Предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени

Пермякова, Елена Евгеньевна

Предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Пермякова, Елена Евгеньевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени»

Автореферат диссертации на тему "Предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени"

Научно-исследовательский институт математики и механики имени Н.Г. Чеботарева

003450373

На правах рукописи

Пермякова Елена Евгеньевна

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ СО СЛУЧАЙНОЙ ЗАМЕНОЙ ВРЕМЕНИ

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 з опт 2№

Казань 2008 г.

003450373

Работа выполнена в отделе теории вероятностей и математической статистики Научно-исследовательского института математики и механики имени Н.Г. Чеботарева.

доктор физико-математических наук А. Н. Чупрунов

доктор физико-математических наук,профессор В. Ю. Королев доктор физико-математических наук, профессор Ю. С. Хохлов

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 14 ноября 2008 г. в 11 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория № 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова.

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМиК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова http://www.cs.msu.ru

в разделе "Наука" — "Работа диссертационных советов" — "Д 501.001.44".

Автореферат разослан октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.44 профессор

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Общая характеристика работы •

Актуальность темы.

Предельные теоремы являются одной из наиболее развитых и важных частей теории случайных процессов. С точки зрения приложений особый интерес представляют случайные процессы со случайной заменой времени (суперпозиция случайных процессов). Интерес к подобным задачам первоначально возник в связи с рядом задач в страховой и финансовой математике, физике, теории массового обслуживания, теории надежности (работы Гнеденко Б.В., Круглова В.М., Королева В.Ю., Бе-нинга В.Е., Шоргина С.Я.Кокса Д., Калашникова В.В.) Насколько нам известно, впервые попытка систематического изучения общих условий слабой сходимости распределений сложных случайных функций, представляющих собой суперпозицию случайных процессов без разрывов второго рода, была предпринята Д.С. Сильвестровым (в 1974 году вышла в свет монография, посвященная предельным теоремам для сложных случайных функций1). В тесной связи с этой задачей находятся задачи о сходимости марковских процессов, остановленных в случайные моменты времени устойчивых случайных процессов со случайными параметрами, сходимости случайных сумм и процессов Кокса (исследования Королева В.Ю, Круглова В.М., Бенинга В.Е., Шоргина С.Я., Кащеева Д.Е., Кудрявцева A.A.) и пр. Часто решения таких задач также могут быть получены из общих теорем о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени. По-видимому, в наиболее общем виде задача нахождения достаточных условий сходимости распределений суперпозиций случайных процессов была решена Сильвестровым Д.С. В опубликованной им в 2006 году статье2 приведены достаточные условия слабой сходимости распределений в топологии Скорохода сложных случайных функций, представляющих собой суперпозицию случайных процессов без разрывов второго рода.

Остановимся чуть более подробно на прикладных задачах теории случайных процессов, имеющих дело с случайными процессами со случайной заменой времени.

Одной из наиболее важных задач является задача нахождения усло-

1 Сильвестров, Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций./Д.С. Сильвестров — Киев: Вища школа, 1974. — 320 с.

2Silvestrov, D. Limit theorems for randomly stopped stochastic processes./D. Silvestrov// Journal of Mathematical Sciences. - 2006. - 138. — No. 1, p. 5467-5471.

вий сходимости так называемых случайных сумм, т.е. сумм случайного числа случайных элементов. Если случайное число слагаемых задается некоторым случайным процессом, то во многих случаях такие предельные теоремы также можно рассматривать как предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени.

Частным случаем задачи о нахождении условий сходимости случайных сумм можно считать задачу нахождения условий сходимости процессов риска — случайных процессов, описывающих поведение во времени денежного резерва страховой компании. С изучением процессов риска связан широкий круг задач: вычисление вероятности разорения, построение аппроксимаций для распределения суммарных страховых выплат, оптимизация основных параметров страховой деятельности (страховых тарифов, начального капитала и пр.) Эти задачи описаны в работах Королева В.Ю., Шоргина С.Я., Бенинга В.Е., Кудрявцева A.A. и др. Кроме того, многие модели работы финансовых рынков основываются на использовании так называемых процессов Кокса и обобщенных процессов Кокса — т.е. случайных процессов со случайной заменой времени, у которых внешним случайным процессом является, соответственно, пуассоновский случайный процесс или пуассоновская случайная сумма. Исследованию ассимптотического поведения таких процессов посвящены, например, работы Королева В.Ю.3, Грэнделла Дж.4, Кащеева Д.Е.5. Отметим, что Кащеевым Д.Е. были получены функциональные предельные теоремы, устанавливающие достаточные условия сходимости по распределению в пространстве Скорохода к процессам Леви для нецентри-рованных и неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса. Данные результаты применены к построению моделей финансовых рынков.

Большое внимание исследователей привлекает задача о нахождении достаточных условий сходимости обобщенных процессов восстановле-

3Королев, В.Ю. О сходимости распределений обобщенных процессов Кокса к устойчивым зако-И1Ш./В.Ю. Королев// Теория вероятн. и ее примен. — 1998. — т. 43. — вып. 4. — с. 786-792

4Grandell, J. Doubly stochastic Poisson processes./J. Grandell// — Lect. Notes Math. — 1976. — V.

529. - p. 1-234.

6Кащеев, Д.Е. Моделирование динамит финансовых временных рядов и оценивание производных финансовых инструментов.: дисс. ...канд. физ-мат. наук : защищена 12.04.2001: утв. 12.03.2001/Д.Е. Кащеев - Тверь: Изд-во ТГУ, 2001. - 191 с.

ния (см., например, работы Боровкова A.A.6, Биллингсли П.7, Фролова А.Н.8) и задача о нахождении достаточных условий сходимости марковских и полумарковских случайных процессов, остановленных в случайные моменты времени. Отметим, что в 2007 году Сильвестровым Д.С. совместно с Дрозденко М.О. были получены необходимые и достаточные условия слабой сходимости последовательностей времен первой редкой остановки (first-rare-event times) для полумарковских процессов9

В диссертации изучается вопрос о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени в пространстве Скорохода. Принадлежность траекторий этих процессов пространству Скорохода влечет наложение условия на траектории процесса, при помощи которого осуществляется случайная замена времени (т.е. внутреннего случайного процесса), состоящего в неубывании траекторий. Данное условие необходимо для того, чтобы случайный процесс со случайной заменой времени снова лежал в пространстве Скорохода. Кроме того, естественным образом накладываются условия сходимости распределений последовательностей внутренних и внешних процессов, составляющих суперпозицию.

Д.С. Сильвестровым10 было получено, помимо перечисленных выше, дополнительное условие, состоящее в требовании непрерывности с вероятностью единица внешнего случайного процесса во всех точках, являющихся значениями внутреннего случайного процесса. В диссертации доказано, что данное условие можно заменить более слабым. Достаточно потребовать, чтобы отрезок [0,1] можно было разбить на куски, на каждом из которых выполняется либо условие, полученное Сильвестровым Д.С., либо условие на траектории внутренних случайных процессов, состоящее в их непрерывности, монотонном возрастании и закрепленности в точках разбиения отрезка траекторий всех внутренних случайных процессов.

вБоровков, A.A. Сходимость распределений функционалов от случайных процес-сое./А. А.Боровков// Успехи матем. наук. — 1972. — т. 27, вып. 1-е. 11-41.

'Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер. /П. Биллингсли — М.: Наука, 1977. —352 с.

8Фролов, А.Н. Предельные теоремы для приращений обобщенных процессов восстановления. /А.Н. Фролов// Зап. научн. сем. ПОМИ. - 2007. - т. 351. - с. 259-283

"SUvestrov, D.S. Necessary and sufficient conditions for weak convergence of first-rare-event times for semi-Markov processes. 1,11./D.S. Silvestrov, M.O. Drozdenko// Theory Stoeh. Procès. — 2006. — 12(28) - 3-4. - p. 151-202.

10Silvestrov, D. Limit theorems for randomly stopped stochastic processes./D. Silvestrov// Journal of Mathematical Sciences. — 2006. — 138. — No. 1, p. 5467-5471.

Цель работы.

Целью данной работы является получение предельных теорем для случайных процессов со случайной заменой времени и предельных теорем о сходимости к а-устойчивым случайным процессам со случайной заменой времени; предельных теорем для случайных сумм и для последовательностей случайных величин со случайным индексом, а также получения приложений этих результов к страховой математике. Кроме того, целью работы является получение версий почти наверное рассмотренных в диссертации классов предельных теорем.

Общая методика исследований. В работе используются классические методы теории вероятностей. При доказательстве предельных теорем для случайных процессов со случайной заменой времени используется теорема Скорохода об одном вероятностном пространстве, предельные теоремы о сходимости к а-устойчивым случайным процессам со случайной заменой времени опираются на известные из работ Гне-денко Б.В. и Колмогорова А.Н. условия для областей притяжения а-устойчивых случайных процессов. Доказательство версий почти наверное предельных теорем опирается на теорему о достаточном условии существования версии почти наверное предельной теоремы, полученную Чупруновым А.Н. и Фазекашем И.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. доказана теорема о достаточном условии сходимости случайных процессов со случайной заменой времени;

2. доказана теорема о сходимости случайных ступенчатых процессов к обобщенному процессу Кокса;

3. получены версии почти наверное предельных теорем о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Особенностью представленных в диссертации результатов, отличающих их от предшествующих, является обобщение теоремы о достаточном условии сходимости последовательности случайных процессов со случайной заменой времени, известной из статьи Сильвестрова Д.С.11 Кроме того, доказательство теоремы о схо-

"Silvestrov, D. Limit theorems for randomly stopped stochastic processes.

димости последовательностей случайных ступенчатых процессов основано на новом максимальном неравенстве для полиномиальных распределений и новой многомерной предельной теореме для полиномиальных распределений.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математической статистики факультета ВМиК, МГУ им. М.В. Ломоносова, на семинарах отдела теории вероятностей и математической статистики НИММ им. Н. Г, Чеботарева, на конференциях им. Лобачевского в 2004,2005 и 2006 г.г., на секционном заседании ВШКСМ/ВСППМ 2006.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 71 наименование. Объем работы 105 страниц.

Содержание работы.

Общая постановка основной задачи диссертации такова. Пусть на некотором вероятностном пространстве (О, я, Р) определены последовательности независимых случайных процессов Х'п, Ап, траектории которых лежат в пространствах Скорохода D[0, сю) и £>[0,1], соответственно. Предположим, что существуют случайные процессы X' и А такие, что

Х'п X' при п оо в D[0, оо), An -i Л при те —► оо в D[0,1].

Обозначим через Xn(t) = X'n(An(t)), X(t) = Х'(А(t)). Нас будут интересовать условия, которые достаточно наложить на случайные процессы X', Л„, Л, при выполнении которых была бы верна сходимость: Хп -i X при п —* оо в пространстве Скорохода D[0, 1]. Как показывает следующий пример, в общем случае сходимости не будет даже для неслучайных функций из пространства Скорохода. Рассмотрим последовательность функций

„ п\ - S 1 ПРИ 2~¥<t<ac>

Тогда дп—> 9 при п -> оо в D[ 0, оо), где

, = Г 1 при \ < t < оо, 9{) I 0 при 0 < t <

Пусть последовательность функций 7n(t), t £ [0,1], принимает постоянные значения: jn(t) = \ - ^т и j(t) = Очевидно, jn{t) —> 7(í) при n --» оо. Нетрудно видеть, что дп(ъ№)) = 0> 9Íl(t)) = 1 и, следовательно, о 7„ # о 7 при ti -» оо в £>[0,1].

Задача в подобной постановке (однако без условия независимости случайных процессов X' и Л), была исследована Сильвестровым Д.С. В его монографии12 были получены достаточные условия на предельные случайные процессы X' и Л, при выполнении которых интересующая нас сходимость верна. Для рассматриваемого нами случая эти условия можно свести к следующей теореме.

Теорема 1. Если случайные процессы Х'п и Лп независимы и выполняются условия:

(A): процесс Лn(í), t € [0,1] монотонно не убывает и Ап(0) ^ 0 с вероятностью 1;

(B): Х'п X' при п —> оо в пространстве D[0, оо);

(D): случайный процесс X'(t), i ^ 0 непрерывен с вероятностью 1 в точке A(s) для каждого s ^ О,

то Xn-Í X при п —► оо в пространстве D{0,1].

Рассмотрим условия теоремы более внимательно.

Условие (А) обеспечивает принадлежность траекторий случайных процессов Хп пространству Скорохода D[0,1]. Условия (В) и (С) представляются естественными. В диссертации доказано, что условие (D) может быть заменено на более общее. В теореме 1.9 главы 1 доказывается сходимость суперпозиций случайных процессов также в том случае, если отрезок [0,1] можно разбить на конечное число кусков, на каждом из которых выполняется либо условие (D), либо условие на случайные процессы Лп, Л, состоящее в требовании строгого возрастания и непрерывности траекторий, а также их "закрепленности"на концах кусков отрезка. То есть, рассматривается, в дополнение к приведенным, следующее условие:

траектории процессов Л„, Л лежат в пространстве П[а, b], (Л1) где П[а, 6] — пространство непрерывных строго возрастающих функций

"Сильвестров, Д. С. Предельные теоремы для сложных случайных функций./Д.С. Сильвестров — Киев: Вища школа, 1974. — 320 с.

на отрезке [а, Ь], для которых выполняется условие:

существует С > 0 такое, что /(1) = С для любой функции / Е П[а, 6].

(*)

и доказывается следующая теорема:

Теорема 1.3 Пусть для всех п 6 И случайные процессы Х'п и Ап, X' и А независимы, Л„ -i Л при п —» оо в £>[0,1], Х'п -i X' при п —► оо е Z)[0,oo), условие (Л) выполнено и существует разбиение отрезка [0,1] точками 0 — to < h < ... < tm = 1, такое, что на каждом отрезке будет выполняться условие (Al) или (D). Тогда

Хп X при п —> оо в D[О,1].

Теорему о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени можно применить к широкому классу задач, в которых предельным для последовательности Х'п является процесс Леви. Напомним, что процессом Леви называется однородный стохастически непрерывный случайный процесс с независимыми приращениями, траектории которого с вероятнотностью единица лежат в пространстве Скорохода (в силу требования стохастической непрерывности условие (D) теоремы 1.9 выполнено). Большинство процессов, изучающихся в страховой и финансовой математике, обладают этими свойствами (винеровский процесс W(t), пуассоновский процесс 7r(í), устойчивые процессы и пр.).

Рассмотрим суммы независимых случайных величин Ynj, j,n€K

К® = í€[0,oo).

з=i

Предположим, что существует процесс Леви V такой, что верна сходимость

Х'п V при п оо в пространстве D[0, оо).

Будем обозначать через Л „(i) дискретный случайный процесс с неубывающими траекториями, принадлежащими пространству Скорохода D{О,1] и принимающий значения в N. Будем считать, что верна сходимость

К d д

--> Л при п —► 00

в £>[0,1]. Пусть, кроме того, случайные процессы Ап и случайные величины Ущ независимы для всех га, у € N. Рассмотрим последовательность случайных процессов

Л„({)

= ^е[о, 1],

3=1

траектории которых лежат в пространстве Скорохода £>[0,1]. Пусть случайный процесс

= ¿6 [0,1].

В этих обозначениях верна следующая теорема:

Теорема 1.4 Пусть Х'п —> V при га —> оо, Л.п —> Л при п —> оо в -0[0,1], причем случайные процессы Л„ и случайные величины независимы для всех п,] € N. Тогда Хп Д- Хд при га —> оо е 1?[0,1].

Представляет интерес также вопрос об условиях сходимости случайных процессов со случайной заменой времени к а-уетойчивым случайным процессам со случайной заменой времени. Напомним, что а-устойчивым случайным процессом называется случайный процесс Ле-ви, одномерные распределения которого имеют устойчивое распределение с параметром а, 0 < а ^ 2. В главе 1 получены теоремы о достаточных условиях сходимости последовательностей процессов Леви к а-устойчивым процессам, и теоремы о достаточных условиях сходимости последовательностей случайных процессов со случайной заменой времени к а-устойчивым процессам со случайной заменой времени. Мы рассматриваем последовательность случайных процессов

= ¿е[о,оо), гае к,

ап

где зп оо при га -» оо, V' = Уф, t € [0, оо) — процесс Леви и ап, Ьп> з„ е Н и приводим условия на числовые последовательности а„, Ьп, вп и процесс V', при выполнении которых Х'п сходятся к а-устойчивому процессу. Затем полученные результаты мы переносим на последовательности случайных процессов вида

Хп{г) = ^--К(Фп, *€[0,оо), гаеК,

где sn —► оо при п —* оо, V = V'(A(í)), t € [0, оо) — процесс Леви со случайной заменой времени и а„, bn, s„£R (здесь процессы V и Ап независимы).

Теорему 1.9 можно использовать также для доказательства предельных теорем для последовательностей случайных величин со случайным индексом. Действительно, рассмотрим последовательность случайных величин УЛ) л £ К, сходящуюся по распределению к случайной величине Y при п оо. Пусть случайные величины ип, п € N принимают значения в множестве натуральных чисел и не зависят от Yn, причем

fn d

--> V при п —► оо.

Рассмотрим последовательность случайных процессов X'n(t) = Y[nt^t е [0,1]. Заметим, что траектории Х'п являются ступенчатыми и лежат в пространстве Скорохода D\0,1]. Пусть Xn(t) = Х'п = YVn — случайный процесс со случайной заменой времени. Из теоремы 1.9 следует

Теорема 1.20 Пусть Yn -4 Y при п —► оо, ^ Д у тут п оо и случайные величины Yn и vn независимы. Тогда YVn Y при п —> оо.

Пусть траектории последовательностей случайных процессов Х'п и Л„ лежат в пространствах Скорохода £>[0, оо) и £>[0,1] соответственно. Можно считать, что эти процессы заданы на разных вероятностных пространствах: случайные процессы Х'п — на пространстве (ííj, щ, Pj), случайные процессы Л„ — на пространстве (Í2,st, Р). Тогда можно считать, что суперпозиция случайных процессов X„(t, и) = Х^(А(t,u)) определена на вероятностном пространстве (Oi,ai,Pj) и зависит от случайного параметра и> G Ü. Следствием доказанных в работе теорем о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени является сходимость

Хп(ш) Л Х(и>) при п —» оо

в пространстве Скорохода D[0,1] для почти всех ш € Í1

Вернемся к рассмотрению случайных сумм.

В главе 2 доказывается теорема о сходимости последовательности случайных ступенчатых линий к обобщенному пуассоновскому процессу. Рассматривается следующая задача.

Пусть события Aij(n), l<j<oo, определены на вероят-

ностном пространстве {П,Я,Р} и удовлетворяют следующим условиям:

(Al) вероятности событий Ау(п) не зависят от индекса j (т. е. поток событий Aij однороден) и

Pi{Aij(n)} = pi(n) = pu l<j'<oo;

(A2) для каждого фиксированного j события Ац(п), 1 < г < п, несовместны;

(A3) классы событий {Л-у(п), 1 < i ^ n}, 1 < j < оо независимы; (A4) для каждого х € [0,1] существует предел:

lim п2р[жп](п) = р(х),

эта сходимость равномерна и функция р(х) непрерывна.

Пусть случайные величины Y„j, 1 ^ j < оо, заданы на вероятностном пространстве Р}. Будем предполагать, что эти случайные величины независимы, одинаково распределены и существует такая случайная величина уо, что

Ynj Уо, ПРИ п оо.

Пусть Y(jj, j G IST, - независимые кош случайной величины Уо.

Кроме того, пусть Ап(г) — дискретный случайный процесс, принимающий значения в N и заданный на вероятностном пространстве {Oi,ai,Pi}, причем

Л„(0) < Лп(1) < ... < Ап(п). Мы будем считать, что для всех х G [0,1] существует предел:

ЛП(М) х,! , . , .

—-—— -4 Л0(а;) при те -» оо, (F)

эта сходимость равномерна и функция EiAo(:r) непрерывна. Рассмотрим марковский момент

rij = inf{fc G N : j < An(/c)}.

Определим события A'kj(n) = Uи будем предполагать, что (Лп(к), 0 < к < п}, {1ац(п), 1 ^ i ^ п, 1 ^ j < оо}— независимые семейства.

Рассмотрим последовательность ступенчатых случайных процессов

ММ)

Xn(t) = Xn(t,uj)= Y, 4 6 M (X1)

3=1

• 10

заданных на (Г^!,Рх)-Пусть, кроме того,

*л(*) = £ % ¿€[0,1],

3=1

где случайная величина к(£) = / к0{х)р(х)йх, тт{£] - стандартный пуассо-

новский процесс и семейства е И"1"}, {А(г5), I 6 [0,1]} независимы.

Доказана следующая теорема:

Теорема 2.1. В приведенных выше обозначениях верна сходимость:

Хп Д Х& при п —» оо

в пространстве Скорохода £>[0,1] для почти всех ш 6 П.

Эта теорема представляет интерес для приложений к страховой математике: последовательность ступенчатых процессов описывает модель выплат страховой компании, в которой количество клиентов (как функция от времени) является неубывающей случайной функцией. Предполагается, что время может принимать только конечное количество значений, появление нового клиента и страховые выплаты могут происходить только в эти моменты времени и модель представляет из себя последовательность случайных величин, заиндексированных этими моментами времени.

Используя идеи, аналогичные идеям построения модели рынка ценных бумаг с непрерывным временем, по дискретной модели мы строим случайный процесс, траекториями которого являются случайные ступенчатые линии. Этот случайный процесс задается случайными суммами независимых индикаторов (которые являются индикаторами событий, состоящих в том, что клиенту произведена страховая выплата) со случайными коэффициентами (размерами этих выплат), причем коэффициентами являются значения независимых одинаково распределенных случайных величин, определенных на другом вероятностном пространстве. Мы доказываем сходимость по распределению таких случайных процессов в пространстве Скорохода для почти всех значений коэффициентов к неоднородному обобщенному процессу Кокса (теорема 2.1).

Доказательство этого результата основано на известном критерии сходимости по распределению случайных процессов в пространстве Скорохода. Однако наши процессы не имеют независимых приращений и

доказательство основано на новом максимальном неравенстве для полиномиальных распределений (лемма 2.2) и новой многомерной предельной теореме для полиномиальных распределений (лемма 2.5). В теореме 2.1 мы доказываем сходимость характеристических функций и не используем известные критерии сходимости сумм независимых случайных величин.

В главе 3 получены оценки скорости сходимости для некоторых из полученных в предшествующих главах теорем, а также рассмотрены приложения этих теорем к страховой математике.

Пусть $Пг — независимые одинаково распределенные для каждого п € N случайные величины. Рассмотрим случайный процесс

Пусть Л„(£) — последовательность случайных процессов с неубывающими траекториями, тг(£) — пуассоновский случайный процесс.

Предполагая, что у случайных величин существуют моменты до третьего порядка включительно, обозначим Е^-т = а>п> Щт — Нас будет интересовать скорость сходимости одномерных распределений случайного процесса

к одномерным распределениям предельного случайного процесса. Обозначим через УР винеровский случайный процесс в Х>[0,1], через IV — винеровский случайный процесс со случайной заменой времени: =

Доказана следующая теорема:

Теорема 3.2. Пусть Л(£) = аЬ, Лп, 7Г и независимы и Е1^™!3 < +оо. Тогда для всех Ь € (0,1] верно неравенство:

йир \р {ад < х} - р {уг® < ®}| <

91 Е\£т-ап\ у/п сгЗ

¡3

-1

где 0 < С* < 19,0512.

Рассмотрим следующую модель: пусть п — количество договоров, заключенных страховой компанией, — размер ущерба в г-ом страховом случае для портфеля из п договоров. Естественно предположить, что — независимые одинаково распределенные для каждого п е N случайные величины. Предположим, что количество событий для портфеля из п договоров к моменту времени t описывается процессом Пуассона -к{п£) с интенсивностью 1. Тогда случайный процесс

описывает убытки по полисам страховой компании, наступившие к моменту времени Ь. Эта модель не учитывает того существенного для многих страховщиков факта, что количество договоров в течение рассматриваемого периода времени (как правило, года), изменяется неравномерно. Пусть Л„(£) — последовательность случайных процессов, описывающая количество действующих полисов к моменту времени t. Будем считать, что количество полисов, продаваемых компанией, с течением времени растет (т.е. траектории процесса Л„ не убывают). Тогда случайный процесс

описывает сумму убытков страховой компании к моменту времени ;£ по действующим на этот момент договорам. Поскольку при заключении договора страхования обычно устанавливается фиксированная страховая сумма, превзойти которую выплата не может, естественно предположить наличие у случайных величин моментов всех порядков. Обозначим Ей — ап> — ап- Рассмотрим случайный процесс

Обозначим через УУ' винеровский случайный процесс в £)[0,1], через

7г(га!)

¿=1

IV — винеровский случайный процесс со случайной заменой времени:

С точки зрения практических вычислений представляет интерес следующий случай. Предположим, что с ростом страхового портфеля колебания интенсивности сборов становятся незначительными, т. е. Л(£) = аЬ где а > 0 — некоторая константа.

Следствие 3.1. Пусть Щ = ей, Л„,

"" и независимы, £>^«¿1 < +оо и можно выбрать такую постоянную к > 0, что

каЬ < есеж пбК, £ е (0,1].

Тогда для всех t б (0,1] верно неравенство:

вир IР {ВД < х} - Р < х}\ <

г о I-п д Е -

^ Д^-а»]3 1 грг | \!Б » / 1 \

^ V» [ У® V Ь*] ^ \ у/каЬ/ '

где О <С* < 19,0512.

В Главе 4 получены версии почти наверное теорем, доказанных в предыдущих главах. Напомним определение версии почти наверное предельной теоремы. Пусть (п, п 6 К— последовательность случайных элементов, определенных на вероятностном пространстве (П, я, Р) со значениями в метрическом пространстве (В, р). Мы будем обозначать через слабую сходимость мер, через распределение случайного элемента С и через 58 (В) — сг-алгебру борелевских подмножеств метрического пространства В.

Обычные предельные теоремы имеют дело со сходимостью по распределению (п. Рассмотрим последовательность мер, зависящих от параметра и):

<ШМ = д» = ^ Е " е П, » € N.

к=1

Здесь и в дальнейшем через 6Х мы будем обозначать меру единичной массы, сосредоточенной в точке х (меру Дирака). В некоторых случаях сходимость Сп С влечет также сходимость мер

<Ж™]И ^ /"О ПРИ п~>оо,

для почти всех уёП. Такие предельные теоремы называются версиями почти наверное предельных теорем.

Основные результаты, касающиеся теорем этого вида, изложены в статьях и монографиях Атлага М.13, Чупрунова А.Н. и Фазекаша И. 14 и др.

Основной в данной главе является следующая теорема: Теорема 4.1. Пусть для всех ябК случайные процессы Х'п и Ап, X' и А независимы, выполнены условия (Л) или (В) и

1. Существуют константа 01 > 0 и случайные элементы Х[к е Р[0,оо); 1,к € К, I < к тате, что случайные элементы Х[ и Х[к независимы и для любого тбК найдется константа С{т) > 0, для которой выполнено неравенство

2. Существуют константы С\, /?2 > 0 и случайные элементы Ац. с £)[0,1]; 1.к £ К, I < к такие, что случайные элементы А'[ и А'1к независимы и

для почти всех ш €

Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук Чупрунова Алексея Николаевича, которому автор выражает искреннюю признательность.

I3Atlagh, M., Theoreme centrale limite presque sur et loi da logarithme itere/M. Atlagh — Institut de recherche mathématique avancee, Strasburg. — 1996.— p. 62.

14Chuprunov, A. Almost sure versions of some functional limit theorems./A. Chuprunov, I. Eazekas// Publications Mathematicae, Debrecen — 2001. — No. 265. — p. 14.

Тогда

<2pc„]H MX при П oo

Публикации автора по теме диссертации

1. Permiakova, Е. A continuous analogue of the invariance principle and its almost sure version./E. Permiakova// Publ. Math. Debrecen. — 2007. -70/1-2. - p. 203-210

2. Пермякова, E.E. Функциональная предельная теорема для пуас-соновского процесса и ее версия почти наверное./Е.Е. Пермяко-ва//Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005. — т. 12. - вып. 2. - с. 467-468.

3. Чупрунов, А.Н. Сходимость случайных процессов страховых выплат к обобщенному пуассоновскому процессу./А.Н. Чупрунов, Е.Е. Пермякова// Сб. Статистические методы оценивания и проверки гипотез. — Пермь: Изд-во Перм. ун-т, 2006. - с. 149-168.

4. Пермякова, Е.Е. Функциональные предельные теоремы для процессов Леви и их версии почти наверное./Е.Е. Пермякова//Деп. в ВИНИТИ. - 2006. - № 1484-В2006. — с. 24.

5. Permiakova, Е. Functional limit theorems for Levy processes and their almost-sure versions./E. Permiakova// Liet. matem. rink. — 2007. — 47. — по. 1. - p. 1-12

6. Пермякова, Е.Е. Предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени и их версии почти наверное./Е.Е. Пермякова// Изв. ВУЗов.Математика — 2008. — 12. (в печати).

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 08.10.2008 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 561. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Пермякова, Елена Евгеньевна

Введение

1. Предельные теоремы для процессов со случайной заменой времени

1.1. Предварительные сведения.

1.2. Предельные теоремы для процессов со случайной заменой времени.

1.3. Сходимость случайных сумм.

1.4. Предельные теоремы о сходимости к а-устойчивым случайным процессам.

1.5. Предельные теоремы о сходимости к а-устойчивым случайным процессам со случайной заменой времени.

1.6. Сходимость случайных процессов, зависящих от случайного параметра.

1.7. Последовательности случайных величин со случайным индексом.

2. Сходимость ступенчатых случайных процессов к обобщенному пуассоновскому процессу

2.1. Формулировка задачи и основных результатов.

2.2. Предварительные результаты.

2.3. Доказательство основной теоремы.

3. Оценки скорости сходимости и некоторые приложения к страховой математике

3.1. Оценки скорости сходимости.

3.2. Следствия теоремы об оценке скорости сходимости.

Введение диссертация по математике, на тему "Предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени"

Предельные теоремы являются одной из наиболее развитых и важных частей теории случайных процессов. С точки зрения приложений особый интерес представляют случайные процессы со случайной заменой времени (суперпозиция случайных процессов). Интерес к подобным задачам первоначально возник в связи с рядом задач в страховой и финансовой математике, физике, теории массового обслуживания, теории надежности (см., например, [5], [33], [28], [46], [27], [25], [26]). Насколько нам известно, впервые попытка систематического изучения общих условий слабой сходимости распределений сложных случайных функций, представляющих собой суперпозицию случайных процессов без разрывов второго рода, была предпринята Д.С. Сильвестровым (в 1974 году вышла в свет монография [3]). В тесной связи с этой задачей находятся задачи о сходимости марковских процессов, остановленных в случайные моменты времени (см., например, [67], [64], [65]), устойчивых случайных процессов со случайными параметрами (например, [6]), сходимости случайных сумм и процессов Кокса (исследования Королева В.Ю, Круглова В.М., Бенинга В.Е., Шоргина С.Я., Кащеева Д.Е., Кудрявцева A.A. [46], [33], [68], [23]) и пр. Часто решения таких задач также могут быть получены из общих теорем о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени. По-видимому, в наиболее общем виде задача нахождения достаточных условий сходимости распределений суперпозиций случайных процессов была решена Сильвестровым Д.С. В опубликованной им в 2006 году статье ([4]) приведены достаточные условия слабой сходимости распределений в топологии Скорохода сложных случайных функций, представляющих собой суперпозицию случайных процессов без разрывов второго рода.

Одной из наиболее важных задач является задача нахождения условий сходимости так называемых случайных сумм, т.е. сумм случайного числа случайных элементов. Если случайное число слагаемых задается некоторым случайным процессом, то во многих случаях такие предельные теоремы также можно рассматривать как предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени. Эта область богата результатами (см., например, [33], [26], [46], [25]), которые имеют широкое применение в страховой и финансовой математике.

Частным случаем задачи о нахождении условий сходимости случайных сумм можно считать задачу нахождения условий сходимости процессов риска — случайных процессов, описывающих поведение во времени денежного резерва страховой компании. С изучением процессов риска связан широкий круг задач: вычисление вероятности разорения, построение аппроксимаций для распределения суммарных страховых выплат, оптимизация основных параметров страховой деятельности (страховых тарифов, начального капитала и пр.) Эти задачи описаны, например, в [46], [33], [23]. Кроме того, многие модели работы финансовых рынков основываются на использовании так называемых процессов Кокса и обобщенных процессов Кокса — т.е. случайных процессов со случайной заменой времени, у которых внешним случайным процессом является, соответственно, пуассоновский случайный процесс или пуассонов-ская случайная сумма. Исследованию ассимптотического поведения таких процессов посвящены, например, работы [39], [38], [68]. Отметим, что Кащеевым Д.Е. ([68]) были получены функциональные предельные теоремы, устанавливающие достаточные условия сходимости по распределению в пространстве Скорохода к процессам Леви для нецентрированных и неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса. Данные результаты применены к построению моделей финансовых рынков.

Большое внимание исследователей привлекает задача о нахождении достаточных условий сходимости обобщенных процессов восстановления (см., например, [19], [3], [1], [27], [10]) и задача о нахождении достаточных условий сходимости марковских и полумарковских случайных процессов, остановленных в случайные моменты времени. Отметим, что в 2007 году Сильвестровым Д.С. совместно с Дрозденко М.О. были получены необходимые и достаточные условия слабой сходимости последовательностей времен первой редкой остановки (first-rare-event times) для полумарковских процессов ([64], [65]).

Диссертация посвящена изучению условий сходимости распределений случайных процессов со случайной заменой времени в пространстве Скорохода jD[0, 1].

Общая постановка задачи в данном случае такова. Пусть на некотором вероятностном пространстве (П, 21, Р) определены последовательности случайных процессов Х'п, Лп (Х'п и Лп независимы), траектории которых лежат в пространствах Скорохода D[0. оо) и D[0,1], соответственно. Кроме того, для того, чтобы суперпозиция случайных процессов Х'п и Ап снова являлась случайным процессом из пространства D[0,1], наложим следующие условия на случайные процессы Лп: Лп(£) ^ 0 п.н. для всех t б [0,1] и траектории этих случайных процессов не убывают. Предположим, что существуют независимые случайные процессы X' и Л такие, что

Х'п X' при п —» оо в D[О, оо), Лп —> А при п->оов!)[0,1]. Обозначим через

Xn(t) = X'n(A„(*)), X(t) = X'(A(t)) случайные процессы со случайной заменой времени. Нас будут интересовать условия, которые достаточно наложить на случайные процессы XЛШЛ, при выполнении которых была бы верна сходимость: Хп Д X при п —> оо в пространстве Скорохода D[0,1]. Как показывает следующий пример, в общем случае сходимости не будет даже для неслучайных функций из пространства Скорохода. Рассмотрим последовательность функций а (t\= { 1 ПРИ 2 - i < 1 < °°>

УпУ ' \ 0 при 0 ^ t < \ d

Тогда gn —» д при п —» оо в D[0, оо), где

Г1при Ht<oo,

J | 0 при 0 ^ t <

Пусть последовательность функций уn(i), t б [0,1], принимает постоянные значения: 7n{t) = \ — ¿hi и 7(t) — Очевидно, jn(t) —> 7СО при п —> оо. Нетрудно видеть, что дп{1п{£)) = 0, д(т(£)) = 1 и, следовательно, дп о 7П т4 ^ о 7 при п —> оо в £>[0,1].

Задача в подобной постановке (однако без условия независимости случайных процессов X' и Л), была исследована в статье [4]. Сильве-стровым Д.С. были получены достаточные условия на предельные случайные процессы X' и А, при выполнении которых интересующая нас сходимость верна. Применительно к рассматриваемой задаче эти условия сформулированы в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть случайные процессы Х'п и Ап независимы и выполняются условия:

Л); процесс Лп(£), £ € [0,1] монотонно не убывает и Лп(0) ^ 0 с вероятностью 1;

B) : Х'п X' при п —» оо е пространстве Б[0, оо);

C) : Лп Л при п —» оо в пространстве £>[0,1];

I)): случайный процесс X'(£), £ ^ 0 непрерывен с вероятностью 1 в точке А(й) для каждого в Е [0,1].

Тогда

Хп Д X 7грм п —» оо в пространстве [0,1].

Рассмотрим условия теоремы 1 более внимательно.

Условие (Л), как было отмечено выше, обеспечивает принадлежность траекторий случайных процессов Хп пространству Скорохода .О[0,1]. Условия (В) и (С) представляются естественными. Необходимость условия (I)) рассматривается в данной диссертации. Введем условие

-0[а,ь])' случайный процесс X'(£), £ ^ 0 непрерывен с вероятностью 1 в точке Л(з) для каждого б 6 [а, Ь].

В теореме 1.9 главы 1 доказывается сходимость суперпозиций случайных процессов также в том случае, если отрезок [0,1] можно разбить на конечное число кусков [£¿,£¿+1], г = 1,п, на каждом из которых выполняется либо условие либо условие на случайные процессы Лп, Л, состоящее в требовании строгого возрастания и непрерывности траекторий, а также их "закрепленности"на концах кусков отрезка. То есть, рассматривается, в дополнение к приведенным, следующее условие:

А1) траектории процессов Лп, Л лежат в пространстве П[а, Ь], где П[а, Ь] — пространство непрерывных строго возрастающих функций на отрезке [а, Ь], для которых выполняется условие: существуют Сг > 0 такие, что /(а) = С\, /(&) = С2 для любой функции / Е П[а, Ъ]. (*) и доказывается следующая теорема:

Теорема 1.9 Пусть для всех п Е N случайные процессы Х'п и Лп; X' и к независимы, кп —> Л при п —> оо е 1)[0,1], —> X' тг/т п —► оо б £>[0, оо), условие (А) выполнено и существует разбиение отрезка [0,1] точками 0 = ¿о < ¿1 < ••• < tтn = такое, что на каэюдом отрезке [¿£,¿£+1] будет выполняться условие (А1) или Тогда

Хп -Л X при п —> оо б Б[0,1].

Кроме того, приводится пример, показывающий, что от условия (*) нельзя отказаться.

Теорему о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени можно применить к широкому классу задач (имеющих также приложения в страховой и финансовой математике, см., например, [36], [37], [58]), когда предельным для последовательности Х'п является процесс Леви. Напомним, что процессом Леви называется однородный стохастически непрерывный случайный процесс с независимыми приращениями, траектории которого с вероятностью единица лежат в пространстве Скорохода (в силу требования стохастической непрерывности условие (£>) теоремы 1 выполнено). Большинство процессов, изучающихся в страховой и финансовой математике, обладают этими свойствами (вине-ровский процесс пуассоновский процесс 7г(£), устойчивые процессы и пр.). Заметим также, что обобщенный процесс Кокса, являющийся предметом изучения во многих работах, посвященных теории риска (см., например, [45], [46], [49], [68]), является процессом Леви со случайной заменой времени.

Рассмотрим суммы независимых случайных величин Ущ, j,n Е N [М

Х'п($) = £ € [0, оо), кп Е кп —» оо при п —> оо.

3=1

Предположим, что существует процесс Леви V такой, что верна сходимость

Х'п Д V при п —> оо в пространстве [0, оо).

Будем обозначать через Лп(£) дискретный случайный процесс с неубывающими траекториями, принадлежащими пространству Скорохода £>[0,1] и принимающий значения в N. Будем считать, что верна сходимость

К й д

--А при п —> оо

71 в 1)[0,1]. Пусть, кроме того, случайные процессы Ап и случайные величины Ущ независимы для всех п^ £ N. Рассмотрим последовательность случайных процессов

Л„(£) 3=1 траектории которых лежат в пространстве Скорохода 1)[0,1]. Пусть случайный процесс

ХА(^ = У(ЛИ), ¿е[о,1].

В этих обозначениях верна следующая теорема: Теорема

1.10 Пусть Х'п А V при п —> ОО, Xй —> А при п оо в 1)[0,1], причем случайные процессы Лп и случайные величины Ущ независимы для всех п^ £ N. Тогда

Хп —> Х\ при п —» сю в пространстве 1)[0,1].

Представляет интерес также вопрос об условиях сходимости случайных процессов со случайной заменой времени к а-устойчивым случайным процессам со случайной заменой времени. Напомним, что ск-устойчивым случайным процессом называется случайный процесс Леви, одномерные распределения которого имеют устойчивое распределение с параметром а, 0 < а ^ 2. В главе 1 получены теоремы 1.11 — 1.14 о достаточных условиях сходимости последовательностей процессов Леви к а-устойчивым процессам, и теоремы 1.15 — 1.18 о достаточных условиях сходимости последовательностей случайных процессов со случайной заменой времени к а-устойчивым процессам со случайной заменой времени.

Мы рассматриваем последовательность случайных процессов

V'(s t)

K(t) = —LJLZ Sntbnj i G [о, oo), n G N, an где sn —» oo при n —> oo, V = V'(i), i € [0, oo) — процесс Леви и an, bn, sn G R и приводим условия на числовые последовательности an,bn,sn и процесс V, при выполнении которых Х'п сходятся к си-устойчивому процессу. Затем полученные результаты мы переносим на последовательности случайных процессов вида

Xn{t) = ^&-An(t)bn, t G [0, oo), neN, ап где sn —> oo при п оо, У = V'(A(i)), t G [0, oo) — процесс Леви со случайной заменой времени и an, bn, sn G R (здесь процессы V' и Ап независимы).

Из теоремы 1.9 следуют также некоторые предельные теоремы для последовательностей случайных величин со случайным индексом. Действительно, рассмотрим последовательность случайных величин Yn, п G JM, сходящуюся по вероятности к случайной величине Y при п —> оо. Пусть случайные величины ип, п G IN принимают значения в множестве натуральных чисел и не зависят от Yn, причем п d

--> V при п —> оо. п

Рассмотрим последовательность случайных процессов X'n{t) = Yjni], t G [0,1]. Заметим, что траектории Х'п являются ступенчатыми и лежат в пространстве Скорохода D[0,1]. Пусть Xn(t) — Х'п — YUn — случайный процесс со случайной заменой времени. Из теоремы 1.9 следует р

Теорема 1.20 Пусть Yn—>Y при п оо, vn d

--> v при п —> оо п и случайные величины Yn и ип независимы. Тогда

YUn Y при п —> оо.

Пусть траектории последовательностей случайных процессов Х'п и Ап лежат в пространствах Скорохода D[0: оо) и D[0,1] соответственно. Можно считать, что эти процессы заданы на разных вероятностных пространствах: случайные процессы Х'п — на пространстве (Oi,2ii, Pi), случайные процессы Ап — на пространстве (П,21, Р). Тогда можно считать, что суперпозиция случайных процессов Xn(t,u>) = XT't(A(£,w)) определена на вероятностном пространстве (f2i,2ii,Pi) и зависит от случайного параметра и> G П. Следствием доказанных в работе теорем о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени является сходимость

Хп(ш) Х(и) при п —> оо в пространстве Скорохода D[Q, 1] для почти всех и G П.

Вернемся к рассмотрению случайных сумм.

Пусть события Aij(n), 1 ^ j < оо, 1 ^ г ^ п определены на вероятностном пространстве {f2i,2ii,Pi} и удовлетворяют следующим условиям:

AI) вероятности событий Ац(п) не зависят от индекса j (т. е. поток событий Aij однороден) и

Pi{Ay(n)} = Pi(n) =pi, 1 ^ г ^ п, 1 ^ j < оо;

А2) для каждого фиксированного j события Д-7-(п), 1 ^ г ^ п, несовместны;

A3) классы событий {Aij(n), независимы;

A4) для каждого х € [0,1] существует предел: lim п2р[хп](п) = р(х), п—>оо эта сходимость равномерна и функция р(х) непрерывна.

Пусть случайные величины Ynj, 1 ^ j < оо, заданы на вероятностном пространстве {П,2Ц Р}. Будем предполагать, что эти случайные величины независимы, одинаково распределены и существует такая случайная величина i^, что

Ynj —Yq, при п —> оо.

Пусть Усу, у е К, - независимые копии случайной величины Уо.

Кроме того, пусть Лп(г) — дискретный случайный процесс, принимающий значения в N и заданный на вероятностном пространстве {Г2х,Рх}, причем

Л«(0) < Л„(1) ^ . ^Лп(п).

Мы будем считать, что для всех х 6 [0,1] существует предел:

Ап(М) ¿1 а / \ (тг\

--—---> Ло(ж) при п —> оо, {г) п эта сходимость равномерна и функция ЕхЛо^) непрерывна. Рассмотрим марковский момент

Пу = Ы{к е N : Э ^ Лп(&)}

Определим события А'к-{п) — и\=пЛц{п), и будем предполагать, что {Л„(/с), 0 ^ к ^ п}, {//! („), 1 ^ г ^ п, 1 ^ 2 < оо}— независимые семейства.

Рассмотрим последовательность ступенчатых случайных процессов л„(М)

Хп(Ь)=Хп(^си)= ^»Ч»„М, «€[0,1], (XI)

3=1 заданных на (Г2х, &х, Рх). Пусть, кроме того, тг(Лф)

1 í где случайная величина Л(£) = / Ло(х)р(х)<1х, тт(Ь) - стандартный пуассоо новский процесс и семейства {тг(£), Ь е И.+}, {Л(£), £ 6 [0,1]} независимы. Доказана следующая теорема:

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (Г), (А1), (А2), (АЗ), (А4) и (С). Случайные процессы Хп определены условиями (X) и (XI). Тогда

Хп -Д Х\ при п —> оо в пространстве Скорохода 1)[0,1] для почти всех си £ О.

Эта теорема имеет также следующий смысл: последовательность ступенчатых процессов описывает модель выплат страховой компании, в которой количество клиентов (как функция от времени) является неубывающей случайной функцией. Так же, как в модели рынка ценных бумаг для дискретного времени [17], предполагается, что время может принимать только конечное количество значений, появление нового клиента и страховые выплаты могут происходить только в эти моменты времени и модель представляет из себя последовательность случайных величин, заиндексированных этими моментами времени.

Пусть — независимые одинаково распределенные для каждого п 6 N случайные величины. Рассмотрим случайный процесс тт(п1)

Х'п№= * € [0,1], 1 где 7г(£) — пуассоновский случайный процесс. Пусть Лп(£) — последовательность случайных процессов с неубывающими траекториями.

Предполагая, что у случайных величин существуют моменты до третьего порядка включительно, обозначим Е^Пг — ап, = Нас будет интересовать скорость сходимости одномерных распределений случайного процесса

Уп(*) = £ £ £ (0,1]. к одномерным распределениям винеровского случайного процесса со случайной заменой времени. Обозначим через V/' винеровский случайный процесс в £>[0,1], через У/ — винеровский случайный процесс со случайной заменой времени: = ТУ(Л(£)).

Доказана следующая теорема:

Теорема 3.2 Пусть Л(£) = аЬ, Ап, 7г 11 независимы и Е| +оо. Тогда для всех £ € (0,1] верно неравенство:

8ир|Р{Уп(£) <х}-Р{\У(г) < ^ с* у/п е |е п1 п п у/2* Е

Ап{ь) аЬ п Е

Л„(4) аЬ

Лп(0 аЬ где 0 < С* < 19,0512.

В том случае, если у случайных величин отсутствует момент третьего порядка, верна следующая теорема:

Теорема 3.5 Пусть Л(£) = аЬ, Ап, 7г и независимы и существует 0 < 5 < 1 такое, что Е\£т\2+6 < +°о. Тогда для всех Ь € (0,1] верно неравенство: вир |Р {Уп(*) < х} - Р <

С" п

6/2

Е - ап\2+^Е ГАп(Ь)

-1/2 а,

2+8 Е\ 1 +

ХМ'

-1 п П п у/27Г где 0 < С* < 94, 77. Е

Ап(^) аЬ п Е л„(0 аЬ л„(*) аЬ

Рассмотрим следующую модель: пусть п — количество договоров, заключенных страховой компанией, £ni — размер ущерба в г-ом страховом случае для портфеля из п договоров. Будем считать, что — независимые одинаково распределенные для каждого п Е N случайные величины. Предположим, что количество событий для портфеля из п договоров к моменту времени t описывается процессом Пуассона 7r(nt) с интенсивностью 1. Тогда случайный процесс

7Т(tit)

K(t) = Е Zr*, t € [о, 1] г=1 описывает убытки по полисам страховой компании, наступившие к моменту времени t. Эта модель не учитывает того существенного для многих страховщиков факта, что количество договоров в течение рассматриваемого периода времени (как правило, года), изменяется неравномерно. Пусть Лn(t) — последовательность случайных процессов, описывающая количество действующих полисов к моменту времени t. Будем считать, что количество полисов, продаваемых компанией, с течением времени растет (т.е. траектории процесса Лп не убывают). Тогда случайный процесс

7Г(л„(4)) ¿=i описывает сумму убытков страховой компании к моменту времени t по действующим на этот момент договорам. Поскольку при заключении договора страхования обычно устанавливается фиксированная страховая сумма, превзойти которую выплата не может, мы будем предполагать наличие у случайных величин моментов всех порядков. Обозначим Щт = D(ni = ofr Рассмотрим случайный процесс тг (K(t)) y„(t)= £ *е[0,1].

Обозначим через W' винеровский случайный процесс в D[0,1], через W — винеровский случайный процесс со случайной заменой времени: W(t) = W'{A{t)).

С точки зрения практических вычислений представляет интерес следующий случай. Предположим, что с ростом страхового портфеля колебания интенсивности сборов становятся незначительными, т. е. Л(t) = at где а > 0 — некоторая константа. Кроме того, существует константа к > 0 такая, что

K(t) п kat для всех п € N, t е (0,1].

В этих предположениях верно

Следствие 3.1. Пусть Л(£) = аЬ, ЛП; 7Г и независимы, Е\£п{\3 < +оо и можно выбрать такую постоянную к > 0, что

Лп(£) kat п для всех п € N, t G (0,1].

Тогда для всех t Е (0,1] верно неравенство: sup |Р {Kn(t) < х} - Р < х}\ ^

С*

Е |f„i - ап|3 1 at \ 1 + Е л n(t) at

1 + fkatj у/каЬ ' V каЬ где 0 < С* < 19, 0512.

В главе 4 получены версии почти наверное теорем, доказанных в предыдущих главах. Напомним определение версии почти наверное предельной теоремы. Пусть £п, п е К— последовательность случайных элементов, определенных на вероятностном пространстве а, Р) со значениями в метрическом пространстве (В,р). Мы будем обозначать через А слабую сходимость мер, через распределение случайного элемента С и через ш(В) — сг-алгебру борелевских подмножеств метрического пространства В.

Обычные предельные теоремы имеют дело со сходимостью по распределению (п. Рассмотрим последовательность мер, зависящих от параметра и? £

1 п 1

Эп[Сп](^) = (ЗпН = ;— У] т<*аи> и е п е N. тп *—' к к—1

Здесь и в дальнейшем через 5Х мы будем обозначать меру единичной массы, сосредоточенной в точке х (меру Дирака). В некоторых случаях сходимость Сп —► С влечет также сходимость мер

Фп[Ст»]М ^ /¿о ПРИ гь^оо, 16 для почти всех и е Такие предельные теоремы называются версиями почти наверное предельных теорем.

Основные результаты, касающиеся теорем этого вида, изложены в следующих статьях и монографиях: [14], [11], [9], [12], [13] и др. Основной в данной главе является следующая теорема: Теорема 4.3 Пусть для всех п € N случайные процессы Х'п и Ап, X' и А независимы, выполнены условия (А) или (В) и

1. Существуют константа > 0 и случайные элементы Х[к € Х)[0, оо), I, к Е 14, I < к такие, что случайные элементы Х[ и Х[к независимы и для любого тбК найдется константа С(га) > 0; для которой выполнено неравенство

2. Существуют константы Сх,^ > 0 и случайные элементы Ад, € .0[0,1], I, к € I < к такие, что случайные элементы А[ и А'1к независимы и для почти всех и Е Г2.

Цель работы.

Целью данной работы является получение предельных теорем для случайных процессов со случайной заменой времени и предельных теорем о сходимости к а-устойчивым случайным процессам со случайной заменой времени, а также получения приложений этих результов к страховой математике. Кроме того, целью работы является получение версий почти наверное рассмотренных в диссертации классов предельных теорем.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) доказана теорема о достаточном условии сходимости случайных процессов со случайной заменой времени;

2) доказана теорема о сходимости случайных ступенчатых процессов к обобщенному процессу Кокса;

ЕР1(Ак,А1к) < Сг

Тогда

Я[хп](и) Дх при 71 —> оо

3) получены версии почти наверное предельных теорем о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени.

Методы исследования.

В работе используются классические методы теории вероятностей. При доказательстве предельных теорем для случайных процессов со случайной заменой времени используется теорема Скорохода об одном вероятностном пространстве, предельные теоремы о сходимости к а-устоичивым случайным процессам со случайной заменой времени опираются на известные из [16] условия для областей притяжения а-устойчивых случайных процессов. Доказательство версий почти наверное предельных теорем опирается на теорему о достаточном условии существования версии почти наверное предельной теоремы, полученную в [40|.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Особенностью представленных в диссертации результатов, отличающих их от предшествующих, является обобщение теоремы о достаточном условии сходимости последовательности случайных процессов со случайной заменой времени, известной из [4]. Кроме того, доказательство теоремы о сходимости последовательностей случайных ступенчатых процессов основано на новом максимальном неравенстве для полиномиальных распределений и новой многомерной предельной теореме для полиномиальных распределений.

Апробация работы и публикации.

По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ:

1. Permiakova Е. A continuous analogue of the invariance principle and, its almost sure version — Publ. Math. Debrecen, 2007, 203-210

2. Пермякова E.E. Функциональная предельная теорема для пуассо-новского процесса и ее версия почти наверное— Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005, т. 12, вып. 2, стр. 467-468.

3. Чупрунов А.Н., Пермякова Е.Е. Сходимость случайных процессов страховых выплат к обобщенному пуассоновскому процессу — В сб. Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Изд-во Перм. ун-т, Пермь, 2006, с. 149-168.

4. Пермякова Е.Е. Функциональные предельные теоремы для процессов Леей и их версии почти наверное, Деп. в ВИНИТИ № 1484-В2006,

2006 - 24 с.

5. Permiakova Е. Functional limit theorems for Levy processes and their almost-sure versions — Liet. matem.jink., 47, no. 1, 2007, 1-12

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинарах отдела теории вероятностей и математической статистики НИММ им. Н. Г. Чеботарева, на конференциях им. Лобачевского в 2004, 2005 и 2006 г.г., на секционном заседании ВШКСМ/ВСППМ 2006.

Обозначения.

Во всей работе за исключением введения и приложения используется двойная система нумерации формул и утверждений. Первое число указывает на главу, второе — на порядковый номер формулы или утверждения внутри главы. Во введении нумерация одинарная и указывает на номер соответствующего объекта внутри введения.

Везде в тексте диссертации предполагается, что все рассматриваемые случайные величины определены на некотором вероятностном пространстве (О, Л, Р).

Также используются следующие условные обозначения:

1(А) - индикатор события А; Р(Л) - вероятность события А\

ЕХ - математическое ожидание случайной величины X;

ЮХ - дисперсия случайной величины Х\ <1 - равенство случайных величин или случайных процессов по распределению;

М - множество всех действительных чисел;

N (а, <т) — гауссовская случайная величина со средним а и дисперсией сг; 7Гд — пуассоновская случайная величина с параметром Л; 7Гд(£) — пуассоновский случайный процесс с интенсивностью Л; — сходимость почти наверное; в — сходимость по распределению; р — сходимость по вероятности; А — слабая сходимость мер;

1 г — сходимость по норме пространства Ь\\ £>[0,1], 1)[0, оо) — пространства Скорохода; £>{Х) — распределение случайного элемента X; .Я(/) — область значений функции /;

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 71 наименование. Объем работы 105 страниц.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Пермякова, Елена Евгеньевна, Казань

1. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер./П. Биллингсли.- М.: Наука, 1977. -352 с.

2. Булинский, А. В. Теория случайных процессов.IА.Б. Булинский, А.Н Ширяев. — М.:Физматлит, 2003. — 400 с.3. . Сильвестров, Д. С. Предельные теоремы для сложных случайных функций./Д.С. Сильвестров. — Киев: Вища школа, 1974. — 320 с.

3. Silvestrov, D. Limit theorems for randomly stopped stochastic processes./D. Silvestrov// Journal of Mathematical Sciences. — 2006.- 138. No. 1. - p. 5467-5471.

4. Гнеденко, Б.В. О связи теории суммирования независимых случайных величин с задачами теории массового обслуживания и теории надежности./Б.В. Гнеденко/ZRev. roumaine pures et appl. — 1967.- 12. 9. - с. 1243-1253.

5. Jedidi, W. Stable processes, mixing and distributional properties. /W. Jedidi// Теор. вероятн. и прим. 2007. - 52 (4) - с. 736-751.

6. Stone, С. Weak convergence of stochastic processes on semiinfinite time intervals./C. Stone// Proc. Amer. Math. Soc. — 1963. — 14. — p. 694696.

7. Permiakova, E. Functional limit theorems for Levy processes and their almost-sure versions./E. Permiakova// Liet. matem. rink. — 2007. — 47. No. 1. - p. 81-92.

8. Chuprunov, A. Integral analogues of almost sure limit theorems./A. Chuprunov, I. Fazekas// Periodica Mathematica Hungarica. — 2005.- V.5. No. 1 - p. 61-78.

9. Chuprunov, A .Almost sure limit theorems for the Pearson statistic./A. Chuprunov, I. Fazekas// Teor. Veroyatnost. i Primenen — 2001. — 48- No. 1 p. 162-169.

10. Fazekas, I .Convergence of random step lines to Ornstein-Uhlenbeck type processes./I. Fazekas, A. Chuprunov// Technical Report of the Debrecen University. 1996. - No. 24 - p. 22.

11. Atlagh, M. Theoreme centrale limite presque sur et loi du logarithme itere./M. Atlagh. — Institut de recherche mathematique avancee, Strasburg. 1996 - p. 62.

12. Chuprunov, A. Almost sure versions of some functional limit theorems./A. Chuprunov, I. Fazekas// Publicationes Mathematicae, Debrecen 2001. — No. 265. — p. 14.

13. Гнеденко, Б.В. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин/Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров — Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949 — с. 259.

14. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики./ А.Н. Ширяев. М.: Фазис, 1998 - с. 250.

15. Гихман, И.И.Введение в теорию случайных процессов./И.И. Гих-ман, А.В. Скороход. — М.: Наука, 1977. — 144 с.

16. Боровков, А. А. О сходимости слабозависимых процессов к вине-ровскому./А.А. Боровков// Теория вероятн. и примен. — 1967. — т. 12. т - с. 193-221.

17. Боровков, A.A. Сходимость распределений функционалов от случайных процессов,! A.A. Боровков.// Успехи матем. наук. — 1972. — т. 27. вып. 1. - с. 11-41.

18. Добрушин, P.JI. Лемма о пределе сложной случайной функ-ции./P.J1. Добру шин.//Успехи матем. наук. — 1955. — т. 10. — вып. 2. с. 157-159.

19. Русаков, О.В. Функциональная предельная теорема для случайных величин с сильной остаточной зависимостью./О.В. Русаков// Теор. вероятн. и ее применен. — 1995. — т. 40 — вып. 4. — с. 813-832.

20. Кудрявцев, A.A. Неоднородные процессы риска/, дисс. . канд. ф.-м. наук:защищена 15.03.2003.-утв. 14.02.2003/А.А. Кудрявцев. — М.: Изд-во МГУ, 2003. с. 148.

21. Катаев, Т.Р. Асимптотические аппроксимации для распределений случайных сумм и некоторые их применения, дисс. . канд. ф.-м. наук:защищена 15.06.2003:утв. 14.04.2003/ Т.Р. Катаев. М.: Изд-во МГУ, 2003. - с. 115

22. Калашников, В.В. Вероятность разорения./В.В. Калашни-ков//Фунд. и прикл. матем. — 1996. — т. 2. — вып. 4. — с. 1055-1100.

23. Бенинг, В.Е. Ассимпгпотическое разложение вероятности разорения в классическом процессе риска при малой нагрузке безопастно-сти./В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев// Обозрение прикл. и промышл. матем. 2000. — т. 7. — вып. 1. — с. 177-179.

24. Кокс, Д. Теория восстановления./Д. Кокс, В. Смит. — М.: "Советское Радио—1967. — с. 159.

25. Bening, V. Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and Finance. /V. Bening, V. Korolev. — Moscow State University, 2002. p. 28

26. Lacey, M.T.A note on almost sure central limit theorem./M. T. Lacey, W. Philipp//, Statistics и Probability Leters. 1990. — 9(2) - p. 201205.31