Некоторые вопросы спектральной теории в случае переменнной кратности корней характеристического многочлена дифференциального уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. 3

ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ

СИСТЕМЫ РЕШЕНИЙ. 13

§ I. Асимптотические разложения для фундаментальной системы решений уравнения (I) на отрезке [0)v/t/}.

§ 2. Асимптотические разложения фундаментальных решений уравнения (I) на отрезке Qtc9 Jij . 38

ГЛАВА П. ФОРМУЛЫ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ СЛЕДОВ.44

§ I. Асимптотическое распределение спектра.44

§ 2. Дзета - функция, ассоциированная с функцией 49

§ 3. Формулы следов . 59

ГЛАВА Ш. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ.63

§ I. Оценка модуля функции Грина краевой задачи

3.1) - (3.2) . 67

§ 2. Теорема разложения. 90

В работе рассматриваются спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются аналитическими функциями от параметра. Такие задачи встречаются в различных разделах математической физики и их изучение начато работах предпологалось, что характеристический многочлен дифференциального уравнения имеет либо различные корни, либо корни постоянной кратности.

В настоящей работе рассматривается случай, когда кратность корней характеристического многочлена меняется на некотором отрезке. На данную задачу было обращено внимание в известной монографии Тамаркина Я.Д. Отметим, что в некоторых частных случаях, когда кратность корней характеристического многочлена меняется лишь в одной точке (получившие название точки поворота), спектральные задачи изучались в работах [7 - в] . Кроме того в этих работах рассматривался простейший случай квадратичной зависимости дифференциального выражения от спектрального параметра, что значительно облегчает исследование задачи, поскольку в данном случае задача является самосопряженной.

Рассмотрим краевую задачу, порожденную дифференциальным уравнением

LL<aO + Р(х,эО LL(x> + LLCx} -=0, ос е {о,or] А (I) и краевыми условиями

Ц(и.) = o^LlCo) + <*0LU°) =0 ,

IX,(Ы-) = f>Au!(*) + Po U-W

- спектральный параметр, причем и 4 * рс^эл = 21 , где Рц ) - достаточно гладкие, вещественнозначные функции на отрезке

Полином

3) называется характеристическим многочленом уравнения (I). Как мы уже отметили, случай, когда кратность корней полинома (3) не зависит от ^с , хорошо изучен. В настоящей работе предпологает-ся, что корни с) и полинома (3) удовлетворяют условию

9„ № 4 при -эс G \о )t/u) ,

4) бг Сх) при: ^^^з-Я]^ где Jll - некоторая фиксированная точка из интервала (о, .

Условие (4) приводит к более сложному построению асимптотических разложений в окрестности бесконечности фундаментальной системы решений уравнения (I). Этому вопросу посвящена первая глава работы.

Первый параграф этой главы посвящен построению асимптотических разложений для фундаментальной системы решений уравнения (I) на отрезке А именно используя подстановку

LLC*) = S^VOolt] показывается, что уравнение (I) приводится к следующему виду у"(*> + ^ + Ъ^Л 9 w = О , а л)

X) = - i P2tt) -(1.2)

Так как для корней характеристического многочлена (3) справедлива формула

0 (х^ =i - + J о

V г " V "Ij--Нго > то, в силу условия (4), из формулы (1.2) следует, что функция ро(вна нулю на отрезке jyu, Sl]. Предположим, что р (x-s в точке х -ju имеет нуль первого порядка, т.е. ><1

-^^где VCx-)>0 при Построение асимптотических разложений для решений уравнения (I.I), в случае, когда функция ^ С*") обращается в нуль в некоторой точке рассматриваемого интервала, явилось предметом исследования многих математиков. Наметились различные подходы к решению этой задачи.

Первым был метод, предложенный еще "Редеем и окончательно разработанный Венцелом [io] , Крамерсом [II] , Бриллюэном \iz\ (метод ШБ), подробное изложение которого можно найти в монографии Эрдейи [l3] .

Далее, второй подход для исследования дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами был предложен Цвааном

14] и был основан на выходе в комплексную область. В дальнейшем этот метод получил развитие в работах Федорюка М.В. и Евграфова М.А. [15 - 17] .

Наконец метод сравнения или метод эталоного уравнения разра б ботанный в работах Лангера Р. [18 - 19} , Дородницына А.А. [т] и Ол вфа [20 } и других авторов (см.библиографию в монографии j2l]). Этот метод основан на том, что с помощью преобразований зависимой и независимой переменной некоторое " эталонов уравнение" асимптотические свойства решений которого известны, приводится к виду, мало отличающемуся от от исходного уравнения при достаточно больших значений . Эталонов уравнение выбирается из из того принципа, что оно должно иметь ту же особенность, что и исходное уравнение и иметь наиболее простой вид. Преимущество этого метода заключается в том, что он дает в некотором смысле равномерное асимптотическое разложение решений уравнения в окрестности точки поворота.

Рассмотрения первого параграфа первой главы диссертации основывается именно на методе сравнения. Используя методы, разработанные в работах [Х8 - 19] , [7] , строятся асимптотические разложения фундаментальной системы решений уравнения (I).

Во втором параграфе, используя результаты работы [22] , строятся асимптотические разложения для решений уравнения (I) на отрезке [/UjJT] . Затем, используя теорему единственности решения задачи Коши в точке ja , строятся асимптотические разложения фундаментальной системы решений уравнения (I) на всем отрезке \Pj3tl .

Во второй и третьей главах диссертации, полученная фундаментальная система решений уравнения (I) используется для решения различного рода спектральных задач: исследованию асимптотического распределения спектра, получению формул регуляризованных следов, доказательству теоремы о разложении по собственным функциям задачи (I) - (2).

Введем в рассмотрение следующие области I 1A|>R, } , где R- некоторое достаточно большое положительное число. Определим функции ^. (Л) Q о ■= h ) по формулам О

У:(л) + ,

J4Jv где L (о, JU) ^ S nJ -q/t) о\Х у Р> Cj*^ ^ S> \М \ .

О М JU, 1

Тогда из результатов первой главы следует, что для целой функции ^.(Д) » корни которой являются собственными значениями краевой задачи (I) - (2) справедливо следующее представление где индекс S) показывает, что ^ принадлежит области f С и. У0 - некоторые постоянные, а для функций Р.^СХ^ <$(л) С^") при ^ -^оо имеют место следующие асимптотические разложения

J k=o 5 Кго K=0

Основной результат первого параграфа второй главы заключается в следующем.

Теорема 2.1. Спектр краевой задачи (I) - (2) состоит из трех серий собственных значений Д ^ . Q j = 17Ъ } Для достаточно больших Yb все собственные значения простые и расположены в сколь угодно малых секторах, биссектрисами которых сг являются лучи ^ = ^ , Ortg У - Ct , ft/t/J Л = I л. , причем для «Л ^ j справедливы следующие асимптотические формулы

2.14)

Л/2, ■ / Ц (ах -Я где

К = 6 а = ^ а =. > а, =-, со г ш \с/ ' ю \d 1 ® \с)

Во втором параграфе, следуя работе Лидского В.Б. и Садов-ничего В.А. [23^ вводятся в рассмотрение функции j 2ocl ^ -Vc^ > (2.19) J называемые дзета - функциями, ассоциированными с функцией

5 . Контура = ^ вводятся стандартным образом.

Каждый контур Г. состоит из окружности с центром в нуле и

J г1 дважды проходимого Луча I • , являющийся соответственно биссектриj сой первого, второго, третьего и четвертого квадрантов (X - плоскости. i

Из представлений (2.3) - (2.4) следует, что при 36 Г. и Д с>о имеют место следующие асимптотические разложения о

4-РЛ ° J ол V^o л/ь 0 iU) ■ - -о ■ - oj\ — ду„ > 0-М , (2Л7) где ^ выражаются через коэффициенты Р к ^ 0 . откуда следует, что интеграл (2.19) сходится при R-e(T > X Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2. Дзета - функции "Zj С (Г) аналитически продолжаются во всю б" - плоскость как мероморфные функции с полюсами в точках = 4 - Ve , к = 041,. , К + ^т причем имеют место равенства г aJZcxl ' tsii < 7 f - i- % o к»}, K^m.

2.20) 0

Л К i

Далее, используя свойства функций » устанавливаются реккурентные соотношения для коэффициентов в асимптотических формулах (2.14). А именно, доказано следующее утверждение.

Лемма 2.2. Для коэффициентов асимптотических разложений (2.14) при справедливы реккурентные формулы: а. к J К-6

J+1) М).

Zofi

J - 1,3

К-6 L—\ m.

ЛМ

М «к л ^

2.26) j k^-I

К-6

2.27) с» «Л , гр<3) 1 , ,

1 ми ] к-в ^^Дл , **4 (2-г7) т где \~\ -- целая часть . .'-'„с^", и

Для сокращения записи поменяем местами порядок нумерации второй и третьей серии собственных значений и регуляризованную сумму \YL - го порядка для собственных значений краевой задачи

1 ffu

I) - (2) обозначим через 21 А* , тогда основное утверждена rL ние § 3 второй главы заключается в следующем .

Теорема 2.3. Регуляризованные следы любого порядка краевой задачи (I) - (2) существуют и вычисляются по формуле us ti j L ч ^- to M л&т-г

HSt ' --Ci)

V4 j ^ / D- '

77Г* ^ ^ 'Т^бёГ " ' J> (2.3i) где . I 2- (w+i , ^ v ч \

Q^-Mzid zn

2mf r \ fe en z +Km«\lm+6 J 5 x) - дзета - функция Римана.

Наконец, в третьей главе диссертации исследуется вопрос о разложении в ряд по собственным функциям следующей задачи

УС») ч = q9 ate^aLj

3.1)

Ц(у) = = о где функция Q имеет вид ч

3.2)

Q СХ> =:

Ъ 1 О

Сформулируем основные результаты третьей глава.

S 3 oS

Теорема 3.1. В области П = .U о. функция Грина краевой задачи (I.I) - (1.2) удовлетворяет неравенству

1 у М где М - некоторая постоянная, S ; - области S г о о определенные соотношениями (1.22) из которых выброшены внутренности кружков радиуса с центрами в собственных значениях задачи (3.1) - (3.2).

Теорема 3.2. Всякая функция ^сх) , имеющая абсолютно непрерывную производную и удовлетворяющая краевым условиям (3.2), разлагается в равномерно сходящийся ряд

РО n-i Л о о v о где Уи.^) •) ^ w ^ ) - собственные функции задачи (X.I) - (1.2) и ей сопряженной, отвечающие соответственно собственным значениям ^ ^ Д a

Основные результаты диссертации неоднократно докладовались на семинарах по спектральной теории оперотов в МГУ и опубликованы в работах [32 - 34] •

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Садовничему В.А. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.