Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами случайной длины тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

§ 1. О методе доказательства

§2. Квантили биномиального распределения

§3. Асимптотика вероятности р(т,г) в случае а/1пЛГ->со

§4. Распределение максимальных членов вариационного ряда ^ ] в случае а!\пИ -» оо

§5. Распределение максимальных членов вариационного ряда ^ в случае а/ЫЫ -> х

§6. Распределение максимальных членов вариационного ряда ^ в случае а!Ъ.Ы ->

Глава И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МИНИМАЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ

ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

§1. О методе доказательства

§2. Квантили биномиального распределения

§3. Асимптотика вероятностир(т,г) в случае аПпИ -> оо

§4. Распределение минимальных членов вариационного ряда ^ в случае а!Ъ.Ы -> со

§5. Распределение минимальных членов вариационного ряда ^ в случае а/ХпЫ -» х

За последние шестьдесят лет в исследованиях по теории вероятностей заметное место занимают вероятностные задачи комбинаторного характера. Одним из интенсивно развивающихся направлений таких исследований является изучение различных схем размещения частиц по ячейкам (см., например, [4.1]).

В настоящей работе рассматривается равновероятная схема размещения частиц комплектами: п комплектов по частиц (размеры комплектов являются независимыми копиями целочисленной случайной величины принимающей значения от I до Г) независимо друг от друга (Ь<Ы) размещаются в N ячейках, частицы одного комплекта размещаются в ячейках по одной, причем все возможных размещений частиц ]-го комплекта равновероятны. Обозначим /7,- число частиц в ячейке с номером после размещения п комплектов частиц. Располагая в неубывающем порядке величины т]„, построим их вариационный ряд т](1) <. < т]т.

Диссертация посвящена изучению предельного распределения крайних членов вариационного ряда т](Мт+1) и т](т) для любого фиксированного целого т > 1 при и,N-»00, аПпИ-ьх, 0 < я: < от,-» р, 0<р< —, где а- ^ среднее число частиц в ячейке, при выполнении для любого целого неотрицательного к дополнительного условия следующего вида на концентрацию распределения размера комплекта:

Щ)к (Е£)к N где (а)к = а{а - 1).(а - к +1).

При Р{% = 1} = 1 изучаемая схема представляет собой равновероятную схему размещения частиц по ячейкам, за которой утвердилось название классической [4.2].

Изучение вариационного ряда в классической схеме начато

И.И.Викторовой и Б.А.Севастьяновым [5.1] и [5.2], а подробное исследование всех членов вариационного ряда в этой же схеме в случае, когда п/Ы1пЫ стремится к постоянной величине, проведено Г.И.Ивченко [5.5]. В этих работах исследование вариационного ряда сводится к изучению методом моментов асимптотического поведения случайных величин

МГ+, (и, #)+. +//„(/!,#), где цк (и, АО - число ячеек, содержащих ровно к частиц, к= 0,1,. .,г.

В.Ф.Колчиным [5.10] для изучения классической схемы размещения частиц, и в том числе для изучения членов вариационного ряда, предложен другой подход, опирающийся на представление полиномиального распределения заполнении ячеек 77,77^ в виде условного распределения распределённых по закону Пуассона независимых случайных величин при условии, что их сумма равна п.

Поведение членов вариационного ряда в равновероятной схеме размещения частиц комплектами при п,Ыда и фиксированном размере комплектов изучено Е.Р. Хакимуллиным [5.19], при фиксированном п оно изучено С.Ю. Теребулиным [5.17].

Схема со случайным размером комплектов рассматривалась ранее Г.И. Ивченко [5.9], Т.М. Селке [5.28], Е.Р. Хакимуллиным и Н.Ю. Энатской [5.21].В этих работах изучались характеристики, связанные со временем ожидания до заполнения всех или почти всех ячеек.

Многие характеристики в равновероятной схеме размещения частиц комплектами случайной длииы могут быть интерпретированы в терминах случайных гиперграфов с кратными гранями. Гиперграфом называется система

Г = {Аг;А,,.,Ат}, где Х- конечное множество, элементы которого называются вершинами, А] -подмножества X, называемые гранями; каждое А. содержит не менее двух вершин,у=1,.,т. Говорят, что через вершину хеХ проходит грань Л], если хеЛг Число граней, проходящих через вершину х, называется степенью или кратностью вершины х.

Если число вершин в каждой грани равно s, то гиперграф называется s -графом, 2 - графы - это обычные графы.

Рассматриваемой в диссертации схеме размещения частиц комплектами соответствуют случайные s - графы с кратными гранями без петель. В дипломной работе изучается вариационный ряд степеней вершин таких s -графов. Обычно изучаются гиперграфы без кратных граней. Некоторые вопроса строения вариационного ряда степеней вершин обычных графов рассмотрены в статьях А. Эрдеша, и А. Реньи [5.24], [5.25], В.Е. Степанова [5.16], Г.И. Ивченко [5.7], H.H. Нурмеева [5.13], Е.Р. Хакимуллина [5.18].

Для изучения характеристик классической схемы размещения частиц применялись различные асимптотические методы теории вероятностей: метод моментов, метод перевала, метод сведения к суммам независимых случайных величин, метод оценки нулей производящей функции и другие. Многие из этих методов опираются на наличие простых выражений для производящих функций изучаемых характеристик. Для схемы размещения частиц комплектами отсутствие простых выражений для производящих функций ограничивает возможность применения перечисленных методов. В схеме размещения частиц комплектами нашли применений лишь метод моментов и метод "сопровождающих схем", предложенный Б.А.Севастьяновым. [5.14].

В диссертации распределение крайних членов вариационного ряда изучается методом моментов, при этом для исследования факториальных моментов приходится оценивать вероятности больших уклонении для суммы независимых векторов, компоненты которых принимают значения 0 и 1.

Обозначим - случайные величины, равные числу ячеек с более чем г частицами и не более чем г частицами соответственно.

В силу соотношений р\г]{т)<г)=р%>т\ основным при исследовании асимптотического поведения крайних членов вариационного ряда являются утверждения о сходимости распределений к распределению Пуассона при различных соотношениях между параметрами исследуемой схемы. Основное отличие от используемых ранее приемов при исследовании факториальных моментов заключается в использовании интегрального представления для этих моментов через производящую функцию совместного распределения . )

Производящая функция совместного распределения (//, .т]и) используется для оценки факториального момента порядка к и при изучении равновероятной схемы размещения частиц комплектами применяется в диссертации Хакимуллина Е.Р. [5.20]

Распределение случайных величин т](1).т](Ы) в схеме размещения частиц комплектами зависит от параметров схемы: числа ячеек >1, числа комплектов п и размера каждого комплекта .

Приведем таблицу, исчерпывающе описывающую поведения параметров.

Для максимальных членов

Поведение параметра аПпЫ Поведение параметра 1N и номер теоремы, соответствующий данному случаю а!\пИ -> оо Nр,0< р<\!2 Теорема 1.1 а --> X 0 Е£!И р,0<р< 1/2 х > -р/ 1п р х = —р Ни. р х<-р!Ъ.р

Теорема 1.2 Теорема 1.3 Теорема 1.4 Теорема 1.5 а ->0 р,0 < р <1/2

Теорема 1.6 Теорема 1.7

Для минимальных членов а/ЫЫ -> оо р,0<р<\/2 Теорема 2.1 а Е%! N 0 р,0<р<\!2

--> X х > 1 Теорема 2.2 х = 1 Теорема 2.6 х < 1 Теорема2.7 х > —р / 1п(1 — р) Теорема 2.3 х = —р / 1п(1 — р) Теорема 2.4 х < —/ 1п(1 — р) Теорема 2.5

Для каждого случая поведения параметров в таблице указана теорема, описывающая поведение членов вариационного ряда. При этом первый индекс в номере теоремы обозначает номер главы, а второй - номер теоремы, доказанной в этой главе, для указываемого случая соотношения между параметрами схемы.

В первой главе исследуются предельные распределения максимальных членов т]{Кт+Х) вариационного ряда, т>\- фиксированное целое число. Для удобства дальнейшего изложения и сравнения полученных результатов с известными, приведем соответствующие теоремы, полученные в классической схеме (Р{% = 1} = 1). Обозначим

Лк к\ а=—-, N

- среднее число частиц в ячейке.

Предельное поведение 7(ЛГт+^ в классической схеме описывается следующими тремя теоремами.

Теорема 0.1. Если п,Ы,а/ 1пЫ-> со, то для любого фиксированного г

Щы-т+1) -а-сш{а '(ln7V-2 1 lnlniv))

4" S z т-1 . .

->2>*И к=0 а/гХпЫ 2 где и(м>) - положительная функция, заданная в интервале 0<м><оо уравнением -м + (1 + м)1п(1 + м) = ж (3)

Теорема 0.2. Если ->со,а1\пЫ->х, и последовательность г = г{а,И) выбрана так, что г > а,Ы7гг{а) -» Л, где Л, х- положительная постоянная, то

-г

1=0 i ( л7

1 -г где к- любое фиксированное целое число и / корень уравнения у+х(Ыу - у + 1) = 0 (4) в интервале 0 < у < 1.

Теорема 0.3. Если n,N->co,a/lnN->0, и последовательность г = r(a,N) выбрана так, что г > a, Nnr (а) -» Л, где Л - положительная постоянная, то к=О к=0 1 т~1 ='■}-> 1-2>*(4

Как и в классической схеме, в схеме размещения частиц комплектами вид предельного распределения максимальных членов зависит от поведения параметра а/\пЫ.

Если а/ ->оо, то при соответствующей нормировке и центрировке максимальные члены вариационного ряда имеют в пределе распределения, обладающие плотностью дважды экспоненциального типа (теорема 1.1.)

Если а/\пЫ->х,х>0, то предельное распределение т]{Ыт+Х) сосредоточено в счетном числе точек и разброс этого распределения растет с ростом х. При этом в случае N^ р,0< р<\/2 на параметр х накладывается дополнительное ограничение х>-р/\пр. Этому случаю соответствуют теоремы 1.2 и 1.3.

В случаях распределение т](Ыт+1) сосредоточено асимптотически в одной или двух точках. Этим случаям соответствуют теоремы 1.4.-1.7.

Следующие 7 теорем доказаны в главе I и описывают предельные распределения максимальных членов в схеме размещения частиц комплектами. Обозначим

Теорема 1.1. Если п,Ы,а/\пЫ -^оо, Е^/И р, 0 < < 1/2, выполнено условие (*), то для любого фиксированного х

-а-оси а

-1

1пЛГ-2-' 1п 1п7/),——

-—+ ->2>Де Ь

-2- \ 2\пЫ к=0 где и(м>,а) - положительная функция, задаваемая в интервале 0<м><оо уравнением

1 + и)1п(1 + и)+—(1-аы)1п(1-аи) = у>,а > 0,иа < 1. (5) а

Теорема 1.2. Пусть п,Ы -» со,а!\пЫ -> х,Е^/Ы 0, выполнено условие (*) и последовательность г = г(а,Ы) выбрана так, что г>а,Ш> г,п, а N

->Л, где Л, х - положительные постоянные. Тогда для любого фиксированного целого к = 0,±1,±2.,

1 \

- т-1 / ук+1

1-0 V А — / где у корень уравнения (4) в интервале 0 < у < 1.

Теорема 1.3. Пусть п,Ы -»со,а!\пЫ -> х,Е%/Ы р, выполнено условие (*) и последовательность г = г(а,Ы) выбрана так, что где Л, х, р - положительные постоянные 0 </><1/2, х>-р/\пр. Тогда для любого фиксированного целого к = 0,±1,±2.,

6)

0 , \-pyi-p \ где р корень уравнения рр + х{р\пр-{р-р)\ъ{р-р)-{р-р)\п{\-р)) = 0 в интервале р<Р< 1.

Теорема 1.4. Пусть п,Ы -> со,а!\пЫ -» х,Е%/Ы -> , выполнено условие (*) и последовательность г = г (а, И) выбрана так, что г>а,т(г,п,^-)->Л, где Л, х,р- положительные постоянные 0<р<\/2, х = -р/\пр. Тогда m-1 k=0 П-> 1 - £к к Mk=0

Теорема 1.5. Пусть п,И -» оо,а/1п7/ N р, выполнено условие (*) и последовательность г = г (а,И) выбрана так, что r>a,Nb\ г,п,-{ N где Л, х, р - положительные постоянные 0<р< 1/2, х< —/?/1п/>. Тогда для любого фиксированного т > 1 ](Ы.т+1) = «}-> 1.

Теорема 1.6. Пусть -> оо,а/1п^У -» -> 0, выполнено условие (*) и последовательность г = г{а,Щ выбрана так, что

Г ЕВЛ { N

-> Л, где Л положительная постоянная. Тогда т-1

П»7(*-„+1) = г - Ц -> пк (Л), к=О к=О

Теорема 1.7. Пусть ->оо,а/1пМ р, 0<р<1/2, выполнено условие (*). Тогда для любого фиксированного т > 1 Р{т]^.т+1) = и} —> 1.

В классической схеме распределение минимальных членов описывается следующими четырьмя теоремами.

Теорема 0.4. Если -» аз,а!\пИ -»со, то для любого фиксированного г w)-«-m{«"1(ln^-2-1lnlniv)) 1п4лг <" т-1 к=0 т-1 . .

V«/21n7V 2 где v(w) - отрицательная функция на отрезке 0 < w < 1 задаваемая уравнением

-v + (l + v)ln(l + v) = w. Теорема 0.5. Если n,N co,a/\nN х>1 последовательность г = r(a,N) выбрана так, что г <a,N7rr(a)-^ Л где А, х - положительные постоянные, то где у корень уравнения (4) в интервале 1 < у < со.

Теорема 0.6. Если п,Ы-»оо,а/1п// ->1 и последовательность г = г(а,Ы) выбрана так, что г <а,Мяг(а)-> Л где Я - положительная постоянная, то

Во второй главе исследуются предельные распределения минимальных членов вариационного ряда в равновероятной схеме размещения частиц комплектами. Как и в классической схеме, в схеме размещения частиц комплектами вид предельного распределения зависит от поведения параметра а/\пЫ. Минимальные члены г](т) ведут себя аналогично максимальным

77(ла-ш+1) пРи фиксированном т. Если al\nN -><х>, то при соответствующей центрировке и нормировке минимальные члены вариационного ряда имеют в пределе распределения, обладающие плотностью дважды экспоненциального типа.

Если а!Ъ.Ы -»х, то при 0 критическим для г]{т) является значениелс=1, а при р,0<р <1/2,я: = -р/1п(1-/?).

Если х>1,Е%/N 0,(х> -р/Ы(1- р),Е£/И р,0< р<1/2), то распределение т](т) сосредоточено в счетном числе точек (теоремы 2.2,2.3).

Если ININ -» р,0 < <1/2), то при х<1,(х<-р/Ы(1-р)) предельные распределения сосредоточены в одной или двух точках. Эти случаи описываются теоремами 2.4 - 2.7.

Сформулируем доказанные во второй главе теоремы, описывающие т-1

4=0 т-1

Теорема 0.7. Если п,Ы -><х>,Ые а ->оо, то Р\р{т) =о}-»1. предельные распределения минимальных членов т](т) вариационного ряда в равновероятной схеме размещения частиц комплектами.

Теорема 2.1. Если п,И,а!\пЫ->со,Е%/N ^ р, 0<р<\/2, выполнено условие (*), то для любого фиксированного г щт)-а-ау ( рр Л

1п4/г -2 ^ -> т~ 1 . . 0 где \(уе,а) - отрицательная функция, задаваемая на отрезке 0<м><1 уравнением

1 + у)1п(1 + у)+—(1-ау)1п(1-ау) = м>, а > 0,|у|а <1. а

Теорема 2.2 Пусть и,^-»оо,а/1п]У->0, выполнено условие (*) и последовательность г = г(а,Ы) выбрана так, что г < а, Щ г,п,N где Л х - положительные постоянные: х>1. Тогда для любого фиксированного целого к, 0 Г

X У-К где у корень уравнения (4) в интервале 1 < у < со.

Теорема 2.3. Пусть п,Ы со,а/ЫЫ -> х,Е^/N -> р, выполнено условие (*) и последовательность г = г(а,Ы) выбрана так, что г <а,ИЬ\ г,п, К N где А, р, х - положительные постоянные: Ос/? <1/2, х> -р/\п(1-р). Тогда для любого фиксированного целого к,

1=0 \1р -р (р -'VI

1 р -1 1«- -р) где ркорень уравнения (6) в интервале 1 </3 <со.

Теорема 2.4. Пусть п,Ы -> оо,а1\пИ -> х,Е%/И -> р, выполнено условие (*) и

13 последовательность г = r(a,N) выбрана так, что

-»А,

Ер г < а, Ш\ г,п, N. где Я, х, р - положительные постоянные 0< р< 1/2, х = -р! 1п(1 — р). Тогда

0 о

Теорема 2.5. Пусть и,ЛГ -» оо,а/\пЫ х,Е%/N р, выполнено условие (*) и последовательность г = г(а,Ы) выбрана так, что ' Е? г <a,Nb г,п,-N

-> À, где А, х, р - положительные постоянные 0 < р <1/2, х<-р! 1п(1 -р)Тогда для любого фиксированного т > 1: Р{щт) = о}-> 1.

Теорема 2.6. Пусть и,]У-»оо,а/1п.М-»1,££///-»0, выполнено условие (*) и последовательность г = г(а,Ы) выбрана так, что

N ) г <a,Nb где Я - положительная постоянная. Тогда m-1 к=О 0

Теорема 2.7. Пусть n,N -> со,a/\nNx<\,EÇ/N ->0, выполнено условие (*). Тогда для любого фиксированного m > 1 Р{т](т) = о} -> 1.

Как показано в заключении, при EÇ = o(N/\nN),a/lnN>c>0 и выполнено условие (*), не только параметры предельных распределений, указанных в теоремах 1.1-1.2 и 2.1- 2.2, но нормирующие и центрирующие последовательности совпадают с соответствующими нормирующими и центрирующими последовательностями, указанными в теоремах 0.1, 0.2, 0.3, 0.5. То есть, при EÇ = o(N/\nN),a/\nN>c>0 предельные распределения крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами зависят от величины комплекта только через параметр а = пЕ%1Ы и совпадают с соответствующими предельными распределениями для соответствующих крайних членов в классической схеме, если число размещаемых частиц в этой схеме совпадает с целой частью ЕЕ,.

Внутри каждой главы нумерация соотношений сквозная. Например, на соотношение (2) из главы I мы будем ссылаться как на соотношение (2) в главе I и как на соотношение (1.2) в другой главе. Аналогично на лемму I в главе I мы ссылаемся как на лемму I и как на лемму 1.1 в другой главе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализируем результаты, полученные в главах I и И, сравнив их с ранее известными для классической схемы [5.6, 5.10] и схемы размещения частиц комплектами фиксированной длины [5.20].

Заметим, что величина г удовлетворяет соотношению (1.5), представляет собой квантиль уровня 1 + о биномиального распределения с параметрами (п,Е%1К).

Разность таких квантилей биномиального распределения с параметрами пЕЕ п,Е%1Ы) и распределение Пуасона с параметрами есть

ЕЕ I

0{—ыа\пИ) (см.[5.8]). Поэтому при Е% = о(И ИпИ) в качестве N последовательности г можно взять последовательность квантилей тт пЕ% распределения Пуасона с параметрами а = , которая определяется из соотношения г = а + <хи(а4 (1п N- 2-11п 1п Щ + 4а1шЙ{х - 1п 44п + о(1)), где и(м>) - неотрицательная функция, задаваемая в интервале 0<м><а> уравнением

-м + (1 + «)1п(1 + и) = н'. (1)

Величина г удовлетворяет соотношению г = пЫ - 2~11п 1п N а + см

I « а

Ы-ЕV 2\пЫ е'х ( представляет собой квантиль уровня ~дГ + ° х - 1п + о(1)\ т \ 4 'г I биномиального N распределения с параметрами (п,Е%/Ы).

Разность таких квантилей биномиального распределения с параметрами пЕЕ п,Е%/Ы) и распределение Пуасона с параметрами « = —есть

ОР^л/аЬгТУ) (см.[5.8]). Поэтому при = о(И ИпЫ) в качестве N последовательности г можно взять последовательность квантилей распределения Пуасона с параметрами а=——■> которая определяется из соотношения г = а + ш(ах (1п N- 2"11п 1п #)) + V«/ 21пЫ(х - 1п 44л + о(1)), где и(м>) - неотрицательная функция, задаваемая в интервале 0<1 уравнением (1).

Таким образом, в условиях теоремы 1.1 и 1.2 асимптотическое поведение крайних членов вариационного ряда при = о(Ы/ 1пЫ) зависит от ЕЕ, только пЕЕ через параметр и, следовательно, при ЕЕ, = о(Ы/1пЫ) предельное распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами случайной длины £ совпадают с предельными распределениями соответствующих крайних членов вариационного ряда в классической схеме, если число размещаемых частиц в этой схеме совпадает с целой частью ЕЕ,.

Если а/ЫИ -> х,Е£ = о(Ы/1пЛГ), то как нетрудно показать (см., например,[5.8]), равномерно по к=0,1,.

Ъ(к,п,Е$1Ы) = як (а)( 1 + о(1)), к < а.

Поэтому в условиях теоремы 2.3 совпадают не только предельные распределения минимальных членов в схеме размещения частиц комплектами и классической схеме, но и центрирующие последовательности, если число размещаемых частиц в этой схеме совпадает с целой частью ЕЕ,.

В условиях теорем 2.1, 2.2 при Е% = о(Ы!\пЫ) нетрудно показать, что аналогичное утверждение справедливо и для максимальных членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами случайной длины £

Таким образом, при Е^ =о(7У/1п7У),а/1пЛГ>с>0 и выполнении условия (*), не только параметры предельных распределений, указанных в теоремах 1.1 - 1.3 и 2.1 - 2.3, но нормирующие и центрирующие последовательности совпадают с соответствующими нормирующими и центрирующими последовательностями, указанными в теоремах для классической схемы.

Остается заметить, что при выполнение условия (*) на концентрацию размера комплекта предельные распределения изучаемых случайных величин в точности совпадают с аналогичными в равновероятной схеме размещения частиц комплектами фиксированной длины, совпадающей с целой частью математического ожидания длины комплекта.

1. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Случайные размещения, М., Наука, 1976.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, М., Мир, 1967.1. Статьи

3. Викторова И.И., Севастьянов Б.А. О предельном поведении максимума в полиномиальной схеме, Математические заметки, I, № 3 (1967), 331338.

4. Викторова И.И. Об асимптотическом поведении максимума в равновероятной полиномиальной схеме, Математические заметки, 5, № 3 (1969), 305-316.

5. Иванов В.Л., Теребулин С.Ю. Время ожидания в схеме размещения частиц комплектами. Труды МИЭМ, 57 (1977), 225-231.

6. Иванов В.Л., Теребулин С.Ю. Некоторые предельные теоремы в неравновероятной схеме размещения частиц комплектами, Теория вероятностей и ее применения, 23, № 3, (1978), 644-650.

7. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Асимптотическое поведение числа комплектов частиц в классической задаче о размещении, Теория вероятностей и ее применения, II, № 4, (1966), 701-708.

8. Ивченко Г.И. О предельных распределениях порядковых статистик полиномиальной схемы. Теория вероятностей и ее применения, 16, № I, (1971), 94-107.

9. Ивченко Г.И. Об асимптотическом поведении степеней вершин в случайном графе. Теория вероятностей и ее применения, 18, № I (1973), 195-203.

10. Ивченко Г.И. О сравнении биномиального и пуассоновского законов, Теория вероятностей и ее применения, 19, № 3 (1974), 612-615.

11. Ивченко Г.И. Сколько потребуется выборок, чтобы увидеть все шары в урне, Математические заметки, 64, №1, (1998), 58-63.

12. Колчин В.Ф. О предельном поведении крайних членов вариационного ряда в полиномиальной схеме. Теория вероятностей и ее применения, 14, №3(1969), 476-487.

13. Михайлов В.Г. Сходимость к многомерному нормальному закону в равновероятной схеме размещения частиц комплектами, Математический сборник III (153), № 2 (1980), 163-186.

14. Михайлов В.Г. Асимптотическая нормальность числа пустых ячеек в равновероятной схеме размещения частиц комплектами. Теория вероятностей и ее применения, 25, №1 (1980),83-91.

15. Нурмеев H.H. О степенях вершин почти всех графов, Вероятностные методы и кибернетика, № 16 (1980), 83-90.

16. Севастьянов Б.А, Предельные теоремы в одной схеме размещения частиц по ячейкам. Теория вероятностей и ее применения, II, № 4 (1966), 696-700.

17. Смирнов Н.В. О вероятностях больших уклонений, Математический сборник, 40,4 (1933), 443-454.

18. Степанов В.Е. О вероятности связности случайного графа, Теория вероятностей и ее применения, 15, №4 (1970), 56-68.

19. Теребулин С.Ю. Вариационный ряд в схеме размещения конечного числа растущих комплектов. Статистические методы, 1982. Межвузовский сборник научных трудов, Пермь.

20. Хакимуллин Е.Р. О кратностях вершин случайного графа. Вероятностные процессы и управление. Научные труды Кубанского гос. ун-та, выпуск 282, Краснодар, (1979), 136-140.

21. Хакимуллин Е.Р. О предельном поведении максимального заполнения в равновероятной схеме размещения частиц комплектами, Математические заметки, 30, №2 (1981), 277-289.

22. Хакимуллин Е.Р. Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами. Диссертация. 1981.

23. Anderson C.W. Local limit theorems for the maxima of discrete random variables. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 88, № 1, (1980), 161-165.

24. Dronkers J. J., Approximate formulae for the statistical distributions of extreme values. Biometrika, 45, (1958), 447-470.

25. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs. Moguar Tud., Acad., Math., Kutato Int. Kozl., 5, (1960), 17-61.

26. Erdos P., Renyi A. On the strength of connectedness of a random graph. Acta Math., Acad. Science, Hungary, 12 (1961), 261-267.

27. Fisher R.A., Tippet L.H.C., Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample. Proc. Camb. Phil. Soc. ,24, (1928) 180-190.

28. Haldane J.B.S., Jayakar S.D. the distribution of extremal and nearly extremal values in samples from a normal distribution. Biometrika, 50, (1963), 89-94.

29. Sellke T.M. How many iid samples does it take to see all the balls in a box? -Aun. Appl. Prob., v.5, №1, (1995), 294-309.

30. Uzgoren N.T., The asymptotic development of the extreme values of a sample. In: Studies in Mathematics and Mechanics Presented to Richard von Mises. Academic Press, New York, (1954).