Сложность аппроксимации гауссовских случайных полей большой параметрической размерности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ХАРТОВ АЛЕКСЕЙ АНДРЕЕВИЧ

СЛОЖНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ

РАЗМЕРНОСТИ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 КОН 2014

005549759

Санкт-Петербург — 2014

005549759

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической

статистики математико-механического факультета

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Научный руководитель:

Лифшиц Михаил Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор,

профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Официальные оппоненты:

Велопольская Яна Исаевна

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математики ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Чирина Анна Владимировна кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры высшей математики № 2 ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)»

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова»

Защита состоится «-»_2014 года в_часов на

заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в ФГБУН Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБУН

Санкт-Петербургского отделения Математического института

им. В. А. Стеклова Российской академии наук, http://www.pdmi.ras.ru/

Автореферат разослан «_»_2014 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01 доктор физико-математических наук

А. Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория гауссовских случайных функций интенсивно развивается в последние годы (см. [1], [4]). Одним из ее современных направлений является исследование вопросов конечноранговой аппроксимации случайных полей (см. [3] и [7]). Здесь центральным является следующий вопрос: каким должен быть ранг аппроксимирующего поля, чтобы ошибка аппроксимации имела заданную малость? Задача может рассматриваться в двух постановках — в среднем и по вероятности. Наименьший подходящий ранг в этих постановках называется соответственно сложностью аппроксимации в среднем и сложностью аппроксимации по вероятности. Эти характеристики являются главными объектами изучения в теории информационной сложности, оформившейся в 80-х годах с выходом монографий [9]-[11].

В 90-х годах в рамках теории информационной сложности началось активное изучение многопараметрических задач аппроксимации. Основные положения и результаты этого молодого направления сформулированы в недавно изданном фундаментальном трехтомнике Э. Новака и X. Вожняковского «Tractability of Multivariate Problems» [12]-[14]. В многопараметрических задачах представляет интерес изучение случайных полей, зависящих от настолько большого числа параметров, что к самой параметрической размерности случайного поля можно подойти асимптотически. Иными словами, рассматривается не одно случайное поле, а целая последовательность случайных полей, как правило, структурно связанных между собой. Для каждого поля из этой последовательности можно определить характеристики сложности аппроксимации и изучать их при растущей параметрической размерности. Здесь есть два пути исследования. В одном из них сложность рассматривается как функция двух независимых переменных: уровня ошибки и параметрической размерности. В настоящее время центральную роль на этом пути играет понятие трактабильности, которое характеризует скорость изменения сложности аппроксимации по каждой из своих переменных. Здесь недавно получены важные результаты (см. [5] и [6]). Наряду с предыдущим подходом, можно рассматривать сложность аппроксимации в несколько иной постановке, а именно, при сколь угодно малом, но фиксированном уровне ошибки, и при стремящейся к бесконечности параметрической размерности. Фактически, речь идет о нахождении асимптотик сложности аппроксимации. Такая постановка представляет самостоятельный интерес, поскольку, как отмечается в [12], она характерна для некоторых моделей финансовых вычислений. Кроме того, в ней применяются идеи и методы, отличные от тех, что используются при рассмотрении трактабильности. Это направление до недавнего времени оставалось мало изученным.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию аппроксимацион-ных свойств однородных и неоднородных тензорных гауссовских случайных полей. Основная цель — это получение логарифмических и точных асимптотик сложности аппроксимации в среднеквадратической и вероятностной постановках при фиксированном уровне ошибки и при стремящейся к бесконечности параметрической размерности поля.

Методы исследований. В диссертационной работе центральную роль в асимптотическом анализе сложности аппроксимации играет вероятностный подход, идея которого была впервые предложена в работе М. А. Лиф-шица и Е. В. Туляковой [7]. Этот подход значительно обобщается и дополняется автором, что позволяет достигать полученных результатов, используя аппарат классических предельных теорем и их уточнений. Кроме того в диссертации используются факты из теории безгранично делимых распределений и теории правильно меняющихся функций, применяются оценки теории больших уклонений.

Основные результаты.

1. Найдены логарифмические асимптотики сложности аппроксимации тензорных степеней случайных процессов при возрастающей параметрической размерности в постановках в среднем и по вероятности при специальных условиях на спектр маргинального процесса. Доказано, что эти условия являются необходимыми для асимптотик заданного вида. Полученные теоремы применены к анализу сложности аппроксимации однородных тензорных случайных полей, спектры которых имеют регулярное изменение специального вида.

2. Получена точная асимптотика сложности в среднем для тензорных степеней случайных процессов. Показано, что ее вид зависит от арифметической структуры последовательности собственных чисел маргинального процесса. Соответствующие теоремы применены к исследованию тензорных степеней винеровского процесса и броуновского моста.

3. Доказана эквивалентность сложности аппроксимации по вероятности и сложности аппроксимации в среднем для тензорных степеней случайных процессов при возрастающей параметрической размерности в очень широкой области варьирования уровня значимости.

4. Найдены логарифмические асимптотические представления сложности аппроксимации для неоднородных тензорных произведений случайных процессов при возрастающей параметрической размерности в постановках в среднем и по вероятности. Показана связь таких представлений с классом саморазложимых законов распределения. Полученные теоремы применены к исследованию растущих тензорных произведений эйлеровских интегрированных процессов.

Научная новизна* Все результаты диссертации являются новыми и получены лично автором.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут использоваться для вычисления логарифмических и точных асимптотик сложности в среднем и по вероятности для конкретных гауссовских случайных полей тензорного типа с явно заданной корреляционной структурой. Также они будут полезны для специалистов по проблемам компьютерного моделирования гауссовских случайных процессов. В перспективе результаты диссертации могут найти применение в других разделах теории случайных функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на 43-й всероссийской школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 29 января - 5 февраля 2012 г.), па международной конференции «Вероятность и анализ» (Польша, Бедлево, 10-16 июня 2012 г.), на международной конференции «Теория вероятностей и ее приложения» (Москва, 26-30 июня 2012 г.), на международной конференции «Современная стохастика: теория и приложения III» (Украина, Киев, 10-14 сентября 2012 г.), на 4-ом Северном Треугольном семинаре (Финляндия, Хельсинки, 6-8 марта 2013 г.). Кроме того, были сделаны доклады по теме диссертации в Санкт-Петербурге на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика И. А. Ибрагимова (март 2014 г.), на семинаре «Современная стохастика» (май 2011 г.) и на семинаре «Теория вероятностей» в Лаборатории им. П. Л. Чебышева (сентябрь 2013 г. и февраль 2014 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [П1]-[ПЗ] журналов, рекомендованных ВАК, а также в тезисах [П4]-[П6] докладов автора на конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 101 наименование. Общий объем работы составляет 137 страниц.

Содержание работы

Во введении приводится общая постановка задачи о конечноранговой аппроксимации случайных полей, излагается история вопроса, описывается содержание диссертации.

Рассмотрим случайное поле X(£), Ь € Т, с траекториями в некоторого нормированном пространстве (<2, || • ||<э) функций, определенных на Т. Будем аппроксимировать поля X с помощью полей конечного ранга'.

п

Х{1) = X) * 6 т> (!)

т=1

гДе - случайные величины, фт{-) ~ детерминированные функции, принадлежащие пространству <3. Обозначим Лп класс полей вида (1). Задача заключается в поиске такого п, чтобы ошибка аппроксимации имела заданную малость. Здесь возможны две постановки — в среднем и по вероятности. Сложностью аппроксимации в среднем называется величина

паУЕ(е) := шш(п € N : ш£ Е \\Х - Х\\% < е2Е ||Л||?Л.

хелгп >

Сложностью аппроксимации по вероятности называется величина пргоЬМ):=тт{п€М: Ы р(||Х - Х\\% > е2Е <

Здесь е € (0,1) — порог ошибки, а 6 е (0,1) — уровень значимости.

В рамках теории многопараметрических задач (см. [12]—[14]) представляет интерес изучение величин пауЕ (е) и пргоЬ(е, 6) для случайных полей возрастающей параметрической размерности. То есть рассматривается не одно поле X, а последовательность случайных полей £ € Т^ С

в, € М, с траекториями в нормированных пространствах || ■ Для

каждой пары ((¿л, Ха), ё € определяются характеристики и

п2гоЬ(е,5), и далее они изучаются при <2 —> оо.

Описанная задача в той степени общности, в которой она сформулирована, пока изучена слабо. Мы рассматриваем только гильбертов случай (¿л := £г([0,1]^), й € N. Здесь непрерывное в среднеквадратическом случайное поле Ха^), £ 6 [0,1]сг, как элемент пространства ^([0,с нормой |[ • Цг.й с вероятностью 1 может быть представлено разложением Кархунена-Лоэва:

Ы*) = £ Фа,Ж * е [0,1]«, (2)

пгбК

где (А^.т)тбк — невозрастающая последовательность собственных чисел, (Фс1,т)тп£П — соответствующая последовательность собственных функций корреляционного оператора поля Х^, (£<*,т)тек — независимые стандартные гауссовские случайные величины. Как известно (см. [8], с. 51), разложение (2) является в -£<2([0,1]^) оптимальным с точки зрения конечноран-говой аппроксимации. Здесь справедливы следующие представления для

сложности в среднем:

п™е(е) := шш{п е N : Е \\Хй - < е2 Е

и сложности по вероятности:

пГЬ(е, <5) := тш{п 6 N : - Ха,п\\\А > е2 Е ^ б).

где Xtг,n(t) := £т=1 и,т t 6 [0,1]«.

Основное внимание в работе уделяется случайным полям Xй € М, с корреляционными функциями следующего вида:

а

0,1]", (3)

¿=1

где /сЬ) — корреляционные функции некоторых однопараметрических процессов t € [0,1], 1 6 N. Случайные поля с такой корреляционной структурой называют тензорными (см. [4]); в частности, говорят, что поле Хл^), £ £ [0,1]^ есть тензорное произведение процессов ..., Если в формуле (3) все одинаковы и равны корреляционной функции 1С некоторого процесса X, то Хд называют тензорной степенью процесса X. Класс случайных полей тензорного типа достаточно широк. Типичными его представителями служат броуновский лист — тензорная степень винеровского процесса, броуновская «подушка» — тензорная степень броуновского моста, тензорные произведения интегрированных гауссовских процессов с определенными степенями гладкости и т.д. (см. [2]).

Для тензорного произведения процессов ..., Х^ с корреляцион-

ной функцией вида (3) собственные пары в разложении Кархунена-Лоэва (2) формируются следующим образом: (А^т)т6м есть занумерованная в порядке невозрастания последовательность чисел > а (Ф<1,т)т,еп

соответствующим образом индексированная последовательность собственных функций вида У'к- 1 ~ • • • е [0,6 М, где для каждого £ N невозрастающая последовательность обозначает

собственные числа, а (^Р'^ек — соответствующие собственные функции корреляционного оператора процесса при этом обозначим А« :=

Егек^?'- Если £0) = 1С, то мы будем упрощать обозначения: А» := г 6 N. А := А^, ] € N.

Таким образом, для ¿г-нормы задача изучения сложности аппроксимации при 6, —> оо во многом сводится к асимптотическому анализу упорядо-ченнного по невозрастанию массива произведений ^ с растущим к бесконечности числом сомножителей.

В главе 1 настоящей работы делается обзор теории информационной сложности и теории многопараметрических задач, описывается понятие трактабильности, приводятся связанные с ней результаты. В этой главе мы рассматриваем задачу ^г-аппроксимации в рамках данных теорий с более абстрактной точки зрения, где Ха является случайным элементом тензорного произведения' сепарабельных гильбертовых пространств. Кроме того, в главе 1 подробно рассматривается семейство тензорных случайных полей и его известные представители.

Детальному изучению сложности в среднем и сложности по ве-

роятности га^гоЪ(£, при фиксированном пороге ошибки е £ (0,1), параметрической размерности <1 —> ос, и уровне значимости 5 = возможно зависящем от е и й, посвящены главы 2-5 диссертации.

В главе 2 мы рассматриваем последовательность случайных полей Хд, (/ € К, без предположения тензорной корреляционной структуры. Все полученные результаты о поведении п^У5(е) и п^тоЪ(е,6) при й -> оо формулируются в терминах серий (Ай1ТП)тем, й е N. Отметим, что теоремы и утверждения главы 2 широко используются в последующих главах.

Глава 3 диссертации посвящена асимптотическому анализу сложности аппроксимации в среднем. В параграфе 1 рассматривается вопрос о критериях ограниченности сложности. Приведем полученные утверждения в сокращенной форме.

Утверждение 1. Следующие соотношения эквивалентны:

оо _ дШ

(г'г) Ve е (0,1) п™е(е:) -> оо, d -»• оо. Утверждение 2. Следующие соотношения эквивалентны:

(ii) Ve е (0,1) sup пйр{е) < оо. deN

В параграфе 2 мы развиваем вероятностный подход, предложенный М. А. Лифшицем и Е. В. Туляковой в статье [7]. В параграфе 3 приводятся необходимые факты из теории правильно меняющихся функций, теории безгранично делимых законов распределения и классической теории предельных теорем теории вероятностей

В параграфе 4 изучаются логарифмические асимптотики сложности аппроксимации в среднем для тензорных степеней процессов. Здесь ключевую роль играют устойчивые распределения.

Теорема 1. Пусть А = (Ad)deN — последовательность из R, а В — (B¿)¿efi — такая последовательность, что Bd —> оо при d —^ оо. Пусть невозрастающая функция q: (0,1) R и функция распределения С: R —> [0,1], для любого е £ (0,1) удовлетворяют равенству q(e) = £-1(1 — е2). Пусть для последовательности (A¿)¿gN выполнено:

Ve еС(q) ]nnYs(e) = Ad + q{£)Bd + o{Bd), d оо.

Тогда функция распределения £ принадлежит классу устойчивых распределений.

Прежде чем сформулировать дальнейшие результаты, мы рассмотрим условия на (A¿)teNi которые в них фигурируют.

Наиболее важный случай соответствует предположению о сходимости следующего ряда:

>е N

Если это выполнено, то конечны следующие величины:

¿6N ¿6N

Рассматриваются также (A¿)¿g;;, не удовлетворяющие (4), по имеющие правильное изменение:

Й1^6")51"^1' [0-2], (5)

»6N ^ '

где iр — медленно меняющаяся функция (м. м. ф.) при х —» оо.

Доказаны следующие теоремы, обобщающие результат М. А. Лифшица и Е. В. Туляковой об асимптотике сложности в среднем из статьи [7].

Теорема 2. Пусть А = (.A^deN ~~ последовательность из R, а В = (Bd)den — такая последовательность, что Bd оо при d оо. Чтобы для (A¿)¡eN была справедлива асимптотика:

Ve 6(0,1) lnn%s{e)=Ad + <í>-\l-e2)Bd + o(Bd), d ^ оо,

необходимо и достаточно выполнение условия (4), где а2 > 0, или условия (5) при а —2, а также выполнение условий

Bd~B'd, Ad = dE + o{B'd), d-> оо.

Здесь Ф — функция распределения стандартного нормального закона, числа B'd := d1/2(pi(d), где м. м. ф. <fi(d) := ((2^)~1^2)*(d1/2), ф — функция де Хаана для tp, (•)* — сопряжение де Вруина. При выполнении (4) можно полагать B'd := crd1!2.

Теорема 3. Пусть А = (А^лек ~~ последовательность из а В = (Б^аеК — такая последовательность, что В а оо при <1 оо. Чтобы для при заданном а € (0,2) была справедлива асимптотика:

У£€(0,1) \пп^(е) = Ас1 + 5-^,0(1 - + о(Ва), й оо,

необходимо и достаточно выполнение условия (5) при заданном а, а также выполнение условий

ВЛ ~ В'л, АЛ = А'а + о(В'Л), оо.

Здесь 50,1,1,0 — функция распределения а-устойчивого закона с крайней правой асимметрией, числа В'а := , где м. м. ф. ^г(^) := гф^{д}/а),

(•)* — сопряжение де Бруина, гра(х) := {са/(р{х))1/а,

С<* := ^ Г(2-Осо»(*4/2)-

Константы А'а = 0 при а е (0,1), = ¿Е при а е (1,2), а при а = 1

:=<1<р(В'а)-с--В'<11

7Г

где — функция де Хаана для <р, с — константа Эйлера.

Для случая медленного изменения хвостов спектра доказан следующий результат.

Теорема 4. Пусть удовлетворяет условию (5) при а = 0. Тогда

для любого е € (0,1) имеем

1ип ¿¥?(1пп™е(е)) = -1п(1 -е2).

Показывается, что при любом е € (0,1) величина 1пп^У8(е) является быстро меняющейся функцией на оо по параметру й £ N.

В параграфе 5 главы 3 при небольшом усилении условия (4):

5>хГх<»' т

ieN

найдено точное асимптотические представление для (е) при й -> оо для тензорных степеней процессов. Вид этой асимптотики зависит от арифметической структуры собственных чисел (А£)^к. Последовательность (А;)^ назовем экспоненциальной, если найдутся такие числа а и Ъ > 0, что выполнено

Параметры о и 6 будем называть соответственно сдвигом и шагом экспоненциальной последовательности (Аг-),еИ. Всегда будем полагать, что а и Ъ выбраны так, что шаг Ь максимально возможный.

Теорема 5. Пусть (А^е^ удовлетворяет условию (6), причем а2 > О, не является экспоненциальной. Тогда для любого е £ (0,1) имеем

где

~ Г ■ ехР {Ей + + 9«.2°) > оо.

Ьд := Ф-(1 - е2), Е(|1пх1 - Т (7)

Теорема 6. Пусть (Аг),-6к удовлетворяет условию (6), причем о2 > 0, и является экспоненциальной с некоторым максимальным шагом Ъ > 0 и сдвигом а € К. Тогда для любого £ € (0,1) будем иметь при д —> оо

■ ехр ^Ей -1- дЕд<7с21/2 + ^¿о + ЬАй.е} ,

величины и дЕ)г выбираются из (7), а удовлетворяет соотношениям

-1/2 < Иш ^ Пт < 1/2.

¿-л оо

В параграфе 6 изучаются логарифмические асимптотики сложности аппроксимации в среднем для неоднородных тензорных случайных полей. Мы ограничиваемся наиболее типичной ситуацией, когда последовательности 6 М, удовлетворяют следующему условию:

дО)

Нт -7^ = 1. (8)

Отметим, что асимптотический анализ проводится лишь при расходимости ряда (см. утверждение 1):

3=1 Л1

Здесь ключевую роль играют саморазложимые распределения (класс Ь безгранично делимых законов распределения).

Теорема 7. Пусть А = последовательность из Ш, а В =

— такая последовательность, что Вд сс при (1 —> оо. Пусть

невозрастпающая функция д: (0,1) —» М и функция распределения К —> [0,1], для любого е е (0,1) удовлетворяют равенству = £-1( 1 — г2). Пусть для 3 б выполнены условия (8) и (9). Если имеет

место асимптотика

Уе € С(9) ' 1п= А<1 + ч(е)ВЛ + о(Ва), й -> оо, (10)

то функция распределения С, принадлежит классу Ь с нулевой спектральной функция Леей на отрицательной полуоси.

В параграфе б сформулированы необходимые и достаточные условия для того, чтобы п^в(е) имела асимптотику вида (10). Приведем здесь этот результат в наиболее простой форме, когда дополнительно выполнено условие сильного доминирования первых двух собственных чисел в последовательностях (А^)гси, 3 6 М:

^ V- ^

Е £ 717)<°°- (11)

] = 1 »£№¿>2 Л1

Теорема 8. Пусть А — — последовательность из К, а В =

(.В^ек — такая последовательность, что Вд —V оо при (1 —> оо. Пусть функция распределения £: Е —» [0,1] принадлежит классу £ с триплетом (ц.82,Ь), где Ь{х) = 0 при х в (—оо,0). Пусть невозрастающая функция д: (0,1) —> К и функция распределения, С для любого е € (0,1) удовлетворяют равенству ^(гг) = £-1( 1 — е2). Чтобы для (А^)гем> 3 £ удовлетворяющих (8), (9) и (11), была справедлива асимптотика:

Ve € (0,1) lnn*vs(£) = Ad + q{e)Bd + o(Bd), dоо,

необходимо и достаточно выполнение следующих условий: Л А(л /А« \

(A)

(B) Шп ± (Âd - ¿lin = -, - / ;

1 (О,оо)

(C) = Я&^оЩ t^Bd) = s2,

где

Ad := Ad-2^ln~Tj)' d€N' j=i

jln^l ^i^e—), ieN, d e N.

Глава 4 диссертации посвящена асимптотическому анализу сложности аппроксимации по вероятности. В параграфе 1 изучаются логарифмические асимптотики для тензорных степеней процессов. Здесь, как и в постановке в среднем, ключевую роль играют устойчивые распределения.

Теорема 9. Пусть А = (А^)йем — последовательность из М, а В = (Bd)d£H ' такая последовательность, что B¿ —> oo при d —> ос. Пусть невозрастающая функция q: (0,1) —► R и функция распределения £: R —¥ [0,1] для любого е € (0,1) удовлетворяют равенству q(¿) — C~l{\ — е2). Пусть для (A¿)¿6n выполнено Х\ < Л и при некотором фиксированном 5 £ (0,1) имеет место асимптотика:

VeeC(q) lnn%°b(e,6)=Ad + q(e)Bd+o(Bd), d -> oo.

Тогда функция распределения С, принадлежит классу устойчивых законов распределения.

Следующие теоремы обобщают и дополняют результат М. А. Лифшица и Е. В. Туляковой из статьи [7] об асимптотике сложности по вероятности.

Теорема 10. Пусть для (A¡)¿6n выполнено условие (4), с сг2 > 0, или условие (5) при а = 2. Пусть константы Bd, d 6 N, удовлетворяют условиям теоремы 2. Тогда для любого е S (0,1) и для произвольной последовательности (6d,s)deN W3 (0,1), удовлетворяющей условиям:

lim —^-=г->-< lim -¿-< g(e),

d—»oo d—>oo iíd

1пп^гоЬ(е,(5й)Е) = Ed. + Ф-1(1 — e2)Bd 4- o(Bd), d oo. (12)

Теорема 11. Пусть для (Ai)igN выполнено условие (5) при а € (0,2). Пусть константы Ad и Bd, d е N, удовлетворяют условиям теоремы 3. Тогда для любого е € (0,1) и произвольной последовательности (5d,e)de'A из (0,1), удовлетворяющей условиям:

hm --—-< q(e), lim -J-< q(e),

d—>ca JDd d—*oо

имеем

lnnfb(£, SdtC) =Ad + 5-^,0(1 - e2)Bd + o(Bd), d -»■ 00, (13)

Кроме того, в параграфе 1 главы 4 доказана необходимость условий (4) и (5) при а € (0,2] для асимптотик (12) и (13). В этом же параграфе рассмотрен случай, когда собственные числа удовлетворяют условию (5) при а = 0.

Теорема 12. Пусть для (Aj)¿eN выполнено условие (5) при а = 0. Тогда для любого е £ (0,1) и для произвольной последовательности (<$d,e)<ieN из (0,1), удовлетворяющей условиям:

dp(ln|ln(l-<Ы1) , dv(ln\\n6dtE\)

Ьт -тгт:-ом-> У® и п-2Т1 ^

d^ 11п(1 — е2)| 11п(1 — е2)|

имеем

lim ¿Mlnn^M^)) = -ln(l -е2).

d—ь оо

В параграфе 2 главы 4 рассматривается задача о точных асимптотиках сложности аппроксимации по вероятности для тензорных степеней процессов. Получена следующая теорема, особенно подчеркивающая близость результатов для постановок в среднем и по вероятности.

Теорема 13. Пусть для (A¿)í6n выполнено условие (6), причем а > 0. Тогда для любого е £ (0,1) и произвольной последовательности из (0,1), такой что

У |bi(min{<Sd|g,l-<yd>e})[ Л™ d~Va exp{Ed + q€tldV2} ~ '

UAieeAt

Помимо однородных тензорных произведений процессов в главе 4 рассмотрены неоднородные тензорные произведения. При условиях (8) и (9) на их последовательности собственных чисел j £ N, получены

необходимые и достаточные условия для того, чтобы сложность по вероятности имела логарифмические асимптотики вида

Inn§™b(e> 6d,t) = Ad + q(e)Bd + o(Bd), d 00.

При этом доказывается, что они для n¿vs(e) и n¿rob(£, S) идентичны в достаточно широкой области варьирования ö — öd,e. Также показано, что

компонента д функционально связана с квантилями саморазложимых законов распределения. Эти результаты аналогичны теоремам 10 и 11.

В главе 5 диссертации мы применяем критерии, полученные в главах 3 и 4, для конкретных примеров тензорных случайных полей. В параграфе 1 мы находим логарифмические асимптотики сложности в среднем и по вероятности для тензорных степеней процессов, у которых последовательность собственных чисел правильно изменяется в соответствии с асимптотикой:

Аг _Р_

Л ~ г1+Ро(1пг)1+Р1(1п1пг)1+^ ' ■ 1

где ¡3 > 0, ро > 0, а числа р1 £ Р. и р2 £ К подбираются так, чтобы < со. В параграфе 2 мы получаем точные асимптотики сложности аппроксимации в среднем и по вероятности для броуновского листа и броуновской «подушки».

Параграф 3 главы 5 посвящен изучению логарифмических асимптотик сложности в среднем и по вероятности для тензорных произведений эйлеровских интегрированных процессов с возрастающей степенью гладкости. Рассмотрен случай, когда отношение первых двух собственных чисел процессов ведет себя регулярно по ^ € N в соответствии со следующей асимптотикой:

\(Л о

= з-2(г,+1) „ 5 (14)

Аы з№з)р к ;

где Р > 0 и р 6 Е.

Показано, что при р > 1 справедливо зир^^п^^е) < оо для любого е 6 (0,1). Для случая р = 1 получен следующий результат.

Утверждение 3. Пусть выполнено условие (14) при р = 1 и /3 > 0. Тогда

Уе 6(0,1) 1пп^(е) = £_1(1-е2)1псг+о(1псг), й -> оо,

где С. — саморазложимый закон распределения с триплетом (/л,в2,!,), в котором /х = /?7г/4, в2 = 0 и Ь(х) = /31пж1(х 6 (0,1)).

В случае р < 1 при дополнительном усилении условия (14):

я

2_ _ 3-2(г^ + 1) _ _Р_

(15)

вычислена следующая асимптотика.

Утверждение 4. Пусть выполнено условие (15) прир <1 и /3 > 0. Тогда имеем асимптотику

Уе б (0,1) 1пп^(£)=^ + Ф-1(1-£2)В^ + о(^), <1ос,

где

А', := (1п+ с^(1п 1пй)(1п+ с{р%(1п В', := с^Опй)^. Здесь коэффициенты определяются по формулам: с(!) — с(2) с(3) ._ 0(1-2р) _ г(4) ._ (_£.\1/2

ср,/9 — 2-р> — ср,0 (1_р)2 1-р > СР,/3 — \,3-рУ •

Также показано, что логарифмические асимптотики п^гоЬ(е, 5) и п™&(е) совпадают в достаточно широкой области варьирования 5 = ^.е-

Приведенные утверждения параграфа 3 в некотором смысле уточняют и дополняют результаты о трактабильности, полученные в статье [6].

Список литературы

[1] R. J. Adler, J. Taylor, Random Fields and Geometry, Springer, New York, 2007.

[2] A. Karol, A. Nazarov, Ya. Nikitin, Small ball probabilities for Gaussian random fields and tensor products of compact operators, Trans. Amer. Math. Soc., 360 (2008), no. 3, 1443-1474.

[3] T. Kühn, W. Linde, Optimal series representations of fractional Brownian sheets, Bernoulli, 8 (2002), no. 5, 669-696.

[4] M. A. Lifshits, Lectures on Gaussian Processes, Springer, New York, 2012.

[5] M. A. Lifshits, A. Papageorgiou, H. Wozniakowski, Average case tractability of non-homogeneous tensor product problems, J. Complexity, 28 (2012), no. 5-6, 539-561.

[6] M. A. Lifshits, A. Papageorgiou, H. Wozniakowski, Tractability of multi-parametric Euler and Wiener integrated processes, Probab. Math. Stat., 32 (2012), no. 1, 131-165.

[7] M. A. Lifshits, E. V. Tulyakova, Curse of dimensionality in approximation of random fields, Probab. Math. Stat., 26 (2006), no. 1, 97-112.

[8] K. Ritter, Average-case Analysis of Numerical Problems, Lecture Notes in Math. No 1733, Springer, Berlin, 2000.

[9] J. F. Traub, G. W. Wasilkowski, H. Wözniakowski, Information, Uncertainty, Complexity, Addison-Wasley, Reading MA, 1983.

[10] J. F. Traub, G. W. Wasilkowski, H. Wozniakowski, Information-Based Complexity, Academic Press, New York, 1988.

[11] J. F. Traub, H. Wozniakowski, A general theory of optimal algorithms, Academic Press, NewYork, 1980.

[12] E. Novak, H. Wozniakowski, Tractability of Multivariate Problems. Volume I: Linear Information, EMS Tracts Math. 6, EMS, Zürich, 2008.

[13] E. Novak, H. Wozniakowski, Tractability of Multivariate Problems. Volume II: Standard Information for Functionals, EMS Tracts Math. 12, EMS, Zürich, 2010.

[14] E. Novak, H. Wozniakowski, Tractability of Multivariate Problems. Volume III: Standard Information for Operators, EMS Tracts Math. 18, EMS, Zürich, 2012.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[Ш] А. А. Хартов, Аппроксимация в среднем тензорных случайных полей возрастающей размерности, Зап. науч. сем. ПОМИ, 396 (2011), 233256.

[П2] А. А. Хартов, Аппроксимация по вероятности тензорных случайных полей возрастающей параметрической размерности, Зап. научн. сем. ПОМИ, 412 (2013), 252-273.

[ПЗ] А. А. Хартов, Сложность аппроксимации случайных полей тензорного типа с тяжелым спектром, Вестник СПбГУ, Сер. 1 Матем., Мех., Астр., (2013), №2, 64-67.

Другие публикации:

[П4] А. А. Хартов, Аппроксимация в среднем тензорных случайных полей возрастающей размерности, Тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики», УроРАН, Институт математики и механики, Екатеринбург, (2012), 296-298.

[П5] A. A. Khartov, Approximation in probability of tensor product-type random fields of increasing parametric dimension, Abstracts of International Conference «Probability Theory and Its Applications», Moscow, 2012, 108-109.

A. A. Khartov, Approximation complexity of tensor product-type random fields with heavy spectrum, Abstracts of International conference «Modern Stochastics: Theory and Applications III», Kyiv, 2012, 21-22.

Подписано в печать 29.04.2014. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ № 1/0429. П. л. 1.00. Уч.-изд. л. 1.00. Тираж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812) 327 5098

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Сложность аппроксимации гауссовских случайных полей большой параметрической размерности

Специальность 01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

На правах рукописи

Хартов Алексей Андреевич

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д. ф.-м. н., проф. М. А. Лифшиц

Санкт-Петербург — 2014

Оглавление

Введение 3

1. Основы теории многопараметрических задач аппроксимации 11

1.1. Теория информационной сложности..................................................11

1.1.1. Основные понятия и мотивация..............................................11

1.1.2. Типы информации..............................................................13

1.1.3. Сложность в среднем и по вероятности......................................14

1.1.4. Линейные задачи ..............................................................16

1.1.5. Стохастическая интерпретация линейных задач............................18

1.2. Многопараметрические задачи аппроксимации ....................................19

1.2.1. Линейные задачи ..............................................................20

1.2.2. Линейные тензорные задачи..................................................24

1.2.3. Случайные поля тензорного типа............................................28

1.2.4. Примеры тензорных случайных полей......................................30

2. Линейные задачи 33

2.1. Сложность в среднем..................................................................33

2.1.1. Аппроксимационный порог и общие оценки сложности....................33

2.1.2. Ограниченность по параметрической размерности ........................36

2.1.3. Скалярные спектральные меры..............................................40

2.1.4. Логарифмические асимптотики..............................................41

2.2. Сложность по вероятности............................................................45

2.2.1. Вспомогательные утверждения ..............................................46

2.2.2. Логарифмические асимптотики..............................................50

3. Линейные тензорные задачи в постановке в среднем 54

3.1. Ограниченность сложности но параметрической размерности....................54

3.2. Скалярные спектральные меры......................................................56

3.3. Вспомогательные факты..............................................................58

3.3.1. Правильно меняющиеся функции............................................58

3.3.2. Классические предельные теоремы для сумм независимых случайных величин..........................................................................61

3.4. Логарифмические асимптотики сложности в однородных задачах . . . .... 69

3.5. Точные асимптотические представления сложности в однородных задачах . . 78

3.5.1. Неэкспоненциальный случай..................................................79

3.5.2. Экспоненциальный случай....................................................85

3.6. Логарифмические асимптотики сложности в неоднородных задачах............92

3.6.1. Общий критерий................................................................94

3.6.2. Критерий с сильным доминированием......................................97

4. Линейные тензорные задачи в постановке по вероятности 102

4.1. Логарифмические асимптотики сложности в однородных задачах..............102

4.2. Точные асимптотические представления сложности в однородных задачах . . 107

4.3. Логарифмические асимптотики сложности в неоднородных задачах............113

5. Приложения к тензорным случайным полям 115

5.1. Однородные случайные поля с регулярным спектром..............................115

5.2. Броуновский лист и миогопараметрический броуновский мост..................119

5.3. Многопараметрический эйлеровский интегрированный процесс..................120

Заключение 130

Литература 131

Введение

В предлагаемой работе мы изучаем аппроксимационные свойства гауссовских случайных полей, зависящих от большого числа параметров.

Рассмотрим случайное поле £ 6 Т, чьи траектории можно рассматривать как эле-

менты (ф, || • ||д) - некоторого нормированного пространства функций, определенных на Т. Теоретический и практический интерес (в частности для компьютерного моделирования) представляет аппроксимация поля X полями конечного ранга:

71

Х{1) = ^гпфш{1), ьет, (1)

т=1

где £т - случайные величины, ф,п(-) - детерминированные функции, принадлежащие пространству С^. Обозначим Т1п класс полей вида (1).

Возникает естественный вопрос: каким должно быть п, чтобы ошибка аппроксимации имела заданную малость? Здесь возможны две постановки - в среднем и по вероятности. Введем минимальную среднеквадратическую ошибку аппроксимации X полями ранга п:

1/2

(Е||А-А|^]

Х£Кп

Сложностью аппроксимации в среднем называется величина

/ ~ \1 en(X):= jnf ЕЦА-АЦМ

Y (=7? _ V /

п

avg

(е) := min {ne N : еп(Х)2 sC е2Е ||Х||^} . (2)

Подчеркнем, что здесь речь идет об относительной точности, учитывающей «размер» случайного поля X.

Сложностью аппроксимации по вероятности называется величина

тгргоЬ

(е, := minin G N : _inf pf||АГ - Х\Ц > е2Е \\Х\&) < Л. (3)

хагп \ ' J

Здесь е £ (0,1) называется порогом ошибки, a Ö € (0,1) - уровнем значимости. Характеристики navg(e) и nprob(e, Ö) являются главными объектами изучения в теории информационной сложности (Information-Вased Complexity), оформившейся с выходом монографий [83]—[85].

Задачу исследования величин navg(e) и пргоЬ(е,5) мы будем решать в духе молодого направления теории информационной сложности —теории многопараметрических задач, основные положения и результаты которой сформулированы в недавно изданном фундаментальном трехтомнике Э. Новака и X. Вожняковского «Tractability of Multivariate Problems»

[71]—[73]. Согласно этой теории, представляет интерес изучение случайных полей, зависящих от настолько большого числа параметров, что к самой размерности параметрического множества можно подойти асимптотически. Иными словами, мы будем рассматривать не одно иоле X, а целую последовательность случайных полей X,i(t), t Е T(i С d E N, с траекториями в нормированных пространствах (Qj, || ■ HqJ. Как правило, пары (Qd,Xd), d Е N, структурно связаны между собой, но, независимо от этого, для каждой из них можно рассматривать введенные выше характеристики сложности аппроксимации, обозначая их теперь n^vs(e) и nJjrob(e, <5), и изучать их при растущей параметрической размерности d.

Сосредоточимся пока что на рассмотрении сложности аппроксимации в среднем. Сформулированная задача может решаться в следующем направлении. Мы изучаем п™ё(е), d Е N, е Е (0,1) как функцию двух независимых переменных d и е, где параметрическая размерность d может быть сколь угодно большой, а порог ошибки е — сколь угодно малым. Здесь в настоящее время центральную роль играет понятие трактабильности (см. глава 1). Говорят, что задача аппроксимации для последовательности (X^deN является W-трактабильной (англ. weak tractable) в среднем, если рост п™к(е) при d —> оо или е —> 0 медленнее экспоненциального одновременно как по d, так и по е-1. W-трактабильные задачи представляют па практике особый интерес, т.к. их реализация не требует больших вычислительных ресурсов. В этом семействе принято выделять следующие вложенные подклассы. Рассматриваемую задачу аппроксимации называют

• QP-трактабильной (англ. quasi-polynomially tractable) в среднем, если существуют константы с > 0 и I ^ 0 такие, что

Ve Е (0,1) Wen n^vg(e) ^cexp{i(l + liid)(l + lne-1)};

• Р-трактабилъной(етгл. polynomially tractable) в среднем, если существуют константы с > 0, г ^ 0 и s ^ 0 такие, что

Ve е (о, 1) Vd G N 7i*vg(e) < cdr

• SP-трактабилъной (англ. strong polynomially tractable) в среднем, если существуют константы с > 0 и s ^ 0 такие, что

Ve Е (0,1) Vc? G N n*vg(e) ^ се-5.

Аналогично вводятся типы трактабильности для задач аппроксимации с вероятностной постановкой (см. [72] с. 298-300).

Наряду с указанным выше подходом, можно рассматривать сложность аппроксимации в несколько иной постановке, а именно, при сколь угодно малом, но фиксированном е Е (0,1), и большом d Е N. Фактически, здесь речь идет о нахождении асимптотик величии rijVg(s) и /¿¿гоЬ(е, б) при d —> оо, что в некоторых важных случаях требует применения идеи и методов решения, отличных от тех, что используются при рассмотрении трактабильности.

Задача изучения и п|]го (е, 5) при больших с1 Е N в той степени общности, в которой

она сформулирована, пока изучена слабо. Однако для гильбертова случая С^а = /^([0,1]^), в, Е М, к настоящему времени уже получены некоторые результаты. Далее мы сосредоточимся только на нем. Здесь случайное поле Х^Ь), I Е [0,I]4*, как элемент пространства 1]^) с нормой || ■ ^^ с вероятностью 1 может быть представлено разложениелг Кархунена-Лоэва:

Ха{1) = ^ А^ фа>т(1), Ь Е [0,1]*, (4)

тем

где (\а,т)т€№ — певозрастающая последовательность собственных чисел, ("¡/>^,т)тем — соответствующая последовательность собственных функций корреляционного оператора поля Ха, (£сг,т)шем — независимые стандартные гауссовские случайные величины. Как известно (см. [76], с. 51), разложение (4) является в Ь2{[0,1]сг) оптимальным, то есть

где Х^п{1) := К/,пЛ(1,т I 6 [0,1]с/. Здесь справедливы новые представления для

сложности в среднем:

:= ш{п € N : Е \\Ха - Х^Щ, ^ в2 Е \\Ха\\224}, и сложности по вероятности:

пГЪ(б, 6) := шш{п € N : Р(||Л^ - ^.„Ц^ > е2 Е ЦХ.Ц2,,) < 6}.

В контексте задач с большой параметрической размерностью особенно интересен случай, когда корреляционные функции /С^ полей Х^, с1 £ 14, заданы следующим образом:

в.

КА{1,з):= (5)

где £ — (¿1,..., Ьа) и й = (5Ь ..., з^), КР^ — корреляционные функции некоторых одпопара-метрических процессов £ £ [0,1], j Е N. Случайные поля с такой корреляционной

структурой называют тензорными (см. [61]); в частности, говорят, что поле Ха(Ь), £ € [0,1]^ есть тензорное произведение процессов

. Если в формуле (5) все /С^ одинаковы и равны корреляционной функции /С некоторого процесса X, то Xа называют тензорной степенью процесса X. Класс случайных полей тензорного типа достаточно широк. Типичными его представителями служат броуновский лист — тензорная степень виперовского процесса, броуновская «подушка» — тензорная степень броуновского моста, тензорные произведения интегрированных гауссовских процессов с определенными степенями гладкости и т.д. (см. [57]).

Для тензорного произведения процессов ..., Х^ с корреляционной функцией вида (5) собственные пары в разложении Кархунена-Лоэва (4) формируются следующим образом: (^сг.т)тем есть занумерованная в порядке невозрастания последовательность чисел А^, & N — соответствующим образом индексированная последовательность собственных

функции вида Фк-(Ь)' £ = (¿1,■ ■ • € [0,1]'', € М, где для каждого ] в N последовательность обозначает собственные числа, а (^Р^)геп — соответствующие собственные функции корреляционного оператора процесса Таким образом, для ¿2-11ормы задача оценки сложности аппроксимации во многом сводится к асимптотическому анализу упоря-дочепнного по невозрастанию массива произведений ^ с растущим к бесконечности числом сомножителей.

К настоящему моменту известны необходимые и достаточные условия ранее перечисленных типов трактабильпости в среднем в терминах серий (А<1,т)т^, (I £ (см. [50], [51], [62] и [71]) для последовательности общих случайных полей (Х^^еы без предположения тензорной структуры. Кроме того, для тензорных полей Х^, с1 6 К, с заданной последовательностью маргинальных корреляционных функций ; £ К, в недавней статье [62] найдены критерии всех типов трактабильпости в среднем в терминах последовательностей (Ар^ен собственных чисел, отвечающих у £ N (см. главу 1). Эти критерии применялись в статье [63] для тензорных произведений эйлеровских и винеровских интегрированных процессов с возрастающими степенями гладкости. Условия трактабильпости по вероятности остаются пока неизученными.

Понятие трактабильпости и перечисленные результаты, связанные с ней, приводятся в главе 1 настоящей работы. При этом предварительно в параграфе 1 делается обзор теории информационной сложности, а в параграфе 2 — теории многопараметрических задач. Кроме того, мы рассматриваем задачу Ьг-аиироксимации в рамках этих теорий с более абстрактной точки зрения, где Хл является случайным элементом тензорного произведения сепарабель-пых гильбертовых пространств. Тензорные случайные поля подробно рассматриваются в пункте 1.2.3, а их примеры — в пункте 1.2.4.

Детальному изучению п™&{е) и 7г[]гоЪ(£, 5) при фиксированном е £ (0,1), (I оо, и 5 = возможно зависящем от е и с/, посвящены главы 2-5 диссертации. В главе 2 мы рассматриваем последовательность случайных полей Ха, (I <Е М, без предположения тензорной корреляционной структуры. Все полученные результаты формулируются в терминах серий (А(;1т)те^, й £ N. Перечислим их. В параграфе 1 найдены необходимые и достаточные условия ограниченности и также неограниченности сложности при любом фиксированном е £ (0,1) по параметрической размерности й (утверждения 2.1.3 и 2.1.4). Кроме того, представлен критерии стремления —> оо, с1 —¥ оо, при произвольно фиксированном е £ (0,1) (утверждение 2.1.2). В другом пункте этого же параграфа получен критерий для выполнения следующей асимптотики:

УееС(д) 1пп^(е) = Аа +Ч{е)Вл +о{Вл), <1^ оо, (6)

при заданной последовательности из М, последовательности (/^¿)(/егь стремящейся

к оо, и при фиксированной невозрастающей функции <7: (0,1) К с множеством точек непрерывности С(о) (теоремы 2.1.2-2.1.4). Основной смысл этого критерия таков: наличие у п^5(е) асимптотики (6) равносильно слабой сходимости к некоторому вероятностному распределению определенным образом построенных скалярных спектральных мер на (А<*)т),„ем>

(I Е М, причем компонента д связана с кваитилыо этого предельного распределения. Далее в параграфе 2 показано (теоремы 2.2.1 и 2.2.2), что при любом фиксированном £ Е С(д) сложность но вероятности п^гоЬ(е, 5) имеет ту же логарифмическую асимптотику вида (6), что и п™е(£), при (I —>■ оо в достаточно широкой области варьирования 6 — Е (0,1). При получении этих результатов доказан ряд вспомогательных оценок (леммы 2.2.1-2.2.3), которые по мнению автора могут быть полезными для малоизученных задач аппроксимации с вероятностной постановкой. Отметим, что теоремы и утверждения главы 2 широко используются в последующих главах.

Рассмотрим поведение сложности аппроксимации в среднем и по вероятности при фиксированном £ Е (0,1) и (1 —> оо для тензорных случайных полей. Отметим, что первые результаты в данном направлении получены М. А. Лифшицем и Е. В. Туляковой в статье [64]. В ней авторами с помощью специального вероятностного подхода для тензорных степеней процессов найдены логарифмические асимптотики п^®(е) и 7г^гоЪ(е, <5) в случае, когда маргинальные собственные числа Л£, г Е М, имеют единичную кратность и удовлетворяют следующему условию:

геи

Несколько позже в статье [24] была сделана попытка уточнения логарифмической асимптотики п^у®(е) из [64], но результаты [24], к сожалению, содержат значительные неточности. Других работ по асимптотическому анализу при <1 —> оо сложности аппроксимации в среднем тензорных полей автору не известно. Этому направлению посвящены главы 3 и 4 диссертации. Сделаем краткий обзор полученных результатов. В параграфе 1 главы 3, опираясь на утверждения из второй главы, мы приходим к любопытному факту: в зависимости от поведения

величина может либо для любого £ Е (0,1) стремится к оо при

(I оо либо для любого £ Е (0,1) быть ограниченной по с1. Там же приведены критерии для каждой из альтернативных ситуаций. В параграфе 2 главы 3 мы развиваем вероятностный подход, предложенный М. А. Лифшицем и Е. В. Туляковой. Это позволяет обобщить их результаты для тензорных степеней процессов па случай, когда маргинальные собственные числа А,, г 6 М, имеют произвольную кратность (теоремы 3.4.3 и 4.1.2). Кроме того, получены логарифмические асимптотики п^(£) и п^гоЬ(£,<5) вида (6), в случае невыполнения (7) и при условии следующего регулярного убывания:

ген ^ '

где у? — медленно меняющаяся функция на оо (теоремы 3.4.4 и 4.1.4). Показана в некотором смысле необходимость условий (7) и (8) для асимптотик и п^гоЪ(е,5) вида (6) (теоре-

мы 3.4.1, 3.4.4 и 4.1.3, 4.1.5). Отметим, что в этих случаях рост сложности в среднем и по вероятности является экспоненциальным и надэкспопенциальпым при (I —> оо. Также изучен случай медленного изменения хвостов Х^ем'л'-^'л < е~Х) (см- теоРемы 3.4.5 и 4.1.6). Здесь рост сложностей имеет тип «экспонента в экспоненте».

Также в параграфе 5 главы 3 при небольшом усилении условия (7):

Е| А^ ^ А^ Г Л Л<00'

найдено точное асимптотические представление для п^УЙ(е) при (I —У оо для тензорных степеней процессов (теоремы 3.5.2 и 3.5.4). Вид этой асимптотики зависит от арифметической структуры собственных чисел (А;)*^ (см. параграф 3.5). В параграфе 2 главы 4 доказано, что вне зависимости от структуры (А*)^ при любом фиксированном е € (0,1) в широкой области варьирования 6 = справедлива эквивалентность п^гоЬ(е, 5^) ~ п^(е) при (I —> оо (теорема 4.2.1). Это подчеркивает близость результатов для постановок в среднем и по вероятности.

Помимо тензорных степеней процессов в главах 3 и 4 рассмотрены неоднородные тензорные произведения процессов. При естественных слабых предположениях на их последовательности собственных чисел (Аг-^),ер), j е М, получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы сложность в среднем и по вероятности имели логарифмические асимптотики вида (6) (теоремы 3.6.2 и теорема 4.3.2). При этом доказывается (следствие 4.3.1), что они для п^У®(е) и пГъ(е, идентичны в достаточно широкой области варьирования 6 = <5^£. Также показано, что компонента д из (6) функционально связана с квантилями саморазложимых законов распределения (класс Ь безгранично делимых законов, см. теорему 3.6.1). Проведена редук�