Обобщенная периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Талалаева, Екатерина Александровна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Рязань
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
на правах рукописи
Талалаева Екатерина Александровна
УДК 517.925
ОБОБЩЕННАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
01.01.02 - Дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Пермь - 2006
Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Терехин Михаил Тихонович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Малышев Юрий Валентинович
кандидат физико-математических наук, доцент Лукьянова Галина Сергеевна
Ведущая организация:
Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева
Защита состоится « 25 » апреля 2006 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29а, ауд. 423.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Пермского государственного технического университета.
Автореферат разослан «У^» марта 2006 г.
диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент
Ученый секретарь
В.А. Соколов
200G&
50ЯЗ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются неавтономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с переменной матрицей системы линейного приближения. Предполагается, что система обладает нулевым решением при любом значении параметра. Краевые условия задаются с помощью векторного функционала, определенного на множестве решений исходной системы. Задачей исследования является поиск условий существования ненулевого периодического решения в окрестности нулевого, удовлетворяющего краевым условиям.
Проблема нахождения периодического решения является одной из центральных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Вопросам существования периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, начиная от классических трудов А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова. Существенный вклад в развитие этой теории внесли Л.И. Мандельштам, A.A. Андронов, И.Г. Мал-кин, М.А. Красносельский, В.А. Плисс. Эту проблему решали A.A. Бойчук, А.Д. Брюно, С.А. Гребенников, Ю.А. Рябов, Дж. Хейл и другие математики.
Задача поиска периодических решений возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, экономических, социальных и других процессов. Еще большие трудности появляются при исследовании систем с дополнительно наложенными краевыми условиями. Несмотря на то, что изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Так, мало изученным является вопрос о представлении решения системы дифференциальных уравнений в случае, когда матрица линейной части зависит от времени.
Таким образом, задача определения условий существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями в рассматриваемом случае представляется весьма актуальной.
Цель работы. Рассматривается система дифференциальных уравнений
x = A(t,k)x + f(t,x,\), (1.1)
где х € Еп, Хе£„ - параметр, л(г,Х.) - п*п -матрица, f(t,x,x) - л-мерная вектор-функция, A(t,\) и /(/,хД) непрерывны по совокупности переменных и ш-периодические по t. Вектор х = 0 является решением системы (1.1) при любом значении параметра X. На множестве решений системы
рос НАЦИОНАЛЬНАЯ) з библиотека J
« и
(1.1) задан векторный функционал 3 = |ф(/,*д)л, |ф(/,0Д)Ж = а, где
о о
Ф(/,*,Х) - непрерывная к -мерная вектор-функция, а - постоянный к -мерный вектор.
Ставится задача определения условий существования ненулевого <о -периодического решения / ->* = дг(/,аД), *(0,аД) = а, системы (1.1) в окрестности нулевого, при котором выполняется равенство »
, а, X), Х):Л = а.
о
Методика исследования. Для получения достаточных условий существования со-периодических решений используется критерий периодичности *(ю,а,Х)=а. Посредством представления решения через правую часть системы и подстановки его в уравнение, определяющее условие постоянства векторного функционала, поставленная перед исследованием задача сводится к разрешимости системы уравнений с алгебраической главной частью. С учетом свойств формы младшего порядка в этой системе, находится точка, в окрестности которой расположена пара начальное значение-параметр, определяющая периодическое решение системы дифференциальных уравнений (1.1). Доказательство теоремы о достаточном условии существования периодического решения проводится методом неподвижной точки оператора. Построение такого оператора осуществляется с помощью разложения функций по формуле Тейлора. Существование неподвижной точки оператора и доказывает наличие ненулевого периодического решения рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, сохраняющего постоянное значение векторного функционала.
Научная новизна. В диссертации найдены новые необходимые и достаточные условия существования ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром, удовлетворяющих заданным краевым условиям.
Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные признаки существования периодических решений могут быть использованы при исследовании конкретных систем дифференциальных уравнений с параметром, являющихся моделями реальных природных, экономических и социальных процессов.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Структура фундаментальной матрицы системы линейного приближения при условии, что матрица системы линейного приближения
представима в виде суммы матриц, элементами которых являются формы относительно компонент векторного параметра. Представление решения исходной системы через вектор начального значения и параметр.
2. Алгоритм получения необходимых условий и достаточных условий существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений путем сведения условий периодичности решения к разрешимости системы уравнений с алгебраической главной частью в случае, когда нелинейная часть представима произведением матрицы и неизвестного вектора.
3. Определение влияния нелинейных членов системы дифференциальных уравнений на условия существования ненулевого периодического решения, когда нелинейная часть есть сумма конечного числа вектор-форм относительно компонент фазового вектора и параметра и бесконечно малой величины более высокого порядка.
4. Получение необходимых условий и достаточных условий существования решения обобщенной периодической краевой задачи в случае, когда векторный функционал представлен в виде суммы вектор-форм относительно компонент параметра и фазового вектора.
Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете им. С.А. Есенина, на Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Национальная экономика: Проблемы и перспективы российских реформ» в Рязанском государственном педагогическом университете, на V и VI Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в Тульском государственном университете, на Научной конференции «Герценовские чтения - 2005» в Российском государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена (г. Санкт-Петербург), на VIII и X Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» в Рязанской государственной радиотехнической академии, на X Междисциплинарной научной конференции «Нелинейный мир» в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского, на IV Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2005» в Казанском государственном университете, на XIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в Объединенном Институте Ядерных Исследований (г. Дубна).
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в шестнадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.
Струюура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка литературы, включающего 106 наименований. Общий объем диссертации - 124 страницы машинописного текста.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, краткое описание методики исследования и содержания работы.
В главе 1 проводится построение системы недифференциальных уравнений, которой должна удовлетворять пара начальное значение - параметр, определяющая а> -периодическое решение исследуемой системы дифференциальных уравнений.
§ 1 главы 1 содержит постановку задачи и построение фундаментальной матрицы системы линейного приближения.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
i = 4u)* + /(r,*A). (1.1)
где хе £„, £„ - п -мерное векторное пространство, Хе £„, Ет - т -мерное векторное пространство, A(t,\) - известная их я матрица, f(i,x,\) - известная п -мерная вектор-функция.
Пусть 50 > о - некоторое число. Введем множества Л(80) = {Х:Хб£„,|Х|<8(,}. £К80) = {(/,*Д):/б[0,ш1дгб£.,|л|^80Лб£„,|Х|580}, w(S„) = {а:ае£„,|а|<60}. Норму вектора хе£„ определим как |jc| = max{jc,|}, норму постоянной матрицы В размера тхл как jBj = sup|e-x). Для вектора
Hsl
jc(i), где /е[о,ш], норму определим равенством |х{/)| = njaxji(/)|, для матрицы B(t), где I е [0,со], определим как ||5(-)|| = supj|fl(/)||.
Предполагаем, что для матрица a(i,X) и вектор-функция f(t,x,\) определены на множествах [о,ш]хл(80) и D(80) соответственно, непрерывны
на этих множествах по совокупности своих переменных, ю - периодические по / и Пт/(/,дгД)/]^ = 0 равномерно относительно /е[о,©] и ХеЛ(50).
Кроме того, система (1.1) удовлетворяет условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что вектор-функция I-ух^о является решением системы (1.1). Тогда существует число 8е(0,8о] такое, что для любых векторов а е И/(5) и X е Л (8) система (1.1) имеет решение I -»* = *(/, а Д), дг(о,а,Х) = а, определенное на сегменте [о,ш], и при I € [о, со] выполняется , а Д)| < 80.
ш
Пусть векторный функционал J - 1ф(1,х,\)ж задан на множестве ре-
о
шений I х - дг(/, а Д) системы (1.1), Ф(/,дгД) - известная к - мерная вектор-функция, определенная и непрерывная на множестве о(80).
Определение 1.1. Пусть при любом ХбЛ(5„) |ф(лОД)Л = а, а - по-
0
стоянный к- мерный вектор. Задачу определения условий существования о -периодического решения / х = х(>, а Д) системы (1.1), удовлетворяющего равенству
}фЫ/,аД)Д>й = а, (1.2)
о
назовем обобщенной периодической краевой задачей системы (1.1), а вектор-функцию = аД), удовлетворяющую равенству
т
|ф(/, *(/, а, ?.), х)Л = а, назовем решением обобщенной периодической крае-
0
вой задачи системы (1.1).
Определение 1.2. Задачу определения условий, при которых решение системы (1.1) I -»* = *(/, а Д) удовлетворяет равенству (1.2), назовем краевой задачей системы (1.1), а вектор-функцию /->* = *(<, а Д), удовлетворяющую равенству (1.2) назовем решением краевой задачи системы (1-1).
Наряду с системой (1.1) рассмотрим систему линейного приближения
¿ = 4а)х. (1.3)
В данной работе не предполагается, что фундаментальная матрица системы (1.3) может быть записана в явном виде. Поэтому используется
представление фундаментальной матрицы в виде матрицанта линейной однородной системы.
Теорема 1.1. Пусть матрица A(t,X) представима в виде A(t, Х)=а,(<Д) + о(*|'), где элементы матрицы Bt(i,X) - непрерывные на множестве [о,а]х л(50) формы порядка s относительно компонент вектора х, Ито|\]'У|Х)' =0,
В,{>.Х)/\Ц' - ограниченная величина на множестве [о,ш]хЛ(80). Тогда мат-рицант системы (1.3) имеет вид
о;(*М+)а,Сг1,х)л1+в(*Г). (1.4)
о
Теорема 1.2. Пусть выполняются условия теоремы 1.1. Тогда
(ilUx))- =£- (1.5)
о
т
Возможен случай, когда в представлении матрицанта jB,(t,X)dt = 0.
о
Тогда для выяснения вида матрицы О'0(х) необходимо более подробное представление матрицы Л(/Д).
Теорема 13. Пусть матрицу A{t,X) можно представить в виде
/Ка)=£в,(а)+<>М, (1.6)
ISI
где при <e{i, ,р} элементы матрицы S, (/, X) - непрерывные на множестве [о,м]хд(80) формы порядка i относительно компонент вектора X,
ß,('A)/M' - ограниченная величина при t е [о, со]. Предположим, что суще*
ствует число pt:s<p,<p такое, что при sükр, выполняется jß,(/,x)dtзо,
о
п
а jßp (t, x)dt Ф 0. Тогда существует такое натуральное число q < /?,, что спра-
0
ведливо равенство
о;(хМ+£я,(а)+*(л|'), (1.7)
где при I е {j, ,,q) элементы матрицы B,(t,X) - непрерывные на множестве [о,«]х л(80) формы порядка < относительно компонент вектора X, при
»e{j,...,?-!} B,(w,X)=0, а 2?,(<эД)#0.
g
В § 2 главы 1 рассматривается представление решения системы (1.1) в предположении, что вектор-функция /(/,*д) задана равенством /(/,*,?.)= г(1,х,Х)х, где матрица х, X) определена и непрерывна на о(8и).
Структуру решения / х = *(/, а, X) системы (1.1) устанавливает Теорема 1.6. Пусть вектор-функция /(/,*Д) на множестве о(80) представима в виде /(/,*, X)=F(f,;гД)х, где матрица г(/,*д) удовлетворяет тождеству /г(/,0,Л)э 0. Тогда решение /->дг = х(/,аД) системы (1.1) можно представить так:
х(/,а,Х)= (п'0(Х)+(?(г,аД))х, (1.12)
где д(1,а,Х) - матрица, обладающая следующими свойствами: 1. 0(О,аД)=О,
2.1ип£>(лаД)=0 равномерно относительно / е [о, со] и ХеЛ(8).
В силу свойства 2 (?(/,аД)=0(|а|). Используя представление матри-цанта в виде (1.7), вектор-функцию х(г,аД) можно записать следующим образом:
Чтобы решение I ->лг-*(/,аД) было со-периодическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство *(ш,аД)=а, которое с учетом полученного представления решения принимает вид
где 5,(х)= Я,(о>Д).
Таким образом, имеет место следующая
Теорема 1.7. Пусть выполнены условия теоремы 1.6. Тогда для того, чтобы система (1.1) имела ненулевое ш-периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы существовало ненулевое решение системы
В § 3 главы 1 структура решения исследуется в предположении, что вектор-функция /(/,дгД) в системе (1.1) представима в виде суммы вектор-форм относительно компонент фазового вектора и параметра и бесконечно малой величины более высокого порядка.
Теорема 1.8. Пусть для веюгор-функции /(/,*Д) на множестве £>(80) выполняется Ит/(;,*д)/]л| = 0 равномерно относительно /е[о,ю] и X е Л(5„).
(1.13)
(1.13).
Тогда решение г-»* = *(/, а, X) системы (1.1) можно представить следующим образом:
*(>,аД)=0^(Х)а + 41|), (1.14)
Замечание. Пусть у = (аД). Тогда из того, что |у| = тах{а|,|Х|}, следует, что lim= А это значит, что о(1а|)=о(1у|). Поэтому
г-*> |у| |о[| |у|
х(/,аД)=П^ (*.>! + <#• (1.15)
Предположим, что вектор-функцию f(t,x,\) на множестве £>(80) можно представить в виде
/(/,*Д) = £/((г,*Д (1.16)
/.2
где при ; е {2,., v} /(г,*Д) представляет собой вектор-форму порядка < от-носиггельно компонент вектора z = (*, X).
Справедлива следующая
Теорема 1.9. Пусть вектор-функцию f{t,x,k) на множестве £>(80) можно представить в виде (1.16). Тогда решение t-*x-x(t, аД) системы (1.1) определяется равенством
+ £/(/,у)+0(г|°), (1.17)
-2
где при <€ {2,3,..., а} /,(г,у) - вектор-форма порядка / относительно компонент вектора у, при / е {2,3, ,o-l}, а>2, выполняется /,(ш,у) = 0, а />,у)#0.
Отметим, что решение t ->* = *(/, аД) системы (1.1) тогда и только тогда является <а-периодическим, когда х(ш,аД) = а, то есть когда согласно формулам (1.17) и (1.7) векторы а и X удовлетворяют равенству I, («, Х)а + о(х|')х + /„ (а>, у)+о{у|")=0
Обозначим 1?(шД)=5,(х), 7>,у)=&,(г)-
Таким образом, имеет место
Теорема 1.10. Пусть вектор-функция /(/, хД) представима равенством (1.16). Тогда для того, чтобы решение / ->* = *(/, а Д) системы (1.1) было а)-периодическим, необходимо и достаточно, чтобы векторы а и X удовлетворяли системе
В,(Х).а + О(хГ).а + &(гМуГ)=0. (1.18)
ю
Глава 2 посвящена установлению условий существования ненулевого решения обобщенной периодической краевой задачи системы (1.1) со специальным видом начального значения. Для установления существования ненулевого периодического решения системы (1.1) исследуется разрешимость системы (1.13). При этом предполагается, что решение должно
удовлетворять начальному значению а = (о.....0,а„), а„ #0. Необходимым и
достаточным условием этого является обращение в нуль последнего столбца матрицы [я, (х) + <?<ja|) + ofx|* Ц.
§ 1 главы 2 посвящен поиску необходимых и достаточных условий существования ненулевого со-периодического решения системы (1.1). Каждую из матриц S„(X), o(ja|), о{х|') представим следующим образом:
1(4 ой)Ф.Й) »«М
где й(х), 0,(]а|), о,(х|*)- и*(п-1) матрицы; ß(x), О,(¡a|), о2(х|*)- «xi матрицы.
Рассмотрим далее систему
f(x)+02(ja|)+02(xr)=0. (2.1)
I. Пусть q = 1, т>п. Так как элементы матрицы 5(х) - формы порядка q относительно компонент вектора X, то при q = 1 ß(X)= MX, где М -постоянная матрица. Система (2.1) примет вид
м-х + 02(|а|)+о2(1х|)=0 (2.2)
Теорема 2.1. Пусть rangM = n. Тогда система (1.1) имеет ш-периодическое решение с начальным значением a = (0,0,...,0,а„).
Пусть гащМ -г <п. Тогда система М X = 0 имеет ровно m-r линейно независимых решений. Обозначим через R матрицу размерности mx(m-r), столбцами которой являются m-r линейно независимых решений системы М■ X = 0. Положим X = R■ ц, где ц - вектор размерности m-r. Система (2.2) примет вид
O2<Sa|)+o2(|/?n|)=0
В рассматриваемом случае при q = \ матрица л(/,х) имеет вид
a(i,х) = В,(t,х) + о^Х|). Пусть о(|х|)=]Гс,(/,х) + о(х|''), где при j<={2...../>} эле-
¡-г
менты матрицы С;(/,х) есть формы порядка j относительно компонент
» »
вектора X. При }<к (если Л>2) |су(г,х)А = 0, а Тогда анало-
0 о
гичио теореме 1.3 можно показать, что существует такое число к, кйИ, что
где при 2, Д} элементы матрицы С,(г,Х) - формы порядка у относительно компонент вектора X, при / е {2,.. 1} С;(м,Х)эО, и Ск(а,Х)*0. Следовательно,
о^Ьад+^Х)'), *1>2,
где сДх) - вектор-форма л-го порядка относительно компонент вектора Д.. Учитывая, что X = Я • ц, получим
где 0,(ц)=СДЛц), 02(ц|'Ц2(лц|').
Тогда систему (2.2) можно представить в виде
0*Ы+02(М)+<>2(ц|')=° (2-4)
II. Пусть ч > 1, т> п .
Теорема 2.2. Если для любого X' такого, что |х"| = 1, выполняется
й(>.*)#О, то в любой окрестности точки у = 0 существует множество, в котором нет решений системы (2.1).
Следствие. Если выполнены условия теоремы 2.2, то в любой окрестности точки у = 0 существует множество, для любой точки у = (а,Х),
а =(о.....0,а„), а„*0, которого вектор-функция / —»■ х = х(г,а,Х) не является
<в-периодическим решением системы (1.1).
Теорема 2.3. Пусть существует вектор X" такой, что |х'| = 1 и в(х')* 0. Тогда в любой окрестности точки у = 0 существует множество, для любой точки у = (а,х), а =(0.....0,а„), а„*0, которого решение = а Д) системы (1.1) не является ш-периодическим.
Таким образом, необходимым условием существования решения системы (2.1) является существование такого вектора X", что |х"| = 1 и
1(х-)=0.
Положим Х = рХ, где р>0, |х|£ Д, д>1. Тогда система (2.1) примет вид в(х)+-^-О2|]а|)+о(з|х|')=0, где Ншо(р|х|*)= 0 равномерно относительно X: |х|<;Д.
Пусть существует вектор X" такой, что |х"| = 1 и в(х')=0. Разложим
вектор-форму й(х) в ряд в окрестности точки X = X' по формуле Тейлора, получим
о(^)=о, (2.5)
/•2 Р
где V- Х-X'у (х-)] - значение матрицы Якоби вектор-формы в(х) в точке X = X*, для любого ./е{2,з,. яДх.',у) - вектор-форма порядка у по V.
Теорема 2.4. Если гал£о|й(х* )]= и, то система (1.1) имеет ю-периодическое решение с начальным значением а = (0,0,...,0,а„), а„ *0.
Замечание. Доказанные теоремы 2.2-2.4 можно применить к нахождению условий существования решения системы (2.4), а, следовательно, и к нахождению условий разрешимости системы (2.2) в случае, когда д = 1 и гап%М =г<п.
Пусть теперь )]=</< л. Тогда алгебраическая система
о|й(х*)}> = о имеет ровно т-<1 линейно независимых решений. Положим у = Лт, где Я - тх(т-</) матрица, столбцами которой являются линейно независимые решения системы £>[Щ>." )}■ = 0, т - (т-^/)-мерный вектор. Тогда система (2.5) преобразуется к виду
£ Р, (х-, л)+ о( р|Лт + Х-|') = о.
1-2 Р 4 '
Пусть существует число д, такое, что и при у<(если
<7, >2) Р (х',Лт)иО, а РЧ1 (х*,/?т)#0. Тогда последнюю систему запишем так:
\ (т) + о{т\*)+±0г Ца|) + о(р|Лт + Х-1') = 0, (2.6)
где ^(т)=Я>',Дт).
Таким образом, получили систему, аналогичную системе (2.1), но зависящую от вектора т размерности (т- ¡/). Для нее доказаны теоремы о существовании множеств, ни одна точка которых не определяет ненулевого т-периодического решения системы (1.1) с начальным значением
а = (о,0,...,0,а„), а„*0, установлены достаточные условия существования ненулевого ю-периодического решения системы (1.1) с начальным значением указанного вида. Если оказывается, что ранг вновь полученной матрицы Якоби меньше л, то линейной заменой переменных опять переходим к системе, аналогичной (2.6), но зависящей от вектора еще меньшей размерности.
При этом представляются возможными следующие случаи:
1. На некотором шаге ранг матрицы Якоби равен п, и размерность вектора {т -- - - с!,)>п. Тогда с помощью метода неподвижной точки оператора можно доказать, что система (1.1) обладает ненулевым со-периодическим решением с начальным значением а = (ОД ,0,а„).
2. На некотором шаге получаем, что размерность вектора приращения равна )<я, и матрица Якоби имеет размер
-...-е!,). Тогда описанный метод не позволяет определить наличие или отсутствие у системы (1.1) ненулевого и-периодического решения с начальным значением а = (0,0, ..,0,а„).
Рассмотрим матрицу лхл 5?(х)+0^а|)+о|х)*) системы (1.13), где элементы матрицы йДх) есть формы порядка д относительно компонент вектора X. Из определения определителя матрицы следует, что <!«(/?, (X) + о(|а|) + о(х|' | = с!е1 вДх) + О (¡а|) + о (хр). Исследуем уравнение
ай5,(А.)+о(|а|)+о(х|"')=0 (2.9)
Теорема 2.8. Пусть при любом Я* таком, что |х'| = 1, выполняется <1е1В?(х')*0. Тогда в любой окрестности точки у = 0 существует множество, в котором нет решений системы (2.9).
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2.8. Тогда в любой окрестности точки у = 0 существует множество, для любой точки у = (а,Х), а/0, которого вектор-функция г-»* = х(г, а, А.) не является <о-периодическим решение системы (1.1).
Теорема 2.9. Пусть существует вектор X" такой, что |х"| = 1 и ай/?¥(х")*0. Тогда в любой окрестности точки у = 0 существует множество, для любой точки у = (а,Х), а#0, которого решение /->*=*(/, а, X) системы (1.1) не является со-периодическим.
Пусть матрица вД^+о^+о^') системы (1.13) представлена равенством
где в^+О^а^+о,^*) - их (л-/) матрица, я(х) + 0^а|)+о2{х|') - лх/ матрица.
Исследованием системы й(х)+Ог(]а|)+о2(х|')= 0 определены условия существования ненулевого а> -периодического решения системы (1.1) с начальным значением а = (0,0,...,0,а„_ы, .,а„).
В § 2 главы 2 рассматривается решение обобщенной периодической краевой задачи. Предполагается, что на множестве £>{50) вектор-функция Ф(/, х, X) представима равенством
Ф(/, х, X) = ф(/,0, X) + (/Д)х + £ф, (/, х, Х)г + о(г )*, (2.19)
••р
в котором р~г. 2, элементы матрицы Ф,_,(/Д) - формы порядка р-1 относительно компонент вектора X, при любом 1} элементы матрицы Ф,(г,дг,Х) - формы порядка » относительно компонент вектора г = (*,X), Ф,(/,0Д)=0.
«
Согласно определению 1.1 при любом ХбЛ(80) |ф(/,0, х)л = а. Тогда
о
в силу равенства (2.19) для того, чтобы вектор-функция г-►* = *(/, а Д) удовлетворяла равенству |ф(г, х(1, а, 1)^1 = а, необходимо и достаточно,
о
чтобы вектор у = (аД) являлся решением уравнения
] Ф„_, (/Д) + £ Ф, Ы<, аД)Д) + о(у|) *(/, а,Х)л = 0. (2.20)
о|. "Р
На основании представления решения в виде (1.12), система (2.20) сводится к системе
где ФА (х) - к х и матрица, элементы которой - формы порядка р, относительно компонент вектора X, 11ш0(|а|д)=0 равномерно относительно ХеЛ(5).
В силу теоремы 1.7 справедлива
Теорема 2.13. Для того, чтобы вектор-функция /->* = дг(/,а,Х) являлась ненулевым решением обобщенной периодической краевой задачи системы (1.1), необходимо и достаточно, чтобы векторы а, а#0, и X удовлетворяли системе
[ß,(x) + 4x|)+o(x|')|x = 0,
|Ф>)+оНХМХГ)}* = О.
Исследуя систему (2.23), получаем структуру множеств в окрестности точки у = 0, ни одна точка которых у = (а,х), а =(0,...,0,а„), а„ #0, не определяет решения обобщенной периодической краевой задачи системы (1.1). Получены достаточные условия существования ненулевого решения обобщенной периодической краевой задачи системы дифференциальных уравнений (1.1).
Глава III посвящена изучению решения обобщенной периодической краевой задачи системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть системы (1.1) представляет собой сумму вектор-форм относительно компонент фазового вектора и параметра и бесконечно малой величины более высокого порядка. В первой главе было показано, что в этом случае условие, при котором I ->х- x(t,a,\) - ш-периодическое решение, состоит в том, что векторы а и X должны составлять решение системы
в^-а + оМ-а+еЛтМтГМ- О-1*)
В § 1 главы 3 система (1.18) рассматривается при a>q +1. В этом случае систему (1.18) можно представить в виде
5,(Х)-а+о(хр)-а + О(уГ)=0. (3.1)
В линейном случае (4 = 1), система (3.1) запишется так
В{а)К, + 1(а)Х, + о(|х|)а + o(jo|) =0, (3.3)
где В (а) - п* п, в(а) - пх(т-п) матрицы, X, - п -мерный, Хг - (т - п)-мерный векторы, т z п.
Теорема 3.1. Пусть существует вектор а': |а"| = 1 такой, что det в(а')* 0 Тогда система (1.1) имеет ш-периодическое решение с начальным значением а*.
Пусть теперь 2.
Теорема 3.2. Пусть при любом X' таком, что |х*| = 1 выполняется (^вДх'^О. Тогда в любой окрестности точки у = О существует множество, в котором нет решения системы (3.1).
Теорема 3.3. Пусть существует вектор у" = (а'Д'), где |у*| = 1, а* *> такой, что выполняется <1е154(х")*0. Тогда в любой окрестности точки
у = о есть множество, в котором нет ненулевого решения системы (3.1).
Замечание. Из теоремы 1.10 следует, что теоремы 3.2 и 3.3 определяют условия, при которых не существует <о -периодического решения системы (1.1) с начальным значением а.
Таким образом, необходимым условием существования ю-периодического решения системы (1.1) является существование вектора X' такого, что <1е1Я?(г)=0. В этом случае линейная алгебраическая система Я,(х.*)а = 0 имеет ненулевое решение а'. Тогда необходимое условие существования со-периодического решения системы (1.1) состоит в том, что существует вектор у* = (а"Д"), а* *0, такой, что =0.
Произведем в системе (3.1) замену переменных, положив у = ру, где р>0, у = (а,Х), |у|<д,д>1. Тогда система (3.1) преобразуется к виду
В,^)а + С4р|х|)а + О{р|у|)=0. (3.6)
Пусть существует вектор у": |у'| = 1, у*=(а"Д*), а'*0 такой, что = 0. Разложим вектор-функцию в ряд по формуле Тейлора
в окрестности точки у*. Получим систему
о[5,^)«-}1 + !:в,(Г.л)+о(р|х1)а + о(р|^)=0, (3.7)
где о[в,(г)а'] - значение матрицы Якоби вектор-функции 5 в точке у*, г] = у - у*, В,(у',п) - вектор-форма 1 -го порядка относительно компонент вектора ч.
Теорема 3.4. Если гал^ор?^') а"]=п, то система (1.1) имеет ненулевое ©-периодическое решение.
Пусть теперь а*]=</<«. С помощью элементарных пре-
образований систему (3.7) можно свести к системе
о,П + £ в'' (у •, л)+О, (р|Х|) • а + О, (р|у|) = О,
|-2
(г, п)+а + ¿>2 (р|у|)= О,
/-2
где 0, - с! х (п + от) матрица, составленная из первых Л строк преобразованной матрицы о[в,(х')а"], при любом ;е {2,3,. ,9 + 1} В1,(у',л) - ¿-мерная, у', л) ~ (/1-^)-мерная вектор-формы порядка / относительно компонент вектора л.
Пусть существует число такое, что 2 < </, < щ +1 и при / < <?, (если <?, >2) 5г/(у*,г|)я0, а в2«(у*,л)^ 0. Тогда последняя система приобретет вид
В\ (Г, л)+)+ °+ИУ|)= о-
Исследование системы (3.8) аналогично исследованию системы (3.16). При этом установлено, что если ранг полученной на следующем шаге матрицы Якоби меньше п (заметим, что ранг матрицы Якоби не может сделаться менее 4), то систему путем преобразования матрицы и выделения ненулевой вектор-формы вновь приводим к системе вида (3.8). При продолжении процесса исследования возможны следующие случаи:
1. На некотором шаге ранг матрицы Якоби равен п. Тогда с помощью метода неподвижной точки оператора можно показать, что система (1.1) имеет со-периодическое решение.
2. Ранг матрицы Якоби не достигает значения п, а вектор-формы не исчерпываются. В этом случае описанный метод не дает ответа на вопрос о существовании ю-периодических решений системы (1.1).
§ 2 главы 3 посвящен исследованию системы (1.18) при ст<^ + 1. В этом случае систему (1.16) запишем так
/>„(уМГГ)=°> (3-16)
где Я0(у) - вектор-форма порядка а относительно компонент вектора у.
Теорема 3.8. Пусть при любом у.|у| = 1 выполняется Р„(у)*0. Тогда существует окрестность точки у = 0, в которой нет решения системы (3.16), за исключением самой этой точки.
Теорема 3.9. Пусть существует вектор у":|у'| = 1 такой, что Ра(у')*0. Тогда в окрестности точки у = 0 есть множество, в котором нет решения системы (3.16).
Замечание. Согласно теореме 1.10 вектор-функция *(»,аД) является о-периодическим решением системы (1.1) в рассматриваемом случае тогда и только тогда, когда вектор у = (аД) является решением системы (3.16). Следовательно, теоремы 3.8 и 3.9 определяют условия, при которых решение 1-*х = х{1, аД) не является а>-периодическим решением системы (1.1) при любом у = (а, Я.) из указанных в этих теоремах множеств.
Таким образом, необходимым условием существования ненулевого ю -периодического решения системы (1.1) является наличие такого вектора у": |у"| = 1, что выполняется (у* )= 0.
Положим у = ру, где р>0, |у|< Д, д>1,и разложим вектор-функцию />„(у) в ряд по формуле Тейлора в окрестности точки V = V*:
^Л + £/»(»\т)+о(рН)=0, (3-20)
1-2
где т = у-у\ о[р„(у')] - значение матрицы Якоби вектор-функции />„(у) в точке у — у*, при {2,3,. ,,а} ^(у',т) - вектор-форма 1-го порядка относительно компонент вектора т.
Теорема 3.10. Пусть rangD\po(v')\= п. Тогда система (1.1) имеет ненулевое со -периодическое решение.
При гал££>[/>0(у*)]=</< л исследование системы (3.20) аналогично исследованию системы (3.7) в том же случае.
В § 3 главы 3 определяются условия существования решения обобщенной периодической краевой задачи для системы (1.1).
Пусть вектор-функция ф(/,д:Д) на множестве О(50) представима равенством
Ф(«,*Д)=Ф(/,ОД)+ФУ>ЧОД)ДГ+ ¿Ф,(/^Д)+о{г|г), (3.32)
в котором р> 2, элементы матрицы Ф^.ДгД) - формы порядка р-1 относительно компонент вектора X, при любом /е {р + 1,...,г} Ф,(г,хД) - вектор-форма порядка I относительно компонент вектора г = (*д), матрица Ф^.Д/Д) и вектор-функции Ф(?,0Д), Ф,((,хД) при любом /е{р + 1, ,г} не-
прерывны на множестве £>(50). Получено, что условия существования решения I-> х = х(1,а,\) системы (1.1), удовлетворяющего равенству «
|ф(/,*(/,аД),А.)А = а, определяются условиями разрешимости системы
о
уравнений относительно а, X
Фй(х) а + о(х|") а + Ч'ДтМгГМ, где ф (л) -кхп матрица, элементы которой - формы порядка />, относительно компонент вектора К, ч%(у) - ¿-мерная вектор-форма порядка г относительно компонент вектора у.
Таким образом, справедлива
Теорема 3.12. Для того, чтобы вектор-функция <->дг = дг{лаД) являлась ненулевым решением обобщенной периодической краевой задачи системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть системы дифференциальных уравнений представима равенством (1.16), необходимо и достаточно, чтобы вектор у = (а,х), а*0, удовлетворял системе
ЗДХ) а + о(х|') а + а(У)+о(^)=0,
Фй(х)а + О(х|")а + 4'Ду)+О(уГ")=0.
Рассматривая возможные случаи, определяемые порядками форм в системе (3.36), получаем условия, при выполнении которых не существует ненулевого решения обобщенной периодической краевой задачи системы (1.1), а также достаточные условия существования такого решения.
В диссертации рассмотрены примеры как теоретического, так и прикладного характера.
Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору М. Т. Терехину за постоянное внимание к работе, всестороннюю помощь и поддержку.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
1. Талалаева Е.А. Обобщенная периодическая краевая задача системы дифференциальных уравнений с параметром // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании: Тезисы докладов VIII Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. - Рязань: Изд-во РГРТА. -2003.-С. 9-11.
2. Талалаева Е.А. О стабильной работе отраслей экономики // Национальная экономика: Проблемы и перспективы российских реформ. Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. - Рязань: Изд-во РГПУ. - 2004. - С. 41-42.
3. Талалаева Е.А. О разрешимости обобщенной периодической краевой задачи системы дифференциальных уравнений с параметром // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2004. - С. 36-38.
4. Талалаева Е.А. Представление решения системы дифференциальных уравнений с параметром с помощью матрицанта системы линейного приближения // Аспирантский вестник Рязанского государственного педагогического университета им. С.А. Есенина. - Рязань: Изд-во РГПУ.-2005.-№5.-С.133-140.
5. Талалаева Е.А. К вопросу о представлении решения системы дифференциальных уравнений с параметром, имеющей переменную матрицу системы линейного приближения // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2005. - №9. - С. 99-105.
6. Талалаева Е.А. Условия существования периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2005. - №9. - С. 106-114.
7. Талалаева Е.А. Разрешимость периодической задачи системы дифференциальных уравнений с параметром без построения фундаментальной матрицы системы линейного приближения // Некоторые актуальные проблемы математики и современного математического образования: Материалы научной конференции «Герценовские чтения - 2005». - СПб.: Библиотека Академии наук. - 2005. - С. 105109.
8. Талалаева Е.А. Периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании: Тезисы докладов X всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. - Рязань: Изд-во РГРТА. -2005.-С. 17-18.
9. Талалаева Е.А. Математическая модель реакции окисления малоновой кислоты бромагом // Нелинейный мир. Десятая междисциплинарная научная конференция: Тезисы докладов. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского. - 2005. - С. 134.
Ю.Тапалаева Е.А. Периодическая краевая задача неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Ряз. гос.пед. ун-т. - Рязань, 2005. - 16с. - Деп. В ВИНИТИ 19.04.2005, №543-В2005.
11 .Талалаева Е.А. К вопросу о разрешимости периодической задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Ряз. гос.пед. ун-т. - Рязань, 2005. - 14с. - Деп. В ВИНИТИ 19.04.2005, №542-В2005.
12.Талалаева Е.А. Разрешимость периодической задачи системы дифференциальных уравнений с параметром в одном критическом случае И Аспирантский вестник Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина. - Рязань: Изд-во РГУ. - 2005. - №6. - С.121-127.
13.Талалаева Е.А. Математическая модель развития отраслей экономики региона при заданном уровне потребления II Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи», Вып.1. -Тула: Изд-во ТулГУ. - 2005. - С.269-284.
14. Талалаева Е.А. Математическая модель реакции Белоусова-Жаботинского // Информатика и прикладная математика: Межвуз. Сб. науч. Тр., Ряз.гос.пед.ун-т. - Рязань: Изд-во РГПУ. - 2005. - С. 195-198.
15.Талалаева Е.А. О математической модели боевых действий // Лобачевские чтения - 2005. Материалы IV Всероссийский молодежной научной школы - конференции. - Казань: Казанское математическое общество - 2005.-Т.31.-С. 151-152.
16.Талалаева Е.А. К проблеме разрешимости периодической задачи системы дифференциальных уравнений с параметром // Математика. Компьютер. Образование: Тезисы докладов ХШ Международной конференции. - М.-Ижевск: Изд-во "Регулярная и хаотическая динамика" - 2006. - Вып. 13. - С. 30.
Талалаева Екатерина Александровна
ОБОБЩЕННАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения
Подписано к печати 06.03.2006 Формат бумаги 60x84 1/16 Печать ризографическая Объем 1,0 пл. Заказ № и Тираж 100 экз. Бесплатно
Опечатано в ООО «Интермета» 390000, г.Рязань, ул. Каляева, д.5
дооСА
S033
»8- 5 0 3 9
\
J
Введение.
Глава I. Применение матрицанта системы линейного приближения к решению периодической задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром.
§ 1. Представление матрицанта системы линейного приближения.
§ 2. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде произведения матрицы и неизвестного вектора.
§ 3. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде суммы вектор-форм по неизвестному вектору и параметру.
Глава II. Периодические решения краевой задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае особого вида начального значения.
§ 1. Условия существования ненулевых периодических решений исследуемой системы дифференциальных уравнений.
§ 2. Решение обобщенной периодической краевой задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений.
Глава III. Периодическая краевая задача неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае, когда нелинейная часть системы представима в виде суммы векторформ.
§ 1. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части выше, чем матрицы системы линейного приближения.
§ 2. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части ниже или равен порядку матрицы системы линейного приближения.
§3. Решение обобщенной периодической краевой задачи системы дифференциальных уравнений.
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются неавтономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с переменной матрицей системы линейного приближения. Предполагается, что система обладает нулевым решением при любом значении параметра. Краевые условия задаются с помощью векторного функционала, определенного на множестве решений исходной системы. Задачей исследования является поиск условий существования ненулевых периодических решений в окрестности нулевого.
Проблема нахождения периодического решения является одной из центральных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Подобная задача возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических, социальных и других процессов [1, 2, 21, 31, 42, 49-51, 61, 70, 77, 80]. В частности, системы дифференциальных уравнений с переменной матрицей линейного приближения возникают в многоуровневой модели противоопухолевых реакций [24], в балансовых экологических уравнениях [66]. Еще большие трудности появляются при исследовании систем с дополнительно наложенными краевыми условиями. Как, например, при моделировании процесса конкуренции за питательный субстрат между гиперциклами (белковонуклеотидными комплексами), суммарная концентрация которых принята постоянной [64].
Несмотря на то, что изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Так, мало изученным является вопрос о построении фундаментальной матрицы системы линейного приближения в явном виде в случае, когда матрица линейной части зависит от времени.
Таким образом, задача определения условий существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями в рассматриваемом случае представляется весьма актуальной.
Цель работы. Рассматривается система дифференциальных уравнений x = A{t,X)x + f(t,x,X), (0.1) где х - п -мерный вектор, X - т -мерный параметр, матрица A(t, X) и вектор-функция f(t,x,X) непрерывны по совокупности переменных и со-периодические по t. Вектор х = 0 является решением системы (0.1) при любом значении параметра X. На множестве решений системы (0.1) заю со дан векторный функционал J = fe(t,x,X)dt, J<J>(r,0,X)dt = a, где Ф((,х,Х) о о непрерывная к -мерная вектор-функция, а - постоянный к -мерный вектор. Ставится задача определения условий существования ненулевого со-периодического решения системы (0.1) в окрестности нулевого, при котором векторный функционал J сохраняет постоянное значение а.
Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.
Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [60] и A.M. Ляпуновым [41]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем с помощью степенных рядов, составленных по степеням малого параметра, начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин [2], Б.В. Булгаков [И], И.Г. Малкин [44], Л.И. Мандельштам [48], Б. Хэссард [77] и другие ученые.
Метод малого параметра Пуанкаре, опирающийся на выделение основной системы с малым параметром и порождающей системы, в которую первая переходит при нулевом значении параметра, применяется во многих исследованиях [8, 43, 76, 85].
Ключевые идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [54].
Открытие А.А. Андроновым [2] и Е. Хопфом [83] бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы легло в основу целого направления исследований. Е. Хопф в работе [83] устанавливает, что при потере устойчивости особой точки появляется устойчивое периодическое решение (так называемая бифуркация Хопфа). Изучению бифуркации Хопфа для различных систем посвящены работы [50, 53, 67, 77, 86]. Наиболее полно исследованы вопросы существования, устойчивости и бифуркаций периодических решений динамических систем на плоскости в работах А.А. Андронова и его коллег [2-4].
Вопросам бифуркации предельных циклов для различных систем посвящены работы Бобылева Н.А. [5,6], Малышева Ю.В., Захарова В.П. [46, 47], Черкаса JI.A. [78] и других авторов [12, 17, 70, 86]. Остановимся кратко на некоторых полученных результатах. В работе [5] определение условий существования предельного цикла системы обыкновенных дифференциальных уравнений опирается на метод функциона-лизации параметра и построение операторного уравнения, решения которого и позволяют определить наличие изолированных предельных циклов. Апостериорная оценка дает возможность при этом получить еще и локализацию решения. В статье [46] для установления существования предельного цикла используются мешок Бендиксона и обобщенные функции Ляпунова, которые предполагается удовлетворяют некоторым условиям.
Обобщенные функции Ляпунова применяются в ряде работ для нахождения условий существования периодических решений. Так в работе Малышева Ю.В. и Захарова В.П. [47] для построения области, содержащей устойчивый предельный цикл, предлагается математическая процедура посекториального использования нескольких функций Ляпунова. Описанный метод применяется к двумерной автономной системе дифференциальных уравнений. Воскресенский Е.В. [18] использует построение функций Ляпунова для исследования проблемы существования периодических решений у существенно нелинейных дифференциальных уравнений и применяет полученные таким образом результаты к уравнениям, описывающим нелинейные колебания. Функции Ляпунова используются для установления существования и устойчивости решений в работах [45, 55, 90]
Сложность прямой задачи привела к появлению работ, в которых исследуются системы, не имеющие периодических решений. В статьях [82, 89] рассмотрены достаточные условия отсутствия периодических решений в классе систем нелинейных дифференциальных уравнений.
Для качественного исследования систем дифференциальных уравнений применяется локальный метод нелинейного анализа, предложенный А.Д. Брюно [10]. Этот метод состоит в сведении исходной системы с помощью локальной замены к такой системе, которая либо легко интегрируется, либо является более простой. В сложных случаях исследуемая окрестность определенным образом разбивается на куски. Для исследования этим методом требуется определить нормализующее преобразование.
Малкин И.Г. в монографии [44] рассматривает неавтономную систему дифференциальных уравнений с Г-периодической правой частью и скалярным параметром. Ставится задача о существовании Т-периодического решения при малом значении параметра, которая сводится к решению недифференциального уравнения. Доказана единственность периодического решения при условии разрешимости этого уравнения и описана процедура получения других уравнений для поиска периодических решений. Также И.Г. Малкиным рассмотрены автономные системы и предложен итерационный алгоритм построения периодического решения для неавтономных систем. Вопросы устойчивости периодических решений исследовались в работе [45].
Для построения периодических решений многими исследователями используется метод итераций. Так в работе [9] итерационный алгоритм применяется к слабовозмущенным автономным нелинейным системам в критических случаях при кратных корнях уравнения для порождающих амплитуд. При этом отыскивается периодическое решение с периодом близким к периоду решения порождающей системы. Лаптин-ским В.Н. в статье [36] рассматриваются уравнения вида
Для уравнения (0.2) решение строится в виде рядов, содержащих целые отрицательные степени параметра. Приводится модифицированный алгоритм построения последовательных приближений для уравнения (0.3), в котором каждое приближение является ©-периодической функцией. Итерационные алгоритмы применяются в работах Бобылева Н.А. [6], Вавилова С.А. и Юхневича С.В. [15,16], а также других авторов
В работе Гребенникова Е.А.и Рябова Ю.А. [22] описаны различные конструктивные методы построения периодических решений, в частности, итерационный метод, метод усреднения, асимптотический метод. Метод усреднения состоит в построении для системы дифференциальных уравнений с помощью некоторого оператора усреднения так называемой усредненной системы. При этом оператор усреднения подбирается таким образом, чтобы исследование усредненной системы оказаx = A(t)x + f(t), x = A(t)x + f(t,x).
0.2) (0.3)
В, 59]. лось проще, чем исходной системы, а получаемое решение мало отличалось от решения исходной системы.
Метод усреднения лег в основу исследований Д. Хейла. В работе [76] им изучены нелинейные дифференциальные уравнения, свойства которых существенно обусловливаются нелинейностью. В частности, им рассмотрена система y = B(t)y + q{t,y, е), (0.4) периодическое решение которой строится методом последовательных приближений, а устойчивость определяется с помощью характеристических показателей.
На принципе усреднения основан и асимптотический метод. Применение асимптотических методов в задаче поиска периодического решения изложено в работе [7] Е.Н. Боголюбовым и Ю.А. Митрополь-ским.
Е.В. Воскресенским в статье [19] описан способ поиска периодических решений методом сравнения. Уравнением сравнения в данной работе является дифференциальное уравнение, не имеющее Т-периодических решений, за исключением состояния равновесия (начала координат). Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений.
В.А. Пписсом [55, 56] рассмотрены вопросы существования периодических решений и их устойчивость в большом для систем с периодической правой частью. При изучении периодических систем первого и второго порядков используется именно тот факт, что системы имеют указанный порядок, то есть обобщить методы и результаты на системы более высокого порядка нельзя. Для исследования многомерных периодических систем используются признаки существования неподвижных точек топологических преобразований евклидова пространства в себя.
М.А. Красносельский [32-33] сводит проблему существования периодических решений неавтономных систем к проблеме существования неподвижных точек оператора сдвига по траекториям системы. Доказательство существования неподвижных точек опирается на метод направляющих функций, суть которого заключается в построении некоторых функций, заданных в выпуклой области фазового пространства, и последующей оценке вращения векторного поля на границе этой области.
В работах [35, 57] исследуется проблема существования периодических решений матричного уравнения Ляпунова = XA(t)X + 7JCB{t)+XF(t). (0.5) dt
Подолян С.В. в работе [57] использует проекционный метод для получения коэффициентных условий существования и единственности периодического решения.
Лаптинским В.Н. и Титовым В.Л. в работах [37, 71, 72] рассмотрены периодические решения полулинейных дифференциальных систем вида
- = A{t,x)x + f(t). (0.6) dt
Для системы (0.6) на основе проекционно-функционального метода разработан алгоритм построения со-периодического решения, изучены вопросы локализации этого решения, а также получены эффективно проверяемые условия существования и единственности со-периодического решения в заданном представлении.
Краевая задача наряду с задачей Коши является одной из основных в теории дифференциальных уравнений. Исследованию разрешимости краевых задач для систем дифференциальных уравнений посвящены работы Бойчука А.А. [8], Ешукова Л.Н. [25], Рудакова В.П. [65] и других авторов [28, 81, 84]. Монография Бойчука А.А. [8] посвящена проблемам существования и разработки алгоритмов построения решений линейных краевых задач для слабовозмущенных линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевые условия задаются линейным векторным функционалом. В зависимости от конкретного вида функционала рассматриваются двух- и многоточечные, а также широко распространенные периодические краевые задачи. В частности, исследуются системы вида х = Л(0* + ф(0> (0-7) x = A(t)x + (p(t) + eZ(t,x,s), (0.8) х = A(t)x + eAl (t)x + ф(/), (0.9) краевые условия для которых задаются равенством Lx = а. Для указанных систем строится обобщенная матрица Грина, с помощью которой исследуется структура множества решений таких задач. В статье Ешу-кова JI.H. [25] краевые условия приводят к построению оператора, неподвижная точка которого и определяет решение задачи. Доказательство существования такой точки опирается на теорему Шаудера.
Метод неподвижной точки при нахождении достаточных условий существования периодических решений используется в статьях М.Т. Терехина, Н.В. Ретюнских, В.А. Ковалева, К.В. Бухенского, Е.Ю. Лис-киной, П.С. Ивличева и др. [13, 14, 26, 29, 30, 38, 39, 52, 62, 63, 68, 69, 87, 88].
Для системы дифференциальных уравнений x = A(t,X)x+f(t,x,X) (0.10)
Бухенским К.В. в работе [13] с использованием теоремы Боля-Брауэра доказано существование со-периодического решения с начальным значением а = (о,.Да*) в предположении, что для элементов последнего столбца матрицы A(t,x) справедливо представление ain(<a,X)=^jciJXkj + оj(Х.|j, а вектор-функция f(t,x,X) представима равенстм вом f(t,x,X)=F(t,x,X)x. При том же предположении относительно вектор-функции f(t,x,X) Терехиным М.Т. в работе [69] рассмотрены случаи, когда условия существования ненулевого периодического решения системы (0.10) определяются как свойствами элементов матрицы A(t,X), так и свойствами нелинейных членов системы.
Ковалев В.А. в статье [30] рассматривает систему (0.10), в которой матрица A(t,x) есть матрица с доминирующей главной диагональю. Фундаментальная матрица системы линейного приближения записывается в виде матрицанта, заданного рекуррентным соотношением. Строится система приближений, которая определяет оператор. Показано, что для него выполняются условия теоремы Шаудера. В силу полученных оценок из компактного множества приближений выделяется подпоследовательность, предел которой является искомым периодическим решением.
В работе [63] Ретюнских Н.В. рассматривает систему дифференциальных уравнений х = (A(t) + B(t, X) + F(t, х, Х))х. (0.11)
Показано, что условие со-периодичности решения системы (0.11) сводится к уравнению вида R(a,X)a = 0. При дополнительных предположениях относительно структуры столбцов матрицы R(a,X) получены достаточные условия существования периодического решения со специальным видом начального условия.
Методика исследования. Для получения достаточных условий существования ю-периодических решений используется критерий периодичности х(са,а,Х)=а. Посредством представления решения через правую часть системы и подстановки его в уравнение, определяющее условие постоянства векторного функционала, поставленная перед исследованием задача сводится к разрешимости системы уравнений с алгебраической главной частью. С учетом свойств формы младшего порядка в этой системе находится точка, в окрестности которой расположена пара начальное значение - параметр, определяющая периодическое решение системы дифференциальных уравнений (0.1). Доказательство теоремы о достаточном условии существования периодического решения проводится методом неподвижной точки оператора. Построение такого оператора осуществляется с помощью разложения функций по формуле Тейлора. Существование неподвижной точки оператора и доказывает наличие ненулевого периодического решения рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, сохраняющего постоянное значение векторного функционала.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, краткий обзор результатов других авторов, методика исследования, краткое содержание работы.
Результаты исследования проблемы существования ненулевого периодического решения применены к установлению условий разрешимости обобщенной периодической краевой задачи исходной системы дифференциальных уравнений.
Рассмотрены примеры применения теоретических положений. В частности, исследованы математические модели химических, экономических и социальных процессов.
114
Заключение.
Работа посвящена поиску условий существования в окрестности нулевого решения ненулевого периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром, удовлетворяющего краевым условиям.
Для исследуемой системы получены представления решения через начальные значения и параметр при различных предположениях относительно структуры правой части системы. Используя эти представления решения, условия существования периодических решений сведены к условию разрешимости систем недифференциальных уравнений. Аналогичные системы получены и для определения условий существования решения обобщенной периодической краевой задачи.
Получены необходимые условия существования ненулевого решения, а также условия разрешимости недифференциальных систем, обеспечивающие достаточные условия существования периодических решений в окрестности нулевого, связанные с коэффициентами разложений функций по формуле Тейлора. Доказательства достаточных условий проводятся методом неподвижной точки оператора.
1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. -М.: Наука.- 1987.- 157 с.
2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. - 1959. - 915 с.
3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М: Наука. - 1966.-568 с.
4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М: Наука. -1967.-488 с.
5. Бобылев Н.А., Булатов А.В., Коровин С.К., Кутузов А.А. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. - № 1. - С. 3-8.
6. Бобылев Н.А., Коровин С.К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. - № 3. - С. 301-306.
7. Боголюбов Е.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. - 1955. - 344 с.
8. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. -Киев: Наук, думка. 1990. - 96с.
9. Бойчук А.А., Журавлев В.А., Чуйко В.Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. - № 9. с. 1180-1187.
10. Ю.Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1979. - 253 с.
11. П.Булгаков Б.В. Колебания. -М.: Гостехиздат. 1954. - 891 с.
12. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. - 1976. - 384 с.
13. И.Бухенский К.В. К вопросу о существовании периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения (качественная теория). -1998.-№1.-С. 8-15.
14. И.Бухенский К.В. Ненулевые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром: Автореф. дис. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук / Мордовский гос. ун-т. Саранск: Изд-во Мордовского гос. ун-та. - 1998. - 19 с.
15. Вавилов С.А. Критерий разрешимости резонансной периодической задачи в теории нелинейных колебаний // Докл. АН СССР. -1990. Т.312. - №4. - С.787-790.
16. Вавилов С.А., Юхневич С.В. О периодических решениях автономных систем // Изв. вузов. Математика 1992. -№9. - С.13-15.
17. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. - 1969. - 528 с.
18. Воскресенский Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 1991. — №1.- С. 11-14.
19. Воскресенский Е.В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифференциальные уравнения. 1992. -Т. 28.-№4.-С. 571-576.
20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ. - 1953. - 492 с.
21. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. -М.: Мир. -1986.-152 с.
22. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука. - 1979. - 431 с.
23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука. 1967. -472 с.
24. Дибров Б.Ф., Лифшиц М.А., Волькенштейн М.В. Математическая модель иммунной реакции // Биофизика. 1977. - Т.22. - С. 313317.
25. Ешуков JI.H. Об одной функциональной задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1958. - Т. 13. -Вып. З.-С. 191-196.
26. Ивличев П.С. Достаточные условия существования периодического решения систем с особой зависимостью от параметра // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр., Ряз. гос. пед. ун-т Рязань: Изд-во РГПУ. - 2002. - С. 61-62.
27. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.: Наука. 1984. - 572 с.
28. Кигурадзе И.Т., Мухигулашвили С.В. О нелинейных краевых задачах для двумерных дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т.40. - №6. - С. 747-755.
29. Ковалев В.А. Исследование свойств решений неавтономной системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2000. - №3. - С. 30-33.
30. Ковалев В.А. К задаче о со-периодических решениях нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (качественная теория). Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ - 1997. - С.39-42.
31. Колемаев В.А. Математическая экономика. -М.: ЮНИТИ. 1998. -245 с.
32. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1966. - 332 с.
33. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. - 1962. - 457 с.
34. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. - 1963. - 432с.
35. Лапковский В.К. Об одном представлении периодических решений матричного уравнения Ляпунова // Еругинские чтения 8: Тезисы докладов Международной математической конференции. -Брест: Изд. С.Б. Лавров. - 2002. - С.102.
36. Лаптинский В.Н. К вопросу о построении периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1983.-Т. 19. - №8. - С. 1335-1343.
37. Лаптинский В.Н., Титов В.Л. Алгоритм построения периодических решений полулинейных дифференциальных систем // Еругинские чтения 6: Тезисы докладов международной математической конференции. - Гомель. - 1999. - С. 76-67.
38. Лискина Е.Ю. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2000. - №3. - С. 60-65.
39. Лискина Е.Ю. Об использовании векторного параметра при получении достаточных условий существования малых периодических решений системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. - №6. - С. 67-71.
40. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.-М.: Наука. 1965.-510 с.
41. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гос-техиздат. - 1950. - 471 с.
42. Максимов В.П. О некоторых обобщениях некоторых дифференциальных уравнений, краевых задач и их приложения к задачам экономической динамики // Функционально дифференциальные уравнения. Вестник ПГТУ. - Пермь: Изд-во ПГТУ. - 1997. - №4. -С.103-120.
43. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. - 1949. - 246 с.
44. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат. 1956. - 491 с.
45. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. - 1966. -532 с.
46. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 2. -С. 212-216.
47. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Функции Ляпунова и автоколебания // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т.23. - №4. - С.722-724.
48. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука. -1972.-470 с.
49. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир. - 1983. - 400 с.
50. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. М.: Мир. - 1980. - 367 с.
51. Милованов В.П. Об одном подходе к моделированию механизмов ценообразования // Экономика и математические методы. 1994. -Т.ЗО. -вып.1. - С.137-147.
52. Моисеев Д.С. О периодических решениях нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. - №8. - С. 57-62.
53. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. - 1972. - 471 с.
54. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ. - 1949. - 550 с.
55. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука. - 1964.-367 с.
56. Плисс В.А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Доклады АН СССР. 1961. - Т. 137. - № 5.-С. 1060-1073.
57. Подолян С.В., Юрасова Л.П. Проекционные метод отыскания периодических решений матричного дифференциального уравнения Ляпунова // Еругинские чтения 6: Тезисы докладов международной математической конференции. - Гомель. - 1999. - С. 72-73.
58. Понтрягин Л.С. обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука. 1965. - 332 с.
59. Портнов М.М. Об одном подходе к построению периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Воронеж.гос.ун-т. Воронеж. 2004. - 30с. - Рус. Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004. - №1374 - В2004.
60. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. - 1971. - Т. 1. - 771 с.
61. Ранцевич В.А., Самсон A.M. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 23. - С. 540-542.
62. Ретюнских Н.В. Ненулевые периодическое решения системы дифференциальных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2000. - №3. - С. 117-120.
63. Ретюнских Н.В. Периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений специального вида // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения (качественная теория). 1998. -№1.-С. 75-81.
64. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука. - 1984. - 304 с.
65. Рудаков В.П. Об одном обобщении краевой задачи Ешукова // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т.27. - №12. - С. 21772178.
66. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. - 1979. - 352 с.
67. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей. - 1989. - 87 с.
68. Терехин М.Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений. Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Изд-во РГПИ. - 1992. -88 с.
69. Терехин М.Т. Существование малых периодических решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журнал. 2001. - Т.53. - №5. - С.680-687.
70. Терехин М.Т. Устойчивость и предельные циклы в системе типа "хищник-жертва" при наличии внутривидовой конкуренции и заповедника // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. -1999.-№2.-С. 82-93.
71. Титов В.Л. Об одном представлении периодических решений полулинейных дифференциальных систем // Вестник НАН Беларуси. Физ.-мат. н.-Минск: Изд-во НАН. 1999.-№1. - С. 13-17.
72. Титов В.Л. Периодические решения полулинейных дифференциальных систем // 8 Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. Минск : Изд-во ИМ НАНБ. - 2000. - С. 161.
73. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. - 1980. - 496 с.
74. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. - 1959. -Т.2. - 808 с.
75. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир.- 1970.-720 с.
76. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир. - 1966. 230 с.
77. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн. И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. - 1985. - 280 с.
78. Черкас Л.А., Шевцов И.Л. Предельные циклы нормального размера квадратичных систем с негрубым фокусом // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т.40. - №8. - С. 1076-1084.
79. Щенников В.Н., Шеворакова Н.А. Исследование устойчивопо-добных свойств многосвязных систем // Молодые ученые Волго-Уральского региона на рубеже веков: Материалы научной конференции молодых ученых. Уфа: Изд-во БГУ. - 2001. - С.61-62.
80. Bohl Е. On two models of the Belousov-Zhabotinskii reaction // Numerical Treatment of Differential Equation. Teubner-text zur Math-ematic/ Band 82/ BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft. Leipzig. -1986.-P. 8-13.
81. Cabada Alberto, Poulo Rodrigo L. Existence results for the problem (ф(м')) = f(t,u,u') with nonlinear boundary conditions // Nonlinear Anal. Theory, Math. and. Appl. 1999. -T.35. -№2. -P. 221-231.
82. Duan Feng. On the nonexistence of limit cycles for a class of nonlinear differential system // Changde shifan xueyuan xuebao ziran kexue ban. -2001. T.13. -№4. -P.13-15.
83. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung eines Differential systems // Ber. Math.-Phus. Sachsische Akademie der Wissenschaften. Leipzig. 1942. - T.94. - S. 1-22.
84. Lu Wenlian, Chen Tianping. On periodic dynamical systems // Chin. Ann. Math. B. 2004. - T.25. - № 4. - P.455-462.
85. Torres Pedro J., Zanolin Falio. Periodic motion of a system of two or three charged particles // J. Math. Anal, and Appl. 2000. - T.25. -№2. -P.375-386.
86. Qu Xiu, Shen Cong. Hopf bifurcation of a class of biochemical reaction models // J. Liaoning Norm. Univ. Natur. Sci. 2004. - T.27. - №1. -P. 21-24.
87. Wang Feng, Ma Zhien. Persistence and periodic orbits for an SIS model in a polluted environment // Comput. and Math Appl. 2004. -T.47. -№4-5. - P. 779-792.
88. Wojcik Klaudiusz. On existence of positive periodic solutions // Monatsh. Math. 1998. - T.125. - №4. - P.343-350.
89. Yang Qigui, Yan Ping. On the nonexistence of periodic solution for a class of nonlinear differential system // Chin. J. Eng. Math. 1998. -T.15. -№1. - P. 113-116.
90. Zhu Ye-ming, Qiao Zong-min. The existence of almost solution of a kind of almost periodic equation // J. Anhui Norm. Univ. Natur.Sci. -2004. T.27. -№1.-P. 8-12.
91. Талалаева Е.А. О стабильной работе отраслей экономики // Национальная экономика: Проблемы и перспективы российских реформ. Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. Рязань: Изд-во РГПУ. - 2004. -С. 41-42.
92. Талалаева Е.А. К вопросу о представлении решения системы дифференциальных уравнений с параметром, имеющей переменную матрицу системы линейного приближения // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. - №9. - С. 99-105.
93. Талалаева Е.А. Условия существования периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. -№9.-С. 106-114.
94. Талалаева Е.А. Математическая модель реакции окисления малоновой кислоты броматом // Нелинейный мир. Десятая междисциплинарная научная конференция: Тезисы докладов. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского. - 2005. - С. 134.
95. Талалаева Е.А. Периодическая краевая задача неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Ряз.гос.пед. ун-т. Рязань, 2005. - 16с. - Деп. В ВИНИТИ 19.04.2005, №543-В2005.
96. Талалаева Е.А. К вопросу о разрешимости периодической задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Ряз. гос.пед. ун-т. Рязань, 2005. - 14с. - Деп. В ВИНИТИ 19.04.2005, №542-В2005.
97. Талалаева Е.А. Математическая модель развития отраслей экономики региона при заданном уровне потребления // Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи», Вып.1. Тула: Изд-во ТулГУ. - 2005. - С. 269-284.
98. Талалаева Е.А. Математическая модель реакции Белоусова-Жаботинского // Информатика и прикладная математика: Межвуз. Сб. науч. Тр., Ряз.гос.пед.ун-т. Рязань: Изд-во РГПУ. - 2005. - С. 195-198.
99. Талалаева Е.А. О математической модели боевых действий // Лобачевские чтения 2005. Материалы IV Всероссийский молодежной научной школы - конференции. - Казань: Казанское математическое общество - 2005. - Т.31. - С. 151-152.
