5) приведены результаты численных экспериментов с различными параметрами задачи.
2) Для коэрцитивной модельной задачи с трением:
2.1) исследована схема двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа;
2.2) проведено сравнение результатов численных расчетов для классического и модифицированного функционалов Лагранжа.
Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью постановки рассматриваемой задачи и методов ее исследования, а также совпадением (в рамках некоторых допустимых погрешностей) результатов численных расчетов при решении задачи различными методами.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XIV Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения», г. Северобайкальск (2008 г.); на Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред», г. Владивосток (2009 г.); на научных семинарах «Дифференциальные уравнения» (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А.Г.) факультета Математического моделирования и процессов управления Тихоокеанского государственного университета, г. Хабаровск (2009 г.); на научном семинаре Вычислительного центра ДВО РАН, г.Хабаровск (2010 г.); на научно-методических семинарах кафедры Математического анализа и моделирования факультета Математики и информатики Амурского государственного университета, г. Благовещенск (2007-2010 гг.); на региональных межвузовских научно-практических конференциях «Молодежь XXI века: шаг в будущее», г. Благовещенск (2007-2009 гг.); на внутривузовских конференциях Амурского государственного университета «Дни науки АмГУ», г. Благовещенск (20072009 гг.); на Всероссийской конференции «Современные проблемы философии и техники для будущего России», г. Благовещенск (2008 г.); на международной конференции «Математические методы в технике и технологиях», г. Саратов (2008 г.), г. Псков (2009 г.); на XXXIII Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова, г. Владивосток (2008 г.).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 11 работ (6 статей [120, 124-127, 130], 5 тезисов докладов [119, 121, 123, 128, 129]), имеется свидетельство о государственной регистрации программы [123]. Список работ приведен в конце раздела «Список использованных источников» и построен в хронологическом порядке.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разделенных на пункты (пп. 1.1.-1.5. в главе 1, пп. 2.1.-2.5. в главе 2, глава 3 на пункты не разделена), заключения и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 109 страниц машинописного текста, включает список использованных источников из 130 наименований. Нумерация формул, определений, теорем сквозная в пределах одной главы и состоит из двух чисел: первое число есть номер главы, второе число - порядковый номер формулы в главе. Нумерация рисунков и таблиц, которые представлены исключительно в приложениях, сквозная в пределах одного приложения и состоит из двух чисел: первое число есть номер
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена обоснованию и применению новых схем двойственности, основанных на модифицированных функционалах Ла-гранжа, для решения вариационных неравенств. Исследования были проведены с использованием методов выпуклого анализа и математического программирования, аппарата метода конечных элементов, вариационных принципов двойственности. Получены следующие новые результаты.
1) Для полукоэрцитивной модельной задачи с трением: построена эквивалентная задача поиска седловой точки для классического функционала Лагранжа; показано, что множества седловых точек классического и модифицированного функционалов Лагранжа совпадают; построен и обоснован метод нахождения седловой точки, основанный на модифицированном функционале Лагранжа и алгоритме итеративной проксимальной регуляризации.
2) Для коэрцитивной модельной задачи с трением: проведен сравнительный анализ методов двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа.
О достоверности полученных результатов можно судить по совпадению (в рамках некоторых допустимых погрешностей) приближенных решений, полученных при решении задачи различными методами: методом поточечной релаксации с проектированием, построенным с использованием метода конечных элементов и с использованием алгоритма с пошаговой итеративной регуляризацией; схемы двойственности, использующей классический и модифицированный функционалы Лагранжа. Также численные решения проверялись на разностном аналоге соответствующей краевой задачи.
Главный вывод по диссертационной работе. Модифицированные функционалы Лагранжа оказываются эффективным инструментом при исследовании и решении как полукоэрцитивных, так и коэрцитивных вариационных неравенств механики.
1. Андерсен, JI.-E. Трещина, выходящая за контактную границу. Метод фиктивных областей и инвариантные интегралы / JI.-E. Андерсен, A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. -Т. XI, №3.-С. 15-29.
2. Аннин, Б.Д. О численной реализации вариационного неравенства в задачах динамики упругопластических тел / Б.Д. Аннин, В.М. Садовский // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. -Т. 36, № 9.
3. Аннин, Б.Д. Упруго-пластическая задача / Б.Д. Аннин, Г.П. Черепанов. -М.: Наука, 1983.-239 С.
4. Антипин, А.С. О методе выпуклого программирования, использующем симметрическую модификацию функции Лагранжа / А.С. Антипин // Экономика и математические методы. 1976. - Т. 12, № 6. - С. 11641173.
5. Антипин, А.С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа / А.С. Антипин. Москва, Препринт ВНИИ системных исследований. - 1979. - С. 1-73.
6. Антипин, А.С. Равновесное программирование: проксимальные методы / А.С. Антипин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. - Т. 37, № 11. - С. 1327-1339.
7. Антипин, А.С. Экстрапроксимальный метод решения равновесных и игровых задач / А.С. Антипин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. - Т. 45, № 11. - С. 1969-1990.
8. Антипин, А.С. Регуляризированный метод с прогнозом для решения вариационных неравенств с неточно заданным множеством / А.С. Антипин, Ф.П. Васильев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. - Т. 44, № 5. - С. 796-804.
9. Бадриев, И.Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами / И.Б. Бадриев, О.А. Задворнов // Известия ВУЗов. Математика. 2003. - № 1. - С. 20-28.
10. Бадриев, И.Б. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации / И.Б. Бадриев, А.Д. Ляшко, О.В. Панкратова // Известия ВУЗов. Математика. 1998. - № 11. - С. 813.
11. Бадриев, И.Б. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных стационарных задач теории фильтрации / И.Б. Бадриев, О.В. Панкратова // Исследования по прикладной математике. 1989. - Вып. 16. - С. 17-34.
12. Байокки, К. Вариационные и квазивариационные неравенства: Приложения к задачам со свободной границей / К. Байокки, А. Капело. М.: Наука, 1988.-448 С.
13. Бердичевский, В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В.Л. Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 С.
14. Бертсекас, Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа / Д. Бертсекас. М.: Радио и связь, 1987. - 399 С.
15. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 С.
16. Васильев, Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Изд-во Московского университета, 1974. - 374 С.
17. Васильев, Ф.П. Методы регуляризации для решения неустойчивых задач минимизации первого типа с неточно заданным множеством / Ф.П. Васильев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, № 2. - С. 217-224.
18. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1980. 518 С.
19. Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1981.-400 С.
20. Васильев, Ф.П. Регуляризированный проксимальный метод для задач минимизации с неточными исходными данными / Ф.П. Васильев, О. Обрадович // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. - Т. 33, № 2. - С. 179-188.
21. Вепринцев, С.И. О методе итеративной регуляризации, использующем проксимальный оператор / С.И. Вепринцев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. - Т. 37, № 1. - С. 7-10.
22. Вихтенко, Э.М. О методе решения полукоэрцитивных вариационных неравенств, основанном на методе итеративной проксимальной регуляризации / Э.М. Вихтенко, Р.В. Намм // Известия ВУЗов. Математика. 2004. -№ 1.-С. 31-35.
23. Вихтенко, Э.М. О скорости сходимости метода конечных элементов в полукоэрцитивной модельной задаче с трением / Э.М. Вихтенко, Р.В. Намм // Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45, № Ю. - С. 1504-1508.
24. Вихтенко, Э.М. Схема двойственности для решения полукоэрцитивной задачи Синьорини с трением / Э.М. Вихтенко, Р.В. Намм // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. - Т. 47, № 12.-С. 2023-2036.
25. Вторушин, Е.В. Численное исследование модельной задачи для уравнения Пуассона с ограничениями типа неравенств в области с разрезом /
26. Е.В. Вторушин // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. -Т. VIII, № 1.'-С. 41-49.
27. By, Г. Метод итеративной проксимальной регуляризации для поиска седловой точки в полукоэрцитивной задаче Синьорини / Г. By, С. Ким, Р.В. Намм, С.А. Сачков // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. - Т. 46, № 11. - С. 2024-2031.
28. Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л.А. Галин. М.: Наука, 1980. - 303 С.
29. Главачек, И. Решение вариационных неравенств в механике / И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас, Я. Ловишек. М.: Мир, 1986. - 270 С.
30. Гловински, Р. Численное исследование вариационных неравенств / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М.: Мир, 1979. - 574 С.
31. Голиков, А.А. Модифицированная функция Лагранжа для задач линейного программирования / А.А. Голиков, Ю.Г. Евтушенко // Известия ВУЗов. Математика. 1997. - № 7. - С. 45-48.
32. Гречка, Г.Ю. Модифицированные процедуры итеративной ргох-регуляризации / Г.Ю. Гречка// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. - Т. 37, № 8. - С. 914-924.
33. Голыптейн, Е.Г. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации / Е.Г. Голыптейн, Н.В. Третьяков. М.: Наука, 1989. -400 С.
34. Гроссман, К. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации / К. Гроссман, А.А. Каплан. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1981. — 183 С.
35. Джангвеладзе, Т.А. О вариационной постановке одной нелокальной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертогопорядка / Т.А. Джангвеладзе, Г.Б. Лобжанидзе // Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45, № 3. - С. 325-333.
36. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. -М.: Мир, 1980.-383 С.
37. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986. - 318 С.
38. Золотухин, А.Я. О линейной скорости сходимости методов с итеративной проксимальной регуляризацией / А.Я. Золотухин, Р.В. Намм, А.В. Пачина // Известия ВУЗов. Математика. 2006. - № 12. - С. 44-54.
39. Золотухин, А.Я. Приближенное решение полукоэрцитивной задачи Синь-орини с неоднородным граничным условием / А.Я. Золотухин, Р.В. Намм, А.В. Пачина // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. - Т. 43, № 3. - С. 388-398.
40. Ижуткин, B.C. Методы приведенных направлений на основе модифицированной функции Лагранжа для задачи нелинейного программирования / B.C. Ижуткин, М.В. Петропавловский // Известия ВУЗов. Математика. -1995. -№ 12.-С. 33-42.
41. Киндерлерер, Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. М.: Мир, 1983. - 256 С.
42. Клабукова, Л.С. Вариационная постановка задач о деформации сетчатой композиционной пластинки с сетками различного типа / Л.С. Клабукова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. -Т. 47, №2.-С. 321-337.
43. Клабукова, Л.С. Вариационная постановка задач о поперченном изгибе сетчатой пластинки из композиционного материала / Л.С. Клабукова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. -Т. 43, № 2. - С. 295-307.
44. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 543 С.
45. Коннов, И.В. Комбинированный метод для решения вариационных неравенств с монотонными операторами / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. - Т. 39, № 7. -С. 1091-1097.
46. Коннов, И.В. Метод множителей Лагранжа для вариационных неравенств / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, № 9. - С. 1344-1357.
47. Коннов, И.В. Метод спуска для негладких вариационных неравенств / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. - Т. 46, № 7. - С. 1251-1257.
48. Коннов, И.В. О системах вариационных неравенств / И.В. Коннов // Известия ВУЗов. 1997. - № 12. - С. 79-88.
49. Лапин, А.В. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации / А.В. Лапин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. - Т. 19, № 3. - С. 689-700.
50. Лапин, А.В. Об аппроксимации нелинейных стационарных вариационных неравенств / А.В. Лапин // Исследования по прикладной математике. -1981.-Вып. 9.-С. 9-23.
51. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 587 С.
52. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. -414 С.
53. Лионе, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. -М.: Мир, 1971.-371 С.
54. Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Марчук, Ю.М. Агошков. -М.: Наука, 1981.-416 С.
55. Мину, М. Математическое программирование: теория и алгоритмы / М. Мину. М.: Наука, 1990. - 485 С.
56. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных /
57. B.П. Михайлов. М.: Наука, 1983. - 424 С.
58. Михлин, С.Г. Линейные уравнения в частных производных /
59. C.Г. Михлин. М.: Высшая школа, 1977. - 431 С.
60. Мосолов, П.П. Механика жестко-пластических сред / П.П. Мосолов, В.П. Мясников. М.: Наука, 1981.-208 С.
61. Намм, Р.В. Решение квазивариационного неравенства Синьорини методом последовательных приближений / Р.В. Намм, С.А. Сачков // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2009. Т. 49, №5.-С. 805-814.
62. Намм, Р.В. О W2 -регулярности решений полукоэрцитивных вариационных неравенств /Р.В. Намм, А.Г. Подгаев // Дальневосточный математический журнал. 2002. -Т. 3, № 2. - С. 210-215.
63. Нурминский, Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации / Е.А. Нурминский. М.: Наука, 1991. - 167 С.
64. Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения / П. Панагиотопулос. М.: Мир, 1989. - 492 С.
65. Подгаев, А.Г. О теоремах единственности в задаче минимизации одного недифференцируемого функционала / А.Г. Подгаев // Дальневосточный математический журнал. 2000. - Т. 1, № 1. - С. 28-37.
66. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. М.: Наука, 1983. -384 С.
67. Поляк, Б.Т. Об одном итерационном методе линейного программирования и его экономическая интерпретация / Б.Т. Поляк, Н.В. Третьяков // Экономика и математические методы. 1972. - Т. 8, № 5. - С. 740-751.
68. Попов, Л.Д. Квадратичная аппроксимация штрафных функций при решении задач линейного программирования большой размерности / Л.Д. Попов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. - Т. 47, № 2. - С. 206-221.
69. Попов, JI.Д. Применение модифицированного ргох-метода для оптимальной линейной коррекции несобственных задач выпуклого программирования / Л.Д. Попов // Труды института математики и механики УрО РАН. 1995. — № 3. - С. 261-266.
70. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. М.: Наука, 1975. - 319 С.
71. Рокафеллар, Р.Т. Выпуклый анализ / Р.Т. Рокафеллар. М.: Мир, 1973. -469 С.
72. Рудой, Е.М. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием / Е.М. Рудой, A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - Т. XII, № 2. - С. 120-130.
73. Рязанцева, И.П. О разрешимости вариационных неравенств с неограниченными полумонотонными отображениями / И.П. Рязанцева // Известия ВУЗов. Математика. 1999. - № 7. - С. 49-53.
74. Стукалов, А.С. Экстрапроксимальный метод решения равновесных задач в гильбертовом пространстве / А.С. Стукалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. - Т. 46, № 5. - С. 781-798.
75. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980. -512 С.
76. Темам, Р. Математические задачи теории пластичности / Р. Темам. М.: Наука, 1991.-288 С.
77. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М.: Наука, 1990.-230 С.
78. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. М.: Наука, 1980.-495 С.
79. Третьяков, Н.В. Метод штрафных оценок для задач выпуклого программирования / Н.В. Третьяков // Экономика и математические методы. — 1973. Т. 9, № 3. - С. 526-540.
80. Уральцева, Н.Н. О регулярности решений вариационных неравенств / Н.Н. Уральцева // Успехи математических наук. 1987. - Т. 42, № 6. — С. 151-174.
81. Уральцева, Н.Н. Теоремы регулярности для вариационных неравенств и односторонних задач / Н.Н. Уральцева, Т.Н. Рожковская // Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды международной конференции. Новосибирск: Наука. - 1987. - С. 187-192.
82. Хлуднев, A.M. Оптимальное управление пластиной над препятствиями / A.M. Хлуднев // Сибирский математический журнал. 1990. - Т. 32, № 1. -С. 172-178.
83. Чеботарев, А.Ю. Субдифференциальные краевые задачи магнитной гидродинамики / А.Ю. Чеботарев // Дифференциальные уравнения. 2007. — Т. 43, № 12.-С. 1700-1709.
84. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. М.: Мир, 1979. - 399 С.
85. Эрроу, К. Исследования по линейному и нелинейному программированию / К. Эрроу, Л. Гурвиц, X. Удзава. М.: Иностранная литература, 1962.-335 С.
86. Argyris, J.H. Energy theorems and structural analysis / J.H. Argyris. London: Butterworth Scientific Publications. — 1960.
87. Brezis, H. Problemes unilateraux / H. Brezis // J. de Math. Pures et Appliquees. 1971.9.-P. 1-168.
88. Clough, R.W. The finite-element method in plane stress analysis / R.W. Clough // Proceedings of the Second ASCE Conference on Electronic Computation. Pittsburg, Pennsylvania. - 1960.
89. Courant, R. Variational methods for the solution of problem of equilibrium and vibrations / R. Courant // Bull. Amer. Math. Soc. № 49. - 1943. - P. 1-23.
90. Dautov, R.Z. High accuraty post-processing technique for free boundaries in finite element approximations to the obstacle problems / R.Z. Dautov // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1998. — Т. 38, №5.-Р. 239-246.
91. Fichera, G. Problemi elastostatici con vincoli unilateral!: il problema di Signo-rini con ambigue condizioni al contorno / G. Fichera // Mem. Accad. Naz. Lin-cei.-Ser. 8, 7.- 1964.-P. 91-140.
92. Fortin, A. On the imposition of friction boundary conditions for numerical simulation of Bingham fluid flows / A. Fortin, D. Cote // Computer Methods in Applied Mechanics and Ingeneerins. North-Holland, 1991. - V. 88. - P. 97109.
93. Glavachek, I. Numerical solution of variational inequalities / Glavachek I., J. Haslinger, I. Necas, J. Lovishek. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1988.-322 P.
94. Glowinski, R. Numerical methods for nonlinear variational problems / R. Glowinski. New York: Springer, 1984. - 381 P.
95. Grisvand, P. Bundary volue problems in non-smooth domains / P. Grisvand. -Maryland: University of Maryland, Department of mathematics, MD 20724. -1980.
96. Gugat, M. Prox-regularization methods for generalized fractional programming / M. Gugat // Journal of optimization theory and applications. 1998. - V. 99, № 3. — P. 691-722.
97. Hare, W.L. A proximal method for identifying active manifolds / W.L. Hare // Computational optimization and applications. 2009. - V. 43, № 2. - P. 295306.
98. Hestenes, M.R. Multiplier and gradient methods / M.R. Hestenes // Journal of optimization theory and applications. 1969. - Vol. 4. - P. 303-320.
99. Ignatieva, M.A. Mixed hybrid finite element scheme for Stefan problem with prescribed convection / M.A. Ignatieva, A.V. Lapin // Lobachevskii J. Math. -2003.-V. 13.-P. 15-24.
100. Khludnev, A.M. Analysis of cracks in solids / A.M. Khludnev, V.A. Kovtunenko. Southamption-Boston: WIT Press. - 2000. - 408 P.
101. Khludnev, A.M. Modelling and control in solid mechanics / A.M. Khludnev, J. Sokolowski. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser. - 1997. - 384 P.
102. Konnov, I.V. Combined relaxation methods for variational inequality problems over product sets / I.V. Konnov // Lobachevskii J. Math. 1999. - V. 2. - P. 39.
103. Laitinen, E. Large splitting iterative methods and parallel solution of variational inequalities / E. Laitinen, A.V. Lapin, J. Pieska // Lobachevskii J. Math. -2001.-V. 8.-P. 167-184.
104. Martinet, B. Determination apprachee d'un point fixe d'une application pseu-do-contractence / B. Martinet // C.r.Acad.Sci. 1972. - V. 274, № 2. - P. 163165.
105. Martinet, B. Regularization d'inequations variationelles par approximations successives / B. Martinet // RIRO. 1970. - V. 4, № 3. - P. 154-159.
106. Namm, R.V. About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity / R.V. Namm // International series of numerical mathematics. Basel, 1992. - V. 106. - P. 223-228.
107. Namm, R.V. Sadie methods for ill-posed variational inequalities / R.V. Namm // Lecture notes in economics and mathematical systems. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997. - V. 17. - P. 497-510.
108. Namm, R.V. Introduction to the theory and solution methods for variational inequalities / R.V. Namm, W. Gyungsoo. Changwon National University Press, 2002.- 117 P.
109. Nguyen, Buong. On parameter choice and convergence rates in regularization for a class of ill-posed variational inequalities / Buong Nguyen, Van Loi Pham // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. -Т. 44, № 10.-С. 1735-1744.
110. Powell, M.J.D. A method for nonlinear constraints in minimization problems / M.J.D. Powell // Optimization, Fletcher R., ed. London: Academic Press, 1969.-P. 283-298.
111. Rockafellar, R.T. A dual approach to solving nonlinear programming problems by unconstrained optimization / R.T. Rockafellar // Mathematical programming. 1973. - V. 5, № 3. - P. 354-373.
112. Rockafellar, R.T. Augmented Lagrangians and applications of the proximal point algoritm in convex programming / R.T. Rockafellar // Math, operations Res. 1979. - V. 1, № 2. - P. 97-116.
113. Rockafellar, R.T. Moreau's proximal mappings and convexity in Hamilton-Jacobi theory / R.T. Rockafellar // Nonsmooth Mechanics and Analysis. -2006-V. 12.-P. 3-12.
114. Rockafellar, R.T. The multiplier method of Hestenes and Powele applied to convex programming / R.T. Rockafellar // Journal of optimization theory and applications. 1973.-V. 12, №6. -P. 555-562.
115. Schmitt, H. On the regularized Bingham problem / H. Schmitt // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997.-V. 452.-P. 298-315.
116. Turner, M.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures / M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp // J. Aero Sci. 1956. -№23.-P. 805-823.
117. Список работ, опубликованных по теме диссертации
118. Кушнирук, Н.Н. О решении полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук, Р.В. Намм // XXXIII Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. — Владивосток: Изд-во Дальнаука, 2008. С. 77-78.
119. Кушнирук, Н.Н. О решении полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук, Р.В. Намм // Вестник АмГУ. 2008. - Вып. 41. -С. 5-8.
120. Кушнирук, Н.Н. Об одном подходе к решению полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук, Р.В. Намм // Дальневосточный математический журнал. 2008. - Т. 8. - № 2. - С. 171-179.
121. Кушнирук, Н.Н. Метод Удзавы с модифицированной функцией Лагранжа для решения задачи о движении жидкости в бесконечной трубе с трениемна границе / Н.Н. Кушнирук // Информатика и системы управления. -2009. -№ 1(19).-С. 3-14.
122. Кушнирук, Н.Н. Характеристические свойства седловой точки модифицированного функционала Лагранжа в полукоэрцитивной модельной задаче с трением / Н.Н. Кушнирук // Вестник АмГУ. 2009. - Вып. 45. -С. 13-17.
123. Кушнирук, Н.Н. Метод Удзавы для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-21: сб. трудов XXII Междунар. науч. конф. Т. 2. Сек. 2. - Псков: Изд-во ПГПУ, 2009. - С. 73-74.
124. Кушнирук, Н.Н. Метод множителей Лагранжа для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н.Н. Кушнирук, Р.В. Намм // Сибирский журнал вычислительной математики. 2009. - Т. 12, № 4. -С. 409-420.
