Условные квантили многомерных распределений и их асимптотические свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Многомерные распределения вероятностей

1.1. Эллиптически контурированные распределения и симметрические распределения. Теорема Шенберга. Теорема Де Финетти

1.2. Представление Шенберга для распределения Стьюдента

1.3. Условные функции распределения

1.3.1. Условные функции распределения Гаусса

1.3.2. Условные функции распределения Стьюдента и Коши (как частного случая)

1.3.3. Представление Шенберга условных распределений Стьюдента

1.3.4. Условные функции устойчивого эллиптически контурированного распределения с показателем а = |

1.3.5. Представление Шенберга характеристической функции устойчивого эллиптически контурированного распределения с показателем а = |

Глава 2. Условные квантили конечномерных распределений и свойство воспроизводимости

2.1. Примеры вычисления условных квантилей конечномерный случай).

2.1.1. Условные квантили рдсгфёделения Гаусса

2.1.2. Условные квантили распределения Стьюдента и Коши (как частного случая)

2.2. Свойство воспроизводимости условных квантилей

2.2.1. Воспроизводимость условных квантилей распределения Гаусса

2.2.2. Воспроизводимость условных квантилей распределения Стьюдента.

2.2.3. Воспроизводимость условных квантилей распределения Коши

2.3. Примеры распределений, условные квантили которых не обладают свойством воспроизводимости

2.3.1. Смесь гауссовских распределений

2.3.2. Эллиптически контурированное распределение

2.4. Сохранение свойства воспроизводимости при покоординатном преобразовании

2.5. Нахождение условных квантилей по условным квантилям меньшей размерности

Глава 3. Асимптотические свойства условных распределений и условные квантили бесконечномерных распределений

3.1. Асимптотические свойства условных квантилей устойчивого сферичес

Данная работа посвящена изучению условных квантилей некоторых эллиптически контурированных и симметрических распределений вероятностей. Кроме того, исследуются асимптотические свойства условных квантилей в случае, когда число переменных условных функций распределения стремится к бесконечности.

Пусть f = случайный вектор, Ffc)1 j. N(xk\xi,., хк,., xN)~ условная функция распределения случайной величины по случайным величинам ., ., (знак " над элементом означает пропуск этого элемента) .

Рассмотрим условные квантили i N(x\,., x~i,., ждг), определяемые уравнениями:

Интерес к изучению свойств условных квантилей многомерных распределений растет в связи с их использованием в математической статистике.

Пусть из генеральной совокупности . ,Xk,Y) с неизвестным многомерным законом распределения извлечена некоторая выборка. Природа зависимости У от (Xi,., Xk) полностью ясна только если мы знаем, как меняется условное распределение У при заданных значениях Х\ = ., Хк = Xk в зависимости от изменения (xi,., хк)

Один из подходов состоит в изучении функциональной зависимости между условными моментами У при заданных значениях Х\ = х\,., Хк = хк и (х\,., Хк)- Частный случай, когда изучается поведение только условного математического ожидания У, известен в статистической литературе как регрессионный анализ. Классические методы регрессионного анализа основаны на предположении о том, что условное математическое ожидание E{Y\Xi = xi,., Хк = Хк} есть линейная функция от х\,., Хк- Махалано-бис П. [59], Партасарати К. и Бхаттачария П. [61] предложили некоторые методы регрессионного анализа, которые не предполагают такой линейности.

Второй подход заключается в исследовании функциональной зависимости между квантилями условного распределения У при заданных значениях Х\ — Xi,., Хк = Хк и (х\,. ,Хк)- В рамках этого направления возникает проблема статистического оценивания условных квантилей. Различные способы оценивания условных квантилей в моделях непараметрической регрессии, освещены в обзорной статье [62].

Отметим, что в данной диссертационной работе не рассматриваются задачи статистического оценивания условных квантилей, а также возможнос

1) ти использования условных квантилей в регрессионном анализе, поскольку всё это не входило в цели данной работы.

Одним из основных свойств условных квантилей, изучаемых в настоящей работе, является свойство воспроизводимости.

Определение. Будем говорить, что случайный вектор £ обладает свойством воспроизводимости условных квантилей при сужении на условные квантили меньшей размерности, если для любого i — 1, .,iV и для любого т — 1, .,N,m ф г. Здесь условные квантили ~ ^ N(x\,., Х{,., ., ж/у) определяются уравнениями

Определение воспроизводимости было введено Шатских С. Я. в работе [42]. В той же работе [42] Шатских С. Я. доказал свойство воспроизводимости условных квантилей при сужении на одномерные условные квантили для гауссовских случайных векторов и случайных векторов Коши с диагональной матрицей точности.

Следует отметить, что свойство воспроизводимости было введено Шатских С. Я. при изучении "преобразования независимости" и некоторых преобразований, близких к (3) (см. [43]).

Преобразования вида (3) рассматривались многими авторами в связи с многомерными аналогами известных критериев согласия Колмогорова-Смирнова, омега-квадрат (см. [32] и работу Мартынова Г. В. [27]).

Пусть заданы наблюдения Xi,.,Xk n-мерной случайной величины X £ Rn с функцией распределения F(x), Х{ — (Хц,. ,Xjn),i = 1,. ,п. Для проверки гипотезы Щ : F(x) = G(x), где G(x) — известная непрерывная функция распределения, используется статистика xN)

2) ti = F{Xl), h = F2ii{X2\xi), h = Filh2(xz\xhx2)

3) где Gk{x) — Gk{xi,., xn) — эмпирическая функция распределения.

Распределение статистики (4), как отметил Розенблатт [63], зависит от G(x). Для того, чтобы устранить зависимость статистики ш2 от распределения G(x), исходную выборку следует преобразовать в выборку из равномерно распределенной на n-мерном гиперкубе Сп = [0,1 ]п случайной величины. Это можно сделать [63], используя одно из преобразований вида (3). В своей работе [63] Розенблатт ссылается на статью П. Леви [57] и в подстрочном примечании пишет, что "совсем недавно он узнал о том, что такое преобразование рассматривали также I. R. Savage и J. Н. Curtiss." Рассматривая преобразование вида (3) для указанных целей, М. Розенблатт не говорит, однако, о том, что (3) является "преобразованием независимости", поскольку, видимо, это не требуется для решения его задач.

Целью данной диссертационной работы является изучение условных квантилей многомерных распределений и их асимптотических свойств. В работе доказано свойство воспроизводимости условных квантилей при сужении на условные квантили любой меньшей размерности для некоторых классических многомерных распределений. Найдены примеры распределений, не обладающих этим свойством. Изучены асимптотические свойства некоторых условных распределений, которые соответствуют конечномерным проекциям бесконечномерных распределений на вещественном гильбертовом пространстве и на пространстве К00. Установлен усиленный закон больших чисел для схемы серий семейств условных распределений мер Стьюдента в гильбертовом пространстве. Кроме того, установлена связь полученных результатов с логарифмическими производными и логарифмическими градиентами [4], [29] меры Стьюдента /j, на гильбертовом пространстве Н.

Основными инструментами в исследованиях являются представление Шенберга условных распределений в виде непрерывной смеси гауссовских, теорема Де Финетти о перестановочных случайных величинах, метод Лапласа нахождения асимптотики интегралов, а также двусторонние оценки бета-распределений, использующие интеграл вероятности.

Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры функционального анализа и теории функций Самарского госуниверситета (руководитель — проф. Асташкин С. В.), на IV - VIII Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (Уфа, 1997 г., Йошкар-Ола, 1998 г., Самара, 1999 г., Сочи, 2000 г., Йошкар-Ола, 2001 г.; председатель — академик РАН Прохоров Ю. В.), на II Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001 г.; председатель -— академик РАН Прохоров Ю. В.), на международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 1997, 1998, 2000 гг.; руководитель проф. Соболев В. А.).

Результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах [16] - [20]

Диссертация изложена на 135 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 67 наименований. Начиная с первой, главы разделены на пункты. В пределах каждой главы теоремы, предложения, леммы и формулы охвачены единой нумерацией в порядке их следования в тексте.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2.М.: Наука, 1970, 327 с.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977, 351 с.

3. Благовещенский Ю. Н. Многомерные Т-нормальные распределения в прикладной статистике // Статистические методы оценивания и проверки гипотез, Межвуз. сб. научн. трудов, Пермь: Перм. ун-т, 1998, с. 43-64.

4. Богачев В. И. Гауссовские меры. — М.: Наука. Физматлит, 1997, 352 с.

5. Богачев В. И. Несколько результатов о дифференцируемых мерах // Матем. сборник, 127(169), № 3(7), 1985, с. 336-351.

6. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений // Успехи матем. наук, т. 45, вып. 3 (273), 1990, с. 3-83.

7. Болыпев JI.H., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.М.: Наука, 1983, 416 с.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М., Наука, 1967, 575 с.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. — М.: ФМ, 1963, 1080 с.

10. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. — М.: Мир, 1974, 491 с.

11. Довбыш JI. Н., Судаков В. Н. О матрицах Грама-де Финетти. —Проблемы теории вероятностных распределений. VII. Л.: Наука, 1982, с. 7786.

12. Дынкин Е. Б. Классы эквивалентных случайных величин // УМН, 54 (8), 1953, с. 125-134.

13. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. — М.: Наука, 1983, 300 с.

14. Золотарев В.М. О представлении плотностей устойчивых законов распределений специальными функциями // Теория: вероятностей и её применения, т. 39, вып. 2, М.: Наука, 1994, с. 429-437.

15. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: ФМ, 1963, 101 с.

16. Кнутова Е. М. Асимптотические свойства стъюдентовских условных распределений в гильбертовом пространстве // Вестник СамГУ, естественнонаучный выпуск, Самара, № 4(22), 2001.

17. Кнутова Е. М. Асимптотические свойства условных распределений мер Стьюдента в гильбертовом пространстве // Материалы международного семинара "Нелинейное моделирование и управление", Самара, 2000, с. 54-56.

18. Королюк B.C. (ред.) Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — Киев: Наукова Думка, 1978, 584 с.

19. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975, 648 с.

20. Круглов В. М. Смеси вероятностных распределений // Вестник моек, ун-та, сер. 15, ВМиК, 1991, № 2, с. 3-15.

21. Куратовский К. Топология. Т. 1. — М.: Мир, 1966, 719 с.

22. Лисицкий А. Д. Проблема Итона и мультипликативные свойства многомерных распределений // Теория вероятностей и её применения, т. 42, вып. 4. М.: Наука, ТВП, 1997, с. 696-714.

23. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: ИЛ, 1962, 719 с.

24. Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978, 80 с.

25. Мешалкин Л. Д. Непараметрический метод классификации многомерных нормальных распределений, инвариантных относительно произвольных монотонных преобразований // Статистические методы классификации. М.: Изд-во МГУ, 1969, с. 33-37.

26. Норин Н. В., Смолянов О. Г. Несколько результатов о логарифмических производных мер на локально выпуклом пространстве // Мат. заметки, т. 54, вып. 6, дек. 1993, с. 135-136.

27. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: Наука, 1970, 384 с.

28. Прохоров Ю. В. Асимптотическое поведение биномиального распределения // УМН 8, № 3(55), 1953, с. 135-142.

29. Прохоров Ю. В. (гл. ред.) Энциклопедия "Вероятность и математическая статистика". — М.: Научн. изд-во "Большая Российская энциклопедия", 1999, 910 с.

30. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983, 752 с.

31. Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных распределений. — Труды МИАН, т. 141., Л.: Наука, 1976, 192 с.

32. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. — М.: Мир, 1971, 264 с.

33. Федорюк М. В. Асимптотика: интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987, 544 с.

34. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. — М.: ФМ, 1963, 656 с.

35. Хинчин А. Я. Избранные труды по теории вероятностей. -— М.: ТВП, 1995, 560 с.

36. Шатских С.Я. Вероятностные свойства логарифмических производных эллиптически контурир о ванных мер / / Изв. РАЕН, сер. МММИУ, т. 4, № 4, 2000.

37. Шатских С.Я. Двусторонние оценки неполной бета-функции, использующие интеграл вероятности // Тезисы международной научной конференции "Методы теории функций, интегральные уравнения, специальные функции", ч. 2, Минск, 1996.

38. Шатских С.Я. Об одном варианте преобразования независимости // Теория вероятностей и её применения, 1992, т. 37, в. 4, с. 815-816.

39. Шатских С.Я. Об одном варианте преобразования независимости // сб. "Мера и интеграл", Самара: изд-во "Самарский университет", 1995, с. 99-112.

40. Шатских С.Я. Об одном свойстве условной медианы // сб. "Мера и интеграл", Самара: изд-во "Самарский университет", 1988, с. 156-163.

41. Шатских С. Я. Устойчивые эллиптически контурир о ванные меры в гильбертовом пространстве: асимптотические свойства условных распределений // Изв. РАЕН, сер. МММИУ, т. 3, № 3, 1999, с. 41-81.

42. Шатских С. Я., Кнутова Е. М. Асимптотические свойства условных квантилей устойчивого сферически симметричного распределения с показателем а = 2/3 // Вестник СамГУ, естественнонаучный выпуск, Самара, № 4(10), 1998, с. 102-119.

43. Шатских С. Я., Кнутова Е. М. Воспроизводимость условных квантилей многомерного распределения Стьюдента // Известия РАЕН, серия МММИУ, т. 1, № 1, 1997, с. 36-58.

44. Шатских С. Я., Кнутова Е. М. Воспроизводимость условных квантилей многомерного распределения Стьюдента // Тезисы докладов международного семинара "Нелинейное моделирование и управление", Самара, 1997, с. 156-157.

45. Шатских С. Я., Кнутова Е. М. Об одном свойстве многомерного распределения Стьюдента // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия "Вероятность и статистика", т. 4, вып. 3 (Тезисы докладов IV ВШКСМ). М., 1997, с. 418-419.

46. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989, 640 с.

47. Anderson Т. W. Nonnormal multivariate distributions: inference based on elliptically contoured distributions. — Multivariate Analysis: Future Directions, Elsevier Science Publishers (ed. Rao, C. R.), 1993, p. 1-24.

48. Bhattacharya P. K. On an analog of regression analysis // Annals of Math. Stat., v. 34, issue 4, Dec. 1963, p. 1459-1473.

49. Blagoveschensky Yu. N., Meshalkin L. D. Multidimensional T-normal distribution // Тезисы докладов 1-го Всемирного конгресса общества им. Бернулли, т. 1, 1986, с. 79.

50. De Finetti В. Funzione caratteristica di un fenomeno aleatorio // Atti. R. Acad. Naz. Lincei Rend. CI. Sci. Fis. Mat. Nat., Ser. 6, 14,1931, p. 251-299.

51. Classi di numeri aleatori equivalenti // Atti. R. Acad. Naz. Lincei Rend. CI. Sci. Fis. Mat. Nat., Ser. 6, 18, 1933, p. 107-110.

52. Levy P. Theorie de I'Addition des Variables Aleatoires. — Gauthier-Villars, Paris, 1937, pp. 71-73, 121-123.

53. Linde W. Infinitely divisible and stable measures on Banach spaces. — Leipzig: Teubner, 1983, 203 p.

54. Mahalanobis P. C. A method of fractile graphical analysis // Econometrica 28, 1960, p. 325-351.

55. Ouellette D.V. Schur complements and statistics // Linear algebra and its applications, v. 36, March 1981, p. 187-295.

56. Parthasarathy K.R., Bhattacharya P.K. Some limit theorems in regression theory // Sankhya, Ser. A 23, 1961, p. 91-102.

57. Poiraud-Casanova S., Thomas-Agnan Ch. Quantiles conditionnels j j Journal de la Societe Frangaise de Statistique, t. 139, № 4, 1998, p. 3144.

58. Rosenblatt M. Remarks on a multivariate transformation // Ann. Math. Stat. 23, 1952, p. 470-472.