Асимптотические свойства смесей вероятностных распределений

Кокшаров, Сергей Николаевич

Асимптотические свойства смесей вероятностных распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Кокшаров, Сергей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Асимптотические свойства смесей вероятностных распределений»

Автореферат диссертации на тему "Асимптотические свойства смесей вероятностных распределений"

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

□03053158

КОКШАРОВ Сергей Николаевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СМЕСЕЙ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и математическая

статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Виктор Юрьевич Королев.

Ведущая организация:

Вологодский государственный педагогический университет.

Защита диссертации состоится 16 февраля 2007 г. в 11.00 на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на портале ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова http://cs.msu.su в разделе "Наука" - "Работа диссертационных советов" - "Д 501.001 44".

Автореферат разослан а января 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Александр Владимирович Печинкин;

доктор физико-математических наук, профессор Юрий Степанович Хохлов.

профессор

Н. П. Трифонов

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Смеси вероятностных распределений играют важную роль в теории вероятностей и, прежде всего, в области ее применения. Центральная предельная теорема позволяет приближать результат эксперимента нормальным распределением, если на его исход влияет множество независимо действующих случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на конечный результат. Однако, "нормальность", как правило, не наблюдается на практике. Возможным объяснением "не-нормальности" распределений результатов эксперимента может служить то, что на разные эксперименты влияет разное число случайных факторов. В этом случае классическая центральная предельная теорема не применима, и необходимо рассматривать суммы случайного числа случайных величин, для которых справедливы аналоги центральной предельной теоремы - теоремы переноса, в качестве предельных распределений в которых выступают смеси вероятностных распределений.

"He-нормальность" распределений экспериментальных данных на практике обычно проявляется в том, что указанные распределения имеют более тяжелые "хвосты" и острую вершину по сравнению с нормальным распределением Если же исследователь использует нормальное приближение, то он тем самым недооценивает большие значения, считая, что их вероятности малы

Изучением свойств смесей нормального и других устойчивых распределений вероятностей занимались многие исследователи, среди которых нельзя не упомянуть О. Kernel1, Н. Robbins2, В. М. Золотарева3'4'5, Н. Teicher6, F. W. Steutel7, D. Kelker8, S J Wolfe9. В перечисленных pa-

'O Kernel Variance mixtures of normal distributions -Ann Math Statist., 1931, vol. 42, p. 802-808

2H Robbins Mixture cj distributions - Ann Math. Statist, 1948, v 19, № 2, p 360

M Золотарев Преобразование Меллина-Стильтъеса в теории вероятностей. -Теория вероятн и ее примен , 1957, т II в 4, с 445-468

4В М Золотарев Об М-разложепии устойчивых законов - Теория вероятн и ее примен , 1967, т XII в 3, с 559-562

5В М Золотарев Одномерные устойчивые распределения - М.- Наука, 1983

6Н Teicher On the mixture of distributions - Ann Math Statist, 1960, v 31, N 1, p 55-73

7F W Steutel Note on the infinite divisibility of exponential mixtures - Ann Math. Statist, 1961, v 38, N4, p 1303-1305

8D Kelker. Infinite divisibility and variance mixtures of the normal distribution - Ann Math Statist, 1971, v 42, N 2, p 802-808

9S J Wolfe On the infinite divisibility of variance mixtures of normal distribution functions - Proc

ботах основное внимание уделено аналитическим свойствам смесей вероятностных распределений В них, в частности, описана структура класса смесей устойчивых распределений и рассмотрены условия безграничной делимости смесей. Этим свойствам смесей, а также прикладным аспектам их использования как математических моделей посвящены книги10'11,12,13.

Nederl Akad Wetensch , 1978, Ser No A81, p 154-156

20G McLachlan and К Basford Mixture Models- Inference and Application to Clustering Marcel Dekker, New York, 1988

11G McLachlan and T Kribhnan. The EM Algorithm and Extensions John Wiley and Sons, New York, 1997

12G McLachlan and D. Peel Finite Mixture Models John Wiley and Sons, New York, 2000

13P Medgyesasy Decomposition of Superpositions of Distribution Functions Publishing Ноиье of the Hungarian Academy of Sciences, Budapest, 1961

"H Robbmb The asymptotic distribution of the sun of a random number of random mrmMes - Bull Amer Math Soc , 1948, v. 54, N 12, p 1151-1161

15P. Л Добрушин. Лемма о пределе сложной случайной функции - УМН, 1955, Т 10, N 2, с 157-159

1вБ В Гнеденко, X Фахим Об одной теореме переноса - ДАН СССР, 1969, Т. 187, N 1, с 15-17

17А В Печинкин О сходимости к нормальному закону сумм случайного числа случайных величин. - Теор вер и ее прим , 1973, т 18 №2 с 380-382.

18Д О. Саас О классах предельных распределений для сумм случайного числа одинаково распределенных случайных величин - Теор. вер и ее прим , 1972, т 17 №3 с 424-439

19D Szasz Limit theorems for the distributions of the sums of a random number of random variables -Ann Math Stat, 1972, V 43 №6 p 1902-1913

20D Szesz Stability and law of large num6ers for sums of a random number of random variables - Acta Sci Math., 1972, V. 33 №3-4 p 269-274

чая. Необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм смог найти В. М. Круглов21. В Ю. Королев22 обобщил результаты Р. Л. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных независимых случайных процессов, и совместно с В. М. Кругловым23 нашел окончательное решение задачи Гнеденко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых. Также следует упомянуть монографии В. М. Круглова и В. Ю. Королева24, Б. В Гнеденко и В. Ю Королева25.

Задачи, в которых могут использоваться свойства смесей вероятностных распределений, появляются в теории надежности, финансовой математики, страховании. Если приближать некоторый показатель (доход, убыток, остаток и д.р.) случайной суммой одинаково распределенных и независимых случайных величин, имеющих дисперсию (так, например, делается в страховании при расчете страховых ставок страхового портфеля), то в качестве предельных появляются распределения, являющиеся смесями нормального распределения. Для оценивания критических значений этого показателя (например, вероятности разорения) необходимо оценить вероятность того, что значение показателя превзойдет некоторую границу, т.е. получить оценку для "хвоста" соответствующего распределения. Получение в таких задачах оценок при помощи нормального приближения дает неверный результат, поскольку "хвосты" итогового распределения тяжелее "хвостов" нормального распределения. Для получения "более правильных" оценок могут быть применены результаты первой части диссертации, в которой изучаются предельные свойства "хвостов" смесей нормального распределения.

Кроме свойств самих распределений, принадлежащих указанному выше классу смесей устойчивых законов, в диссертации рассматривается устой-

21В М Круглов Слагал компактность случайных сумм независимых случайных величин - Теория вероятностей и ее применения, 1998, т 43, № 2, с. 248-271

22V Yu. Koiolev A general theorem on limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes - Journal of Mathematical Sciences, 1996, Vol 81, No 5, p 2951-2956

2' V Yu Korolev and V M Kruglov A criterion of convergence of nonrandornly centered random sums of independent identically distributed random variables - Journal of Mathematical Sciences», 1998, Vol 89, No 5, p 1495-1506

24B. M Круглов, В Ю Королев Предельные теорелт для случайных сумм - М. Изд-во Моек ун-та, 1990

35В V Gnedenko and V Yu Korolev Random Summation-Limit Theorems and Applications CRC Press, Boca Raton, 1996

чивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых распределений, а именно, смесей, характеристические функции которых представимы в виде Efu (t), где / - характеристическая функция устойчивого закона, а U ^ 0 - случайная величина (такие смеси будем называть степенными), а также более общие смеси вероятностных распределений с характеристическими функциями вида Е [ettvfu (£)], где / - устойчивая характеристическая функция, а V и U > 0 - случайные величины (такие смеси будем называть сдвиг-степенными). Задача оценки устойчивости таких представлений, по-видимому, впервые рассматривалась Д. Саасом26. В указанной статье рассмотрен случай вырожденного смешивающего распределения и получена оценка е1/3 для расстояния Леви между смесями, где е - расстояние Леви между смешивающими функциями распределения. В диссертации будут рассмотрены оценки "близости" в смысле некоторой вероятностной метрики результирующих смесей при "близких" в смысле той же метрики смешивающих и смешиваемых распределениях.

Цель работы.

Целью данной диссертации является изучение свойств смесей нормального и других устойчивых распределений, изучение устойчивости представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых законов, получение оценок скорости сходимости в теоремах переноса в схеме серий и изучение условий существования нетривиальных пределов мощностей критериев отношения правдоподобия проверки простой гипотезы против простой альтернативы для однородной выборки случайного объема.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

2ÜD S2asz Оп ihe rate of convcrgence гп the Levy meine for random indiced sums - "Progress in Statistics.", Vol. 2, 1974, Amsterdam-London, p 781-787

когда смешивающее распределение имеет экспоненциально убывающий "хвост", и для случая, когда смешивающее распределение имеет "хвост", убывающий степенным образом.

2. Найдены оценки устойчивости представления распределений вероятностей в виде специальных смесей устойчивых распределений и найдены оценки скорости сходимости в теореме переноса в схеме серий как для нецентрированных, так и для центрированных случайных сумм.

3. Найдены условия существования нетривиальных пределов мощностей критериев отношения правдоподобия проверки простой гипотезы против простой альтернативы для однородной выборки случайного объема.

Методы исследования. -

В работе используются методы математического и функционального анализа, а также методы теории вероятностей и математической статистики

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и одновременно допускают применение к решению различных практических задач, связанных с использованием смесей нормального и других устойчивых распределений

Апробация работы и публикации.

По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре "теория риска и смежные вопросы" на факультете ВМнК МГУ, а также на XXVI Международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (Совата-Бай, Румыния, 27 августа - 2 сентября 2006 г.).

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 49 наименований Общий объем работы составляет 102 страницы.

2 Краткое содержание диссертации

Во введении проводится исторический обзор результатов по теме диссертации и ее краткое описание.

Глава 1 посвящена оцениванию скорости убывания "хвостов" масштабных смесей нормального закона в зависимости от скорости сходимости "хвоста" смешивающих распределений. Рассматриваются случайные величины вида

где случайная величина X стандартно нормально распределена, а случайная величина II - неотрицательна (Р (II ^ 0) = 1), причем случайные величины X и и определены на одном и том же вероятностном пространстве (П, Л, Р) и независимы. Обозначим функцию распределения случайной величины У через Р(х) = Р(У < ж), а функцию распределения случайной величины II - через (? (х) = Р (II < х). Легко видеть, что функция распределения Р (х) представима в виде

где Ф (х) - функция распределения стандартного нормального закона

Разделы 1.1 и 1.2 посвящены случаю экспоненциального стремления к нулю "хвоста" смешивающего распределения. Рассматривается класс положительных медленно меняющихся функций

где - множество положительных действительных чисел. Для данного класса функций доказана

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть функция распределения Р (х) определена формулой (2), Ь (х) е С, 0 < р < 2, 0 < 7 < оо. Для того чтобы

у = Ху/17,

(1)

с =

-1п[1- Р(х)] 1 х<>Ь(х) 7'

необходимо и достаточно, чтобы

Раздел 1.3 посвящен случаю степенного стремления к нулю "хвоста" смешивающего распределения. Пусть Н - класс неубывающих при а; > 1 функций, таких, что для всех h(x) Е.Н и произвольных фиксированных 7 > О, а > 0 выполнено соотношение

lim = 0. (3)

х—*оо с

Для функций из класса Н доказана

ТЕОРЕМА 1 4. Пусть h (х) € И, функция распределения F (х) определена формулой (2) и С > 0. Для того чтобы

Em [1 — F {x)]h (х) = С,

х—»ОС

необходимо и достаточно, чтобы

]fa[l-G(y)]h(y/y)=2C.

y—*CO

В главе 2 изучается устойчивость представления вероятностных распределений в виде степенных и сдвиг-степенных смесей устойчивых законов и скорость сходимости в теоремах переноса. Оценки устойчивости и скорости сходимости приводятся в терминах метрики Леви, которая, как известно, для случайных величин X и У с функциями распределения Fx и Fy соответственно (равносильно используется понятие расстояния Леви между функциями распределения) определяется, как

HX,Y) = L{Fx,FY) =

= mí{l>0:FY{x-l)-l^Fx (х) <FY(x + l) +1}.

xeR

Введем обозначение

roo

{/, A} (í) = / fu(t)dA(u), te R, Jo

где / (£) - характеристическая функция, а А (х) - функция распределения положительной с вероятностью единица случайной величины.

Если F - функция распределения, соответствующая характеристической функции /, то функцию распределения соответствующую характеристической функции {/, А} будем обозначать [F, А] Введем обозначение

для абсолютного момента порядка 7 > 0 функции распределения F (х)

/00

\х\п dF{x).

■ос

Обозначим через Gaß (2) функцию распределения строго устойчивого распределения с характеристической функцией

gaß (1I) = exp |-|i|a ехр siSn ') } >4 е R> (4)

где 0 < а < 2, в 6 Е, \в\ ^ ва = min {l, \ — l}. Для упрощения записей мы будем опускать индексы у функции распределения Gaß и характеристической функции gaß и использовать для них обозначения Ga и да соответственно

Невырожденные устойчивые распределения обладают ограниченной плотностью, так что величина b = sup {G'a (х)} конечна. При любом ха-

рактеристическом показателе а для характеристической функции да существует положительная константа CGa < 00 такая, что

|l0gffOie(i)|<CGe|i|e.

В главе рассмотрена устойчивость как относительно смешивающего, так и относительно смешиваемого распределений. В первом случае соответствующие теоремы называются первыми теоремами устойчивости, во втором - вторыми теоремами устойчивости. В первых теоремах устойчивости рассматриваются две смешивающие функции распределения А и В с точками роста, расположенными на неотрицательной полуоси. Кроме того, предполагается что по крайней мере одна из этих функций распределения имеет плотность, ограниченную некоторым числом 0 < а < оо. Во вторых теоремах устойчивости рассматривается одна смешивающая функция распределения А с точками роста, расположенными на неотрицательной полуоси, и два смешиваемых распределения: Ga - строго устойчивое распределение, и Я. Теоремы об устойчивости представления вероятностных распределений в виде степенных и сдвиг-степенных смесей устойчивых распределений имеют одинаковый вид и различаются лишь в условиях, накладываемых на распределения и расстояние Леви между ними. Доказательства этих теорем различны для устойчивых законов с характеристическим показателем а>1иО<а<1, поэтому эти случаи рассмотрены отдельно

В разделе 2.1 рассмотрена первая теорема устойчивости представления вероятностных распределений в виде степенных смесей устойчивых законов с характеристическим показателем а > 1.

Раздел 2.2 содержит вторую теорему устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а > 1.

Раздел 2.3 посвящен обобщению первой теоремы устойчивости на случай устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 < а ^ 1 ТЕОРЕМА 2 3. Пусть для некоторого7 ^ 1 существуют моменты у ¡л а и ^ßs и, кроме того,

а2(1(»+1)+1)

L{A,B) = e^ 2—3V-1.

Тогда существует такое положительное не зависящее от е число С\ = С, (cGanfJ.A,-yßB,a,a), что

L ([Ge, Л], [Ga, В}) < log i.

Раздел 2 4 содержит обобщение второй теоремы устойчивости на случай устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 < а < 1.

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть функция распределения Н обладает конечным математическим ожиданием, ß < а - произвольное положительное число, и, кроме того,

L (Ga, Н) = £ < \ min {21-*, ОмяГ1}-

Тогда существует такое конечное положительное не зависящее от е число С2 = С2 {а, сва, iVA,ßßGa, Ь), что

В разделе 2 5 построены оценки скорости сходимости в теореме переноса для схемы серий в метрике Леви.

Рассмотрим последовательность серий независимых и одинаково распределенных в каждой серии случайных величин {Xnj} п = 1,2,. .. Пусть, кроме того, Nn, п = 1,2,...,- последовательность случайных величин, принимающих значения из натурального ряда, такая, что для каждого

п случайные величины Nn и {-Х^} независимы Обозначим через сумму к первых членов n-ой серии:

Sn,k ~ Xn<i + ... + ХпЛ.

Аналогичные обозначения будут использоваться в Теореме переноса 2.8. Символ далее будет обозначать слабую сходимость. ТЕОРЕМА 2.5 (теорема переноса Гнеденко-Фахима16). Рассмотрим последовательность натуральных чисел {кп}п^j и функции распределения F(x) и А (х) такие, что

Р (Sn<kn <x)=>F(x), п -> оо,

Р (Nn < knx) А (х), п —у оо.

Тогда

Р (Sn,N„ < ж) ==*- Н(х), п-> оо,

где H (х) - функция распределения, соответствующая характеристической функции

h(t) = j fu(t)dA(u), te R, 0

a f (t) - характеристическая функция, соответствующая функции распределения F (я).

Помимо оригинальной работы 16, различные доказательства этой теоремы можно найти, например, в 24'25 и 27

Введем дополнительные обозначения: Fn(x) = Р (¿у^ <х), Ап(х) = Р (Nn < knx), Нп (х) = Р (5пд„ < х) Если F = Ga, то предельная функция распределения H (х) может быть записана в виде H (х) = [Ga, А] (х). Для случая а > 1 верна следующая теорема:

ТЕОРЕМА 2.6. Предположим, что выполнены условия Теоремы, 2.5 и, кроме того,

1. F (х) функция распределения устойчивого закона, F = Ga, где aÇ. (1,2] и sup G'a (х) — 6;

27V Benmg and V Korolev Generalized Poisson Models and their Applications m Insurance and Finance VSP, Utrecht, The Netherlands, 2002

2 А (х) - абсолютно непрерывная функция распределения, причем sup А' (х) = а < оо

Предположим, что для некоторого 7^1 существуют абсолютные моменты -у/хд, 7/iA„> и для некоторого (3 € [1,а) существуют абсолютные моменты pHFn- Пусть

L(An,A) = e 1, L(Fn,Ga) = e2.

Тогда существуют такие конечные положительные не зависящие от £\ U £2 числа С\ = и С2 = С2(сСа,цлАп,0№п,Щ, что если

7(а+1)+1 1 < _1 / _ll

vgJ 1 , £2 < -min|(i/iGo) ,(ifiFn) J,

mo ^

L (Hn, H) < log - + C2 flog .

£1 \ £2/

Аналогичная теорема доказана для устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 < а ^ 1. В формулировке теоремы меняются лишь условия, накладываемые на смешивающие распределения и диапазон изменения чисел £1 и е2-

Раздел 2 6 содержит теоремы устойчивости для сдвиг-степенных смесей устойчивых распределений в случае, когда смешивающие распределения (сдвиговое и "степенное") почти наверное линейно зависимы.

Будем говорить, что случайный вектор (U, V) принадлежит классу /Со, если Р (U > 0) = 1, и либо одна из случайных величин U или V вырожденная, либо для некоторых Л и и

Р (V = XU +v) = 1. (5)

Обозначим характеристическую функцию сдвиг-степенной смеси через

{9c,U,V}(t) = E[g^t)eav],

а через [Ga, U, V] - функцию распределения, соответствующую этой характеристической функции.

Рассмотрим пары случайных величин (t/i,Vj) и (£/2,^2) такие, что {/ьС/г - неотрицательные случайные величины, (Ui, VJ), (U2, V2) G/Со, и

Р (уг = \Ь\ + v) — l,i = 1,2. Функции распределения случайных величин Ui, U2 обозначим через А и В соответственно Пусть, кроме того, хотя бы одна из функций распределения А и В имеет плотность, ограниченную положительной константой а < оо.

Для сдвиг-степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а > 1 доказана первая теорема устойчивости.

ТЕОРЕМА 2.9. Пусть для некоторого 7 > 1 существуют моменты ^Ца и 7Jus, и

Тогда существует такое положительное не зависящее от е число Ci - Ci что

L ([(?«, Ui, Уг], [Ga, U2, V2}) < log

Аналогичная теорема доказана для случая устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 < а < 1.

В этом разделе также доказана вторая теорема устойчивости для сдвиг-степенных смесей устойчивых законов.

ТЕОРЕМА 2.11. Если Н - функция распределения случайной величины с конечным математическим ожиданием, Ga - функция распределения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < а ^ 2, А -функция распределения случайной величины U, имеющей конечное математическое ожидание, случайный вектор (U, V) принадлежит классу К,о, и выполнено соотношение (5),

Г 21-", 0<а«а, \ {фвХ1, 1 < а < 2,

и, кроме того,

L(Ga,H) = е < - mm jd, (^я)-1},

то для произвольного 0 < ¡3 < а такого, что pfijj < 00, существует конечное положительное не зависящее от е число С2 = С2 (а, cg„, iHA,№Ga, 1 Мя, Ь) такое, что

L ([Ga, U, V\, [Я, С/, V]) i? С2 (log ^ 'а.

В разделе 2 7 построена оценка скорости сходимости распределений центрированных, нормированных случайных сумм к сдвиг-степенным смесям устойчивых законов, устанавливаемой следующей теоремой.

теорема 2.8. Пусть последовательности {кп}п>1,кп € м, {ап}„>1 и {сп}п>1, йп,Сп € К, таковы, что имеет место сходимость

- ап У (п -+ оо),

и существует пара случайных величин (II, V) такая, что

\ лп Кп /

Тогда

5„Д„ - Сп ==» 2 (п оо), где £ - случайная величина с характеристической функцией

Л(*) = Е[/1'(*)е'"'], (6)

а / (¿) - характеристическая функция случайной величины У.

Доказательство данной теоремы можно найти, например, в 25. Введем дополнительные обозначения: ^п(а;) = Р(5пд„ — ап < ж), Ап(х) — Р (ЛГ„ < ^ж), 5„ (а;) = Р < (х + Сп) кп), Нп (х) = Р (5„л -Сп<х). Функции распределения случайных величин У, V, V, Z обозначим соответственно Р, А, В, Н. Пусть, кроме того, существует такая последовательность тп, тп € Н, тп -+ оо, что для любого п € N

р(атп^-сПп=Х^ + и)=1. (7)

V "та,, ктп /

Теорема 2.12. Предположим, что выполнены условия Теоремы 2.8, и, кроме того,

1. -Р(х) - функция распределения устойчивого закона, Р = где а е (1,2] и 8ирС„(х) = Ь,

2 А (х) - абсолютно непрерывная функция распределения, причем вир А' (ж) = а < оо;

8. (и, У) 6 /Со, и существуют такие \ и V, что Р (V = АС/ + и) = 1;

4- существует такая последовательность тп, тп е М, т„ —» оо, что для любого п £ N выполнено соотношение (7).

Предположим, что для некоторого 7^1 существуют абсолютные моменты 7ßAmn, и для некоторого ß € [1,а) существуют абсолютные моменты Пусть

L{Amn,Ä) = e1, L{Fmn,Ga)=e 2.

Тогда существуют такие конечные положительные не зависящие от £j U £2 числа = (cGa,l(J<GaiylJ-Ai*tlJ'Am„>Q-i ty и с2 = С2 (cg„ , 1 ßAmn, ß№a, Л Л), что, если

то ^^

L (Нтп, Я) < log - + С2 flog -) °.

£i \ £2}

Аналогичная теорема доказана для случая устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 < а ^ 1

В разделе 3.1 дается интерпретация критериев отношения правдоподобия и мощности этих критериев для выборки случайного объема

Раздел 3 2 содержит описание исследуемой модели. Рассмотрим последовательность серий {Xnj}, п > 1, j ^ 1, независимых и одинаково распределенных при каждом п случайных величин, определенных на одном и том же измеримом пространстве (Q, Л). Рассмотрим последовательность пар вероятностных мер (Р„о, Pni)rl>1, определенных на Л. Плотность случайной величины относительно вероятностной меры Pnj обозначим Рт(х), г = 0,1 Математические ожидания относительно мер Р„о и P„i будут обозначаться Епо и E„i соответственно.

Рассматривается мощность наиболее мощного критерия в задаче проверки простой гипотезы Нпо: Р = Р„о против простой альтернативы Нп 1 : Р = P„i по однородной выборке Х„д,..., независимых вещественных наблюдений. В рассматриваемой задаче логарифм отношения

правдоподобия Лпj. равен

= = Е - ,

где im(x) = logp„;(:r), г = 0,1. Как известно, при заданном уровне значимости а наиболее мощный критерий, строящийся на основе фундаментальной леммы Неймана-Пирсона, отвергает Нпо, если

ЛП)* > Сп,Ь

где Сп£ определяется из условия

PnO (A„,jfc > Cnj) = а,

для простоты распределения считаются непрерывными.

Рассмотрим последовательность серий {Л/п,*}, п > 1, к ^ 1, натураль-нозначных случайных величин, определенных на измеримом пространстве (П, Л), таких, что для любого п ^ 1 и любых к > 1 случайная величина Nn{ не зависит от {Xnj}, j ^ 1. Пусть дана выборка из нашей последовательности серий со случайным объемом Рассмотрим логарифм отношения правдоподобия для данной ситуации

A(n,fc) = = log П ^jf^y = Е [4i(Xnj) - 4о(Щ].

При заданном уровне значимости а определим случайную величину следующим образом: = Сп^ при = i. Введем дополнительное обозначение:

Р(п,к) — Р„1 (Л(п,А) > С{п,к)) = (ЛпЛ»,» > ^Ла) ■

Здесь возможна байесовская интерпретация: размер выборки является случайным параметром с известным априорным распределением, и выражение для 0(п,к) можно рассматривать как аналог байесовского риска. В то же время критерий с критической областью

не является оптимальным в классе всех критериев размера а и зависит от бесконечного числа наблюдений Хп,г, Хп$,....

Для второй интерпретации мощности изменим критическую область для выборки случайного объема. Будем опровергать гипотезу Нпо, если

> Сп,к,

где СП1к - константа, определяемая из условия

Рпо (Л(п,(ь) > Сп<к) -*а (к-* сю). Мощность критерия в данном случае определим как

Р*п,к) = Р"1 (Л(»,*) >

Целью данной главы является отыскание условий существования нетривиальных пределов усредненной мощности оптимального критерия Р(п,кп) и мощности к ^ при п —* оо для некоторой последовательности кп —> оо.

В разделе 3 3 содержится описание частной предельной схемы для отношения правдоподобия Из сформулированной в данном разделе теоремы, которая по сути является переформулировкой теоремы переноса Гнеденко-Фахима, вытекает, что если отдельный член логарифма отношения правдоподобия (Ьп = — ^по(-Хпд)) при гипотезе, либо альтернативе принадлежит области притяжения устойчивого закона, то предельные распределения логарифма отношения правдоподобия, построенного по выборке случайного объема, принадлежат к классу степенных смесей устойчивых законов.

Раздел 3.4 посвящен изучению асимптотических свойств отдельного члена логарифма отношения правдоподобия, который, как показано в этом разделе, может иметь тяжелые "хвосты", убывающие степенным образом Данный раздел содержит также примеры задач проверки простых гипотез, в которых отдельный член логарифма отношения правдоподобия имеет тяжелые "хвосты".

В разделе 3.5 изучаются условия существования нетривиальных пределов мощностей критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема в случае, когда при основной гипотезе случайная величина отдельного члена логарифма отношения правдоподобия имеет дисперсию, а при альтернативе - принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 > 1. Рассматривается первая интерпретация мощности для выборки случайного объема - Р(п,к)

Будем использовать следующие обозначения- Ст(•) для распределения случайной величины, стоящей в скобках, относительно меры Рга, г = 0,1; Дп1 = Ето [41(^,1) - 4о(Х„д)] и (ат)2 — Ога [41(ХиД) - 4о(^пд)], г = 0,1 для математического ожидания и дисперсии случайной величины Ьп соответственно; и Вп(к) для медленно меняющейся при к—* оо функции.

Утверждение 3.4. Пусть случайная величина Ьп при гипотезе Нпо имеет конечную дисперсию, медленно меняющуюся при п —» оо, а при гипотезе Нп 1 принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 1 < 7 < 2 (одинаковым для всех п),

а оо при к оо.

Для существования нетривиального предела усредненной мощности оптимального критерия

Р(п,кп) = Р»1 (Л(п,^„) > С(пА,)) <1 (п оо)

для некоторой последовательности кп —» оо при п —* оо достаточно, чтобы

= О (Д, (4,*„ (е)) (4а (£))1/7-1) (п-оо),

где 4,)с„ (с) - нижняя грань е-квантилей случайной величины относительно вероятностной меры РП1.

В разделе 3 6 изучаются возможности получения нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема, когда при основной гипотезе случайная величина отдельного члена логарифма отношения правдоподобия имеет конечную дисперсию, а при альтернативе - принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < 7 ^ 1. Рассматривается первая интерпретация мощности для выборки случайного объема - (3(п,к)-Утверждение 3.5 Пусть

случайная величина Ьп при гипотезе имеет конечную дисперсию, медленно меняющуюся при п —> оо, а при гипотезе Нп\ принадлежит области притяжения устойчивого закона С?7 с характеристическим показателем 0 < 7 < 1 (одинаковым для всех п),

оо при к —► оо

Для существования нетривиального предела усредненной мощности оптимального критерия

для некоторой последовательности кп —> оо, достаточно, чтобы

где (е) - нижняя грань е-квантилей случайной величины относительно вероятностной меры РП1.

Раздел 3.7 посвящен изучению условий существования нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема в случае, когда при основной гипотезе случайная величина отдельного члена логарифма отношения правдоподобия имеет дисперсию, а при альтернативе - принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 > 1. Рассматривается вторая интерпретация мощности для выборки случайного объема -

УТВЕРЖДЕНИЕ 3.6. Пусть случайная величина Ьп при гипотезе Нпо имеет конечную дисперсию, медленно меняющуюся при п —+ оо, а при гипотезе Нп 1 принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 1 < 7 < 2 (одинаковым для всех п),

Р(п,кп) = РП1 (Л(п,*„) > с{пМ) < 1 (п оо)

Ко| = 0(вп(4л(е))(4л„(е))1/7_1), (п-оо)

(к —> оо),

0 —^ 00 к —* оо. Пусть кроме того имеет место слабая сходимость двумерных распределений: .

=>(и0,Ц) (к ->оо)

Для существования нетривиального предела мощности

Р{п,К) = рш (Л(п,М > Спх) (п оо)

для некоторой последовательности кп —> сю при п —» оо достаточно, чтобы

Епо (Мп,кп) ^по ~ Е„1 (ЛГ„1кп) = О (^Вп(кп)к1/'^ .

В разделе 3.8 рассматриваются условия существования нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема для случая, когда при основной гипотезе случайная величина отдельного члена логарифма отношения правдоподобия имеет конечную дисперсию, а при альтернативе - принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < 7 < 1 Рассматривается вторая интерпретация мощности для выборки случайного объема - Р(п,к)

Утверждение 3.7. Пусть случайная величина Ьп при гипотезе Нпо имеет конечную дисперсию, медленно меняющуюся при п —> оо, а при гипотезе Нп 1 принадлежит области притяжения устойчивого закона

с характеристическим показателем 0 < 7 ^ 1 (одинаковым для всех п), р

« №п,к —^ оо при к —* оо. Пусть кроме того имеет место слабая сходимость двумерных распределений:

-пО

\» « &поук )

Для существования нетривиального предела мощности

Р(п,к„) = Р"1 (Л(",М > Сп,кп) (п оо)

для некоторой последовательности кп —> оо, достаточно, чтобы ЕцО (Л^л) МпО = О

Работа выполнена под руководством профессора Виктора Юрьевича Королева, которому автор выражает искреннюю признательность.

3 Список публикаций автора по теме диссертации

1. С. Н. Антонов, С. Н. Кокшаров. Об асимптотическом поведении хвостов масштабных смесей нормального распределения. - межвуз сб. науч тр / Перм ун-т. - Пермь, 2006, с. 90-105

2. В. Е. Бенинг, С Н. Кокшаров и В. Ю. Королев. О мощности критериев отношения правдоподобия, построенных по выборкам случайного объема. - в сб. "Системы и средства информатики", Специальный выпуск "Математические модели в информационных технологиях", М, ИПИРАН, 2006 г, с. 258-285.

3 С. Н. Кокшаров Оценка скорости сходимости в теореме переноса для центрированных случайных сумм. - Вестн. Моск. ун-та, Сер. 15, Выч. мат и. киб , 2007 г., в печати

4. V. Е Bening, S N. Koksharov, V. Yu Korolev and V. N. Kolokoltsov Limit theorems for continuous-time random walks in the double array limit scheme. - Journal of Mathematical Sciences, 2007, to appear.

5. V. Bening, S Koksharov, V. Korolev. On the power function of tests based on heavy-tailed log-likelihood ration. - XXVI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Sovata-Bai, Romania, 27 August - 2 September, 2006. Abstracts of Communications Debrecen, 2006, p 60

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 10.01.2007 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 005. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кокшаров, Сергей Николаевич

Введение

1. Асимптотическое поведение "хвостов" масштабных смесей нормального распределения

1.1. Случай экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения.

1.2. Обобщенный случай экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения

1.3. Случай степенного убывания хвоста" смешивающего распределения

2. Устойчивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых законов и оценки скорости сходимости в теоремах переноса

2.1. Первая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а > 1.

2.2. Вторая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а > 1.

2.3. Первая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем

О < а < 1.

2.4. Вторая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем

О < а < 1.

2.5. Оценки скорости сходимости в теореме переноса в схеме серий

2.6. Теоремы устойчивости для сдвиг-степеииых смесей устойчивых распределений.

2.7. Оценки скорости сходимости распределений центрированных случайных сумм к сдвиг-степеппым смесям устойчивых распределений . G

3. О мощности критериев отношения правдоподобия, построенных по выборкам случайного объема

3.1. Введение.

3.2. Описание модели.

3.3. Предельные распределения отношения правдоподобия, построенного по выборкам случайного объема.

3.4. Асимптотическое поведение распределения логарифма отношения правдоподобия при основной гипотезе и альтернативе

3.5. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 > 1.

3.6. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < 7 < 1.

3.7. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 > 1 для второй интерпретации мощности

3.8. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < 7 < 1 для второй интерпретации мощности

Введение диссертация по математике, на тему "Асимптотические свойства смесей вероятностных распределений"

Смеси вероятностных распределений играют важную роль в теории вероятностей и, прежде всего, в области ее применения. Центральная предельная теорема позволяет приближать результат эксперимента нормальным распределением, если на его исход влияет множество независимо действующих случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на конечный результат. Однако, "нормальность", как правило, не наблюдается на практике. Возможным объяснением "пе-пормальности" распределений результатов эксперимента может служить то, что на разные эксперименты влияет разное число случайных факторов. В этом случае центральная предельная теорема не применима, и необходимо рассматривать суммы случайного числа случайных величин, для которых справедливы аналоги центральной предельной теоремы — теоремы переноса, в качестве предельных распределений в которых выступают смеси вероятностных распределений.

Не-иормалыюсть" распределения на практике, как правило, означает, что результирующие распределения имеют более тяжелые "хвосты" и острую вершину по сравнению с нормальным распределением. Если же исследователь использует нормальное приближение, то он тем самым недооценивает большие значения, считая, что их вероятности малы. Подобные модели появляются, например, в страховании, теории управления запасами, теории массового обслуживания, теории надежности и др.

В диссертации основное внимание уделяется изучению свойств смесей нормального и других устойчивых распределений. Такие распределения являются предельными в теоремах переноса для случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Класс данных распределений чрезвычайно широк.

Действительно, класс масштабных смесей одного только нормального распределения содержит само нормальное распределение, распределение Стыодеита, распределение Коши, распределение Лапласа, распределение случайных неличин Ya, 0 < а < 2 с симметричным устойчивым распределением и характеристической функцией fa (t) = ехр{— \t\a} и др. Кроме того, этот класс обладает замечательными свойствами: он замкнут относительно операции свертки распределений и операции смешивания распределения по масштабному параметру; распределения нечетных степеней случайных величии данного класса также принадлежат ему.

Изучением свойств смесей нормального и других устойчивых распределений вероятностей занимались многие исследователи, среди которых нельзя не упомянуть О. Kernel [30], Н. Robbins [34], В. М. Золотарев [8, 6, 7], Н. Teicher [40], F. W. Steutcl [36], D. Kclker [29], S. J. Wolfe [42]. В перечисленных работах основное внимание уделено аналитическим свойствам смесей вероятностных распределений. В них, в частности, описана структура класса смесей устойчивых распределений и рассмотрены условия безграничной делимости смесей.

Свойства сумм случайного числа случайных величин, в том числе предельные теоремы для таких объектов, изучались многими математиками. Не преуменьшая вклад остальных исследователей, посвятивших свои работы этим вопросам, упомянем лишь некоторые работы и монографии. Основополагающей является работа Г. Роббппса [35], содержащая в схеме "нарастающих" сумм достаточные условия сходимости случайных сумм к смесям нормальных законов. Говоря об истории развития данного вопроса, стоит упомянуть статью Р. Л. Добрушина [5], обобщающую результаты Роббипса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант, и ряд статей Б. В. Гпедепко и его учеников [4, 20, 21, 37, 38]. Б. В. Гпедепко совместно с X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий [4] и поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости. Первые шаги в решении последией задачи были сделаны учениками Б. В. Гнедепко и, прежде всего, А. В. Печинкиным [20] (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом [21, 37, 38] для общего случая. Необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм смог найти В. М. Круглов [16]. В. 10. Королев обобщил результаты Р. Л. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных независимых случайных процессов [32], и совместно с В. М. Кругло-вым нашел окончательное решение задачи Гисдспко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых [33]. Также следует упомянуть монографии В. М. Круглова и В. 10. Королева [14], Б. В. Гнеденко и В. К). Королева [28] и В. М. Золотарева [43].

Задачи, в которых могут использоваться свойства смесей вероятностных распределений, появляются в теории надежности, финансовой математики, страховании. Если приближать некоторый показатель (доход, убыток, остаток и д.р.) случайной суммой одинаково распределенных и независимых случайных величии, имеющих дисперсию (так, например, делается в страховании при расчете страховых ставок страхового портфеля), то в качестве предельных появляются распределения, являющиеся смесями нормального распределения. Для оценивания критических значений этого показателя (например, вероятности разорения) необходимо оценить вероятность того, что значение показателя превзойдет некоторую границу, т.е. получить оценку для "хвоста" соответствующего распределения. Получение в таких задачах оценок при помощи нормального приближения дает неверный результат, поскольку "хвосты" итогового распределения тяжелее "хвостов" нормального распределения. Для получения "более правильных" оценок могут быть применены результаты первой части диссертации, в которой изучаются предельные свойства "хвостов" смесей нормального распределения.

Кроме свойств самих распределений, принадлежащих указанному выше классу смесей устойчивых законов, в диссертации рассматривается устойчивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых распределений, а именно, смесей, характеристические функции которых представимы в виде Еfu (t), где / — характеристическая функция устойчивого закона, a U > 0 — случайная величина (такие смеси будем называть степенными), а также более общие смеси вероятностных распределений с характеристическими функциями вида Е [ettvfu (£)], где / — устойчивая характеристическая функция, а К и U > 0 - случайные величины (такие смеси будем называть сдвиг-степенными). Задача оценки устойчивости таких представлений, по-видимому, впервые рассматривалась Д. Саасом [39]. В указанной статье рассмотрен случат"! вырожденного смешивающего распределения и получена оценка е1/3 для расстояния Леви между смесями, где е — расстояние Леви между смешивающими функциями распределения. В диссертации будут рассмотрены оценки "близости" в смысле некоторой вероятностной метрики результирующих смесей при "близких" в смысле той же метрики смешивающих и смешиваемых распределениях.

Диссертация посвящена рассмотрению асимптотических свойств смесей устойчивых законов, исследованию устойчивости представления вероятностных распределений в виде таких смесей, оцениванию скорости сходимости в теоремах переноса в схеме серий и изучению предельного поведения усредненной мощности наиболее мощного критерия проверки простой гипотезы против простой альтернативы по однородной выборке случайного объема.

Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации. Глава 1 посвящена оцениванию скорости убывания "хвостов" масштабных смесей нормального закона в зависимости от скорости сходимости "хвоста" смешивающих распределений. В разделе 1.1 рассматривается случай, когда смешивающее распределение имеет "хвост", убывающий экспоненциальным образом, причем показатель степени представлен в виде {—C\h (Inж)), где h(x) — правильно меняющаяся функция, а С\ — некоторая константа. В этом разделе доказана теорема о том, что в случае экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения масштабная смесь также будет иметь экспоненциально убывающий "хвост", с показателем в степени (—С2^//г2 (lny)), где h(x) — та же самая функция, что и для смешивающего распределения, а Сг — некоторая константа. В

разделе 1.2 рассмотрен расширенный случай экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения, где показатель степени у экспоненты имеет вид (—xpL (х)), где L(x) — медленно меняющаяся функция. Раздел 1.3 посвящен случаю степенного убывания "хвоста" смешивающего распределения, для которого также получена соответствующая теорема.

В главе 2 изучается устойчивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых законов и скорость сходимости в теоремах переноса. Раздел 2.1 содержит первую теорему устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а. > 1, утверждающую устойчивость относительно смешивающего распределения. Раздел 2.2 рассматривает устойчивость относительно смешиваемого распределения и содержит вторую теорему устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а > 1. Раздел 2.3 посвящен обобщению полученных в разделе 2.1 результатов на случай устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 < а < 1 и содержит аналогичную теорему устойчивости. Раздел 2.4 содержит вторую теорему устойчивости представления вероятностных распределений в виде степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 < а < 1. В разделе 2.5 построена оценка скорости сходимости в теореме переноса для схемы серий в метрике Лсви. Раздел 2.G содержит теоремы устойчивости для сдвиг-степенных смесей устойчивых распределений в случае, когда смешивающие распределения (сдвиговое и "степенное") почти наверное линейно зависимы. В разделе 2.7 построены оценки скорости сходимости распределений центрированных, нормированных случайных сумм к сдвиг-степенным смесям устойчивых законов.

В главе 3 рассматриваются условия существования нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия, построенных по выборкам случайного объема. Для таких критериев предлагаются две интерпретации понятия мощности. В разделе 3.1 дается интерпретация критериев отношения правдоподобия и мощности этих критериев для выборки случайного объема. Раздел 3.2 содержит описание исследуемой модели. В разделе 3.3 содержится описание частной предельной схемы для отношения правдоподобия. Раздел 3.4 посвящен изучению асимптотических свойств отдельного члена логарифма отношения правдоподобия, который, как показано в этом разделе, может иметь тяжелые "хвосты", убывающие степенным образом. Данный раздел содержит также примеры задач проверки простых гипотез, в которых отдельный член логарифма отношения правдоподобия имеет тяжелые "хвосты". В разделе 3.5 изучаются условия существования нетривиальных пределов мощностей критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема в случае, когда при основной гипотезе случайная величина отдельного члена логарифма отношения правдоподобия имеет дисперсию, а при альтернативе — принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 > 1. Рассматривается первая интерпретация мощности для выборки случайного объема, которая определяется как

Р(п,к) = Рт (A(„,jk) > С(„,л)) , (3.5) где nr т Pn\xnj)

AM = A„Ait=logn'-i^ (3.4) j=1 Рп \Xn,j) логарифм отношения правдоподобия для выборки случайного объема Nn,k, а с(п,к) ~ случайная величина, определенная при заданном уровне значимости а как — cJhi при = t. Величина, с,^ определяется из условия

Pf {К,к > сп,к) = а, (3.2) где

3-D j=1 Рп Клп,з) логарифм отношения правдоподобия. В разделе 3.6 изучаются возможности получения нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема, когда при основной гипотезе случайная величина отдельного члена логарифма отношения правдоподобия имеет конечную дисперсию, а при альтернативе — принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < 7 < 1. Раздел 3.7 посвящен изучению условий существования нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема в случае, аналогичном случаю раздела 3.5. Рассматривается вторая интерпретация мощности, которая определяется как

Р{п,к) = Рш (\п,к) > 5 (3.18) где Crhk — константа, определяемая из условия

Pno (A(n,fc) > Сп<к) -+а оо), а объем выборки для любого п стремится при к оо по вероятности к бесконечности (Nnj, оо, к —> оо). В разделе 3.8 изучается возможность получения нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема для случая аналогичного случаю раздела 3.6 и второй интерпретации мощности.

Цель работы

Методы исследования

В работе используются методы математического и функционального анализа, а также методы теории вероятностей и математической статистики.

Основные результаты

1. Получены оценки скорости убывания "хвостов" масштабных смесей нормального распределения при известной скорости убывания "хвоста" смешивающего распределения. Найдены оценки для случая, когда смешивающее распределение имеет экспоненциально убывающий "хвост", и для случая, когда смешивающее распределение имеет "хвост", убывающий степенным образом.

2. Найдены оценки устойчивости представления распределений вероятностей в виде специальных смесей устойчивых распределений и найдены оценки скорости сходимости в теореме переноса в схеме серий как для нецентрироваппых, так и для центрированных случайных сумм.

Теоретическая и практическая значимость

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях: [45, 46, 47, 48].

Результаты диссертации докладывались па научно-исследовательском семинаре "теория риска и смежные вопросы" на факультете ВМиК МГУ. Обозначения

Во всей работе, за исключением введения, используется двойная система нумерации формул и утверждений. Первое число указывает на главу, второе — на порядковый номер формулы или утверждения внутри главы.

Везде в тексте диссертации (кроме главы 3) предполагается, что все рассматриваемые случайные величины определены на некотором вероятностном пространстве Р).

Также используются следующие условные обозначения:

Р (А) — вероятность события А;

ЕХ — математическое ожидание случайной величины X;

DX — дисперсия случайной величины X; d — сходимость по распределению; р сходимость по вероятности;

М — множество всех действительных чисел; слабая сходимость; ацх ~ абсолютный момент порядка а случайной величины X;

Ф(а:) — функция стандартного нормального распределения; конец доказательства; lirn — нижний предел; d совпадение распределении; lim — верхний предел.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 49 наименований. Объем работы 103 страницы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кокшаров, Сергей Николаевич, Москва

1. Багирсш. Метод смесей и его применение к выводу нижних оценок для распределений функций от нормальных случайных величин. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва. 1988.

2. Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.: Гостехиздат, 1949.

3. Б. В. Гнеденко, X. Фахим Об одной теореме переноса. ДАН СССР, 1969, Т. 187, N 1, с. 15-17.

4. Р. Л. Добруплш. Лемма о пределе сложной случайной функции. -УМН, 1955, Т. 10, N 2, с. 157-159.

5. В. М. Золотарев. Об М-разлоэюении устойчивых законов. Теория вероятн. и ее примен., 1967, т. XII в. 3, с. 559-562.7J В. М. Золотарев. Одномерные устойчивые распределения. -М.: Наука, 1983.

6. В. М. Золотарев. Преобразование Меллина-Стильтьеса в теории вероятностей. -Теория вероятн. и ее примен., 1957, т. II в. 4, с. 445-468.

7. А. Картан Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971

8. В. Ю. Королев. Вероятностные модели: Введение в асимптотическую теорию случайного суммирования. Москва, 1997.

9. В. Ю. Королев. О предельных распределениях случано индексированных случайных последовательностей. -Теор. вер. и се прим., 1992, т. 37, №3, с. 564-570.

10. В. 10. Королев. Приблиэ/сеиие распределений сумм случайного числа случайных величии смесями нормальных законов. Теор. вер. и се прим., 1989, т. 34 №3 с. 581-588.

11. В. ГО. Королев, В. Е. Бенипг и С. Я. Шоргип. Математические основы теории риска. М.: Физматлит, 2006.

12. В. М. Круглов, В. 10. Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

13. В. М. Круглов. О сходимости распределений сумм случайного числа независимых случайных величин к нормальному распределению. -Вести. Моск. ун-та, Сер. 1, матем., мех., №5, с. 5-12.

14. В. М. Круглов. Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величии. Теория вероятностей и ее применения, "1998, т. 43, № 2, с. 248-271.

15. М. Лоэв. Теория вероятностей. М., Изд-во иностр. лит., 1962.

16. В. В. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука. 1987.

17. В. В. Петров. Суммы независимых случайных величии. М.: Наука. 1972.

18. А. В. Печипкпп. О сходимости к нормальному закону сумм случайного числа случайных величин. Теор. вер. и ее прим., 1973, т. 18 №2 с. 380-382.

19. Д. О. Са.ас. О классах предельных распределений для сумм случайного числа одинаково распределенных случайных величин. Теор. вер. и ее прим., 1972, т. 17 №3 с. 424-439.

20. Е. Сенета. Правильно меняющиеся функции. Перев. с апгл.М.: Наука, 1985.

21. В. Феллер Введение в теорию вероятн,остей и ее приложения. Т.2. М.:Мир, 1984.

22. А. Я. Хипчип. Предельные законы для сумм независимых; случайных величин. М.-Л.: ОНТИ, 1938.

23. V. Beiiing and V. Korolev. Generalized Poisson Models and their Applications in Insuarance and Finance. VSP, Utrecht, The Netherlands, 2002.

24. V. E. Bening. Asymptotic Theory of Testing Statistical Hypotheses: Efficient Statistics, Optimality, Power Loss and Deficiency. VSP, Utrecht, 2000.

25. V. E. Bening, V. Yu. Korolev, T. A. Sukhorukova and V. N. Kolokoltsov. Limit theorems for continuous-time random walks in the double array limit scheme. Nottingham Trent University. Preprint NG1 4BU, Number 25/03, 2003.

26. В. V. Gnedenko and V. Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications. CRC Press, Boca Raton, 1996.

27. D. Kelker. Infinite divisibility and variance mixtures of the normal distribution. Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, N 2, p. 802-808.

28. O. Kernel. Variance mixtures of normal distributions. Aim. Math Statist., 1931, vol. 42, p. 802-808.

29. V. Kolokoltsov, V. Korolev and V. Uchaikin. Fractional Stable Distributions. Journal of Mathematical Sciences, 2001, vol. 105, No. 6, p. 2569-2576.

30. V. Yu. Korolev. A general theorem on limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes. -Journal of Mathematical Sciences, 1996, Vol. 81, No. 5, p. 2951-2956.

31. V. Yu. Korolev and V. M. Kruglov. A criterion of convergence of nonrandornly centered random sums of independent identically distributed random variables. Journal of Mathematical Sciences, 1998, Vol. 89, No. 5, p. 1495-1506.

32. H. Robbins. Mixture of distributions. Ann. Math. Statist., 1948, v. 19, № 2, p. 360.

33. H. Robbins. The asymptotic distribution of the sun of a random number of random variables. Bull. Amer. Math. Soc., 1948, v. 54, N 12, p. 11511161.

34. F. W. Steutel. Note on the infinite divisibility of exponential mixtures. -Ann. Math. Statist., 1961, v. 38, N 4, p. 1303-1305.

35. D. Szasz. Limit theorems for the distributions of the sums of a random number of random variables. Ann. Math. Stat., 1972, V. 43 №6 p. 19021913.

36. D. Szasz. Stability and law of large numbers for sums of a random number of random variables. Acta Sci. Math., 1972, V. 33 №3-4 p. 269-274.

37. D. Szasz. On the rate of convergence in the Levy metric for random indiced sums. "Progress in Statistics.", Vol. 2,1974, Amsterdam-London, p. 781787.

38. H. Teicher. On the mixture of distributions. Ann. Math. Statist., 1960, v. 31, N 1, p. 55-73.

39. V. V. Uchaikin and V. M. Zolotarev. Chance and Stability: Stable Distributions and their Applications. VSP, Utrecht, The Netherlands, 1999.

40. S. J. Wolfe. On the infinite divisibility of variance mixtures of normal distribution functions. Proc. Nederl. Akad. Wetensch., 1978, Ser. No. A81, p. 154-156.

41. V. M. Zolotarev. Modern Theory of Summation of Random Variables. VSP, Utrecht, 1997.

42. V. M. Zolotarev. Natural estimates of convergence rate in central limit theorem. Journal of Mathematical Sciences, 1998, vol. 92, No. 4, p. 41124121.

43. С. H. Антонов, С. H. Кокшаров. Об асимптотическом поведении хвостов масштабных смесей нормального распределения. межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. - Пермь, 2006, с. 90-105.

44. С. Н. Кокшаров. Оценка скорости сходимости в теореме переноса для центрированных случайных сумм. Вести. Моск. ун-та, Сер. 15, Выч. мат. и. киб., 2007 г., №2, с. 17-23.

45. V. Е. Beniiig, S. N. Koksharov, V. Yu. Korolev and V. N. Kolokoltsov. Limit theorems for continuous-time random walks in the double array limit scheme. Journal of Mathematical Sciences, 2007, to appear.