Исследование динамики двухосной закрутки спутника в плоскости орбиты тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧЕБУКОВ Святослав Юрьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВУХОСНОЙ ЗАКРУТКИ СПУТНИКА В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998 год

сгг

С .

<ао

СП

'-О

Работа выполнена в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН.

Научный руководитель Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Сазонов

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Ф.Голубев, кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Панкратов

Ведущая организация

Институт проблем механики РАН

Защита состоится " " 1998г. в часов на

заседании диссертационного совета Д.002.40.01 в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН по адресу:

125047, Москва, Миусская пл., д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН.

Автореферат разослан "

1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Т.А.Полилова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время создаются относительно небольшие и несложные но устройству искусственные спутли-ки Земли, предназначенные для выполнения научных экспериментов в условиях микрогравитапии. Движение таких спутников относительно центра масс должно удовлетворять ряду требований, которые в силу желания максимально упростить конструкцию спутника становятся противоречивыми.

Например, если на спутнике нет системы терморегулирования, то приемлемый тепловой режим на его борту обеспечивается равномерной освещенностью поверхности спутника Соляпем. Без использования сложных систем ориентации равномерная освещенность может быть достигнута применением разного рода закруток спутника вокруг центра масс. После сообщения спутнику нужных начальных условий вращательного движения он неуправляем, и чтобы закрутка сохраняла нужные свойства длительное время несмотря на действие на спутник внешних моментов, она должна выполняться с достаточно большой угловой скоростью. Но большая угловая скорость закрутки неприемлема из-за большого уровня микроускорений на борту спутника. В связи с этим представляет интерес найти закрутки со сравнительно малой угловой скоростью, существующие на достаточно продолжительных интервалах времени.

Цель работы состоит в изучении возможности использования одного из вариантов медленной закрутки в качестве основного режима вращательного движения спутника во время его орбитального полета. Изучаемая закрутка называется двухосной закруткой в плоскости орбиты. В этом режиме спутник, близкий к динамически симметричному, вращается вокруг продольной оси, которая в свою очередь вращается вокруг нормали к плоскости орбиты; угловая скорость вращения продольной оси спутника в несколько раз превышает его орбитальную угловую скорость, отклонения продольной оси от плоскости орбиты малы. Тема диссертации возникла из анализа возможности использования такого режима на конкретном искусственном спутнике, предназначенном для проведения научных исследований в условиях микрогравитации.

Научная новизна решаемой задачи состоит в малости начальной угловой скорости спутника и в невозможности использования хорошо развитой асимптотики быстрых вращений для анализа его вращательного движения. Исследование медленной двухосной закрутки реального спутника с учетом возмущающего действия гравитационного и аэродинамического моментов проводится с помощью численных мето-

дов. В случае действия на спутник одного лишь гравитационного момента и круговой орбиты двухосная закрутка описана интегральной поверхностью уравнений движения, расслаивающейся на двумерные инвариантные торы. Эта поверхность построена в виде формальных рядов по целым степеням малого параметра, характеризующего отличие спутника от динамически симметричного, а также исследована численно — построены отображения Пуанкаре для решений, лежащих в ее окрестности. Аналитически и численно исследованы периодические двухосные закрутки. Наконец, проведено исследование закруток спутника в рамках асимптотики быстрых вращений. При этом основное внимание уделено вкладу непотенциальной составляющей аэродинамического момента в эволюцию движения спутника.

Апробация работы. Содержание работы докладывалось на семинарах по механике космического полета Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН под руководством академика РАН Д.Е.Охоцимского и механико-математического факультета МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В.Бслсцкого, проф. В.А.Егорова и доц. К.Г.Григорьева.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основным объектом исследования является спутник — твердое тело, центр масс которого движется по геоцентрической орбите. Орбита считается слабо эллиптической или круговой. Учитывается действие на спутник гравитационного и в ряде случаев аэродинамического момента. Вычисление последнего проводится в предположении, что молекулы воздуха при столкновении с поверхностью спутника испытывают абсолютно неупругий удар. Исследованы движения спутника относительно центра масс, так или иначе связанные с его двухосной закруткой в плоскости орбиты.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении описан круг рассматриваемых задач и кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе изучается возможность применения двухосной закрутки на спутнике, параметры которого близки параметрам спутника "Экспресс", разработанного КБ "Салют". Учитывается действие на спутник гравитационного и восстанавливающего аэродинамического моментов, а также эволюция орбиты. При выводе выражений для аэродинамического момента внешняя оболочка спутника считается цилиндром. Ось цилиндра совпадает с главной центральной осью минимального момента инерции спутника. Два других главных централь-

ных момента инерции близки между собой. Ниже продольная ось спутника, главная ось его минимального момента инерции и ось цилиндра — синонимы. Элементы орбиты спутника, кроме большой полуоси, фиксированы. Большая полуось варьируется, чтобы изучить влияние аэродинамики на режим двухосной закрутки. Атмосфера считается неподвижной относительно поверхности Земли.

Сначала в рамках чисто кинематической постановки задачи исследуется освещенность поверхности такого спутника в режиме идеальной двухосной закрутки. Спутник вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей продольной оси, лежащей в плоскости орбиты и вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг нормали к этой плоскости. Вычисляется средняя освещенность торцов цилиндра и боковой поверхности в четырех точках ее пересечения с главными центральными осями инерции. Усреднение выполняется на бесконечном интервале Бремени, причем угловые скорости продольной оси спутника относительно нормали к плоскости орбиты и спутника вокруг продольной оси считаются рационально несоизмеримыми. Как и следовало ожидать, освещенность боковой поверхности в четырех пробных точках оказалась одинаковой, освещенность торцов также одинакова. Соотношение между освещенностью боковых точек и освещенностью торцов зависит от положения Солнца относительно плоскости орбиты. Если Солнце лежит в плоскости орбиты, то торцы освещены в тг/2 раз больше боковых точек. Если орт направления "Земля — Солнце" составляет с плоскостью орбиты угол 36.1°, то освещенность торцов и боковых точек одинакова. Если же Солнце находится в зените плоскости орбиты, то торцы вообще не освещены.

Затем изучается возможность осуществления двухосных закруток исследуемого спутника. Показано, что возможность осуществления двухосных закруток следует из одновременного выполнения следующих условий: вытянутостью спутника, малостью приложенного к нему аэродинамического момента и малостью скорости эволюции орбиты. А именно, если приравнять нулю параметры, характеризующие влияние указанных факторов, то система уравнений вращательного движения спутника будет иметь точное решение, описывающее вращение продольной оси спутника в плоскости орбиты (в случае круговой орбиты такое вращение описывается уравнением математического маятника), причем проекция угловой скорости спутника на эту ось будет неизменной. Выбирая достаточно большие значения угловой скорости вращения продольной оси спутника вокруг нормали к плоскости орбиты, можно получить движения, близкие к идеальной двухосной закрутке. При значениях указанных параметров, отличных от нуля, но

малых, уравнения движения спутника будут иметь движения, близкие описанным выше, т.е. близкие к идеальной двухосной закрутке. Задача состоит теперь в проверке указанной близости на достаточно продолжительном интервале времени.

Такая проверка выполнялась посредством численного интегрирования уравнений движения спутника на длительном интервале времени — 7 сут. Как оказалось, сохраняющиеся длительное время двухосные закрутки спутника в плоскости орбиты существуют не при любом отношении угловой скорости вращения спутника вокруг продольной оси к угловой скорости вращения продольной оси вокруг нормали к плоскости орбиты. При неудачном выборе этого отношения происходит достаточно быстрое разрушение двухосной закрутки. Разрушение происходит одним из следующих двух способов. В первом спутник время от времени переходит во вращение вокруг главной центральной оси своего максимального момента инерции, направленной приблизительно по нормали к плоскости орбиты. Во втором способе продольная ось приобретает значительные отклонения от этой плоскости.

Чтобы объяснить эти факты, рассмотрена аппроксимация режима двухосной закрутки движением Эйлера - Пуансо. Аппроксимация достаточно точна лишь на коротком интервале времени и построена в предположении, что орбита неизменна в абсолютном пространстве и вектор кинетического момента спутника направлен по нормали к ее плоскости. В рамках этой аппроксимации двухосная закрутка описывается решениями, которым отвечают полодии, охватывающие продольную ось спутника. Как оказалось, наиболее заманчиво для реализации двухосных закруток использовать решения задачи Эйлера - Пуансо, лежащие вблизи сепаратрисы. Именно на этих решениях достигаются малые отклонения продольной оси спутника от плоскости орбиты. При выборе начального значения вектора угловой скорости далеко от сепаратрисы эти отклонения увеличиваются, и возмущающие моменты, прежде всего, аэродинамический, в конце концов разрушают закрутку. Если же начальные значения угловой скорости попадают в область, отвечающую полодиям, охватывающим ось максимального момента инерции, то движение спутника представляет собой одноосную закрутку в плоскости орбиты.

Причина указанного разрушения режима двухосной закрутки состоит в дестабилизирующем влиянии аэродинамического момента. Расчеты при различных значениях большой полуоси орбиты показали, что на достаточно высоких орбитах режим двухосной закрутки сохраняется более продолжительное время чем на низких и менее чувствителен к выбору указанного выше отношения угловых скоростей.

Найдены диапазон изменения этих угловых скоростей и способ построения начальных условий движения, при которых режим сохраняется продолжительное время.

Во второй главе анализ двухосных закруток проводится в упрощенной, идеализированной ситуации, и основное внимание уделяется изучению вида решений уравнений движения спутника, описывающих этот режим. Предполагается, что центр масс спутника движется по неизменной круговой орбите, и к спутнику приложен один лишь гравитационный момент. В этом случае спутник представляет собой обобщенно-консервативную механическую систему — уравнения его движения относительно центра масс автономны и могут быть приведены к гамильтоповой форме. Кроме того, эти уравнения обладают свойствами симметрии и содержат малый параметр ц, характеризующий отличие спутника от динамически симметричного.

Сначала исследуются периодические двухосные закрутки спутника, т.е. закрутки, описываемые периодическими решениями его уравнений движения. Поскольку этот класс закруток весьма широк, рассматриваются только периодические решепия, обладающие свойствами симметрии. Отправной точкой исследования служат периодические двухосные закрутки динамически симметричного спутника. У такого спутника проекция О абсолютной угловой скорости на продольную ось постоянна, и построение его периодических закруток упрощается. При малых значениях |П| существование периодических закруток доказано методом Пуанкаре, при произвольных О они построены численно методом продолжения по параметру. Метод численного продолжения по параметру используется и для построения периодических закруток при различных значениях периода. Найденные закрутки образуют двухпараметрические семейства. Параметрами в них могут служить период и проекция абсолютной угловой скорости спутника на продольную ось.

Найденные периодические закрутки динамически симметричного спутника используются в качестве порождающих решений при построении периодических закруток несимметричного спутника. Однако порождающей может быть не любая закрутка, а только такая, параметры которой связаны специальным соотношением, выражающим рациональную соизмеримость изменений за период приращений углов поворота спутника вокруг осей закрутки. По этой причине периодические закрутки несимметричного спутника образуют однопараметриче-ские семейства. При малом значении существование периодических закруток доказано методом Пуанкаре, при фиксированном значении этого параметра периодические закрутки построены численно.

По виду найденных периодических закруток их можно разделить на резонансные и нерезонансные. Резонанс происходит между одним из двух вращений спутника — вращением в плоскости орбиты или вращением вокруг продольной оси —■ и колебаниями продольной оси относительно плоскости орбиты. В нерезонансных периодических закрутках максимальные отклонения продольной оси от плоскости орбиты весьма малы, в резонансных — велики. Исследована орбитальная устойчивость в линейном приближении найденных периодических закруток. Нерезонансные периодические решения оказались устойчивыми в указанном смысле, а среди резонансных обнаружены неустойчивые.

Периодические закрутки динамически симметричного спутника используются в качестве порождающих решений при построении формальной четырехмерной интегральной поверхности уравнений движения несимметричного спутника. Поверхность строится в виде формальных радов по целым неотрицательным степеням ц методом Боголюбова - Митрополвского. В силу свойств симметрии исходных уравнений эта поверхность также обладает свойствами симметрии и описывает двухчастотные условно периодические движения. Иными словами, она расслаивается на двумерные инвариантные торы. Приведя уравнения движения спутника к гамильтоновой форме, указанную интегральную поверхность можно было бы построить в виде рядов Линдштедта в той форме, которую им придал Пуанкаре. Движения, описываемые такой интегральной поверхностью, предлагается считать номинальными певозмущенными движениями спутника в режиме двухосной закрутки.

Гамильтоновость рассматриваемой механической системы позволяет применить к ней результаты КАМ-теории. В частности, эта теория гарантирует существование упоминавшихся вьше торов при некоторых ограничениях на частоты движения по ним. Согласно КАМ-теории в любой окрестности таких торов существуют периодические решения. По-видимому, нерезонансные периодические закрутки, о которых говорилось выше, являются именно такими решениями. Результаты расчетов достаточно большого числа периодических закруток позволяет получить представление о рассматриваемой интегральной поверхности.

Другой способ изучения этой поверхности заключается в построении отображений Пуанкаре лежащих на ней решений. Поиск лежащих на интегральной поверхности решений сводился к минимизации интеграла от квадрата отклонения вычисляемого решения от этой поверхности. Интеграл вычислялся на достаточно продолжительном интер-

вале времени, отклонение определялось разными способами и находилось приближенно. Цель минимизации — устранить из решений уравнений движения спутника с заданными угловыми скоростями закрутки составляющую с частотой колебаний продольной оси отноептельпо плоскости орбиты, т.е. сделать решение двухчастотным. Приведены примеры отображений Пуанкаре найденных двухчастотных решений.

В третьей главе анализ двухосных закруток спутника проводится с использованием асимптотики быстрых вращений. А именно, в рамках схемы метода усреднения, предложенной Ф.Л.Черпоусько, исследована эволюция вращательного движения искусственного спутника Земли, близкого движению Эйлера - Пуансо, под действием гравитационного и аэродинамического моментов. Орбита — слабо эллиптическая, атмосфера неподвижна в абсолютном пространстве. На тензор инерции спутника не накладывается каких-либо ограничений, за исключением того, что он отличен от шарового. Внешняя оболочка спутника имеет форму эллипсоида. Расположение главных осей эллипсоида относительно главных центральных осей инерции спутника произвольно и задается шестью параметрами: тремя углами и тремя компонентами вектора смещения начала координат. Такой спутник интересен тем, что действующий на него аэродинамический момент непотенциален (в отличие от спутника с осевой симметрией) и при одном упрощающем предположении допускает аналитическое усреднение по движениям Эйлера - Пуансо и орбитальному кеплерову. Это упрощающее предположение состоит в том, что эллипсоид считается близким к сфере и в выражении для аэродинамического момента сохранены только члены нулевого и первого порядка его тейлоровского разложения по степеням соответствующего малого параметра. Члены нулевого порядка отвечают спутнику в форме сферы и задают потенциальную составляющую аэродинамического момента, члены первого порядка задают непотенцнальную составляющую.

В результате указанного усреднения уравнений движения спутника получена эволюционная система дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно двух первых интегралов движения Эйлера - Пуансо и двух углов, задающих ориентацию вектора собственного кинетического момента спутника в абсолютной системе координат. Эти уравнения аналогичны эволюционным уравнениям, полученным В.В.Белецким для осесимметричного спутника. Дальнейшее исследование эволюционной системы проводится для случая, когда усредненный аэродинамический момент существенно больше усредненного гравитационного. Этот случай отвечает низкой орбите с ненулевым эксцентриситетом.

Если внешняя оболочка спутника — сфера, то эволюционная система имеет три (полный набор) независимых первых интеграла. В частности, остаются неизменными модуль кинетического момента спутника и параметр, характеризующий движение Эйлера - Пуансо относительно вектора этого момента. В случае, когда аэродинамический момент существенно больше гравитационного, движение вектора кинетического момента несложно — он совершает периодическую прецессию, составляя незначительно меняющийся угол с касательной к орбите в перигее и имея почти постоянную скорость прецессии.

Для спутника с формой, близкой к сфере, проводится аналитическое усреднение эволюционной системы по прецессии вектора кинетического момента. Фактически без потери точности усреднение можно провести по регулярной прецессии, в которой скорость движения кинетического момента, а также угол между этим моментом и касательной к орбите в перигее неизменны. Усредненная система имеет третий порядок и оказывается полностью интегрируемой. Параметр, характеризующий гравитационный момеит, в эту систему не входит. Он исключен в результате одной из замен переменных и возникает снова лишь при обратной замене. Один из первых интегралов полученной системы имеет простой вид. Он связывает модуль вектора кинетического момента и косинус угла между этим вектором и касательной к орбите в перигее. С использованием этого первого интеграла порядок исследуемой системы понижается до второго. Новая система также имеет первый интеграл, но он не выражается через элементарные функции.

Фазовые траектории полученной системы второго порядка замкнуты. Эта система содержит четыре параметра, но ее фазовый портрет определяется лишь тремя из них, а стационарные решения — двумя. Один из двух параметров, влияющих на стационарные решения, зависит только от геометрии оболочки и ее взаимного расположения относительно главных центральных осей инерции спутника, другой — только от моментов инерции спутника. В зависимости от значений этих параметров система имеет одно или два стационарных решения типа "центр" и, может быть, одно стационарное решение типа "седло". Фазовые траектории, лежащие достаточно далеко от стационарных решений, пересекают прямую, отвечающую сепаратрисе движения Эйл ера-Пуансо.

Результаты третьей главы показывают, что двухосные закрутки спутника в плоскости орбиты могут существовать длительное время либо при доминирующем влиянии гравитационного момента, когда невозможна прецессия кинетического момента спутника вокруг каса-

тельной к орбите в перигее, либо при очень больших скоростях закрутки, когда указанная прецессия замедляется.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. С учетом действия на спутник гравитационного и аэродинамического моментов исследован его режим движения относительно центра масс, называемый двухосной закруткой в плоскости орбиты. Для летавшего спутника найдены высоты орбит и способ построения начальных условий движения, при которых режим сохраняется продолжительное время.

2. В случае круговой орбиты и действия на спутник одного лишь гравитационного момента предложено описание режима двухосной закрутки в плоскости орбиты интегральной поверхностью уравнений движения, расслаивающейся на двумерные инвариантные торы. Эта поверхность построена в виде формальных рядов по целым положительным степеням малого параметра, характеризующего отличие спутника от динамически симметричного, а также исследована численно — построены отображения Пуанкаре для решений, лежащих в ее окрестности. Аналитически и численно исследованы периодические двухосные закрутки.

3. Проведено исследование быстрой двухосной закрутки модельного спутника с использованием схемы усреднения по движению Эйлера - Пуансо, предложенной Ф.Л.Черноусько. Учитывалось действие на спутник гравитационного и восстанавливающего аэродинамического моментов. Орбита считалась слабо эллиптической. Внешняя оболочка спутника имеет форму эллипсоида с близкими длинами полуосей. Изучено влияние непотенциальной составляющей аэродинамического момента на эволюцию движения спутника.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Кузнецова Е.Ю., Чебуков С.Ю., Сазонов В.В. Эволюция быстрого вращательного движения спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, N 25, 1996.

Чебуков С.Ю., Сазонов В.В., Кузнецова Е.Ю. Двухосная закрутка спутника в плоскости орбиты. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, N б, 1998.