Рекордные моменты и рекордные величины для нестационарных последовательностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РАННЭ ЫУСТАФА МАЗХАР

РЕКОРДНЫЕ МОМЕНТЫ И РЕКОРДНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1991 г.

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -доктор физико-математических наук, профессор НЕВЗОРОВ Б.Б.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ -доктор физико-математических наук, профессор Клебанов Л.Б. кандидат физико-математических наук, доцент Егоров В.А.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ Санкт-Петербургское отделение математического института АН СССР (ЛЖИ)

К 063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-мате-матичзских наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького СПбУ, Унизерситетская наб. 7/9.

Защита состоится

часов на заседании специализированного совета

Учаный секретарь специализированного совета

каедидат физ-мат. наук О.И.РЕЙНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕИН." В 1952 году появилась статья Чендлера, давшая, по существу, начало математической теории рекордов. Большой вклад в эту теорию внесли работы Реньи, Таты, Щоррока, Деховелса, Галамбоша, Резника, Невзорова, Нагараи. За сорок лет появилось около 250 работ, связанных с рекордами, причем более половины из них опубликовано за последнее десятилетие, что говорит о значительном интересе к данной тематике.

В большинстве статей рассматривались рекорды в классической ситуации, когда исходные случайные величины независимы и одинаково распределены. В последние годы внимание исследователей все более и более.привлекают нестационарные рекордные модели. Отметим здесь работы йснга, Пфайфера, 1Упты, Деховелса, Баллерини, Резника, Смита, Балабекота и Невзорова.

ЦЕЛЬ РАБОТУ. Целью работы является дальнейшее исследование некоторых нестационарных моделей, предложенных Йенгом, Балабекяном и Невзоровым, получение новых предельных и хараюеризгционных теорем для этих моделей.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертационной работе используются прямые вероятностные методы, предельные теоремы теории вероятностей, рекуррентные и асимптотические соотношения, методы вариационного исчисления.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе улучшена оценка Балабекяна и Невзорова в схеме серий скорости сходимости к нормальному закону числа рекордов среди первых Л серий из ПЛ. неодинаково распределенных случайных, величин. Для ряда конкретных ситуаций решена проблема, поставле:иая b[I*J и связанная с нахождением перестановкиьнеоди-наково распределенных случайных величин, максимизирующей среднее число рекордов. Получены новые характеризации нестационарных последовательностей диифетных и непрерывных случайных величин соответственно свойствами независимости рекордных индикаторов и независимости приращений рекордных величин. Приведены точные верхние границы для математических ожиданий рекордных величин в случае, когда фиксированы некоторые характеристики ракордов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в работе результаты могут быть использованы при проверке статистических гипотез и для прог-

Iх. НевзЬров В.Б. Рекорды.// Теория вероятностей и её применения. 1987, 32, № 2, С. 219-251.

нозирования спортивных достижений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на конференции по предельным теоремам теории вероятностей, посвященной памяти С.Х.Сираждинова (Ташкент, 1990), на конференции студентов и аспирантов Санкт-Петербургского университета {1990), на семинаре по предельный теоремам кафедры теории вероятностей СПбГУ (1969-1991).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликована работа в журнале "Вестник Ленинградского университета".

СТРУКТУРА И ОНЫМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из Введения, двух глав (шести параграфов) и списка литераттры, содержащего 61 наименование. Общий объем работы - 118 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены основные понятия и обозначения, принятые в диссертации, дан !фаткий историко-библиографический обзор и сформулированы основные результаты диссертации.

Рассматриваются независимые случайные величины ... .

Рекордные моменты (.(П)и рекордные вэличины Х(Ю вводятся следующим образом

ШЫ, ЦпЧ)=т1п <|\-1,2, ... )

ХЫ'Х^ ( к.1,2, ... ).

Нам потребуются также такие обозначения: ^(п)- число рекордов среди величин Х^'-'Дп. (У\»1,2, ...) ?1 И < ^ «2Х ... ) - индикаторы

рекордовI

тсхос

С - абсолютная константа.

В первом параграфе первой главы изучаются рекорды для последовательности серий неодинаково распределенных случайных величин Х^Х^,--- . Цредполагается, что последовательность функций распределения этих величин удовлетворяет соот-

ношениям

с (тс.)* с СМ (1^1С4т ч 1С- 1,2, ...) (I)

1 с + Тт к '

т.е. рассматривается схема, в которой сочетаются стационарность и нестационарность - набор из |гу\ различных распределений повторяется от серии я серии.

Теорема I.I. Пусть непрерывные функции распределения f i , Fa i ••• независимых случайных величин удовлетворяют соотношению (I). Тогда справедливо неравенство

sup п< хл/5Гк} - к) f (2)

ГДв ^ (х) « (■Vx, Voc in (4/х) ] _

Рассматривается также случай, когда tv\ в соотношении (2) зависит от П, . Следствием теоремы I.I, переформулированной для этой ситуации, является асимптотическая нормальность случайной величины^^^^уу^^ в случае, когда т=т<И)=о(ч'£п и')

tft

Отметим, что рценка в правой части (2) лишь множителем. iniiuitt)yW)отличается от оптимальной.

Во втором параграфе исследуется следующая проблема. Пусть Уd Xi, • • • , Ун ~ независимые случайные величины с функциями распределения F^Fi,"-, Рц .В каком порядке нужно расставить эти величины, чтобы максимизировать математическое ожидание числа рекордов в последовательности Х^ , Х^ Х(,п ?

Была рассмотрена ~ - схема, т.е. ситуация, когда независимые случайные величины X^Xi,•»' имеют функции распределения

F<M = (F(x)) * (К-1,2, ...

где F - непрерывная функция распределения, a •• ~

положительные числа.

Пусть ЕCYi,"', Y^ обозначает математическое ожидание числа рекордов среди величин Yi >Yi ••■ , Yn .

Теорема 2.2. Если случайные геличины Х^Уг,"",^* имеют Функции распределения р/с(.х)= (рСх))*"* (4И ) и

СКсЦ^с^-'-^оСу, f то максимум £(Хс4 i"1, Хкп ) • где мвкси"

мум берется по всем д ! перестановкам ( •« • , |СЛ ) чисел

1,2, ... , KV . достигается на перестановке (1,2, ... , Ц). а минимум - на перестановке ( h » h- d > • • • » I) •

В связи с этой теоремой было предложено несколько гипотез. Гипотеза I. Если случайные величины Х^ , Хг -, Хг\ кохно переставить в порядке )(к ... таком, что

для любых УЛ ~ К , то этот порядок максимизирует величи-

ну ЕСХв^,... , по всем перестановкам ( ) чи-

сел 1,2, ...» К .

Гипотеза 2. Если функции распределения р, р„ ... С

9 1, I П

можно связать соотношением

Ъ (X) >/ ?г • "■ 7/ Рк Сэс.) (-с~<Х<с~)>

то максимум математического ожидания числа рекордов в последовательности Хк1,Х«:1," »Хснд0Стигается на перестановке ( , ...

- ( I.....К ). . ,

Гипотеза 3. Цусть ^(х), Р* Сое) и соответственно плотности распределения, функции распределения и интенсивности отказа случайных величин XI Х2 ••• , Хк • Е°ли

при любом X (.-«^»¿Х^ с«), то из всех К 1 перестановок ( Ю1 К^ ... ус и. ) чисел 1,2,максимум величины

, ХеП достигается на перестановке я (I, ... , п }.

Построены контрпримеры, показывающие, что гипотезы I и 2 не подтверждаются и доказана справедливость гипотезы 3 (теорема 2.3).

В третьем параграфе максицум ЕIV (.М-^ ищется э случае, когда фиксируются функции распределения Р^ и Ро , а рг , ..., могут быть произвольными. Пусть м •

(*)» (к-1) р! [^и^Ы * х

и X определяется равенством

Теорема 3.4. Пусть случайные величины Х**1 У л имеют функции распределения Г^ и р^ . Тогда

В этом же параграфе найден . . Х2... Х^в условиях

^ -схемы, когда фиксированы показатели с<-1 и Л и , а <?Н , , ... , оСп.1 произвольны (пример 2), и когда фиксировька сунмао11 + .<<-+с6ц (теорема 3.5). В последнем случае предполагается тахже, что I.

Вторая глава (§§ 4-6) посвящена решению ряда характерноецион-ных задач.

В свое время в классической ситуации (независимые случайные величины с общей непрерывной функцией распределения Р ) в работе Таты[2х] было показано, что случайные величины

Х(2) - ХС*П независимы тогда и только тогда, когда

КхМ-ехр{-

Этот результат неоднократно обобщался различными авторами.

В работе[З*]при дополнительном предположении что расскатрива-ется У- - схема, было доказано, что X (2) - X С'О

независимы тогда я только тогда, когда

где с^- - произвольное положительное число.

В § 4 даются дальнейшие"нестационарныеи обобщения теоремы Таты. Основным в этом параграфе является следующий результат.

Теорема 4.8. Пусть независимые случайные величины X.< • Ха ... имеют функции распредзле:!ия р ^ , , ... , удовлетворяющие условиям

2*. Tata K.N. On outstanding values in a sequence of random variables // Z. Wahrficheinlichkaiteor.varw. Gab. 1969, V. 12, N1, P. 9-20.

Nevzorov V.B. Two characterizations uaing records // lect. Notes in Math., 1966, Y.1235, >. 79-85.

а случайные величины имеют дифференцируемые плотнос-

ти распределения 7 / и пусть

+а 5 >'*' >

/. $ (К -2,3,4).

X »0

Тогда из независимости случайных величин X (1)

и Х(3)-Х(2)следуе'. чт0 *

Flc(^{-exf^-ъ/ol (|c=2,3, } (3)

Обрвтный результат, состоящий в том, что случайные величины

Ы)

функции распределения (3), а X - произвольная неотрицательная случайная величина, сыл получен ранее Невзоровым [3*1.

Получен также ряд подобных результатов (теоремы 4.6 и 4.7) при некоторых дополнительных ограничениях на произвольные функции распределения Р1 л рх ^... , в которых экспоненциальное распределение характеризуется свойством независимости величин

ХШи Х(9>хи)

В § 5 рассматриваются уже дискретные случайные величины X 1. , Х2 » ••• » Xл• Предложены характеризации последовательностей дискрэтных распределений свойством независимости индикаторов ^

| , ... , ^ при произвольном выборе распределения У п ^' Эти характеризации. являются дискретным аналогом результатов, полученных в [3*1 ,для непрерывных распределений.

Пусть Х1 Хг,... - независимые дискретные случайные величины (считаем, не умаляя общности, что они принимают целые значения), Р^ (К-1,2. ... ,п-а ¿-о,

1\4 (ги! Рв^-'О} , ^^и-р [гк: Р^О)

Выясняется, что независимость вектора = С о I , •< •, Ти-О11 индикатора ^ при произвольном выборе случайной величины Хп в предположении, что ^ имеет невырожденное распределение, возможно лишь при следующих соотношениях между характеристиками

и гк:

g

или

Теорема 5.9. Пусть целочисленные случайные величины X ^, Х2 , ••• Xk-í , ХЛ независимы, а величины Xt,-- , удовлетворяют условии (4). Для того, чтобы вектор ^ и индикатор были независимыми при произвольном выборе распределения случайной величины У п , необходимо и достаточно, чтобы для любых целых ó ¿ d выполнялись равенства

где ,• • • , j^n-d -положительные константы.

Эта теорема остается справедливой, если условие (4) заменить условием (5). Показано также, что если случайные величины X t Хг ..., Xa-i Удовлетворяют условиям (4) или (5), то индикаторы ^ Тг» • • • > ^ л-1 являются независимыми.

Новой является и следугяцая теорема для одинаково распределенных случайных величин.

Теорема 5.10. Пусть Xi,X4)... , X n—t " независимые целочисленные случайные величины, имеющие одинаковое невырожденное распределение. Для того, чтобы при любом выборе X п вектор ^ - случайная величина были независимы-

ми, необходимо и достаточно, чтобы ¿^»-сх^ ^ =

Р а-р)р* < к-о,1,2,

где (Нр^ 1 и 0- ^о"^ •»• - произвольная после-

довательность целых чисел.

Результаты 5 5 получены совместно с Е.Б.Невзоровым.

Шестой параграф посвящен получению точных верхних непарэмет-рических границ для £X (\\) в условиях, когда фиксированы математические ожидания и дисперсии (или только вторы»» начальные моменты) величины Xl.wO или зафиксированы моменты

некотром ftt ( i К )• Эти результаты бли-

зки я результатам Нагараи и Балакришнана для рекордных величин и к аналогичным результатам ГУмбеля, Хартли и Дайвидз для вкс-

тремальнлс порядковых статистик. Приведем формулировки двух и^ четырех теорем этого параграфа. Отметим, что в этом параграфе исходные случайные величины независимы и имею? непрерывную функцию распределения.

Теорема 6.12. Цусть случайная величина Х1л»\) при некотором £ имеет конечную дисперсию. Тогда для лабого К > уу\. справедливо соотношение

/(2п-т-<1 ЛI V2 У-'

ЕХЫНЕХМ+ --—^-¿-^л/^Х^ , (6)

причем равенство в (6) достигается тогда и только тогда, когда

где' ... /¿т-с'.)!(2н-т-Л! Л~/г

^ \ ) •

. Теорема 6.15. Пусть (»«.).< с® црИ некотором №■?/ . Тогда для любого кI? Ж выполняется соотношение

, <7>

причем равенство в (7) достигается тогда и только тогда, когда

гДе Сг 0*0 - функция, обратная функции распределения случайной величины СХ1-ЕМС^))/\/эМС»^).

По теме диссертации опубликована следующая работа. I. Раннэ 11. Рекорды в последовательности серий неодинаково распределенных случайных величин. // Вестник Ленинградского университета, Сер. I. 1991, вып.1, с.62-66.