Верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их приложения

Васильев, Антон Николаевич

Верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Васильев, Антон Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их приложения»

Автореферат диссертации на тему "Верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их приложения"

ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА»

На правах рукописи

ВАСИЛЬЕВ АНТОН НИКОЛАЕВИЧ

ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2014

005546627

Работа выполнена на кафедре математических и компьютерных методов анализа механико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Чубариков Владимир Николаевич Официальные оппоненты: Добровольский Николай Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой алгебры, математического

анализа и геометрии факультета математики,

физики и информатики ФГБОУ ВПО «Тульский

государственный педагогический университет

имени Л. Н. Толстого»

Авдеев Иван Федорович,

кандидат физико-математических наук, доцент,

физико-математический факультет ГОУ ВПО

«Орловский государственный университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский педагогический

государственный университет»

Защита диссертации состоится 25 апреля 2014 г. в 16 ч. 45 мин. На заседании диссертационного совета Д.501.001.84, созданном на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», по адресу: Российская Федерация, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 24 марта 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО

МГУ имени М. В. Ломоносова,

профессор

Иванов Александр Олегович

Актуальность темы

Область исследования диссертации относится к разделу теории чисел, занимающемуся оценками тригонометрических сумм. В работе доказываются верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их арифметические приложения.

Тригонометрической суммой называется сумма вида

где X - конечное подмножество 2, а Р: X -» Е - функция. Такую сумму можно оценить сверху тривиально:

где - количество элементов X.

Но интерес представляют только такие верхние оценки, в которых присутствует понижающий множитель, то есть оценки вида

где 0 < 5 < 1 - понижающий множитель.

Рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида

„,„ - . V1 2711^

£(*,/,?) = 2/ Ч'

хех

где f^. X -» Ъ - функция, а ц - натуральное число.

Тригонометрические суммы впервые появились в работах К. Гаусса. В дальнейшем ими занимались Г. Вейль, Г. Харди и Д. Литглвуд, Л. Морделл и многие другие.

После работ И. М. Виноградова1, посвященных решению проблем Варинга и Гольдбаха, в которых был значительно развит и усовершенствован аппарат тригонометрических сумм, интерес к этой тематике многократно возрос. В

1 Виноградов И. М. Избранные труды. Москва: Изд-во АН СССР, 1952.

частности, появилось много работ и о рациональных тригонометрических суммах.

Полной рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида

^ ч V 2711^ S(f,q) = 2^e я ,

Х=\

где /: {1,2, ...,q}-*2- функция.

Важным частным случаем являются полные рациональные полиномиальные тригонометрические суммы (частный случай сумм Г.Вейля), когда в показателе экспоненты стоит многочлен с целыми коэффициентами.

Хуа JIo Кен2 доказал следующий результат:

ISCAq)!^^)

для любого натурального q и любого многочлена f{x) = а^х + а2х2 + —Ь апхп, у которого (аи а2,...,an,q) = 1, причем постоянная в знаке О зависит только от п.

В 1948 году А. Вейль3 получил оценку для сумм с простым знаменателем, в этом специальном случае значительно улучшающую оценку Хуа JIo Кена. Он доказал, что

\S(f,p)\ < (n-l)Jp

для любого простого р и любого многочлена f(x) = агх + а2х2 Н-----V апхп,

у которого (ап,р) = 1.

Этот результат, простой и удобный в применении, не дает, тем не менее, нетривиальной оценки в большом числе случаев, а именно, при n > ^Jp + 1. Поэтому было бы полезным получить оценки в случае «больших» п. Однако, как правило, получить оценку для общего случая «больших» п не удается, а улучшение оценки А. Вейля производится только на некоторых классах многочленов.

Выделим две такие работы.

2Хуа JIo Кен. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. Москва: Мир, 1964.

3 Weil A. On some exponential sums // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. 1948.34. N5. P. 204-207.

В 1965 году Н. М. Акулиничев4 доказал следующую оценку для

двучленов:

I - ,Г(х)

< р8~1/г,

т.р)\ = \%=1е2т~

где /(л;) = ах + Ьхп - многочлен с целыми коэффициентами, у которого (а, р) = (Ь, р) = 1 и 1 < п < р, р - простое, а 5 = (п, р — 1).

В работе А. А. Карацубы5 1967 года было доказано несколько оценок полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм, в том числе такая оценка для двучленов:

|5(/,р)| =

гит

< (п - 1)1/4р3/4,

где /(х) = ах + Ьхп - многочлен с целыми коэффициентами, у которого (а, р) = (Ь, р) = 1 и 1 < п < р, р - простое.

В первой главе данной диссертации получены аналоги результатов Н. М. Акулиничева и А. А. Карацубы для многочленов более общего вида.

Обратимся теперь к другому типу рациональных тригонометрических сумм, а именно, к суммам с рекуррентно заданной последовательностью в числителе, то есть

где (хп) - последовательность целых чисел, заданная целыми значениями начальных членов х1,...,хк и рекуррентным соотношением хп+к =

ак^1хп+к_1 -----V а0хп с целыми коэффициентами ак^,..., а0, а q и ы -

натуральные числа.

Одним из первых такими оценками стал заниматься Постников А. Г.6 Оценки сумм этого типа можно найти также в работах Бояринова Р. Н.7 и Чубарикова В. Н.8, Минеева М. П.9

4 Акулиничев Н. М. Оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида//Доклады АН СССР. 1965. Т. 161. N4. С. 743-745.

5 Карацуба А. А, Об оценках полных тригонометрических сумм // Математические заметки. 1967. Т. 1. N2. С. 199-208.

6 Постников А. Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме //

Доклады АН. 1960. Т. 133. N6. С. 1298-1299.

В монографии Н. М. Коробова10 приводятся оценки таких сумм в общем случае, однако, в этом виде оценки получаются достаточно грубыми.

В частных случаях, когда (хп) - показательная функция от п (или, что то же, рекуррентно заданная последовательность первого порядка), указанные оценки можно улучшить. Эти улучшенные (или уточненные) оценки для показательной функции и для суммы показательной и линейной функций можно найти, например, в той же монографии Н. М. Коробова", а также в работах С. В. Конягина и И. Е. Шпарлинского12.

Отдельно отметим следующий «статистический» результат Бояринова Р. Н. и Чубарикова В. Н. о рациональных тригонометрических суммах по числам Фибоначчи.

Теорема13: Пусть

.afji

где условиями /0 = 1,/i = 2,/п+1 = /„ + /п_г задаются числа Фибоначчи,

Nm(X) = |{а: 0 < а < т - 1, |Sm(h, а)| < у/Щ\,

причем т -» +оо и h как функция от т удовлетворяет условиям h = h(m) -* +00 и h < ^ loga m, где а = Тогда справедливо соотношение

Hm NmW - i _ е-А

luI1m->+co _ — 1 e .

7 Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностями // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 2003. N2. С. 57-58.

8 Бояринов Р. Я, Чубариков В. Н. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи //Доклады АН. 2001. Т. 379. N1. С. 9-11.

5 Мшеев М. П. Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями //Успехи математических наук. 1959. Т. 14. В. 3. С. 169-171.

10 Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. Москва: Наука, 1989. С. 70-78.

11 Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. Москва: Наука, 1989. С. 70-78.

12 Konyagin S. V., Shparlinski I. Character sums with exponential functions and their applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

13 Бояринов P. H, Чубариков В. H. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи //Доклады АН. 2001. Т. 379. N1. С. 9-11.

Во второй главе данной диссертации в специальном случае доказывается верхняя оценка для среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи.

Наконец, отметим, что большая часть верхних оценок рациональных тригонометрических сумм имеют арифметические приложения.

Во-первых, это оценки для количества решений сравнения (в нашем случае -полиномиального) по простому модулю р. Подобные взаимосвязи хорошо описаны, например, в книге 3. И. Боревича и И. Р. Шафаревича14, а также в работе Н. М. Акулиничева15. В третьей главе этой диссертации приводятся соответствующие теоремы для многочленов из теорем первой главы.

Во-вторых, рациональные тригонометрические суммы устроены таким образом, что хорошо «улавливают» арифметические свойства функции в показателе. Поэтому они могут быть полезны и в других задачах, в том числе в задачах аддитивной теории чисел.

В 1934 году Н. П. Романов16 получил теорему о положительной плотности (в смысле плотности по Шнирельману) суммы множества простых чисел и множества степеней фиксированного натурального числа, большего единицы. Позже, в 1951 году П. Эрдеш17 доказал аналог теоремы Романова, заменив степень фиксированного натурального на значение фиксированного многочлена с целыми коэффициентами от степени фиксированного натурального. В. Н. Чубариковым была поставлена задача получения аналога теоремы Романова для чисел Фибоначчи. В своей работе К. Ли18 приводит доказательство этого аналога, опираясь на результаты Шинцеля19 и Зомера20.

14 Борееич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. Москва: Наука, 1985. С. 16-25.

15 Акулиничев Н. М. Оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида // Доклады АН СССР. 1965. Т. 161. N4. С. 743-745.

18 Романов Я. Я Uber einige Satze der additiven Zahlentheorie // Mathematische Annalen. 1934. 109. P. 668-678.

17 Erdos P. On some problems of Bellman and a theorem of Romanoff// Journal of Chinese Mathematical Society. 1951. 1.

18 Lee K. S. Enoch. On the sum of a prime and a Fibonacci number // International Journal of Number Theory, 2010, Vol. 6, N 7, pp. 1-8.

19 Schinzel A. Special Lucas Sequences, Including the Fibonacci Sequence, Modulo a prime // Baker A., Bollobas В., Hajnal A. (Eds.) A tribute of Paul Erdos. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. P. 349-357.

В опубликованной совсем недавно работе А. Дубицкас21 обобщает результат К. Ли.

В третьей главе диссертации приводится новое доказательство аналога теоремы Романова для обобщенных чисел Фибоначчи.

Цель работы

Целью работы является получение новых верхних оценок модуля полной рациональной полиномиальной тригонометрической суммы в специальных случаях, верхней оценки среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи в специальном случае, оценки количества решений некоторых полиномиальных сравнений по простому модулю и решение одной аддитивной задачи, связанной с обобщенной последовательностью Фибоначчи.

Методы исследования

В работе используются методы элементарной и аналитической теории чисел.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области аналитической теории чисел.

Научная новизна

Диссертация содержит следующие новые результаты:

А) в специальных случаях получены верхние оценки модуля полной рациональной полиномиальной тригонометрической суммы

№.¡01 =

я-.-"?

20 Somer L. Distribution of Residues of Certain Second-Order Linear Recurrences Modulo p // Berum G. E., Philippou A. N., Horadam A. F. (Eds.) Applications of Fibonacci Numbers. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990. Vol. 3. P. 311-324.

21 Dubickas A. Sums of Primes and Quadratic Linear Recurrence Sequences // Acta Mathematica Sinica, English Series, Dec., 2013, Vol. 29, N 12, pp. 2251-2260.

где f(x) = а^х + агхг + — + апхп - многочлен с целыми коэффициентами, а р - простое число, не делящее ап;

Б) в специальном случае получена верхняя оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи

где (С„) - обобщенная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу:

Сп+2 = Сп+1 + £?„ при п > 1, причем С1( Сг е Ш, а б. и и - натуральные числа;

В) получены оценки для количества решений некоторых полиномиальных сравнений по простому модулю и альтернативное доказательство одного аддитивного результата, связанного с обобщенной последовательностью Фибоначчи.

Апробация результатов

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры математических и компьютерных методов анализа МГУ «Аналитическая теория чисел» под руководством проф. В. Н. Чубарикова и проф. Г. И. Архипова в 2012-2013 гг.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

11-я Международная научная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (СГУ имени Н. Г. Чернышевского, Саратов, 9-14 сентября 2013 г.);

Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Астана, 10-12 апреля 2009 г.).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.

Стру1сгура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии (28 наименований). Общий объем диссертации составляет 44 страницы.

Первая глава «Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм» состоит из трех параграфов. В первом параграфе доказываются следующие теоремы:

Теорема 1: Имеет место оценка

где р > 3 - простое число, т, п,а,Ь- натуральные числа, 2 < л < р - 1,т\п, т<п, (а,р) = (Ь,р) = 1.

Теорема 2: Справедлива оценка

где р > 3 - простое число, /(х) = а^х + а2х2 + — + акхк + апхп -многочлен с целыми коэффициентами, 1 < к < п < р - 1, (/с + 1)|п, (а1(р) = (а2,р) = - = (ак,р) = (а^р) = 1.

Во втором параграфе доказываются следующие теоремы:

Теорема 3: Имеет место оценка

где р> 7 - простое число, р = 3(mod 4), a,b,n - натуральные числа, 3 < п < р - 1, (а,р) = (b,p) = 1, а 5 = (п - 1,р).

Содержание главы 1

Теорема 4: Справедлива оценка

где р > 3 - простое число, f(x) = агх + а2х2 + ••• + акхк и д(х) = ЬгхПг + —I- - такие многочлены с целыми коэффициентами, что р - 1 > Пу > к и (р - 1 ,пг,к) = 1 при всех 1 <,г <t, (ак,р) = 1, а 8Г = (р - 1,пг) при всех 1 < г <

В третьем параграфе доказывается Теорема 5: Имеет место оценка

где р > 3 - простое число, а,п - натуральные числа, причем - нечетное целое и (а,р) = 1.

Во второй главе «Оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи» исследуется величина

где (Сп) - обобщенная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу:

и - натуральное число, <2 - бесквадратное (не делящееся ни какой квадрат простого) натуральное число, взаимно простое с числами С2 и (С^ + С1С2—й22. Получена следующая

Теорема 6. Справедлива оценка

Содержание главы 2

вп+2 — Сл+1 + бл при п > 1, причем С1( б2 6 М,

{А{й,и)УП <(В(с11и))1,\

где B(d, и) при и <Т' задается таким образом: B(d,u) = ■

( Зи-2, если и < Vt + 1

_! 3 7u2t 4, если Vt + 1 < и < t*

1 з

. 14u2t 8,еслиt4 <и<Т'

Если же и > 7", то В (с*, и) = 56и2£~в. Здесь

С = тт{т:г >

7" = тт{Т: Т > 1, Сп+Х = Сп(тос1 с1) V«},

а - обычная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу: = = 1 и = + прип > 1.

Содержание главы 3

Третья глава «Арифметические приложения» содержит два параграфа.

В первом приводятся доказываемые с помощью классического приема оценки количества решений полиномиальных сравнений по простому модулю (теоремы 7-11), являющиеся следствиями теорем, полученных в первой главе.

Во втором параграфе приводится альтернативное доказательство следующего аналога теоремы Романова (этот результат обобщает теорему в работе К. Ли22, но является частным случаем теоремы из работы А. Дубицкаса23, вышедшей в одно время с работой автора):

Теорема. Справедливо соотношение

Птж_+00-сагс1{пш.п < х,п = р + Ст} > 0,

то есть множество натуральных чисел, представимых в виде суммы простого и обобщенного числа Фибоначчи, имеет положительную плотность (в смысле плотности по Шнирельману).

21 Lee К. S. Enoch. On the sum of a prime and a Fibonacci number // International Journal of Number Theory, 2010, Vol. 6, N 7, pp. 1-8.

M Dubickas A. Sums of Primes and Quadratic Linear Recurrence Sequences // Acta Mathematica Sinica, English Series, Dec., 2013, Vol. 29, N 12, pp. 2251-2260.

Работы автора по теме диссертации

[1] Васильев А. Н. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм с простым знаменателем, Вестник МГУ, Сер. 1, Математика. Механика, 2014, №2, с. 56-60.

[2] Васильев А. Н. Об арифметических свойствах обобщенной последовательности Фибоначчи и их следствиях, Известия СГУ, Нов. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013, Т. 13, вып. 4, ч. 2, с. 34-41.

[3] Васильев А. Н. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм, сборник докладов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Астана, 10-12 апреля 2009 г.), с. 19-20.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (0 0 экз. Заказ Кг 2./

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Васильев, Антон Николаевич, Москва

ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА»

На правах рукописи

04201458478

ВАСИЛЬЕВ АНТОН НИКОЛАЕВИЧ

ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: Д. Ф.-М. Н., ПРОФЕССОР ЧУБАРИКОВ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ

МОСКВА-2013

Оглавление

Введение.................................................................................................................................................з

Глава 1. Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм..........................................................................................................12

Глава 2. Оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи...........................25

Глава 3. Арифметические приложения................................................................................зз

Заключение..........................................................................................................................................41

Список литературы.........................................................................................................................43

Введение

Актуальность темы

Тригонометрической суммой называется сумма вида

где \Х\ - количество элементов X.

где функция, ад- натуральное число.

Тригонометрические суммы впервые появились в работах К. Гаусса. В дальнейшем ими занимались Г. Вейль, Г. Харди и Д. Литтлвуд, Л. Морделл и многие другие.

После работ И. М. Виноградова [6], посвященных решению проблем Варинга и Гольдбаха, в которых был значительно развит и усовершенствован аппарат тригонометрических сумм, интерес к этой тематике многократно возрос. В частности, появилось много работ и о рациональных тригонометрических суммах.

где 0 < 6 < 1 - понижающий множитель.

Рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида

Полной рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида

Х=1

где /: {1,2,..., с/} % - функция.

Хуа Ло Кен доказал следующий результат [17, 20]:

для любого натурального ц и любого многочлена /(х) = агх + а2х2 + —Ь апхп, у которого (а1( а2,..., сц,^) = 1, причем постоянная в знаке О зависит только от п.

В 1948 году А. Вейль [25] получил оценку для сумм с простым знаменателем, в этом специальном случае значительно улучшающую оценку Хуа Ло Кена. Он доказал, что

для любого простого р и любого многочлена f{x) = агх + а2х2 + —Ь апхп, у которого (ап,р) = 1.

Этот результат, простой и удобный в применении, не дает, тем не менее,

Поэтому было бы полезным получить оценки в случае «больших» п. Однако, как правило, получить оценку для общего случая «больших» п не удается, а улучшение оценки А. Вейля производится только на некоторых классах многочленов.

Выделим две такие работы.

В 1965 году Н. М. Акулиничев доказал [1] следующую оценку для двучленов:

нетривиальной оценки в большом числе случаев, а именно, при п > д/р + 1.

где f{x) = ах + Ъхп - многочлен с целыми коэффициентами, у которого (а, р) = (Ь, р) = 1 и 1 < п < р, р - простое, а 3 = (п,р — 1).

В работе А. А. Карацубы 1967 года [10] было доказано несколько оценок полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм, в том числе такая оценка для двучленов:

т.р)\ = \i:vx=1e2nifJ?\ < (n- i)i/4p3/4,

где f{x) = ах + Ьхп - многочлен с целыми коэффициентами, у которого (а, р) = (Ь, р) = 1 и 1 < п < р, р - простое.

S((xn),q,u) = £n=ie

2ni—

где (хп) - последовательность целых чисел, заданная целыми значениями начальных членов х1,...,х]{ и рекуррентным соотношением -го порядка хп+к = ak-ixn+k-i + —I" аохп с целыми коэффициентами 1,..., а0, a q и и - натуральные числа.

Одним из первых такими оценками стал заниматься Постников А. Г. [14]. Оценки сумм этого типа можно найти также в работах Бояринова Р. Н. и Чубарикова В. Н. [4, 5], Минеева М. П. [13].

В монографии H. М. Коробова [И] приводятся оценки таких сумм в общем случае, однако, в этом виде оценки получаются достаточно грубыми.

В частных случаях, когда (хп) - показательная функция от п (или, что то же, рекуррентно заданная последовательность первого порядка), указанные оценки можно улучшить. Эти улучшенные (или уточненные) оценки для показательной функции и для суммы показательной и линейной функций можно найти, например, в той же монографии H. М. Коробова [11], а также в работах C.B. Конягина и И. Е. Шпарлинского [21].

Теорема [5] : Пусть

где условиями /0 = = 2,/п+1 = ^ + /п_! задаются числа Фибоначчи, ^ж(Я) = \{а: 0 < а < т - 1, |5т(Л, а)| < л/я7Г}|,

причем гп +оо и И. как функция от т удовлетворяет условиям к = /1(т) +оо и к < g(X т, где а = • Тогда справедливо соотношение

Во-первых, это оценки для количества решений сравнения (в нашем случае -полиномиального) по простому модулю р. Подобные взаимосвязи хорошо описаны, например, в книге 3. И. Боревича и И. Р. Шафаревича [3], а также в работе Н. М. Акулиничева [1]. В третьей главе этой диссертации приводятся соответствующие теоремы для многочленов из теорем первой главы.

В 1934 году Н. П. Романов [16] получил теорему о положительной плотности (в смысле плотности по Шнирельману) суммы множества простых чисел и множества степеней фиксированного натурального числа, большего единицы. Позже, в 1951 году П. Эрдеш доказал [19] аналог теоремы Романова, заменив степень фиксированного натурального на значение фиксированного многочлена с целыми коэффициентами от степени фиксированного натурального.

В. Н. Чубариковым была поставлена задача получения аналога теоремы Романова для чисел Фибоначчи. В своей работе К. Ли [22] приводит доказательство этого аналога, опираясь на результаты Шинцеля [23] и Зомера [24]. В опубликованной совсем недавно работе А. Дубицкас [18] обобщает результат К. Ли.

В работе используются методы элементарной и аналитической теории чисел.

Диссертация содержит следующие новые результаты:

где f{x) = агх + а2х2 + —I- апхп - многочлен с целыми коэффициентами, а р - простое число, не делящее ап;

Цель работы

Методы исследования

Теоретическая и практическая ценность работы

Научная новизна

9-TTI

\Sif,p)\= 2=1 е р

где (Сп) - обобщенная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу:

^п+2 = Сп+1 + при п > 1, причем в2 е М, а с1 и и - натуральные числа;

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Астана, 10-12 апреля 2009 г.).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце введения. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации

Содержание главы 1

Теорема 1: Имеет место оценка

где р > 3 - простое число, т, п,а,Ъ - натуральные числа, 2 < п < р — 1,т\п, т < п, (а, р) = (Ь, р) = 1.

Теорема 2: Справедлива оценка

где р > 3 - простое число, /(х) = а^х + а2х2 Н-----Н а^х^ + апхп -

многочлен с целыми коэффициентами, 1 < к < п < р — 1, (/с + 1)|п, (а1»р) = (а2,р) = ••• = (аЛ,р) = (ап,р) = 1.

Во втором параграфе доказываются следующие теоремы:

Теорема 3: Имеет место оценка

где р> 7 - простое число, p = 3(mod4), a,b,n - натуральные числа,

где р > 3 - простое число, /(х) = а-^ + а2х2 + —Ь акхк и = Ьхл:"1 + —I- btxUt - такие многочлены с целыми коэффициентами, что р — 1 > пг > к и (р — 1, Пу, к) = 1 при всех 1 < г < t, (ак,р) = 1, a 5r = (р — 1,пг) при всех 1 < г < t.

3 < я < р — 1, (а, р) = (Ь, р) = 1, a 5 = (п — 1, р).

Теорема 4: Справедлива оценка

В третьем параграфе доказывается

Теорема 5: Имеет место оценка

- -ахп v-iP ¿Til-

<-— р,

2^2р

где р > 3 - простое число, а,п - натуральные числа, причем ^ - нечетное целое и (а, р) = 1.

Содержание главы 2

(A(d,u)f2 =

r , х1/2

где (Gn) - обобщенная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу:

Gn+2 = Gn+1 + Gn при n > 1, причем Glf G2 e

и - натуральное число, d - бесквадратное (не делящееся ни какой квадрат простого) натуральное число, взаимно простое с числами Glf G2 и (G2 + G1G2—G22. Получена следующая

Теорема 6. Справедлива оценка

[A{d,и))1'2 < (B(d,u)f/2, где B(d, и) при и <Т' задается таким образом:

f Зи — 2, если u < Vt + 1

) -1 I

B(d,u) = < 7u2t 4, если yft + 1 < и < t*

_1 3

V lAu2t 8, если t4 < и < Т'

Если же и > Т', то и) = 56u2t s. Здесь

t = min{т. т > 1, d\FT], Т = min{Т: Т > 1, Gn+T = Gn(mod d) Vn},

а - обычная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу: = Рг = 1 и Рп+2 = Рп+1 + при п > 1.

Содержание главы 3

Третья глава «Арифметические приложения» содержит два параграфа.

Во втором параграфе приводится альтернативное доказательство следующего аналога теоремы Романова (этот результат обобщает теорему в работе К. Ли [22], но является частным случаем теоремы из работы А. Дубицкаса [18], вышедшей в одно время с работой автора):

Теорема. Справедливо соотношение

Ит-г^+до -сагс1{п: п < х,п = р + Ст] > О,

Работы автора по теме диссертации

Глава 1. Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм

1.1

Прежде всего, отметим два классических соотношения при работе с рациональными тригонометрическими суммами, которые мы в дальнейшем будем часто использовать без объяснения.

А) Значение «разрывного множителя»:

уя 2nij- _ если а = 0 (mod q)

X=1 lo, если а Ф О (mod q)'

Б) Преобразование квадрата модуля суммы:

\Zxex е™™? =

В этой главе мы будем рассматривать полные рациональные полиномиальные тригонометрические суммы с простым знаменателем

S = S(f,p) = rx=1e2m Р ,

где f(x) = агх + а2х2 + —I- апхп - многочлен с целыми коэффициентами, у которого р — 1>п>2и (an,p) = 1.

Такие суммы можно оценить тривиально:

\S\<P,

но тривиальные оценки не имеют практической ценности в приложениях. Поэтому встает задача нетривиальной оценки S, то есть оценки вида

\S\ < PS,

где S - понижающий множитель, 0 < S < 1.

Самой известной нетривиальной оценкой полиномиальной суммы является классический результат Вейля [25]:

|S| < (n - 1)7?.

p n-l этой оценке о = -7=-.

В случае, когда на п, коэффициенты fix) (а, возможно, и на р) наложены некоторые дополнительные условия, то можно получить оценки, которые будут лучше оценки Вейля.

Это сделано, например, Карацубой A.A. [10].

Теорема (Карацуба А. А.): Пусть

Следующие две теоремы получены схожим образом. В них содержатся оценки сумм для других классов многочленов.

Теорема 1: Имеет место оценка

где р > 3 - простое число, т, п,а,Ъ - натуральные числа, 2 < п < р — 1,т\п, т < п, (а, р) = (Ь,р) = 1.

Доказательство: Обозначим (т,р — 1) = I. Имеем

fix) = ах + Ьхп,

где (а, р) = (Ь, р) = 1 и 2 < п < р — 1. Тогда имеем:

Шр)\ <

,atmxm+btnxn

—- <

р-1-

_ I p p =

(p_l)^tl,i2 = l^,*l.*2.yi.y2=le P p-1

_ p2in _ ~ (p-i) ~P-i'

где N - число решений системы сравнений

+ yf1 = x2m + у2т (:mod р) ■ х* + у" = х2 + Уг {mod р) .

1 <*1,У1,х2,у2 ^Р

Пусть 71 = km. Тогда N = + N2, где - число решений системы

' х? = х? (mod р) ' УГ = y2m Р) >

a yV2 - число решений системы

х™ Ф х™ (mod р) х? + у™ = х? + yf (mod р) xl + yf = х^ + у£ (mod р) ' 1 < *1,У1,*2,У2 ^ Р

Заметим, что

^ = (1 + (р-1)/)2.

Действительно, зафиксируем х1. Если х1 = р, то х2 = р. Если же 1 < < р — 1, то х2 может принимать ровно / различных значений.

Аналогично с ух и у2.

Оценивая N2, фиксируем хх,х2 с условием х™ Ф х™ (mod р). Таких пар, как мы показали, ровно (р2 — (1 + (р — 1)0). Тогда, если

х™ = А (mod р), xf = В (mod р),АФ В (mod р),

то у™ = А — В + у™ (mod р) и второе уравнение системы переписывается в виде

(А — В + у?)к - у?к + Вк - Ак = 0 (mod р).

Имеем

N2<(k- 1)12{р2 - (1 + (р - 1)0).

Действительно, (А — В + yfl)fe — у™к + Вк — Ак есть многочлен степени (/с — 1) от у™. По известной теореме Лагранжа такой многочлен имеет не более (к — 1) корней в поле вычетов Далее, для каждого корня этого многочлена имеется не более I значений для yi и не более I значений для у2.

Получаем

N = Nt+ N2<

< (1 + (р - I)/)2 + (к - 1 )12(р2 - (1 + (р - 1)Z)) < кр{р - 1 )12. Отсюда

P4N Р4 ^kl3p3(p-l) р4

5 - 7-ТТ--7 - —?----7 - (kl ~ >

(р - 1) р - 1 (р - 1) р - 1

что и требовалось.

Теорема 2: Справедлива оценка

,/(*)! 1

„р 2ni——\ fk\n\2k + 2

2=1е р | ~ Ы р'

где р > 3 - простое число, /(х) = агх + а2х2 + —Ь акхк + апхп -многочлен с целыми коэффициентами, 1 < к < п < р — 1, (к + 1)|п, Oi ,Р) = («2 ,Р) = = (а-к.Р) = On>P) = 1.

Доказательство: С помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям из доказательства теоремы 1, получаем

\S\

fc+lw „2к+2

2k+2 ^ v N v

p-1 p-1 ' где N - число решений системы сравнений

гхг+х2 + ••• + хк+1 = уг+у2 + ••• + Ук+i (mod р) xl + х\ + ••• + xl+1 = у\ + у2 + ••• + yl+1 0mod р)

х\ + х\ + - + = у^ + у2 + - + yf+1 (mod р)-+ = УГ + у2п + - + у£+1 (mod р)

1 < хъх2, ...,хк+ъуъу2, ...,ук+1 < р

Пусть

^(г1,г2,...1г1:) = г{ +г}2+ ••• + г]1.

- у'-я степенная сумма, а

- у-ый элементарный симметрический многочлен. Используем формулы Ньютона [12, с. 225]:

Ру - + Р;_252 - - + (-гу^Р^^ + (-1Уу5) = О при 1 < у < Ь и

Ру - Ру-^! + Ру_252 - - + + (-1)вРу_Л = О

при ) > t.

Зафиксируем у!,у2, — ,ук+1 (таких наборов р*0"1"1 штук).

Выражаем через У1,У2, — ,Ук+\ элементарные симметрические многочлены от хъ х2, ...,хк+1 (они определяются однозначно):

51(х1,х2, ...,хк+1) = х1 + х2 + —(- хк+1, х2> ■■•>хк+1) — Х1 — хк + I" х2 ••• хк+1 •

Нетрудно увидеть, что при (к + 1)| п выражение

Уг + У2 + ��