Предельные теоремы и характеризационные соотношения для упорядоченных случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

Ни правах рукописи

□□34597Б8

Предельные теоремы и характеризационные соотношения для упорядоченных случайных

величин

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

„ Г 11 Я ГиЬ-) 2 -

Санкт-Петербург 2008

003459768

Работа выполнена па кафедре; теории вероятностей и математической статистики математико-механичеекого факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор Невзоров Валерий Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Розовский Леонид Викторович

кандидат физико-математических наук Запорожец Дмитрий Николаевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет (ЛЭТИ)

оащита состоится ' 1С-к&Ш^т, „ часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу 191023 наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу 191023 наб. р. Фонтанки, д. 27.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01 доктор физико-математических наук

Зайцев А.Ю.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Диссертация посвящена изучению новой модели математических рекордов и проблеме характеризации распределений различными свойствами порядковых статистик.

Определенная и исследуемая в диссертации новая модель рекордных величин, названная "рекордами с подтверждением", является обобщением обыкновенных математических рекордов. Теория рекордов является одной из наиболее динамично развивающихся областей современной теории вероятностей. Это объясняется неугасаю-щим интересом Человечества ко всевозможным рекордам, которые фиксируются в самых различных областях жизни. Сама классическая рекордная модель и ее различные обобщения, такие как слабые рекорды, fe-e рекорды, верхние-А;-списки (top-fc-lists) и т.д., являются предметом активного исследования. Систематическое изложение "рекордных" результатов можно найти, например, в работах Невзорова [2], Ахсануллаха [3, 4], Арнольда и соавторов [6].

Задачам характеризаций распределений различными свойствами порядковых статистик посвящено немало работ. В частности схемы случайного сжатия рассмотрены, например, у Весоловского и Ахсануллаха [12], Наварро [9], Бейтнера и Кампса [7]. Эти схемы позволяют при определенных условиях выражать одни порядковые статистики через другие (чаще всего соседние). Отметим также проблему оценивания математического ожидания для определенных сумм порядковых статистик и рекордных величин, рассмотренных у Ахундова, Берреда и Невзорова [5], Нагараджи [8] и некоторые резуль-

таты из монографии Дэйвида [1]. Все эти статистики достаточно широко используются для изучения всевозможных выборочных характеристик.

Цель работы. Целью диссертации является решение следующих задач.

1. Построить и исследовать математическую модель рекордов с подтверждением.

2. Получить характеризации распределений с помощью равенств порядковых статистик, включая схемы случайного сжатия/расширения.

3. Для ряда величин получить оценки, обобщающие известные результаты. На основе этих оценок получить характеризации максимизирующих распределений.

Методы исследований. При изучении рекордов с подтверждением используются классические результаты теории рекордов. В частности, применяются известные представления для экспоненциальных и равномерных рекордов, вероятностное преобразование Смирнова [11] и метод, предложеный в работе Резника [10] для доказательства предельных теорем.

При изучении проблемы характеризации распределений различными свойствами порядковых статистик применяются классические результаты и методы из различных областей математики.

Основные результаты. При исследовании новой модели рекордных величин были получены следующие результаты.

1. Мотивирована и построена новая модель рекордных величин,

названная "рекордами с подтверждением".

2. Получены представления для экспоненциальных рекордов с подтверждением через суммы независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное экспоненциальное распределение. Похожее представление получено и для равномерных рекордов с подтверждением.

3. Описан класс всех возможных предельных функций распределения для произвольных рекордов с подтверждением.

При исследовании проблемы характеризации распределений различными свойствами упорядоченных случайных величин получены следующие результаты.

1. Рассмотрена новая схема случайного одностороннего сжатия/расширения на основе экспоненциальных случайных величин для выборочных минимумов. Получены характеризации соответствующих распределений. Кроме того, аналогичная задача решена для двухсторонней схемы.

2. Рассмотрено равенство двух произвольных порядковых статистик и описан класс распределений, при которых это равенство выполняется.

3. Получены оценки математического ожидания для сумм рекордных величин и выборочных максимумов. Кроме того получены характеризации максимизирующих исходных распределений.

4. Введено понятие обобщенного выборочного размаха, получена оценка математического ожидания этой величины и характе-

ризация максимизирующего исходного распределения. При исследовании асимптотического поведения описана предельная функция распределения, к которой сходится последовательность соответствующих максимизирующих исходных функций распределения.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Построенная в работе новая модель рекордов может быть существенно использована при работе с т.н. "грязными" выборками, кроме того может иметь значение при дальнейшем исследовании рекордных моделей. Полученные характери-зации распределений и оценки будут полезны при дальнейшем развитии этого направления.

Апробация работы. Результаты были доложены дважды на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике ПОМИ РАН (в 2008г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы [13Ц16].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы и пункты, заключения и списка литературы, включающего 53 названия. Общий объем диссертации - 98 страниц.

Содержание работы

Во введении приводится краткое описание существующих результатов, формулируются поставленные задачи и кратко излагаются полученные результаты.

В первой главе строится и исследуется новая модель рекордных величин.

Параграф 1.1 посвящен краткому обзору существующих рекордных моделей и известных результатов, использованных в дальнейшей работе.

В параграфе 1.2 строится модель рекордов с подтверждением. Пусть к = 1,2,... — некоторое произвольное фиксированное число. При к = 1 рекорды с подтверждением совпадают с обычными рекордами. Рассмотрим последовательность независимых случайных величин Х\,Х2,..., имеющих общую непрерывную функцию распределения Р(х). Для к > 1 возьмем случайный вектор {ХЬХ2, и упорядочим его компоненты в порядке возраста-

ния: (Х^, Х^к, •••, Х}.^). Первым рекордным моментом с подтверждением считаем = к, а соответствующей рекордной величиной объявляем Хк,к- Вместе с этими величинами будем рассматривать также первый рекордный вектор сов" падающий с вектором •••) Хк,к)- Далее нужно получить к случайных величин, превышающих Х^к, упорядочив которые, получим второй рекордный вектор. Обозначим его (Х^, Х^,..., Х^). Остальные рекордные моменты, величины и векторы получаются последовательно таким же образом.

Определение. Рекордные моменты L^k\n), соответствующие им рекордные величины Хщ) и рекордные векторы )>•■•'построенные по последовательности Х\,Х2, ••• , определяются следующим образом:

ЬЩ1) = к,

ЬЩп) = min{j : X^k+1J > Х^},

хЦк) = шах{Хь Х2,..., XL(k){n)} = XLW(ra) L(fc)(n), п = 2,3,...,

(^i(l)' ^(2)' •••' ^i(i))=(^L(t:)(n)-fc+l,LW(n)' ^L(fc)(ny,(fc)(n))> 2, ....

Параграф 1.3 посвящен изучению рекордов с подтверждением в двух важных частных случаях: равномерном и экспоненциальном. Для этих случаев получены представления, сформулированные в следующих двух теоремах.

Теорема 1.4. Пусть ••• — обозначают рекорды с

подтверждением, пост,роенные по последовательности Z<2, ...— независимых случайных величин, с общей функцией распределения Н(х) = тах{0,1 - а (Я^, ..., г^), п = 1, 2,- соот,-ветствующие им рекордные векторы,. Тогда для любого п = 1,2,... имеют мест,о соот,ношения:

п—1 п—2 п—1

II,— А II-i. II,— J.

- Vik+l + -j—J ]С ЧШ + - + J2 ЪЬ

г=0 i=0 г=1

^ п—1 ^ п-1 п—1 ^ п-1 п

£ +^ + •••+£ ^ •••> i Y, чкп+ -+

г=0 г=0 г=1 г=0 ¿=1

= (Z(n, fc) + Z(n - 1, fc - 1) + ... + Z(n - 1,1), k)+

+Z(n, к- 1) + ... + Z(n - 1,1),..., Z(n, к) + Z(n, к- 1) + ... + Z{n, 1)),

где 771,7/2,... — последовательность независимых случайных величин, имеющих стандартное экспоненциальное распределение, а, Z(n,k), п = 1,2,..., — k-е рекордные величины, построенные по той же последовательности Z\, Zi,....

Теорема 1.5. Пусть 11щу U^y ••■ ' рек°рды, с подтверждением,, построенные по последовательности Ui,U2, ■•■ ■ Тогда

где = 1, ...,n,j = 1,... /с, — независимые случайные величины

с равномерным на отрезке [0,1] распределением. Результат теоремы 1.4 позволил в параграфе 1.4 показать асимптотическую нормальность экспоненциальных рекордов с подтверждением. Более того, удалось описать класс всех возможных предельных распределений для рекордов с подтверждением из произвольной совокупности. Этот результат сформулирован в том же параграфе в виде следующих двух теорем.

Теорема 1.7. Для того, чт,обы, при некотором, выборе констант А(п) и В(п) существовала невырожденная предельная функция, распределения

необходимо и достаточно, чтобы существовала предельная функция

= |im Цх«.«) + Щп))-т.

л-+оо <7„

где тп = п = п (¿)5» пР«чем фунщии Я{х) и д{х)

связаны соотношением,

Я{х) = Ф (р(®)),

где Ф(ж) — функция распределенная стандартного нормального закона

Теорема 1.8. Предельная функция д{х) может, принадлежать только одному из следующих трех типов:

1- 91 (х) — —°°> если х < 0 и д]_(х) — а > О, если

УЬк

х > 0;

2. <72(я) = 1П(~Ж)> ей/Ш ж — 0 и 92{х) = оо, ес/ш ж > 0;

3. дз(х) = < х < оо, где ак = ^о Ьк = Е^1 (¿р

Глава II посвящена проблеме характеризации распределений различными свойствами упорядоченных случайных величин.

Первый параграф этой главы - параграф 2.1 посвящен краткому изложению основных определений и результатов классической теории порядковых статистик, которые были использованы нами в работе. В следующем параграфе проводится обзор существующих результатов по тем конкретным направлениям, по которым мы и проводили исследования. В частности, речь идет о схеме одностороннего случайного сжатия/расширения, которое представляет собой равенство по распределению

х = уи,

связывающее три случайные величины, где II имеет известное распределение (от которого по сути зависит, будет это схемой сжатия или схемой расширения), а произведение У и — называется случайным сжатием/расширением величины У. В последние годы авторы рассматривали схемы такого типа и для порядковых статистик, например Весоловски и Ахсануллах [12], Бейтнер и Кампс [7], Наварро

Речь также идет о результатах работ Ахундова, Верреда и Невзорова [5], Нагараджи [8] и классических результатах, приведеных в монографии Дэйвида [1]. Последние относятся к проблеме оценивания моментов ряда известных статистик и характеризации соответствующих исходных распределений, при которых эти моменты достигают своего максимума.

В параграфе 2.3 вводятся в рассмотрение новые схемы одностороннего случайного сжатия/расширения для выборочных минимумов.

где IV имеет экспоненциальное распределение, а случайные величины У\, ... полагаем независимыми с общей непрерывной функцией распределения Р. В следующих двух теоремах дается вид исходных распределений, обеспечивающих такие равенства.

Теорема 2.1. Равенство по распределению (1) при некоторых фиксированных 1 < к < п выполняется тогда и т,олько тогда, когда

[9].

<1

,п>

(1) (2)

к—п

— 00 < X < 00,

где С — произвольная констант,а.

Теорема 2.2. Равенство по распределению (2) при некоторых фиксированных 1 < к < п выполняется тогда и тюлъко тогда, когда функция, распределения Р(х) имеет вид

где С— произвольная, константа.

Эти теоремы позволяют получить аналогичные характеризации и для максимальных порядковых статистик, тем самым давая ответ на интересующие нас вопросы, касающиеся данной схемы сжатия/расширения для выборочных экстремумов. В том же параграфе рассмотрена двухсторонняя схема сжатия/расширения, для которой получена характеризация, сформулированная в нижеследующей теореме.

Теорема 2.4. Равенство по распределению

при некоторых фиксированных 1 < к < п и а > 0, (3 > 0 выполняется тогда и только т,огда, когда функция распределения Е задается, с, помощью своей обратной функции С следующим обра-

где С\ — произвольная положительная постоянная.

В параграфе 2.4 рассматривается довольно общая проблема равенства по распределению двух произвольных порядковых стати-

-оо < х < С,

зом:

0{х) = 1п

(1-я)*

стик:

Xk,n = Xi>m.

Изучается вопрос существования таких исходных функций распределения и таких индексов п,т,к,1 при которых это равенство имеет место. Доказана теорема, отвечающая на этот вопрос.

Теорема 2.5. Если выполняется равенство Xk,n = XitTn, т Ф п, то исходная функция распределения, является либо вырожденной, либо имеет лишь две точт, роста.

Более того, оказалось, что функция распределения будет двухточечной в том случае, когда индексы п, т, к, I удовлетворяют условиям п — т > к — I > 0 или т — п > I — к > 0.

Параграф 2.5 посвящен изучению сумм рекордных величин Ущт = X(N(m) + 1) + ... + X(N(n)) и сумм последовательных максимумов Тп^т = Jim>m + ^Lm+l,m+l "Ь ••• + Хпп. Отметим, что исходные величины Х\, Х-2,... предполагаются независимыми, с общей непрерывной функцией распределения F(x), нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. При исследовании свойств этих сумм были получены следующие результаты.

Теорема 2.6. Для, любых п,тп = 1,2,..., 0 < m < п, имеет место неравенство

причем равенство в (3) достигается тогда, и только тогда,, когда

„ и

хт-хп _ тр 1 1-х к

С(х) =-0<аг<1,

где О - функция, обратная функции распределения, К Теорема 2.7. Справедливо следующее неравенство

ЕТп^т < сгп<т, (4)

где 1

причем равенство в (4) достигается тогда и только тогда, когда

£ кхк~х - (п - т + 1) в(х) = Р~\х) = Ьт-.

В параграфе 2.6 вводится понятие обобщенного выборочного размаха

^к,п = (Хщп + ... + ~ (Хип + ... + Хь,п) ■

Для этой статистики также получен результат, связанный с оцениванием математического ожидания и характеризацией максимизирующего распределения.

Теорема 2.8. Для любых к = 1,2,..., п = 2,3,..., к < п имеет,

место неравенство

EWk,n < knCti

/ 1 / « у V

2 / ( / ~ v)k~ldv J du

равенство в котором, достигается, когда G = Fимеет вид: G{u) = i jT 2n_fc_1(l - zf^dzj , ^ < и < 1.

Далее было исследовано предельное поведение при п—>оо.

Теорема 2.9 Л/ш п ос и 0 < а < | максимальное знамение величины Е стремится к \/2а, а последовательность FhF2,... соответствующих максимизирующих функций распределения стремится, к функции трехточечного симметричного распределения, сосредоточенного в точка,х — 0 и с соответствующими весами а, 1 — 2а и а.

В конце проводится сравнение обобщенного выборочного размаха с известной статистикой — выборочным дифференциалом (Selection Differential), который был определен в указанной выше работе Нагар аджи [8].

В заключении подводится итог проделанной работы.

Автор пользуется случаем поблагодарить своего научного руководителя Валерия Борисовича Невзорова за постановку интересных задач, постоянное внимание к работе и многочисленные советы, данные в течение всего времени руководства.

Список литературы

[1] Дэйвид Г. Порядковые статистики. - М.: Наука, 1979.

[2] Невзоров В.Б. Рекорды. Математическая теория. - М.: ФАЗИС, 2000.

[3] Ahsanullah М. Record statistics. - New York: Nova Science Publishers, 1995.

[4] Ahsanullah M. Record Values - Theory and Applications. - Lan-ham: University Press of America, 2004.

[5] Akhundov I.S., Berred A., Nevzorov V.B., On the influence of record terms in the addition of independent random variables // Communications in Statistics: Theory and Methods, 2007, v.36, n. 7, pp. 1291-1303.

[6] Arnold B.C., Balakrishnan N., Nagaraja H.N. Records. - New York: Wiley, 1998.

[7] Beutner E., Kamps U. Random contraction and random dilation of generalized order statistics // Commun. Statist. Theory Meth., 2008, 37, pp. 2185-2201.

[8] Nagaraja H.N. Some finite sample results for the selection differential // Ann. Inst. Statist. Math., 1981, 33, pp. 437-448.

[9] Navarro J. Characterizations by power contractions of order statistics // Coinmun. Statist. Theory Meth., 2008, 37, pp. 987-997.

[10] Resnick S.I. Limit laws for record values // Stohast. Processes Appl., 1(1), 1973, pp. 67-82.

[11] Smirnoff N.V. Sur la distribution de ш2 // С. R. Acad. Sci. Paris, 1936, 202, 449.

[12] Wesolowsky J., Ahsanullah M. Switching order statistics through random power contractions // Austral. NZ J. Statist., 2004, 46, pp. 297-303.

Публикации автора по теме диссертации

[13] Сагателян В.К. Характеризация распределений равенством порядковых статистик // Записки научных семинаров ПОМИ, 2007, т. 341, с. 168-173.

[14] Сагателян В.К. Характеризации распределений моментными свойствами сумм рекордов и последовательных максимумов // Записки научных семинаров ПОМИ, 2008, т. 361, с. 138-144.

[15] Сагателян В.К. Об одной новой модели рекордных величин // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2008. Вып.(З) с. 144-147.

[16] Nevzorov V.B., Sagateljan V.K. Characterizations of distributions by equalities of order statistics // Journal of Stat. Theory and Appl., 2007, vol. 6, 3, pp. 264-271.

Отпечатано коииропалыю-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 29.12.08 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 914/с. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Оглавление

Введение

1 Новая модель рекордных величин.

1.1 Рассматриваемые модели рекордов.

1.2 Описание модели рекордов с подтверждением.

1.3 Полученные результаты.

2 Характеризации распределений свойствами упорядоченных случайных величин

2.1 Рассматриваемые проблемы.

2.2 Постановка задач.

2.3 Полученные результаты.

3 Структура диссертации.

1 Новая модель рекордных величин

Содержание главы

1.1 Понятие рекордов

1.1.1 Существующие рекордные модели.

1.1.2 Некоторые результаты математической теории рекордов

1.2 Построение новой модели рекордов.

1.3 Представления для рекордов с подтверждением . 32 1.3.1 Случай экспоненциального распределения.

1.3.2 Равномерное распределение.

1.4 Предельные соотношения для рекордов с подтверждением

1.4.1 Асимптотическая нормальность экспоненциальных рекордов

1.4.2 Класс всех предельных распределений

2 Характеризации распределений свойствами упорядоченных случайных величин

Содержание главы

2.1 Результаты классической теории порядковых статистик

2.2 Обзор результатов по различным характеризациям . 47

2.2.1 Схемы случайного сжатия/расширения.

2.2.2 Моментные свойства и характеризации. Рассмотренные задачи

2.3 Схемы случайного сжатия/расширения экстремальных порядковых статистик.52

2.3.1 Характеризации с помощью схемы расширения.

2.3.2 Характеризации с помощью схемы сжатия.

2.3.3 Двухсторонняя схема

2.4 Характеризации распределений равенством порядковых статистик

2.4.1 Основной результат

2.4.2 Примеры

2.5 Характеризации распределений свойствами сумм упорядоченных случайных величин.

2.6 Обобщенный выборочный размах.

2.6.1 Оценивание сверху.

2.6.2 Предельные соотношения для Игк,п.

2.6.3 Сравнение с выборочным дифференциалом.

1 Новая модель рекордных величин 1.1 Рассматриваемые модели рекордов

В первой главе диссертации речь пойдет о совершенно новой модели рекордных величин, названной "рекордами с подтверждением", которые включают в себя обычные рекорды (как нижние, так и верхние) как частный случай, кроме того, чем-то напоминают к-е рекорды. Сама теория математических рекордов имеет более чем 50-и летнюю историю. Первая публикация на эту тему появилась еще 1952-м году (см. [21]), и сразу попала в поле зрения многочисленных исследователей, занимающихся смежными проблемами, такими как теория порядковых статистик, экстремальные задачи и, в особенности, экстремальные порядковые статистики.

При изложении известных результатов теории рекордов мы будем придерживаться обозначений и формулировок, приведенных в монографии Невзорова В.Б. "Рекорды. Математическая теория" [5], которая, по сути, является первым изданием на русском языке, где систематизированы классические и современные результаты по математической теории рекордов.

Прежде чем описывать модели рекордных величин, приведем определения порядковых статистик и максимумов, которые очень тесно связаны с рекордами. Теория порядковых статистик в наиболее полном объеме изложена в работах [3, 10, 16, 18, 22].

Рассматриваются п случайных величин Х\, Х2,., Хп, полагая, не умаляя общности, что они заданы на одном и том же вероятностном пространстве (П, Т, Р). Расположив их в порядке возрастания, получаем вариационный ряд:

Xi,п < Х2,п < • • • < Хщп, (1) где для любого ш € Q, Xljn(u>) = ппп{Х1(и>),Х2(и>),. ,Х„(о;)}, Хщп — max{Xi(a;), -^(a;),., Xn{uS)}, а Xk,n — для некоторого к = 1,.,п, совпадает с fc-ым минимальным значением из набора Х\(a;), ^(а;),., Хп(и). Определенные таким образом элементы вариационного ряда (1) называются порядковыми статистиками. Через Мп обозначается выборочный максимум Мп = Хщп = max {Хъ Х2,. ., Хп}.

Перейдем к описанию рекордов. Пусть Х2,. — последовательность одинаково распределенных случайных величин, с непрерывной функцией распределения F(x). Обозначим первый рекордный момент L( 1) и положим L( 1) = 1. Далее, из последовательности Х^ . выделим первую случайную величину (обозначим ее которая превосходит Х\. Величина Хц2)> выбранная таким образом, представляет собой второй рекорд, а L(2) соответственно, второй рекордный момент. Очередные рекордные моменты L(n) определяем рекуррентно следующим образом:

L(n + 1) = min{j > L(n) : X, > Хц^} , n = 2,3,---- (2)

Фактически, основываясь на выборке Xi,., Хцп^ объема L(n) и максимуме МЦп) = Хцп^ь{п) = тах{Хь . •, Хцп)} , выделяем первую в последовательности Хц„)+1, Хцп)+2, • • • случайную величину (обозначим Хцп+1)), которая больше Мцпу Случайные величины

Х(п) = Хцп) = Хцп)^(п) = Мцп), п — 1,2,., называются верхними рекордными величинами.

Если в (2) знак > заменить на >, то приведенное определение будет соответствовать определению слабых рекордов, которые впервые были рассмотрены в работе Верваата [51]. Это та ситуация, когда повторение рекордного значения засчитывается как рекорд.

Очевидно, что в зависимости от ситуации, рекордами считаются не только наибольшие, но и наименьшие значения. В этом случае наряду с величинами L(n) и Х(п) рассматриваются величины L(n) и Х(п) = Хцп^, которые называются соответственно нижними рекордными моментами и нижними рекордными величинами и задаются с помощью выражений:

L(n + 1) = min {j > L(n) : X5 < XI(n)} ,

X(n) = XL{n) = min {Xi, X2, • ■ ■, •

Результаты теории рекордов большей частью получены для верхних рекордов, и вообще, под понятием "рекорд" в литературе чаще подразумеваются именно верхние рекорды. Это обстоятельство, является следствием очевидного соотношения, связывающего минимумы и максимумы: min {Xi, Х2,., Хп} = -тах{У1,У2, где Yk = —Хк, к — 1,2,Приведенная связь позволяет легко перенести все результаты для верхних рекордов на случай нижних. Мы тоже будем придерживаться общепринятого стиля и под понятием "рекорд" подразумевать именно верхние рекордные величины.

К определению рекордных моментов и величин можно подойти и иным путем. Рассмотрим неубывающую последовательность максимумов:

-оо < М1 < М2 < . < Mn 1 < Мп<

Из этой последовательности выделим все те индексы п, для которых выполняются строгие неравенства Мп 1 < Мп. Выделенные индексы (обозначим их 1 = L{ 1) < L(2) < .) будут совпадать с рекордными моментами, а последовательность максимумов —оо < Мц 1) < Мщ) < ■ • • < Мцп) < — — с последовательностью рекордных величин.

Естественным обобщением обычных рекордов явились к-е рекорды, (обозначаются Х(п, к)), которые были введены (вместе с к-ми рекордными моментами Ь(щ к)) Дзюбдзелой и Копоцинским [23] следующим образом:

Ь(1,к) = к,

Ь(п + 1, А;) = пт{; > Ь(п, к) :-Х^ > , п > 1 и , .

Х(п, к) = Хцп^-ь+^цп^), п > 1.

Иными словами, если рассмотреть последовательность к-х максимумов ОО < Х2,к+1 < • • < Хп-к,,г-1 < Хп-к+1,п <------) и выделить из нее подпоследовательность тех элементов, перед которыми стоит знак строгого неравенства:

Хг7к < Хп(2)-к+1,п(2)< -^п(з)-т,п(з) < (3) то нетрудно убедиться, что (3) совпадает с последовательностью к-х рекордных величин к) < Х(2, к) < ., а случайные индексы п(1) = к, п(2), п(3)',— совпадают с последовательностью к-х рекордных моментов Ц1, к) < Ь{2, к) <:.

Очевидно, что для к-х рекордов также применимы понятия "слабые" и "нижние", й при к = 1 к-е рекорды совпадают с обычными.

После публикации работы Чендлера [21] в 1952 году было; издано множество? статей, где изучалась проблема рекордов; В ранний период были исследованы распределения рекордов, рекордных моментов и межрекордных времен, рассмотрены некоторые статистические процедуры^ основанные на рекордах (см [24; 48, 49]). Позднее появились работы Реньи [36] и Таты [50]. В первой был получен важный результат о независимости рекордных индикаторов, который позволил распределения рекордных моментов выразить через распределения сумм независимых случайных величин и получить различные предельные теоремы. В работе Таты [50] было найдено представление для экспоненциальных рекордов в виде суммы независимых слагаемых. После появления этих работ значительно увеличилась интенсивность исследований в данной области. На данный момент описано множество возможных предельных распределений для рекордов (см. например [42]—[46] и [ЗТ]—[41]), введены и исследованы рекордные процессы, получен ряд предельных теорем для межрекордных времен и рекордных величин, имеется большое число характеризаций распределений свойствами рекордов (см. например [12, 4, 6, 29, 11, 30, 15, 28])и так далее.

1.2 Описание модели рекордов с подтверждением

Идея новой модели рекордов заключается в том, что при статистическом прогнозировании на основе достаточно больших по объему выборок, в рассмотрение не входят те значения, которые получаются при невероятных обстоятельствах. Другими словами, исключается возможность участия в прогнозировании единичных, чрезмерно больших (малых) значений, полученных при невероятном стечении обстоятельств. Это происходит потому, что рекорды с подтверждением строятся таким образом, что каждый новый рекорд, прежде чем быть объявленным, должен подтверждаться (фиксированное число раз). То есть, до тех пор, пока нет подтверждения, рекордом считается предыдущий, и появление одного единственного рекордного (в обычном смысле) значения не влияет на ход событий.

Приступим к построению модели. Пусть к ~ 1,2,. — произвольное фиксированное число. Наша модель строится таким образом, что каждый новый рекорд объявляется таковым только после того, как подтвердился ровно к раз. Под словом "подтвердился" понимаем появление ровно А: наблюдений, которые строго больше (меньше) предыдущего рекорда. Модель мы построим только для верхних рекордов с подтверждением, поскольку приведенная выше связь между минимумами и максимумами здесь так же дает возможность перенести все результаты с верхних рекордов на нижние.

Рассмотрим последовательность независимых случайных величин —, имеющих общую непрерывную функцию распределения Р(ж). Возьмем случайный вектор Х2,Хк) и упорядочим его компоненты в порядке возрастания: ХчХк,к). Первым рекордным моментом с подтверждением считаем £^(1) = к , а соответствующей рекордной величиной — Х^к- Вместе с этими величинами будем рассматривать также первый рекордный вектор (^£(1)' Х^), совпадающий, с вектором

Х^к, Хч., Хк,к)- Далее нужно получить к случайных величин, превышающих Хк,к, упорядочив которые, получим второй: рекордный вектор: Обозначим его Остальные рекордные моменты, величины и векторы получаются рекуррентно.

Определение. Рекордные моменты , соответствующие им рекордные величины Х^ и рекордные векторы (ХщуХщпостроенные по последовательности Хг, Х2,. , определяются следующим образом: = к, Хк>ку тах{Х1, Х2,Хцк)^)} = Х£<*)(п),£(*)(п), п = 2,3,

1(1)'^1(2)' Хцк)) — (^£(*)(П)-АН-1,Ь(*)(П)5 —5 хикЦп),№(п)),п = 1, 2, .

Из этого определения ясно, что при к = 1, наша модель совпадает с обычными рекордами:

Теоретически можно, конечно, и для новой модели ввести понятие слабых рекордов с подтверждением, однако интереса такая модель для нас не представляет. Причина этого заключается в том, что слабые рекорды в нашем случае позволяют значениям, равным предыдущему рекорду, быть подтверждениями для нового. Что само по себе противоречит основной идее рекордов с подтверждением. Надо учесть и то обстоятельство, что исходную функцию распределения считаем непрерывной, поэтому даже формальное рассмотрение "слабого" случая нам ничего нового не даст.

1.3 Полученные результаты

Рекорды с подтверждением были изучены в тех случаях, когда искомые случайные величины распределены экспоненциально и равномерно. Важность этих частных случаев состоит в возможности применения к ним известных представлений, о которых мы упоминали выше. Имеются ввиду представления Таты, вероятностное интегральное преобразование Смирнова и некоторые обобщения этих результатов. Все эти представления и прочие известные результаты, которые мы использовали, будут вкратце приведены в первом параграфе главы 1.

Для новых рекордных величин из экспоненциального семейства была доказана теорема, которая дает выражения для рекордов с подтверждением (точнее для случайных векторов) через суммы независимых случайных величин, имеющих стандартное экспоненциальное распределение, и суммы к-х экспоненциальных рекордов.

Теорема (1.4). Пусть ' обозначают рекорды с подтверждением, построенные по последовательности — независимых случайных величин, с общей функцией распределения Н(х) = тах{0,1 — е~х}, а (Яц!), •••> 71 ~ 2,. — соответствующие им рекордные векторы. Тогда, для любого п — 1,2,. имеют место соотношения: гЕ ч*«+гзIЕ ч»»+-+Ё г=0 ¿=0 ¿=1 71—1 ^ П— 1 71—1 ^ 71—1 71 \ т +гет ^*+2+—+IХ^ +•••+X)%)' ¿=0 ¿=0 ¿=1 ¿=0 ¿=1 /

3)

4(1 )> -> Зад) = + — 1, к — 1) +. + - 1,1), г(п, к)+ г(п, к -1) +. + г{п -1,1),., г(п, к) + г(п, к-1) +. + г(п, 1)),

4) где т)\, 1)2ч - последовательность независимых случайных величин, имеющих стандартное экспоненциальное распределение, а Z(n, к), п = 1,2,. к-е рекордные величины, построенные по той же последовательности ---

Следующий рассмотренный случай — равномерные рекорды с подтверждением. Для них получен похожий результат, который сформулирован в виде теоремы 1.5.

Теорема (1.5). Пусть [7^, . —рекорды с подтверждением, построенные по последовательности 17г,. . Тогда и^МНиН^А.^^ (6) где — 1, .,п,= 1,., к — независимые случайные величины с равномерным на отрезке [0,1] распределением.

Полученное в теореме (1.4) представление позволило показать асимптотическую нормальность экспоненциальных рекордов с подтверждением.

Теорема (1.6). При некотором фиксированном к — 1,2,.'., при п —> оо имеет место X } •(«), пХ)г=0 (й-г^) где Ф(х) функция распределения стандартного нормального закона.

Следующим шагом стало описание всех возможных предельных распределений для рекордов с подтверждением из произвольной выборки. Этот результат описан в следующих двух теоремах.

Теорема (1.7). Для того, чтобы при некотором выборе констант А(п) и В(п) существовала невырожденная предельная функция распределения необходимо и достаточно, чтобы существовала предельная функция п 1 п-юо б7п где тп = nY^Zо ~ nYli~o причем функции Q(x) и д(х) связаны соотношением

Q(x) = Ф (д(х)).

Теорема (1.8). Предельная функция g(х) может принадлежать только одному из следующих трех типов:

1. (х) = — оо, если х < 0 и gi(x) = Щ^-аЫх, а > 0, если х > 0.

2.g2(x) = — если х < 0 и д2{х) — оо, если х > 0. 34*(х) = -оо < ж < оо, где ак = £*Го Ьк = J2i=o дДр

2 Характеризации распределений свойствами упорядоченных случайных величин

2.1 Рассматриваемые проблемы

Вторая глава диссертации посвящена проблеме характеризации распределений различными свойствами упорядоченных случайных величин, в частности, с помощью схем сжатия, моментных свойств и равенств. Под понятием "упорядоченные случайные величины" будем подразумевать порядковые статистики и обычные математические рекорды.

В первой части этого введения мы уже приводили определения порядковых статистик и математических рекордов. Некоторые классические результаты из теории порядковых статистик будут приведены в первом параграфе второй главы. Здесь же приведем общие описания тех известных результатов, которые напрямую связаны с интересующими нас направлениями исследований, в частности, с проблемами характеризаций распределений различными свойствами порядковых статистик.

Ряд авторов рассматривали в своих работах так называемые схемы случайного сжатия случайных величин. Схемой случайного сжатия называется равенство по распределению:

X = УС/, (7) которое связывает три случайные величины. Распределение величины С/ сосредоточено на (0,1), (чаще всего степенное или стандартное равномерное), а произведение УС/ — называется случайным сжатием величины У.

При рассмотрении подобных схем возникают вопросы, связанные с харак-теризацией распределений, при которых выполняется равенство (7). Примеры характеризаций с использованием такой схемы можно найти в работах последних 20 лет, в частности, подобные вопросы рассмотрены у Пейкса и Хаттри [34], Пейкса [33], Пейкса и Наварро [35], Йео и Милна [53].

В последние годы схемы такого типа рассматривались также для порядковых статистик и математических рекордов, и именно такие схемы будут рассмотрены нами в работе. Результаты по характеризации распределений с помощью схем случайного сжатия для порядковых статистик, можно найти в работах Ахсануллаха и Весоловского [52], Бейтнера и Кампса [20] и Наварро [26]. Онсел и соавторы [32] рассмотрели такую схему для рекордных величин. Более подробно об этих результатах мы расскажем в первом параграфе второй главы.

Отметим, что в некоторых случаях, в зависимости от формы равенства (7) и типа распределения "сжимающей" величины С/, говорят также о схеме случайного расширения.

Проблема случайных сжатий - первая! из интересующих нас задач по вопросу характеризации распределений, которую мы рассмотрели для выборочных экстремумов, предварительно немножко изменив исходную схему.

Следующая проблема, которая рассмотрена в работе, относится к равенству произвольных порядковых статистик. Имеется в виду равенство по распределению связывающее две произвольные порядковые статистики, построенные по последовательности независимых случайных величин Х^Х21-т., с общей функцией распределения -Р(ж). С характеризациями распределений посредством? таких равенств порядковых статистик дело обстоит сложнее. Автор диссертации не знает ни одной работы, в которой исследовался бы подобный вопрос. В нашей работе представлен результат, дающий характеризацию с помощью такого равенства.

Третья группа задач относится к проблеме изучения моментных свойств порядковых статистик и функций от них. Отправной точкой наших исследований явились как классические результаты, полученные для математических ожиданий экстремальных порядковых статистик и выборочного размаха, так и результаты для величин, представляющих собой суммы порядковых статистик и математических рекордов.

В первую очередь, речь идет о непараметрических оценках для математических ожиданий выборочных экстремумов Хпп и Хлп, размаха — Wn — ХП)П — XitTl, и основанных на этих оценках характеризациях, которые можно найти, например, в книге Дэйвида [3]. Далее, аналогичные оценки и характеризации для сумм рекордных величин получены в совместной работе Ахундова, Берреда и Невзорова [17], где были рассмотрены математические ожидания

EVn = Е (Х(1) + . + X(N(n))) (N(n) — число рекордов среди Х\, Х2, ■ ■., Хп) и

Следует упомянуть также работу Нагараджа [27], где автор получил результаты, аналогичные предыдущим, для величины

1 " 1 ( \

D(k, п) = - ^^ XijTl — — i Xn-k+l,n + ^п-к+2,п + ••• + Хщп ), г=п-к+1 ^ ' которую назвал "выборочным дифференциалом" (Selection Differential). Отметим, что во всех случаях (включая классические результаты Дэйвида) предполагается, что исходные случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

Подробнее все эти результаты будут представлены во втором параграфе второй главы.

2.2 Постановка задач

В предыдущем пункте мы дали общее описание существующих результатов по интересующим нас направлением. Здесь приведем постановки задач, не меняя тематического порядка.

В контексте проблемы характеризации распределений с помощью схем случайного сжатия были рассмотрены равенства по распределению:

У^У^ + уг, (8) и 1,п. (9)

Последовательные минимумы = тт{У!,., У^} и У^п = тт{У1,., Уп} построены по последовательности У, Уь У2,. независимых случайных величин с общей непрерывной функцией распределения Р(х), а IV имеет стандартное экспоненциальное распределение. Не умаляя общности, предполагается, что п > к (действительно, при п — к, задача теряет смысл). Была поставлена задача выяснить, при каких исходных распределениях выполняются равенства (8) и (9)? Отметим, что в случае равенства (8) целесообразнее говорить о схеме случайного расширения.

Далее, наряду с этими равенствами, в контексте характеризации распределения, рассматривалась также более общая схема двухстороннего сжатия (расширения)

У1,к-Ж1±У1,п + Ш2, (10) где случайные величины и И^ не зависят от У, У\, 12,. и имеют экспоненциальное распределение с разными параметрами.

Для всех этих схем были получены характеризации соответствующих распределений.

Следующая проблема — равенство порядковых статистик. Как было отмечено в предыдущем пункте, в известной литературе не нашлось примеров характеризаций с помощью равенства произвольных порядковых статистик. Эта задача сводится к следующему.

Рассматриваем последовательность Х2, независимых случайных величин с общей функцией распределения Р(х) и порядковые статистики для произвольных пит, < Х2)П < — < Хщп и Х^т < Х2,т < •• < Хт,т. Возникает вопрос, существуют ли такие невырожденные распределения и такие п, га, к, для которых выполняется равенство п XI ,771} (П) то есть равенство по распределению?

И наконец, последнее направление наших исследований касается изучения моментных свойств, получения оценок для математических ожиданий и характеризаций максимизирующих распределений. Точнее, исследовался вопрос оценки (сверху) математического ожидания определенных ниже величин и характеризации исходных распределений, при которых математическое ожидание принимает максимальное значение.

Знакомясь с результатами статьи Ахундова, Берреда и Невзорова [17], был поставлен вопрос об аналогичных свойствах величины

Уп,т = ХЩт) + 1) + . + Х(М(п)).

Очевидно, для некоторых фиксированных т < п, является обобщением величины Уп.

Более того, мы рассмотрели сумму

Тщт = Хт^т + Хт+1^т+1 + . + 1 < ш < п, и частный случай этой суммы, когда т = 1, Тпд = Х\^+Х2,2 + ••• — сумма всех элементов последовательности выборочных максимумов, которая, как известно, содержит в себе последовательность рекордных величин, в качестве подпоследовательности.

Поскольку величина Тщтп является обобщением выборочного максимума действительно, при п = т, ТП)П — Хщп), а Т4,т ~~ обобщением Уп, естественно было бы рассмотреть величину, обобщающую выборочный размах и (в некотором смысле), выборочный дифференциал Нагараджа [27]. Мы рассмотрели назвав эту статистику обобщенным выборочным размахом. Действительно,

Интересным оказался также вопрос о поведении математического ожидания Е\¥п,к и максимизирующей функции распределения в ситуации, когда п, к —У оо.

2.3 Полученные результаты

Приведем формулировки полученных результатов в том же порядке, в каком были поставлены задачи в предыдущем пункте.

Для рассмотренных схем случайного сжатия (расширения) имеют место теоремы.

Теорема (2.1). Равенство по распределению (8) при некоторых фиксированных 1 < к < п выполняется тогда и только тогда, когда где С — произвольная константа.

Теорема (2.2). Равенство по распределению (9), при некоторых фиксированных 1 < к < п выполняется тогда и только тогда, когда функция распределения Р{х) имеет вид

Жг.й = (Хп,п + . + ХПА;+11П) — +. + Х^п), при к — 1, = Щг = Хщп - Хг

12) где С — произвольная константа.

Из этих теорем вытекают следствия (приведем их в основном тексте главы 2), дающие аналогичные результаты для последовательных максимумов. Отметим лишь еще один результат, который отвечает случаю, когда распределение W зависит от некого параметра а > 0, то есть в роли сжимающей (расширяющей) величины выступает Wa, с плотностью распределения fwa(x) ~ &е~ах. Мы ограничимся рассмотрением

Y1Jk = Y^ + Wai (14) так как в остальных случаях результат выводится аналогично. Имеет место теорема.

Теорема (2.3). Равенство по распределению (14), при некоторых фиксированных 1<к<пиа>0 выполняется тогда и только тогда, когда функция распределения F{x) имеет вид

F{x) = 1 - + 1 , -оо < ж < оо, где С — произвольная постоянная.

Последняя теорема, относящаяся к проблеме сжатий/расширений, дает характеризацию по двухсторонней схеме. Приведем формулировку этого результата, положив в качестве "сжимающих" экспоненциальные случайные величины Wa и Wp, с параметрами а > 0, (3 > 0. Теорема (2.4). Равенство по распределению

Y^-Wa^Y^ + Wp, при некоторых фиксированных 1<&<пиа!>0,/?>0 выполняется тогда и только тогда, когда функция распределения F(x), задается с помощью своей обратной, имеющей вид

J V пв+ка

G(x) = In----i

1 - х)о

Перейдем к вопросу равенства произвольных порядковых статистик (11). Справедлив следующий результат.

Теорема (2.5). Если выполняется равенство = ф п, то исходная функция распределения является либо вырожденной, либо имеет лишь две точки роста.

Фактически, описан класс распределений, при которых может выполняться равенство (11). Открытым остается вопрос о существовании таких п, т, k, I, при которых исходная функция получается двухточечной. Ответ на этот вопрос получаем в доказательстве самой теоремы, и оказывается, что исходная функция распределения является двухточечной в том случае, когда индексы порядковых статистик в равенстве (11) удовлетворяют условиям п — т>к — 1> 0, или ж — п > I — к > 0.

Дальше следует задача об исследовании величин Е\4,m, ЕТПгГП и EWn¿-Следующие три теоремы дают оценки перечисленных величин и характе-ризации соответствующих максимизирующих распределений.

Теорема (2.6). Пусть X, Xi,X2,. - независимые, одинаково распределенные случайные величины с непрерывной функцией распределения F(x), нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тогда для любых n, т = 1,2,., О < т < п имеет место неравенство

EVn < 7п

15) где i причем равенство в (15) достигается тогда и только тогда, когда п хт-хп 1

1—re к ф) =-————, 0 <х<1, где и(х) = Р~г(х) — функция обратная функции распределения F.

Теорема (2.7). Для тех otee исходных случайных величин Х,Хх,Хч,. справедливо следующее неравенство

ЕТп

16) где п.т — п

ГЬ;*-1) йх-(п-т + 1у т / причем равенство в (16) достигается тогда и только тогда, когда п кхА:-1 — (п — га + 1)

1/ \ к=т и{х) = Р~\х)

СТ. плп

Теорема (2.8). Для любых к = 1,2,п = 2,3,., к < п имеет место оценка

Е\¥к,п < /л, (17) где 1 / « дм и =

2/ (/ 1 V-« / 2

Более того, равенство в (17) достигается, когда функция 0(х) обратная функции распределения -Р(ж), имеет вид

При исследовании асимтотического поведения обобщенного выборочного размаха, при п оо, к ~ ап, 0 < а < был получен результат, сформулированный в нижеследующей теореме.

Теорема (2.9). При п —> оо максимальное значение величины ^ (^п12-) стремится к а- последовательность .Рь-Рг,. соответствующих максимизирующих функций распределения стремится к функции трехточечного симметричного распределения, сосредоточенного в точках — 0 и с соответствующими весами а, 1 — 2а и а.

3 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и двух глав, главы состоят из параграфов, параграфы — из пунктов. Номера параграфов двузначные: сперва номер главы, затем номер параграфа. Нумерация пунктов тройная: номер главы, затем параграфа, затем пункта. Формулы, теоремы, следствия и т.д. пронумерованы по тому же принципу, что и параграфы.

Заключение

Кратко перечислим основные результаты, которые были получены в диссертации.

При исследовании новой модели рекордных величин были получены следующие результаты.

1. Мотивирована и построена новая модель рекордных величин, названная "рекордами с подтверждением".

2. Получено представление для экспоненциальных рекордов с подтверждением через суммы независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное экспоненциальное распределение.

3. Получено представление для равномерных рекордов с подтверждением через произведение независимых случайных величин, с общей стандартной равномерной функцией распределения.

4. Показана асимптотическая нормальность экспоненциальных рекордов с подтверждением.

5. Описан класс всех возможных предельных функций распределения для произвольных рекордов с подтверждением.

При исследовании проблемы характеризации распределений различными свойствами упорядоченных случайных величин, получены следующие результаты.

1. Рассмотрена новая схема случайного одностороннего сжатия последовательных минимумов на основе экспоненциальных случайных величин.

Получена характеризация соответствующего распределения.

2. По аналогичному принципу построена схема случайного расширения для последовательных минимумов и получено распределение обеспечивающее такое расширение.

3. На основе указанных выше схем, получены соответствующие результаты для последовательных максимумов.

4. Получена характеризация распределения, соответствующего двухсторонней схеме случайного сжатия/расширения.

5. Рассмотрено равенство двух произвольных порядковых статистик и описан класс распределений, при которых это равенство выполняется.

6. Получена оценка математического ожидания для суммы рекордных величин, которая по сути является обобщением известной статистики, исследованной в литературе. Кроме того получена характеризация максимизирующего исходного распределения.

Т. Похожая задача решена для суммы последовательных максимумов, причем как общей суммы, так и частной.

8. Введено понятие обобщенного выборочного размаха, получена оценка математического ожидания этой величины и характеризация максимизирующего исходного распределения.

9. Исследовано асимптотическое поведение обобщенного выборочного размаха и описана предельная функция распределения, к которой сходится последовательность соответствующих максимизирующих исходных функций распределения.

10. Проведено сравнение предельного поведения обобщенного выборочного размаха с известной статистикой - выборочным дифференциалом.

1. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. - М.: Наука, 1984.

2. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М.: Мир, 1965.

3. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979.

4. Невзоров В.Б. Характеризации некоторых нестационарных последовательностей свойствами максимумов и рекордов. //В кн.: Кольца и модули. предельные теоремы теории вероятностей 3. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1993, стр. 188-197.

5. Невзоров В.Б. Рекорды. Математическая теория. М.: ФАЗИС, 2000.

6. Невзоров В.Б., Ранне М. О рекордных моментах в последовательностях неодинаково распределенных дискретных случайных величин // Зап. научн. семин. ПОМИ, 1992, 194, стр. 124-133.

7. Сагателян В.К. Характеризация распределений равенством порядковых статистик // Записки научных семинаров ПОМИ, 2007, т. 341, стр. 168-173.

8. Сагателян В.К. Характеризации распределений моментными свойствами сумм рекордов и последовательных максимумов // Записки научн-ных семинаров ПОМИ, 2008, т. 361, стр. 138-144.

9. Сагателян В.К. Об одной новой модели рекордных величин // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2008. Вып.(З) стр. 144-147.

10. Сархан А.Е., Гринберг Б.Г. Введение в теорию порядковых статистик. М.: Статистика, 1970.

11. Степанов А.В. Характеризации геометрического класса распределений // Теория вероятн. и мат. статист., 1989, 41, стр. 133-136.

12. Ahsanullah М. On a characterization of exponential distribution by weak homoscedasticity of record values // Biom. J., 1981, 23(7), pp. 715-717.

13. Ahsanullah M. Record statistics. New York: Nova Science Publishers, 1995.

14. Ahsanullah M. Record Values Theory and Applications. - Lanham: University Press of America, 2004.

15. Ahsanullah M., Kirmani S.N.U.A. Characterizations of the exponential distribution through a lower record // Comm. Statist. Theory Meth., 1991, 20(4), pp. 1293-1299.

16. Ahsanullah M., Nevzorov V.B. Ordered Random Variables. New York: Nova Science Publishers Inc., 2001

17. Akhundov I.S., Berred A., Nevzorov V.B., On the influence of record terms in the addition of independent random variables // Communications in Statistics: Theory and Methods, 2007, v.36, n. 7, pp. 1291-1303.

18. Arnold B.C., Balakrishnan N., Nagaraja H.N. A First Course in Order Statistics. New York: Wiley, 1992.

19. Arnold B.C., Balakrishnan N., Nagaraja H.N. Records. New York: Wiley, 1998.

20. Beutner E., Kamps U. Random contraction and random dilation of generalized order statistics // Commun. Statist. Theory Meth., 2008, 37, pp. 2185-2201.

21. Chandler K.N. The distribution and frequency of record values //J. royal Statist. Soc. B, 14, pp. 220-228.

22. David H.A., Nagaraja H.N. Order Statistics. 3rd ed. - New Jersey: Wiley, 2003.

23. Dziubdziela W., Kopocinsky B. Limiting properties of the k-th record values // Zastos. Mat., 1976, 15(2), pp. 187-190.

24. Foster F.G., Stuart A. Distribution free tests in time-series band on the breaking of records //J. Royal. Statist. Soc. B, 16(1), 1954, pp. 1-22.

25. Gnedenko B. Sur la distribution limite du terme maximum d'une série aléatoire // Ann. Math., 1943, 44, pp. 423-453.

26. Navarro J. Characterizations by power contractions of order statistics // Commun. Statist. Theory Meth., 2008, 37, pp. 987-997.

27. Nagaraja H.N. Some finite sample results for the selection differential // Ann. Inst. Statist. Math., 1981, 33, pp. 437-448.

28. Nagaraja H.N., Nevzorov V.B. On characterizations based on record values and order statistics // Journal of Statistical Planning and Inference., 1977, 61, pp. 271-284.

29. Nevzorov V.B. Two characterizations using records //In: Stability Problems for Stohastic Models, Berlin: Springer, 1986, pp. 79-85.

30. Nevzorov V.B. A characterization of exponential distribution by correlations between records // In: Mathematical Methods of Statistics, V.I., New York: Allerton Press, 1992, pp. 49-54.

31. Nevzorov V.B., Sagateljan V.K. Characterizations of distributions by equalities of order statistics // Journal of Stat. Theory and Appl., 2007, vol. 6, 3, pp. 264-271.

32. Oncel S., Ahsalullah M., Aliev F., Aygun F. Switching record and order statistics via random contractions // Statist. Probab. Lett., 2005, 73, pp. 207-217.

33. Pakes A.G. Characterization by ivariance under length-biasing and random scaling //J. Statist. Plann. Infer., 1997, 63, pp. 285-310.

34. Pakes A.G., Khattree R. Length-biasing characterizations through scaling relations // Austral. NZ J. Statist., 1992, 49, pp. 307-322.

35. Pakes A.G., Navarro J. Distributional characterizations through scaling relations // Austral. NZ J. Statist., 2007, 49, pp. 115-135.

36. Resnick S.I. Limit laws for record values // Stohast. Processes Appl., 1(1),1973, pp. 67-82.

37. Resnick S.I. Extremal processes and record value times //J. Appl. Probab., 10(4), 1973, pp. 864-868.39} Resnick S.I. Record values and maxima // Ann. Probab., 1(4), 1973, pp. 650-662.

38. Resnick S.I. Inverses of extremal processes // Adv. Appl. Probab., 6(2),1974, pp. 392-406.

39. Resnick S.I. Weak convergence to extremal processes // Ann. Probab., 3(6),1975, pp. 951-960.

40. Shorrock R.W. On record and record times // J. Appl. Probab., 9(2), 1972, pp. 316-326.

41. Shorrock R.W. A limit theorem for inter-record times //J. Appl. Probab., 9(1), 1972, pp. 219-223.

42. Shorrock R.W. Record values and inter-record times // J. Appl. Probab., 10(3), 1973, pp. 543-555.

43. Shorrock R.W. On discrete time extremal processes // Adv. Appl. Probab., 6(3), 1974, pp. 580-592.

44. Shorrock R.W. Extremal processes and random measures // J. Appl. Probab., 12(2), 1975, pp. 316-323.

45. Smirnoff N.V. Sur la distribution de w2 // C. R. Acad. Sci. Paris, 1936, 202, 449.

46. Stuart A. Asymptotic relative efficiencies of distribution-free tests of randomness against normal alternatives //J. Amer. Statist. Assoc., 49(265), 1954, pp. 147-157.

47. Stuart A. The efficiencies of tests of randomness against normal regression // J. Amer. Statist. Assoc., 51(274), 1956, pp. 285-287.

48. Tata M.N. On outstanding values in a sequence of random variables // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. B, 12, 1969, pp. 9-20.

49. Vervaat W. Limit theorems for records from discrete distributions // Sto-hastic Processes and Their Applications 1, 1973, pp. 317-334.

50. Wesolowsky J., Ahsanullah M. Switching order statistics through random power contractions // Austral. NZ J. Statist., 2004, 46, pp. 297-303.

51. Yeo G.F., Milne R.K. On characterizations of beta and gamma distributions // Statist. Probab. Lett., 1991, pp. 239-242.