Последовательные ранги и порядковые статистики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ РАНГИ И ПОРЯДКОВЫЕ СТАТИСТИКИ

01.01.05.-теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1995 г.

/

Работа выполнена на кафедре Теории Вероятностей и Математической Статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ — доктор физико-математических наук, профессор В.Б.НЕВЗОРОВ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ — доктор физико-математических наук Л.В.РОЗОВСКИЙ кандидат физико-математических наук Н.В.ГРИБКОВ А

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ — Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова.

Защита состоится " " (УРхС/яИЛ 1995 г. в 12._часов на

7/

заседании диссертационного совета К 063.57.29 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл. 2, Математико-Механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького СПбГУ, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан " » ИО^^/^_ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационого совета

кандидат физ.-мат. наук Рейнов О.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопросы, связанные с переходом от исходной выборки к вариационному ряду, издавна являются предметом исследования вероятностной науки. Мы рассматриваем вопросы независимости величин, характеризующих порядок соответствия элементов исходной выборки и членов вариационного ряда.

Впервые независимость последовательных рангов в случае стационарности исходной выборки получена Реньи. В работах В.Б.Невзорова, Аллена, Бапата и Кошара строятся характериза-ции, использующие независимость величин, являющихся функциями от рангов элементов исходной выборки независимых случайных величин (с.в.) с непрерывными функциями распределения и членов вариационного ряда.

В последние годы отмечается возрастание интереса к последовательным процедурам, основанным на статистиках, зависящих от последовательных рангов. Свойства таких статистик исследовали Мэйсон, Хмаладзе, Ломбард.

В третьей главе предлагается несколько иной подход к вопросам упорядочения, который с учетом результатов Шоррока позволяет описывать свойства рекордов последовательностей независимых одинаково распределенных величин, принимающих целые неотрицательные значения, через суммы независимых величин, принимающих значения 0 и 1. Отметим также в этом направлении работы Верваата.

Цель работы. Пелью данной работы является изучение структуры последовательностей, удовлетворяющих условию независимости антирангов и порядковых статистик и последовательностей с независимыми последовательными рангами, а также получение обобщения представления Шоррока в случае, когда исходные величины принимают целые значения.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы и результаты теории порядковых статистик, свойства рекордов, методы теории линейных интегральных уравнений, а также различные индукционные процедуры.

Научная новизна. В случае независимых случайных величин получены характеризации стационарности исходной выборки, использующие независимость последовательных рангов и крайних членов вариационного ряда, а также независимость антирангов и средних членов вариационного ряда.

Для произвольных последовательностей случайных величин при минимальных ограничениях найден вид распределений последовательных рангов в случае их независимости. С помощью данных результатов получены характеризации в некоторых классах последовательностей независимых случайных величин и гауссов-ских стационарных последовательностей, использующие независимость последовательных рангов.

Также доказана независимость последовательных г-рангов (понятие, которое впервые вводится в данной работе). Свойства г-рангов используются для доказательства некоторых предельных теорем для цензурированных рекордов (в частности, для к-х рекордов).

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в математической статистике, а также при исследовании предельного поведения цензурированных рекордов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Вильнюсской международной конференции по Теории Вероятностей и Математической Статистике (28 июня — 3 июля 1993 г.) и на семинаре по предельным теоремам в Санкт-Петербургском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовало 4 работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 46 наименований. Общий объем работы 95 страниц.

Содержание работы

Во введении дан краткий историко-библиографический обзор результатов, связанных с темой диссертации, и сформулированы основные теоремы.

Пусть А'] ,Х2, • ■ •— некоторая последовательность случайных величин (с.в.); Л':,п < А'г.я < ■■• < Хп,п, п € К — соответствующие порядковые статистики. Мы будем использовать следующие обозначения:

Лк,п = 1^7=1<хк} — Для ранга с.в. Л'* в выборке А'1, Х2,. ■ ■, Хп, к - 1,2,... ,п;

Як — } — Для последовательного ранга с.в. А'к, т.е.

для ранга Хк среди величин А'ьА'г,... ,Хк, к = 1,2,... ,п; 1к,п = „=*:}> к = 1,2,...,п — для антирангов; п € N.

Также нам потребуются индикаторы максимумов и минимумов в последовательности А'1, Х2,...:

— 1{Як=А} и ££ = 1{лк=1) соответственно, к = 1,2, и индикаторы экстремумов:

С1 = 1 и С* = 1{лк=/ь} - к = 2,3,...,п.

В первой главе исследуются некоторые свойства величин, связанных с рангами элементов выборки независимых случайных величин с непрерывными функциями распределения. Главной задачей является построение характеризаций одинаковой распределенности элементов исходной выборки свойствами ранговых и порядковых статистик.

Характеризации стационарности исходной выборки через независимость последовательных рангов и крайних членов вариационного ряда имеют следующий вид.

Теорема 1 Пусть А'1, А'г,..., А'„ — независимые с.в. с непрерывными функциями распределения , Рз,..., Fn, удовлетворяющими условиям

О < Fi(a) < Fi{b) < 1 для некоторых а и Ъ (—оо < а < Ь < оо), г = 1,2,... , п.

Тогда следующие утверждения' равносильны.: (¡). Случайные величины ... ,Ип,Хп,л независимы;

(и). Случайные величины £1,, ■. ■. С>> Х„<п независимы; (¡ц). Случайные величины ^• • • независимы и выполнено условие

= *?*(*) (2)

при к = 2,3 ,...,п, где аз,... ,ап — некоторые положительные константы;

(¡V). Случайные величины Х^,Х2,... ,Хп-1 имеют одинаковые распределения и условие (2) справедливо при к = п.

В то же время, согласно следующему утверждению, условие (¡V) Теоремы 1, вообще говоря, не является необходимым для независимости вектора (Лг,Лг,... ,Л„) с максимумом А'п,„.

Утверждение 1 Предположим, что А*1,А'2,...,А' п независимые случайные величины с непрерывными функциями распределения. ... удовлетворяющими условию (2). Тогда вектор (Кг, Лг, • • • ,Л„) и с.в. ХП)П являются независимыми.

Аналогичные результаты получаем после замены максимумов на минимумы.

Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 2 Пусть АГ1, Х2,... ,Хп — независимые с.в. с непрерывными функциями распределения Р},Р?,...,Рп и условие (1) имеет место. Исходные с.в. имеют одинаковые распределения, если для некоторого г £ {2,3,... ,тг — 1} и только если для любого г € {1,2,..., п} случайные величины 1Г1п и ХТ1П являются независимыми.

Очевидно, что из независимости вектора , Кг,..., Кп) и некоторого среднего члена вариационного ряда Агг,„, г € {2,3,... ,п— 1} следует независимость с.в. 1г,п и А'г,». Таким образом, мы получаем характеризацию одинаковой распределенности свойством независимости вектора последовательных рангов и порядковой статистики Хг,п, г € {2,3.....тг — 1}.

Теорема 3 В условиях Теоремы 2 с.в. A'j, А'г,..., Л",, одинаково распределены, если для некоторого г € {2,3,...,п — 1} и только если для любого г € {1,2,... ,п} случайный вектор {R\, R2, ■.., R„) и Хг,п независимы.

Следующее элементарное утверждение позволяет получить ряд характеризаций, эквивалентных вышеупомянутым.

Утверждение 2 Пусть X, A'i,A'î, ...,Хп — независимые с.в. с функциями распределения F,Fi,F2,... ,Fn соответственно и Fi, i = 1,2,...,п, непрерывны; fW à= 1{д>*}, k= l,2,...,n, где R—ранг с.в. X в выборке Xi,Xi,..., A'n,X. Тогда для любого события А 6 а(Хi, Аг2, ..., А'„), где <r(A'i, А'г, • • •, А'„)—а -алгебра, порожденная с.в. Xi, Л'2,..., Хп, следующие утверждения эквивалентны при каждом фиксированном к € {1,2,___,"•}•'

(i). События А и = 1} независимы при произвольном выборе функции распределения F ;

(ii). Событие А не зависит от с.в. A'fc,».

Благодаря данному утверждению, мы получаем следующие характерна ации.

Теорема 4 Пусть X, A'j, X?,...,Х„— независимые с.в. с непрерывными функциями распределения F,Fi, Fi,-•■ ,Fn соответственно, и условие (1) имеет место. Случайные величины А'ьАГг,.. •, Хп одинаково распределены, если для некоторого г £ {2,3,...,п — 1} и только если для любого г 6 {1,2, ...,п} с.в. /г,„ и г) являются независимыми при произвольном выборе функции распределения F.

Теорема 5 В условиях Теоремы 4 следующие утверждения равно-силъны:

(i). Случайные величины Ri ,Ri,..., Rn, R являются независимыми при произвольном выборе функции распределения F;

(ii). Случайные величины Ci>Сг>• • • >Сп>С независимы при произвольном выборе функции распределения F, где С *==* 1{Д=п+1} — 1{Я=1}>"

(iii). Случайные величины Xi,X2,... ,Хп одинаково распределены.

В последнем параграфе первой главы рассматриваются вопросы качественной устойчивости построенных характеризаций.

Во второй главе изучается структура последовательных рангов произвольных случайных величин. Обозначим по-

следовательные ранги, соответствующие с.в. Xj, Xj+i,..., j — 1,2,....

Будем говорить, что случайные величины A'i, А'г,..., Хп удовлетворяют условию сильной независимости последовательных рангов, если с.в. iij^, ..., являются независимыми при каждом j € 1,2,... ,п. Случайная последовательность A'i, А'г,.. • удовлетворяет условию сильной независимости последовательных рангов, если последовательные ранги независимы при 3= 1,2,....

Замечание. Очевидно, что любая последовательность симметрично зависимых с.в. удовлетворяет условию сильной независимости последовательных рангов.

Основная теорема второй главы может быть сформулирована следующим образом.

Теорема 6 Пусть Aj, Х2, ■ ■ • — некоторая последовательность с.в., удовлетворяющая условию сильной независимости последовательных рангов. Предположим, что при каждом k £ Fi выполнены следующие условия:

Р(Rk = г) > 0 для любого i € 1,2,..., к. (4)

Тогда при каждом j G {2,3,...} справедливы равенства

Р(Я[Л =i) =tk~i{l-ty-1/Sk(t), для любого i € 1,2,..., А, где *

¡ = P№ = i), sk(t) = J2t'~1(i-t)k-1.

1=1

1

Добавив еще одно условие, получаем следующий результат.

Теорема 7 Предположим, что А'1,А*2,... — последовательность с.в., удовлетворяющая условию сильной независимости последовательных рангов, и последовательные ранги, соответствующие выборке А'„А'а,..., Хр~1,А'р+ \, Хр+2, являются независимыми при некотором р€ {2,3,...}. Тогда при выполнении условий (4) следующие равенства имеют место при каждом к б К:

Р(Як = 0 = 1/к, 1 = 1,2.....к. (5)

Замечание. Очевидно, что при выполнении (5) каждая подпоследовательность Xкк-Хк,,... исходной последовательности удовлетворяет условию сильной независимости последовательных рангов (к1,к2,... — некоторые различные натуральные числа).

С помощью Теоремы б, мы получаем характеризации стационарных последовательностей условием сильной независимости последовательных рангов в некоторых классах независимых с.в.

Будем говорить, что последовательность с.в. А'ьА'а,... принадлежит классу 1/ос, если существует некоторая стационарная подпоследовательность Хк1, Хк-2,... исходной последовательности, где кг, — некоторые различные натуральные числа.

Теорема 8 Пусть А'ьА'г,...— последовательность независимых с.в. с непрерывными функциями распределения • • •, для которых

условия (1) имеют место, принадлежащая классу I¡ос и удовлетворяющая условию сильной независимости последовательных рангов. Тогда

Рх(х) = р2(х) = ... (—оо < х < оо).

Следствие 1 Любая к-последовательность (т.е. последовательность независимых с.в. с функциял1и распределения, принадлежащими конечному классу Э = {С?1, (?2,..., где Сь С?2,•••,<?* — некоторые непрерывные функции распределения), удовлетворяющая условию сильной независимости последовательных рангов, при выполнении условий (1) является последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин.

Пусть -F* = {t € N : F¡(x) = Fk{x), x e R}, T = {A £ JN : jrJ-'k > 1}. Будем говорить, что последовательность с.в. A'i, А*2,... принадлежит классу loo, если — оо.

Очевидно, что 1(ос С loo-

Теорема 9 Если последовательность А'ьА'г,... независил<их с.в. с непрерывными функциями распределения Fj,Fí,. .., для которых (1) имеет место, принадлежит классу loo ^ удовлетворяет схьльному условию независимости последовательных рангов, то ее элементы имеют одинаковое распределение.

Ясно, что если последовательные ранги исходных с.в. независимы и выполнено условие (5) (т.е. последовательные ранги рассматриваемых с.в. совпадают по распределению с последовательными рангами независимых одинаково распределенных с.в.), то условие сильной независимости последовательных рангов имеет место.

Следствие 2 Последовательность независимых с.в. X ¡, Хг, ■ ■ ■ с непрерывными функциями распределения Fi,Ftt. ■ •, принадлежащая классу I«, " имеющая независимые последовательные ранги R\, R2, ■ ■., для которых условия (5) имеют место, является стационарной (т.е. ее элементы имеют одинаковые распределения).

Применение Теоремы б к стационарным гауссовским последовательностям дает нам следующую характеризацию.

Теорема 10 Предположим, что A'i,Aj,... —стационарная гауссов-ская последовательность, не являющаяся чисто сингулярной. Последовательные ранги рассматриваел1ых с.в. являются независимыми тогда и только тогда, когда кооариациоиная функция данной последовательности представима в виде:

К(п)={ ^ nVU " = 0JT У a¿ р, при п € JN,

где 0 < <г2 < 00, 0 < р < 1.

В третьей главе рассматриваются последовательности независимых одинаково распределенных с.в., принимающих целые значения. Здесь используется несколько иной подход к вопросу упорядочения наблюдений.

Рассмотрим {тг}геz — последовательность моментов первого попадания в точки г, т.е. rr = min{¿ € N : А',- = г} и ту = оо, если А',- ф г для любого натурального i. Случайные величины ST : Sr = ДТг, г € Z , где Яоо =f оо, будем называть прямыми последовательными r-рангами (Слово "прямые" в дальнейшем будем часто опускать), а величины 5* : 5* = ту — RTr + 1, г € Z — обратными последовательными г-рангами.

Замечание. Нетрудно показать, что либо 5V < оо (S* < оо) почти наверное, либо ST — оо (S* = оо) почти наверное. При этом Sr = S* — oо тогда и только тогда, когда Р(А~3 = г) = 0.

Теорема 11 Пусть А'д,А'г,...— независимые одинаково распределенные с.в., принимающие целые значения. Тогда последовательные г-ранги {5V}rgz независимы и равенства (б) справедливы для любых

г£Т, где Td={reZ :P(A'i=r)>0}.

Рассмотрев последовательность {i'„}„giN : 1 п — —А„ и соответ-ствз'ющие последовательные r-ранги {¿V}rez , нетрудно заметить, что обратные последовательные r-ранги исходной последовательности также являются независимыми и

р/с. _ • ^ _ Р№ = r)(P(A-, > Wr - «rj - (Р№ > r)),v

для любых натуральных ir, г € Т.

- В последнем параграфе полученные результаты используются для исследования некоторых свойств цензурированных рекордов. Будем говорить, что с.в. Xj, j € IN, является (m,k)-рекордом, если

Rj € {к,к + 1,... ,т}, где Щ d=f i — R¡ + 1, а Л,- — последовательный ранг с.в. А";, г € к < m. Определим последовательность моментов N(га) следующим образом:

Л'Д(О) = тп- 1, TV£(n) = min(i > ЛГ*(п- 1) : Я* € {к, к + 1,...,т}),

Рассмотрим подпоследовательность данной последова-

тельности: Лг* (0) = т — 1;

Л\1(0 = тш(г>А'*(/-1):Л-; # Л',, j = l,2,...,i-l, Щ е{к,к+1,... ,т}).

Очевидно, что Nl(n) = Лг}(.п), п — 1,2,____ Нетрудно показать, что

последовательности {Nm{l)}ieN и {Л',*(п)}пем конечны с вероятностью 1, если существует натуральное число r0 : P(A'i > го) = 0. Палее считаем, что

Р(А'3 > г) > 0 для любого г е IN. (7)

В этом случае

Р(л!(1) < оо,ЛГД(2) < 00,...) = P($>;(m,fc) = оо),

гет

где v'{m,k) = I{S;e{*,*+i.....т)), г € Г, где T={r£Z :Р(А, =г)>0}.

Полученные результаты приводят к независимости элементов последовательности {'/*(?"Д')}гег и к равенствам:

P(v;(m,k) = l) = f^pr{p>r)'~\ к<т. Т^к 0>>г)

Обозначим дг = • Используя Теорему Колмогорова о трех ря-

р> г

дах, получаем справедливость теоремы.

Теорема 12 Пусть Л'ьА'г,... — независимые одинаково распределенные с.в., принимающие целые значения. Тогда либо рекордные люменты т,к 6 {1,2,...} : к < т, определенные ранее, ко-

нечны при всех I 6 Fi с вероятностью 1, либо с вероятностью 1 существует лишь конечное число моментов I). При этом второй случай ил1еет место тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

(i) Существует разбиение множества Т на непересекающиеся подмножества Т\ и То, содержащие бесконечное или нулевое число але-л1ептов, такие, что lim q^ = 0; lim зд = 1, если соответствующее

подмножество непусто;

(ii) Ряды Yl^r)1"1 и 53(1 - (9r)",_A'+í) сходятся. rSTi ге7Ъ

При этом во многих частных случаях (в частности, когда одно из подмножеств разбиения Т\ или Jó пусто, или когда вероятности рг монотонно убывают на бесконечности) все определяется сходимостью ряда У^дг)*-1 • гет

Предположим, что все моменты N¡¡,(1) конечны с вероятностью 1. Случайную последовательность {U,kH(n)} : 0,kn(n) = Л"^v* с«)' " = 1,2,..., будем называть обновляющейся последовательностью (т, £)-рекордов. Также рассмотрим последовательность {{/„Ди)} : &m(n) — n € №. В частности, при тп = к имеют

место равенства U¡:(n) = U¡¡(n), п £ N. Нетрудно заметить, что справедливо следующее представление

п

{í/*(/)>n} С { J2 V'r(m,k) <1}С {0i(l + тп- к) > ,1}

г= —СО

при любых n € Z , ¿ € N. Обозначим

п

Z£(n)= ^>) = EZn\(n), B*(n) = DZ*(»i), «еИ, m>ft.

r= —oo

Используя данное представление и предельные теоремы для независимых с.в. {т]*(тп,i получаем центральную предельную теорему и сильные предельные теоремы для величин U^{n).

Теорема 13 Пусть Л'ьЛ'г,... — последовательность независимых с.в., удовлетворяющая условиям (7), о также

1>г)*-'(1 - (?r)"'-fc+1)(l - Ы'-'и - (ЯгГ-к+')) = ОО гет

Вкт(п)

-7- -► С,

для некоторого с € (0,1]. Выберем монотонно возрастающие функции G^ : Il —► ]R, m,A:€3N : k<m, удовлетворяющие условию

lim GM'A^n)

тп, к € К : k < т. В этом случае справедливы следующие соотношения:

Prmn.up(g"f"(B»-")<!) = !,

^ п—оо V v2cnlnlnn ' '

p(Uminfr^t"»-n)>-Q = l,

V п—оо V V2cnlnlnn ' '

Р(«Whii < Л -► Ф(х-), а; € R, (8)

V л/сп / 00

где Ф(г) — функция стандартного нормального распределения.

Кроме того отмечается, что соотношения (8) сохраняются после замены U^(n) на п£И, а также, что построенные предель-

ные теоремы остаются справедливыми, если к = к{г) и m = т(г), т.е. кит зависят от г.

В заключение рассматриваются некоторые примеры, иллюстрирующие возможности применения предельных теорем для обновляющихся (т., к)-рекордов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

[1] Малов C.B. О независимости последовательных рангов. // Вестник СПбГУ, сер.1, вып.З, 1992,с. 109-113.

[2] Малов C.B. Последовательные ранги и порядковые статистики. // Записки Научных семинаров ПОМИ. т.207. 1993. с.115-125.

[3] Malov S.V. Characterizations Using Independence of Sequential Ranks. // Abstracts of Communications, Sixth Vilnius Conference in Probability Theory and Math. Statistics, v.2. 1993. p. 11-13.

[4] Malov S.V. On the Strong Independence of Sequential Ranks. // Proceedings of the 6-th Vilnius Conference in Probability Theory and Math. Statistics. Mokslas Vilnius/VSP, Utrecht. 1994. p. 517-532.

Подписано к печати 15.11.95. Заказ 419 Тираж 100 Объем 0,75 п. ЦОП СПГУ . 199034, Санкт-Петербург,наб. Макарова,б.