Асимптотические свойства сумм независимых случайных величин со случайным числом слагаемых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

гь оа

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ км. М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Чжан Бо

УДК 519.21

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН СО СЛУЧАЙНЫМ ЧИСЛОМ СЛАГАЕМЫХ

01.01.05. (теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученоя степени кандидата физико-математических наук

Москве - 1994

Работ» выполнена на кафедре математичесхоя статистики факультета вычислительно» математики м кибернетики Московского государственного университета им. Н.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Круглое.

Официальны» оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Золоторев. кандидат физико-математических наук, доцент Е.В. Булинская.

Ведуцая организация: МГИ9М - Московский государственны«

институт электроники и математики.

Заките состоится "16" декабря 1994 г. в 11 часов на заседании специализированного Ученого Совета Д;053.05.38. по математика при Московском Государственном Униаерситетеим. Н.В. Ломоносова /199 899, г. Москва, Ленинские горн. Факультет ВНиК, аудитор*« 685/.

С диссертацией мохао ознакомиться в научной библиотеке Факультета ВНиК ИГУ.

Автореферат разослав "14" ноаОря 1994 г.

Учения секретарь специализированного Совета, профессор

B.D. Трифовов

ОБИАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

• Последние 40 лет интенсивно велись исследования проблемы предельного поведения случайно индексированные последовательностей случайных величин, особенно случайных сумм. С такой проблемой часто встречаются в последовательноы анализе, теории восстановления, теории надежности, теории массового обслуживания, а такте в биологии, экономике и технике.

Все исследования в этой области проводятся по двум направлениям: в первом делается предположение о независимости между случайными индексами и базовой последовательностью случапных величин; во втором такого предположения не делается. Исследование по первому направлению в некоторой степенни заверменно. Монография Круглова В.М. и Королева B.D. "Предельные теоремы для случайных сумм", випуменнвя издательством МГУ, подводит итоги по этому направлению до 1990 года. Напротив, исследование по второму направлению далеко не эеверженно. Пока е*е не найден обкий метод для ремения типичных задач из этого направления. Таким образом, типичной ситуацией является, когда каждая задача из второго направления решается специально разработанным методом.

HSSb—25Ë2XÏ • Целью работы является нахождение условий, при которнх асимптотические свойства случайно индексированной последовательности случайных величин определяются свойствами базовой последовательности. Обсуждается также обратная задача: определение асимптотических свойств базовой последовательности с помокью свойств случайно индексированной последовательности случайных величин.

Мето5ы_иселе£ования. В диссертации главным образом использованы следуюцие методы: метод квантилей, метод перемекивания, метод случайной замены времени. SSÏÎSS3_ÏÏS5i!2S2 •

1. Доказано, что условие Линдеберга необходимо недостаточно для слабой сходимости случайных ломаных, построенных по случайно индексировенным суммам, к винеровскому процессу в схеме серий при условии независимости случайных индексов и слагаемых в каждой серии.

2. Доказано обременив закона повторного логарифма для случайно индексированных последовательностей случайных величин в предположении независимости между случайными индексами и базовой

последовательностью случ&лных величин.

3. Доказано, что известное условие Gut необходимо и достаточно для того, чтобы случайно индексированная последовательность случайных величин вполне сходилась,

• Результаты и

истопи диссертации могут вить использованы при решении задач теоретического и практического характера, связанных с асимптотическими свойствами случайно индексированных последоватепькостел случайных величин.

Результаты работы докладывались на семинарах по предельный теоремам теории вероятностеЛ Московского государственного университета.

2Х225ЕЭ32Й- Результаты диссертации опубликованы в [1] и [2].

ты. Диссертация состоит из введения и четырех параграфов и занимает 110 страниц машинописного текста. Библиография содержит 75 наименования.

СОДЕРХЕНЙЕ РАБОТЫ В первом параграфе, состоящем из двух пунктов, рассматривается проблема центрирования для случайных сумы в схеме серил.

Пусть даны последовательность серил независимых в кахдоя серии случайных величин (Xnk' и последовательность полохительных целочисленных случайных величин '"„'* Предполагаем, что при кахдоы n, N не зависит от IX и

л nk k»l

и ах PUX |>е)—ус>0. ks» nk Обозначим п

N И Ы . I

v u»- ^,x„rEx;k>' v V«»- "S ,

k»i k-1 k-1 k-J

где Л - константы, t |ч)-лв«ая ^-квантиль Н , <г£(0,1) , и п и в

X1 -X I( IX 1*1).

nk nk nk

Теорема 1. Предположим» что для левых * , ч2£Ю,1), я любой подпоследовательности натуральных чисел (п')> две последовательности чисел iD^.c^jll и IDB. (ч2>) одновременно расходятся или одновременно сходятся к одному и тому хе числу. Следувкие три утверждения равносильны:

(1). L(Z . Н(О,а2) )->0.

Л

(2). Существует последовательность пар неотрицательных чисел \а2 , ог А такая, что

nl »2

а2 +аг -о2, Ь(и , N(0.о2 ))+МУ . Н(0,о2 ))-Л.

п \ п2 п п 1 п п2

(3). Сунествует последовательность пар неотрицательных чисел , г г ,

10 , о I такая, что

п 1 пг г N

а2 +о2 -а2, ь (и »V ), И<0.о2 >«М(0,<Г ) ->0.

п1п2 2 ^ п п п1 п2 J

Здесь N(0,0) оОоэнамает нормальное распределенке с математическим ожиданием 0 и диссперсиея О, обозначает двумерное распре-

деление с независимыми компонентами Р и й, а Ь - метрика Леви, - метрика Леви-Прохорова для двухмерных распределений.

Доказан аналог Теоремы 1 с заменой нормального распределения пуассоновским распределением.

Во втором параграфе» состоящем из четырех пунктов, рассматривается общая проблема предельного поведения случайно индексированных последовательностей случайных величин.

Определение 1. Последовательность случайных величин (X ! называется слабо сходяцелсл к функции распределения Р со свойством перемешивания в смысле Реньи {обозначение X *Р) , если Р(Х В)—*(х)Р(В), для любого события В и любого х из множест-

п

ва точек непрерывности Р.

Определение 2. Последовательность случайных элементов (X I со значениями в се пара бель ком метрическом пространстве (В,с1) называется слабо сходящейся к случайному элементу X со значениями в (В, (5) со св о яством устойчивости (обозначение Х^ ОС) , если для любого события А и любого борелевского множества Е в В,

Р(ХедЕ, А) «0, имеет место Р(ХеЕ, А)—>Р(Х€Е, А).

п

Определение 3. Последовательность случайных элементов (X I со знамениями в сепа рабе льном ме три чес ком пространстве {В, <3) называется удовлетворяющей равномерному условию Анскомба (обозначение ГХ |сиАС), если для любого О О найдется 5>0 такое, что для любого события А, справедливо соотномение

ПгаР { пах <3 (X , X )>с, А)<еР(А). Теорема 2. Пусть (X I — последовательность слученных элемен-

п

тов со значением* в сеп&р&Оельнои метрическом пространстве (В,<1), ) - последовательность случайных индексов таких,что N /к р »V,

П П Я

где V - положительная случайная величина, I к ) - последователь-

п

ность положительных чисел таких, что к к /к —«1. Пред-

п п ♦ 1 п

положим, что 1X^1 €11 АС. Тогда для любого случайного элемента X со значениями в (В,<3) справедливо X —I ■ и X —^—»X.

Теореыа 3. Пусть (X I - последовательность независимых случайных величин, - последовательность случайных индексов. Предположим, что

( £ X I /В Н /а №.

к-1 ' *

где Г - функция распределения, характеристическая функция которой нигде не обрекается в нуль, V - положительная случайная величина, - последовательность положительных чисел, регулярно меняющаяся и сходяхаяся я ю. Тогда

и

( Exj/B,

»-1 п

Теореыа 4. Пусть даны последовательность иеубывавцих почти наверное случайных величин Z^, последовательность положительных чисел В^, регулярно меняющихся и сходящихся к с, и последовательность случапыых индексов N таких, что N где v -

л п

положительная случайная величина. Тогда для любой Ф.р. Т имеем Z /в 2 /В. —¡¿-й1.

XI А К К

Л П

Теоремы 5 и б представляют собой обобщения известных теорем Brdors-Kac и Wald на случаи случайных суми.

Теореыа 5. Пусть девы последовательность независимых случайных величин (X 1« последовательность положительных чисел В , схо-

П lt

дякихся х со и регулряно менявшихся, к последовательность случайных индексов К . Допустим, что пах? (IX 1>с В ) —!, Vc> О, N /п—E-+V,

i\ к п п

кап

где v ~ положительная случайная величина. Тогда для того, чтобы

пах (S -A*ni) /В —Sä—*(*), »in (S -Х*п)}/Вм —»l-G(-x),

^ к к * ^ к к M

к£И п кйш п

п п

вах IX 1/В —Е—Ю, к*И »

П (п) d

необходимо и достаточно, чтобы (S -А п )/В ->N(0,1), где

п п л

S- £ X , а'п)- j* EX II IX ISB ), G(x)-(2/*> 1/2f*exp[-tZ/2]dt, xiO.

" k-l l»t * О

Теореыа 6. Пусть IX I - последовательность независимых случайных величин таких, что для люОого п, EX -а>0, DX -1, IN 1 -

п я п

последовательность случайных индексов таких,что (N^/n-vin ^-ю, где v - положительная случайная величина. Тогда

(вах I ]/N,/2-=^NlO,l) --► f 1 X -anl/n,/2-i-4i(0,l) .

l.l * '

n

Следуемая теорема является частичным обращением известной

Леммы ДоОрунина.

Теорема 7. Пусть даны последовательность случайных величия 1X^1 и последовательность случайных индексов IH^I, сходячихся ж о по вероятности. Предполагаем, что для каждого n, Н se зависит от IX I , при некоторых а>0, у>0, Х^/а"—Í-»F, Х< /о1—Í-»H, Функция рас-

п

пределения Г непрерывна в нуле, множество

09

В-(С: Г K(z/ta)dG(t)-HU) I 0 В

не пусто. Тогда последовательность Щ /пр) относительно компактна, где 0-у/а, к С содержит все предельные функции распределения этой последовательности.

В третием параграфе рассматривается функциональные предельные теоремы. Получены следующие результаты:

Теорема 8. Пусть даны последовательность сери» независимых в каждой серии случайных величия IXnkl и последовательность положительных целочисленных случайных величин 1»^). Предполагаем, что

со "

при хаждом n, N не зависит от (X £ DX —Е-А.' Построим

И III в 1 л*

случайные ломаные в D[0,1] следувцим образом: k (О

я к

Ъ <tw J J . к (t)-maxlksN : Г DX VteCO.lJ.

k-i "к " ' i-i Тогда для того, чтобы

2 U)—2—яки, вах DX _— ISkí»

п

необходимо и достаточно, чтобы

К

Евхг1(|х 1>с)—Е—Ю, Vc>0. k-, nk 1,1,1

Теорема 9. Пусть даны элемент Z(t)€D[0,e), две последовательности положительных чисел (0 1 и IB I такие, что D и В рея п я я

гулярно меняются, и случайные индекс« Н^ такие, что lWn—E-w, rae

v — положительная случайная величина. Обозначим Y (t)tZ(D t)/B .

я ь » я

Тогда для любого алемента Y(t)eD(0,o) имеет место

п

В четвертом параграфе, рассматривается проблемы УЗБЧ, ЗПП и полной сходимости для случайно индексированных последовательностей случайных величин. Сформулируем основные результаты.

Теорема 10. Пусть (X.X^I - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величия, (N I - последователь-

ность аолохительных целочисленных случайных величин. Предполохим, что для любого nit, N не зависит от IX I , N /к ->v, п.в. где v

О n П П

- положительная случайная величина. (k^l - последовательность положительны! чисел таких, что к,»0* Для любого г>0, сукествует подпоследовательность натуральных чисел n«m(r,n) таких, что

к

гДЛшк /к <ю. Тогда для того, чтобы 11в| У X \/ШЫОпЛ ) <<о,

Я * Л I» к й А

п.в., необходимо и достаточно, чтобы БХ2<ю, ЕХ-0.

Определение 4. Последовательность случайных элементов 1X^1 со значениями ( сепарабельном метрическом протранстве (В,с1) называется вполне сходякеяся к случайному элементу X со значениями в (В,й), (обозначение X —, если для любого с>0, сходится ряд

о ,

ед*'*.-

n»l 4

X)>C

Определение 5. Последовательность случайных элементов 1X^1 со значениями в сепарабельном метрическом протранстве (В,й) называется удовлетворяю*«/! условие ВС (обозначение {Х^IеВС) , если для любого ОО, найдется ¿>0 такое, что

ю , в»1 Ч k-ii

max в(Х._, X

Is6n Ь

, Хв)>с|«о.

Теорема 11. Пусть X, Х^, п*1 - случайные элементы со значениями в сепарабельном метрическом пространстве (В,<1). Следуюцие два утверхдекиа равносильны: (1). (X I«ВС, и X —^-»Х. (г). Для

п п

лвбоя последовательности полокительнык целочисленных случайных величин 1Н I такой, что Н /п—£-»1, справедливо Х„ —2-«Х.

п п к

п

Результаты диссертации опубликованы в следующих статиях: (И.Чхан Бо: Функциональные предельные теоремы. // Вестник ИГУ, серия 15 - вычислительная математика и кибернетика, 1995. (В печати).

[2].Чхан Бо: УЗБЧ и ЗИЛ для случайных сумм. // Труды семинара по устойчивости стохастических моделей, изд-во "Пленум", 1994. (В печати).

Зак. JГ. 10, Тир. 100 экз. Отдел печати ВПК МГУ