Предельные теоремы для времен ожидания в равновероятной схеме размещения частиц комплектами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОЗСХИП ГОСУДАГ'СТОЕННЫП ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

О л

На правах рукописи ЭНАТСКАЯ НАТАЛИЯ ЮРЬЕВНА

УДК 619.2

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОРЕМЕН ОЖИДАНИЯ В РАВНОВЕРОЯТНОЙ СХЕМЕ РАЗМЕЩЕНИЯ ЧАСТИЦ КОМПЛЕКТАМИ

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1994

Работа выполнен* а Московской Гооудармвкноя институте »¿•жтронлки к питвкаткхм (технической университете)

Ниучкы* руководитель - кандидат *»а*ка-ивт««ат*чоикиж иаук»

Офкишалъни* оппоненты - доктор ^машю-натвнлтмншсжмх наук»

профессор А.А-Грушо - кдндидат ♦иакно-яатвкатичвских каик«

Величая организация - Отдел катепатачеоких иетодов Карвдьскоз

Эвчмга ооотактов "14" сс&кя 1994 г. в 16-00 часов не одоеданин Специализированного Совета K063-68-G3 па прв-ау*д«кию ученой степени кандидата «изико-натенатичвшшх наук в Московской Государственном инититуте электроники к натвнд-тмкм по «дрвси

г-Мооквв, Больной Вузовски» пор- д-3/12

С диоовртацивй поено ознакомиться в библиотеке Нооковско го Государственного ккотитутд элшстроишн й НЙТвНАТККН*

Автореферат разослан " 0 " \AXDb3~J 1<>9Дг-.

Ученый секретарь опе-цяалкакрованного совета K063-06S.03

доцент К.Р.Хакияиддик

дочеиг А-М.Протаоов

научного центра Российской Академии На'

кандидат <»ио. -пат-ийук

э

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Задачи к случайном рнлмсщенми часгид по ячейкам — одно и5 оспоипих пяираилепнй дискретной теории неро<п>-востсй, когорс>е и настоящее время интенсивно развинается.

Интерес к таким задачам обусловлен простотой ч наглядностью постл-повоки мпогочи еле иными приложениями полученных здесь результатов во многих областях науки и Техники, таких как мат« мш мчоскш! едатистика, теория надежности, статистическая физика, соанология, экономика, биология и другие.

В качестве более обшей схемы в теории размещений о последние годи появилось много работ, поевлтцегтых изучению схемы размещения чисгиц комплектами. Дшшая работ» обобщат некоторые щ них, а полученные результаты об асимптотическом поведении статисгик пустых ячеек и времен ожидания можно использовать в статистических приложениях в указанных областях. Пряиспеппыч здесь методы дают вочможгюсть изучения подобны» схем размещения.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ — получение предельных распределений для статистик времен ожидания в равновероятной схеме размещения частиц комплектами но ячейкам,среди которых выделено конечна число к групп ячеек и получение огдепок скоростей сходимости к предельным законам распределения при общем числе ячеек N —» оо, к ~ I и разных соотношениях мем<ду параметрами схемы.

Размещение комплектов частиц ведетея до момент», связанного с достижением п определенном числе групп устплоилелиих для каждой группы "уровней заполнения", то ест1. когда гшерные в них количества непустых ячеек окажутся не меньше заданииX чисел.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Изучаются предельные {при N —» оо) распределения случайных величин (с в.) с'1' и являющихся соотт»егст»е.нно количествами размещенных комплектом до моментов, когда впервые хотя бы а одиой и во всех выделенных группах будут достигнуты свои "уровни заполнения", а также е.». У)^

((а1), !/('>). ме-тод

исследоиадия состоит прежде всего и переходе от решения обратной задачи нахождения предельных распределения с.в. к решению

прямой чияпчи — изучению асимптотического доведения вскторних статистик пустых ячеек Да = (ми(ч. N;), »' = Tfi),

П (,10(|М , ;»'; ), ;i,)(ti2, iV,), i - 1, А) Среди ячеек каждой группы размерами к

,... ,Л'*,(М — М - "осле размещения соответствеиао п,«ч, «j i 1

kilmiulokltlu частиц.

Специфика прицеленной схемы при М < N в отличие от случая М = А/ состоит н том, что здесь н М ячеек после размещения п комплектов иоилдоет случайное число частиц, в то время как в Л' ячейках их тп.

Исследогтиие ирододьиих распределений для статистик пустых ячеек при t = 1 во наблюдаемой группе ячеек проводится частично методом 'моментом, частично на основании доказанной здссь представимости e.V. /io(»,Ai) = /ад(и) в пиде композиции некоторых двухточечных е.». и ана-легичло проведенному в статье В. Л. Ватутина ч В. Г. Михайлова'. А при к > 1 асимптотической поведение вектора пустых ячеек изучается с использованием ирсдсгаилсинн вероятностей Р {w(n> Ni), г — 1. и — or;,Mo("j. Ni) = Д, » = 175} в виде произведения вероятностей заданного числа пустых ячеек с ради М выделенных к обобщенной 1ИПергеометричссюй вероятмости.

Таким с>Г>ралим, при i > J в »том представлении молено воспользоваться результатам» случая к = 1 о предельных распределениях количеств пустых ячеек, а асимптотика обобщенной гнпергеоыйгрки исследуется путем предстанлония ей через биномиальные вероятности и применения к ней по-рмалы№!ч> и iiyac.coHour.KVfo приближений. Далее переход от результатов для предельных распределений c.e. /5о(г») и JIc(ni,nj) к соответствующим результата* для времен ожидания проводится прспе.децнеы стандартной техники получения на локальных теорем икте.гральиых.

В ряде т*>орем используется яепый вид вероятпостм:

mm(M,Ta) rm-i

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Ocuouaue

результаты работы являются uo-

1 Предельные теоремы для числа пустых ячеек в равновероятной схеме размещения частиц комплектами. Теория вероятностей и се применение. 1Ш, ат, С84-б92.

&

ним», п пмепно :

— ТОЧППЛ формулп ДЛЯ факТориПЛЬНЫХ КОМШГОН Е(/Д,)(г|, М))у для с.п. /<о — чнслп пусти* ячеек среди М оы делен пыл (итскл'д получаются пырп-жеяпл лая Е/»о(п, М) и Ю/1о(п, Л^)),

— 'асимптотческое разложение для /./)); при Л/ —* со » ралпмх сооттгашепилх между параметрами схема,

— предствяение с.в.цо{п,М) в виде суммы иезаписимых двухточечных с.в.,

— бнноыиальнад, пуассоноиском н нормальная теоремы <>Г> асимптотическом поведении с.и. I>о(п,А{) чри N —» оо (с оценками скоростей сходимости),

— предельные распределения со скоростями сходимости к ним прч к — I для с,в. = с(к> - /'(*),

— при к > 1 представления вероятностей Р{/до(и, Л',) ~ а;, | :: 1,«} в Р{/1о(тч , "Л ^ <*•. — А,, » — 1, Лг} чер«»ч птергеометричес-кис вероятности и распределения ЧИСГЛ пустых ячеек и ОДНОЙ ПЫДСЛепной группе,

— предельные теоремы для вектора пустих ячеек в нидоленких груипах ячеек,

— предельные теоремы для с.в. <^.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении дается краткий обзор результатов по тематике случайных ра<мсшс-иий частиц комплектами и определено место представляемых в диссертации исследований в втой области.

Рассматривается следующий схемш по N ячейкпм, грели которых выде-

к

лепо к групп (к < со) численностями N(М ~ Т^ N. < М), разме-щлют комплекты ио гп.частиц так, что все С)? размещений к&жлосо комплекта равновероятны.

Определяйся случайная величина (с.и.) уМ - .....'«).(/ ¡Д")

- время ожндышя — нттмьльпое количество комплектен, после размещения которых хотя бы и ) ил выделенных к групп будут достигнуты за^ дянпые целыми неотрицательными числами <ь... . * 4 "уровни заполнении", то есть числа непустых ячеек в гшх окажутся не меньше соответствующих

«

"уровней заполнения". Главными обьектаык исследования здесь являются предельные распредслеиия ддл в реыеп ожидания fC.l'C'.n.li =

Двсссрталрия состоит из введения,, четырех глав в списка литературы. В 1-ой и '¿-ой г л пив.» исследуются распределения, моменты н асимптотическое поводмше вектора пустые ячеек Щ(п,М) = (po("i Ni),« l7í), где M) — число пустых ячеек » i-ofl виделевиой группе ячеек (» = I, U) после размещения л комплектов чистиц соответственно при i = 1 и к > 1. Необходимость проведения таких исследований связала с тем, что получкцие предельны* распределения при Л' —» со для ирчмен ожидания провл водится путей перехода в решению Ррлиой задачи для c u. J¡o(n, Л/).

' В глаое 1 цри i ~ Í изучаются пределькые распределения с оценками скоростей сходимости к паи для с.в. ро = Ро(п, А/)(М < АГ). Оказалось, что метод исследования, испольэовьмаый В. А. Ватутиным и В. Г. Мкха&ло-выи*, здесь ислиостыа проюдит. Это в устанавливается в главе 1. Суть их подхода состоит в иредстсвлопии с.в. (iq(ii, N) о вале суммы незави симых двухточечных с.в. Возможность такого представления для Мо(", N) устанавливается путем исследования корней производящей фушецшг na ос-вов&шф) их действительности н отрицательности.

В случае М < N доказательство аналогичного представления дня Ito(n, М) проводится подобными рассуждеииями. С использованием втого ■ представления проводятся доказательства теорем 1.2 — 1.5 путем рассуда-дешгй, близких в соответству ютах ситуациях с работой7

Получены нормальная и иуассоповская тсорсиы, описывающие асиып-тотическое поведение с.в. до(п, М). В теореме 1.1 рассмотрен случай AÍ < со и получева биномиальная теорема для с.в. po(n, AÍ) при N —» оо.

Полученные здесь теоремы оццсывают все основные типы предельных распределений для с.в. fio(n, М) с указавшем скоростей сходимости к sau. * При М «= N пз полученных результатов теорем 1.2 — 1.Б следуют соответствующие результаты статьи4, когда тш mi — mi = — m« = ra.

Исследования предельных распределений с.е. ро(п, А/) имеет как самостоятельное значение, так и будет вспол ^ зов ano дал взучеавя аснмлтотн-

2си. сноску на стр.2

* см. сноску на стр.2 . 'см. сноску на стр.2

чесжого поведения времени ожидания, опираясь па связь и« распредилеяпй: РМО £ «I = Р{ро(п, М)<М- 0, где при & = 1 уО) = „(<).

Глава 2 обобщает результаты главы 1 ил случай к > 1 и посвящена изучению распределений и асимптотики моментов вектора пустых ячеек. Результаты главы 2, как и главы 1 представляют как самостоятельный интерес, так м используются для исследования предельных распределений времсп ожидапия как вспомогательные. Среди основных результатов главы 2 отметин представление распределение вектора пустых ячеек 7ч1(и> АО а {/1п(п, /V,-), » » 1,... , А} о виде произведения распределения числа пусты* ячеек и.обобщенной гнпергеометрнческой вероятности, а также аналогичное представление для совместного распределения вектора пустых ячеек в различные моменты времени.

Это дает возможность свести задачу нахождения предельных раенреде- , лений векторов пустых ячеек при & > 1 к случаю к ** 1, исследованного а главе 1 и изучению асимптотик обобщенных гипсргеомстрических вероятностей.

Среди остальных результатов главы отметим важность утверждений теорем 2.4 я 2.5, которые дают представление о характере зависимости компопеат вектора пустых ячеек в нормальном и пуассоновском случаях.

Б З-еЛ г лапе проведеп асимптотический анализ распределений времени ожидания 1/({) = при N —* со для осношшх соотношений между

параметрами схемы с указанием скоростей сходимости к предельным рас пределеявям.

Результаты »той главы наглядно представлепы сводной таблицей предельных теорем для |/(() при к = 1 и основных соотношснилх между параметрами схемы.

Естественная связь ¿.«.»/(1) и Цо(га, М): Г{у(<) < п} — Г{/ло(п,М) < М — /} поэнолнет на основания результатов 1-ой главы об асимитотичес-ком понед'тши с.н. ¡¡о(п, М) получать соотистствующие результаты для е.». 1/(1) путем стандартной техники перехода от локальных теорем и интегральным. Но, если предельное поведение с.в. ^о описывается 5-ю теоремами, то, в силу специфики исследуемого фувквдоиада— времени ожидания, его асимптотическое поведение (в связи с появлением нового параметра

*

( ) -шачителыт богаче, то есть для него получаете« больше типов продельного понгдсния.

H лилигимости от соотношений между пирометрами схемы предельны« pnclIflfAf.J' timi ДЛИ НреМСИИ ОЖНДНИИЯ C..II. прн соогнетствующей нормировке нмражаются через биномиальное, пуассоиоискпг, нормальное [>ас-нридцлеиин или jiu.uif rcji иырожденным (не более, чем трехточечным).

Тол, при N, —• со, M < оо предельное распределение для с.в. f(l) eupa-жагтси ч>.-реч биномиальное, когда комплекты не очень н к лики (m/N -л 1) к ямлне'гг.и ьыриждачшым прн больших комплектах (m/N —► 1) (Теорема 3 J); при N, M —> се, не очень больших комплектах (m/N не стремится к 1) и очень кыгоком ''уронне заполнения" (Д/ — I < оо) ('Георема 3.2) иле ирн очень милых комплекта* (m/y/N —> 0) и шиком "уровне заполнения* (порядка SN) оно гвл.чано с иулг.соновсюш распределением (Теорема 3.3); & при D/ioi",A') —► <эо ирн соотиетстнушщсй нории ройке яяллетгм пожаль« ииы (Теорема З.й).

Условиями пырождення предельного распределения для времени ожидания окалываются следующие:

л). больпгие комплекты (или (V — гп < оо, или N — m —» оо, во m/N — 1, (Теоремы 3.1н, S.4 и З.Б);

С). размеры m, <, M,N одного порядка (Teojmuii S.ß); п). комплекты в 'уроини заполнения" малы (m/N —• 0) так, что i/hi к m/N одного порядка (Терема 3.7).

В глине Л результаты главы 2 обобщаются на случай k > 1, то есть рассматривается более общая схема, опнешшал выше во введении, к изучаются предельные распределения с.в. i/'^p'*' в et,* при N —» оои вскоторых соотношениях меж;,у параметрами схемы.

Здесь содержатся глаяыые результаты диссертации о предельных распределениях йремси ожидания »Д1), iA^Pi,*, еуществевыо опирающиеся на результаты всех предшествующих глаи. Они обобщают результаты главы 3 для v(l) при k = 1 на случай к > 1. Фактически в 4 -ой гланг изучаются маргинальные и совместные распределения крайних членов ряда, составленного из носледоыьтельшм моментов достижении "своего уровня" при размещении комплектом частиц и каждой выделенной группе ячеек. Причем

•

вся основные предельные распределения для момента достижения "своего уровня зпполвеггая" а каждой выделешюй группе ячеек получен и главе S.

Оказалось, что время ожидания в каждой выделешюй группе ячеек определяется прежде всего отношением выбранного в цей уровня к ее размеру. Новтому момент достижения уровня юте бы и одной группе характеризуете* min¡„^'¡/Л"» ~ t{/Ny , а во всех группах — И** величиной U/Ni = ts/Nu , где виделеопыо группы, sie нарушая общности, за-яумеровапы в порядке возрастания отношений UjN{

В случае, когда моменты i^1' и «Л4) при N —» оо бесконечно далеки друг от друга, они становятся аспмптотич«екя т»яппсимымн, и предельно« распределение с.в. t^j, распадается в произведение предельных маргинальных распределении с.п. р(') н |>(к),

Этя качественные выводы частмчпо находят подтверждение, налрггмер, ' D теореме 4.9.

Как в в г лапе 3, конструктивным приемом исследопанкя предельных распределений и рейсе ожидая ял является переход к решению прямой задачи ясследовалня аеимтлт»ч«еж)Го поведения векторо» пустых ячеек, проведенному в гласе 2. .Для »того использованы очевидные соотношения : *

P(«'il> > п}«Р{м(»,/Г<)>Х>1(. . «iTÄJ, ' Р{,с»> < „} = ГЫ". М) SNi-ti, »= ITEb

Р{*<'> < п„И»> < щ) ж Р{|Л4> < щ) - P{f(') > „,,*,<*) < „,},

РМ'> > «„И*! S п,} = РЫш.Л) > Я - it,rt»t,W ■ i m

ITi}, где — целые числа н п» > гц.

Приведем tiu главам еснонвып полученные здесь результаты.

Для описания результатов 1-ой главы введем обозначения : [*]({*}) — целая (дробная) часть числа г\

Б* и D» —соответственно математическое ожидали« и дисперсия е.а. /;

®(*)i "i-ый факториальяыЛ момент с.в. х;

t» = um/N, oj пт1 /Ny ß ж а — m/N, где п — число разметенных комплектов частиц;

(i)i = 4(4 — 1)---(Ь — 1+ l),Cj = (b)i//!, где 4,/ —пелые полаязггедыгыв числа, (4)о = 1, 4 > /;

L(Af) —закон распределения с.в. Х\

í(r,l,y) В C¡pT(l - p)'~',0 < P¿ i,l - 57r, гдеt — целее положительное число, « «i I — я;

«»(*) « A».-*/n1, А > 0, п в 0,1,2,...; /»*(() = Рл = | Д |Р(< в j) - «ДА)Ь

t»(M-1)/(W-1), F о M/N i

ф) «: t-'Pfy/U, 4(>) а

М».ю в /Í0.O в ((/V)m)M,Q « таш(М, W - т);

В l oii тъ&ве рассматривается частяий случай схемы, оивсаваой BUJTie, npa i «= J. Приведем основные результаты главы 1.

Теорема 1.1. П/спн N —оо, М фяясър»**»!, taJN — у, nm/N(N-га)-* 0.* 'folia длл Awíoto цел*te j, j < U)

oj>« 0 5 7 < 1 ^

e¿t p » (I — m/N)a, i l — p, * »fe 7 = 1

В общем случае справедливы утиерждвниа. Теорема 1.2. Существует такое посгаахниае О > 0,чгав

Тс-оремл-1.3. С>к(естл|с|» го* ее с песпюдвиее (7 > 0, что

Caa,í?proso 1.a.1. Яустпк я^ьисга^и саелщ ,.. ,m„ /.ингатсз

rae», то Dito —t oo, metía E/<o -■> со > pecapeícAtnnt ел$\й&№с& еслачвпы (>fo — E(Hi)/VD|íq eíoíame* я моул<Ал»иол<у jefnpfáejtxn» e n«pа.мегл;«Л4« (0,1).

Toopt-ua 1.4. £&•« jV — m —»то, Nß -»oo, tun Л — u»í',m«

,»<*,) < a mm {x(l/N + _ ¡^ _

Теорема 1.5. Пуст* m/N 0, Efio '-* oo, D/io ~ <KV^i*ö)i А в Efio 4- Af (q - 1), N - m —»oo, Nß-*<x>, ,

тогда

Мцо + //(o - 1)) = о(л/а(а' - «,) + Jtf(1 - r)a* +

Сгждгтпяе Jlycmt N — m, Nß со, E/Jo -» A, 0 < A < oo. Tenia

pacnfcdtAcnut c.e. /lo uoíinu к pac»?«t>ejena» ¡]¡accouл e яврлметром Д.

Слрдгтпяо 1.".3. Пусть N — m,Nß —» oo,m/N —► 0,E;íq -» oo,D/io —»' A, 0 < А < oo. 7V*ía E/io + Л/(» 1) -* А и facnftbtAcHtt с.л, /ю l M(a - 1) мо^ггяо» к paeay<¿eJcnaK> Оуйссокл е ntpm.ttrr.foM А.

Приведем результаты и обозначения гласи 2. Рассматриваемая схема, описав a выше.

Сохраняя г.(ю?»ааче1П1Я главы t : [*]({х}), Es, Dt, (i)t, С[, f{a), Ф(я), введем пояие:

к i *

0 = 53«;, fi = 7 =

ist 1 ir: 1 ist

Сформулируем oenonmue результаты г л алы 2.

Теорема 3.1. Я уеловяжх рлссматрнвасмой схем» nMttm место ¡лесистее:

ñflofa «i) = «Ч. ¿ = l^f} Р{М», Ю = «}

V OJ,

"уровней заполнения".Главными объектами исследования здесь являются ирсиелышо распределения для времен овзцшйш «Л1', i-O, 14,4 =з (с'1'', И1').

Дпссс-ргиция состоит "з введения, четырех глав и списка литературы.

В 1-ой и У-оП главах исследуются распределения, моменты н асимшх> гичесное поведение т«ектора пусгич нчеек Af) = (/»u(», Ni), i — 11 '•'),

где ft(,(n, N,) — число пустых ячеек в ¡-ой шлделениой группе ячеек (i -ГГ£) после. размещения п комплектов частиц соответственно при k — 1 н U > I. Необходимое ль проведении таких исследований свлиаао с -тем, что получение предельных распределении иры N — ос для времен ожлдашш ироизводитс-п путем перехода к решению пряной .задачи для с.u. Jí(j(u, А/).

• В глйае 1 при к —1 шучаюгси предельные распределения с оценками скоростей сходиыисти к нчи для с.в. /¿с — Ai )(М < N). Оказалось, что

ы-тод исследования, использованный В. А. Ватутте»им и В. Г. Мкхойло-пим', здесь иолностью при»идкт. Ото г. усзан?.нливается в главе 1 Суть их подхода состоит в представлении с.в. /¡о(н, N) о виде суммы незааи сныых цкухточечпих с.в. Возможность 14.1:010 предстала ецг.и для ¡ío{n¡ N) устанавливается путей «сследопанця корней црончеодящей фуи.ииш па ос-iioiitiBiiíi кх д!1'1г.'11)нгелг.иоота и отрицательное;;-.,

В случпо Л/ < Л' доказательство (шклогачисго приделЕзлеиня дда (¿с(л, М) проводится ЬодиГшими раесуждяиияын. С псиользонаиним uroi-o предстиилсгиш проводятся доказательства теорем 1.2 -- 1.6 путей рассуждении, близких в соответствующих ситуациях с работой1

Получены нормальная и nyaccoiiotcKfjji теоремы, описывающие aciui» ютнчесгсое покедшне с.н. itn(n.Af). II теорсмо 1.1 ¡mco;.;oг[п:н случай! М < со п получепл биномиальная теорема для с.в. /.<0(п, Л/) при N —• со.

Полученные здесь теоремы осшсыишот псе ссновпые гшш цредельиых распределении для с.и. /10(11, М) с указ кинем tnopociiái сходимости к кии При Ai — fj из полученных результатов зсирим 1,2 — 1.Б следуют соогвет ствукнцво результаты статьи4, когда там rn¡ — m2 ~ ■ ■ ■ — гн„ ~ ra.

Исследования продельных распределений с.в. /цДп, М) нык! как гвмос-i-оягсльно»' .-ш.зчецнс, :ак и Судет псиойьяжано для тученил асимптот-

'см. списку на стр.2 асц. списку па стр.2

*сьд. сн»>ек> на стр -

tu

5. üведена мера Iхарактеризующая момент достижения своею "уровня заполнения" и i-ой группе (i - l,fc).

8. При Jk > 1 и N —• оо получены предельные теоремы дли с.в * — (i/lI, в случаях М конечном н пропорциональны! обни му числу ячеек N размерах виделентл* rpymi ячеек. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Хшзшулдии R.P., Виатская И.Ii). Предельные теоремы о времени ожядьшш и схеме размещения час тиц комплектами. ГК'рпя'шогшыс wm дм в дискретной iJaTí'UíiTiiKC. 'ÍV.'iuü и доклада 3-< Ii Her сою -»мой «омферщ-ции, г. Петрозаводск, 1У89.

2. Хп«5муллил В.Н,, Энатскал И.КЗ. Скорость сходимости распределения ир«нчги ожидания к предельному и равновероятной сисич p¡1)Míu<<i<h¡í частиц комплектами. Вероятностные методы » дискретной ммвиаги«!

миам, loso.

3. Хаюшуллин !í. Р.,Вцвтск«я И,К). II редельцые теоремы для времени ож21Д,гл:1!! п рплиоиериятпой схеме размещении частиц комплектами. Те ni СЫ доклада Всесоюзной шк. - сем. "№шГишшхцши - си»т. иегчди пналн 3(4 к ойрябитки íínijvojiMfrtiytw, вкслертное огкиипакне " Одесский нолнгех м'чесг.'гЧ иинститут, 1S90.

'1 Хмятуллия F.F., Вяаттиая ILIO. II редельные ттор-ми для чрет-ви илшдчл.п ь равновероятно!! сиеыс pnзиещеимя чагпш комплектам» Ii. jiíifliiíocTíUJti задичн даскретюа üewM«ики, МИИМ, 1ЭУ0.

íi. Хэкниуллил Е.Р., Эматская 11.Ю. Aciiuuioi нческ<и- иои<-;ц шя: щи местного распределения вр<!(Л< ни ожидвнил u раыноы ponIичп cjn» p-i > iчета um частиц houiuieirra-UH. Нерол шигтиыег npu«< reu и »; нри.'.ч w í/iui

МИЭМ, 1091.

6 Хпхямуллии lí.P,, Внитгтл íi.K) Предельные гепремы дли u¡>. .--i. i>.i

ОЖИДАНИЯ В равновероятной схеме ()<1 ШГ111П1Ш1 Miir.IVÍit И1)НЫГ|.|1.И11 ¡ ЗИС14 доклада и» ilpnj it mü t > \Ц"р<цции " Л "<• i;pe i muí uitTi'unr«i.> и , . применение нрн моделнронаиин оюжныл своем, Иркутск. KVjI

7 ХаКИМуЛЯИЦ K.P., ^натекая ПК) Некоторые пр. '1I.ÜJ.H j,< лепи/1 ifpcMfiiK ожидания и раиноверхл шой ( хем<; ¡iatM' ij(< кип ч.и diu t nt

ПЛС'»-Т ¿ÍMbS ПО ЯЧсйкН-Ы С BM'UJIrllUUUll Г РУ1Ш.1Л4И Tt-íiicu ..u.»-.. к. .1. . .» i :

Р{„(») « а} = -1,*, М/И) + 0(\/Ы).

Ттрамо 3.8, Пгкп» М, И, М - I , N - го оо « «ыиолметел »¿не «а г ( „ «» л М I» <(ЛГ - А/) 1

/ 1 М(М-т) л

Т*»дп еуя(«ст»«|ет яостоячнсе с т»но(, что • «аэгг^ел «? уяяммпил «дуче«« к«)1ав<нстов

II---/Г—~ < да?)'

»»с

Приведем оболиачепнл п резуяьт&гы глппм 4. Рассматривается схемп, опискнии.* вике.

Сохраняя вс« обозначения главы 2, введем цоиые:»( «а

игщш;., Г1 в П11П », I п Г.X.

...Ц ' НИ А.....*>\<(.,-А) '

Ф(г) а I - Ф{*);

к, с.', (» «=> 1,3,...) — положительпые постоянные.

Ие нарушая общности, перенумеруем выделенные группы ячеек тая, что

«I . <! «;

ТГ — ПМО ТГ| Тг~ =

.*Х7£<\ ^ ¿.{¿К

г

д. = 1-{к Д. «О-Ь/^.Д* «В^,

Л* «1 д*

д. ____л

иц яИт-г~, I я J, J», и>. = пипиц, и>' я шиц, N i«t> (»17*

Ni-ti~EM>4,Ni)

, 4ft-ft) , "(fr-fc)

♦ Di, a ({(•y'k'.Wf + a\/uii/u,t Щ = i^yC'w, где any- фиксированные числа.

i Ь(1-1|/М) ..

^ ш 1з(1 - m/N) ' ln(l~ m/N) '

ttLVmiii t /ЛМ I -«»/№)

(Я ) - »,(1" tk/Nk) + щм_т)ы(1_гфу>

Сформулируем освогпыа результаты главы 4. Теорема 4.». ti-fcmt Pt -* оо, I < М ^ coo , ft —» Tetdt

t). npt б a 0 дл» лкбиг fanctfottnnut n<uo:»c«mt.«»WMJ о ъ у (* < у)

/.{„(» ь -iL- <.. ь tJJL. < л =

I N-т N — т J

t I

- ('../Л-.О - П( £ <""')) + *(»)!

>*t «i+t <<•(</*(

M). яры 0 < i < 1 ■ fit > nI ( lit « »i - fMtie чкс^в^

h

к

-П( £ H^.M.fi-ÄDüU.oi.O-ir'-")) ( „Ii),

ial •,>!(<>,<>*,

I« ч .

S), ирш S » ]

\

1 < 1. *{k] « 1} » Р{»(Л) - 1 ) я 1 + •(! )•

Теорема 4.4. П$ст* N tx>, fy ьн, 0 < н < 1| f » 175, ^ и » t, ^ —» fi e nycmt ецц»ет«|гга «ятуумкно« я ■ мн*асссп>«в «ii<)(icm raiRtr, лте ej < oo, rj —» со.

)}. >pa fut для A»S»M пвд*жат<4>м ut яичеяав я • y (« < y) всунв

)>«*> четво-

to /гЬг "ьN * *'y(k) ь ~ta N *"} *

i). ну« K< < < 1 i Л vSuj в«Ч*ЧЧНЯ челн* » d» (<¡l < ¿s) • »-T««

е^есп»я»«»ят# A и Jirtt {logli-m/MfN)

ff to

I

I <-t v.,+i Í '

j;. «p« * r= i

/»{•»w» ■ l} —I.

_ к

Теорема 4.B. ¡¡ivm\ N -* со, 4f -» 0 < < 1, i - 1,1, £w< и 1 «

i-i

yy'J«Яti «ttiféMU INI, ЧПМ

в < с < 1.

Тогда ¡ля люб и* фихсшровлнниг ¡«ачен»1 я и у аиполняипсж слсд$ющее свет* вше« ее:

Р{и/<'> < £ и} «

А 4 ю ..

Теорема 4.6. Пуст* в целое*хг теорема (.5 чмсля 1Х,... яибрлни тик, что и—* 1. '/'в«)« при »ву, яркм1.мак»ця* дю-(|« ^икскривихнмв значгки* (. < ,)

к *

1-1 >>1

I

Определим и ниже следующей теореме 4.9 моменты »1 и г»а следующим образом :

_ 1п(1-<,/УУ,) «8.0 + о(1))_'

~ 1п(1 - ш//У) " (/VI-«ОЬО - гп/Л)

1«(1 -<>///>) »¿Гр+ор))

" Ь(1 - гп///) ~ (Нк-Ь)1и(1 -т/Я)

Тиорема 4.в. //|гш1 N -* оо, <,///; —» 0 < в» < 1, » = ТТЬ, «I < 5» < < • • ■ < «ь_1 < «ь ■ мримтри Ы},... , Ыь, <!,<),... , "» виб/акн те к , что

■Л нйп.»!^ М) -*оо,} = 175;

¿Л »и -* » < оо. т у < оо,-

в/. -ОО, Чч—ао I = 2, к - 1. „

То>д*

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Изучении* а раГюте схема размещения частиц комплектами онисына^т реальные процессы, нстречпи.жи» . л. например, в задачах выборочно!« контроля, надек-зюсти, и соц.. и.1 ни, и

биологии. Подучштые здесь результаты представляют как самостоятельный интерес,так в мые/от прикладное зпачеяие.

АПР013ЛЦИЯ РАООТЫ. Полученные результаты, приведенные в диссертации, неоднократно обсуждались на кафедре Теории веро*гтвоетей с математической статистики (ТВиМС) МГИЭМ, отражепы о ежегодных (депонированных) научных отчетах кафедры ТВиМС МГИЭМ, доклвды-вались на 2-ой я 3-ей Нсесоюэвых конференция* "Вероятностные методы г дискретной математике" (Петрозаводск 1989, 1902), Всесоюзном сеиипарл по дискретной математике ЮПИ АН УССР (Одесса 1990, ¡991), Всесоюзной школе - семинаре "Комбинаторные методы анализа я обработки информация, иксntpruoe оценивание;" (Одесса, политехнический ия-тут 1580, 1РВ1), Всесоюзной конференции "Лискретпшс математика и ее пркыепеют« ири моделирования сложных систем" (Иркутск 1091), на Международной конференции rso интервальным и стохастическим методам в наук»? и технике ("Интерпол -- 92") (Подмосковье 1002).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях в Межвузовских сборниках 1989, 1990, 1091 гг., и Трудах ГГодмоскооноЯ конференции ("Интервал -92") , Трудах Петрозаводской конференции (IS92 г.) а также я тезисах выше перечисленных конференций. Всего по теме днсспртмтсш опубликовало 10 работ (не считал деттированных) (псе совместпые).

ВЫ ПОДЫ.

1. Используемая метолккн исследований позволяет получать вовые результаты асимптотического анализа рассматриваемой схемы размещения частиц комплектами.

2. При к — 1 онисакы «еетины асимптотического поведения с.в, Мо(™. M)¿

3. При А > 1 получено представление распределения вектора пустых ячеек Черел распределение числа пустых ячеек в одной группе ячеек и обобщенной i ииергеометрической вероятности и аналогичное представление получено для совместного распределении векторов пустых нчеек » разные моменты времени.

Л. При I - 1 и ,V —> ос получен почти полный rnerrp оснорньц предельных распределений с оценками скоростей сходимости к ним (исключай H«K*>tw-pue ».'интересные вырожденные случаи) для креме«« ожидания í'ji).

б. Найдена мера ti/Ni, характеризующая момент достижения своего "уровня заполнения" в i-ой группе

в. При4>1пЛ'—> ое цолучепы предельные теоремы для с.в. i>i,* = (i/O^ ,,(*)) в случаях М конечном и пропорциональны! общему числу ячеек N размерах ныдодениых rpynii ячеек.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Хакнмуляии Е.Р., Энатская II.Ю. Предельные теоремы о времена ожядашш н схеме размещения частиц комплектами. Вероятностные ме п> ды в днскрвтиой математике. 'Геэисы доклада 2-< Ii Всесоюзной комфсре и-ия, г.Петрозаводск, 1069.

3. Хаютмуллпл Е.Р., Эаатскал Н.Ю. Скорость сходам ости распределения времени огккдапид к предельному в равновероятной схеме размещения частиц комплектами. Вероятностные методы в дискретной математик«!. МИЭМ, 1989.

3. Хакимуллва Ё.1'.,Энатская Н.Ю. Предельные теоремы для времени аяслдация а равновероятной схеме размещения частиц комплектами. Те.ш-сы доклада Всесоюзной шк.-— сем. "Комбинаторно — стат. методы анализа и обработки информации, експергпое оценивание." Одесский полит«:«

пическдЗ нмистнтут, 1090.

4. Хакимуялин Е.Р., йпатская Н.Ю. Предельные теоремы для времеаи OiBJiдалия и рлпцоьерояшо.Ч схеме размещения частиц комплектами. 0'-роятноствыв задачи дмсиретиоЦ математики, МИЭМ, 1990.

5. Хаюшудлки Е.Р., Эиатская Н.Ю. Асимитхличесное поведение совместного распределения времени ожидания в равновероятной схемо раз uemeima частиц комплектами. Вероятностные процессы и их приложения, МИЭМ, 1991.

6. Хажимуллин K.P., Эиатская Н.Ю. Предельные теоремы для времени ожидания в равновероятной с neue размещении частиц коиилектами 'Г-ЗИС)4 доклада ва Иркутской К1>нференции "Дискретная мптемитищ и <-t применение при моделировании сложных систем, Иркутск, 1991

7. Хакммуллин K.P., Энатская Н.Ю. Некоторые предельные распределения времени о жид алия в равновероятной схеме, размещения час um ком-илеч-тамн но ячейкам с выделешшмн группами Тезисы Д1,кл»л.. i <л1 ¡In

го

СОЮЧНий шк,— ссм. Одесского политех. иисуитутя, КО С.ТЬТ. И Яйосрот, ышлилу и »кснертшлм пцмииш, "Одссса, 1991.

R. Хмошулпсга K.P., ¡Эп&'гская Н. Ю. Anyniplotic behaviour of вхукиЛ»1к>п lim«n for »scheme of particl<« aJlocatioi). Труды ПетроишодскоЙ копфяревшш, (и дач&тя).

!). Хмадмуллпн Е.Р., Энятскал НЛО. Anymptolie unalw aml eHimfclion of ptiraim'ter» oi txbeme of ullacalionti öt;t.s of paitirТе.шсы доклада на Международной конференции но иикфпальнымн стохастическим методом и науке и lvxiiHhv (Интервал - - 92), Подмоскоом', 5932.

J0.Хотшуллип K.P., Эиатскпл II.IO. Anymptolic luitilU and colimaliün of Parameters of schcma of allocKtion »etn of patlick«. Труды Международяой конференции uu шггррнпльиыы и г тохистичесвим методам и наук« U телии-

(Интерпол - 93), Подмоскомь», 1992.