Об аппроксимации случайных процессов и полей случайными полями с ограниченным спектром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Р Г Б „ОД „ т ш

_Киевскии университет имени Тараса Шевченко_

- о На правах рукописи

! {. К;-!'-'}

ХЛЛИКУЛОВ Сирожилднн йоаммддииович

УДК 519.21

ОБ АППРОКСИМАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ СЛУЧАЙНЫМИ ПОЛЯМИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фмико-матемагематичесхих наук

Клен — 10!М

Диссертацией является рукопись.

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики механико-математического факультета Киевского университета имени Тараса Шевченко.

Научный руководитель

Официальные оппоненты -

Ведущая органиоация

док тор фио и ко- м атемати ческ их наук, член-жорр. АН Украины, профессор

ЯДРЕ11КО М.И.

доктор технических наук,

профессор

ПОПОВ Ю.Д.

кандидат

физико-математических наук, доцент КЛЕСОВ О.И. Институт кибернетики АН Украины

Защита, состоится " 1994Г. в 14 часов

наоаседании специализированного совета К 01.01.1-1 при Киевском университете по адресу: 252127, Киев-127, просп. академика Пашкова, 6, механико-математический факультет.

С диссертацией можно оинакомитьсл в библиотеке университета.

Автореферат разослан

1991г.

Ученый секретарь специалииированного совета ///) КУРЧЕНКО А.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Модели случайных полей (случайных функций нескольких переменных) вооникают при решении актуальных проблем теории автоматического управления, статистической радиофдаики, теории информации (обработка и передача иоображе- ' йий), теории распоонавания обраоов, геологии (оценка запасов месторождений), статистической гидромеханики, астрономии, сейсмологии. При описании таких моделей пажную роль играют различные представления случайных полей в виде стохастических рядов; одним ио наиболее часто испольоуемых раоложений такого сорта является представление в виде ряда Котелышхова-Шениона: в зарубежной литературе теоремы о сходимости разложения Котельникова-Шеннона наоывают теоремами отсчетбв (sampling theorem).

Цель работы. Найти представления Котельникова-Шенпона для некоторых классов случайных полей и дать оценку их скорости сходимости. Разложения Котельникова-Шеннона имеют Место, как правило, для полей с ограниченным спектром. При практическом ис-польоовании таких раоложений вооникают проблемы аппроксимации случайных нолей полями с ограниченным спектром. Эти проблемы рассматриваются в настоящей работе.

Научная новизна. В диссертации

- укаяано разложение. Котельникова-Шеннона для процессов с ограниченным спектром бео "нноких" частот и дана оценка скорости сходимости;

- для некоторых классов однородных случайных полей дана оценка приближения полями с ограниченным спектром; устанавливается оценка скорости сходимости соответствующих разложений Котельникова-Шеннона;

- исследована проблема аппроксимация однородных и иоотроп-ных случайных нолей полями с ограниченным спектром;

- установлено разложение Котельникова-Шеннона для случайных полей на цилиндре; сформулирована предельная теорема об аппроксимации нолями с ограниченным спектром;,

- для однородных по времени иоотроппых случайяьсс полей на сфере укапано рапложепие Котельникова-Шеннона; установлена предельная теорема об аппроксимации полями с ограниченным спектром. •

Теоретическая и практическая ценность. В теоретических исследованиях особую роль играют случайные процессы и ноля, которые полностью определяются счетными наборами случайных величин. Существование таких наборов случайных величин (У.Грснандер предложил называть их наблюдаемыми координатами) сушостьеино облегчает решение основных статистических оадач в статис тике случайных процессов. Разложения К отельпнкова-Шеннона как р;м> и доставляют примеры таких процессов и нолей.

Рапложения Котелышкова-Шевнона могут быть исподикнишы для решена» практически важной задачи статистического моделирования случайного поля с оададшьши характеристиками. При итом крайне важно уметь оценивать среднеквадратическую скорость сходимости таких рааложений.

Исследования, реоультаты которых представлены в диссертации, проводились па кафедре теории вероятностей н математической статистики в соответствии с планом научных исследовании по теме чРаоработка методов решения проблем статистики случайных процессов и нолей".

Апробация работы. Реоультаты р;(боты докладывались на научных семинарах в Киевском и Самаркандском университетах (1990 - 1904 гг.), конференции молодых ученых Киевского университета (1993 г.), конференции молодых математиков Украины (1994 г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит ио введения и шести параграфов. Список литературы содержит 10-1 наименования.

Содержание работы

Охарактериоуем теперь более подробно содержание: работы.

В теории передачи информации важную роль играет следующее утверждение. Пусть /(4) — сигнал (неслучайная функция), спектр которого сосредоточен в интервале (-а,а) Это ооначает, что

до

Тогда

Соотношение (1) нокаи.шает, что сигнал с.ограниченным спектром бгчтшиОччно восстанавливается по наблюдениям па бесконечной последовательности { —}.

Формула (1) была получена Уиттекерои в 1915 г. Независимо от работ математикой, ота формула била введена в 1933г. В.А.Котель-пиковым, пперпие подчгркнупшпмее сшаченис для вопросов передачи информация но плсктричегким каналам. Пооже к тому же оаключе-нию пришел также Шеннон.

Теорема Котслыишша-Шенпона. и ее обобщения для неслучай-пых функций нескольких переменных рассматривались в работах Э.Л.Блоха, Н.К.Игнатьева, А.Дж.Джерри, Я.И.Хурпша, В.П.Яковлева, Р.Проссера, П.ВатЦсра, У.Сйлетстоссера, Дж.Хиггинса.

Начиная с райот Шеннона, теорема Котелышкова-Щеннона часто формально и сполшбвалась и для случайных сигналов, представляющих собой стационарные случайные процессы с ограниченным спектром.

Предположим, что £(t) петествеппьш стационарпый в широком смысле случайный процесс, непрерывный в среднем квадратическом. Вудем предполагать, что M{(í) = 0. Как известно,

М{(« + т)«0 = В(т)= Г eiXTdF(А),

J-CO

где F(А) — ограниченная неубывающая функция на (-оо,оо) (спектральная функция процесса).

Случайный процесс ((0 напивается процессом с ограпичепным спектром,-сыт существует ¿5 такое, что спектральная функция F{\) постоянна вне интервала (—¡5,5).

Если спектр £(/) сосредоточен в интервале (-5, £3), то при любом w >'ü? выполняется равенство

V-' , ( kn\ úxiljU - —)

где ряд в правой части сходится в среднем кпадратическом.

3-

В 1959 году Ю.К.Беляев и Ллойд докапали, что ряд (2) сходится и с вероятностью единица. Ю.К.Беляев укаоал оценку скорости среднее вад рати ческой сходимости ряда (2). Он доказал, что если

«•-¿«ЮЗ»

*=-и

ТО где

В параграфе 1 мы с подробными докапательствами приводим реоультат Ю.К.Беляева (в статье Ю.К.Беляева были опущены подробности вычислений).

В ряде приложений в статистической радиофиоике приходится рассматривать стационарные процессы бео низких частот. Эта ситуация вооиикает, например, при работе с приборами, не регистрирующими ншкие частоты.

Пусть £(<) действительнооначный стациоиарный процесс, спектр которого сосредоточен в области [—Д, Д1] и [Д|, Д], где 0 < Д] < Д.

Заметим, что но условия действнтедьпоапачности процесса вытекает, что носитель спектра является областью, симметричной относительно нуля.

Для этого случая в параграфе 1 доказано следующее утверждение. ■ '

Теорема 1.2. При любом с > Д имеет место равенство

к—-со \ с /

где ряд справа сходится в среднем квадратическоы. Если * /

то

В параграфе 2 приведено обобщение леммы Ю.К.Беляева для однородных случайных полей и устанавливается теорема об аппроксимации произвольного однородного случайного поля полем с ограниченным спектром. Эта теорема обобщает один недавний реоультат Т.Иогани, установленный для стационарных процессов.

Пусть {(I,») однородное в широком смысле случайное поле на плоскости. Иовсстпо, что

/-со-/—оо

Функция Г(А1, Аг) — ограниченная, неубывающая по каждой переменной функция. Она паоывается спектральной функцией случайного поля ({4,л).. Мора, определенная на борелевских множествах плоскости соотношением

Г(А)= Ц ЛПХъХъ)

наоывается спектральной мерой случайного ноля л). Если мера F(•) абсолютно непрерывна относительно лебеговой меры, то

и функция /(А], Аз) называется спектральной плотностью случайного поля.

Однородное случайное поле нацывается случайпым полем

с ограниченным спектром, если его спектральная мера сосредоточена на некотором квадрате {-<¡5,Щ х т.е. мера ^(Л) любого боре-

лспского множества, которое распололсено вне отого квадрата, равна нулю. . Бели поле с ограниченным спектром имеет спектральную плотность /{А|, А»),то она равна пулю вне квадрата ¡-ш,и5]х(-и?,{5}.

Пусть £(<,л) однородное случайное поле на плоскости со спектральной илотпостью ДА), Аз). Будем считать, что спектральпая плотность равна нулю вне кпадрата \~и!,ш\ х [-¿5,5}.

Пусть

ь „(¡.¿г) --^фгщ-'

■ к~-п /=5 — п ' V V / * и» '

5

о* = Г Г П= / / /(А,,А3)ал1сгА3.

Имеет место такое утверждение, которое является аналогом леммы Ю.К .Беляева, установленной в параграфе 1. Лемма 2.1. Имеет место неравенство

+

Г*7Г\27Г / 1 _ Ы I И 7Г \ 7Г / I и

\+А 1 («Ё+л 11 т+л IV

к тт \ тг у ^_

В параграфе 2 рассмотрен вопрос об аппроксимации однородного случайного поля нолями с ограниченным спектром.

Пусть ~ проиоиолыюе действвтельнооначное однородное случайное поле. .

. Пусть {С;„} - последовательность, стремящаяся к +оо, и

..■гг..,.«. и- »•(<-£) ".(>-£)

где т, — некоторая последовательность натуральных чисел, т„ —► + 00 при п оо.

Тогда имеет место

Теорема 2.1. Предположим, что

\ л

а) --> 0 при п —» оо;

и»«

б) — < от < 1 при п> Ы,

где N некоторое фиксированное число.

Тогда М|((«,а) - £„.„,„ -+ 0 при »1 оо.

6

При отом при п> N выполняется неравенство

la<

V f V, 7Г А?я/(1-С

+ [l+i£bflfl + ±y+ J_\ _J_+.

[ Я"7Пп\'г W„/ 1-OJ Ш„!Г \lt W»/ 1-е

Л + i!*L (& + -L) -i_] «2-If И + JL) »IV.

7Г m„ V 7Г w„ / 1 - a J m„ я \ n ■ un J 1 - a I

В параграфе 3 рассматривается случайное ноле с ограниченным спектром я следующем смысле: спектральная мера поля сосредоточена на множестве D = {(Aj.Aj) е R.2 : |Aaj + |Л2| < w}.

Для такого поля доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть £(<, л), (t, t) 6 R.2 - однородное случайное поле с ограниченным спектром и его спектральная мера сосредоточена на множестве D.

Тогда для любого w > w имеет место раоложение:

Jfcs: —со ns —оо

(3)

где ряд п равенстве (3) сходится в среднем квадратичесжом.

В отом параграфе получена также оценка для скорости сходимости поля

Е'Е *(£(*+"),£<*-п>)х

*=—гп=-г

3!ll[W(l±i-^)j sin ^я-)]

к i(i, i), (i, я) S RJ в среднем квадратичсском.

7

Теорема 3.2. Пусть £Г(М)> й такие же, как и в тео:

реме 3.1. Тогда выполняется неравенство:

М|£(М)-«г(М)|2<

4-

+ где

Г 16 /ю\1 + >\ \(ю\1-з\ \ 1

| т \ 2ж ) 1 _ Г7г \ 2тг / » зи

, и> Л ц>

+ ± + Л _и ± + Л

• Г7Г \ 2/Г / 1 _ « Г7Г V 2?Г / .1 _ Н ^

1 luJ »1» •

<Г3 =

Полученные результаты дают воаможиость аппроксимировать однородное случайпое поле случайными полями с ограниченным спектром на множествах вида О = {(Ль Да) € В-3 : |Дз| +■ |Лг| < £>}•

Пусть {сг} и сг проиовольныс последовательности такие, что ст —> +оо вс, > сг, а {тг} — некоторая последовательность натуральных чисел, нричем тг оо, г —► оо.

Рассмотрим случайное поле

к—-тг п— — п>г

Теорема 3.3. Пусть {(!,»), ((,.•<) 6 И2 —однородное случайное поле на плоскости и выполняются условия

а)

с,

— 0 при г —» оо;

'»г

б)

— < а < 1 начиная с некоторого г«.

1

. Тогда М|$(1,«)-{г,,пг(«,.')|а -»О при г-»оо.

В параграфе 4 рассматриваются однородные и изотропные случайные поля на плоскости. Докаоывается Утверждение о разложении любого подя на две ортогональные составляющие, одна но которых — поле с ограниченным спектром в некотором круге.

Теорема 4.2. При любом Я однородное и изотропное случайное поле ((г,(р) представимо в виде суммы

((г,<р) = ац(г,<р) + 0%(г,<р),

где ад(г,<р) однородное и иоотрогшое случайное ноле, спектр которого сосредоточен в круте радиуса Я,

ЩРфМ? = [ «»(А), Ма5(г,^)/Зй(г^) = 0.

, л

Предположим, что однородное в изотропное случайное

поле, спектр которого сосредоточен в круге радиуса Я. Для таких полей в параграфе 4 получен аналог теоремы Котельникова-Шениона.

Теорема 4Л. При любом Я > Я имеет место раоложеиие Ко-тельннкова-Шенпона

к, ~-оо ка=-оо 4

X — ■ ■ . -■ --'

где ^(х) — функция Бесселя первого рода и ряд в правой части сходится в среднем квадратическом. Если

«<■»>- ¿-е

*) = -П*з = —п

X ........ .. ■' ' „ ■ '-

то

+ f,+ i. i Л] 1,1 №+,)■_!,+

[ П 7Г у 7Г J \ п п \ X / 1

+ Гг +1. i г^и + Л] 1. i («líi ^ л -i^)3^.

[ п ж \ 7Г Уj n JT \ 7Г /!_§]

й

Предположим теперь, что £(<, в) проиовольное однородное и иоо-тропное случайное воле. Доказано следующее утверждение. Теорема 4.4. Пусть

2Л*

J, (V^-*»«)1+•('-*»л)') Предположим, что Ra oo, R„ > R„ я

. \ n

а) --► 0 при я —► oo;

m«

б) — < a < 1 при n> N,

л

где iV — фиксированное число. Тогда

\7Г Я„/ 1-е* l 7rm„ \jr RnJj

K£-i(ÜL + ±) _L_ ,f1 + íi(M4)|x

R„/l-or яти» V я Я„/J

m« JT \ ЗГ Я»/ 1- Л J /я

H .

В параграфе 5 поучаются действительнооначные случайные поля í(í,v), где t 6.R = (-00,00), <р 6 S-¡ (Sj — единичная окружность на плоскости), изотропные по переменой ¡р. Устанавливается, что кооффициеиты Фурье ôjt(i), /?*(<) в разложении £(t,<p) по переменной <р являются взаимно некоррелированными процессами. Поучаются случайные поля однородные по переменной í и иоотропные по переменной лр. Для случайных полей с ограниченным спектром устанавливается аналог теоремы Котельникова-Шеннона. Рассматривается проблема аппроксимации однородных Случайных полей на R х Sj случайными полями с ограниченным спектром.

Мы будем рассматривать действительнооначные случайные поля ((t,<p), где t е R = (-00, 00), <р 6 [0,'¿7r], с нулевым математическим ожиданием, периодические с периодом 2îr по переменной ip и иоо-тропные по переменной ip. Это ооначает, что

Mf(i,v>i)((s,v>3) = ~ V>í|).

Ио периодичности ip) по переменной tp следует, что функция B(t,s,ip) по переменной <р является периодической с периодом 2зг и четной. Будем предполагать также, что случайное поле ((í,<p) непрерывно в среднем квадратическом: тогда функция B(t, s, <р) будет непрерывной функцией по совокупности переменных. Пусть также M|<(t,V)|J < 400,

В атом параграфе доказана следующая теорема.

Теорема 5.1i Если ((t,'fi) изотропной по <р случайное поле на цилиндре, то

1 00 í(t, <р) = -a0(t) + £[a»(i) eos k<p + sin

где

Mc*(<)ar(») = S¡6t(t,3), ММШ>) = f¡b(t,s), Mak(i)Mi) = O,

¿1 — символ Кронекера, а &*(*, в) (к = 0,1,...) — последовательность положительно определенных ядер на Е х й такая, что

]ГЧ*(М) < +оо. »=о

Ковариационная функция случайного поля V?) допускает представление

1 00

ВЦ, з, <Р! -<р,) = М£(<, щ )£(«, = -ЬоС, «)+£ Ы*. «>3 к{(рх - </>а).

1=1

В параграфе 5 приведены также рапличные примеры корреляционных функций случайных полей на цилиндре.

Для однородных по времени случайных полей на цилиндре получено следующее спектральное рапложение:

Теорема Б.2. Случайное поле £(*,¥>) на цилиндре К х 53 гоо-тропное по <р и однородное по времени имеет вид

\ р ешг0(Л\)+ ¿[совЬу> ешгк1(с1\)+

Iе08 ^ /

где {£,,(•)> набор воаимно некоррелированных комплек-

снооначных случайных мер на (—оо, оо).

Для однородного по времени изотропного случайное поля на И х с ограниченным спектром, сосредоточенным па {—с,с], получен следующий реоультат.

Теорема Б.З. Справедливо следующее неравенство

М|£«,у>) - Ы«,¥>)|2 < 1 Л \ + £ Ь4(0)},

.(1-е) * *=1 >

( н \ -V* с(1к У8'тс(<~т)

. Полученные результаты дают вооможгость аппроксимировать однородное случайное поле случайными порами с ограниченным спектром.

Пусть сп прайс вольная последовательность такав, что сп —» +оо в с, > с„, Пусть также m* — некоторая последовательность натуральных чисел, причем m» -к», Рассмотрим случайное поле

Теорема 5.4. Предположим, что

1) ——► Q при п —► оо; т„

2) — ~*а < 1 при п —► сю.

Тогда M|Î((,v)-λ,m„(i>v)|3->0 при п-*оо.

В параграфе в поучаются действительнозначные случайные поля Î(t,u), где t € Я = (-оо,оо), u € S„, Sn — единичная сфера в п-мерном евклидовом пространстве.

Предположим, что ((t,6 j9„~%, <р) непрерывно в среднем квадратичном п

ue{t,9i.....«„_ыр)<оо.

Случайное поде 6\,... , ip) будем наоывать иоотропным случайным полем на сфере, если М£(/,и) = со nit (будем предполагать а дальнейшем М((1, и) = 0), а

Mi(<,u)i(i,v) = B(t,a,cas < u,t» >),

где (0j,•••,in-ьV) = «,{Ou- •• -fin-u= »•

Случайнее поле ç(t,u) шотропвое по пространственной переменной на сфере имеет вид

оо h(n»,n)

£ (L(i)sL(u),

га=0 tel

Ï3~

где {{»(<)> m - 0,1,...; ' = 1,2, ...,h(m, n) — последовательность случайных процессов такая, что

М&(0&(») = 6Z'sfbm(t,3),

a bm(t,s) — некоторая последовательность положительно определенных ядер на R х R такая, что

оо

£h(m,n)bm(t,t) < оо,

т=0

где 0 =

Корреляционная функция ((t,u) имеет вид

оо "~3

B(t,s,cos <«,»>) = — Vs ft(m,n)Cm ^"'"^ММ)-"-•iS'o CZT{ 1)

Пусть £(t, tt) однородное по времени и изотропное no и случайное поле на R х S„ с ограниченным спектром, сосредоточенном на (—с, 2]. Пусть также с - любое число, с > с. Положим

Тогда имеет место утверждение.

Теорема 6.2. Справедливо следующее неравенство

Пусть сы проиовольная последовательность такая, что сн-—> оо, и > cN. Пусть также шл некоторая последовательность натуральных чисел, причем rr»N —> +оо.

14

Рассмотрим случайное поле

/гтг лв1пс"(*-™)

Теорема в.З. Предположим, что а) ——► 0 при N —► оо;

.6) --<• а < 1 при N—>00.

с N

Тогда

МКМ1,...,0п_Ь^-Ыт«М1>"-А-1.¥>)|а -0 При ЛГ-+00.

Автор пользуется случаем, чтобы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту АН Украины Михаилу Иосифовичу Ядренко, под руководством которого выполнена настоящая работа, оа постановку темы диссертации, многочисленные полетные советы и оамечания.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Халикулов С.И. Об аппроксимация однородных случайных нолей случайными нолями с ограниченным спектром // Ден. в Укр-НИИНТИ 27.10.92, N 1758-Ук92,10 с.

2. Халикулов С.И. Теорема Котельникова-Шеннона для однородных по времепи иоотропных случайных полей на сфере // Деп. в ГНТБ Украины 03.11.93, N 2173-Ук93, 10 с.

3. Халикулов С.И., Ядренко М.И. Теорема Котельникова-Шеннона для случайных полей на цилиндре // Деп. в ГНТБ Украины 03.11.93, N 2174-УкЭЗ, 13 с.

4. Оленю А.Я., Халикулов С.И. Теорема Котельникова-Шеннона для одного класса случайных полей // Деп. в ГНТБ Украины 01.03.94, N 424-Ук94, 13 с.

5. Халшулон СЛ. Про апроясимащю 0дп6р|дних випадковпх пол!в полями о обмеженим спектром // Теорш ймовфк. та мат. статистн-стнка. - 1994. - вип. 50. - С. 230-234.