Квадратичные числа Пизо и одномерные квазипериодические разбиения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Мануйлов Николай Николаевич

Квадратичные числа Пизо и одномерные квазипериодические разбиения

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория

чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико -математических наук

Владимир - 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры Владимирского государственного педагогического университета

Научный руководитель — доктор физико математических

паук, профессор Журавлев В.Г.

Официальные оппоненты, доктор физико-математических

наук, профессор Добровольский Н.М.

доктор физико-магематических наук, профессор Дубровин Н.И.

Ведущая организация - Санкт-Петербургское отделение

математического института РАН им. В.А. Стеклова

Защита диссертации состоится в ¿Ь. часов-£/.06.2005 г на заседании диссертационного совета К 212 024.01 во Владимирском государственном педаг01 ическом университете по адресу 600024. Владимир, проспект Строителей. 11, ауд 236

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирскою государ ственного педагох ического университета.

Автореферат разослан мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К.212 024.01 во Владимирском государственном педагогическом университете, доктор физико-математических паук, профессор

Степанов С.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В теории чисел наряду с изучением периодических структур (прогрессий, решеток, периодических разбиений) начинается активное исследование ненереодических структур Существует несколько естественных условий, обобщающих требование периодичности. Одно из них квазипериодичность.

В одномерном случае простейшим примером квазипериодичности служат разбиения Фибоначчи. Разбиения Фибоначчи были впервые введены N deBrujm1 о и являются геометрическим обобщением последовательности Фибоначчи Разбиения Фибоначчи можно определить с помощью метода инфляции, проектирования ючек решетки 1? па прямую у = где т - золотое сечение. В Г. Журавлевым2 был предложен новый подход к определению разбиений Фибоначчи - непрерывный ветвящийся S-процесс, им же была сформулирована задача получения аналогичных результатов для других иррациональностей.

Использование разбиений при изучении иррационального поворота окружности х > х -J- a mod 1 берет свое начало в работах G Rauzy Р Arnoux и связано с понятием кодирующей последовательности поворота В частности, ими доказано, что кодирующая последовательность для полуинтервалов [0, ] — а) и |1 — а. 1) является последовательностью Штурма

Изучение производных поворота окружности - отображений первого возвращения, было начато G Rauzy и впоследствии продолжено Р Arnoux V Berthe. S. Ferenczi, S Ito. A Siegel 3 и другими математиками Этими авторами была замечена связь между производными поворота окружности и задачей распределения дробных долей Ими доказано, что множество, полученное с помощью производной иррационального поворота окружности, является множеством ограниченного остатка тогда и только тогда, когда производная есть снова поворот окружности Однако авторам не удалось вычислить производные поворота окружности в явном виде и как следствие, получить приложения для оценки остаточного члена в задаче о распределении дробных долей.

Г Вейнем была доказана асимптотическая формула распределения дробных долей с ociai очным членом гдг o(N)

Многочисленные результаты о распределении дробных долей различных функций получены в монографии II M Коробова4, работах Г.И Архипова, А А

1 deBrujm NG Sequences of zéros and ones generated by spécial production rules // Коп N'pderl Akad Wetensch. Proc -1981 - Ser A -V 84 -P 38-52

2ZhurHvJcv V G One-dimensional Fibonaccx tihngs and derivatives of two colour rotation of a circle / / MaxPlanck Institut fur Mathematik Preprmt Sériés -2004 -V 59 P 1-16 3FoggNP Substitutions

ш Dinamics, Anthmetics and Combinatorics -Spnngfr -2002 402 p 4Коробов H M Введение в теорию тригонометрических "yrtrrîi Mir ÎTiyini ЛАП »?1fl

} РОС НАЦИОНАЛЬНА. I БИБЛИОТЕКА

3 ! Sbgzfosi

Карацубы5, В.Н Чубарикова6 и А.И. Павлова7

Извссшо. что оценку нельзя улучшить, не делая никаких дополнительных предположений об иррациональности а и полуинтервале Для квадратичных иррациональностей А Островским было получено неравенство г v с r(a) log N В 1921 году Э. Гекке8 для произвольной иррациональности а > 0 ввел ктасс интервалов ограниченного остатка на которых существует асимптотическая формула с остаточным членом 0(1) Согласно ему, если |/| G аЪ f Z, то ¡гдг| < \h\, где h такое, что |/| — ha G Z. В дальнейшем X. Кестен9 доказал необходимость этого условия.

Оценка 9. Гекке не учитывает структуру полуинтервала и арифметику угла поворота а В частности, константа в оценке Гекке стремится к бесконечности при уменьшении длины по [уинтервала

Одномерные разбиения получили применение при изучении обобщений сдвига IT-преобразований (Interval Translating mapping) ранга два В работах И П Корнфельда1" и С. Трубецкого11 дана классификация IT-преобразований на конечный и бесконечный тип Там же доказано что любое ГГ-преобразование ранга два имеет конечный тип. i е его ajтрактор представляет собой объединение конечного числа интервалов В то же время эти авторы не рассматривают какие-либо конкретные примеры IT-преобразований.

Целью работы является изучение одномерных обобщенных разбиений Фибоначчи Обобщение непрерывного В- процесса на произвольные иррациональности Приложение полученных для разбиений результатов к задачам теории чисел о распределении дробных долей и исследованию IT-преобразований ранга два

Общая методика исследования. В диссертации испольдуются следующие методы, метод подстановок и метод непрерывного jS-процесса использованы для определения обобщенных разбиений Фибоначчи' для изучения обобщенных разбиений Фибоначчи, где иррациональность квадратичное число Пизо, используется аппарат теории цепных дробей' метод перенормировок по-

5Карап\ба А А Дробные доли специального вида функций // Ичк РАН, сер матсм -1995 -I 59 -С 61-88

"Караиуба А А , Архипов Г И , Чубариков В Н Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных // Мат заче|ки 1975 -Т 25 С 3-14

7Пав тон А И Мероморфное про щпжение ри i,ob Дирихле, связанное с распределением чисел по модулю 1 // Труды мат института им В А Отеклона 1997 -Т 218 -С 343-353

ЪЕ Hecke Ebei analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod Ems // Math Sem Hamburg Cnrv -1921 -V 1 -P. 54-76

9 Я Kesten On a conjecture of Erdos and S/пч? related to uniform distribution mod 1 '' Acta Arith -1966 -V 12 P 193-212

u'Bosbermtzan M and Kornfeld 1 Interval translation mappings // Erg Th Dyn Sys -1993 -P 821-831

"H Bruin and S JYoubetzkoy The Gaubs map on л <la6s of interval translation mappings // Israel I Mnth 2003 V 137 -P 125 148

следовательноотей на единичном полуинтервале и метод композиций из точных формул для числа попаданий элементов последовательности дробных долей в полуинтервал позволяет получить новые оценки остаточного члена в формуле распределения дробных долей для квадратичных чисел Пизо; метод динамических графов используется для изучения аттрактора двухцветного поворота окружности - одного из вариантов IT-преобразования ранга два.

Научная новизна. В диссертации с помощью метода подстановок, обобщающего метод инфляции, и ¿¿-процесса рассмотрены обобщенные разбиения Фибоначчи для произвольного иррационального а > 0. Найдены основные инварианты обобщенных разбиений Фибоначчи длины и количества полуинтервалов. В случае, когда а - квадратичное число Пизо тд = \д\ (<7)], д £ N, инварианты разбиения вычислены в явном виде Такие разбиения получили название разбиений Фибоначчи порядка д.

В диссертации получено усиление классической теоремы Э Гекке об остаточном члене Оценки остаточного члена в формуле распределения дробных долей для специального тина полуинтервалов ограниченного остатка из разбиения Фибоначчи порядка g учитывают арифметику чисел тд и структуру самого полуинтервала. Особеннос1ь этих оценок состоит в том, что границы не стремятся к бесконечности при уменьшении длины интервала Для произвольного полуинтервала ограниченного остатка оценка остаточного члена складывается из оценок остаточного члена на составляющих его полунтервалах ограниченною остатка из разбиений Фибоначчи порядка д.

В качестве примера IT-преобразования в диссертации рассмотрен двухцветный сдвиг

х I—* х + дтд mod 1. если х € х I—► х + тд mod 1, если х £ 1~,

где If и 1~ - полуинтервалы из подразбиения единичного полуинтервала /о = If © V- При этом If = [0, е) и 1~ — [е, 1), где е - непрерывный параметр, принимающий произвольное значение из единичного полуинтервала Iq.

Для двухцветного сдвига в явном виде вычислена длина аттрактора и частота попадания орбиты двухцветного сдвига в полуинтервал If. Для параметра е найдены полуинтервалы когда частота принимает постоянное значение

Теоретическая и практическая значимость. Полупенные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы в теории чисел, при изучении последовательности Фибоначчи и ее обобщений, а также в теории дискретных динамических систем подстановочного типа и в теории квазикристаллов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на V и VI международных конференциях «Алгебра и теория чисел. Современные про-

блемы и приложения.» (Тула, 2003 г, Саратов, 2004 г); на XXV конференции молодых учёных (МГУ, 2003 г), на V Всероссийской научно практической кон ференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Молодежь. Образование. Экономика.» (Ярославль, 2004 г.); па научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (2002 - 2005 г г., секция «Алгебра и теория чисел»), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по «Теории чисел» ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Г. Журавлева (2002 - 2005 г.г.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [9] В статьях [4], [5], написанных в соавторстве, результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 13 параграфов, и списка литературы из 53 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 126 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность и указывается степень разработанности проблемы, формулируется цель исследования и приводятся основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена изучению свойств квазипериодических разбиений единичного полуинтервала /о = [0,1).

В первом параграфе вводятся в рассмотрение обобщенные разбиения Фибоначчи ТИа(т) для иррациональности о. > 0. Обобщенные разбиения Фибоначчи представляют собой объединение непересекающихся полуинтервалов двух видов Ьт{а) - длинных с длиной С"1 (а) и коротких 5*"(а) с длиной йт(а:), и задаются по индукции с помощью непрерывного /?-процесса Определим В-процесс как откладывание от левого конца всех полуинтервалов ТИа(т) полуинтервала меньшей длины Тогда

ТгЦтп + 1) = В(ТИа(т)), т - 0.1,2,.

где начальное разбиение ТИа(0) представляет собой

Тг1а(0) = [0, {а}) Ф [{а}, 1).

Здесь © некоммутативная операция прикладывания полуинтервалов друг к другу и {•} — дробная часть числа.

В дополнение к разбиениям Тг1а(т) по индукции определяются разбиения Гг/+(т + 1) — В(Тг1^{т)) из начального разбиения

Т»£(0) = [0,1-{а}) ®[1-{«},!).

В этом же параграфе изучена симметрия между разбиениями Тг1а(т) и Tilf(m) — Тй\-а{т). В предложении 1 3 доказано, что разбиение Тг1^{т) получается из разбиения Tila(m) с помощью перекладывания двух крайних полуинтервалов.

Во втором параграфе вводятся «цветные» обобщенные разбиения Фибоначчи CTila(m). Разбиения CTila(m) строятся по следующему правилу: если два крайних правых полуинтервала в Tila(m) имеют вид Lm(a) ф Sm(а), то Lm(a) — Gm(a) и Sm(a) = Ет(а), если же крайними полуинтервалами являются SraO) 9 Lm(a), то ¿""(а) = Gm(a) и Ьп{а) = Ет{а). Количества полуинтервалов Gm(a) и Ет(а) обозначим ijGm(a) и {jEw(a) соответственно. Ввод в рассмотрение разбиений CTila(m) обусловлен удобством их использования при изучении сдвигов на окружности единичной длины (главы 2 и 3) Разбиение CTil^(m) может быть получено из CTila(m) сменой местами двух крайних полуинтервалов.

В теореме 1 1 найдены длины полуинтервалов разбиения СТг1а(т) и разбиения CTilf(m)

дт(а) = {$Ет(а)}, ет(а) - 1 - {ЦС»}.

Третий параграф посвящен изучению обобщенных разбиений Фибоначчи для специального класса квадратичных чисел Пизо тд. являющихся корнями уравнений

х2 -дх- 1 -= 0. (1)

Такие тд являются единицами кольца целых чисел Z[r9] = Z + тдЪ поля Q(t9). Отметим также, что числа тд имеют разложение в цепную дробь вида тд = [д; (з)]. где в круглых скобках записан период разложения в цепную дробь Разбиения Тг1Гд(т) и Tilf(m) получили названия разбиений Фибоначчи порядка 9

В теореме 1.2 в явном виде вычислены длины полуинтервалов Ьт{тд) и Sm{rg).

Теорема 1.2. Длины коротких и длинных полуинтервалов в разбиениях TilT {m) и Tilf (m) вычисляются по формулам

Г{т9) = т-«т/®1+1>, sm{Tg) = T-aWel+Ч

если m = д — 1 mod д, и

tm(rg) = г;([т/з!+1)(гэ - (а + 1)), sm{Tg) -

если 77i = a mod q. Здесь а — 0,.... g — 2 и [•] - целая часть числа

Далее приводится второй способ построения разбиений Фибоначчи порядка д метод подстановок Метод подстановок близок к методам инфляции и дефляции, используемым для иррациональности Т]_ = Ц^ при построении по следовательности Штурма.

С помощью метода подстановок вычислены инварианты разбиения TilTg(m) - количества длинных и коротких полуинтервалов.

Теорема 1.6. Для количеств полуинтервалов *Ът{тд) и ¡J5т(т9) в разбиении TilTg{m) выполнены равенства

№т(тд) = ИSm(Tq) = /rm/sl + l

для m, = g — 1 mod g,

№т(тд) = f[m/guv №m(Tg) = /[m/gl^2

для m — г mod g. i =■ 0,. . g — 2, где /* числа Фибоначчи порядка g, вычисляемые по рекуррентным формулам

/n+2 = P/ti +-/„*, /1=1, /2=*. fc=l,2,...,5. (2)

Некоммутативным обобщением рекуррентной формулы (2) служит Теорема 1.5. Для разбиений ТИТ (т) и Тг1^(т) справедливы рекуррентные формулы

TilTg(m + 2<?) = г9_1фТг/тДш + © г;2Гг/тДт),

Я

Til+(m + 2g) = т;10 TiiT, (m + </) ф т^Гг^ (

1=1 я

у V ~ , - у

1 = 1

?де тд 1, тд 2 - коэффициент,ы сжатия полуинтервалов соответстующего разбиения.

Четвертый параграф посвящен изучению глобальных свойств обобщенных разбиений Фибоначчи СТг1а (то) и их связи с иррациональным поворотом окружности.

Вычислены координаты полуинтервалов (?т(а) и Ет(а) из обобщенного разбиения Фибоначчи СТг/а(то). Каждому полуинтервалу присвоен свой номер - глобальная координата к :

G?{a) =

т<>) =

{(SGm(a) - $Ет(а) - к)а]. {($Gm(a) - Jfe)«}). '{(Ют(а)-к)а}, {-ка}).

Теорема 1.8. Пусть CTila{m) и СТг1^(т) разбиения, порождаемые В-процессом, и пусть

S~ ■ х н-» S(j) - х-а mod 1 (3)

- отображение сдвига единичного полуинтервала /о- Тогда указанные разбиения связаны формулой

CTil+(m) - S~(CTila{m)).

Таким образом, действие сдвига (3) па разбиение СТИа(тп) эквивалентно перекладыванию двух крайних правых полуинтервалов из разбиения Этот факт является фундаментальным и используется в последующих главах при изучении иррационального сдвига окружности

Вторая глава диссертации посвящена применению обобщенных разбиений Фибоначчи для изучения иррациональных поворотов окружности и распределения дробных долей на единичном полуинтервале.

Введем на единичном полуинтервале градуировку из полуинтервалов

Grad - I0D hD ■ • О ImD Im+1 D ....

Отождествим полуинтервал Im С I0 с окружностью и рассмотрим последовательность ОгЬ(ац, (3, Im) - орбиту начальной точки oq € Im относительно сдвига на (3 > 0 :

ОгЪ(ай, /3,7+) : а, н—> al+1 = аг + ¡3 mod |7+|, если Im имеет вид = [а, Ь), а, b £ [0,1], и

О6(а0, /3,: а, i—> а1+1 = а, - ¡3 mod |7m|, если /т имеет вид 1~ — (а, Ь].

Рассмотрим полуинтервалы Im(a) — (^(а) Ф Ло"(а) Назовем /т(а) собственными полуинтервалами.

В диссертации рассмотрены орбшы

0+(а) = Orb(a,gm{a).I±(a)) - {а±(а,т,г)}^. (4)

если §£?т(а) > fEm(a).

0±(а) = 0г6(а,ет(а),7*(О)) _ {а>,т,г)}~0, (5)

если $Ет{а) > |Ст(а). Начальную точку а определим как правый конец полуинтервала для орбиты О^(а) и а = 1 для 0^(<у).

Определим производную с1кОд(а) как последовательность полученную огра ничением 0${а) на полуинтервал /¿Г (а).

Теорема 2 1 связывает орбиты (4), (5) и производные между собой

йтО%{а) = О*(а), если й<7"(а) > ЦЯ^а). <ГС£(а) - О* (а), если Ц<?т(а) < Й£т(а).

Во втором параграфе изучены орбиты О^Тд) и их производные на собственных полуинтервалах разбиения Фибоначчи порядка д. Доказано, что последовательности 0^(тд) обладают свойством самоподобия. Пусть

&(ОгЬ(а0, а, I*). 7) : {аг £ Ог6(а0, а, 7/) I—► (а, -+- 7) тос!

орбита полученная сдвигом всех точек ОгЬ(ао, а, I/) на 7. Справедлива

Теорема 2.2. Пусть к = 0.1.2,3,..., го = 0,____2д — 1 и а = та тос!

Тогда производные ¿р9к+т связывают последовательности 0^9+ггг(т9) и 0^(тд) следующими соотношениями:

ад—а2 ;=0

для ш = 0____,д- 1,

ад—а2

с12^т0^тд) = 01к+п(тд)= У ^©(ВД^^т;2)

для т — д,... ,2д — 1, где /¿о, гомот,етии с центром в 1.

В §2 гомотетии Ло- ^т и вычислены в явном виде

Третий и четвертый параграфы посвящены вычислению прямых Я^(а.г) и обратных Н^^а, г) перенормировок последовательностей О* (а). Прямые перенормировки представляют собой функцию для вычисления г-того возвращения точки из О^(а) в полуинтервал Обратные перенормировки связаны с

числом попаданий Z*(a,i) точек последовательности О^а) в полуинтервал

г^(а,1) = К%п(а,1) +1. (6)

Точные значения обратных перенормировок вычислены в четвертом параграфе

Для а = тд доказана теорема Теорема 2.5. Перенормировки Я^(т3,г) вычисляются по формуле

Rm(Tg>1) — (j[m}g\+2 f{m/g]+1

1

где m = a mod g, a = 0,... g — 1 и - рекуррентные последовательно-

сти (2). Числа R^(rg,0) вычисляются с помощью равенств

/С(г9,0) = , 2 - fHg]+v R-(rg, 0) - 0,

если d"'0$(Tg) = 0~(тд), и

R+(rg, 0) = 0, RJrg, 0) = f$gi+2 - ffm/g]+l,

если <ГС$(тд) = 01{тд).

Равенство (б) позволяет использовать обратные перенормировки для получения новых оценок остаточного члена rm в формуле распределения дробных долей на единичном полуинтервале

rm = Z+(rg,i) - г\Г^(тд)\.

Теорема 2.7. Пусть тд - квадратичное число Пизо (1) и Im(Tq) ~ собственный полуинтервал. Тогда для остаточного члена гт справедливы следующие неравенства:

-9 <гт< 3,

если т = 0, ,.,g — l mod 2g,

-g <rm<g + 3,

если m = g,..., 2g — 1 mod 2g.

Особенность этих оценок состоит в том, что границы не стремятся к бесконечности при уменьшении длины интервала. Отметим, что на языке разбиений изучение распределения дробных долей на произвольном интервале ограниченного остатка сводится к изучению их распределения на составляющих его интервалах разбиений Фибоначчи порядка д.

В третьей главе изучено действие двуцветного сдвига на единичном полуинтервале.

В диссертации рассматривается орбита ОгЪс{х) = {^(х)}^, порожденная начальной точкой х и двухцветным сдвигом Se = SE(g, 1) для иррациональ-ностей тд, где д — 2.3,.. Двухцветный сдвиг SE определим на единичном

полуинтервале следующим образом:

х I—> х f grg mod 1. если х G I*, а; |—► х + Tfl mod 1, если х € ,

хде и - полуинтервалы из подразбиения единичного полуинтервала 1q = IJQl~. При этом If — 0, е) и = fer, 1), где е - непрерывный параметр, принимающий произвольное значение из единичного полуинтервала 10. Заметим, что двухцветный сдвиг является IT-преобразованием ранга два Определим Ао — h и Ап — Se(A„_i). Множество

Ae = Ç]An

п

называется аттрактором двухцветного сдвига. Корнфельд показал, что всякое IT-преобразование ранга два имеет конечный тип, т.е его аттрактор представляет собой конечное объединение непересекающихся полуинтервалов

Изучение двухцветного сдвига St опирается на следующее разбиение единичного полуинтервала.

h = с? е с2° © ■ • • © с° © ■ • • © с™ е • ■ • ® с™ © • • •, (8)

где m — О mod 2g и С™ - открытые справа полуинтервалы, имеющие длину

(m/q-rl)

т9

Во втором параграфе с помощью динамических графов, впервые введенных В Г Журавлевым, доказано, что аттрактор Ае - инвариантное относительно действия двухцветного сдвига S£ (7) множество, представляет собой конечное объединение полуинтервалов из разбиения Фибоначчи CTilf т (га + g — 1) порядка д. В предложении 3.1 найдены явные формулы для длины аттрактора

= (9)

если с принадлежит С™ (8), где ? £ {2,..., д), и

|Ле| -, i (l + (g - 1 )r;(?+2)) + (g - l)(r;(?+1) - (£ - sm(r9})), (10)

если e принадлежит полуинтервалу Cf1 (8). Значение £к{тд) вычисляется по формуле

ек(тд) = 1 - г;®'* "1\тд - (к mod g)), к = 0,1,2,...

В теореме 3 2 приведено доказательство равномерной распределенности последовательное! и ОгЬ£(т) = на аттракторе Ае. Равномерная распределенность ОгЪ£{х) является следствием равномерной распределенности ее производной тс ограничения ОгЬг(х) на полуинтервал тд) разбиения Фибоначчи порядка д.

В третьем параграфе показано что для любых начальных точек г и любого £ из /о существует предел

равный частоте попадания точек орбиты ОгЬ£(х) в полуинтервал = [0. е) при действии на т двухцветным сдвигом Зе. При этом и^ (е) не зависит от выбора х.

В теореме 3.3 доказана точная формула для час юты и+{е.х)

где длина аттрактора \Ле\ вычисляется по формучам (9), (10J

Из теоремы 3 3 следует, что для орбиты OrbF(x) двухцветного сдвига отсутствует равномерное распределение по mod 1. а для параметра е существую] полуинтервалы С™, i € {2,...,</}, когда частота принимает постоянное

значение.

В заключение, автор выражает благодарность научному руководителю, док тору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Жу равлеву за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Изучены обобщенные разбиения Фибоначчи и разбиения Фибоначчи порядка д для квадратичных чисел Пизо тд.

2. Найдено бесконечное число полуинтервалов из разбиений Фибоначчи порядка д, для которых получены новые оценки остаточного члена в формуле распределения дробных долей {пта} т? =0.1.2,

3. Найдены явные формулы для вычисления номера г-тою возвращения точки из последовательности {птд} в полуинтервалы разбиения Фибоначчи порядка д.

4. Исследована орбита точки, полученная с помощью двухцветного поворота на окружности ^-преобразования ранга два. Доказано равномерное распре деление такой орбиты на аттракторе Найдена частота попадания точек орбиты

v+(e,x) = £) = lira -Ml: 0 < SUx) < e, £ - 0,1,... ,n - 1},

n—oo n

1

двухцветного поворота в полуинтервал [0, е), где £ £ [0,1) - непрерывный параметр.

Публикации автора по теме диссертации

[11 Мануйлов H.H. Основные свойства серебряного сечения 1 t \/2 и некоторые числовые последовательности ему соответствующие // Вестник ВГПУ -Владимир. Изд ВГПУ. -2003. -Вып. 3. -С. 168-174. (0,38 печ л.)

[2] Мануйлов Я Я Рекуррентные самоподобные разбиения // Чебышевский сборник -Тута Изд ТГПУ. -2003 -Т. 4 Вып. 2. -С 87-91 (0,25 печ л ) <

[3] Мануйлов Н Н. Самоподобие некоторых последовательностей точек на окружности // Зап. науч сем ПОМИ. -2003. - Т 302. -С. 81-95 (0,94 печ л.)

[4] Мануйлов IIII, Шуюв A.B. Глобальный порядок разбиения окружности // Сборник научных статей участников 5-ой Всероссийской научно практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Молодежь. Образова ние Экономика 4 мая 2004 г -Ярославль. Изд Ремдер. -2004 -С 314-320 (0,38 печ. л)

[5] Мануйлов Н Н, Шутов А В. Обобщенные разбиения Фибоначчи локальная геометрия и дальний порядок // Сборник научных статей участников 5-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Молодежь. Образование. Экономика.», 4 мая 2004 i Ярослав ть Изд. Ремдер -2004. -С. 376-381. (0,31 печ л )

[6] Мануйлов Н.Н Число попаданий точек последовательности {гтд} в полуинтервал // Чебышевский сборник -Тула- Изд. ТГПУ -2004 -Т. о, Вып 4. -С 72-82. (0,62 печ. л )

[7] Мануйлов Н Н. Перенормировки на одномерном торе //Зап науч сем ПОМИ. -2004. - Т 314 -С 142-154. (0,75 печ л.)

[8] Мануйлов Н.Н О числе точек {птд}, попадающих в полуишервал // Тезисы докладов VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел- современные проблемы и приложения», Саратов 13-17 сентября 2004 г -Сараюв Изд СГУ. -2004. -С. 79-80 (0,06 печ. л.)

[9] Мануйлов Н Н. Рекуррентные самоподобные разбиения // Тезисы докладов V Международной конференции «Алгебра и теория чисел- современные проблемы и приложения», Тула, 19-20 мая 2003 г. -Тула: Изд ТГПУ -2003 -С 152-153 (0,06 печ л.) л .

dJc^l^ 14

Подписано в печать 16 0-5 2005 Формат 60x84 1/16

Усл. печ. л. 1,0 Уч. изд. л. 1.0

Заказ 27-05 Тираж 100

Отпечатано с готового оригинал-макета в отделе оперативной полиграфии ВГПУ, 600024, г Владимир, ул Университетская 2

»10574

РНБ Русский фонд

2006-4 8251

Введение

1. Ветвящийся В -процесс и разбиения.

§1. В -процесс и разбиения единичного полуинтервала.

§2. Цветные разбиения.

§3. Разбиения Фибоначчи порядка д.

§3.1. Длины полуинтервалов из разбиения Фибоначчи порядка д.

§3.2. Метод подстановок

§3.3. Рекуррентные формулы для разбиений Фибоначчи порядка д

§3.4. Количество полуинтервалов в разбиении Фибоначчи порядка д

§4. Глобальные координаты.

2. Производные и орбиты. Перенормировки.

§1. Определение производных и орбит.

§2. Производные на полуинтервалах разбиений Фибоначчи порядка д.

§3. Прямые перенормировки.

§4. Обратные перенормировки.

§5. Соотношения для целых частей числа.

§6. Распределение дробных долей.

3. Двухцветный сдвиг окружности

§1. Определение двухцветного сдвига.

§2. Аттракторы и спирали. Динамические графы.

§2.1. Определение динамических графов.

§2.2. Раскраска полуинтервалов.

§2.3. Динамические графы аттракторов и спиралей.

§2.4. Мера аттрактора.

§3. Частотное распределение точек орбит

Диссертация посвящена исследованию одномерных квазипериодических разбиений и их приложений к теории чисел. Особое внимание уделено разбиениям Фибоначчи порядка д = 1,2,3,. для специального класса квадратичных чисел Пизо тд [49], [20], являющихся корнями уравнений х2 -дх- 1 = 0. (1)

Такие тд являются единицами кольца целых чисел Щтд] = Z + r3Z поля Q(t5). Отметим также, что числа тд имеют разложение в цепную дробь вида тд = [д\ (#)], где в круглых скобках записан период разложения в цепную дробь.

В диссертации получены следующие результаты.

1) Изучены обобщенные разбиения Фибоначчи и разбиения Фибоначчи порядка д.

2) Получено усиление теоремы Гекке о распределении дробных долей. Найдено бесконечное число полуинтервалов из разбиений Фибоначчи порядка д, для которых получены новые оценки остаточного члена в формуле распределения дробных долей {птд}, п = 0,1,2,.

3) Найдены явные формулы для вычисления номера г-того возвращения точки из последовательности {птд} в полуинтервалы разбиения

Фибоначчи порядка д.

4) Исследована орбита точки, полученная с помощью двухцветного поворота на окружности - IT -преобразования ранга два. Найдена частота попадания точек орбиты двухцветного поворота в полуинтервал [0, е), где £ € [0,1) - непрерывный параметр.

Первая глава посвящена изучению обобщенных разбиений Фибоначчи для произвольного иррационального а > 0.

Для изучения таких разбиений был использован метод В - процесса и метод подстановок.

Зададим на единичном полуинтервале Iq = [0,1) начальное разбиение та«(0) = [0, {а}) © [{а}, 1), (2) где ф - некоммутативная операция прикладывания полуинтервалов.

Определим В -процесс как откладывание от левых концов всех полуинтервалов из обобщенного разбиения Фибоначчи полуинтервала меньшей длины. Тогда разбиение Tila(m-{-1) получается из соотношения

Tila(m + 1) = B(Tila(m)), т е Z>0. (3)

В -процесс был введен В.Г. Журавлевым в работе [53] для изучения разбиений Фибоначчи TilTl(m), где Т\ =

Разбиение Tila(m) состоит из двух типов полуинтервалов: Lm(a) -длинных с длиной im(ot) и коротких Sm(ot) с длиной sm(a).

Метод подстановок близок к классическому методу преобразований инфляции и дефляции. Обобщенное разбиение Фибоначчи можно также определить с помощью начального разбиения (2) и подстановок для полуинтервалов Lm(a) и Sm(a)

Lm{a) -> Sm+1(c*) 0 Lm+l{a), Sm(a) -> Sm+1(a), (4) если £т(а) > 2sm(a),

Lm(a) -> Lm+1(a) 0 Sm+l(a), Sm(a) Lm+1(a),

5) если £m(a) < 2sm(a).

Метод подстановок в близкой форме был использован P. Arnoux и другими [32] при изучении последовательности Штурма, введенной G. Hedlund и М. Morse в 1940 году [43].

Последовательность и называется последовательностью Штурма, если она имеет сложность ри(п) = n+ 1. Сложность последовательности -целозначная функция, ставящая в соответствие каждому целому п мощность множества подслов длины п, содержащихся в последовательности и.

Примером последовательности Штурма служит последовательность Фибоначчи и = 010010100., получаемая с помощью подстановок

Заметим, что если рассматривать обобщенные разбиения Фибоначчи, отождествляя длинные полуинтервалы с 0, а короткие с 1, то подстановки (6) являются частным случаем подстановок (4), (5) и определяют разбиения Фибоначчи для иррациональности Т\ = 1+2V^. Разбиение Фибоначчи также может быть получено с помощью проекции точек решетки Z2 на прамую у = [44].

В дополнение к разбиениям Tila(m) в диссертации введены разбиения Til+(m), получаемые с помощью подстановок (4), (5) из начального разбиения

0 01, 1 ь-* 0.

6) та+(0) = [0,{1-а})Ф[{1-а},1).

Для таких разбиений доказана формула (см. предложение 1.3)

Til+(m) = (Tt7e(m))<+\ (7) где (+) - отображение, меняющее местами два крайних правых полуинтервала из разбиения Tila(m).

В §2 вводятся «цветные» разбиения CTila(m) из полуинтервалов Gm(a) с длиной дт(а) и полуинтервалов Ет(а) с длиной ет(а). Разбиения CTila(m) строятся по следующему правилу: если два крайних правых полуинтервала в Tila(m) имеют вид Lm(a) ф Sm(a), то Lm(a) = Gm(a) и 5т(а:) = Ет(а), если же крайними полуинтервалами являются Sm(a) Ф Lm(a), то Sm(a) = Gm(a) и Lm(a) = Ет{а). Количества полуинтервалов Gm(a) и Ет(а) обозначим J}Gm(o:) и J}-Em(a;) соответственно. Рассмотрение разбиений CTila(m) обусловлено удобством их использования при изучении сдвигов на окружности единичной длины (главы 2 и 3).

Используя разложение в цепную дробь тд = [д; (<7)] (1), можно вычислить количества коротких }}5ш(о;) и длинных |\Lm{a) полуинтервалов в разбиении Фибоначчи TilTg{m) порядка д.

В §3 первой главы доказана теорема. Теорема 1.6 Для количеств полуинтервалов jjLm(rg) и №т(тд) в разбиениях TilTg (m), Til+g (тп) выполнены равенства т(тд) = №т(тд) = f[m/g]+1 для m = g — 1 mod g, m(Tg) = f[m/g]+1, §Sm(Tg) — f[*)g]+2 для m = i mod g, i = 0,. g — 2, где - числа Фибоначчи порядка g

2], вычисляемые по рекуррентным формулам fn+2 = 9/„\. + It /? = 1, й = к, к = 1,2,., д.

Некоммутативным обобщением рекуррентной формулы (8) служит Теорема 1.5 Для разбиений ТйТд(т) и Til+ (m) справедливы рекуррентные формулы 9

TilTg (тп + 2д) = г"1 0 TilTg (т + д)ф т~2Т?\lTg (т), (9) г=1 9

Til+(m + 2д) = г"1 0 TilTg{m + д) © г~2Тг7+(т), (10) г=1 где г"1, т~2 - коэффициенты сжатия полуинтервалов соответстую-щего разбиения.

Формулы (9), (10) позволяют строить разбиения Фибоначчи порядка g с помощью прикладывания одного разбиения к другому. Следует отметить, что только для чисел т9 в настоящее время известны рекуррентные соотношения типа (9) и (10).

§4 посвящен изучению глобальных свойств обобщенных разбиений Фибоначчи CTila(m) и их связи с иррациональным поворотом окружности.

В теореме 1.7 вычислены координаты полуинтервалов Gm(a) и Ет(а) из разбиения CTila(m). Каждому полуинтервалу присвоен свой номер -глобальная координата к : = [{(iJG"» - $Ет(а) - к)а}, {($Gm(а) - к)а}), ЯГМ = [ШОт(а) - к)а}, {-ка}). Полуинтервалы (11) связаны между собой формулами

G£+1(a) = G$(a) - ка mod 1, Е£+1(а) = Е?(а) - ка mod 1.

Теорема 1.8 Пусть CTila(m) и CTil^(m) - разбиения, порождаемые В -процессом, и пусть

S(x) = х-а mod 1 (12)

- отображение сдвига единичного полуинтервала I. Тогда указанные разбиения связаны формулой

CTil+(m) = S~(CTila(m)). (13)

Сравнивая (7) и (13), заключаем, что действие сдвига (12) на разбиение CTila(m) эквивалентно перекладыванию местами двух крайних правых полуинтервалов из разбиения. Этот факт является фундаментальным и будет использован в последующих главах при изучении иррационального сдвига окружности.

Во второй главе с помощью обобщенных разбиений Фибоначчи изучены перенормировки последовательностей дробных долей на единичном полуинтервале. Для полуинтервалов из разбиения Фибоначчи порядка g получены новые оценки для остаточного члена в формуле распределения дробных долей {птд}.

Зададим на единичном полуинтервале Iq градуировку из полуинтервалов

Grad = I0D hD ••• D IeD Ie+i !>•••. (14)

На множестве nap Uz = (U,Ii), где U = {а*}^ ~~ произвольная последовательность из полуинтервала It, определим производную dkUe по правилу dkUe = (U':Ii+k). (15)

Здесь U' = Unle+k• Производные dkOm{a) тесно связаны с отображением первого возвращения Пуанкаре [50].

Метод производных позволил связать геометрические свойства квазипериодических разбиений со свойствами иррациональных обмоток окружности.

Отождествим полуинтервал 1т С /0 с окружностью и рассмотрим последовательность Orb(ao,P,Im) - орбиту начальной точки ао G 1т относительно сдвига на (3 > 0 :

Orb(a0, /3, /+) : (ц |—► ai+i = а{+(3 mod |/+|, если 1т имеет вид /+ = [а, 6), a, b Е [0,1], и

Orb(ao,/3,1~[) : af i—► ai+1 = (ц - /3 mod если Im имеет вид 1~ = (а,Ь].

Рассмотрим полуинтервалы (16)

Назовем 1т(а) собственными полуинтервалами разбиения CTila(m). В диссертации рассмотрены последовательности

0±(а) = Orb(a,gm(a),I±(a)) = {a±(a>m,i)}g0, (17) если tfGm(a) > %Ет(а),

0±(а) = Orb(a,em(a),I±(a)) = {a±(a>m,0}£o. (18) если jJZ?m(a) > jJGfrn(o;). Начальную точку а определим как правый конец полуинтервала 1^{а) Для орбиты 0+(а:) и а = 1 для 0~(а).

Изучение производных поворота окружности было начато G. Rauzy [46] и впоследствии продолжено P. Arnoux, V. Berthe, S. Ferenczi, S. Ito,

A.Siegel [30]—[32] и другими математиками. В частности, эти авторы рассматривали первую производную на полуинтервале [а, 1) для отображения S~ : х I—> х — a mod 1. Заметим, что последовательность, кодирующая данный сдвиг, является последовательностью Штурма. Позднее С. Минчев [41] независимо получил аналогичные результаты для S~.

В теореме 2.1 доказано, что производная последовательности О^(а) снова есть последовательность, полученная с помощью преобразования сдвига: dmO±{a) = 0±(а), если $Gm(a) > dmO$(a) = О* (а), если < $Ет(Ы).

В §3 решена задача нахождения номера г-того возвращения точек последовательности Oq(t9) в собственные полуинтервалы 1^{тд) (16). Для произвольного полуинтервала, в случае иррациональности ri = задачу об г-том возвращении решил R. Twarock [50] с помошью известной теоремы о трех длинах [21].

В диссертации доказана Теорема 2.5 Для времени г-того возвращения точки из последовательности Oq(t9) в полуинтервал ) имеет место явная формула 1[т/9]+1^^(г9, 0), где 77i = a mod g, а = 0,. <7 — 1 и - числа Фибоначчи порядка g (8). Числа вычисляются с помощью равенств

Rm(T9>Q) = f[m*g}+ 2 " f[m/g]+1> ^rn(T9> 0) = 0) если dmO^{rg) = 0±(т5), и

Rm(T9ify ~ 0> ~ f[m}g)+2 ~~ f[m/g]+V

RmiTg^) — (f[m/g]+2 f[m/g]+1)

I tg-a если dmO±(r9) = ОЦтд).

Теорема 2.5 обобщает результаты В.Г. Журавлева [53] для случая

Т 1+у/5 ' ~ 2 '

§5 посвящен изучению распределения дробных долей {птд}. Исследование распределения последовательностей по модулю 1 начал Г.Вейль [52], получивший следующий критерий равномерного распределения. Последовательность Х\,Х2,. • •, 0 < хп < 1, равномерно распределена на отрезке [0,1], если для любой функции /, непрерывной на [0,1], выполнено соотношение

1 п Г1 lirn - У2 f(xk) = / f(x)dx. n+0° 71 JO

Аналогично определяется равномерное распределение на любом отрезке [а, 6], а < Ь.

Пусть X = - бесконечная последовательность точек из полуинтервала [0,1). Обозначим через Хм конечную подпоследовательность (хп)п=1 и определим на полуинтервале / С [0,1) отклонение где Z(Xn,I) - количество точек из Хдг, попавших в полуинтервал I. Пусть

DN(X)=sup\AN(X,I)\. (20) I

Если Dn{X) —► 0 при N —» оо, то последовательность равномерно распределена на полуинтервале [0,1).

P. Erdos и P. Turan [29] доказали, что существуют константы с\ и С2, такие, что к=1 N

2nikxn п=1 для некоторых положительных N и К. Константы с\ и С2 вычислены в работах [39], [22], [42].

Многочисленные общие результаты о распределении последовательностей по модулю 1 получены в работах Н.М. Коробова [7], А.А. Карацубы, Г.И. Архипова и В.Н. Чубарикова [4]-[6], А.И. Павлова [19].

Для иррациональности а Г. Вейлем была доказана асимптотическая формула распределения дробных долей X^ = ({па})^=0 с остаточным членом r/v([a, b)) = o(N), где

Известно, что в общем случае остаточный член улучшить нельзя. Для квадратичных иррациональностей А. Островским [45] было получено неравенство Гдг([а, 6)) < c(a)logAf. С другой стороны, Э. Гекке [33] (1921) ввел класс интервалов ограниченного остатка, на которых существует асимптотическая формула с остаточным членом 0(1). Согласно ему, если |/| = b — a G olL + Z, то где h такое, что \1\ — ha Е Z. В дальнейшем X. Кестен [36], [36] доказал необходимость этого условия.

Обобщением интервалов ограниченного остатка являюся множества ограниченного остатка [30]. Пусть А - подмножество множества X. Будем называть А множеством ограниченного остатка, если существуют вещественные числа а и С такие, что для любого натурального п выполнено rN([a, 6)) = Z{XN, [a, b)) - N(b - а).

21)

ММ))|<|Л|,

22) п

Ьа{Трх) -па < С, х £ X, p=i где Ал - характеристическая функция множества А и Т - преобразование на X. Пусть а = (ai,., а^). Причем ai,., линейно независимы над полем рациональных чисел. В работе [40] П. Лиарде показал, что на d-мерном торе Td множество Р = /1 х ••• х для последовательности {па} является множеством ограниченного остатка, тогда и только тогда, когда существует индекс к, такой, что £ Z + a^Z и для других где j ф к выполнено \Ij\ = 1.

Оценка Э. Гекке (22) не учитывает структуру полуинтервала и арифметику угла поворота а. В частности, константа в оценке Гекке стремится к бесконечности при уменьшении длины полуинтервала. Полученные в диссертации оценки для собственных полуинтервалов (16) учитывают как арифметику а , так и структуру самого интервала.

Теорема 2.7 Пусть тд - квадратичное число Пизо (1) и 1т(тд) ~ собственный полуинтервал(16). Тогда для остаточного члена г^(/ш(г5)) из формулы (21) справедливы следующие неравенства:

-g < rN(Im(rg)) < 3, если т = 0,. д — 1 mod 2д,

-д < rN(Im(rg)) <д + 3, если т = <7,. 2д — 1 mod 2д.

Особенность этих оценок состоит в том, что границы для остатка не стремятся к бесконечности при уменьшении длины интервала. Отметим, что на языке разбиений изучение распределения дробных долей {тд} на произвольном интервале ограниченного остатка сводится к изучению их распределения на составляющих его интервалах разбиений Фибоначчи порядка д.

В третьей главе изучено действие двухцветного сдвига на единичном полуинтервале.

Пусть /о = [0,1). Зафиксируем

Ро = 0 < Рх < • • • < Pr = 1 (23) и обозначим Ai = [Pi-i, Pi). Определим отображение

Т(х) = х + 7i если х 6 Д*, (24) где тi - фиксированные числа, такие, что Т - это отображение /о в себя. При этом отождествляем левый и правый концы полуинтервала Iq. Отображение (24) получило название IT-преобразования (interval translation mapping). Число г из (23) - ранг 1Т-преобразования [48]. Определим Aq = Iq и Ап = T(Ani). Множество

A = f]An (25) п называется аттрактором 1Т-преобразования.

IT-преобразования впервые расмотрели М. Boshernitzan и И.П. Корн-фельд [24]. Они выделили два класса IT-преобразований: конечного и бесконечного типа. Преобразование Т - IT-преобразование конечного типа, если аттрактор А (25) представляет собой конечное объединение полуинтервалов и действие Т на аттрактор сводится к перекладыванию его полуинтервалов. Аттрактор бесконечного IT-преобразования, как показали Дж. Шмелинг и С. Трубецкой [48], является канторовым множеством.

В диссертации рассматривается орбита Orb£(x) — {££(а;)}£10, порожденная начальной точкой х и двухцветным сдвигом S£ = S£(g, 1) для иррациональностей т9 = g+v^g +4, где g = 2,3,. Двухцветный сдвиг Se определен на единичном полуинтервале следующим образом (см. глава 3, x i—> x -f дта mod 1, если x G It, y (26) x i—► x + rg mod 1, если x 6 I~, где If и I~ - полуинтервалы из подразбиения единичного полуинтервала

IQ = /+ ф 1~.

При этом If = [0, £:) и 1~ = [е, 1), где е - непрерывный параметр, принимающий произвольное значение из единичного полуинтервала Iq .

Заметим, что двухцветный сдвиг является IT-преобразованием ранга два. И.П. Корнфельд [24] показал, что всякое IT-преобразование ранга 2 имеет конечный тип.

Изучение двухцветного сдвига S£ опирается на следующее разбиение: = с? ® с2° е • • • е с° ф • • • ф сг е • • • е с™ ф • • •, (27) где m = 0 mod 2д и С™ - открытые справа полуинтервалы, имеющие

-(m/o+l) длину Тд к

В §2 вводится понятие динамического графа. Динамический граф D - это ориентированный граф, вершины V которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с полуинтервалами G™+9~1( 1 — тд) и - тд) из разбиения Фибоначчи порядка д CTilf (т + д - 1). Впервые динамические графы были введены В.Г. Журавлевым в работе [53].

С помощью динамических графов в §2 показано, что аттрактор Л£ -инвариантное относительно действия двухцветного сдвига S£ (26) множество, представляет собой конечное объединение полуинтервалов из разбиения Фибоначчи порядка д. В предложении 3.1 найдены явные формулы для длины аттрактора = i(l + (g-l)r;('+2)), (28) если е принадлежит С™ (27), где г G {2,.,д}, и л.\ = - (l + (9 - 1)г;(?+2>) + (д - 1)(т;(»+1) - (е - ет(т,))), (29) ъ/ если е принадлежит полуинтервалу С™ (27). Значение £fc(r5) вычисляется по формуле к(тд) = 1 - т-«*М+1>(т* - № mod <?)), /с = 0,1,2,.

В теореме 3.2 приведено доказательство равномерной распределенности последовательности Orb£(x) = {^(я)}^ на аттракторе Дг. Равномерная распределенность Orb£(x) является следствием равномерной распределенности ее производной, т.е. ограничения Orb£(x) на собственный полуинтервал G™+9~1( 1 — тд) ф E^i+9~1( 1 — тд) разбиения Фибоначчи порядка д.

В §3 показано, что для любых начальных точек х и любого £ из /о существует предел v+{£, х) = Иш -%{£ : 0 < Se£(x) < е, £ = О,1,., п - 1}, п—>оо л равный частоте попадания точек орбиты Orbe(x) в полуинтервал = [0, £) при действии на х двухцветным сдвигом S£. В теореме 3.3 доказана точная формула для частоты и+(£,х) :

-*<" - ^т (ш - 0' где длина аттрактора \Ае\ вычисляется по формулам (28), (29).

Из теоремы 3.3 вытекают два следствия. Следствие 1. Для орбиты ОгЪ£(х) двухцветного сдвига отсутствует равномерное распределение по mod 1.

Следствие 2. Для параметра £ существуют полуинтервалы С™, i G {2,. ,д}, на которых частота принимает постоянное значение.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10] - [18]. Они докладывались на V и VI международных конференциях «Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения.» (Тула, 2003; Саратов, 2004); на XXV конференции молодых учёных (МГУ, 2003); на V Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Молодежь. Образование. Экономика.» (Ярославль, 2004); на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (2002 - 2005 г. г., секция «Алгебра и теория чисел»), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по «Теории чисел» ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Г. Журавлева (2002 - 2005 г.г.).

Автор глубоко благодарен научному руководителю В.Г. Журавлеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Вейль Г. О равномерном распределении чисел по mod 1 // Вейль Г. -Избранные труды. -М.: Наука. - 1984. -С. 58-93.

2. Газале М. Гномон. -М.: Институт компьютерных исследований. -2002. 271 с.

3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. -М.: Наука. -1967. -375 с.

4. Карацуба А.А. Дробные доли специального вида функций // Изв. РАН, сер. матем. -1995. -Т. 59. -С. 61-88.

5. Карацуба А.А. О дробных долях быстрорастущих функций // Изв. РАН, сер. матем. -2001. -Т. 65. -С. 89-110.

6. Карацуба А.А., Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных // Мат. заметки. -1975. -Т. 25. -С. 3-14.

7. Коробов Н.М.Введение в теорию тригонометрических сумм. -М.: Наука. -1989. -240 с.

8. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. -М.: Наука. -1980. -382 с.

9. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.: Физматлит. -1961. -112 с.

10. Мануйлов Н.Н. Основные свойства серебряного сечения 1 + V2 и некоторые числовые последовательности ему соответствующие // Вестник ВГПУ. -Владимир: Изд. ВГПУ. -2003. -Вып. 3. -С. 168-174.

11. Мануйлов Н.Н. Самоподобие некоторых последовательностей точек на окружности // Зап. науч. сем. ПОМИ. -2003. Т. 302. -С. 81-95.

12. Мануйлов Н.Н. Перенормировки на одномерном торе // Зап. науч. сем. ПОМИ. -2004. Т. 314. -С. 142-154.

13. Мануйлов Н.Н. Рекуррентные самоподобные разбиения j j Чебышев-ский сборник. -Тула: Изд. ТГПУ. -2003. -Т. 4, Вып. 2. -С. 87-91.

14. Мануйлов Н.Н. Число попаданий точек последовательности {irg} в полуинтервал // Чебышевский сборник. -Тула: Изд. ТГПУ. -2004. -Т. 5, Вып. 4. -С. 72-82.

15. Мануйлов Н.Н. О числе точек {птд} , попадающих в полуинтервал // Тезисы докладов VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Саратов, 13-17 сентября 2004 г. -Саратов: Изд. СГУ. -2004. -С. 79-80.

16. Мануйлов Н.Н. Рекуррентные самоподобные разбиения // Тезисы докладов V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Тула, 19-20 мая 2003 г. -Тула: Изд. ТГПУ. -2003. -С. 152-153.

17. Павлов А.И. Мероморфное продолжение рядов Дирихле, связанное с распределением чисел по модулю 1 // Труды мат. инстиута им. В.А. Стеклова. -1997. -Т. 218. -С. 343-353.

18. Akiyama S. Pisot numbers and greedy algorithm // Number Theory, Diophantine, Cumputational and Algebraic Aspects. -Berlin, New York. -1998. -P. 9-21.

19. Alessandri P., Berthd V. Three diastance theorem and combinatorics on words // PEnseignement Mathematique. -1998. -V. 44. -P. 103-132.

20. Baker R. C. Diophantine Inequalities. Oxford Univ, Press. -1986.

21. Berstel J., Vuillon L. Coding rotations on intervals // Theor. Computer Sci. -2002. -V. 281. -P. 99-107.

22. Boshernitzan M., Kornfeld I. Interval translation mappings // Erg. Th. Dyn. Sys. -1995. -P. 821-831.

23. Bruin H.} Troubetzkoy S. The Gauss map on a class of interval translation mappings 11 Israel J. Math. -2003. -V. 137. -P. 125-148.

24. Erdds P., Turan P. On a problem in the theory of uniform distribution. II // Proc. Konink. Nederl. Akad. Wetensch. Sci. Sect. -1948. -V. 51. -P. 1262-1269.

25. Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arith. -1992. -V. 61. -P. 319326.

26. Ferenczi S., Holton Ch., Zamboni L. Structure of 3-interval exchange I: an arithmetic study // Preprints of Marcelle University. -2001. -24 p.

27. Fogg N.P. Substitutions in Dinamics, Arithmetics and Combinatorics. -Springer. -2002. -402 p.

28. Hecke E. Eber analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod Eins I j Math. Sem. Hamburg Univ. -1921. -V. 1. -P. 54-76.

29. Hermisson J., Grimm U., Baake M. Aperiodic Ising quantum chains // J. Phys. A: Math Gen. -1997. -V. 30. -P. 7315-7335.

30. Jeong H-G., Kim E., Lee C-Y. Noncommutative torus from Fibonacci chains via foliation I j J. Phys. A: Math Gen. -2001. -V. 34. -P. 1-19.

31. Kesten H. On a conjecture of Erdos and Szusz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arith. -1966. -V. 12. -P. 193-212.

32. Kesten H. Uniform distribution mod 1 // Acta Arith. -1962. -V. 7. -P. 354-380.

33. Korobov N. Exponential Sums and their Applications -Kluwer Academic. -1989.

34. Kuipers L. Niederreiter H. Uniform Distribution of Sequences -Wiley. -1974.

35. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. -1987. -V. 61. -P. 267-293.

36. Mintchev S. Continued fraction expansions and self-similarity of rotation on the circle // J. Phys. A: Math Gen. -2002. -V. 36. -P. 1-14.

37. Montgomery H. L. Ten Lectures on the Interface between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis j/ Amer. Math. Soc. -1994.

38. Morse M., Hedlund G. Symbol Dynamics II, Sturmian sequences j j Amer. J. Math. -1940. -V. 62. -P. 1-42.

39. Oguey C., Duneau M., Katz A. A geometrical approach of quasiperiodic tilings // Commun. Math. Phys. -1988. -V. 118. -P. 99-118.

40. Ostrowski A. Bermerkungen zur theorie der diophantischen approximationen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. -1922. -V. 1. -P. 77-98.

41. Rauzy G. Ensembles a restes bornes Seminare de theorie des numbers // de Bordeaux. -1984. -V. 24.

42. Shmidt W.T. Irregularities of distribution VII // Acta Arith. -1972. -V. 21. -P. 45-50.

43. Schmeling J., Troubetzkoy S. Interval translation mappings // Dyn. Sys. World Scientific. -Singapore. -2000. -P. 291-302.

44. Schmidt K. On periodic expansions of Pisot numbers and Salem numbers // Bull. London. Math. Soc. -1980. -V. 12. -P. 269-278.

45. Twarock R. Recurrence times in dynamical systems via a quasicrystal approach // Физика элементарных частиц и атомного ядра. -2002. -Т. 33, Вып. 7. -С. 217-224.

46. Wall D. Fibonacci series modulo m // Amer. Math. Monthly. -1960. -V. 67. -P. 525-532.

47. Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins // Math. Ann. -1916. -V. 77. -P. 313-352.

48. Zhuravlev V.G. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotation of a circle // Max-Planck-Institut fur Mathematik. -Preprint Series. -2004. -V 59. -16 p.