Предельные теоремы для локальных времен однородных изотропных случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКГЯГЕЬСКСЙ РЩЩВДИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ил. Т.Г.ШЕВЧЕНЮ

На правах рукописи

САХНО ЛЮДМИЛА МИХАЙЛОВНА

УДК 519.21

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТВОРЕШ ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРПМШ ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физикс-ыатематическлх наук •

Киев - 1552

Работа шпо."чека на кафедре теории вероятностей и математической статистики ыехакико-математического факультета Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевчекко

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,.

профессор Н.Н.ЛЕОНЕНКО

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А.Ф.ТУРШН

кандидат физико-математических наук К.В.ШЕАСОВ

Ведущая организация : Институт кибернетики им. В.М.Гпушкова

АН Украины, г. Киев

Защита состоимся "1а " ХШлЯ^ 1992 года в часов в ауд. ЦЬ на заседании специализированного совета К 068.18.11 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Киевском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции государственном университете им. Т.Г. Шевченко / 252127 , Киев-Т27, проспект Академика Глушкова, 6, йеханико-математичес-ни» факультет /.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского государственного университета им. Т.Г. Шевченко /ул. Владимирская, 58 /.

Автореферат разослан " 1Ь " Шь^ххАЛ. Ш2 года

Ученый секретарь п

опещадизирсванного совета вуГ^ В.И.Сущанский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■■Адстуадьнооть теш. Различные проблема теории автоматического управления, статистической радиофизики, статистической оп-тшси, теории шероховатости поверхностей, геофизики, теории распознавания образов приводят к необходимости изучать функционалы геометрического типа от случайных полей такие, как шонества уровня, меры пребывания поля в областях определенной структур: и т.п. Одной из таких характергатик случайного поля, которая находит различные прилоксния, является так называемое локальное время, которое представляет собой производную Вадота-Шгаодипа от меры пребывания поля. Интересны и содерлсатольнн вопросы существования локального времени, его непрерывности п регулярности, саязи свойств локального времени с поведением исходного процесса. Детальные исследования в этих направлениях были проведены ... для локальных времен различных классов случайных процессов и полей. Отметим здесь работа К.Ито, Г.11акккна, Р.Е1Е1;знталя, Р.Ге- ' тура, С.Бертна, Ю.А.Давыдова, Д.Гсмана, Дя.Горо шца, Л.Питта, М.А.Лифетца и других. Представляют значительней нптсрзс п вопро-. сы о предельной поведении распределений локальных времен.-Зги . .. вопросы являются менее изученными. Результата в этс2( поправлении шеются в работах С.Бермана и А.И.Елпзарова. Настоящая работа 1родолжает эти исследования. ' ; .. •

Цель работы. Цельо настоящей работы яшиотся изучение юиштотического поведения локальных времен однородных изотроп- '. их гауссовских случайных полей и полей типа хи-кзадрат. .'>-Методы исследования. В работе используются разложения рас-ределений по соствотстзуксрш системам ортогональных полиномов, Эршта, Лагерра /, метод ортогональных разложений Функционалов

локального времени рассматриваемых классов случайных полей и асимптотический анализ полученных разложений. Используются геометрические вероятности, диаграммная техника, спектральная теория случайных полей, общие факты теории меры.

Научная новизна. Получены предельные теоремы для локальных времен гауссовских однородных изотропных случайных полей с сильной зависимостью. При этом рассмотрены как скалярные гауссовсние поля, так и некоторые классы векторных гауссовских полей. Доказана теорема о слабой сходимости локального времени гауссовского однородного изотропного случайного поля со слабой зависимостью. Получены предельные теоремы дня локальных времен однородных изотропных случайных полей типа хи-квадрат / в условиях сильной зависимости /. Доказаны предельные теоремы доя некоторых функционалов от гауссовских однородных изотропных полей, позволяющие задавать предельные распределения локальных времен рассматриваемых классов случайных полей при помощи кратных стохастических интегралов по комплексному гауссовскому белому щуыу в К" . Указаны ортогональные разложения для локальных времен рассматриваемых классов случайных полей.

Теоретическая к практическая ценность. Работа носит теорз-тический характер. Результаты диссертации могут найти применение в статистической радиофизике, теории распознавания образов, статистической оптике и .других областях знаний.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых механико-математического факультета КРУ, на' Республиканскс... семинаре по теории вероятностей и математической статистике при КРУ, на научных семинарах КГУ и КПП, на У Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике /1989/.

- о -

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С I - 4] , приведенных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из .введения и трех глав. Библиография содержит 80 наименований. .

С0ДЕН1АШЕ ШЗОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теш диссертационной работы, др^тся краткий обзор исследований, имещих непосредственное отношение к теме диссертации, приводится аннотация по-, лученных результатов.

В работе введена следующая нумерация параграфов, теорем и , ■ лемм: первая цифра означает номер глэеы, вторая - номер парагра-. фа, третья - номер теоремы или лемш.

В первой главе дается обобщение на случай полей результатов С.Бермана об ортогональном разложении и асимптотическом по--ведении локальных времен процессов положительно определенного типа.

В §1.1 представлены необходимые обозначения, определения и элементы теории локальных времен, описан метод построения ортогонального разложения для локального времени поля положительно определенного типа.

Локальным временем измеримого случайного поля ^ = 5 О*3, : Л * Я." -> Я называется производная Радона-Никодима. злучайнсй меры

-де 1 (г Ь , А е Ь » • ) - мера Лебега на измеримом прост-¡анстве (Я. ( ЗЬ ) , Г - индикаторная функция / при условии, что та производная существует/.Локальное время поля относитель-

но' множества Т будем обозначать об т(ее) . В соответствии с определением имеет место соотношение :

»>64)- 5 о(.т (ос)с!х ' /почти наверное/. ; ' ' $ - '

В §1.2 приведены ортогональные рпзлокения локальных времен гауссовского случайного поля и случайного поля типа хи-квадрат. В §1.3 описало предельное поведение локального времени оСд (х) поля положительно определенного типа, когда шояестЕО А расширяется до бесконечности / теорага. 1.3.1 /. Зги результаты используются в последуших главах, где изучаются предельные распределения локальных времен оС Гх) относительно шаров лг{г>) с Я*1 прг-1 •¿■^■е» для некоторых классов случайных полей,

- *' Вез рассматриваемые в работе поля предполагаются измераш-Ш1, сепарабельныш и непрзрнвшш в среднем квадратическом.

Во второй глава изучаются пределыще распределения локальных времен гауссовских однородных изотропных случайных нолей : в §§2.1-2.4 рассматриваются гауссовские поля с сильной зависимостью / т.е. интегралы от корреляционных функций полей расходятся /; в §2.5 рассматривается гауссовское поле со слабой зависимостью /корреляционная функция поля абсолютно интегрируема/.

Пусть 1-К. - однородное изотропное действительное гауссовское случайное поле с М ■§(*) = 0 , М ^Н) = ^ и непрерывной неотрицательной корреляционной функцией 1.(2) , с^фЫ - локальное время поля ^ относительно шара 1г(ч)=

; 1-Ы<ъ} .

В §2.1 получены теоремы о предельном распределении ^ - Показано, что предельные распределения

для случая х ¿0 и случая Х=0 различны.

. Введем обозначения :

у (х)- плотность стандартного нормального распределения,

оо

í Н (х)} - система полиномов Чебшева-Эрмита со старшим

L К JК=0

коэффициентом, равным единице, l^WI - объем шара

<rV)-n ^Clt-iOi^s.

pt irW rfa

Теорема 2.1Л. Пусть выполнены следующие условия :

1/ для любого й. > 0 :

А ин, .-1/3, .

S 2 (*)) с! ЭЬ < <*• ; о

2/ о

illU f- о" W в оо v '

причем ^(5.) 0 при í: 00 .

Тогда при Ч? л» конечномерные распределения случайных процессов , ' ч

сходятся к конечномерным распределениям процесса

Ьс^(х) J } x?ÍO; где "2: - стандартная нормальная случайная величина.

Теорема 2.1.2. Пусть выполняются условия;:" I/ для любого а > 0 :

(1-Х- (*))' dí О ;

чГ^ V^ - - i ■

причем при í

Тогда при t предельные распределения случайных-величин

- б -

<f(o)W.(o)S Н

* Лг1х,) JL

совладают. / Здесь и далее совпадение предельных распределений понимается э том смысле, что если существует предельное распределение одного семейства случайных величин, то существует предельное распределение другого, и они совпадают./

Введем условие:

I. Корреляционная функция »Ц £)=ЗГ L(x) при ,

"Z>Q , где oi>0 , , 1>0 - медленно меняющаяся на

бесконечности функция, ограниченная в каждом ограниченно!? интервале.

Если корреляционная функция поля ^ удовлетворяет условию I, oifc(о;\г/1), предельное распределение случайных ве~ личин ^-rpl^,) ^ ' соо*ве*с*^ей нормировке, можно задать при помощи кратного стохастического штэграла / теорема 2.1.4 /.

Теоремы 2,1.1 и 2.1.4 обобщают на случай полей предельные теоремы для локальных времен гаусоозских стационарных процессов, полученные С.Берыаиом.

Распространение этих результатов на векторные однородные изотропные ноля дается в §2.2-2.3. При этом рассматриваются два случая : I/поле [t,^..., , t t имеет

независимые компоненты; 2/ зависимость меаду компонентами поля

§ ci

S(-b) талова, что существует преобразование Т: R. , которое приводит исходное поле к полю с независимыми компонентами с явным выражением для корреляционной функции,

Приведем основные результата §§ 2.2 - 2.3.

Предположение I. Векторное поле ¿д-t) ^ J(u>,-t) : Six P." -> R.^ является однородным изотрошшы гауссовским с нулевым средним и

непрерывной корреляционной функцией Й-ОЪО - М£(0)£1-Ь.у , причем матрица ЙЛ1-Ы) является диагональной

№0= (>10«),..., г^ С1Ы))

и Ч<-0)- ^ , чС^О-? о , 2-Обозначим

№ 1 я—сх,,...^;,

«*• - класс медленно меняющихся на бесконечности функций, ограниченных в каждом конечном интервале.

Теорема 2.2.2. Пусть поле ¿(-Ь) удовлетворяет предположению I и выполнены условия : I/ для любого О- > О

О

2/ г^М)" ^Цшуж41,

где ¿¡,е (0,0 , в1е(о,п/), .

причем ЦИ=0 Ч-® при М ~>ос . Тогда

I/при X ->оо конечномерше'распределения случайных полей

(<*^^ ~ ^Мч^/(Ь^'^Цъ))4/\.ыо

сходятся к конечномерным распределениям случайного поля

где ; - независимые копии стандартной нормально? случайной величины;

2/ ослн с/. , то при 1 -? ^ совпадают предельные

распределения случайных величин

- Б -

(el Ш - ф(0)№)\)/(±\!\ф(о)г"ЛМ)

"irb) d

L L L _ ' -

где

X; (X.) »J ÜAt^dt/iñ. h t- LM) •

Указаны выражения для констант -é1 и ^ •

При %->оо случайные величины X^fx) могут быть представлены при помощи кратных стохастических интегралов. • Предположение 2. Векторное поле

является однородным изотропным гауссовским с нулевым средним и

коваршдеонной матрицей ^M^lOj^lí)'= ^ ^¡jU^)}-

такой, что '

причем CL(0)=i , p0(r 10,1)^

CL (Я1) - L (l±l)//ti* « jL Luwi-Ы *

где oL>0, €0,1), Lé£.

Поле £(£■) , описанное в предположении 2, благодаря специальному .виду его корреляционной матрицы, можно привести к полю *(■£.) с независимыми компонентами, что дает возможность получить следующую предельную теорему для локального времени поля

ÍW.

Обозначим

(d-<) 6( /tí))/(Md~<)j>o), гг0Ы) (Щ -(сц/ы) - -6(1Щ/(<1-0,) ,

ф (и) - плотность ¿¿-мерного гауесовского вектора с нуле-

п

вым средним и корреляционной матрицей к.0 .

Теорема 2.3.1. Пусть поле £ (-Ь) удовлетворяет предполо-хению 2, <¿¿(0,/^ и выполняются условия : I/ для любого а. >0

о 1--'

2/ ^¿(Ж) £ 0, С* ; Ц1Ь1)кО, Ш-*оо . '

Тогда

I/ конечномерные распределения случайных полей

при % сходятся к конечномерным распределениям поля

где " гауссовский случайный вектор с нулевым средним и корреляционной матрицей О. ,

2/ если ,Уь/Х,) , то при совпадают предельные

распределения случайных величин

и <1

где случайные величины Х^ {1~) задаются выражениями

и при 7. -»¿о иогут быть представлены в виде кратных стохастических интегралов.

Указаны выражения для констант р^ и матрицы О.

В §2.4 вводится понятие локального времени относительно сферы 5(ъ) с Цп и доказываются аналоги теорем 2.1.1 и 2.1.2

для локальных времен относительно сфер гауссовских однородных изотропных случайных полей.

В §2.5 рассматриваются локальные времена гауссовских полей со слабой зависимостью. Именно, пусть , ~ однород-

ное изотропное действительное гауссовское поле с 0 ,

М^Н^М и непрерывной неотрицательной корреляционной функцией <ъ ("2:) , удовлетворящей условиям :

ао

I/ ^""Ч^йИ <. -о Я/

о

и а

2/ для любого а>0 \ г * ^ "> • . /2/

0

Рассматривается процесс

причем полагается, что Д. . (.±<»<0»0.

лггч

Пусть | (.ос.) - непрерывная строго монотонная функция на

и , 0)^ . Выполнив замену

и = , переедем к рассмотрению процесса ¿-^г^ (

на С0-1 . Показано, что этот последний процесо является не- '

прерывным с вероятностью I.

Основной результат §2.5 содержится в следующей теореме.

Теорема 2.5.1. Пусть выполнены условия /I/ и /2/.

Тогда „ .

7 Сса.Ь]

где - гауссовский случайный процесс с нулевым средним и

ковариационной функцией 00 и 1

Г'И11'/^) ^ » р) - плотность двумерного

гауссовского вектора (, ^ ) с = , =

и ¿^Л3 • ' Символом =£> обозначена слабая сходимость в пространстве непрерывных функций. /

Теорема 2.5.1 аналогична результату А.И.Елизарова о слабой сходимости локального времени гауссовского однородного поля, однако предположения о корреляционной функции в теореме 2.5.1 более слабые.

В третьей главе получены предельные теореш для локальных времен однородных изотропных случайных полей типа хи~квадрат. В §3.1 рассматривается локальное время поля типа хи-квад-

рат с <£ степенями свободы

■/3/

где -^(4:) 1 и = А, ..., с1 - независимые копии гауссов-

ского однородного изотропного поля со средним 0, дисперсией I и непрерывной неотрицательной корреляционной функцией 4/(2:). Обозначим р(х.) - одномерную плотность поля X , Ь^С^-^С*}*

^^.Г^+^СГ^+Ка-О)4^, где - обоб-

щенные полиномы Лагерра.

При помощи асимптотического анализа ортогонального разложения локального времени поля /3/ получены следующие две предельные теореш.

Теорема 3.1.1'. Пусть Х(.-Ь) , ЯП - однородное изотропное случайное поле типа хи-квадрат, определенное формулой /3/, Б > и выполняются условия:

I/ для любого а >о $ И- о!* < ™ ;

о

2/ существует 8 £(.0,4) такое, что

I. + .

Лх-пь О- Г Ы = со

ул '

Гда Ль)»,!

3/ * 0 при 1 ■*■<*> .

Тогда при Ч- —> лз случайные процессы

^ (а') ~ Р^И-О!)/ (г) , X ^

имеют те же предельные конечномерные распределения, что и процессы ¿1

Где Иси^Л .

Теорема 3.1.2. Пусть Х(Ь) ,-Ь £ й. - случайное поле типа хи-квадрат, определенное формулой /3/, с( , выполнены условия I/, 3/ теоремы 3.1.1 и существует такое, что

где

Х->«> Ч '

4 тнх) Мт-)

Тогда пр! V ->ео случаемые величины

(<*/*) - Мт)|)/ Гц (П.)

имеют то же предельное распределение, что и случайные величины

- ^ 1^И(ВДо£/<ггс), /4/

,¿/24 г 4

где ^х) - второй полином Лагерра.

Величины /4/ могут быть такте представлены в виде

. Как видно из теорем 3.1.1 и 3.1.2, предельные распределения

Скального времени о1 ^^ Сх) случайного поля типа хи-квадрат с

с{ степеням свобода различны и случае я. 6-/% ив случае

¿1/1. . Если корреляционная функция тгост правильное

!зменение на бесконечности, эти 1шгауссовокие.предельные распре-

целешш могно задать с помощью кратинх столастпчзскпх гатегралоп

Йто-Винера и некоторых их модификаций.

; Введем условие. » 11» ' II. У поля (-¿0 , -Ь £ Я. существует спектральная плотность

= , Я*-Я.'1 , пргчеи {(.иО -монотонно убывает, как

функция при М А 0 .

Теорема 3.1.5. Пусть Х(^) 1 -Ь £ - однородное- изотропное случайное поле типа хи-квадрат, определенное формулой /3/, ,где поля удовлетворяют условиям I при

(к ь С о,\vZJj) и II и выполнено условие I/ теоремы 3.1.1. Тогда конечномерные распределения случайных процессов

при сходятся к конечномерным распределениям процесса

Х1-1(»40»V КГ***

р.

'де Тр - функция Бесселя первого рода порядка \> , -

независише копии комплексного гауссовского белого щума в Я. ,

с/ •

\ ... - кратный стохастический интеграл по комплексному гаус-совскому белому щуму / интегрирование по гиперплоскостям

= ± ^ исключается /.Указано выражение для константы Су . Теорема 3.1.6. Пусть выполнены условия теоремы 3.1.5, сН (О, И/Л) . Тогда распределения случайных величин

при ~>оо сходятся к распределению случайной величины

, <* а. .

«Л 1м 1

:

где

нА ¡л'М-*>л> А

1-1 Ь ■* '

Г1 > *

к..

Обозначения : М^О) , I = Ас1 - независише копии комплексного гауссовского белого щуш в Р. ; ^ ,.. - кратный стохастический интеграл по комплексному гауссовскому белому аучу / исключается интегрирование по гиперплоскостям Л- - , ^ ^ ••• - модафицированный кратный стохас-

тический интеграл по независимым копиям и IV ^ (О

комплексного гауссовского. белого шутла /исключается интегрирование по гиперплоскостям А^ = и Я3 =± /. Указано выражение для константы С6 .

В §3.2 рассматр!вается поле типа хи-квадрат, которое определяется формулой /3/,где £(+)= [ >-->id " однородное изотропное гауссовское поле, описанное в предположении 2. Дается ортогональное разложение локального времени указанного поля, в котором участвуют многомерные полиномы Чебышева-Эршта. На основании этого разложения доказывается предельная теорема.

Теорема 3.2.1. Пусть поле § (-fc) = С Ф , •••, SdW 1 удовлетворяет предположению 2 при c/Lt (О, H/Z) и выполнено усло-

о Л-1

~ локальное время поля ^ ¿^^(-Ь) , ¿.^- '5.

Тогда случайные процессы

(¿^ (и) -

:ри % имеют те же предельные конечномерные распределения, то и процессы

Л л

л

де

Нл^Лй/М^Р^Ц*)). /5/

казаны выражения для (ди.) , , .

редельные распределения случайных величин /5/ могло задать при )мощи кратных стохастических интегралов. В §3.2 отмечено, что сдельные теоремы для локального времени поля типа хи-квадрат, >лученные в §3.1, остаются справедливыми и при с1 ^ 5. .

Автор искренне благодарна научному руководителю профес-ФУ Леоненко Николаю Николаевичу за постановку задач, помощь внимание к работе над диссертацией.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Сахно Л.М. Предельные теоремы дая локального времени однородного изотропного гаусоовского случайного поля// Пятая Международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и.мате-» матической статистике: Тез. докл. -Вильнюс: Изд-во АН ЛитССР, 1989. - Т.4, -С. 213-214.

2.Сахно Л.М. Локальные времена одного iuiacca случайных полей // Теория вероятностей и мат. статистика. - 1990. - 44. -С. 118- ' 125. .

3.Сахно Л.М. Локальные времена однородных изотропных случайных полей типа хи-квадрат// Укр. -кат. журнал. 1990. - 42, РЮ. -С. I4I2-I4I5. V ' ч . V

4.Сахно Л.И. Продольные теореьщ дая лооальных времен векторных гауссовских случайных полей// Дзл. в УкрИНТЭИ. - Р 397-Ук92 от 24.03.92. - 24 с.

ижа:п-гвк'

Зак.1н22 Тир./00 199 2_г.