Общие представления совместного распределения случайных величин и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. В. И. РОМАНОВСКОГО

на правах рукописи

УДК 519.21

Шарахмегов Шагургун

ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОВМЕСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ТАШКЕНТ 1997

Работа выполнена в Ташкентском Государственном Экономическом Университете.

Официальные оппоненты: член-корр. АН РУз, проф. Азларов Т. А., акад. АН Литвы, проф. Статулявичюс В. А., член-корр. АН РУз, проф. Шармонов Ш. К.

Ведущая организация: Институт математики АН Украины.

Защита диссертации состоится

и

от

¡¿Л

1997

час. на заседании специализированного совета Д.015.17.01 при Институте Математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 7000143, Ташкент-143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан " 1 ^ " 4Д- ^ 1997 года

Ученый секретарь Специализированного Совета . . , доктор физ.--мат. наук, проф. (дД/ •

Ш. А. Хашимов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и научная ношона. Настоящая диссертация посвяшена исследованию зависимых случайных величин (с. в.). Усилиями ряда известных математиков был решен широкий спектр основных задач теории вероятностей для таких типов зависимых с. в., как цели Маркова, мартингалы, последовательности, удовлетворяющие условиям перемешивания, «»-зависимые с.в. и др. Объединяющей чертой перечисленных классов зависимых с.в. является, образно говоря, свойство независимости "далекого будущего" от "настоящего". Наличие такого свойства позволило перенести ка эти классы известные результаты, справедливые для независимых с.в.

При исследовании многих проблем естествознания, в частности, теории многомерного стохастического интегрирования, теории кодирования, квантовой механики, теории прогнозирования и фильтрации, вычислительной математики, возникает необходимость в изучении объектов, не обладающих вышеупомянутым свойством, а именно, мультипликативных систем, /--независимых с.в., симметрических статистик и др. Отсутствие отмеченного свойства для этих классов с.в. требует привлечения новых подходов и методов.

Качественным отличием настоя-цей работы от других исследований является новый взгляд на зависимые с в., основой которого служит полученное в диссертации представление для совместного распределения произвольных с.в. Такой подход затрагивает основные понятия теории вероятностей и, по сути, является первой попыткой увязать изучение свойств зависимых с.в. с исследованием структуры их совместных распределений.

В диссертационной работе впервые получено представление для совместного распределения произвольных с.в. Получена хапастеризация с его помощью разли' *ых классов зависимых сл. Доказаны теоремы, однозначным с "разом ставящие в соответствие кзвдому набору.пршпватьно зависимых с.в. набор независимых с.в. а ¿/-статистику от них и дающие возможность тем самым сродить проблемы дг.я зависимых с.в. к хорошо изученным объектам.

, Получена теорема, позволяющая переносить результаты для мультипликативных систем из /--независимые с.в. Впервые получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для мультипликативных систем н /■-независимых с.в. Доказаны точные * и'оментные и вероятностные неравенства и глобальные предельные теоремы для мультаплнкатеБкых систем, /--независимых с.в. _и

симметрических статистик. Исследован закон больших чисел и скорость сходимости в нем для широкого класса зависимых с в., удовлетворяющих неравенствам Розенталя.

Це.гъ работы: Получить общее представление для совместного распределения произвольных с в. Охарактеризовать с его помощью р:. ыичные классы зависимых с.в. Доказать предельные теоремы и получить решение ряда примыкающих к ним задач для мультипликативных систем, г-независимы-; с.в. и симмстричесикх статисшк.

Теоретическая н практическая значимость. Полученное в диссертации представление „ для совместного. распределения произвольных с.в. позволяет изучать все зависимые с.в. с единой точки зрения. Доказанные в работе структурные теоремы дают возможность, например, переносить результаты теории независимых с.в. и [/-сгатистик на зависимые с.в., позволяют выпасать явное представление для заданных многомерных распределений (таких, как бергуллиевскос, нуассонавское и т.д.), пай ги явное представление для совместного распределения с.в., имеющих конкретный тип зависимости и, кроме того, полностью охарактеризовать различные классы зависимых с.в. Полученные в диссертации результаты язя мультипликативных систем. r-нсзависимых св. и симметрических статноик могут найги применение в теории ортогональных фрикций (см. Г Алексич "Проблемы сходимоан ортогональных рядов". М.: Издательство иностранной литературы, 1963), эргодической теории, теории кодирования, теории прогнозирования и фильтраии, вычислительной математике (см. Б. В. Гладков "Суммы случайных величин, любые г из которых независимы". "Математические заметки", 1982, т. 32, N° 3, стр. 358-393, J. Robertson " A two state painvise independent stationary process for which X1X1X5 is dependent" Sankhya. 1988. V 50. Ser. A, pi 2, p. 171-183), теор'ни многомерного стохастического ин.егрированил, «битовой механике, гармоническом акали ¡с, теории опреаторов и др. (см. работу W. Krakoivuk, J Szulga "Random multilinear forms". Annals of Probability. I4S6. V 14. p и

ссылки в ней).

Апробация. Результаты .тссертпнии докладывались на 3-5 ' ¡ильнкк-'Ских Международных Конференциях гю теории

вероятностей н математической статистике (1981, 1985, 1989), на Советско-Японском Симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике в Тбилиси (1982), на 3-м и 4-м Ферганских Коллоквиумах по теории вероятностей и математической статистике (1982, 1995), на 1-м Всемирном Конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им. Я. Бернулли (Ташкент, 1986), на 20-й Всесоюзной школе-коллоквиуме по теории вероятностей и математической статистике в Бакуриани (1986), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте Математики АН Украины, на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте Математике АН РУз, на городском семинаре по теории вероятностен и математической статистике ТзшГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-17]. .

Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из " введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 151 наименование. Общий объем диссертаций 229 страниц машинописного текст!

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

. В главе 1 настоящей диссертации впервые дается общее представление для совместного распределения произвольно зависимых сл. - *

Пусть »¿2 - некоторое натуральное число, л* -произвольный элемент некоторого непустого конечного или счетного множества X^, к=1....,п.

Теорема 1.1. Пусть функции

р^.х^ом к-],...л, •

удовлетворяют следующим уеяезяям:

I Pt(xt) (i.i)

£ g},.....j,(xih...jUb...#JpiJx>J~-0. (1.2)

xi, eXi,

.....c, 2.....П,

Z Z »,......'Jx;.....x,j ¿- i (1.3)

' ' /<5/

Тогда существует набор с.в. 7/......//„ , принимающих чначения в

Xi......YH соответственно, с совмсстиым распределением

п я

р(х,.....Xj IIр(Х,) (1-Е У X:...........х, »(\Л)

I 1 I I lär ... 1.2Я

Теорема 1.2. Пусть rjt......rj„ -с.в.. принимающие значения в

,Yj.....-V„ соответственно. Тогда существует единственный набор

функций

Pl-Xi-XH.'l.k 1.....и.

gi,......Xi,~*R. Iii: itSh. c - 2....,n.

удовлетворяющих условиям (I. I >-( 1.3). для совместного распределения которых справедливо ¡фгдетааленне (1.4), причем

С

Z(pfxj,....jjJ , fp(Xh) .pfx,j) -и.

jl ,Jn£'lt.....

¡¿¡г ... -ifäu с 2.....П.

Следующие теоремы 1.3 и 1.4 кажюму набору зависимых с.в. однозначным образом ставят в соответствие набор независимых с.в. и /"/-статистику от них и тем 'самым дают возможность сводить «poö.icuи для зависимых с.в. к хорошо изученным объектам. о

Пусть ¿1. к I.....и,. - независимые с.в...принимающие значения

в.XV и имеющие распределения Р1(х^ х^. Далее, пусть (>ш-класс симметрических статистик вида

я

Ь'./С;...... У 2" I ......KfXh.-~.XiJ.

удовлетворяющие условию

ИЛ,....... .

где функции 8п....../„ ¡¿¡г■"... ¡<.£1. с 2,...обладают свойством

полной вырожденности, то есть удовлетворяют условиям

Я»;......&

к I.....с. ¡¿¡г ... '¡сЗк с 2.....л.

Тгорсмз и. Если 11Йе(1„ то существует набор с.в.

1)1......»7», принимающих значения в Х>.....Л", соответственно, с

одномерными распределениями р\(х\\.,рЛх*)> такие, что для любой функции /.У/х... Хя—>}{, с

Е/М,......Ф Щ Е/М1............<У/<<Ч

имеет место соотношение

т>......ги -пм,-..........(1.5)

Теорема 1.4. Если щ......цЛ - произвольные с.в.. принимающие

•значения в А'),...,.¥„ соответственно, с одномерными распределениями

Р/1. то.....р„Ы, то существует единственная симметрическая

статистика ¿7,6(7« такая, что для лкнюй функция /Л/г.... ХЯ->Е с

Е1/(тц......г]п)1-<х> . •

справедливо соотношение (1.5).

Как показано в параграфе 1.2 главы 1, соответствующие, аналоги теорем 1.1-1.4 справедливы и для не обязательно дискретных с.в. Так, теоремы 1.6, 1.7 дают представление для дифференциала Л:(х,.....совмеа .юй функции распределения не

обязательно дискретных с в., который в случае их непрерывности является совместной плотностью. Из этих результатов следует, что утверждения теорем 1.3 и 1.4 полностью переносятся на произвольные св. Обшее представление для совместной функции распределения не обязательно дискретных с.р содержится в теоремах 1.8 и 1.9.

Хотя основные результаты главы I насгощей диссертации име.т структурный характер, они имеют большую ценность не только в теоретическом, но и в практическом плане, и позволяют научать все зависимые с в. с единой точки зрения.

Теоремы 1.1, 1.2 и их аналоги для необязательно дискретных с.в. позволяю, в частности выписать явное представление для заданных многомерных распределений, май г и явное представление для совместного раснелеления с.в., имеющих конкретный тнп зависимости и, кроме того, полностью охарактеризовать рагтичные классы зависимых с.в.

Теорема 1.5 главы I дает следующее проставление для совместного распределения произвольных бернулзиевских с.в.

Теорема 1.5. Пусть ф......ч, - симметричные бернултиешгкие

с.в., то есть

Р(Ъ I) С,% -О 12.1 1.....П. . Тогда их совмест кое распределение имеет вид

Р(ч, и 2'(1 - I £

14, ..

т

Г"КПО Х,ф. р/

/.....л.

В конце параграфа 1.1 . главы 1 доказаны следующие результаты, лающие характеризацию совместного распределения с.в., обладающих свойствами независимости, еташ онарности. . симметричной зависимости, ортоюналышеш и т-зависимости.

Теорема 1.10 С.в. ф......яатякггея независимыми тогда и

только тогда, когда в представлении (1.4) о

&ь-Л<(*и.....Х!.)шв

1<1, ... гс&.с 2.....П.

Теорема 1.11. Последовательность {/}„! одинаково распределенных с.в. стационарна (в утком смысле) тогда и только тогда, когда в представлении (1.4) для любо го конечномерного распределения функции .....(х*,.....ж. ) инвариантны

относительно сдвига индексов, то есть

.....'............

для всех ¡¿¡I ... ¡с с= 2, 3,.... А 0,1,...

Теорема 1.12. Пусть - последовательность с.в. с

Кц 0, Нг/ь ж, к -1.2.....{£*} - последовательное!» независимых с.в.

таких, что <а одинаково распределен^ с щ. к 1,2,... Последовательность ¡г\п) является стационарной (в широком смысле) тогда и только тогда, когда функции g , участвующие в представлении (.1.5), обладают тем свойством, что функция - Изависит только от

Теорема 1.13. С.в. т],......7. с Ег^ О. А-1,2,-

являются ортогональными тогда и только тогда, когда функции g, участвующие в представлении (1.5), удовлетворяют условиям

где ¿/......- последовательность независимых с.в. таких, что

одинаково распределена с 1}ь- к 1,—,п.

Теорема 1.«4. Одинаково распределенные с.в. г}/......т]„

являются симметрично зависимыми тогда и только тогда, когда функции £ в представлении (1.4) инвариантны относительно перестановок индексов аргучентоп, то есть

.¡дя всех 1,^1. с 2.....П и всех перестановок ,т множества

(1.....и/.

Теорема 1.15. Сл. t¡¡......t¡„ являются »/-зависимыми тогда и

только тогда когда функции ¡z , участвующие в представлении (1.4), удовлетворяют условиям

g¡...........JÁXÍU...JL)X

.....Л'.»

для всех 1¿¡i '...'/„• ...--ie&i, al.....c-l. с 2.....и.

ia,i~ia¿jn..

Другие приложения теорем 1.1-1.4, дающие представ.юния для совместного распределения с.в.. имеющих конкретный тип зависимости, предваряют главы 2 и 3 настоящей диссертации, посвященные исследованию мультипликативных систем и /■-независимых с.ь.

Перейдем к формулировке основных рс)>лыатов главы 2.

Следующее понятие ■ мультипликат явных систем произвольного порядка а (сокращенно M('/at) было введено в работе автора [7].

Определение. Говорят, что св. r¡i......7» образуют

мультипликативную систему порядка ас.Х, если I'lrjJ" j-, > i.....и,

и для любых a,e{0,¡.....ea¡.j ¡.....и, выполняется равенство

t: п •

f- П П,а' П!■■ n"'

) I 1 '

\

Системы MCfl) и ШУ2) под названиями мультипликативной и сильно мультипликативной систем были введены Г. .\лскси icm (Г. Алексич "Проблемы сходимости ортогональных рядов". М.: Издательство иностранной литературы, 1963) при исследовании ортогональных функций. При этом Г. Алексич ввел понятия мультипликативной и енльно мультипликативной систем на языке теории функций и применял, в основной, методы тгой теории для их изучения. Трактовка проблем, восходящих к работам ti но автора, tía языке теории вероягноск'й и применение теоретико-вероятноепшх методов для их решения, вылились в целое направление исследований на стыке теории вероятностен и теории функций 0

В формировании этого направления основная заслуга принадлежит венгерской математической школе, представителями которой (Г. Алексич, К. Тандори, П. Ревец, Я. Комлош, Ф. Мории и др.) были получены многие известные результаты теории мультипликативных систем.

Примерами мультипликативных систем Ш'.(1) , помимо независимых св., являются, например, лакунарные тригонометрические системы (cos 2яп& , sin 2ящх, к~},2....) на отрезке /О, I/ с лебеговой мерой при rit, ¡ nt >2, а также такие важные классы зависимых с.г.. , как последовательности посимвольных мартингал-разностей.,

Примерами . мультипликатиbiit« систем МС(а) являются, например, лакунарные тригонометрические системы с большими лакунами (eos 2,w¿jt , sin Z®ípr, k-¡,2...., j^¡0J], n¡, .i n¡; ¿a-1), а также та« назывемые е-независимые и асимптотически независимые с л., введенные В. М. Золота^ дым (В. М. Золотарев _ "Размышление о классической теории предельных теорем. 1.". Теория вероята. примек. 1991, т. 36, в. I, стр. 111-125).

Теорема 2.1 главы 2 дзет хараетеризацяю совместного распределения с.в., образующих МС(а) , в терминах (1.4). Для удобства ограничимся дискретным случает«. Здесь и всюду далее go.-~..'с -функции, участвующие в представлении (1А).

. Теорема 2.1. С.в. щ.....tj» , принимающие значения в Л),...Л

соотзетсгаенно, с одномгрнымя распределениями Pi(x0"P(^xi), образуют МС(а) тогда « тшьхо тогда, когда

(§„-.,

где со, ,-..a¡,e{0,l.....а}. с=Х..,п, &......¿ -

независимые с.в. такие, что & одинаково распределена с щ ., ■k-i^n. •

В теореме 2.2 устанавливается еще одно структурное свойство

мультипликативных систем. В ней показывается, чго сл. rj¡,____

образуюаув МС(а) и принимающие не более чем а+1 значение, на самом деле являются независимыми а совокупности.

Теорема 2.1. Пусть t¡¡......if, - с.в., образующие НС(а) и

принимающее значения во множествах соответственно Если

card Х^<а - /, к-I.....п. то с.в. t¡¡......r¡„ являются независимыми в

совокупности (card А обозначает число элементов множества А).

Из теоремы 22 можно получить ряд интересных следствий. В частности, из лес вытекает, что, сказывется, не существует последа&1гельностн с.в., образующих ' чистою" мартингал-разность и принимающих не более двух заачений.

Следствие ?.i. С.а. t}¡,.....//,. , принимающие не более двух

значений, образуют мартингал-разность тогда и только тогда, когда они каляюгея независимыми.

Параараф 2.2 главы 2 посвящен оценкам скорости сходимости в центратьной предельной теореме для с.в., образующих мультипликативные системы.

Как было отмечено выше, истоки многих задач, касающихся мультипликативных систем, в частности, проблема доказательства центральной предельной теоремы для Л/С '(а), лежат в теории функций. Первыми работами, посвященными центральной предельной тео^-ме дл.; мультипликативных систем, были известные работы 40-х годов по теории ортогональных рядо.-«, принадлежащие Р. Салсиу, А. Чигмчиду, ?. Форте и М. Kauv. Оценкам остаточного члена в теоремах Салсма-Зигмунда и Форте-Капа были посвящены работы А. Г. Постникова и В. Ф. Гапошкина.

Исслелэзаиню достаточных условий для справедливости центральной предельной теоремы для общих мультипликативных систем были посвящены работы таких авторов, как П. Ревеи. Ф. Мориц, В. Ф. Ганошкин, Я. Комлош.

Вопрсс об оценке остаточного члена в центральной предельной теореме для общего случая мультипликативных систем до настоящего времени не был исследован. Касательно этот вопроса в настоящей работе подучены следу ющие результаты.

Пусть }<\(x)¡ - сильно чульгшишкатиБная система функций, определенных'на отрезке /У.//. Введем обозначения:

v 2 v "

Ssfx} £а„(р,(х,. Аь Еат.

к I „ I

í-s(y) mes(¡x: .SVv/.-¡4 •!)

рл max I a J A \. « is

Теорема 2.6. Если /ifljx)/&f, n 1.2..... то для всех N¿1

справедливо неравенство.

Л

sup !\-\<у) - Ф(у)! <jhip*.

Теорема 2.7. Пусть iju4i— - последовательность с.в., образующих МС(4). Еп^О. к 1.2,...,

У 2 К 1

Bs- SEX,. 1ч,- SElxJr/Вк. АГ" 1.2......р О,

i 1 <'/

v

4v svp!P(ZX, Hx x) - ФСх)/ it

t

Тогда су ществует абсолютная постоянная С такая, что « .

Av<CL,s.

Отметим,' что лучшая чем в теореме 2.6 оценка остаточного члена (имеющая порядок убывания 0(N~is) вместо OffJ"")) достигается в теореме 2.7 за счет более жестких ограничений на порядок мулитигтикатив'носгн (МС(4') вместо МС(2)). Вместе с тем эти ограличени." позволили избавится от обременительного условия равномерной ограниченное™ рассматриваемых с.в. Усиливая условия на мультипликативность, можно получить все более лучшие оценки остаточного члена в центральной предельной теореме, которые при неограниченном росте порядка мультипликативности все менее отличаются от известной неулучшаемой оценки в центральной предельной теореме (имеющей пору, ок 0(N~12)).

К сожалению, вопрос о точности вышеупомянутых оценок з центральной предельной теореме для с.в., образующих МС(а) при конкретных а остается открытым. Изыгстло, однако, что в случае МС(2) нельзя получить оценку, имеющую порядок убывания лучший чем С)(ЪГ'*) . Это следует из примера Э. Болътхаузена для с.в.. образующих мартннгап-разностъ, которая является частным случаем сильно мультипликативной системы.

Методы, при помощи которых были получены теоремп 2.6 и 2.7, применимы и при доказательстве других предельных теорем для с.в., образующих мультипликативные системы. Так'' например, в

о

теореме 2.8 исследуется сходимость функции распределения взвешенных сумм с.в., образующих МС(2), к нормальному закону в средней метрике.

Пусть ÍVkft u— " сильно мультипликативная система функций,

Sjv= ZA-siVk. ¿v =• sup /Ata/, N-1,2,..., k-l к

где коэффициенты (Л>.%) . к=*1,2... - строки бесконечной матрицы Пусть

*

Fs/xJ P(Sff"x), Зыр (f/EsíV-Wh"1.

-X

Имеет место следующая • Теорема 2.8. Пусть í<pjx}/^1. /<f\(x)Jx tí,,

т г

¡Ых)1, к Av.- t,N 1.2.... Тогда

-«Г

бинтуй рИ

где L<0,9182 и К< / ¡,45.

В теоремах 2.11, 2.12, 2.16 и 2.17 впервые получены вероятностные и момешпые неравенства для с в., образующих мультипликативные системы, без условия их равномерной ограниченности. Эти неравенства являются полными аназогами результатов, известных в случае независимых с.в. - неравенств Пагаева-Фука и Розенталя.

Теорема 2.11. Пусть tj¡.....t]„ - с.в , обратующие Ш'(1). х.у-

произвольные числа, A¡ ,¡ Ег\,. Тогда имеет место неравенство:

Р(Г* ,t], ,P(i}, у)-Р,.

где P¡ explxy-xy Шх А, -1}). При х А,

¡П. il'rrj, у).-Р;.

где Р; expfx у-A t у-х у Шх А ¡)) i¡':<!',).

Теорема 2.15. Если rj,.....rjn - неотриитгельные с.в.,

образующие К!С'(1) с Erfх, i I.....л, р- /, то

max(S'i,J-:rjp.. *

где С(р) - константа, зависящая только стр.

В теоремах 2.12 и 2.! 7 получены аналогичные результаты для с.в., образующих МС(2).

Теоремы 2.11, 2.12, 2.16 н 2.17 показывают, что в проблемах оценивания вероятностей больших уклонений и моментов сумм с.в., образующие мультипликативные системы, ведут себя гак же, как независимые с.в. .

Глава 3 настоящей работы посвящена /--независимым с.в. Напомним следующее

Определение: Св. ///.....% называются г-кезависимыми

(2</<я), если любые г из них являются независимыми.

/-•независимые с.в. являются одним из практически неизученных объектов теории вероятностей, несмотря на то, что они естественным образом возникают в задачах эргодической теории, теории кодирования, теории прогнозирования и фильтрации, вычислительной математики.

Теорема 3.1 параграфа 3;1 дает следующую характеризацию класса /--независимых с.в.

Теорема 3.1. С.в. t]i....,t]m являются /--независимыми тогда и только тогда, когда г

8......>J$,.....Ф,)*0. 1&1 -. '¡С&.С 2.~:.Г.

В частности, для /--независимых с.а. справедлив следующий результат.

Теорема J.2. Симметрические бернуллиевские с.в rji.....

являются /--независимыми тогда и только тогда, когда их совместное распределение имеет вид

н

t'frji X,.....пп W Г" (i I Z Erf,...rp_.xt,..jaJ.

, хс/ -/. !l.i-i.....п

В главе 3 особняком стоит теорема 3.5, формулировка и доказательство которой существенно отличается от других приведенных здесь результатов. Эта теорема посвящена частному случаю комбинаторной задачи о наибольшем числе к г(£)-независимых с.в., которые можно определить на вероятностном пространстве . состоящем из п точек.

В случае, когда т(к) к-I. нами получен следующий окончательный результат.

Теорема 3.5. На любом вероятностном пространстве, состоящем из п точек, может быть определено самое большее к llo^:l2n)f Л-/^-независимых с.в. Экстремальный набор существует для любого п 7я, m 1.2....

Касательно общего случая г'к) нам представляется правдоподобной следующая гипотеза:

На вероятностном пространстве, состоящем из и точек, можно определить самое большее

к max{m: Г.чГ^"1"' /■^-независимых с.в;

результат, с.в. и

Теорема 3.6. Пусть rji.....rj„ • /--независимые с.в., г,. a„j 1....N.

- целые числа, 0<то< Г; ... ' Т\ п. ]), у }.....п - действительны;

измеримые функции. Положим

Г МФ i'tfl 1

N v Ц n «5

Если Za.<r, то Е Щ = ЛЕ§-j 1 ' П j I

В частности, если Ыа£г,то с.и. с/.....4 образуют МС(а).

Теорема 3.6 позволяет переносит!- результат, полученные для

г» о

случая мультипликативных систем, на r-незавксимые с.в. В частности, она применима при доказательстве центрапьнон предельной теоремы, закона повторного логарифма, глобальных предельных теорем, прииипа глварналтности для г-нсзависимых с.в

В теореме 3.6 устанавливающий связь мультипликативными сисп

получен следующий „ мезкд-. /--ьезависимыми

В диссертации продемонстрированы два аспекта применении теоремы 3.6 (теоремы 3.7 - 3.0).

В теореме 3.7 шерьыс получена опенка остаточпо! о 'йена в центральной предельной теореые для г-неэтвисимых с.в.

Пусть к■ 1.....к„ п 1.2,...} - последовательность серий

г„-незпвисимых в л-й серии с.в,, ¡'.1)<л А. '

К

Зг\ 1'£>Л,. Л шр/Р(1ПщВт х)-ф(х)1.

I < * I >

Теорема 3.7. Пусть /,//;„4/' я, к I.....кт. п -1.2.... Тогда

существует абсолютная постоянная С такая, что

у/ г„ • (T/•:/nГlí/^,^;„/■'.

! I

1} папе 3 доказано также следующее утверждение, которое примыкает к результатам Б В Гладкова.

Теорема 3.3. Пусть гя->х и выполнено условие Линдебрга

' 1 /ч иХ

»

для любого г. (А ¡огда имеет место центральная предельная теорема, то есть при п

Теорема 3.9 касаетс» иного, чем в теоремах 3.7, 3.8 аспекта приложений теоремы 3.6, сея ¡ылающей /"-независимые с.в. и мульгипликатвнме системы, а именно, в ней устанавливаются опенки моментов сумм /"'Независимых с.в., являющиеся полными аналогами неравенств Розенталя.

Теорема 3.9. ¡1усть 2 р<г. 7/. ...щ, - г-непвисимые с.в. с Ец, 0. /:У,7,1Р / /.....л. то

,ЧГ<СГр) так (Г, Ч/г,,/". ,КгГГ:).

где С(р) - константа, зависящая только от р .

Нетрудно посгрйчгь примеры. показывающие, что з случае р>г утверждение теоремы 3.9,. вообще говоря, не имеет места.

'лага 4 настоящей работы посвящена исследованию ■;'иммчрнчес«1.\ статистик и примыкающих к ним объектов.

Во многих задачах теории вероятностен возникает необходимость в верхних и нижних оценках одинакового порядка для моментов симметрических статистик.

В случае линейных статистик такие оценки даются хорошо известными неравенствами Хинчнна, Марцинкевича-Зигмунда и Розенталя.

Параграф 4.1 диссертации песпяшсн доказательству аналогов неравенств Хинчина, Марцинкевкча-Зигмунда и Розенталя ддя нелинейных симметрических спзтистик.

Пусть »•/„ » независимые одинаково распределенные с.в., принимающие значения . в некотором измеримом пространстве (3, А), <>1, 7. X , тде}'. -

некоторая функция. Введем в рассмотрение следующие условия:

•

ОДднЛ (4.1)

£-/т',.АУ/'<«Ч (4.2)

Е(Г(Х,Ж'Хг)-а (4.3)

Диаедра З'.уаоалетворзиощйго условию (4.2), положим

Ъ-тах( ¿ЕР&ьХ* ■

^(ЕУОС.Х^).. .

Теорема 4.1. Еш Т: З'-М - кзоорицательнаа функция, удовлстеор5?ющяа условиям (4.1), (42), то 0

ЛЩ&ЕГ^т*-.

Теоремы 4.1, 4Д. Есла ~ функция. удовлетворяю дая

условиям (4.1)-М.З),то ©

ло) r.f у г-7л;л> f&lrj'mw iraixj/

l-Л II* Ы 1<»

В параграфе 4.1 построены примеры, показывающие, что, вообще говоря, каждый член, участвующий в выражениях для и цг,, является существенным. Кроме того, там же приведен пример, для которого теорема 4.2 при р 4 дает точную оценку порядка п}, в то время кпк ранее известные неравенства дают лишь верхнюю оценку порядка пл. (этот пример показывает, что наш результат существенно точнее этих неравенств).

Методы, использованные при доказательстве теорем 4.1-4.3, применимы для получения момента ых неравенств для симметрических статистик порядка m 2.

Из теорем 4. ¡-4.6 можно получить ряд следствий для I '-статистик с вырожденным и невырожденным ядром, обобщенных /'-статистик, функционалов Мизеса, ядерных оценок Парзена-Розенйлагта, квадратичных форм и других статистик. Кроме того. )тн теоремы могут найти применение в теории многомерного стохастического интегрирования, квантовой механике, гармоническом анализе, теории операторов и др. областях

В работах, посвященных предельным теоремам для (/-статистик, в основном рассматривалась равномерная метрика. В теоремах 4.7-4.12 главы 4 сходимость распределений (Л-сгатистик. а также функционалов Мизеса, к предельному закону впервые изучается, в ,средней мегрике (эти теоремы относятся к так называемым глобальным предельным теоремам).

Пусть 7/.....т]„ • независимые одинаково распределенные с.в.со

значениями в измеримом пространстве (3. А). Определим I /-статистику (-'„ :

11„ 2 nfn-lf Z <Нп<-%>

1-Л /ья

где Ф. »T -*/{ - симметрическая функция двух переменных. Положим

я/rjj ¡:<>/Уг1,.гу r]J. )(/},. nj <Ф(Ц,.Т])-К(>

Пусть НФ<г],. /у О. er Hjrirj,) О. N - стандартная нормальная с.в.. x/X.Y) v//r/-7/Y.V х) {'(У x)/dx.

Теореча 4.7. Пусть 0 а ж. Iii Ut};. rj^)/" «Тогда

Zi'w 2aL'„S)->0 при /»-»ж.

Следующая теорема дает оценку скорости сходимости в теореме 4.7.

Теорема 4.9. Пусть сг яз, Е/Г1}/4'3^щО . Тогда

4 2'-г(Е/Г1:!4 !^,сг)0-*'4).

В теореме 4.11 рассмотрен случай {/-статистики с вырожденным ядром, т. е. случай а 0.

• Аналоги теорем 4.7, 4.9 и 4.11 справедливы и для функционалов Мизеса (теоремы 4.Е, 4.10 и 4.12).

Доказательство теорем 4.7-4.12 основано на использовании метода метрических расстояний, который, по-видимому, впервые применяется здесь для {/-статистик и функционалов Мизеса.

В главе 5 исследу ется усиленный закон больших чисел для зависимых с.в.

Если, учесть, что первой работой, посвященной закону больших чисел, является книга Я. Бернулли, увидевшая свет в 1713 г., нетрудно представить, сколь велико количество публикаций но этой тематике. Содержание всех этих работ можно охарактеризовать , разумеется, очень условно, как то или иное обобщение или уточнение следующих трех утверждений: _

Если - независимые одинаково распределенные

лм.

с.в_ то е!х,1' о> -о Ъ'П

Если ■ - независимые с.в. с ЕХ^ ас. к 1.2,____

ЯС Ш.Ш.

¿ВХ. п7 ■ со, то Д, п-+ О (теоремы Колмогорова);

Если ____- независимые одинаково распределенные с.в., с

ЕХ, 0, то

т

ф.сиу УиГ-3Г(1&-£п°).<ъа12.ра!.

тогда и только тогда, когда £/Л_//р' (теорема Баума-Каиа).

Естественно, что для произвольных с.в. сформулированные теоремы при тех ограничениях, •которые налагаются в случае неззписиыости, не имеют места.

Так, известны примеры, показывающие, что условие

JUL

E/Xj ос ме достаточно для выполнения соотношения Se п ~> 0, а условия EXt 0. l:/Xtlp '•» не достаточны для сходимости ряда rfp. а. ¡.) при некотором е 0 даже если предполагать стационарность в узком смысле рассматриваемой послеювателыгости с.в. Кроме того, швестно, что для ортогональных, и даже для попарно независимых с.в. условие

с

£DX„ • х> не достаточно для выполнения усиленного

л / . '

закона больших чисел.

Поэтому при изучении усиленного закона больших чисел естественно налагать некоторые дополнительные ограничения на характер ивисимости рассматриваемых с.в,

3 настоящей работе в качестве такого ограничения впервые предложено условие выполнения неравенства Розетггаля:

I:/SJ'<C,(IE/XJ' • fi/-Vr7v

к 1 i I

и разработана методика изучения вышеупомянутых задач при этом ограничении.

И гвестно, что в традиционных доказательствах результатов, относящихся к усиленному закону больших чисел в случае независимости существенную рать играют вероятностные неравенства Колмогорова, Леви, Нагаева-Фука и др. Однако, такие том кие нерзпенства для зависимых с.в., кроме некоторых частных случаев, не известны, в то время как аналоги неравенства Розенталя выполняются - для достаточно широкого класса зависимых с.в. (например, для мартингалов с.в., удовлетворяющих различным условиям перемешивания, симметрических статистик и т.д.). Приведем один из характерных результатов главы 5.

Теорема 5.3. Пусть п>1/ - последов гельность одинаково распределенных с.в. с Erj, ft u p>i, a I 2, pa l. Если для некоторого / max (2. 2(pa - I) (2a - it

n

El InJ<С (n Eft}J' -(nErftJ-). t i

где Пь Пь-КПь» Пк* r)J(/к I.....я.

то из условия И1 rji/p <ю следует, vio для любого с О

<х

гtp.tuj £п '-■'¡'(/sjzot")

я I

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1

1. Шарахметов Ш. Вероятностные неравенства для сально мультипликативных систем. Известия All УзССР, 1982. №1, стр. 3437.

2. Шарахметов Ш . Юлдашев И. Ж. Скорость сходимости в законе больших чисел Л1Я зависимых банаховозначных случайных величии. Известия Al 1 УзССГ. 1986, К» 5, стр. 39-46.

3. Паднтц Л., Шарахметов 111. -Вероятности умеренных уклонений для взвешенных сумм. Докл. АН УзССР, 1987, № 5. стр. 15-17.

4. Шарахметов Ш., Юлдашев И Ж. Об асимптотике рядов из вероятностей больших уклонений для сумм зависимых случайных величин. Докл. АН УзССР, 1988, № 5, стр. 9-11.

5.Padii2 L., Sharahinedov Sh. A mean central limit ^theorem for multiplicative syriem. Math. Nachr., 19Б8, V, 139, p. 87-94.4

6. Шарахметов 111 Неравенство для сумм бесконечномерных слабо зависимых случайных величин. В кн.: "Асимптотические ме> оды б теории вероятностей и математической статистике". Ташкент, Фон, 1988, стр. 202-208.

7. Шарахметов ill. r-незавнсимые случайные величины и ыультмплнкатмвные системы Докл. АН Украины, 1993, № 2.

8. Шарахметов Ш. Оценка остаточного члена в центральной предельной теореме для /--независимых случайных величин. Укр. мате и журн., 1993,т. 4.\ № 5, стр. 725-727.

9. Шар.кмстов Ш. (/-статистики от /--независимых случайных величин. Узб. матгем. журн., 1994, № 2, стр. 70-73.

10. Шарахметов Ш. Неравенство Берри-Эссеена для статистики Стыоигеита. Узб. матем. журн., 1995, № 2, стр. 101-112.

И. Шарахметов Ш. Усиленный закон больших чисел для зависимых случайных величин. Теория шмошрностен та маюматичне статистика Вид-во ТВ i MC, 1995, в. 53, стр. 168-174,

12. Шарахмстов Ш., Юлдашев И. Ж. Оценка некоторых характеристик случайного блуждания, образующего мартингал. Внд-м> ТВ i МС, 1996, вып. 54, стр. 153-162.

3

13. Шарахметов Ш. Представление для совместного распределения произвольно зависимых случайных величин и его приложения. Деп. 09.07.96, № 2580 - Уз 96.

14. Sharahmedov Sh. Convergence rates in the strong law of large numbers for dependent random variables. Abstacts of communications of 4-lh USSR-Japan Symposium on probability theory and mathematical statistics. Tbilisi, 1982, pp. 202-203.

15. Шарахметов LLI Момснтныс неравенства для сумм слабо зависимых случайных величин. Тезисы докладов 20-й школы-коллоквиума по теории вероятное гей и математической статистике. Бакуриани, 1986, стр. 60.

16. Sharahmedov Sh.. Kasiinov Н. Berry-Esseen inequality for Student's ^-statistics. Первый Всемирный Конгресс Общества мзтематичесхой статистики и теории вероятностей им. Я. Бернулли. Ташкент, 1986, т. I, с. 60

17. Шарахметов Ш. Глобальные предельные теоремы для (/-сгатнстих и функционалов Мщеса в средней метрике. Тезисы доклалоа 5-й Международной Ьильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс, 1989^ стр. J61.

о

ТАСОЛ11ФНЙ М1ВД0РЛАРННИГ БИРГАЛИКДАГИ ТАКСИМОГЛАРИ УЧУН УМУМ1Ш КУРИНИШЛАР ВАУЛАРНИНГТАТБИКЛАРИ

Кисгача мазыуни

Диссертшшяда ихтыерий тасодифий. микдорларнинг биргаликдаги такснмоти учуй умумий куриниш олимгам бу куриниш ердамида боглик тасодифий микдорларнинг хар-хил синфларини характерлаш ва барча тасодифий микаорларни ягона нуктаий наздрдан ургаииш мумкнн.

Биринчи марта мультипликатив систем алар, г-богликмас' тасодифий микдорлар учуй марказий лимит теоремала колдик хади учун бахолар олингаи. Мультипликатив систсмалар, г-богликмас тасодифий микдорлар ва симме-трик стати стикаларнинг юкори тартибли ыоментлари учун аник бахолар олингаи. Буидан ташкари боглик тасодифий микдорларнннг кснг синфи учун катта сонлар конунн исботлангаи.

GENERAL REPRESENTATIONS FOR JOINT DISTRIBUTION OF RANDOM VARIABLES AND THEIR APPLICATIONS

Abstract

The dissertation deals with the investigation of properties of dependent random variables, in particular, of multiplicative systems, /•-independent random variables and symmetric statistics.

The qualitative difference of present work from others is the new look on dependent random variables the base of which is the representation for joint distribution of arbitrary random variables obtained in the dissertation, in fact, that approach is a first attempt to tie up the study of properties of dependent random variables with the investigation of their distributions.

in the dissertation the representation for joint distributions of arbitrary random variables was obtained for the first time. The theorems putting in the correspond to a set of arbitrary dependent random variables the set of independent random variables and (/-btatistics of them were proved. These theorems make possible to rJduce the investigation of problems for dependent random variables to the investigation of problems for independent random variables and (/-statistics. For the first time the estimates of rate of convergence in the central limit theorem for general multiplicative systems and /--independent random variables and global limit theorems for them were obtained The exact moment and probability inequalities for multiplicative systems, r-independent random variables and symmetric statistics were proved. The strong law of large numbers and rate of convergence in it was investigated.

Ail results of the dissertation are new.

Eoewara pyxcaT 3rwi№ I0.03.9f: t

Kara* 6MMM>IM 60x34 1/16 Tupaxvinycxa

Sywprwa T£K,a SocMaxOHacM 326BKHCTBM K?'iaCH, 49