Суммы случайного числа случайных величин: исследование безгранично делимых распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САШСТ-ПЗТЕРЕГРГСКЯГ. lWMFCTBSHHbß У1Г/.БЕРС'ИТЕТ

На правах рукописи

ШРОЗ Аллиер Юсубжпнозмч

случа;йс-го ч::с.1а. случаях зшш: жслздсзакж вззграгжно земвс распрззязей!

G1.01.G5 - теория з-зрояг!!ост9й и .-.штематическая ста?:;ст::кл

Работа выполнена на кафедре прикладной статистика и исследования операции Ташкентского государственного университета.

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ -

член-ксрр.АН РУз, доктор физико-математических наук, профессор АЗЛАРОВ Т.А.

доктор физико-математических наук, профессор КЛЕБАНОВ Л.Б.

оф;щиальныз .ошоезнты -

доктор физико-математических наук, профессор ЗИНГЕР A.A., кандидат физико-математических наук, доцент АНАНЬЕБСКИИ-С.'Л.

ведгоая организация -

Санкт-Петербургское отделение математического института РАН /ломи/

Защита состоится "2.S икууя 1992 г. в -{^.ООчасоз на заседании специализированного совета К 063,57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном универ ситете По адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Библии отечная пл., 2, математико-механаческий факультет СПбУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им.М.Горького СПбУ, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "3S" _1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

1.И.РЕЖ0В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Последние -40 лет, начиная с работ Г.Робй:и:оа, Р.Л.Дсбрудина, А.Реньк :: Б.З.Гнеденко, интенсивно проводятся исследования распределений сумм случайного числа случайных величин /с.ч.с.з./.

Одним из традиционных направлений, в котором изучаются суммы с.ч.с.з., является отыскание предельных законов при условии типа бесконечной малости слагаема. Здесь следует отметить работы А.Реньи, Б.З.Гнедзнхо, С.Х.Сярзздгнова, В.А.Статулявичкса, Т.А.Азлароза и их учеников, а так жз других математиков.В последние год:» напразлекие ¡«следований сконцентрировалось на изучении аналогов безгранично делимых, устончизых и нормальных за--конов з схема суммирования с.ч.с.з. Сюда следует отнести и пионерские работа Л.Б.Клобансза, Г..'.!..'.'ания я 'Л.А.ыеламеда^, а так-яе работы С.Янкозич^ А.Маламеда и частично монографию 3»Л.Кругло вз и В.Ц.Хсролева2.

_БЛЬ РАБОТЫ. Цзльа работы является дальнейшее исследование аналогоз безгранично делимых и. гаусссзских величин в схеме суммирования с.ч.с.з., получение нозых предельных теорем для этой схемы, а таку.е нахождение новых характеризацнл и оценок их устойчивости для распределения Лапласа, а таклз показательного и геометрического распределений.

.,ЕТС~И ИСС.ГлДОЗАНЯЯ. 3 дкссертациоияол работе используются пря/.ые зероятнсстные матоды, предельные тэсремы теории ва-роягпссте.", методы теории ветвящихся процессов, а такле теории 5уккцн о на ль ных ура вне них.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новы:.«. 3 работе дано описание семейств индексов суммиро-

1/ Клебанов Л.Б., ?/зняя Г.М., Метамед И.А. Одна задача 3..Л.Золотарева и аналоги безгранично делимых и устойчивых распределений в схеме суммирования случайного числа случайных велиг чин // Теория зероятн» и ее применения.' - 1934. - т.29, 4. -с. 757-760.

2/ Кругло в Б.:,1., Королев З.Ю. Предельные теоремы для'случайных сумм. изд-во Моск.ун-та, 1990. - 269 с.

рования с.ч.с.з,, для которых сущестзуют -строго гауссовские с.з.. Впервые звсдится определение классов сопрсвсждакцих í -безгранично делимых с.в., устанозлзкы точные оценки аппроксимации этими с.з. сум:,: с.ч.с.з. Таклэ впервые'доказана устопчп-вость аналога теорема Д.Попа и теорема Т.А.Аглароза. Случены новые характеризадня геометрического распределения и оценки устойчивости для других свойств этого я показательного распределений.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЗЙХСТЬ. Полученные в работе результаты могут быть использованы з теории надежности, теории ветвящихся процессов, математической статистике, а тагхе з экоиожхе.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертаций доклзеыззлйсь на 1У Международной Вильнюс с ко;: конференции по теории вероятностей и математической статистике /1985/, XI Зсесокзком /1985/ и ХУ Международном /1991/ семинарах по прсб'емам непрерывности я устойчивости стохастических моделэй, на.городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике при ТадГУ /198?, 1990, 1992/, ежегодных научных :<он$зренцяях профессорско-преподавательского состава ТапГУ /1963-1931/, а такке з Институте математики и информатики АН Лятвы /1992/.

ГГ/БЯЖАЦМ. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав /16 параграфов/ и списка литературы, содержащего 58 наименований. Обций объем работы 108 страниц.

СОДЗЕШЖ РАБОТЫ

В введении приведены основные понятия и обозначения, принятые в диссертации, изложен обзор имеющихся результатов по близкой тематике и сформулированы основные результаты диссертации.

Пусть' Х^ , Хг ,... - независимые одинаково распределенные случайные величины /н.о.р.с.в./, а , Дcz(0;\)

г семейство с.в. с натуральными значениями и не зависящие от Í-Xj.j^'f] •• Фи этом' предполагается, что существует и Ev>p = í/p .

3 работе .1,Б,Клебанова-, Г.М,:.1аная и 'Л, А.Меламед;? были даны следующие два определения.

Определение 1.1.1, Скаке«, что с.в. У является 0 -безгранично долимой, если ддй любого р^Л найдется такая не зависящая от Ор после-овзтепьность н.о.р.с.в» £ /у-'-'Л что

У Й 2. Х<р) г-< '

Здесь и далее ^ обозначат равенство распределений.

Определение 1.1.2. Скажем, что с.в. Х< является *} -строго гауссрзсхой, если ЕХ^О, ЕХ^ < со и при всех ред .

а >

где {^¿¿^^О - последовательность и.о.р.с.в., на зависящая от { р^д]

В первом пэраграфе первой главы диссертация дано описание семейств индексов *)Р , для которых существуют ^ - строго га-уссоэскнэ с.э.

СбОЗИЕЧ-'ЗНЯЯ: ^Рр - ЛрСИЗЗОДЯДЭЯ ¿'/КХЦЯЯ С. 3 . ,

яслугоуппэ с олосацие:'. суперпозиции • , посещенная семейством

Р^-лГ-

М.меет место теорема.

Теорема 1,1.1. Лчя того, .чтсбц существовала ч)' -строго гауссовскэя с.з. необходимо и.достаточно, чтобы полугруппа была коммутативна. Рассмотрим ура знание Пуанкаре

- ?Р(<р(ро)

и его реоикзе, за 1<^рэнвдр/еяов.на [0; «э)' • и удозлетворяюдэа условия:.! ^ (0) - - ^'(0) = Л 4 называемое стандартным,

Вели $ хоммутатавнато характеристическая функция любой

3/ Клебанов Я.в., .'.'ация Г.:.!., ГЯвламед И,А. Аналоги безгранично делимых и усто;:чпзих законов для сумм случайного числа случайных слагаемых // Тез.доклад 17 Ме:зд, Вильнюсской конф» по теории вероятн.. и мат.статистике, - Зилькяс, 1985. - Т.2 - с. 40-41.-

^ -строго гауссовской с.з. имеет зид

^ (Ч.") = ср (а +.г) , а>0 параметр. Всюду далее.считается, что полугруппа "Р коммутативна. Приведем аналог классического результата де Оинетти. Теорема 1.2.1. Пусть (р -стандартное решение уравнения Пуанкаре. Дяя того, чтобы с.в. У с характеристической функцией

была V -безгранично делимой необходимо и достаточно, чтобы

где еС^ _ положительные постоянные, а ^^ ~ некоторые характеристические функции.

Описание 0 -безгранично делимых распределений дается следующей теоремой.

Георема 1.2.2. Пусть <р -стандартное решение уравнения Пуанкаре. Характеристическая функция Ш является 4 -безгранично делимой тогда и только тогда, когда она представлена в виде

<¡(1) = .

где \(У - безгранично делимая /в классическом смысле/ характеристическая функция.

'В третьем параграфе главы 1 исследуется вопрос об аппроксимации распределения суммы с.ч.с.в. т) - сопровождающим распределением,

Дадим сначала определение.

Определение 1.3.1. Пусть {.Х],}^} последовательность н.о.р.с.в. с характеристической функцией

[(1) . Допустим -стандартное решение уравнения Пуанкаре. Положим Бр^И^Х^ , С.в. "Ур с характеристической функцией

Фр(М) = <р

назовем сопровождающей "О -безгранично делимой / $ -сопто-воздаюцей/ с.в. для суммы Эр

/Это определение несколько отличается от определения, данного Б.В.Гнеденко в классическом случав, который допускает еще центрирование и нормирование 1( /.

Рассмотрим метрику /С0 между с.в. X и Ус характеристи-

ческими функциями |х Ш и определенную равенст-

вом

= 1 -

Класс всзх с.э. обозначим через 06. , а класс с,з. с неотрицательны.',и характеристическими функциям: через

Сснозкс;! результат третьего параграфа и :■«■•;• от зил.

Георема 1.3,1. Пусть {Х^, ^ •> 1 ] - последовательность н.о.р.с.з. и . Пусть , а - ч) -со-

провождавшая для , Тогда

Аналогичное утверждение зерно и для с.з, из класса всзх неотрицательных с.в., только сходимость рассматривается в равномерной метрике для преобразований. Лапласа. Здесь же получен аналог теоремы Пуассона /следствие 1.3.1./.

Четвертый парагра? посвячон изучению аппроксимации в раз-лпчных метриках сумм 2Р -безгранично делимыми распределения:.«, когда количество слагаемых имеет геометрическое распределение и

РС^р-кЬрП-р^-1 , ,

Теорема 1.-1.1. Пусть 3Р =21^ ^ , где -

последовательность и.о.р.с.в., а 1>р - геометрическая с.в.. Предположим, что Ур - геометрически сопровождающая с.в. для суммы 5 р , тогда

Теорема 1.1.2. Пусть имеет геометрическое распределение. Тогда справедливы равенства

« р/С^р) + Н + рГ<п"*° ;

«'.-[Ц 1-^/Цп-р^] •

Здесь и далее 0 - расстояние по вариации* J3 - равномерная метрика Колмогорова, а С®1 означает целую часть числа я .

Следствием этих утверждений является оценка скорости сходимости в аналоге теоремы Пуассона /следствие 1.А.1/

Как оказалось, аппроксимация сумм &р когда •Ор - геометрическая с.з., произвольным геометрически безгранично делимым распределением не приводит к существенному улучшению по сравнению с теоремой 1.4.1.

Теорема 1.^.2, Пусть- класс всех геометрически безгранично делимых с.з. №леет меото неравенство

Во второй глава.диссертации изучаются зоны ■ $ -притяжения' для сумм случайного числа случайных векторов'. Первый параграф дает описание 1> -безгранично делимых распределений в

Пусть t Xj , . - последовательность н.о.р. г -

мерных случайных векторов. Семейства та же, что

и раньше. Предполагается коммутативность полугруппы''"fl и что' f - стандартное решение уравнения Пуанкаре. Тогда характеристическая функция i -строго гауссовского & -мерного распределения имеет вид:

f(t) = <f (<At;f>) .

где A - симметричная положительно определенная матрица.

Случайный вектор Ур с характеристической функцией

% (14Л,, - v U; i). - <р (V ~ i f14, U... -Л*))) называется сопровождающим . V -безгранично делимым а -мерным / V- сопровождающим/ случайным вектором.

В § 2.2. изучаются области притяжения при геометрическом суммировании независимых случайных векторов,

Пуоть >>р - геометрическая с.в., a по-

следовательность' н.о.р.с. векторов из 3R.* > не зависящая от , ¿¡¡ели при некотором выборе . -s -мерных векторов Ц и невырожденных ««л матриц Ар функции распределения сумм

ZT (Х^&р)

слабо рхо "лтоя при р-*0 к некоторой л -мерной (¿ункции рзс-лределения V ,-то говорят, ч:о фунхцгя распределения вектора

слабо геометрически притягивается к V . Совокупность всех функций -распределений, слабо геометрически прятягяэатаахся к "V, называется областью геометрического притяхекия V .

Теорема 2.2.1. Область геометрического притязания закона V с характеристической функцией , совпадает с

/классической/ областью притяжения закона V с характеристической функцией

Прэдстазляет интерес обобщение теоремы 1.4.1 когда не обязательно имеет геометрическое распределение. Исследование этбго вопроса - задача третьего параграфа, главы П.

;:усть полугруша коммутативна, а <р - стандартное решение уравнения Пуанкаре. Обозначим

= «ьр х<е=е ( Зр,Ур) .

Рассмотрим - последовательность н.о.р. с.в.,

а {*Рр , р£Д] - семейство с.в. с натуральными значениями» не зависящих-от {-^^'^И] . Пусть Е^р'Н/р и ЕРа) - характеристическая функция с.в. ^р

Теорема 2.3.1. При сформулированных выше условиях

Предположим теперь, что

ГА") АС«)=- - абсолютно непрерывны

х р-^О

при а > о ;

(В) 1Р{*>Р = И « С при всех р&Д.

где С.>0 некоторая постоянная.

Справедливы следующие результаты.

Теорема 2.3.2. При условиях (М и (В) для величины выполнено

е^уо-о сс-1

р + о '

Теорема 2.3.3. Пусть семейство (\>р, реД] таково, что при некоторых п.И я не зависящих от р выполнено

езо

2- + I = М (и)

к-н г г

при всех рс"Л . Тогда (С) места не имеет.

3 диссертации дается пример, когда распределения сумм 5р вообще невозможно приблизить в метрике Х0 л! -безгранично делима.! распределением /теорема 2.3.-"-/

В § 2,4 обобщаются понятие области геометрического притяжения и результаты о ней на случай общих " ^ -сумм".

Содержательные, результаты получаются .при аппроксимации ^ -сопровождающим законом распределения сумм 5р в метриках _р и е5 .

для

Дня рассмотрения этих задач в § 2.5 предположено, что функции распределения выполнено

А(-х) - Ьлл, РЫр<*} •

р-*о 1 г

Положим

ак(рч = Р{0р-к] , ... ,

1 со

к.р 0

Теорема 2.5.1. Допустим, что величины ^(р) в ^(р) таковы, что для любого реД существует натуральное число И-о-'Мр)' такое, Что

ак<Р) ~ ср) ^ 0 . к - а,..., а0.

Положим

*ХРЧ к-. акСР1

Тогда

п.» к

й

- 11 -

Следствие 2,5.1. Допустим, что ^р^А-Ло] или иными словами ак(р) - &к(р1»0 при Кк^п,, и ак(р) - < 0 при . тогда

а»

Объектом язучзния первого параграфа главы Л являются суммы геометрического числа н.о.р.с.в. с различными средними количествами сжигаемых:

Теорема 3.1.1. Имеет место равенство

^х,е» (БР1,Ч - р/(+ /Ьр!).

при О $ р1, р4 $ 2 С -1).

Теорема 3.1.2. Справедливы следующие соотношения

£ V Ч) = 9 ( &Р<, 2р*>

= | м-р,Vй - м-ро*- 1,

где

vu = А +

Ьч р< - Ц Р».

Здесь [х] - целая часть числа х ,

Заметим, что если в утверждениях этих теорем заменить случайные величины соответственно случайными векторами, то теоремн 3.1.1 и 3.1.2 останутся в силе и для пространства Ж.3

Часть диссертации посвящена изучению характеризавди некоторых распределений и вопросам их устойчивости.

В схеме суммирования случайного /геометрического/ числа с.в. аналог характеризационной теоремы Д.Пойа получен А.А.Зингером, Л.Б.Клебановым и И.А.Меламедом'ч

i/Klebanov L.B., Melamsd J. A., Zingsr A. A. On stability of characterizations of probability distributions// 1/ U33R - Japan Symp.on Frobab.Th. and Hath.Statist.: Abstracts.-Tbilisi, 1982.-V.2.- P.19-20.

Устойчивость этого факта впервые установлена в диссертации.

Теорема 3.2.1, Пусть {Х^ ^»^З. - последовательность симметричных к.о.р.с.з., а »)р - независящая от нее геометрическая с.в. Предположим, что р - фиксировано и р = где за ей/ . Если выполнено

' ^ Н'

то X, почти лапласовскгк с.з. и при этом

Здесь Ь - лаияасовсхая с.в.

При суммировании 'геометрического числа с.з. роль нормального закона переходит к распределению Лапласа, а роль вырохдек-кого к показательному закону. С этой точки зрения хорошо известный результат А.Репья о сходимости распределений геометрических сумм $>р к показательному закону мо»к: рассматривать как акзлог закона больших чисел в-этой схе-з.

Списание класса с.в., подчинявшихся 'такому ЗВЧ, дает ха-рактерпзациокная теорема Т.А.Азларсва^ о равнораспределенности монома и геометрической суммы .

Сценка- устойчивости этой .растеризации получена в диссертации с применением аппроксимации - сопровождавшими распределениями для метрики

' I ( X', У ) = а о

где

- преобразования Лапласа соответственно

с.в. X и У .

?зоре:да 3.3.1. Пусть { Х^ , - последовательность не-

отрицательных н.о.р.с.в., а - не зависящая от них геометрическая с.з. Предположим, что р . - фиксировано а р - 2"32 ( к. Зела '

5/ Азларов Т.А. Характеризационкыа свойства показательного распределения и их устойчивость // Предельные т^реш, случайные процессы. - Ташкент: '¿ан, 1979, - с,3-14. ■

то X, почт л экспоненциальная с.з., т.о.

Здесь Ед - показательно распределенная с.з..

Заключительная четвертая глава диссертации содер-кит харак-териззвдокные задачи типа "свойства отсутствия последействия" для показательного и геометрического распределений.

Определение 4.1.1. Скажем, что с.в. X принадлежит классу , если X невырожденная неотрицательная с.в. с распределением:

Р ( X =Ю =" рМ-р)к , U-O.U,... ¡ рбС0>Л.

иоозначим через оги = а(а--0 ... (a-k-HV

3 § 4.1 доказана новая- характеризапия с.в. из С*0 свойством отс.утстзпя последействия к -го порядка.

Теорема ¿.l.l. И/сть X -целочисленная неотрицательная с.в. и Е ( X + к)!к:!< »о для некоторого натурального к . 3 этом случае

Е{(Х-^к)т/Х-Д] = Ë(Mk)ltl (Е)

выполнено глл всех тогда и только тогда, когда .

Для любых к= -(, 2. , ,.. обозначим

CL) = Б, [ ( X - i-k)ui • i ( x >Л)}/^ ,

где TÍA) - индикатор множества А . Очевидно, что для о.в. Xetíi0 = 1 для всех ;¡ t>0

Приводятся также оценки устойчивости характеризации свойством СЕ) для случаев -i и к = .

Теорема 4.1.2. Пусть X - целочисленная неотрицательная с.в. л <| =P(X»Í) , причем Д = < «s.

Если

4mJ sue | a [i) - oía, | а>о Ьо' J

- 1-1 -

то существует такая константа С , что

1*4 ^р 1 Я -

о< р<1 Ьо 'ь

Для случая к -2. оценку устойчивости мочно получить в вида следствия из следующего разложен'..:.

Теорема 4.1*3. Для любого 1*0 и Л>0

Следствие 4.2.1. Если ^ - -(+,> , то из условия

•ш! \Нг.(1)Л)1 5 Ь

. Л>6 1*01

найдется постоянная С такзя» что

(ё7г)1\ ^/Л-

В параграфе 3 четварто»: гаэвы издается устойчивость ха-рактеризаши БФМ - распределения /т.е. распределения с возрастающей интенсивностью отказов/ сзо/ством постоянства условной дисперсии.

Теорема 4.3.1. Если неотрицательная целочисленная с.в.К имеет В5И-распределение и

юл |Т)((х-М/х^г,1 -«¿I* ь, ¿>0 1*0

то справедлива оценка

где С., = С, ( -константа, зависящая ог ^ и уц .

В § 4И, даны уточнения оценок устойчивости хэракт.еризации свойством отсутствия последействия из работы Б.Димитрова,

Л.Б.Клебанова и С.Т.Рэчева0.

Пусть X - неотрицательная с.в. и G(x] = 2 (X* се.) для ;с>0 . Положим

LM(6)= sufi [lC5fx+a)- Öfx)(?rf^|>

Exp (<?) = <uio 1 - w.p (- Д-.01.

\> 0 '.r>,3

При этих обозначениях имеет место следующие оценки.

Теорема 4.4.1. !3cna 0( + СЛ=1 , то

а)Елр (ÜJ i'7J4Z4 LMic$.),

б) при LM(ö)s 0,0*

Е-оср (б) $ 5,945" LM (G) ,

2с ли дополнительно Предположить принадлежность &М классу распределении "новое лучше использованного", то знзчения констант можно уменьаить /теорема

Аналогичные уточнения пслучены и при оценке блнзоста распределения целочисленной с.в. X к геометрическому распределению.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Устойчивость характеризационных свойств показательного и геометрического распределений'// Тез.докл.Четвертой .«еждунар. Вильнюсской kohJ), по теория вероятн. и шт.статистике. - Вильнюс, 1985. - Т.1. - С.139-140 /совместно с Володиным Н»А./.

2. Об оценках устойчивости характеризэиий свойством отсутствия последействия // Изв.АН Уз ССР. - Сер.физ.-мат.наук. -1983. - -C« G. - С. 12-14 /совместно с ВолоДИНУм H.A./.

3. Сб yc'Toit4HBocr:i некоторых характеризационных свойств

6/ Димитров В., Клебанов ;1., Рачев С. Устойчивость харак-теризапии экспоненциального закона // Проблемы устойчивости стохастических моделей: Тр.семинара. - М.: ВНШСЙ, 1982. - С.39-46.

геометрического и показательного распределении // Теория веро-ятн. и es применения. - 1991, - Т, 36, № 4 - с. 782 /совместно с Володиным H.A./.

4. Аналог равномерной предельной теоремы А.Н.Колмогорова яри суммировании Гэомзтрлчеокого числа случайных величин //Сообщения АН Грузик. - 1991. - Т.143, }i 1. - С. 10--12 /совместно с Клебановым Л.5., Челамэдом И.А,/,

:i .дп::г5нс к пгч'т;-. 22.V. Q2 3 Т; ¿zx ioO ■

Бесплатно

ТйЛ. ГОЦ

ОЛ.