Зависимость особых периодических решений от параметров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГБОД-7-

1 п П"Т 1°пг<

1 и • ..........На правах рукописи

БЕГУН Андрей Петрович

ЗАВИСИМОСТЬ ОСОБЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ

01.01.02. Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Российской Академии наук ПЛИСС Виктор Александрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ПЛЫКИН Роман Васильевич;

кандидат физико-математических наук, доцент ИВАНОВ Борис Филиппович.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций.

Зашита состоится 1995 года в 13 час. 30 мин. на

заседании диссертационного совета Д 063.57.30 в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, д. 2. Математико-механический факультет.

Ауд. 4526.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан 2 $ . 03. 1995 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.57.30

Ю.А.Сушков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Одной из известных задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение множества периодических решений дифференциальных уравнений.

Зафиксируем некоторое множество А уравнений, топологию на нем и рассмотрим непрерывный путь в А. При движении вдоль пути периодические решения соответствующих уравнений (если такие решения есть) будут, вообще говоря, изменяться и могут даже исчезнуть. Потому в качестве естественного продолжения задачи о периодических решениях уравнения можно рассматривать задачу о структуре множества, к которому приближаются, исчезая, периодические решения уравнений и задачу о структуре множества тех уравнений из А, в любой окрестности которых происходит исчезновение периодических решений.

В диссертации изучаются обе эти проблемы для уравнений с полиномиальной правой частью.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Цель работы состоит в доказательстве того факта, что множество уравнений, имеющих особое периодическое решение, нигде не плотно.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе использованы общие методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы теории функций вещественной переменной.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Впервые показано, что множество уравнений с полиномиальной правой частью, имеющих особое периодическое решение, нигде не плотно.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Доказанные в работе утверждения позволяют более полно изучить структуру множества уравнений с полиномиальной правой частью, имеющих особое периодическое решение. Результаты работы могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений.

АПРОБАЦИЯ

Основные результаты диссертационной работы докладывались на заседании Городского семинара по обыкновенным дифференциальным уравнениям (Санкт-Петербургский государственный университет) в феврале 1994 года.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем работы — 99 страниц. Библиография содержит 16 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В диссертации рассматривается уравнение

¿ = гп + П±\крк(1), (1)

к=О

где 2 — комплексная переменная, 2 — вещественная переменная, рк{Ь) — вещественнозначны, а)~периодичны и липшицевы.

В [1] показано, что при изменении коэффициентов рл(£) число периодических решений

соответствующих уравнений может также изменяться. Это связано с тем, что некоторые уравнения имеют особые периодические решения — системы решений, уходящих в бесконечность как при возрастании, так и при убывании времени £. Именно к таким системам решений приближаются, исчезая, периодические решения. Для точного определения особого периодического решения требуются сведения о поведении решений уравнения (1) в окрестности бесконечности. Опишем его.

Пусть а > 0, р > 0 и положим г — е"*. Введем в рассмотрение области (г/ь и Нк, определяемые неравенствами:

[ кп а ктг а)

С* = (г, <р) | г > р,-- - - < р < -- + -1,

I п — 1 г п — 1 г}

( ктг а (к +1) 7Г а) Нк = <(г,у>) | г > р,-- + - < р < ^----,

П — 1 Г П — 1 Г )

к = 0,2тг - 3.

Границу каждого множества разобьем на три части ■> следующим образом:

Gf = Ur'V)lr = P'

кк а ктг a!

-г- -< V < -- + - ,

n — 1 p n — 1 p J

f, ктг a )

G = |r> p,-- + - = v> ,

l »г - 1 r J

rr Í, , fc^r a l

= U^y) I Г > p,-- - - = V» .

( n - 1 r J

При подходящем выборе p и a (он определен С-нормой коэффициентов рк и числом п) замыкания областей G¡¡ не пересекаются друг с другом, G", суть поверхно-

сти без контакта; при этом через G^ с четным номером к все решения входят в а через С?" и Gbk выходят из б"*,, при возрастании времени. При нечетном к аналогичная картина имеет место при убывании времени.

На каждом множестве Gjf существует кривая г = ip, ip = fk(t) (fk(t) удовлетворяет условию Липшица и о>-пе-риодична). Через эту кривую проходит интегральная поверхность Г^, целиком лежащая в Gk• Всякое решение, лежащее на Г^, уходит в бесконечность при конечном значении времени Í; если к — четное — то при возрастании í, а если к — нечетное — то при убывании t. Если решение имеет в области г > р точку, не лежащую ни на одной из интегральных поверхностей то оно покидает область г > р как при возрастании, так и при убывании t. Любое решение, уходящее в бесконечность при конечном значении Í, проходит через одну из кривых <р = Д(£) и, следовательно, располагается на одной из поверхностей IV Если точка ¿0, <ро, т0 лежит в Нто время нахождения решения с начальными данными to, <fo» т"о в области H¡. стремится к нулю при го —► оо .

Дадим теперь точное определение особого периодического решения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть существует в + 1 (в > 1) чисел ¿о < < • • • < ¿з таких, что = ш, на каждом из

промежутков (1,•_!,<,•) определено решение х = ухо-

дящее в бесконечность как при £ —» £;_1, так и при £ —► £;; при этом если ж,(£) уходит в бесконечность при £ —► оставаясь при £, достаточно близких к в области (т.е. лежит на Гь), то а:,•+!(£) уходит в бесконечность при £ —>• £,-, оставаясь при £, достаточно близких к в одной из областей или (лежит либо на , либо на в случае, если г = в, роль Жл+1(£) играет а;1(4).

Описанную систему решений назовем особым, периодическим решением.

Пусть Д — пространство вектор-функций

таких, что р;(£) вещественнозначны, ш-периодичны и лип-шицевы с константой Ь. Назовем расстоянием между двумя точками

р = {р0(г), ...,£„_!(*)}

и

Я = {<7о(£)>"м<7г>-1(£)}

величину

II р - Я 11= тах {| р1(г) - <?,(£) |>.

о<1<ге-1,(£П

Пусть В — множество точек пространства Л таких, что определяемые ими уравнения имеют особое периодическое решение. В [1] показано, что множество В замкнуто.

Основной результат диссертации — теорема 6.1, в которой утверждается, что множество В не имеет внутренности в топологии, порожденной расстоянием

II Р- Q 11= P(P,Q)-

Во введении указана литература на тему диссертации, даны основные определения и сформулированы основные результаты диссертации.

В части 1 (§§ 1 — 2) исследованы некоторые свойства семейств решений, уходящих в бесконечность за конечный промежуток времени — из таких решений состоят интегральные поверхности Г*.

Пусть коэффициенты Рк в правой части (1) непрерывно зависят от параметра /х и непрерывно-дифференцируемы по параметру и.

Обозначим через Sk(t, т, ¡i, v) то решение уравнения (1), которое уходит в бесконечность при t —► т и в моменты t, близкие к г, лежит в области Gk• В § 2 доказана

ТЕОРЕМА 2.2.

Функции 5fc(i,r, ц,и) непрерывны по /х и непрерывно-дифференцируемы по t, г, и.

В части 2 (§§3-6) на основе изучения свойств множеств делается вывод о структуре множества В.

ТЕОРЕМА 6.1.

Множество В не имеет внутренности.

Обозначим интегральные поверхности, составленные из решений Sk(t, г, ц, и) при фиксированных ц и v через Поверхность Г* хотя бы один раз пересекает множество GJJ и может пересекать Gf1 при I ^ к. Пусть кривая

7¿.¡(т,/и, — одна из компонент пересечения интегральной поверхности Г*, и поверхности

Нетрудно видеть, что решение, уходящее в бесконечность как при возрастании, так и при убывании времени, будет проходить через точки пересечения кривых 7и(т, Ц, 1у) и 7ц(г, ц, и).

В § 3 показано, что кривые 7/ь./(т, ц, и) регулярны по т, непрерывны по /х и непрерывно-дифференцируемы по и.

В § 4 изучается зависимость 7^./(т, /х, V) от параметра и при специальном возмущении правой части (1); найдена зависимость коэффициентов р^ от параметра и, позволяющая применить к кривым 7 к л и 7/./ лемму 5.1, доказанную в § 5.

Приведем ее.

ЛЕММА 5.1.

Пусть функция принадлежит классу

Тогда существует сколь угодно малое V такое, что кри-

С1Д([а,Ь] х [-£,€])

Пусть функции х{(т) и у(т) принадлежат классу

С-ЦаМ х [а,Ь]) С [а,Ь],

шш(х')2 + (у')2 > о.

вые 71(0") = версально.

пересекаются транс

Заметим, что при и, существование которого утверждается в лемме 5.1, число пересечений кривых 71(0") и

конечно, и если точки 71(01), 71(61), 72(а), 72(Ь), не принадлежат множеству точек пересечения, то при малых С1-возмущениях кривых 71 (ег) и 72(£, V) число точек пересечения постоянно.

Используя лемму 5.1 и малые возмущения коэффициентов р,, указанные в § 4, можно добиться того, что возмущенное уравнение будет иметь конечное число особых периодических решений, причем соответствующие кривые ~ik.ii 71,1 будут пересекаться трансверсально.

Малым возмущением коэффициентов р;, указанным в § 6, можно добиться того, что системы решений, составляющих особые периодические решения, перестанут быть ш-периодическими, и при этом не образуется новых особых периодических решений.

Последние утверждения служат основой для доказательства теоремы 6.1.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. ПЛИСС В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л., 1964.

Основные результаты опубликованы

2. БЕГУН А.П. О гладкости семейств решений, уходящих на бесконечность. // Дифференциальные уравнения. Т. 31, N 8. 1995.

3. БЕГУН А.П. Неплотность множества уравнений с особыми периодическими решениями. // Дифференциальные уравнения. Т. 31, N 9. 1995.