Асимптотические свойства условных распределений непрерывных смесей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

г£Ш27

Самарский государственный университет Механико-математический факультет

На нравах рукописи ' '

САВИНОВ Евгений Анатольевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УСЛОВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СМЕСЕЙ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

1 5 ОКТ 2009

Самара - 2009

003479927

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики механико-математического факультета Самарского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор С.Я. Шатских

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Афанасьева Л.Г.;

доктор физико-математических наук, профессор Бенинг В.Е.

Ведущая организация: Математический институт РАН им.

В.А. Стеклова.

Защита диссертации состоится 23 октября 2009г. в 11 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ. 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте ВМиК МГУ http://cs.msu.ru в разделе "Наука" - "Работа диссертационных советов" - "Д 501.001.44"

Автореферат разослан '¿5" сентября 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор Н.П. Трифонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В работе изучаются свойства преобразований независимости случайных величин, распределения которых задаются непрерывными смесями. Для бесконечномерных устойчивых распределений (являющихся гауссовскими смесями) устанавливаются формулы условных квантилей. Для логарифмических производных некоторых непрерывных смесей устанавливаются явные представления и вероятностные свойства.

Актуальность темы.

Интерес к вероятностным мерам, представляющим собой непрерывные смеси, объясняется их частым появлением в теории вероятностей и ее приложениях 1 2 3 4 5. Также хорошо известно, какую важную роль в теории вероятностей и математической статистике играет свойство статистической независимости. Наличие линейного преобразования независимости для гауссовского вектора является фактической основой многих вероятностно-статистических теорий, которые в той или иной степени используют гаус-совские распределения вероятностей. Здесь достаточно упомянуть теорию гауссовских случайных процессов и полей, линейный регрессионный анализ, а также дисперсионный, факторный анализы. Преобразование независимости для негауссовских случайных величин и, тем более, для случайных процессов, стало объектом исследований лишь в последнее время. Фактически первой работой, посвященной таким преобразованиям была работа М.Розенблатта 6- Более подробно свойства этого преобразования изучались в работах Шатских С.Я.7 8, Киутовой Е.М.9, Горячкина О.В.1011 и др. Однако в настоящее время теория преобразований независимости еще далека

1Круглов В.М. Смеси вероятностных распределений//Въснтк. моек, ун-та, сер. 15, ВМиК, 1991, 2, с. 3-15.

'Королев В.Ю. Смешанные, гауссовские вероятностные людели реальных процессов-. Монография. -М.:МАКС Пресс, 2004. - 124с.

3Норин Н.В. Свойства дифференцируемости смесей гауссовских мер// Обозрение прикладной и промышленной математики. Редакция журнала "ОП и ПМ". 2006. Т.13, вып. 6. С. 983-992.

'Нории Н.В., Смолянов О.Г. Несколько результатов о логарифмических производных мер на локально выпуклом пространстве// Матем. заметки. - 1993. - Т.54. - №6. - С. 135-138.

«Tteicher H. On the mixture of distributions//Aon. Math. Statist. 1960. 31. p. 55-73.

eRosenblatt M. Remarks on multivariate transformation. - Aim. Math. Stat., 1952, v.23, p. 470-472.

тШатских С.Я. Об одном варианте преобразования независимости// Теория вероятн. и ее примен., 1992, т. 37, в. 4, с. 815-816.

'Шатских С.Я. Усиленный закон больших чисел для схемы серий условных распределений эллиптически контурированных мер// Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 2, с. 292-311.

9Кнутова Е.М., Шатских С.Я. Асимптотические свойства условных квантилей для одного класса симметрических распределений// Теория вероятн. и ее примен., 2006, т. 51, в. 2, с. 374-382.

'»Лэрячквв О.В. Методы слепой обработки сигналов и их при/хоженш в системах радиотехники и связи. - М.:Родио и связь, 2003. - 229 с.

пГорячкин О-В. Метод анализа независимых компонент на основе преобразования независимости/ / Доклады Академии Наук Российской Федерации, т.398, №4, 2004.

от своего завершения.

Изучаемые в настоящей работе преобразования независимости выражаются через условные распределения. В то же время условные распределения позволяют записать уравнения для .условных квантилей. Как известно, не все устойчивые распределения вероятностей имеют математические ожидания. Поэтому при решении многих задач математической статистики вместо условных моментов для таких распределений естественно рассматривать условные медианы и квантили. Кроме того системы случайных величин, полученные в результате рассматриваемых преобразований независимости. близки к биортогональным. Например, биортогональными они являются в гауссовском случае. В теории случайных процессов хорошо известны биортогоналыше гауссовские случайные поля.

Теория дифференцирования мер в бесконечномерных линейных пространствах была заложена в работах Авербуха В.И., Смолянова О.Г., Фомина C.B. 12 , Скорохода A.B. 13 В скором времени эта теория приобрела самостоятельный интерес, что выразилось во многих последующих работах. посвященных как дифференциальным свойствам мер в целом, так и, в частности, дифференцированию гауссовских смесей 1415 зб.

Таким образом, тематика настоящей работы является актуальной как с точки зрения развития теории, так и с точки зрения практических применений.

Цель работы.

Целью настоящей работы является продолжение развития направления теории вероятностей, начатого в работах М. Розеиблатта, Скорохода A.B.. Фомина C.B.. Шатских С.Я., в частности, изучение свойств преобразований независимости, обобщение их на более широкие классы мер и пространств, а также, изучение свойств логарифмических производных, а именно:

1. доказать новые варианты центральной предельной теоремы для схемы серий условных распределений непрерывных смесей вероятностных мер;

2. установить формулы для условных квантилей устойчивых распределений в гильбертовом пространстве;

12Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B. Обобщенный функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. - Тр. ММО, 1971, вьш. 24, с. 132-174.

"Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовом пространстве-М.: Наука, 1975. - 232 с.

"Богачев В.И. Основы теории меры. - Т.1. - Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика; Институт компьютерных исследований, 200В. - 584 с.

"Нории Н.В. Свойства дифферснцируемости смесей гауссовских мер/'/ Обозрение прикладной и промышленной математики. Редакция журнала "ОП и ПМ". 2006. Т.13, вьш. 6. С. 983-992.

"Боготев В.И. Гауссовские меры. - М.: Наука, 1997. - 352 с.

3. получить обобщение сходимости условных распределений непрерывных нормальных смесей на случай локально выпуклого пространства;

4. получить явные формулы для логарифмических производных непрерывных смесей некоторого класса негауссовских мер в пространстве последовательностей; с их помощью установить новые вероятностные свойства логарифмических производных изучаемых классов мер;

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана центральная предельная теорема (ЦПТ) для схемы серий условных распределений меры Стьюдеита на гильбертовом пространстве. Указанная схема серий построена на основе проекций исходной меры на конечномерные подпространства, натянутые на произвольный ортонорми-рованный базис. Показано, что асимптотика сумм в схеме серий, зависит от выбора базиса.

2. Показано, что в случае специально выбранного базиса имеет место ЦПТ для схемы серий условных распределений устойчивой эллиптически контурированной меры.

3. Показано, что в схеме суммирования слагаемые являются зависимыми случайными величинами, и исследован характер этой зависимости.

4. Получены формулы для условных квантилей устойчивых эллиптически коитурироваиных распределений в гильбертовом пространстве.

5. С помощью известной конструкции воспроизводящего гильбертова пространства гауссовской меры и пространства Камерона-Мартина установлена сходимость почти наверное условных распределений непрерывных нормальных смесей, заданных на линейном топологическом (локально выпуклом) пространстве.

6. получены явные формулы для логарифмических производных (ЛП) вдоль координатных направлений некоторых непрерывных смесей негауссовских мер в пространстве последовательностей. С помощью найденных представлений установлены новые вероятностные свойства логарифмических производных изучаемых классов мер. Приведены примеры логарифмических производных некоторых смесей, в частности, 1-симметричной меры (непрерывной смеси распределений Коши).

Методы исследования.

В работе используются методы теории вероятностей, теории функций и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость.

В основном работа носит теоретический характер. Теоретическая значимость состоит в доказательстве предельных теорем для условных распределений (преобразований независимости) и выводе формул для логарифмических производных непрерывных смесей. Эти результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории преобразований независимости и теории дифференцирования. Практическая значимость заключается в получении формул для условных квантилей устойчивых эллиптически контурированных мер, которые могут быть использованы при решении задач статистики случайных процессов (экстраполяция, интерполяция, фильтрация).

Апробация работы.

Результаты научных исследований докладывались на Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (VIII - Йошкар-Ола, 2001г., XI - Сочи. 2004г.. XIV - Сочи-Адлер, 2007г., преде, оргкомитета -академик Прохоров Ю.В.), на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (X - Сочи-Дагомыс, 2009г., преде, оргкомитета - академик Прохоров Ю.В.), на семинаре каф. математической статистики ВМиК МГУ (2008г., 2009г., рук. академик Прохоров Ю.В.), на семинаре каф. функционального анализа и теории функций мех.-мат. ф-та СамГУ (рук. проф. Асташкин C.B.), на семинаре каф. теории вероятностей и математической статистики мех.-мат. ф-та СамГУ (рук. проф. Шатских С.Я.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах в ведущих рецензируемых научных журналах. Список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 15 параграфов, и

списка литературы, содержащего 59 наименований. Общий объем работы составляет 148 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит общую характеристику работы, описание объектов исследования п основных результатов.

Первая глава посвящена предельным теоремам для схемы серий случайных величин, полученных в результате преобразования независимости, на гильбертовом пространстве. Кроме того, решена задача построения условных квантилей для устойчивых эллиптически контурированных распределений в гильбертовом пространстве.

В §1 рассматривается мера Стьюдеита. Семейство условных распределений (преобразование независимости) строится по произвольному орто-нормированиому базису. Доказана ЦПТ для нормированных сумм в схеме серий случайных величин, полученных в результате преобразования независимости. Также показано, что формулировка ЦПТ существенно зависит от выбора базиса.

Пусть на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве Н со счетным о.и. базисом {е;}*^ и борелевской ст-алгеброй задана счетно-аддитивная мера Стьюдеита с г степенями свободы ^ с характеристическим функционалом

ос

Ф„(у) = IехР < Ву, у >19гЦ) (Й, у 6 Н, (1)

о

где В - линейный самосопряженный положительно определенный ядерный оператор, с собственными векторами {е„},

Выберем {/;, } - произвольный ортонормированиый базис в гильбертовом пространстве Н. Введем условную функцию распределения

.I ■с1> ■ ■ • > > • • • > хп)

случайной величины < И, /; > относительно системы случайных величин

< К,/!>,...,< Н,/,->,...,< к,/„ >,

здесь знак пропуска элемента. Мы рассматриваем схему серий случайных величии

х(") := ф-1 , „(Х^!,Хп)), (3)

где Х{ =< /г, /> >, К € И, Ф(-) - функция распределения (ОД)-гауссовского закона. (Отметим, что при этом с.в. х}"^ являются стандартными гауссов-скими и, как будет отмечено далее, зависимыми). Введем семейство ортопроекторов

тг™ : И Нт,

где ПОДПрОСТрЭ-ИСТВЙ Нщ := врап&г,... /„,}, т = 1,2,....

Также введем еще одно семейство ортопроекторов {тг„г!-}: для к = <

Л, Л > Л определим

т

Тг»«й:= ^ < >/к. т = 1,2,...,

Теорема 1.1 Пусть ц - мера Стьюдента на гильбертовом пространстве, заданная характеристическим функционалом (1). Если ортонормироваиный базис {Д} обладает свойством

КтАУ^У"_< (тГп-Втг,,)-1/,,/; >_ ,

™ п ¿Г ¿г [< /»>< (7ГпВтгп)-1/^ Л- >р/2 ' ^

то

-^¿Х}"5 Д ЛГ(0;Сг2), п->оо. (5)

* ¿=1

Отметим, что не для каждого о.н.базиса и меры Стьюдента или, что то же самое, не для каждой пары ({Л}^, В) выполнено условие (4). В диссертации рассмотрен пример пары ({/¿}1^1, Во), для которой условие теоремы 1.1 не выполняется. Но выполняется

Теорема 1,2 Если ортонормироваиный базис {//¡} обладает свойством

_< (тгпВтгп)"1/,-,// >__ 2 гг\

П2 % [< ЫВщГЧи и >< (тГпВтг,,)"1^, £ >]1/2 а ' ^

то

п ■ 1 1=1

Для приведенного в диссертации примера значение а2 = — 3).

§2 посвящен случаю, когда мера /х устойчивая эллитически - контурнро-ванная, а базис {/;} совпадает с {е,-}. Отметим, что для меры Стьюдента в случае собственного базиса условие (4) выполняется, и имеет место сходимость (5) (а2 = 1). В этом параграфе показано, что эта же сходимость всегда выполняется и для случая устойчивой эллиптически-контурированной меры с характеристическим функционалом

Ф (у) = ехр

/ ^ \ «/2 3=1

У € Н (7)

и показателем а £ (0,2), где А> 0 и А] < +оо. (теорема 1.3 в диссертации).

Отметим, что ранее (см. [3],[5]) теорема 1.3 была доказана также для случая меры Коши. В этом доказательстве использовалась явная формула для условных функций распределения, использующая В-распределеггая. и двусторонние оценки В-распределений В доказательстве же теоремы 1.3 для устойчивой меры существенным образом использовался факт некоррелированности величии

х?) , полученный в этом же параграфе диссертации

Утверждение. Для любого натурального т < п и любого набора индексов 1 < ¿1 < г2 < ... < г',,, < п случайные величины Х-"\Х'}"\ Х-"^ некоррелируемы в совокупности, т.е.

= (8)

В §3 доказан закон больших чисел для квадратов рассматриваемых случайных величин Х;П\

Теорема 1.4 Пусть ц устойчивая мера, заданная характеристическим функционалом (7). Имеет место сходимость но вероятности

1 " -Т,

п

• \ »=1

1, п-*оо.

Как было отмечено выше, в случае собственного о.н. базиса случайные величины X,-"' являются некоррелированными гауссовскими. Возникает вопрос о том, являются ли они при этом независимыми. В §4 показано на примере меры Коши, что случайные величины в пределах каждой серии являются зависимыми, при это они не обладают свойством отрицательной или положительной зависимости (не являются ассоциированными). Кроме

того, доказано, что распределения векторов одной размерности из разных серий различны, но вектора одной размерности, составленные из случайных величин одной серии, имеют одно и то же распределение.

В §5 решается задача построения условных квантилей для устойчивых эллиптически контурироваиных распределений в гильбертовом пространстве.

Пусть /.(f {•} - устойчивая эллиптически контурированная вероятностная мера на {Ы, В] с характеристическим функционалом

Ф(г/)=ехр{-(В/а)а/2}, ЛбН,

где В - линейный самосопряженный положительно определенный ядерный оператор и а € (0,2].

Введем в пространстве И новое скалярное произведение и соответствующую норму

|.|2_= (•>•)-:= {В;-).

Пусть {/¿}jSi - произвольный ортонормированный (относительно исходного скалярного произведения <•,■>) базис в пространстве Н, минимальный относительно введенной нормы, т.е., любой элемент /< не принадлежит

замыканию (по норме | - |_) линейной оболочки всех остальных элементов

этого базиса. Введем наименьшую а—алгебру Bni подмножеств пространства Н, относительно которой измеримы все fj(h), у которых j ф i.

Следующая теорема дает формулу для условной квантили gjj^ .(h) случайной величины fi(h) относительно и—алгебры Bni. Теорема 1.5 Для любого минимального (относительно нормы | • |_) ортонормировании) базиса {fj}JL\ пространства Н имеет место равенство

й(Л) = Л) + Socim -

где mf\h) = Мг {fi{h) | Вп¡} условное математическое ожидание /¿(/г) относительно гауссовской меры /л® {•}; /¡* - проекция (относительного скалярного произведения) (■, •)_ элемента fc на замыкание (по норме | ■ |_) линейной оболочки всех остальных элементов базиса;

:= lim - ((■кпВтгп)~1ттпк, irnh),

n->x п

где 7г„ - семейство < ■,• > - ортопроекторов пространства Н на подпространства Н„ := span{fi,..., /»}, n = 1, оо; Ф(<) - стандартное гауссовское распределение на R1.

Вторая глава посвящена асимптотике условных функций распределения непрерывной гауссовкой смеси на локально выпуклом пространстве.

Пусть X локально выпуклое пространство, X* - пространство линейных непрерывных функционалов на X, S(X) - а-алгебра, порожденная всеми элементами из X*, 7 - радоновская центрированная гауссовская мера на X, X* - воспроизводящее гильбертово пространство гауссовской меры 7, {/»}iüi - о.н. базис в X*. Введем семейство гауссовских мер {7ст}а>о такое, что т„(А) = 7 (¿Л). А € £(Х). Пусть мера ц задана соотношением

ос

1М(А) = jla{A)v{da), (9)

о

к

Определим функционал s^x) = lim 1 £ [Л 0е)] > х Е X, и случайные

величины Xk = {х, fk) • Аналогично первой главе рассматриваются условные функции распределения одного набора таких случайных величии относительно всех остальных, и доказывается

Теорема 2.2 Для почти всех х € X

• ■ • < ад.. • • ■' = П ф (¿У.

гдеФ(-) - стандартноегауссовскоераспределение, {ц, - ■■ ,ik}, {ji, • ■ -,jn-k} произвольное разбиения множества {1,..., п} на упорядоченные по возрас-ташто подмножества.

Далее показано, что для схемы серий условных распределений Х-'^ = Ф"1 ^Ff|j . ..., X,-,...,Xn)j также выполняется ЦПТ.

Третья глава посвящена логарифмическим производным симметрических мер в пространстве последовательностей Л'50. Симметрическая мера порождается последовательностью бесконечно переставляемых случайных величин и в силу теоремы Де'Финетти является непрерывной смесью вероятностных мер.

В §1 вводятся необходимые объекты, определения и замечания. Будем рассматривать измеримое пространство (RX,B(TZX)), где Л* -пространство последовательностей. B(TZX) - борелевская сг-алгебра. Введем на R°° систему координатных функционалов

fk{x)=xkt Vx = {xh...,xn,...) eRas,k = 1,2,...,

п

и будем рассматривать класс симметрических мер ¡л на В(К°°) вида

ос-

1л{А} = 11*{А}<Ю{у), (Ю)

а

где С(-) некоторая функция распределения на (0,+оо), а семейство вспомогательных мер {[1у}у>о на В(ИЖ) определяется последовательностью конечномерных распределений

^{х е /Г : Ш < ¿1.....их) < £„} = П я ' (п)

где Я(£) - некоторая функция распределения с гладкой плотностью Я'(£) =

Щ > 0.

Будем также рассматривать симметрические меры (10), для которых семейство мер {му}!/>о определяется последовательностью конечномерных распределений

п

/1»{® 6 К* : Ш < £ь..., ¡п(х) < и} = П ^ Ш. (12)

¿=1

где ^(£|у) некоторая условная функция распределения, обладающая свойствами:

1°. существует плотность f{t\y), гладкая по £ € К при любом у > 0; 2°. если ух ф у2, то \У1) £ Р(£|у2), V£ £ Я.

Напомним известное определение производной и логарифмической производной меры

Определение 3.2 Производной борелевской меры ¡л по направлению / 6 С 7Vх называется мера df{¡, определяемая равенством

А € В(Я°°).

Если мера ц, дифференцируема по направлению /, то мера й/ц абсолютно непрерывна относительно ¡х. и существует производная Радона-Никодима ^¡{х) \= (х), которая называется логарифмической производной меры ¡л по направлению /. Линейное подпространство Т>{ц) в называется подпространством дифференцируемости.

Хорошо известна формула для вычисления логарифмических производных сферически-симметричных мер (непрерывных смесей гауссовских) в

локально выпуклом пространстве. В частности, в пространстве логарифмическая производная сферически-симметричной меры /х по направлению fk имет вид уЗд(х) = —fki^/s^x), где функционал s2x(x) = lim 1/nELi fkix) определен ß-п.н. В то же время относительно меры бо-

П.—»эо

лее общего вида (например смеси а - устойчивых мер) такой предел может не существовать п.н., поэтому для описания логарифмических производных таких смесей возникает необходимость в поиске подходящих аналогов для 830(0;). §2 посвящен как раз таким представлениям.

В §3 сформулированы основные результаты главы. Перед вычислении логарифмических производных возникает вопрос о дифференцируемости рассматриваемой меры по нужному направлению. Теорема 3.1. Мера /а, заданная соотношениями [(10),(11)], дифференцируема в направлении / е Щ только при выполнении следующих условий

ОС 00

Jy'ldG(y) <00, J |ft'(i)| dt < 00. (13)

О -00

Следующая теорема дает явные формулы для логарифмических производных рассматриваемых мер.

Теорема 3.2 Пусть мера ¡х на B(RX) задана соотношениями (10) и (12) и дифференцируема вдоль всех направлений fa, к = 1,2,.... Тогда /л-почти наверное

W " /(ЛОФооЮ) • ( }

Если fx на ß(Rx) задана соотношениями (10) и (11) и выполняются условия и (13), то /i-почти наверное

<15)

где ß'l(t) = h'(t)/h(t).

Следующие теоремы описывают вероятностные свойства логарифмических производных. Теорема 3.3

Пусть мера ß задана соотношениями (10) и (11), и выполнены условия (13). Тогда относительно меры ц. каждая из следующих систем случайных величин независима.

jsoc.^.^^SocOx),. . .^^Sooix), . . . j , 13

{soc(x), МХЩ^Х), .. . , }п{хЩп{х), ...}.

Относительно меры /л каждая из случайных величин /?^(a;)s00(a;). fk{^0'lk(x), к — 1,2,... не зависит от семейства

fi(x),...,fk(x),...,fn(x),...,

Теорема 3.4

Пусть мера д задана соотношениями (10) и (11), и выполнены условия (13).

ОС

1°. Если к тому же выполняется условие / \Ш(Ь)\<И < оо. то {I почти

—ос

наверное

71—»ОС Г). *' 1 •"с

л—»оо Т1 ^

2°. II почти наверное выполняется соотношение

(17)

«-1 -оо

§4 состоит из примеров вычисления логарифмических производных.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Сергею Яковлевичу Шатских, под руководством которого проходила работа над диссертацией, за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

[1] Савинов Е.А. Одно асимптотическое свойство условных распределений, порожденных устойчивой эллиптически-контурированной мерой на локально выпуклом пространстве //Обозрение прикладной и промышленной математики. VIII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов. М: ТВП. 2001. Т.8, вып. 2. С. 797-798.

[2] Савинов Е.А. Логарифмические производные симметричных распределений в пространстве последовательностей и их вероятностные свойства ,// Вестник СамГУ. 2004. Спец. вып. С. 36-48.

[3] Савинов Е.А., Шатских С.Я. Центральная предельная теорема для схемы серий условных распределений меры Коши в гильбертовом пространстве // Обозрение прикладной и промышленной математики. XI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов. Часть И. М. Редакция журнала "ОП и ПМ". 2004. Т.11, вып. 4. С. 918-919.

[4] Савинов Е.А. Асимптотические свойства конечномерных условных распределений сферически-симметричных мер на локально выпуклом пространстве //' Известия вузов: Математика. 2005. №3. С. 71-78.

[5] Савинов Е.А., Шатских С.Я. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями сигма-аддитивной меры Коши // Вестник СамГУ. 2005. №6(40). С. 51-59.

[6] Савинов Е.А., Шатских С.Я. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями устойчивой меры на гильбертовом пространстве // XIV Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов. Часть IV. М. Редакция журнала "ОП и ПМ". 2007.

[7] Савинов Е.А., Шатских С.Я. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями проекций устойчивой меры на гильбертовом пространстве /7 Вестник СамГУ. 2007. №9/1. С. 121-127.

[8] Савинов Е.А. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями меры Стьюдента на гильбертовом пространстве // Обозрение прикладной и промышленной математики. Тезисы докладов. М. Редакция журнала "ОП и ПМ". 2009. Т. 10, вып. 5-6.

[9] Савинов Е.А., Шатских С.Я. Условные квантили устойчивых распределений в гильбертовом пространстве //Обозрение прикладной и промышленной математики. Тезисы докладов. М. Редакция журнала "ОП и ПМ". 2009. Т. 16, вып. 5-6.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 22.09.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 490. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

Глава 1. Центральная предельная теорема (ЦПТ) для случайных величин, порожденных условными распределениями проекций непрерывной смеси мер

§1. ЦПТ для меры Стьюдента в гильбертовом пространстве (общий случай)

§2. ЦПТ для устойчивых эллиптически-контурированных мер (случай собственного базиса)

§3. Закон больших чисел

§4. Зависимость случайных величин

§5. Условные квантили устойчивых распределений в гильбертовом пространстве.

Глава 2. Асимптотические свойства конечномерных условных распределений сферически симметричных мер на локально выпуклом пространстве

§1. Введение

§2. Вид условных функций распределения

§3. Сходимость условных функций распределения

§4. ЦПТ для непрерывной смеси гауссовских мер в локально выпуклом пространстве

Глава 3. Логарифмические производные симметрических мер

§1. Введение

§2. Леммы о представлениях SqoOe)

§3. Результаты о дифференцируемости и свойства логарифмических производных

§4. Примеры вычисления логарифмических производных

§5. О некоторых вероятностных свойствах логарифмических производных в локально выпуклом пространстве

§6. ЦПТ для симметрической меры в пространстве последовательностей

Дополнения

Работа посвящена изучению класса непрерывных смесей вероятностных мер в бесконечномерных пространствах. В центре внимания находятся условные проекции таких мер: рассматриваются их асимптотические свойства и предельные теоремы для сумм случайных величин, порожденных этими проекциями. Особое внимание уделяется свойствам дифференцируемости изучаемых мер и вычислению их логарифмических производных. Кроме того для логарифмических производных таких мер установлены некоторые результаты о независимости, на основе которых доказаны усиленные законы больших чисел.

Вообще различные свойства смесей вероятностных распределений изучались в работах [27], [28], [22], [20], [41]. Известно, (см. [15], стр. 285, [22], [23], стр. 52) что одномерные смеси, в частности, возникают в результате случайного сумирования случайных величин и играют важную роль во многих приложениях. Смеси в бесконечномерных пространствах можно в свою очередь при определенных условиях рассматривать как результат случайного суммирования случайных процессов.

Изучение условных распределений представляет интерес в связи с так называемыми преобразованиями независимости. Один из вариантов такого преобразования был введен М.Розенблаттом (см. [55]). В настоящей работе изучаются свойства преобразований независимости, которые выражаются через условные распределения. Практически условные функции распределения позволяют записать уравнения для условных квантилей (§5 главы 1), которые широко применяются в математической статистике. Кроме того системы, полученные в результате рассматриваемых преобразований независимости, являются в определенном смысле биортогональными. В теории случайных процессов хорошо известны биортогональные гауссовские случайные поля. Системы векторов, биор-тогональные в классическом смысле, используются как в анализе так и в приложениях, например, в теории приближенных решений ОДУ. Отметим также, что практические применения преобразований независимости негауссовских случайных величин и связанных с ними статистических методов в задачах фильтрации изображений и нелинейной регрессии ранее рассматривались в работах С.Я. Шатских, О.В. Горяч-кина, Е.М. Кнутовой, А.Н. Комлева.

В первой главе изучается схема серий асимптотически независимых случайных величин, порожденных конечномерными условными распределениями меры Стьюдента и устойчивых эллиптически-контурированных мер. Для нормированных сумм таких серий в случае, когда размерность условных распределений стремиться к бесконечности, установлена слабая сходимость к гауссовскому распределению. Ранее, в работах [41], [45] для таких серий был установлен усиленный закон больших чисел. В §1 настоящей главы рассматривается мера Стьюдента, порождающая семейство конечномерных распределений, которые строятся с использованием произвольного ортонормированного базиса гильбертова пространства. Доказана ЦПТ для упомянутых выше нормированных сумм. Также показано, что формулировка ЦПТ существенно зависит от выбора базиса. §2 посвящен случаю устойчивой эллитически-контурированной меры. В этом случае, когда базис выбран специальным образом (собственный базис оператора, порождающего меру), формулировка теоремы приобретает классический вид.

В §4 настоящей главы доказана зависимость (в пределах одной серии) системы случайных величин, для которых сформулированы предельные теоремы. Также показано, что характер этой зависимости не позволяет тривиально получить результаты настоящей главы из ранее известных. Именно: показано, что изучаемые случайные величин в пределах одной серии не является ассоциированными, стационарными. В то же время в случае собственного базиса (§2), они оказываются перестановочны, и ЦПТ в этом случае является следствием работ [58], [53]. Однако, доказательства, сформулированных там теорем, в общем случае достаточно сложны. В случае нашей модели предложенное доказательство (теоремы 1.3) вполне простое.

Некоторые результаты главы были опубликованы в [32], [33], [35], [36].

Во второй главе рассматриваются сферически-симметричные меры, совпадающие с классом непрерывных смесей гауссовских мер на локально выпуклом пространстве. Приведенные в этой главе результаты о сходимости условных проекций этих мер к гауссовским являются обобщениями работы С.Я.Шатских [41] об устойчивых эллиптически конту-рированных мерах на гильбертовом пространстве.

Третья глава полностью (кроме §5, §6) посвящена логарифмическим производным симметрических мер на пространстве последовательностей Мы рассматриваем симметрические меры на пространстве последовательностей как непрерывные смеси вообще говоря негауссовских распределений, для которых изучаются вопросы их дифференцируемости, а также, вероятностные свойства логарифмических производных. В §3 получены явные формулы для вычисления логарифмических производных изучаемых мер, а также, доказаны свойства независимости преобразованной системы логарифмических производных вдоль координатных векторов и усиленный закон больших чисел. В частности, рассмотрен важный класс а-симметричных мер (непрерывных смесей устойчивых распределений), изучавшихся в работе [50].

Хорошо известна формула для вычисления логарифмических производных сферически-симметричных мер (непрерывных смесей гауссовских мер, см. представление Шенберга, например, в [13]) на локально выпуклом пространстве (см. [27], [28], [3], стр.283; также, см. дополнения). В первых двух цитируемых работах приведен явный вид формулы логарифмической производной гауссовской смеси, в котором фигурирует случайная величина, введенная в [41] как в^х) и появляющаяся в результатах работ [41], [42], [19], [43]. Как показано в [41], распределение б^х) относительно рассматриваемых сферически-симметричных мер выполняет роль смешивающего распределения. В [20] доказаны характерные общие свойства этой случайной величины (точнее, почти наверное совпадающего семейства этих величин) для класса симметрических распределений. В §2 настоящей главы рассматриваются различные способы явного задания смешивающей величины Зоо(ж), наряду с ранее используемым. Ранее УЗБЧ и результаты о независимости рассматривались в [42] (для сферически-симметричных мер в гильбертовом пространстве) и в [19] (для меры Стьюдента).

В §4 главы приведены примеры использования полученных результатов для явного вычисления логарифмических производных сферически-симметричной меры (смеси гауссовских распределений), 1-симметричной меры (смеси распределений Коши), смеси показательных распределений. Также в качестве иллюстрации теорем о независимости и усиленного закона больших чисел приведены соответствующие соотношения для логарифмических производных 1-симметричных распределений. Основные результаты главы были опубликованы в [31].

§5, в отличие от предыдущих параграфов этой главы, посвящен логарифмическим производным гауссовских смесей на локально выпуклом пространстве, изучавшимся, как упомняуто выше, в работах [27], [28]. Именно, в данном параграфе получены результаты о независимости и усиленный закон больших чисел для таких логарифмических производных. Эти результаты, с одной стороны, являются следствием результатов главы 2, а с другой стороны, согласуются с результатами предыдущих параграфов главы 3. Необходимо отметить, что связь результатов главы 2 для устойчивых мер в гильбертовом пространстве с логарифмическими производными этих мер, впервые получена в работе [42]. Наконец, в §6 рассмотрен вариант ЦПТ для случая меры на ЛВП.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Сергею Яковлевичу Шатских за постоянную помощь и полезные советы при подготовке диссертации.

1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах - Тр. ММО, 1971, вып. 24, с. 132-174.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1, М.: Наука, 1973, 296 с.

3. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 352 с.

4. Богачев В.И. Основы теории меры. Т.1. - Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика; Институт компьютерных исследований, 2006. - 584 с.

5. Богачев В.И. Основы теории меры. Т.2. - Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика; Институт компьютерных исследований, 2006. - 680 с.

6. Богачев В.И. Несколько результатов о дифференцируемых мерах// Мат. сб. 1985. Т. 127, №3. С. 336-351.

7. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений!! Успехи мат. наук. 1990. Т.45, JV83. С. 3-83.

8. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986, 432 с.

9. Булинский A.B., Вронский М.А. Статистический вариант цеп-тральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей. // Фундаментальная и прикладная математика. 1996., Т.2, № 4, стр. 999-1018.

10. Булинский A.B., Шашкин А. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. М.: Физматлит, 2008. - 480 с.

11. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. 408 с.

12. Вахания H.H. Вероятностные распределения в линейных пространствах. Тбилиси: Мецниереба, 1971.

13. Вахания H.H. Тариеладзе В.И. Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1985. - 368 с.

14. Гихман И.И. Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. 2-е изд., М.:Наука, 1977, 570 с.

15. Гнеденко Б.В Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988, 448 с.

16. Го Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. М.:Мир, 1979, 176 с.

17. Дынкин Е.Б. Классы эквивалентных случайных величин.//УМН, 54 (8), 1953, с.125-134.

18. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения М.: Наука, 1983. - 304 с.

19. Кнутова Е.М. Асимптотические свойства стьюдентовских условных распределений в гильбертовом пространстве// Вестник Сам-ГУ. 2001. - №4(22). - С. 42-55.

20. Кнутова Е.М. Шатских С.Я. Асимптотические свойства условных квантилей для одного класса симметрических распределений на пространстве К30// Обозрение прикладной и промышленной математики, 2000, т. 7, в. 2, с. 495-496.

21. Кнутова Е.М. Воспроизводимость условных квантилей многомерного распределения Стьюдента// Изв. РАЕН. Серия МММИУ. 1997. Т.1. № 1. С. 36-58.

22. Круглое В.М. Смеси вероятностных распределений//Вестник моек, ун-та, сер. 15, ВМиК, 1991, 2, с. 3-15.

23. Круглов В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 269 с.

24. Куратовский К. Топология. Т.1.М.: Мир, 1966, 719 с.

25. Лифшиц М.А. Гауссовские случайные функции Киев: TBiMC, 1995. - 246 с.

26. Муштари Д.Х. Вероятности и топологии в банаховых пространствах. Казань, 1989, - 152 с.

27. Норин Н.В., Смолянов О.Г. Несколько результатов о логарифмических производных мер на локально выпуклом пространстве// Ма-тем. заметки. 1993. - Т.54. - №6. - С. 135-138.

28. Норин Н.В. Свойства дифференцируемости смесей гауссовских мер// Обозрение прикладной и промышленной математики. Редакция журнала "ОП и ПМ". 2006. Т.13, вып. 6. С. 983-992.

29. Прохоров A.B., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1986, 328 с.

30. Савинов Е.А. Асимптотические свойства конечномерных условных распределений сферически-симметричных мер на локально выпуклом пространстве// Известия вузов: Математика. 2005. №3. С. 71-78.

31. Савинов Е.А. Логарифмические производные симметричных распределений в пространстве последовательностей и их вероятностные свойства// Вестник СамГУ. 2004. Спец. вып. С. 36-48.

32. Савинов Е.А., Шатских С.Я. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями а-аддитивной меры Коши// Вестник СамГУ. 2005. №6(40). С. 51-59.

33. Савинов Е.А., Шатских С.Я. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями проекций устойчивой меры на гильбертовом пространстве // Вестник СамГУ. 2007. №9/1. С. 121-127.

34. Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовом пространстве.-М.: Наука, 1975. 232 с.

35. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.:Наука, 1987.

36. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1984. - 738 с.

37. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, М.: Наука, 1969, 656 с.

38. Шатских С.Я. Устойчивые эллиптически контурированные меры в гильбертовом пространстве: асимптотические свойства условных распределений!I Изв.РАЕН серия МММИУ. 1999. - Т.З. - №3. -С. 43-81.

39. Шатских С.Я. Некоторые свойства логарифмических производных эллиптически контурированных мер// Вестник СамГУ. 2001. -№4(22). - С. 109-114.

40. Шатских С.Я., Кнутова Е.М. Асимптотические свойства условных квантилей устойчивого сферически симметричного распределения с показателем а = 2/3// Вестник СамГУ. 1998. - №4(10). - С. 102-119.

41. Шатских С.Я. Об одном варианте преобразования независимости ~ Теория вероятн. и ее примен., 1992, т. 37, в. 4, с. 815-816.

42. Шатских С.Я. Усиленный закон больших чисел для схемы серий условных распределений эллиптически контурир о ванных мер -Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 2, с. 291-312.

43. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. М.: Наука, 1969. - 528 с.

44. Ширяев А.Н. Вероятность-1. М.: МЦНМО, 2004. - 520 с.

45. Ширяев А.Н. Вероятность-2. М.: МЦНМО, 2004 - 408 с.

46. Вероятность и математическая статистика: энциклопедия. Гл.ред. Ю.В.Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. - 910с.

47. Bretagnolle J., Dacunha-Castelle D., Krivine J.L. Lois stables et espaces LP. Ann. Inst. H. Poincare, 1966, v.ll, n.2, p.231-259.

48. Bulinski A., Shashkin A. Limit theorems for associated random fields and related systems. Advanced series on statistical science and applied probability ; v. 10, 2007, 436 p.

49. Dedecker J., Doukhan P., et al. Weak Dependence: With Examples and Applications. // Lecture Notes in Statistics. 190. Springer., 2007, 318 c.

50. Fortini S., Ladelli L., Regazzini E. A central limit poblem for partially exchangeable random variables. // Теория вероятн. и ее примен., 1996, т. 41, в. 2, с. 353-379.

51. Norin N.V. Ito-Wick decomposition for the mixtures of gaussian measures)/ Frontiers in Pure and Appl. Probab. II. 1996. p.153-162.

52. Rosenblatt M. Remarks on multivariate transformation. Ann. Math. Stat., 1952, v.23, p. 470-472.

53. Shatskih S.Ya. Asymptotic properties of conditional quantiles of the Cauchy distribution on Hilbert space // Journal of Math. Sciences, NY, v. 93, 4, 1999, p.574-581.

54. Shatskikh S.Ya. Conditional quantiles of Gaussian measures in Hilbert spacej/ Journal of Mathematical Sciences, NY, v.89, 5, 1998, p. 15531558.

55. Weber N.C. A mrtingale approach to central limit theorems for exchangeable random variables. J.Appl. Probab., 1980, v.17, p. 662673.

56. Stochastic Processes: Theory and Methods. Handbook of statistics, v.19, ed. by D.N. Shanbhag, C.R. Rao, 2001, 967 p.