Скорость роста сумм случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

к i ) я &

0 САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЕГОРОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСЕЕВИЧ

СКОРОСТЬ РОСТА СУММ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Специальность 01.01.05 - Теория вероятностей и

математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1992

Работа выполнена на ка^дре высшей математики № 2 Санкт-Петербургского электротехнического института.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико - математических наук, профессор A.A. Зингер доктор физико - математических наук, профессор А. И. Мартакайнен доктор физико - математических наук, профессор В.В. Сазонов

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Киевский государственный университет

им. Т. Г. Шевченко

Защита состоится " -2 <В " ¿kti^^/j- 1992 г. в часов на заседании специализированного совета Д 063.57.29 при Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф , Библиотечная пл. д. 2, математике- механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

Защита будет производиться по адресу: I9I0II, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, д. 27.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени А.М.1Ърьного Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан " 2.-2, " fbjJL I9g2 г>

Ученый секретарь специализ1фованного совета

доцент С.М. Ананьевский

UUUtiO о производство 23.07.92г. Заказ Ч 82. Тираж 100 экз.

Печать сфсотная. Бумага офсетная . С-20. __

Ротапринт л'ГА. 19ВД18.СПб"7й1Ститутокйй пзр. 3.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

I. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Хорошо известна важная роль предельных теорем для суш случайных величин в теории вероятностей, математической статистике и их приложениях. Значительная часть предельных теорем посвящена изучению скорости роста этих сумм. К таким исследованиям можно отнести классическое неравенство Чебышева, различные его модификации, показательные оценки Колмогорова, различные оценки в теоремах о больших уклонениях, исследования в области законов больших чисел, центральной предельной теоремы, закона повторного логарифма.

Интерес цредставляет и исследование связи между скоростью роста сумм и сумм квадратов случайных величин. В этой области хорошо известны результаты Д.А. Райкова, Б.Е. Гнеденхо, неравенства Марцинкевича - Буркхельдера. В последнее время появились исследования на эту тему , связанные с предельным поведением отношений типа отношения Стьюдента.

Актуальными для задач статистики, теории надежности и собственно теории вероятностей являются исследования скорости роста цензурировании« сумм в зависимости от количества отброшенных слагаемых. В этом нацравлении проводились исследования в работах Феллера, И.М.Хамдамова, Черге, Хорвата, Мэйсона, Ревеса,В.А. Егорова и В.Б. Невзорова и др.

Асимптотическое поведение упорядоченных сумм случайных величин изучалось Венделем, В.Б. Невзоровым. Основное внимание в этом вопросе было уделено крайним порядковым статистикам -максимумам и минимумам последовательных сумм. Такие исследования проводились в работах А.Н. Колмогорова, Ю.В. Прохорова, A.B. Скорохода, A.A. Боровкова, В.В. Петрова ., C.B. Нагаева, М. Каца, Эрдеша, Чжуна и др.

Таким образом, вопросы, исследуемые в диссертации актуальны как с точки зрения внутренних потребностей теории вероятностей, так и с точки зрения ее приложений.

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ. В диссертации исследуется скорость роста сумм независимых случайных величин, мартингалов,сумм некоторых других зависимых величин. Эта скорость роста понимается в доволь-

но широком смысле - от ограниченности нормализованных сумм и выбора соответствующих нормализующих постоянных до законов больших чисел, Функциональной центральной предельной теоремы и функционального закона повторного логарипма. Также изучается связь между скоростью роста сумм и скоростью роста сумм квадратов как с точки зрения слабой сходимости, так и с точки зрения сходимости с вероятностью единица, исследуется асимптотическое поведение упорядоченных сумм случайных величин, квадратичной вариации некоторых случайных процессов.

3. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации впервые для неодинаково распределенных независимых, а тэгасе некоторых зависимых случайных величин получены оценки скорости роста сумм в зависимости от количества отбрасываемых экстремальных слагаемых в " топологии " сходимости с вероятностью единица. Ота скорость роста измеряется в терминах функций от математических ожиданий сумм для положительных слагаемых и функций от дисперсий сумм для симметричных слагаемых. Найдено 1фитическое количество отбрасываемых экстремальных слагаемых, начиная с которого оставшаяся сумма подчиняется верхним оценкам в усиленном законе больших чисел для положительных слагаемых и верхним оценкам в законе повторного логарифма для симметричных слагаемых. Аналогичные исследования проведены для сравнения скорости роста суммы и скорости роста максимального слагаемого.

Впервые получены функциональная центральная предельная теорема и функциональный закон повторного логарифма для упорядоченных сумм случайных величин. При доказательстве этих результатов впервые для подобных предельных теорем теории вероятностей использовались свойства оператора неубывающей перестановки.

Исследована связь между усиленным законом больших чисел для сумм квадратов и функциональным законом повторного логарифма для сумм независимых случайных величин и мартингалов.. Исследована зависимость между скоростью роста максимальной по модулю мартингал-разности и скоростью роста мартингала.

Найдены необходимые и достаточные условия асимптотической нормальности дроби типа Стьюдента , построенной по последовательности независимых неодинаково распределенных случайных величин, а также новые необходимые и достаточные условия слабой устойчивости сумм независимых положительных случайных величин.

Получены результаты типа закона повторного логарийла для квадратичной вариации, построенной по сушам независимых случайных величин и по винеровскому процессу в том случае, когда временной параметр стремится к бесконечности.

Все полученные результаты являются новыми и, как цравило, используют цри получении новые методики исследования.

4. ОБиДО МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются разнообразные вероятностные и аналитические методы. Так при исследовании скорости роста сумм в зависимости от количества отбрасываемых слагаемых используются два новых комбинаторных неравенства, при исследовании поведения упорядоченных сумм используются некоторые специальные свойства оператора неубывающей перестановки, широко используется метод усечений, мартингальная техника.

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные результаты и методы, развитые в диссертации , могут быть использованы как при решении задач собственно теории вероятностей, так и в математической статистике, теории надежности, других приложениях теории вероятностей.

6. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на трех международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике / Вильнюс 1981, 1985, 1989 г. /, на 1-ом международном семинаре по асимптотическим методам в теории вероятностей и математической статистике в Карсдорфе / Германия, 1991 г. /,на семинаре по предельным теоремам теории вероятностей СП1У , на семинаре по случайным процессам СПГУ, на семинарах в Математическом институте им.

В.А. Стеклова, в Санкт-Петербургском отделении Математического института, в Вильнюсском институте кибернетики и математики,

- б -

на 3-ей Ферганской конференции по теории вероятностей /Фергана 1983 г. /.

7. ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации автором опубликовано 25 работ / см. [I] - [25 ] /.

8. ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОШ. Диссертационная работа занимает 286 страниц машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, библиографии, включающей 153 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Перейдем к более подробному изложению содержания работы. Нумерация теорем в автореферате и диссертации совпадают.

I. Содержание первой главы диссертации тесно связано с известными результатами Д.А. Райкова и Б.В. Гнеденко, согласно которым в условиях предельной пренебрегаемости слагаемых суммы независимых случайных величин при соответствующем центрировании асимптотически нормальны тогда и только тогда, когда суммы их квадратов слабо устойчивы. Этот замечательный сГ-акт, устанавливающий соответствие между асимптотическим поведением сумм и сумм квадратов, послужил отправным пунктом для исследований в различных направлениях.Так, если перейти от закона больших чисел к "ограниченному закону больших чисел", то, например, если (Х^л, <?*«)- последовательность серий независимых в каждой серии бесконечно малых случайных величин, для которых выполнено условие ^ £,г (х) м 0} , н*

где 1*1 ,г - функция распределения случайной величины Л; /1,

то следующие условия равносильны

у х, - о(о с* —

^ р \ - 0(*) (" —^

Аналогичный результат справедлив и для нарастающих суш случайных величин.

Ниже будем использовать следующие обозначения и соглашения.

^л , У/и - последовательности независимых случайных величин, У^ ><? .В тех случаях, когда встречаются в

одних и тех же формулировках, предполагается выполненным ра-

венство V. г . Полагаем также " л.

5„ = У X. 1 У У У, , ХЛ ' X ^

и. —• I , л- 4—7- I 1 'п., п. < г „ , ' Л /г. /г..

Сначала исследуем асимптотическое поведение Т«., Теорема 1.1. Пусть^,п>/)- последовательность независимых положительных случайных величин . Для того, чтобы последовательность сумм Тц, была слабо относительно устойчивой и слагаемые были бесконечно малы относительно Ти. , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

71

—г О С"-*^), (г)

Это соотношение, в свою очередь, равносильно условию: для любого £ >0

¿Р(^><ГТ«)--(*-*-<*=>),

л" 11

Эта теорема дает новое условие слабой устойчивости последовательности т*.,

_Приведенные выше рассуждения о синхронности роста 8 и

/~п приводят к мысли исследовать асимптотическое поведение их отношения { = $ // 'ГгР • Положим

п- х.

где Ф (я) - функция распределения стандартного нормального закона.

Теорема 1.2. Пусть К к, - последовательность независимых симметричных случайных величин. Для того, чтобы

^ —'" о (п ^

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (I) .

Отметим, что в Теореме 1.2 априори не предполагается выполненным условие предельной пренебрегаемости слагаемых. Отметим также, что из приведенных результатов следует, что для симметричных независимых случайных величин соотношение (2) имеет место тогда и только тогда, когда суммы асимп-

тотически нормальны и слагаемые удовлетворяют условиям предельной пренебрегаемости, при этом величины Тп. слабо устойчивы. При некоторых дополнительных предположениях случайные величины Х^ монсно центрщзовать таким образом, что и при отказе от симметричности условие (I) останется достаточным для (2) .

Развиваемый в этой главе подход дает простой способ, с помощью которого легко получаются оптимальные по порядку оценки скорости сходимости к нормальному закону дроби и клас-

сической дроби Стьюдента. Аналогичное исследование цроведено для цензурирований однородных выборок, в которых отброшено к максимальных по модулю слагаемых.В этом случае роль максимального по модулю слагаемого играет максимальное по модулю оставшееся в сумме слагаемое. __ 2. Вопрос о связи между слабой устойчивостью для ¿п-и асимптотической нормальностью для &п- в случае сходимости с вероятностью единица превращается е вопрос о связи между усиленным законом больших чисел для и законом повторного логарифма для

Теорема 2.4. Пусть X«. - последовательность незави$^шых случайных величин, ЕКл-0, *00 > Л = Л • , *

>Ъп, Дг Пусть выполнены условия/' Р

(з)

I Г tS

- г"

для любого б >0 . Тогда для последовательности X справедлив функциональный закон повторного логарифма с нормировкой СЬп. ■

Показано, что при нарушении одного из этих условий даже классический закон повторного логарифма может нарушаться. В частности, справедлив следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть Хп. - последовательность независимых симметричных случайных величин, для которой выполнены условия —, Ь г С и

п.

П-- <*<> "" v "

для некоторого <Г >О . Тогда закон повторного логарифма с нормировкой 0L¡х- не справедлив, а именно, выполняется неравенство

/ i

Sop -¿У п./-/.

Переходя к анализу связи между " ограниченным усиленным законом больших чисел " для квадратов и " ограниченным законом повторного логарифма " для исходной последовательности, легко получим следующий результат.

Теорема 2.3." Пусть X п, — последовательность независимых случайных величин, $ со - такая последовательность положительных чисел, что £(Хп ; =

Тогда, если

(¡¿™ $ир —* С п.ы. 6„

п—► (Х>

для некоторой постоянной С. >О , то для некоторой, вообще говоря , другой постоянной С >0 справедливо неравенство

Теперь перейдем к исследованию скорости роста сумм, возможно, более быстрой, чем в законе повторного логарифма. Сначала рассмотрим положительные случайные величины. В этом случае условие независимости слагаемых удается, вообще говоря, несколько ослабить. № будем здесь предполагать, что выполнены условия

для любого набора индексов / * * г ' ' г / ^ £ п ■> п"" ^ ^ • ■ • Здесь С > С " абсолютная постоянная.

Пусть К (л.) - неубывающая натуральнозначная функция. Обозначим через ¡- ~ класс функций ^ , удовлетворяющих условиям:

/М у

{(*) не убывает, ~ТТТ "Ри

I

\ __^ < <ро ^ >/; ('6)

" ' для некоторого

Если выполнены все эти условия, а интеграл в ('б) расходится,

то считаем, что Г^ . Отметим, что, если К(л-) где /<. - некоторое натуральное число, то ^/х) - л ) ^ при , а £л(хУ/к6/1* Функция

„л /• «

= сп, Сн, х 6- /=/ при любом фиксированном << . Пусть я

£~Тп : /3/7.

Теорема 2.5. Пусть выполнено условие ^5) , —» 00 -

I. Если Ь:(х)жк , где ^ фиксированное натуральное число, и

У« -О ('V / 0%)) (п —^оо)

то

г«, -- о (в*, п.«. г« —

2. Если к (ос) I ^ при Я'—и к(1Ъ»Уг>и, и

для некоторой £ ¡-^

то

^ п / /Ьл. 4 (&п) \ , . Тп -- £ (б„ /Св,)) О- (»

3. Если в условиях предыдущего пункта

у = 0 г

то

¿¡¿г> ьир -—-— * / п.

п.

Более того, если /а; - -

.Л —* /7—* ОЪ '

а, если ¿¡/п {М < , то

л —^

7.

¿¿т вор —— л. *

/7-» ¿?о

В диссертации строится система примеров, показывающих, что для ■/б при выполнении всех остальных условий за-

ключение теоремы может быть нарушено.

Из этой теоремы легко получается, что при выполнении условия ^5) из соотношения у^ = О в* л и. следует

соотношение

-О-г

5 ср ---* 1

Это неравенство существенно усилено быть не может, т.к. является верхней оценкой в условии п. н. устойчивости.

Теорема 2.5 вытекает из следующего ниже результата, описывающего скорость роста цензурированных сумм в зависимости от количества отбрасываемых экстремальных слагаемых. Пусть V/?. / ^ " 4 1л, л вариационный ряд, = ^

Теорема 2.6. Пусть выполнено условие (б) , /3() _*^, ^'У V

I. Если К (л ) г к , где К - фиксированное натуральное число и функция 4- принадлежит классу к , то справедливо равенство е

Тп.к* О (ьп {(&>)) П.н.

- 13 - V

Ниже буквой К будем обозначать к (13;-.).

2. Пусть К ( х) I ^ при х —>■ и для всех л- выполняется неравенство к (¡Ьл) ■£• л/«2. Тогда справедливо неравенство

- < I е п./у.

л ^ &п 4(е>»)

дая любой функции ^ из класса /*с * . Если, кроме того, —* £ при ^/у то выполняется также неравенство

Сет 50Р -:- ^ / Л.Ы.

/Зл

п •—*■

3. Если в условиях предыдущего пункта выполнено условие - О (------) п.н.^^Ч)

то справедливо неравенство

Дт бор - < / п.н,

сто /3„ //"-6.,) Более того, если

■—* оа при X—* , то

- о (&„ /аз,)) д- —

а, если ^/х) ^ ехз при X —* с*о , то верно неравенство

п —> с>*> /,Ъп

Следующий результат показывает, сколько экстремальных слагаемых следует отбросить, чтобы получить оптимальную верхнюю оценку в усиленном законе больших чисел.

Следствие 2.1. Пусть К(%) f«*», к (х) /¿п in X -»-«о, при ¿t—>c*>, к - к (ßn\ Тогда

¿tS" 'jUp - < / /-7.

/> —»

Используя известные неравенства Марцинкевича и оценивая скорость роста постоянных в этих неравенствах с ростом порядка соответствующего момента, получим, что по той же схеме можно исследовать суммы независимых симметричных случайных величин. Пусть У/> ^ - Х*^, так. что (¡^- аб-

солютные порядковые статистики, ' Р>п - /-- ¿~77i>

Теорема 2.8. Если к/л ) , где к - фиксированное натуральное число и -j. с а * , то

5, ^ о (\ Ч & /зл )

2. Пусть /С/х) / ^^ и выполнено условие

¿'п К/л.) ^ О х) (я- -> го). ^

Тогда справедливо неравенство

3 up

_ £ у

__п. //.

<<0

Если дополнительно выполнено условие {7J теоремы 2.6 , то неравенство (9) можно усилить до неравенства

Более того, если -» *** цри Я.' —* со , то

У/

'¿¿/и__L

а, если f/i ) <г то справедливо неравенство

Д'-->

^ ^ —^-* /

/г

Приведем два следствия,поназывающих, сколько экстремальных слагаемых следует отбросить, чтобы получить верхнюю оценку в законе повторного логарифма.

Следствие 2.6. Пусть функция К (х) удовлетворяет условию ^в) , условию пункта 3 теоремы 2.6 и условию

( J (10)

Тогда выполняется неравенство

.и-т - < 7 л.н.

Следствие 2.7. Пусть К - С , где С * О - некоторая

постоянная, и для любого С > О выполняется условие

<г'

Тогда

•¿¿т

Так же, как из Теоремы 2.6 получается Теорема 2.5, из Теоремы 2.8 можно получить оценку скорости роста суммы в зависимости от скорости роста максимального по модулю слагаемого.

3. Третья глава посвящена исследованию скорости роста мартингалов и сумм квадратов мартингал-разностей, которые, очевидно, образуют последовательность положительных согласованных с соответствующей последовательностью сигма-алгебр случайных величин. В этой главе мы сохраняем прежние обозначения, придав им новый смысл. Мы предполагаем, что Хп. - последовательность мартингал-разностей для мартингала .£>„ = -Ж" : относительно возрастающей последовательности сигма-алгёбр у

В Теореме 3,1 этой главы на случай мартингалов переносится функциональный закон повторного логарифма в условиях Колмогорова:

п.и. (1г)

где ¿п —* О предсказуемая последовательность случайных величин.Отметим , что аналогичный результат был доказан Филиппом и Стаутом для случая, когда - детерминиро-

ванная последовательность, сходящаяся к нулю.

В условиях (12) для последовательности 77? получен усиленный закон больших чисел в форме

I п. и. (П -" со) ^

Теорема 2.4 с соответствующим изменением смысла обозначений полностью перенесена на случай мартингалов.

Отметим еще один результат, связывающий скорость роста максшальной мартингал-разности со скоростью роста мартингала.

Теорема 3.4. Пусть($„ ')- квадратично интегрируемый мартингал, к - натуральное число, Р ^ - класс функций, введенный перед формулировкой теоремы 2.5 . Пусть 1Ъп—* ^ п.и. и для некоторой функции ^ с- Ь^

- о (Ьп ') О.Н.

Тогда

5л (vЬп 4(!Ьп) ) п,н.

4. Перейдем к рассмотрению результатов диссертации, касающихся квадратичной вариации. Пусть Хп ~ независимые случайные величины,Т»]Г -(Цп)*0<с (»)<• • < / М -л)- разбиение 11 ^г / V"/ '

- 7

3

'У

У,

/ • \

целочисленного интервала [0, л] , - [¿¿.- ) - квадратичная вариация суыш £>„, относительно разб^ния ^ В терминах квадратичной вариации усиленный закон больших чисел для квадратов и закон повторного логарифма описывают асимптотическое поведение квадратичной вариации для соответствующих разбиений. Действительно, если Ъп~(й< , то усиленный закон больших чисел для квадратов примет вид

п —» -РО Юл

а , если взять Ъп - (О^л) г го закон повторного логарифма примет вид

бор---,. „ = / п. и.

Рассмотрим промежуточные между этими двумя 1файними типами разбиений. Пусть на последовательность разбиений наложены следующие ограничения:

(?, й/п) < ¿'. Сп.) - г.. (п) с / 4 /с

/ </'* V >

где /г- /к/^)^ > _ не зависящие от /г. и '

постоянные, причем СЬ{ п.) удовлетворяет условию

о. а) * '

где

- неубыващая функция. Для таких разбиений справедлив следующий результат. ^

Теорема 4.1. Пусть ¿~Х„ -О, ¿'Хп ; /"//„/ < „ для некоторого > О , где С^ - абсолютные постоянные. Тогда найдется такая постоянная Д } Ог А ^ » что

Атвор -—---— вА п.* /15)

Анализ примеров приводит к предположению, что для мелких разбиений главным в знаменателе ^15) является первое слагаемое и должны получаться равенства типа (13) , а для крупных разбиений главным будет второе слагаемое , и должны получаться равенства типа (14 ) .Для некоторого специального типа разбиений эта гипотеза подтверждается, т.е. , если Л (л) -

= О/п.

¿¿¿гг>

5 /

/->. /У.

а, если л - то

¿¿»> $е//> _----- ^ /

» —^ £ а /л) ¿п п.

л, /У.

В диссертации исследуется связь этих результатов с функциональным законом повторного логарифма и некоторыми его модификациями. В частности, из них легко выводится известный результат Болтхаузена / при о< < *"/з /.

Перейдем к рассмотрению несколько иного типа квадратичной вариации и ограничимся здесь винеровским процессом О < £ & со, Пусть - некоторый класс разбиении

?) ^ 7.)

- квадратичная вариация процесса \У(^относительно класса разбиений ^ . Как показал П. Леви, рассматривать класс всех разбиений интервала бессмысленно, поскольку это

приводит к бесконечной квадратичной вариации. Поэтому мы огра-

ничимся классом разбиений ^а- , удовлетворяющих условию ¿¿.,>0- >0,

где £I - точки деления соответствующего разбиения 7\ , &>0 - некоторая постоянная.

Теорема 4.4. При любом & с вероятностью единица выполняется равенство

я» гл^ а /

5. Перейдем к описанию последней / по порядку, но не по значимости / пятой главы диссертации. В ней получены функциональная центральная предельная теорема и функциональный закон повторного логарифма для упорядоченных сумм. Пусть (Х„ , л ? /)-последовательность , вообще говоря, зависимых случайных вели-

вариационный р!яд, построенный по суммам. Строим последовательность ломанных с вершинами в точках , » гДе ~ некоторая, возможно случайная, нормирующая последовательность. Если последовательность этих ломанных слабо сходится к некоторому случайному процессу К/'), £ то ш говорим о функциональной центральной предельной теореме для упорядоченных сумм, а, если здесь о,; 1и заменить на , то мы говорим о функциональной центральной предельной теореме для сумм ¿¿п Естественно, в этом случае предельным является винеровский процесс.

Теорема 5.1. Пусть для сумм, -^/.справедлива функ-

циональная центральная предельная теорема с некоторой нормировкой Д/ц, . Тогда она справедлива и для последовательности упорядоченных сумм, с той же самой нормировкой

Получены явные формулы для одномерных распределений процесса 1/(0 : при X >0

р(у(к)сх) -- - л-) -

, $ <р(*£) 4(Л-) ¿у. г.

где '/(^' плотность распределения стандартного нормаль-

ного закона, ¿-/{¿), (/Т //-¿) , * '-*//{,

Мы говорим,что для последовательности упорядоченных сумм справедлив функциональный закон повторного логарифма, если последовательность описанных выше ломанных при соответствующей нормироЕке ¿1Г1 относительно компактна в С к мнокест-

во ее предельных точек совпадает с некоторым множеством /- £(/£//

Теорема 5.4. Если для сумм <5 , / ? справедлив функциональный закон повторного логарифма, то он справедлив и для последовательности упорядоченных сумм £>/, „' < п- с той же самой нормировкой, причем предельное множество // состоит из неубывающих абсолютно непрерывных ртункций из С ¿¿',/], удовлетворяющих условиям

(а и^УЫ^лк

/П1 л-

Де

[о - точка, в которой $Цо) --о.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Егоров В.А. О законе повторного логарифма. - Теория вероятностей и ее применения,1969,т.14 , № 4,с. 722-729. Егоров В.А. Об усиленном законе больших чисел и яаконе повторного логарифма. - Теория вероятностей и ее применения,

1970, т.15, РЗ, с. 520-527.

3. Егоров В.А. Некоторые достаточные условия для закона повторного логарифма.- Сб. Теория вероятностей и математическая статистика, КГУ, 1970, N33, с. 62-68.

4.4 Егоров В.А. Несколько теорем об усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма. - ДАН СССР, 1970, т. 193,Г2,с. 268-271.

5. Егоров В.А. Обобщение теоремы Винтнера - Хартмана о законе повторного логарифма. - Вестник ЛГУ, 1971, Р7,с.22-28.

6. Егоров В.А. Несколько теорем об усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма.- Теория вероятностей

и ее применения, IS72, т. 17, ¡1'- I , с. 84-98.

7. Егоров В.А. К теореме Колмогорова о законе повторного логарифма, - Вестник ЛГУ, 1972,ИЗ, с. 140-142.

8. Егоров В.А. О скорости сходимости к нормальному закону эквивалентной существованию второго момента. - Теория вероятностей и ее применения, 1973, т.18, с.180-185.

9. Егоров В.А. О связи между усиленным законом больших чисел и законом повторного логарифма. - Третья мездународная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, IS8I, с.185-190.

10. Егоров В.А. О связи между усиленным законом больших чисел и законом повторного логарифма. - Записки научных семинаров ЛОЖ, 1982, t.IIS, с.87-22.

11. Егоров В.А. Об асимптотическом поведении квадратичной вариации траекторий процессов с независимыми приращениями.-Записки научных семинаров ЛОМИ,1983,т.1ЭЭ, с.78-88.

12. Егоров В.А. Об одном подходе к доказательству теорем о законе повторного логарифма. - Теория вероятностей и ее применения, 1984, т.29, №1, с.151-157.

13. Егоров Е.А. Об одном обобщении закона повторного логарифма.-Четвертая международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, 1985, т. I, с. 242-243.

14. Егоров В.А. Об одном обобщении закона повторного логарифма.-

Сб. Вероятностные распределения и математическая статистика, Ташкент," SAH ISS6, с. 155-170.

15. Егоров В.А. Об одном обобщении функционального закона повторного логарифма. - Теория вероятностей и ее применения, 1986, т.31, № 3, с.631-632.

16. Егоров В.А. 0 центральной предельной теореме в отсутствие экстремальных абсолютных порядковых статистик. - Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 142, с. 59-67.

17. Егоров В.А. 0 центральной предельной теореме со случайной нормировкой. - Сб. Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей., Издательство ЛГУ,1986,гД,с.169-174.

18. Егоров В.А. Закон повторного логарифма для квадратичной вариации винеровского процесса. - Записки научных семинаров ЛОЖ,1967, т.158,с. 72-80.

19. Егоров В.А. Об усиленном законе больших чисел для средней части выборки. - Записки научных семинаров ЛОйИ, 1988, т.166, с.25-31.

20. Егоров В.А. 0 влиянии экстремальных порядковых статистик на скорость роста сумм. - Теория вероятностей и ее применения, 1990, т.35, !R3, с. 566-570.

21. Егоров В.А. Функциональный закон повторного логарифма для упорядоченных сумм. - Теория вероятностей и ее применения,-1990,т.35,W2,с. 343-349.

22. Егоров В.А. Об усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма для мартингалов и сумм независимых

случайных величин. - Теория вероятностей и ее применения, 1990, t.35,fT4,c. 691-704.

23. Eeorov V. A. The law of the iterated logarithm and or<3er statistics. - in proceedings of Fifth vimms conference on probability theorr and mathematical statistics. 1990. v. 1.

p. 304-313. ( HorKslas Vilnius V. s. P. Utrecht Hetheriands )

24. Eeorov V. A. The law of the Iterated logarithm and order statistics. - Fifth international Vilnius conference on probability theory and mathematical statistics. Abstracts of comminlcatlons, 1909. v. l. p. 129-130.

25. Eeorov V. A. Increase rate investigation for sums of random variables. - l-st international Seminar on Asymptotic Hethods in Prob. Theory and Hath. Statist.. iarsdorf (Saxonia).

April 8-12» 1991.