Сумма и вариационный ряд независимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК

§ I. Вспомогательные утверждения.

§ 2. Обобщенный экстремальный критерий.

§ 3. Сумма и центральные члены вариационного ряда независимых случайных величин.

§ 4. Числовые характеристики.

§ 5. Глобальные предельные теоремы

§ 6. Предельные распределения для порядковых статистик

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ТИПА МАКСИМУМА ДЛЯ АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНЫХ

СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

§ I. Вспомогательные утверждения

§ 2. Предельные теоремы для частичных сумм

Диссертация посвящена выяснению связей между слабой сходимостью распределений суш независимых случайных величин и слабой сходимостью порядковых статистик, построенных по слагаемым. Аналогичный вопрос выясняется по отношению сходимости в среднем. Во второй главе рассматривается ряд вопросов, связанных с асимптотическим поведением распределений ряда функционалов от асимптотически нормальных сумм независимых случайных величин. Ниже приводятся основные определения, результаты диссертации и краткая история рассматриваемых в диссертации вопросов.

Пусть дана последовательность { 1 независимых случайных величин. Обозначим S^i00) функцию распределения ^ .

Определение 0.1. Случайные величины ^jl, расставленные в порядке возрастания q* у с a* L . г f*

3U) - 1(2) - - ?<rt) ^ называются вариационным рядом. Величина называется I -м членом вариационного ряда или I -ой порядковой статистикой.

При 1--1 и i = уь мы имеем дело с экстремальными порядковыми статистиками, минимальной и максимальной.

Одной из задач, которой посвящено много работ, является задача описания предельных распределений для распределения величин 1\ К.) -Очц при надлежащим образом выбранных числах Оь^ и . Первые результаты в этом направлении принадлежат М.Фреше [i]. Им был описан один из трех возможных типов предельных законов для максимального члена вариационного ряда в случае одинаково нормально распределенных случайных величин . Дальнейшее исследование было проведено Р.Фишером [2] и Л.Типпетом [з]. Ими была открыты три возможных предельных закона, В работе Р.фон Мазеса [4], в частности, введено понятие области притяжения, связанной с исследованием предельных распределений максимального члена вариационного ряда.

Наиболее полные результаты, о которых можно сказать, что они суммируют в известной степени исследования этого направления, получены Б.В.Гнеденко [б]. Он показал, что предельные распределения для максимального члена вариационного ряда в случав одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин, т.е. / ч предел функций распределения У С » ЭД® и ^ есть соответствующим образом выбранные действительные постоянные, могут принадлежать только к одному из трех типов

Л О*.) = ехр^-еосрС-х));

0 , ъйО,

G эсЬ (- X ^ х>0; ехр(-|ос| ) , то, = , п ф»=

1де ol - некоторая положительная константа, либо являться не собственным законом. Гнеденко Б.В. были найдены также области притяжения функций распределения к указанным трем типам, причем найдены необходимые и достаточные условия принадлежности функции распределения к области притяжения функции распределения Л 0й) » области притяжения Ф^С*) ^^ найдены в абстрактной форме. Л.Хааном [6] найдены необходимые и достаточные условия для принадлежности функции распределения 5f(p&) к областям притяжения функции ~\jr (эс) и (х)

Предельные распределения порядковых статистик также изучались

Смирновым Н.В. В работе [7] были исследованы предельные распреjfделения величин •§ ^ к и области их притяжения в случае

Sim К'К ^ = р,ОФ^а коэда К1 и К, постоянные. Случай Аг-^оо 1 < г 1 оо при гь оо , кМг-^О, исследован в работе [81

Чибисовым Д.П. Доказано, что собственные предельные распределения для величин при уг-^оо и К , удовлетворяющем некоторому условию, могут принадлежать только к одному из трех типов: Г о , х.40 $ ГфС-И^Ц),*^

G"3(oc)= <Р(ос.) . Где ♦ (р(зе) - функция распределения стандартного нормального закона. Доказаны также условия принадлежности функции распределения к областям притяжения бг^ f Crz у Сг3 .

В книге Д.Галамбоса [э] соединены вместе и дополнены результаты, связанные с предельными распределениями порядковых?, статистик. Приведены оценка скорости сходимости функции распределения максимального члена вариационного ряда к предельной, ряд теорем, связывающих сходимость функций распределения членов вариационного ряда и сходимость функций распределения сумм взаимно независимых случайных величин.

Интересный метод построения теории вариационных рядов был предложен Реньи А. \lo"\ . Исходя из факта, отмеченного А.Н.Колмогоровым [п], что последовательность членов вариационного ряда образует аддитивную Марковскую цепь, предложено изучение членов вариационного ряда свести к изучению суммы взаимно независамых случайных величин.

Используя этот подход, известные теоремы для порядковых статистик могут быть получены достаточно просто.

Связь между сходимостью функций распределения сумм взаимно независимых случайных величин и функций распределения максимального члена вариационного ряда была отмечена Б.В.Гнеденко [12*] : было доказано, что нормирующие множители 8И для функции рас

ГЬ гь пределения сумм И. и функций распределения максимальных членов т>сь<х, и (■§Ц могут быть выбраны одинаковыми, если -функция распределения случайной величины - принадлежит области притяжения устойчивого закона: с характеристическим показателем ol=2 .

Свойства, присущие одновременно и последовательности функций распределения сумм,независимых в каждой сумме случайных величин, и последовательностям функций распределения минимального и максимального членов вариационного ряда, изучены в работе [l3] Кругловым В.М. Ранее эта связь была изучена М.Яоэвым ( [и] стр. 329) в случае схемы серий в предположении равномерной предельной малости слагаемых.

Другие работы, связанные с изучением порядковых статистик, освещают проблему с другой стороны. В работах Егорова В.А. и Невзорова В.Б. изучаются распределения линейных комбинаций порядковых статистик [15] , а также распределения индуцированных порядковых статистик [1б] , [l7] , где под индуцированными порядковыми статистиками понимаются взаимно независимые одинаково распределенные случайные величины -g 1, * 9 доченные по возрастанию $ С"?О » где некоторая функция.

Во второй главе изучаются предельные распределения функционалов от суш

Зил.58 + , , где слагаемые •5И1 п -независимые случайные величины. Нас интересуют следующие пределы

0.1) fc/rt Р( lYVCloa I iSufal^a^,

0.2)

0.3)

В том случае, когда слагаемые ^ имеют одинаковое распределение и конечный третий момент, первый предел был вычислен А.Валь-дом [18] , [l9] и К.Л.Чжуном [20]. Независимость указанных вероятностей от функции распределения слагаемого ^^ была доказана М.Кацем [21] (так называемый принцип инвариантности). Предельное распределение (0.2) и (0.3) было доказано П.Ердешем и Кацем М. [22] в предположении взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым "средним и дисперсией равной единице, (0.3) было получено в предположении х .В общем случае (0.3) впервые было выписано А.Вальдом [1в]. Обобщение на случай, когда среднее отлично от нуля, а дисперсия от I, даны А.Вальдом [l8] , [23] .

Попытка обобщения результатов на случай бесконечного второго момента сделана М.Кацем и П.Поллардом [24] . Для случайных величин ^^ , имеющих функцию распределения Коши, получено интегральное уравнение относительно предельной вероятности (0.1).

В предположениях, что случайные величины удовлетворяют условию Линденберга, т.е. М $ni~0,

К* д krrt ов. £ равенства (0.1)-(0.3) получены Реньд А. [ю] .

С другой стороны эту проблему рассматривали Д.А.Дарлинг и П.Ердеш [25] . Они рассматривала предельное распределение максимума, следующим образом нормированных частичных сумм при следующих предположениях: случайные величины независимы с математическим ожиданием равным нулю а дисперсией равной I, с равномерно ограниченным третьим моментом. Некоторые интересные результаты в случае, когда > ^^уг принадлежат области притяжения некоторых устойчивых законов, получены Д.А.Дар-лингом [26 ] и К.К.Хейди [27] ; в частности, для Уг YvUbco. выписана предельная плотность распределения. Обобщением результатов Д.А.Дарлинга является работа Невзорова Б.В. \2В] . Отличительной чертой перечисленных выше результатов являются требования конечности моментов определенного порядка у случайных величин.

Остановимся на кратком изложении содержания диссертации.

Пусть дана последовательность серий

Хкч, Хна, . , Хкгьг^ независимых в каждой серии случайных величин.

Образуем последовательность сумм

Хц,- Хм + • • • -V- + , (0.5)

1дв Ct^ некоторые вещественные числа, lru =1, 2,., и вариационный ряд

Хм 4 . (0.6)

Обозначим S^faO, Wni С^) Функции распределения случайных величин Х^, XkiL соответственно.

В первой главе мы изучаем связь между асимптотическим поведенаем распределений суш и асимптотическим поведением распределений порядковых статистик. Первый параграф содержит подготовительные результаты.

Следующие три теоремы представляют собой основные результаты второго параграфа.

Теорема 2.1. Пусть дана последовательность серий (0.4), независимых в каждой серии, равномерно предельно малых случайных величин. Для того чтобы при некотором выборе чисел ^Z,., последовательность функций распределения {%,) суш (0.5) Д - сходилась к безгранично делимой функции распределения ff- jf, 3 Z, М, /V] » необходимой достаточно, чтобы

I. для любого натурального числа £ и каждой точки непрерывности функций М и Д/ выполнялись равенства:

Р-1 , ,

1-е (l*£fi(МЦ)> j-M' i, х- Ъ 0 , суп cF. л (ос)

О , х к0 ,

ЛК*0/ HL .Is

14,

2. Fern, fenw Zi\

0 jM \x\ig 1 4 ^ ' / yy^

5*0 J4 S 4 i

- 10

3. dfi можно выбрать в виде

KW г-К \ot\it где t>o чдсло, такое, что функции Ми N непрерывны в точках -Т и +Г соответственно, и L

-г

- Oo t

В качестве частного случая эта теорема содержит теорему М.Лоэва [.14], известную под названием экстремального критерия. Следующая теорема представляет собой аналог известной теоремы Хинчина [29] .

Теорема 2.2. Пусть дана последовательность серий (0.4) равномерно предельно малых и независимых в каждой серии случайных величин. Предположим, что при некотором выборе чисел (X ^ э 1г = 1,2,., последовательность функций распределения ^ЗЦ суш т.

Vu

Д - сходится к некоторой безгранично делимой функции распределения -Г^З-^^э&^М^Л/] • Для того чтобы функция распределения J была нормальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения: для любого натурального I и любого ё>0 ь» 3r*L-i) - о , 1м. CO'i

В части достаточности условие:"для любого натурального i " можно заменить условием:"для некоторого натурального I

Обозначим = С (4,90 - центр случайной величины f (функции распределения У ).

Теорема 2.3. Пусть дана невырожденная функция распределения У , характеристическая функция которой нигде не обращается в нуль. Предположим, что С(*С, = ^ > & - {>2.,— , при некотором t>0 . Для того, чтобы tim, необходимо и достаточно выполнений, условий:

I) существует такая последовательность наборов функций распределения ( Сги.ь . ? It* 4,2,., что h,-=>oo ДМ ~oo

3) для любого фиксированного натурального числа 2 n х / —^(Мп) ч

1де функции распределения ч Ст Ч С* построены с использованием последовательности наборов, фигурирующих в первом условии.

В часта достаточности требование "для любого натурального числа 2 " можно заменить на требование "при некотором натуральном £ "♦

Описание множества и rL дается в тексте диссертации.

Эта теорема в частности, содержит в себе теорему Круглова [13] , теорема 3.1.

В третьем параграфе изучается связь между асимптотическим поведением функций распределения сумм и асимптотическим поведением функций распределения центральных порядковых статистик, ч под последними мы понимаем порядковые статистики •§ rtl 0 номерами 2 , удовлетворяющими условию lint 4г = Р > 0 (0-7) уь -^со Шуь 1 1

Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 3.1. Пусть дана последовательность серий (0.4) равномерно предельно малых независимых и одинаково распределенных в каждой серии случайных величин. Для того чтобы при некотором выборе чисел (X ц , /ь- ^2,,., последовательность распределений СУММ уу^

- сходилась к безгранично делимой функции распределения У= JTf Jo Ъ%, М Р N ] , необходимо и достаточно выполнение условий:

I) для любой последовательности натуральных чисел <[ t(n)Jj ,> удовлетворяющих условию (0.7), справедливы равенства

Am. tnK {Ул10дС*)) = С(Р) мО), ; \ '/(т.-РЙ

Л< оо в каждой точке непрерывности функций Mi**) и ;

2) есп, еы $ хм ад - U * )1

-=>0 jaiKg \х\г.ъ fcm iau. - \ ^чЙ'УЙ"

3) числа Ybz^z,. у можно взять следующими

1де -положительное число такое, что -V и +7Г есть точки непрерывности функций /Ч и /V ,

-X о

-1 тгх^мНЛ оо tr

В части достаточности требование "для любой последовательности ^ " можно заменить на условие "для некоторой последовательности { 1Ы)) ".

В диссертации имеется теорема 3.2, являющаяся обобщением теоремы 3.1 на случай разнораспределенных случайных величин. Обозначим среднюю арифметическую функций распределения случайных величин, входящих в гь-ую серию (0.4).

Теорема 3.3. Пусть дана последовательность серий (0.4) равномерно предельно малых и независимых в каждой серии случайных величин. Предположим, что при некотором выборе чисел ft - , последовательность функции распределения{J суш

- сходится к некоторой безгранично делимой функции распределения

Для того, чтобы предельная функция распределения была нормальной, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности натуральных чисел { £(&)) , удовлетворяющей условию (0.7), выполнялись соотношения

Четвертый параграф посвящен сходимости моментов сумм независимых случайных величин. Особое внимание уделялось условиям сходимости моментов в терминах порядковых статистик.

Пусть функция эс. G удовлетворяет условиям

1) для любых G й^ и некоторого числа

2) Ltzf $ (ос) >0.

Теорема 4.2. Пусть дана последовательность серий (0.4) независимых в каждой серии равномерно предельно малых случайных величин. Предположим, что последовательность функций распределения

1СЗЯ) сумм ^

J\ - сходится к безгранично делимой функции распределения Т- ЗГ[){Лг? М,Д/]. Предположим, что величины /If J6J 4 тк ? » конечны, где Lf> q Qfy . Для того чтобы

- 15 оо ОО и 5 ^ (х) d ад = \ d> ъ-"* оо оо -оо необходимо и достаточно, чтобы дяя любого натурального с выполнялась условия:

К^ОО Л/ — оо

•^>00 fv' £ WP^IM

В часта достаточности требование "для любого натурального числа I " можно заменить на требование "при некотором натуральном t

Эта теорема содержит в себе как частный случай теорему Круглова [13] , теорема 4.2.

Необходимые и достаточные условия сходимости моментов сумм, выраженные через моменты средних порядковых статистик, предлагает

Теорема 4.3. Пусть дана последовательность серий (0,4) независимых в каждой серии, равномерно предельно малых случайных величин. Пусть также дана функция $ G77L такая, что она не возрастает на ( - ©о , о)и не убывает на (0, + оо ).

Предположим, что последовательность функций распределения

- сходится к безгранично делимой функции распределения и величины МУ(Ц) , ^J^d.^U,., конечны. Для того, чтобы оо <>Р

00 —ОО необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия чА/есп) оо rV — оо оо ^ {—— к> для любой последовательности натуральных чисел {£(/1)} * удовлетворяющей условию (0.7).

В части достаточности условие "для любой последовательности IР&)} " можно заменить условием для "некоторой последовательности

Пятый параграф посвящен глобальным предельным теоремам. Прежде чем сформулировать основные результаты этого параграфа, дадим определение средней метрики.

Каждой неубывающей ограниченной функции /0*0, x^R^, поставим в соответствие функцию = (^0 при оа>о и -f (ос) = J?(cc) при ее ^ О . Пусть даны функции $ и (fr- из специальных классов (их описание дано в тексте диссертации) функций и две функции распределения £ й

Gr такие, что

00 — —

S 4 (эч4J * и и (<к4 гс*>

- ОО ~ ОО Р конечны.

Назовем расстоянием ^ между У й Q величину

СгЫ) ^с»)

Теорема 5.2. Пусть дана последовательность серий (0.4) независимых в каждой серии равномерно предельно малых случайных величин. Для того чтобы последовательность функций распределения оумм т.* - сходилась к безгранично делимой функции распределения необходимо и достаточно, чтобы:

2) для каждого натурального числа i выполнялось соотношение:

В части достаточности требование "для любого натурального 2 " можно заменить условием "для некоторого натурального £ ".

Эта теорема, в частности, содержит в себе теорему Круглова [13] , теорема 5.3.

При формулировке теоремы 5.3 будем пользоваться функциями , определенными в (0.8).

Теорема 5.3. Пусть дана последовательность серий (0.4) независимых в каждой серии равномерно предельно малых случайных величин. Для того чтобы последовательность функций распределения Lсумм

PltL

- сходилась к безгранично делимой функции распределения необходимо и достаточно, чтобы

П-^оо для любой последовательности натуральных чисел [ 2(п)] удовлетворяющих условию (0.7).

В части достаточности условие "для любой последовательности I PC11)} " можно заменить условием "для некоторой последовательности { И(п)) «.

В шестом параграфе мы кратко сравниваем некоторые из результатов диссертации с цитированными выше результатами Б.В.Гнеденко и Н.В.Смирнова. Доказательство следующих теорем составляет содержание параграфа.

Пусть £ - фиксированное целое, тогда справедлива Теорема 6.1. Для того, чтобы последовательности функций распределения и ( ^Ttbtri^t+J) А -сходились, необходимо и достаточно, чтобы существовали функции ot ,6) и Л/(х) , х. G (о, оо) ; такие, что etnv Л И (л), Х40 ; ictrv j = < d Н^оо j-* О в каждой точке непрерывности функций М и А/ Предельные функций для последовательностей f и / Т* л }

J ну J I &пmfrt+U имеют вид <{ ar< J

О, х 40 , л/с*), м . , чК

Пусть I Р(п)} такова, что выполнено i ^ m . г i , тогда справедлива оо

Теорема 6.2. Последовательность функций распределения^^) А - сходится к вырожденной функции распределения с, ч [О, НО,

Во второй главе мы изучаем асимптотическое поведение распределений (ОЛ)-(О.З). Наши результаты представляют собой обобщения соответствующих результатов А.Реньи [icQ на случай, когда случайные величины не имеют моментов. Основные результаты второй главы составляют следующие две теоремы. Следует специально подчеркнуть, что при нашем подходе принципиальную роль играет понятие центра Золотарева. Определение центра дано в первом параграфе первой главы. гпд.

Пусть дана последовательность суш ?уь-К} независимых в каждой сумме случайных величин, ^удем предполагать, что слагаемые удовлетворяют условию равномерной предельной малости. Обозначим у

Теорема 2.1. Бели г

Jb. - - Ш для каддого cxi G Q ^ , тогда для любого положительного числа t найдется натуральное число такое, что центры

С ("С, frtj') > ^ - ^ - ^vu , Yb^N, существуют, и выполняются равенства:

Pcnv р( Y^Oucd & < ог.) =

0.9) ос ULL

•>/| * d К, . & >0

Ст. =

1 О, ОС ±0; оо 1 - &

Г . оо , ЛУС

4 Г с-о а —Т^ v.

0.10) с* К-у

ОО 0 i^tim^ 3 о аК+рУ'

V КМ) а О

7 сс^О ила

0.11)

Фиксируем число Л ; 0 ^ А ^ 4 > и определим последовательность натуральных чисел { K^J , tn,^ 9 к- Л2,.-- , удовлетворяющих условию спъ ZL & = Л ,

П** оо ^ d аде а 00 £

Теорема 2.2. ест р( ^^ \ = оо

- г

К-0

С-0К "

ZM ^ оо

О - VF S е сс>Г* л £AZ ' - о

На утверждения из теорем 2.1 и 2.2 можно смотреть как на обобщение теорем об асимптотическом поведении для распределений порядковых статистик, построенных по зависимым случайным величинам.

Результаты диссертации докладывались на кафедре математической статистики факультета B/IK МГУ; на семинаре по избранным вопросам теории вероятностей, руководимым профессорами В.М.Золотаревым, В.В.Калашниковым и В.М.Кругловым; на Пермской конференции по применению статистических методов в производстве я управлении.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах £30j и [31] .

Большинство постановок рассмотренных в диссертации задач принадлежит профессору Круглову В.М., которому автор выражает свою глубокую благодарность за оказанное им внимание.

1. S^tecloi Л. <4ил- la, toi do. pwHaAltite. cfe teca/ci Уп/Оуосбпыът, 3 - Ct yiyi. Soc. Votoyi. lUocttt.^^^.^pp^-UG.

2. Смирнов H.H. Предельные законы распределения для членов вариационного ряда. В кн.: Тр.Матем. ин-та им.В.А.Стеклова,1949г., вып.25 с. 1-60.

3. Чибисов Д.П. О предельных распределениях для членов вариационного ряда. Теория вероятностей и ее применение, 1964г., т.9, J§ I, с.159-165.9* Г. JJie, Tkeot^ Ц £x.item,e СМеъSicdtituis , Kew-Yc^ : Wf Ц 357.

4. R^vuil ft,. On itaeo'fcj! oj (Ыа УПссЫ.Uol. ScI.Hau^., iW^Ko^VvvO^OtOV a. N. Acedia. ^fcvpi'bcCOstutuioJHaBocuvo d OfivuudxL, <933^.,V1!, л/1,

5. Гнеденко Б.Б. О роли максимального слагаемого при суммировании независимых случайных величин. Украинский математический журнал, 1953г., т.5, В 3, с.291-298

6. Круглов В.М. Суша и вариационный ряд независимых случайных величин. Теория вероятностей и ее применение, 1979 г., т.24, В 4, с.710-727.•14. Лоэв М. Теория вероятностей, М.: ИЛ, 1962г. 719 с.

7. Егоров В.А., Невзоров В.Б. Некоторые теоремы для индуцированных порядковых статистик. Теория вероятностей и ее применение, 1982 г., т.27, В 3, с.592-599

8. CV/ULVU^ (Xstj^toiu. ctisX^uiioyb UiftVrNj/KlflULUn, dUyьихХсибСо^ frf etvbЪсиъоСонь 'TrOs^tLaJs&S. E>U £1, Gbrner. PboaUih. £>ocl. }9^., v.M, А/ 3, pj>4<6£~U70- 133

9. Кал Л. Ok,IU avetoude of CL ce^oiln, гооек-ег ^yicLCoru^r1.iatk v 5"9, л/3, ppЧО^-ЧЛЧ22. p., Kct6 Д. О Л/ а ewtctcK. fcmi/t 'fclteo'tem* oj•Ubeikecruj oj <9M6vi.,292. 10%

10. Невзоров Б.В. Некоторые предельные законы для максимума последовательных сумм. - Вторая Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс 28 июня3 июля 1977 г.: Тезисы докл. Вильнюс, 1977 г.,т.2, с.79-80

11. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.П. Предельные распределения для суш независимых случайных величин. М.-Л: Гостехаздат, 1949 г. - 264 с.

12. Новикова Е.А. Предельные распределения для членов вариационного ряда. Вестник Моск.ун-та, сер.15, Выч.матем, и кибернетика, 1982г., й 4, с.33-38.

13. Линник Ю.В. Разложения вероятностных законов. Л: ЛГУ, I960 г., - 264 с.

14. K'wcjfer JU. 'WzafL Соп/Tr^^vee oj oLiit^tiiu^Oon jftycUKolzfxLrtolztd -d^a-ce troMce^ taM/tom, -bQAicdhr.Sfei.nurtk. /Wo , v 33-4V

15. Золотарев B.M. Обобщение теоремы Линденберга-Феллера. Теория вероятностей и ее применение, 1967 г., т.12, JS 4, с.666-677

16. Круглов В.М. Сходимость числовых характеристик сума независимых случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве. Теория вероятностей и ее применение, 1973г., т.18, IS 4, с.734-752.

17. Круглов В.М. Глобальные предельные теоремы. Записки научных семинаров ЛОШ, 1976 г., т.61, с.84-101

18. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. -М.: Наука, 1977 г. 351 с.

19. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1-972 г. - 414 с.