Построение и анализ статистических оценок для неполностью известных семейств распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

л

С.-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТИХОВ Михаил Семенович

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК ДЛЯ НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫХ СЕМЕЙСТВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

01.01.05—Теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

С.-Петербург—1993

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

доктор физико-математических наук, профессор Благовещенский Ю. Н.

доктор физико-математических наук, профессор Клебанов Л. Б.

доктор физико-математических наук, профессор Невзоров В. Б.

Ведущая организация — Московский государственный университет им. М. Б. Ломоносова.

на заседании Специализированного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета: С.-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., 2, матеиатико-механнчес-кий факультет.

Защита будет проводиться по адресу: 191011, С.-Петербург, Набережная реки Фонтанки, д. 27, зал 311.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского университета (С.-Петербург, Университетская наб., 7/9).

Официальные оппоненты:

Защита состоится «

1994 г. в

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного совета доцент

С. М. Ананьевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача оценивания неизвестных параметров распределений является важнейшей задачей математической статистики. Одно из главных её направлений составляет исследование асимптотического поведения статистических оценок. Решение отмеченной задачи представляет большой теоретический интерес и имеет обширные практические приложения при статистическом управлении и регулировании технологическими процессами, в статистическом контроле качества и надежности изделий.

В большинстве рассматриваемых случаев классическая математическая статистика имеет дело о выборками X = распределение которых описывается совместной плотностью где ^ я (£; 0) - полностью известная во всей области изменения переменных (&,£?) б /ЗЛ* © функция ( в этом случае ми будем говорить о полностью известных семействах распределений). Предполагается также, что параметр & <= © С £т неизвестен и по выборке , С...,3^. требуетоя построить наилучшую или достаточно хорошую (в том или ином смысле) оценку Эг^Т^?,'"" параметра 0 . Кроме того, чтобы воспользоваться известными методами построения оценок, например,; методом максимального правдоподобия или вычиолить байесовскую оценку, семейство (Р = должно быть полностью определено.

Ведущую роль в постановке и решении классических проблем теории статистического оценивания сыграли исследования Д.Блекуэлла, Д.Дюге, Х.Крамера, Л.Н.Колмогорова, Е.Лемана, Р.С.Рао, Р.Фишера, Дас.Ходжеоа, Г.Шеффе. Изучению асимптотичеоких овойств оценок посвящены работы Р.Бахадура, П.Бикеля, А.Вальда, Дж.Волфовица, Я.Га-ека, И.А.Ибрагимова, Г.Кулдорфа, Л.ле Кама, Ю.ВЛинника, Дж.Пфан-цагля, Дж.Руоаса, Р.З.Хасьминского и др.

Однако реальные данные, о которыми имеет дело статистик, являются, как правило, неполными. Так, выборка может быть цензурирована по типуГили II, случайно ценэурирована, прогрессивно цензурирована, винзорирована, уоечена. С другой стороны, оемей» отво распределений 6° = (X; 60, в€(н)} может быть известно частично. Скажем, / может быть известна не во всея области изменения переменных а в области где Ь - |х: и X¿(6) (¿-1,2) могут быть конечными или бесконечными, завиоеть или не зависеть от параметра 9 ; помимо структурного параметра может

зависеть ещё и от конечно-, или бесконечномерного мешающего параметра. Например,- при олучайном цензурировании, когда полная выборка / (££•(",</,;), 7 5 ¡-¿Я-/ ненаблюдаема, а наблюдается пара (Сгде 2 « Мьпа.У) и №-1Ц<У) - индикатор ообытня <X,У) имеет плотность распределе-

ния <•' причем /Сх;э) известна, а -

неизвестна и может зависеть или нет от неизвестного параметра Э. Поэтому мн будем говорить о неполностью известных семейотвах распределений,имея в виду либо семейства распределений с неполными данными, либо частично извеотные семейства. Систематического исследования для неполностью известных семейств не проводилось. Практические потребности требуют способов пост« роения оценок для семейств, известных частично, и систематического изучения аоимптозгических свойств оценок по неполным данным. В настоящей работе ситуации о неполными данными, а также частично известные семейства рассматриваются о единой точки зрения и исо-ледуютоя методом оценок байеоовского типа.

Оказывается, что поведение оценок по неполным данным тесно овязано о поведением порядковых статистик,' поэтому необходимо изучать и их аоимптотичеокие свойства. Порядковые статистики возникают естественным образом в ходе испытаний на долговечность, с ними связаны рекордные моменты и рекордные величины. Ведущую роль в изучении асимптотического поведения порядковых статистик сыграли фундаментальные работы Б.В.Гнеденко, Н.В.Смирнова, Д.М.Чибиоова и др. Разрозненные способы оценивания по порядковым статистикам для различных распределений, а также для семейств распределений, известных частично (в основном для семейств с конечным и непрерывным информационным количеством, содержащимся в выборке - регулярные оемейства) рассматривали Ю.К.Беляев, Ю.Н.Благовещенокий, Н.А.Бодин, А.Бхаттачариа, Л.Бейс, И.Вейсман, М.Вудруф, М.Гальперин, В.Годамбэ, Л.де Хаан, Р.Дэйвио, Р.Джонсон, М.С.Ермаков, И.Л. Ибрагимов, Ш.Б.Клебанов, А.Коэн, Э.М.Кудлаев, Б.Я.Левит, И.А.Ме-ламед, В.Б.Невзоров, С.Резник, П.К.Сен, Дж.Тойгельс, Р.З.Хасьмин-ский, П.Хьюбер, Р.Щривастава, Я.Юречкова. В диссертации показана связь работ указанных авторов о оцениванием по порядковым статистикам, представлен общий подход к изучению таких ситуаций.Область исследования оценок для нерегулярных семейств в зависимости от степени информированности о распределении оказалась мало изученной. Она подробно рассмотрена в диссертации.С помощью предложенного подхода показана связь между устойчивым (робастным)

оцениванием и оцениванием по цензурированным выборкам. Кшс правило; построение оценок по неполным данным в аналитически удобном виде оказывается затруднительным, поэтому большое внимание в ра» боте уделяется разработке соответствующих простых практических методов оценивания, позволяющих строить оценки для широких классов распределений, приводятся конкретные оценки.

Целью работы является разработка и развитие новых методов построения оценок для неполностью известных семейств распределений, а также систематическое исследование асимптотических свойств построенных оценок. В рамках этого направления требовалось решить ,задачи математической статистики как теоретического, так и прикладного характера.

Методы исследования. Основу исследования составляет разработанный в диссертации метод оценок байесовского типа. Он состоит.в том» что для неполностью известного оемейотва

отроится некоторое подходящее полноотыо определенное модельное семейство <3 = {^Cx■}9)JB6<S>} , затем по семейству <о находят» ся оценки, называемые оценками байесовского типа. При сформулированных условиях оценки байесовокого типа оказываются наилучшими в определенном смысле. Рассматриваются такта специальные методы построения и исследования оценок, являющиеся частным случаем метода оценок байесовского типа. При исследовании асимптотического поведения оценок по неполным данным в работе сочетается метод И.А.-Иб-рагимова-Р.З.Хасьминского по полной выборке (он включает методы теории случайных процессов и предельных теорем теории вероятностей) и методы асимптотической теории порядковых отатиотик. Применяются и другие методы теории вероятностей, методы комбинаторного анализа, теории специальных функций, правильно менявшихся функций.

Научная новизна. Сформулированные в работе новые методы построения и анализа статистических оценок позволили о единой точки зрения решать теоретические и прикладные задачи статиотичаоко-го оценивания для неполностью известных семейств распределений.

В диссертации получены оледующие основные результаты.

Г. Предложен, разработан и нсоледован метод построения оценок байесовокого типа при различной степени неполноты описания озмейотва вероятностных распределений. Этот метод позволил дать единообразный подход к изучению ааимптотичевкого поведения оценок для неполностью известных оемейств распределений.

2. Получены различные предельные теоремы и границы качества оценок (байесовских и максимального правдоподобия), построенных

по неполним данным, в основном по отрезку вариационного ряда (цен-аудированные типа II выборки), при различной априорной информации о семействе распределений и различных видах цензурирования.

Решение прикладных статистических задач оценки надежности изделий требует доведения научных разработок до уровня, обеспечивающего их конкретное практическое применение. Здесь получены следующие результата.

1. Предложен широкий спектр методов построения достаточно а^ фективных и удобных в практическом плане оценок по неполной информации, в частности,' по цензурированным типа II выборкам на основа метода реализации оценок байесовского типа: с помощью Т-статистик, статистик аддитивного типа, обобщения представлений для порядковых статистик Реньи и Бахадура, с использованием многомерных вариантов метода включения-исключения, с помощью специальных методов оценивания по порядковым статистикам для неодинаково распределенных и слабо зависимых случайных величин.

2. Построены достаточно аффективные новые конкретные оценки неизвестных параметров распределений.

Практическая ценность и использование результатов. Неполностью известные семейства распределений,в частности,цензурировашше выборки довольно часто встречаются при оценивании показателей надежности, продолжительности жизни различных систем. Полученные результаты позволяют строить оценки, удобные в вычислительном отношении, выбирать уровень цензурирования, для которого найденные оценки эффективны и устойчивы, для цензурированных выборок из потенциальной повторной выборки, а также для зависимых наблюдений, при оценке показателей надежности изделий, включаемых в работу как одновременно, так и в случайные моменты времени, при анализе аномальных наблюдений, проверке статистических гипотез. Построенные оценки могут применяться при прогнозе наводнений, при оценке параметров распределений, когда потенциальный объем выборки неизвестен (например, при анализе времени отладки программного обеспечения). Обобщение представления Реньи дает методику выбора уровня цензурирования для независимых неодинаково распределенных случайных вели-чин^ позволяет строить оценки о заданной точностью оценивания и оокрацать среднюю продолжительность испытаний. Построен и внедрен в практику алгоритм выявления аномальных наблюдений в схеме рег-реооий, а также критерий для аттестации нескольких измерительных средств при отсутствии эталонного прибора. Полученные результаты применялись в задаче определения э#ективипх доз сос "л,о~ за»Р'И«кт"ио адским й;,!*)гчч"г отеи-коп,

■Шфобацкя работы. Основные результаты теории построения и анализа статистических оценок для неполностью известных семейсхз распределений докладывались ца 10 международных и 0 •?

Всероссийских конференциях, совещаниях, семинарах:

17 и У Вильнюсские международные конференции по теории вз-роятноотей и математической статистике (1985»1989,г.Вильнюо); 1"й и 2-й Всемирные- конгрессы общества им.Бернулли (1986 •» г.Тап-» гееит9 1990 - г.Упоала,Швеция); 10-й Всесоюзный, И-ii и 15-й Международные семинары по проблемам устойчивости и непрерывности стохастических моделей (1986 •» г.Куйбьшев, 1991 - г.Суздаль,1992« « г.Пермь); б«я международная летняя школа по теории вероятностен я натематичеокой статистике (1988 - г.Варна,Болгария); ВИТК с нз« здународньш участием стран-членов СЭВ "Применение статистичеоккх методов в производстве и управлении" (1990 •» г.Пермь); Международные научные конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (1990,1992 - г.Минск); ВК, посвященная 50-ле-?ци кафедра теории вероятностей МГУ (1986 - г.Москва); ВК по преде ль ням теоремам теории вероятностей и математической статистики (1990 - г.Ташкент); ВК "Идентификация, измерение характеристик и шштация случайных сигналов" (1991 - г.Новосибирск); 1У Всесоюзная школа-семинар "Программно-алгоритмическое обеспечение прикладного многомерного статистичеокого анализа" (1991 - Цахкадзор); В1ГГК "Стандартизация контроля качества и надежности прем пиленной продукции" (1989 - г.Горький) и др.; научные семинары Московского, Ленинградского, Пермского, Горьковского университетов, ИИ АН СССР, Л ОНИ АН СССР, ЦЭМИ АН СССР, Гф ВШИСОГ, ВНИЦ 1й.

Имеются документы, подтверждающие научно-технические внедрения результатов данной работа на предприятиях. Теоретические разработки, содержащиеся в диссертации, включены в учебные курса по математической статистике в Нижегородском университете.

Публикации. Всего опубликовано по теме диссертации 37 работ. Патериал диссертации изложен з 26 работах.

Структура диссертации. Диооертация соотоит из введения и ?рех глав, включающих 12 параграфов, а таете приложения. Библя» ография «■ 194 наименования.

Объем работы. Полный объем работа - 378 страницы, магаинопио« него текста, п том числе 302 страницы основного тбкота.

СОДЕйШШЕ РАБОТЫ

Перейдем к более подробному изложению результатов работы. Нумерация теорем в автореферате и диссертации совпадает и она яьляетоя сквозной в пределах одной главы. Ниже Ф(х.) обозначает функцию распределения стандартной нормальной случайной величины Jf€ ¡Jf(0,1), Я^О)^* квантиль порядка О1 Функции

распределения F(&J&) а / dcf . В диссертации испо-

льзуются также следующие обозначения:

)( t'-ая порядковая статистика, постро-

енная по выборке XJ , , * *. | Хц г кСк,пь) , у (к) у СК+1) уСт-и у(т, -__„,.„

^ л и > л tv ' ^ П- ' п ' " 0тРезшс вариационного ряда ( i i k £ til S" TV );

"bfl - байесовская оценка (или оценка максимального правдоподобия); JA.f.'iV) - нормирующий множитель.

Ми будем предполагать (не оговаривая особо), что выполнены следующие уоловия:

/ 0.1 / плотнооть измерима на R.1 *■ © и равномерно

по Q из компактных подмножеств ©

t •■ li - &I >£ > О оо '

где ц - / (.; 9)Ц -¡JfC^iJ- fCx;B)/dx. ;

/ 0.2 / априорная плотность 7TC&J непрерывна,неотрицательна на (5) » равна нулю вне © » с ростом 19/ растет не быстрее некоторого исшинома.

В первой главе вводятся оценки байесовокого типа (ОБТ). Показано, что ОБ! являются наилучшими в определенном смысле оценками. Изучено асимптотическое поведение ОБТ'по полным и цензуриро-ванным выборкам при неограниченном увеличении объема выборки. В качестве применения общих результатов исследовано поведение оценок, построенных по сложным планам испытаний, поведение байесовских оценок и оценок максимального правдоподобия (ОМП) по цензури-. рованным выборкам, изучена устойчивость рассматриваемых оценок по цензурированним выборкам. Введены оценки байесовского типа функции неизвестного параметра В по цензурировании« выборкам. Указаны условия, при выполнении которых ОВТ явяяюточ астигеог-кч-оки 1'-||-м>| libtiiiM" О грот оч тттпе модеяышв пом •iirn,»vr. » \ЖТ,

построешше о помощью зтого семейства, есть урезаннее среднее и гинзорированное среднее.

Близкие подходы к методу построения ОБТ использовали И.Джона, П.Хьвбер, Р.Иривастава. Асимптотическое поведение ОМП по цензурировании» типа II выборкам для полностью известных семейств распределений проводил М.Гальперин. Частные случаи ОБТ можно найти в статьях В.В.Лгеева, Ю.Н.Благовещенокого, В.Годаибо, Г.Гонга, Л»Б.Клебанова, И.Л.Моламеда, И.Ритова, §,Саманьего, К.Хейде.Я? Вречковой. Б глава I показана связь рассмотренных указанными ав~ торами методов оценивания с оценками байесовского типа по порядковым стетиотикаи. Устойчивое (робастное) оценивание изучали П. Бигсель, Н.Веравзрбеке, Дж.Гаствирта П.Енсен, Е.Леман, П.Рауооеу, Э.Рончетти, X.Рубин, Р.Серфлинг, Ф.Хампель» П.Хьюбйр, В.Штоэль. Оказывается» что имеется глубокая связь между устойчивым оцэпитанием и оцениванием по цензурированию* выборкам.

В §1.1 введены оценки байесовского типа. Указаны условия, при которых такие оценки состоятельны и асимптотически нормальны. Пусть X ~ ( X] > • • •» Хц") - выборка из совокупности Ф = , &€Gz>cR.1 У (семейотво плотностей распре-

делений X ) и задано некоторое модельное семейство <Q *

j í3"' ; ® ^ (£>)■ i я общем случае ие совпадающее о {Р ч не обязательно являющееся семейством плотностей. Определение I.I.O. Назовем оценкой tíafleoouo» кого типа (ОБТ) статистику» определенную равенством

ejx) = ejcia)]1

при условии, что сходятся рассмотренные интегралы.

Обозначим l^Cx^J- fr (X;ej/f/b (X; В). Предложение 1.1.Ч.- В классе оценок (X) , для которых

f (Ж, ¡>,u) = М - (Х;9)Е(^(Х;9)/Х)]<^

имеет место соотношение

Из предложения 1.1.1 следует, что ОБТ являются ептимялышмн в смысле среднего риока с тс сом.

Оснопу этого параграфа составляют следуюпие две теоремч 1.Т.2 и 1.1.7.

Ч.усть заданы: © - опернтнй интервал в R. значении ю-

раыеяра В ; статистическая структура {%; ¿V ^ &},

Обозначим о -алгебру, порожденную случайны!-! вектором С Х0 , Х1 >•"> хя )» а через Р^ р » сужение р& на . Предположим, что при каждом И & О семейство iPц доиини-ровано б*-конечной мерой V* и с1Рп рМ ^Сх) = /п,С&.; • Через и обозначать математические оми-дания по мере Р^ @ и соответственно.

Пусть существуют функции <2(Х0;д) и 9;{.Х',,

1 = 1,1,...,П , что J J ;

П

% СХ;£» е).П СХН, /у;ц

я пусть ^

2 (То (Хо;е*)/$(х0;&1

УСЛОВИЯ / 1.1 /.

/1.1.0/ о (х;В) ? о для любых а:, 0 , ^ о и

^ , оа

— ¿о _ ¿>3

/£.1Л/ Равномерно по 0 из компактных подмножеств ©

/£.1.2/ Процесо ^Хц^ > 1Ь ^ О, является парковании. /1Л.З/ (1) Для каждого ¿? б © имеет место разложение

</* (0,0+А.; = 1+ЬФу(е) -¡-к*-

где производная в ср.кв. от по^1-* в точ-

ке (&,&) относительно взроятиостной ме'рц Рр , - вто-

рая производная от ^ ("/?, в*) в (б>,0) по ,

О /¿у --»- О ( П-—-0; для каждого у ;

(и) Функции , (9) ^ X 55 -измеримы,

где ^ » ¿51 -алгебра борелевских множеств на /I1 . /1.1.4/ Функция

Г? ^ - Е9 [ (8)7 со и ту [9)= -Ев£$;($.)]<оо таковы, что для всех в 6 (3>

) ^ ^

/1.1.5/ Для любых 9 6® и 6 (0,'Оэ ) при Л. —со J

,11 Л'1

сК») £I Е9{1^(е)Л0^(е)/^п)} * м(в)

для любого 5- 1. /1.1.6/ Для каждого 9 в ©

& (9, <%; 0, в+к) = А |я С0; - ^(.еМ* °СкЧ, (к—о),

ГД0

причем

гш) =гЧе)+/п0о, г =^* г0Нв)>о. #

/1.1.7/ -Е&(. У* (0) / Жу-*) - о У^-п.н., ] • 1,2.....Л .

В следующей теореме указано асимптотичеоков представление

для

тЪ

-А= СХо; 0, & ^

/ </4 » У®7 ,

е^э+кпг"*- кея.1.

у - ? '

Теорема 1.1.2. Пуоть выполнены условия/1.1/, /¿£/2. . Тогда при Л. —"-оо

с I) А %Се, 9^)-к йл се) - СН) кх шее) о} ^—- Ф&/ПСщ

Дополним условия /1.1/ ещё одним.

/1.1.8/ Функции ГгС&) и /ЯС^ раотуг по 191 не быстрее некоторого полинома, а

для ИъП0, А/> О - любое число, (1^(9 ) - конотанта, зависящая только от Л/ и 0 .

•JO-

В следующей теореме указано предельное распределение оценок байесовского типа.

Теорема 1Л.7. Пусть выполнены условия /1.1.0/~/1.1.8/. Тогда оценка Qib состоятельна, а С - в ) асимптотически нормальна с ожиданием нуль в дисперсией все

моменты случайной величины p^/f ( - 0 ) сходятся прпП-гю к моментам случайной величины £ <£"

Теоремы 1,1.2 и 1.1.7 пеказывавт, что если семейства <У и <0 согласованы в смысле условий Л.!/, то оценки байесовского типа ооотоятельнн и асимптотически нормальны.

Из теоремы 1.1.7 как частные случаи выводятся результаты о предельном распределении оценок, построенных по цензурировании» типа II выборкам, по случайно цензурирование выборкам (когда распределение цензурирующей о.в. неизвестно, и в модели Козе-да-Грина), по полным и цензурировании» выборкам в модели засоряющего распределения Тьюки. В качестве примера рассмотрена следующая модель.

Пусть' / ^ - к наблюдаемых членов вариационного ря-да(в.р.)» построенного по повторной выборке X¿, Х^ с

общей плотностью распределения (п.р.) -£(Х}@)п Функцией распределения (ф.р.) F(X; 9) i зависящих от неизвестного параметра . Пусть заданы некоторые неотрицательные функции <^(Х',9) и G(x;9) на R.1 к © , не связанные между ообой. Для построения ОБТ функции от параметра ^"ГЛ'воопользуомся модельным семейством ^

a.. rx(f'kJ e)= п агх^'^а I rz-K-kгас.с,к>-

П. i" j=1(f " tí- ' '>

< .ОС < ... < OC^flo,

необязательно являющимся семейством плотностей распределения.

Оценка байесовского типа тогда определяется равенством

Л ^ г (кэ

Предположим, что номер /С зависит от fl так, что K/ft - Я + OÜ/VTU) при 11 ~-бо (0 1).

УСЛОВИЯ /1.1.13/ (С) Существуют вторые логарифмические производные по 9 для Q(x¡e) ч .

и-

(И-) Существует функция 1Г(Э) такая, что

<v'° s'cQCx-.rjffaejdx*,», tc^mejro,

-oo

( ív) Функция

o< rfczjirj-f&BMx + СЫ)G(xxmv)¡ <00

зоть кзпрорывная функция параметра 0 . < V ) Функция £1(0,) ti £ Г^Л гда

ос, се;

асе; äcx;ir)-f(x;9)dx -

— со о

^ j

■ \ko-b/f(Z¿(9J;Vj+ fy/a-Я)vj -- fd-AM &r;7* гщ

раотут по /9/ не быстрее полинона, а

Ц (y^ñ Wfrui*)«Л

Имеет меотэ следующее утверждение.

Предложение Если выполнены уоловил /1.1.13/, то

Ре WCh-ne))<x)^ §(хШ/&т.

Основные результаты §1.1 опубликована в IV) , Гв~1 , Гэ! ,

и. И. L 11

В §í.2 при во доны результаты асиягяотичвоксгго поведения байа« оовоких оценок по цензурировании!! типа II габоржеи» Установлена

"iz-

йешштотичеокая нормальность и асимптотическая эффективность бай» еоовоких сценок, ослаблены по оравнению о §1.1 требования на ое-мейство Изучение асимптотического поведения

ОМП по цензурированию.! типа II выборкам при условиях краыеровс-кого типа началось о работы М.Гальперина (1952). Результаты,касающиеся асимптотического поведения байесовских оценок при условиях типа условий Ибрагимова-Хаоьминокого для двусторонне цензу-шрованных выборок были начаты в работе М.С.Тихова (1981), а также доложены на Ш Вильнюсской Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (1981).

Здеоь неполностью известное семейство таково,' что известна в облаоти В>х(м) , где £>

s {СС : XX ^ <£2(ß)у . Для построения оценок байесовского типа берется модельное семейство

(полностью известное), для которого » f-CX;6J для

CX;ßJ £ & X © 0 гладким оклеиванием в точках Ж "OC1CBJ и Xе СЧ^ (ß) . Приводятся примеры применения полученных результатов при оценивании функции надежности. Результаты §1.2 опубликованы в [4^ •

Б §1.3 исследовано поведение оценок по многократно (прогрессивно) цензурировании^ типа II выборкам (МЦВ), изучены предельные свойства оценок,построенных по МЦВ. Дается характеризация семейств распределений свойством предельного информационного количества.

Многократно цензурированные выборки (типа I) впервые изучались А.Козном (1976). В диооертации МЦВ названы сложными планами испытаний. Перейдем к описанию этих планов испытаний и полученных результатов.

Предположим, что на испытания поставлено п, изделий, моменты отказов являются независимыми олучайншш величинами. После отказа из "tU изделий о испытаний онимаютоя Му каких-либо не-отказавших и т.д.,и,наконец, после отказа изделий снимается

неотказавших, а остальные наблюдаются до полного отказа.

Пусть к ■ 1, Wlf =■ -М, и % * t ' % (1Ь) - последовательность целых, такая, что &М, V/t (Vit-) " 0, iCfK^l/H «

- JA. (, О <А/< I, О ¿j^L-ü 1 - X) и выполнены условия /1.3/.

УСЛОВИЯ /1.3/

/1.3.1/ Для X 6 (- оо , Я1д,(0))у(СГ^ (в), СЮ ) плотность £(ЗС;6) Дифференцируена по О, р(х;Э) дифференцируема но В

~ ib " "

s te OC , (Э) . пдгсноогь f-(X;9) непрерчнп по Л! в окрестности Х^ХО), - непрерывно дифференцируема по 9 , £(9) п *= j? ( 3C,j (0 ); р ) О н^прерцрна по 0 , а функция

У(в) = / / Тx;e)f(x;ejdz + + ('/-4 -/f) а-X)"1 ! t %;ß)-f(z;ßjdx+fiV-l) F)

F = Oß V-J F С X, (9J; VJ /v s e

нспрарнша in 0 , О < У(&)< , *$■(&) растет по /<9/ не быстрее полинома,

Пуст? <си1еоозюкая оценка иди оценка максимального

nparaoiionov'i.'t, кос сроенная по функции правдоподобия

Lji (ß) „ я ? nf-çcx. в)(1 - F(X%>; в)) ПЬ- ■

Я'1'ViVr ' Г'11

. П f(xr,9) , 1Ь = 11 (Я-О • (11-1+1)

L ~ 1

Т ОЙИОГМ

/Л, - - ft.

7?.

' 'j - ' . i ос (}_)< -X,- <е*о - 4 о n-Y-M I

Qoüowr- f>î,3 ЯВЛЯОТОЯ ОДОДуичая ТООрОИЙ.

Теорема 1.3,1. Пучч. рчпашеич условия /Х.ЗЛ Тогда

"р" ЭТС" л Р >1 №

я< ^ В0 / и - О!!' — ?' (9)ФШ)Х /гС/л), где ^

сс'. -1 - сс

Г(ы.) = J X е сСх, ¿>о; /5>о.

о

В этом же параграфе при дополнительных уоловиях на функцию распрэделения РС^-', в) дана характеризация некоторых распределений свойством предельного информационного количеотва $(&) , приведенного в теореме 1.3Л.

Теорема 1.3»2. Пуоть функция распределения 6) имеет неп-

рерывно дифференцируемую по X плотность /С^; в) о конечным и ненулевым количеством информации Фишера X О) •

-м-

(i) Если 9 - параметр масштаба, т.е. F(Xj&) = F(&•/&), &> О, причем Я (0) = О, /(Х)> О для 22->0, для любого 4 * ^(0) - U-^oi^B'^.oO О, 0<4<1. 0<у* ¿I - Д, , то

F(x;ej= 1 - еэсрС-C3c>0/e£>0j.

(¿О Еоли 0 - параметр масштаба, причем Я (0) =■ 1, ■f(X) > 0 для а: < 0, для любого X : (<9) -

- С l-fOot* 9~ , об<о, о -¿и ¿si- X , то F (х; 9) = ехр С- сос<о, оj.

(¿U) Если в - параметр сдвига, т.е. F(x; &) «« » FCX-&J, / (Xj > 0 для - С/у* ). ГО

F(x-e) 1 -еэср ,

Основные результаты этого параграфа опубликованы в £22] .

В §1.4 полученные результаты асимптотического поведения оценок байесовского типа по цензурированныы выборкам используются для построения устойчивых оценок параметра распределений. Пока-вано* что предлагаемые оценки устойчивы при отклонении распределения Fa (X) от

НШ

- неизвестная функция распределения, принадлежащая известному семейству распределений. Мерой эффективности служит отношение коэффициентов вариаций сравниваемых оценок. Здесь неполностью известное самейотво (Р ■ {-f , в € © J- имеет вид:

где O^f <1, $оСХ',&) - известная, a llCX)- неизвестная плотность распределения, модельное семейство есть (о "

- ее о} .

В последние годы вопросам устойчивости статистических выводов уделяется приотальное внимание (П.Бикель, Дж.Гаствирт, ЕЛз-нан, Й.Ритов, Г.Рубин, §.Хампель, Ю.С.Харин, Н.Хушкова, П.Хью~ бвр). Наш подход в этом вопроое близок к подходу Г.И.Симоновой (1980). Он состоит в том, что для оценок байеоовского типа выбирается такое модельное семейство, чтобы предельная диоперсия ОБГ била не чувствительна к отклонению от основного распределения. В §1.^ проведено численное сравнение урезанного и винзорированного средних с наилучшей оценкой масштабного параметра нормаль-

-Ум-

ного распределения, а также асимптотическое сравнение оптимальной оценки масштабного параметра о оценкой Джини. Исоледована устойчивость оценки Джини в модели отклонения Тьюки:

^ (Х;0) - {1-е )Ф<зс/0) + о,

где ™ уровень загрязнения, О - параметр загрязнения.

Предложена методика выбора уровня цензурирования, для которого получаемые оценки достаточно эффективны и уотойчпвы в модели Тьюки. Результаты §1.4 опубликованы в работах , [19]] .

Во второй главе рассматривается поведение оценок по цензурированиям выборкам, т.е. в случае, когда исходное семейство отроится по полной выборке Х^ , Х^,..., Х^ (по вариационному ряду Х^^ ... а модельное семейство - по отрезку

вариационного ряда X ^ + При этом предполагается,

что плотность случайной величины X нерегулярна,

Э) полностью не известна, но известен характер её поведения в окрестности некоторых точек.

Исследованию поведения байесовских оценок и оценок максимального правдоподобия для нерегулярных плотноотей по полным выборкшг в,книге И.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминокого "Асимптотическая теория оценивания",М.:Наука,£979, уделено большое внимание. Этот вопрос (для полных выборок) изучали также Г.Рубин, М.С.Ермаков. Для цзн-зурированных выборок изучение поведения оценок параметров нерегулярных и сингулярных плотностей впервые начато в работах автора.

В §2.2 рассматривается случай, когда плотнооть распределения исходных независимых наблюдений заключена в интервала , ), на концах которого допускаются особенности

функции /СЖ,*^ . На интервале + ,

где , - любые положительные чиола ( У- Е плотнооть неизвестна, но не имеет особенностей. Исходное оемейст-во известно в окрестности точек X ^ (9) , ,

4 (\1(9)-го;9; = >0,4(^(9)-О; е)^(э)>о/

модельное оемайство известно в интервале , имеет

гладкое оклеивание в точках (&)-(-1)10* I в 1,2, и регулярно внутри.интервала ( С.&) ¡ ). Оценка параметра производится не по всей выборке, а по оё части, получаемой отбрасыванием к крайних наблюдений олева и 5 - оправа. Показано, что в случае разрывов первого рода и к + 5 • СОКВ'к характер асимптотического поведения ОМП и БО качественно не ме~

~J6-

няеюя по сравнению оо случаем полной выборки, в частности, их скорость сходимости, как и в случае полной выборки, имеет порядок П~1 . Если же к{Пд - " , где О -1,то скорость сходимости уже имеет порядок % " 7 , а в случае

kiflViU -~ Cf , S(*t)M-- Q¿ ü'SAt % .Таким

образом, влияние особенностей на краях интервала все более ослабевает по мере увеличения глубины цензурирования, что связано одновременно с потерей определенной информации. Здесь асимптотически наилучшие оценки можно строить по паре порядковых статистик ( 1 X пРичем Т0Ч110СТЬ оценивания уменьшается о увеличением номеров Н и 5 • Получены также результаты асимптотического поведения ОМП и БО в случае степенных особенностей плотности на концах интервала в рассматриваемой схеме цензурирования.

Приведем два основных результата этого iiaparpe.ijíi, УСЛОВИЯ /гЛ/

/2.1.1/ Плотность -f(X;dJ равна (XJ &) (ЭС-4-1 С&)) для X > Д, (в) , равна (Х;&) С4¿,C9j-Xj*Mñ СГ.\ Щ

и равна нулю вне ( Д; (£?)„ Д^ (,&)). " '

/2.1.2/ ( I - 1,2) - непрерывно диффереищфушши

функции 9 , О S: Я ¿ (б) < со , причем i'(9J '■;[ '(&)> О. /2.1.3/ Mü Xé ( -£.). где á\ , ó'l

С ¡f'y > o, > 0) - любые, удовлетворяйте условию cf-y +

"1 x (&) (&) > Функция -/'(X; 9) дифференцируема rio <9 для начч'и всех ОС , причем функция

;/,/ <еj -- J /

дч (&)+£,

яв(нс:л;я непрерывной функцией О на ©и 0 < Н 00 ■

t Í л.

/2.1.'i/ Существуют £? , > 0, что на интервале С » (í-j:)6t- , ' (2~i)E¿), С■ 1,2, функции

(VL',l'J ptiuiuii.ie.piio по Э из любого компактного подмножеств (м) уд(1илитпоряют условию Липшица порядка > 0) и (f¿ СО) 6 ¿{¡У 1 , L » 1,2. /2.1.с)/ Существуй такие (I) > О, 0\>0, что

j [Cj: »• .у ¿ (a-;&)]l/x-4¿ C&Hdx * 0(£lJ, *■-*<>, V- •

/гл.6/ Сростом 191 функции (^iCeJj НQ- ¿-¿(9) растут не быстрее некоторого

полинома.

/2.1.7/ При '% —*~Оо к(П+1) - кш - о( VTov)), 5 0t+t) - S Ш - о( /1Г(?£)); 0 ¿k (JV), S (fii) ¿ и -1,

km + s m ¿ ít -i.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия /2.1/ и пусть при. Я -—.ж И * к (Н,)о* , к W/fb — 0,5 Ш/ к Ш --1.

Тогда для С П- к U <1+ olf )í/{UoL) к 2

(t ) конечномерные распределения функции

где л ^ /- * »

4 С *Т В) « ЛCk!sl)'\nkJcx %>; 9).

•Fk(X C¡lH>; 9) (1-Hx ajjs

для <

сходятся к конечномерным распределениям функции

"Лв «о - - иг1г(9)/2 + ц | I2Cf?) = С í -оС2)'1,?2^). ?2(0) - v^(0) y£(0) - (0)4/(0). ¿ - 1.2;

(ú-o в, Ck - / ^ifyj/'Ü&j/rctt

(ÍV) для любой последовательно«-?« оценок ¡%ij • основанных на наблюдениях Я! Ь

j^M fe , р^л / /-:./ Я; с^. - ¿-;/ /¿>

Обозначим |;с<//,•.") - Щ(Л), { 1,2, олучайныв

меры на бореле¡wittix мно»>. ..-ib.'»/ /I пряней* определенной сла-

ДУИЩИМ OÓpi'.'jmi ( -1 -с -.1 < 1, Q • о, Cj ^ 0 ).

-/в-

1) Значения на непересекающихся множествах независимы.

2) Если [.14,V] <=. Г О, сю), то 7ГС1 (Е14,1Г1 ) есть пуас-соновская о.в. о математическим ожиданием - И1

3) Если Си, и1<^ (-оо ,07 ,то ШЛСи,К]") есть пуаооо« повокая с.в, о математическим тщанием &

Определим случайные функции

х 0)(и>) /1-и/х/ст/^

¡"с а т/я!* -1--Л&Ч1- И/х/)/х/^их -

° 1+сС -

, еолв } Ш1 (Ах) -о,

- ©о . если

% м (и)* /1 _ и/х/ ( Пс^и^ - е (¿х)]~

- -и./х! -и Н-и/хЩоц^ыт-

■кииГ^дьИ/сш). вми /V - о.

- - ьо , если [ / 0.

Георема 2.1.5. Пусть выполнены уоловия /2.1/, И " 1< (И) 'а ШИ^

•• параметр одвига, -1 < < 1. Тогда:

( ¿) конечномерные распределения случайных функций ^Сй) оходятся к конечномерным распределениям функции _.

+ ЬЦ+Л) У* иС^/йа+г)"0^*;

-я -(^/и^^^с^^)1"1^

= - оо в противном случае» где > ¿£+7 °УТЬ неза-

висимые о.в., имеющие гамма»распределенив о параметрами (А"/- / ) и (Б*-/) соответственно,• 1/(1+еО

(■¿О предельное распределение (*Я/(1+оО) совпадает о распределением

/ ^ ехр %(и.Ми. с / ^Ш&и )

_1

В этом жз параграфе рассмотрено поведение байесовоких оценок » построенных на основе двух порядковых статистик

(Х^Ч )• Показано, что в случае Ы. ° О, предельные

распределения оценок ЭД^ по двум порядковым статиотикам и оценок, построенных по" отрезку вариационного ряда ,

совпадают, когда /<Сп/>—-00 . к{Ю/п,-*- о, вСЮ/к(П,)-г —> £ при ^Ь-'О3 . Результаты §2.1 опубликованы в работе [I] .

В §2.2 рассматривается случай, когда плотность наблюдаемых независимых величин имеет особенность типа /С^/' 9) ~

/V (9) ¡ОС.- Х^(9)/** , ОС.-* а^Щ; О, в окрестности квантиля уровня 4- , где ) удовлетворяют ус-

ловию Липшица. Поведение баяеоовоких оценок, построенных по отрезку вариационного ряда Я! ^ к где „

/С ОНО/И/ а Я' + , 71 со оущеотвенно зависит от харак-

тера изменения Э'ьУЪ}, I = 1.2. Так, в случае особенности типа конечного окачка: = О, /^ + (£0 -£-(£)/> 0, скорооть оходимости оценок имеет тот же порядок , что и для

полной выборки, если

оо , а при ^

—> 0 оценки ведут себя так же, как и при оценивании по одной порядковой статистике X ^¡^ и оходятся со скоростью В промежуточном случае -** С^ , I » 1,2, предель-

ное отношение правдоподобия, построенное по отрезку вариационного ряда X представляет собой смесь случайных функций, компоненты которых соответствуют случаям -~> —оо и (.Н'У/иГ —»• 0 при —*-0о . Веса этих смесей зависят от и С2- Таким образом, платность распределения известна здесь в точке модельное оемвйство гладко проходит через точку Если рСЯ^СС?)- О; В/ » и <*) - (#) / > 0, то наилучшую оценку следует строить по отрезку вариационного ряда ^ + , причем к! П. = Д, + о(1//£),

Приведем условия на распределение иоходной случайной величины и основной результат этого параграфа.

УСЛОВИЯ /2.2/

/2.2.1/ Существует такое £ >0,чго в ¿-окрестности (9 ),

т.е. на интервале (СС* (0) - £ , ЗС^СР) + £) п.р. (X) 9) имеет вид

где $+(£>)> 0, непрерывны по <9 ,аС>~1, - $_(£)/> О.

/2.2.2/ Функция Я; абсолютно непрерывна по 0 при фиксированном £6А£ = (-- £ )ис^4 СР) + £» оо) ДЛЯ любого ¿>0, причем производная СЭ/Фб*-)/ существует

при каждом В Для почти всех А^ .

/2.2.3/ Функция монотонна, непрерывно дифференцируема

и ,'ОС.^в) / > О. /2.2Л/ Для любого сР>0 функция

ор.

1(0; = / + // - оО ее (в) 4-

непрерывна по 0 в О ^К^;!1) < и . /2,2.5/ С ростом ¡9! функции # + ЩС&Л, Ш'Л) растут не быстрее некоторого полинома. Основной результат составляет следующая теорема.

Теорема 2.2.5. Пусть - байесовская оценка параметра ,

построенная по отрезку в.р. 02 ^ - 5 , /с + 5 ) п.р. этого отрезка в.р., /Г/Я- = Д + о(10Г), ОсД'-^ 1« выполнены условия /2.2/,

Тогда:

( £ ) если ^/Т? —»- ¿ХЭ < г = 1,2) при 11-? со, <?(. » О, Ц. (-?!✓) = , то конечномерные распределения функция ^ (и ) сходятся к конечномерным распределениям функции

с го' = 6?; - б?;; ^ ;

+ П. С ки] йСЮ/^тС^Ги.) 4 }л". (V

где 1Кх^вЩ+СеШ, =

V (К.) и V (16) ■» стандартные нааавчашша пуаоппшхппм^ случайные процессы;

С С О если б;//»Г —>0 ( £ » 1,2) при // (^Л -

" то конечномерные распределения функций ^(и)

оходятоя к конечномерным распределениям функции

Уе (и) = % ао=С^Си "т(¥) - зелень) - VI/ /(Х(1-Л)) - С1Г(1Г'7а) - '/('24 И -Л )),

"cli-

гдо v(x) = kczj IX! Hclsig.nai/(i+4)t kfr) =

ооли VC>0, kCX) = , еоли X<0, h(Oj = 0;

С йЧ' ) еоли —»-С; ( t a i .2) при ¡Jo , oC =0,

ILitis) B fU » то конечномерные распределения функций faj

Сходятся к конечномерным распределениям функции /

% W = (Я* w - Я-С9)}^ *

где h не зависит от UzCtO, Р( » 1 ) = =

- i У . V - SCCg/^O?)) " <<9)). при этом

Р& CfW(t„.-9J<xJ

00 ^^ — / С(о(и)сил С¡eocpy&(u)du)~< х).

В отом же параграфе показано, что если байесовская оценка flt^ построена на основе одной порядковой статистики »50

со со ^

—^/> С ШсШ. (fexf^p (v-)da f<x).

Основные результаты этого параграфа анонсированы в [б J и опубликованы в £7 J .

В § 2.3 исследован случай, когда плотность распределения наблюдаемых независимых величин имеет особенность типа

^tCoJtx - хх(&)/f х -»x^c&jto

в окрестности квантиля порядка : О Дока-

зана локальная асимптотическая нормальность оемейства распреде-. лений, построенных по порядковой статистике или Х^^

когда к = кОЬ) , кСЮ/П = oCil"VtJ, , а

S * SCflO есть правильно меняющаяся на бесконечности последовательность порядка I* Показано, что как нормировка, так и предельное поведение оценок отличается от случая §2.2. Поведение отношения правдоподобия » построенного

Г1..С р + с )

по отрезку вариационного ряда X % также зависит от

характера изменении 5 г SOt-). Так, воли % fl*

при % —w.'o п У => 1, то Жц р (U) вздет себя как отношение пр''<!ш)!шди01ы (Oil) гт полной выборке; если 1/2 - как по

одиой порядковой статистике 1 Х^ • В случае Î/2 < < 1

прэ-

дельное распределении ОП J^ § (ti-J отличается от продольного распределения ^ р (U.) но полной выборке лишь параметрами, которые зависят от р .

Приведем один из полученных результатов.

7С10ВИЯ /2.3/

/2.3.1/ Существует такое Л > О,' что на интервале - А »

) плотность -fCX',9) имеет вид:

pj ~ (Вh если Х6 %(В)+Л),

í C&X^WJ ' 2), если X 6 (ОСя (9)-й, Хл Ш.

/2*3.2/ Существует такое â> О, что на интервале ( Хг^ ( f? ) -ñ , X, (&) + 4 ) плотность ) i^cct вид:

если г 6 № С^ +

ДО - /l с*; - £ J если ссе Ся^сю-д, Xj,С/?;;.

Тоорена 2.'3.11. Предположи, что Енпазаекы условия /2.3.5/ шш /2.3.2/ и /2.2.2/ - /2.2.5/,

Р гr^C-k-S-, 11. К+!,г)

¿ъ пдотпость распределения отрезка

юриационного ряда / "

Пусть 5, /¿t П-ъ-р.Уг^иф

и ¿¿(а) - Тогда при » ffcj

сходятся по распределению к случайной функции '

Хв W = - + Mdsce),

где o¿СЮ СЮ)(^(еЖ)Vx,

если хыполнаио условие /2.3.1/, и

6}СО) = -Vs,)kïC9)+(fi - V^)k!r(VXx¡(Mti)b/(mV¿

если выполнено условие /2.3.2/.

Если S^/% » о(î/lfJl.'), i « 1,2, то ^ri^Ut) вздет себя

/(ГА-;

как ОП, построенное по одной порядковой отатистике л ^ , а если оС = уЗ> = 1 - как по полной выборке.

Если 5,; /4//Г"-С; , С ' 1,2, то ^ ^ сходит-

ся при к '

где ^ и - независимые с.в., = Ф))~

- ФС-Ч/1-т, Ре(у=о) = /-¿г, У? (М - дНв) + С>мЛР)+Сч-1)с1_С9))сх1(е)и)у*

если выполнено условие /2.3.1/, и

(д) = ¿Чю

6 49) = (9))(.9) и)4СЦ(&)1

еели выполнено условие /2.3.2/. При

этом ро _ |

Основные результаты этого параграфа анонсированы в £и] ц опубликованы в £12^ •

В параграфа 2.4 исследован случай, опубликованный в работе , когда оценки строятся по отрезку вариационного ряда ,

где = К (Ю -*■ гх> , £ (ИУЯ —> 0 ( П-г&э). Показано, что как нормировка, так и предельное поведение оценок отличается ст случая §2.1. Метод доказательства результатов состоит в использовании гипергеомвтрических функций многих переменных и их свойотв.

Практические потребности требует способов построения оценок для частично известных семейств распределений, которые были бы удобны в вычислительном отношении и в то же время достаточно эффективны. С этой целью в третьей главе рассматриваются опециалыше методы построения и исследования оценок.

За последнее время интерес к исследованию оценок по наполним данным значительно усилился. При этом рассматривались как обиие ссмойотла распределений (Г.Боэнте, Г.Бхаттачариа, И.Вей-

ссман, Дж.Внккоф, П.Гриффин, Р.Джонсон, Дж.С.Рао, В.ля Риччиа, П.К.Сен, Р.Л.Смит, Д.Томас, Р.5рейман, М.Энгельхардт), так и частные семейства распределений: показательные (В.Паджет, А.Па-падаполус, М.Саманта, Р.Шривастава, Н.Эбрахами); -семейства Тьюки (М.Хушкова);; семейства распределений Парето,' Барра, оценивание индекса устойчивого распределения (М.Ахмад, А.Деккеро, Р.Дэвис, А.де Мейер, А.Рагаб, С.Резник, В.Рахатджи, А.Салех, Дж.Тойгельо, А.Уэлч, Л.де Хаан, П.Хилл, П.Холл, И.Эванс). С помощью порядковых статистик и спейсингов производилась оценка плотности, её производной, функции меток (Б.Барабан, Оуянг Соо, Да.ван Ризин, Н.$алк).

В §3.1 мы рассматриваем ситуацию, когда наблюдаются порядковые статистики X ,..., ХС%} , при этом 7П-= ?rt(W) = = о(ЯО (fU—'CO), а вид распределения известен лишь на хвостах.

Вводятся Т-статистики вида

ПТ(Х <*•">) - т(х Т^Л

где Т(Я» m непрерывная строго возрастающая функция, Т(О) » О, Т(Х) -г»оо при Х—*0О, ¥(Х) - монотонная функция. Частными случаями Т-статистики являются статистики, введенные П.Хиллом, Л.де Хааном. П.Хилл брал T(Xl~ Ùl£ , УX. для НЩв) -= 1-СХ~& при Х-»о°(6 > 0). Л.де Хааи изучал поведение статистик Tfp о Т(Х.) = Ux , Щх) = X. и fix.J - при построении оценок параметра & функции распределения ■ ехр( - ( 1 + РХ ). Нами рассмотрено предельное поведение Т-отатиотик. Приведены достаточные условия асимптотической нормальности Т-отатистик. Установлено интегральное представление для характеристической функции нормированной разности Т-статистики. Изучены случаи, когда предельным распределением являетоя устойчивое. Приводятся примеры использования Т-отатистик для оценки параметра гамма-распределения и распределения Вейбулла. Показано, в каких случаях наилучшие оценки основываются на одной порядковой отатистике. Аналогичным образом можно изучать поведение Т-статистик, построенных по порядковым статистикам ,.. ••» ^ft^ . Т-статистики применялись де Хааном при анализе наводнений, они бывают полезны при оценке параметров распределений, когда объем наблюдений неизвестен, например, при оценке времени отладки программного обеспечения. Результаты § 3.1 аноноиротпи в работе [î83 и опубликованы в [23] .

В §3.2 найдены предельные законы распределения крайних чле« нов вариационного ряда -^-зависимых случайных векторов или векторов с условием сильного перемешивания как в стационарном, так и в нестационарном случаях. Доказательства результатов основаны на использовании различных вариантов многомерных формул включения-исключения. Используя полученные результаты, построены оценки параметров распределений на базе одной или нескольких порядковых отатистик. Показано, что нормирующий множитель, а также предельные распределения совпадают со случаем независимых случайная векторов. Результаты §3.2 опубликованы в работах [1СЩ21] [3 ].

В работах Г.Дейвида и П.Бхаттачариа двумерные векторы ( X;, Yî ) ( t = 1,2,...,% ) располагались в порядке возрастания первой компоненты. Упорядоченные таким образом вторые компоненты векторов были названы этими авторами соответственно сопутствующими и индуцированными порядковыми статистиками. Иными словами, пусть X ^ ( t ^ ь ~ ~ i -ая порядковая статистика,

построенная по , ..... Хц « Обозначим через У Ч^р (Л^ь*

1-ю сопутствующую (индуцированную) порядковую статистику второй компоненты: если = Xj , то /= Yj . Линейные комбина-

ции индуцированных порядковых статистик изучались П.Бхаттачариа, А.Сандстремом, П.К.Сеиом, С.Янгом. С.Янг использовал линейные функции индуцированных порядковых етатиотшс для построения не параметрической оценки функции регрессии.

В §3.3 изучается асимптотическое поведение аддитивных статистик общего вида, включающих ранее рассмотренные случаи,

\ ~ <S I-7 A(i/tlj X yCib1)j

где Д - заданная измеримая функция. Если A(.t>XtU)

равна А^Х,\р Для Д, , £ < / 'Я^ ( ¿Ц + Ъ^й I) и нули -в остальных случаях, то

Т - ± У А г v V Ci 7 )

Т>1 - ~ь i - PUjj Aj С j П; У ъ V

представляет собой аддитивную статистику, построенную на ооновв цензурированной выборки. При некоторых условиях регулярности для наблюдений, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания (р.с.п.) но И.Л.Ибрагимову, доказана асимптотическая нормальность и асимптотическое представление статистик 7^,. В отсм n:ip>inpii.]tî Hoeipjeim также опенка функции распределения Q (X) =. Г-. ( 2I когда вместо пары ( X , 2 ) наблюдается

н и:л С л ,1! '1, гл,о W -- Т (?„< X ) - индикатор события (2<Л),

-26в вице аддитивных функций порядковых статистик Л и индуцированных порядковых статистик V/ ^ . Доказана асимптотическая нормальность построенной оценки неизвесткой функции распределения ф (X), найдена предельная дисперсия данной оценки. Указан . оптимальный порядок скорости сходимости оценок к .(р(Э-), а также порядок остаточного' члена в асимптотическом представлении статистик , когда коэффициент р.с.п. Ч'ОЬ)- имеет степенную или показательную скорость сходимости к нули. Построена адаптивная оценка Ср^(Л) для ф (££), которая имеет предельную дисперсию,меньшую, чем построенная ранее В.В.Агеевым и Ю.Н.Благовещенским оценка для Ср(Х). Статистика нашла применение в задаче оценки функционала зависимости "доза«эффект" по данным бинарных откликов, отвечающих различным значениям доз СС^ , при определении среднеэффективных доз ксенобиотиков. Результаты §3.3 опубликованы в работе [й] .

Одним из методов доказательства предельных теорем асимптотической теории порядковых статистик и их линейных комбинаций является метод представлений» позволяющий выразить распределение порядковых статистик через распределение сумм независимых слагаемых. Для стандартных показательных случайных величин таксе представление впервые было предложено в 1952г. Л.Реньи. Хороио изве-» стны также представления Р.Бахадура, В.Б.Невзорова. В §ЗЛ такого рода представления получены для порядковых статистик, построенных по независимым разномасштабным показательным олучафшм величинам. Они даются следующей теоремой.

Теорема 3.^.1. Если с.в. , ,..., У\ц имеют ф.р. ¡"¿(Ж)" " ишд.(0, 1 - ехр(= Д.; О.))» >0,1 £ ¿6П- , то распределение вектора порядковых отатистик ^ X ^¡{^}ц--] ПРИ любом ■".овтдает с распределенном вектора

; У ? - У ^ + + I я

* V 2 Ч

гге ~ независимые стандартные показательные о.в.,

- вектор антирангов.

Получено также обобщение представления Р.Бахадуро для с 14!дней Функции распределения слабо зависим»* еяучппи"* т"'ди-чин, Дто обучение представлено оледующей теоремой.

-2.7-

Теорема 3.4.2. Предположим, что f Jft' _} » V ^ 1 - последователь ность случайных величин с условием равномерно сильного перемешива • ния по И.А.Ибрагимову л коэффициентом ) —(у —*

Пусть для надлежаще выбранннх последовательностей > О и §>п для действительного ~Ь в предположении А = К (tU) но или /( (Я-УЯ- —? 0 при f, или + )

1шеет место соотношение

щ^м=с ^ ti tti

где ^CXJ = fU-'zg, PCX, <*jt __

= > = 1 ~ V > \нг ^ЧЛк /Л,

ряд j^j " сходится. Тогда при Оо имеет место представление

где £XJ - эмпирическая функция распределения, построенная по виборке , ,..., А^ , Оъ&п, О оо).

Результаты §3.4 анонсированы а работе [26J и опубликованы в работе [15] .

Используя полученное в §3.4 представление в приложении П.1 строятся оценки для зависимых наблюдений по одной или нескольким порядковым статистикам, когда в качестве модельного семейства распределений взято такое, как еоли бы исходная выборка была повторной. Показано, что нормирующий множитель здесь такой же, как и в случае повторной выборки, однако предельная дисперсия построенных оценок отличается от случая независимых наблюдений. В приложеиии П.2 изучены последовательные оценки параметра сдвига равномерного распределения по цензурировании» выборкам, опубликованные в работе £2"] . В приложении П.З построены оценки дисперсии линейных комбинаций функций порядковых статистик как аддитивных функций от спейоингов к-го порядка. Они приведены в работе [13] и изучены в работе [19^ . Доказана асимптотическая нормальность указанных оценок, найдена нределышя дисперсия этих оценок.

3»лм ш статистического управления и статистического рогули-

Iмjимгп 1 п nei'Oiuru приводят к необходимости пннлизн пнсммльных

иаблюдений и построения критериев по цензурировании выборкам. В приложении ПЛ изложены задачи, возникающие в системе контроля технологических процессов на компьютерной основе: предложен п списан простой в реализации, ho достаточно аффективный алгоритм выявления аномальных наблюдений в схеме регрессий, а также критерий, построенный на оонове последовательного цензурирования вариационного ряда из средних, для аттестации нескольких измерительных средств при отсутствии эталонного прибора. Материалы оригинальных научных разработок вошли в основу алгоритмов и программ компьютерной системы контроля технологических процессов ЗК CT-13I2, созданную в Опытной Конструкторском Бюро Маш:-построения. Данная компьютерная система контроля демонстрировалась на Всесоюзной и Международной ("Автоматизация-89»г.Моск-га) выставках. Система описана в работах £17} , £20] .

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕЖ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тихов М.С. О предельных распределениях оценок по двустороннз цзнзурированным выборкам. - к."Теор.вер. и её принзн.",19сй, т.29, в.2,0.354-360.

2. Тихов ii.C. Последовательное оценивание параметра сдвига равномерного распределения по цензурированным типа II выборкам. - Записки научн.семинаров Л0МИ,1984,т.13б,о.¡83-192.

3. Тихов М.С. О предельных законах распределения оценок,построенных по цензурированным выборкам. - Статистич. методы :межг.уз. сборник научи.трудов, Пэрмь:ПГУ,198гье.Й5-15^.

'г. Тихов М.С. Об асимптотических распределениях оценок по цензу-рированным центральным членом вариационного ряда выборкам. -•» 1У Вильнюс.межд.конф. по теор.вер.и мат.статиот. :т8зиоы докл.,Вильнюс:Ин-? мат.в киберн.АН Лит.ССРЛ985,т.З,о.!85>*1Пб.

5. Тихов М.С. О предельных распределениях отношения правдоподобия и оценок по цензурированным выборкам. - Статистич.метели: Нежвуз.сб.научн.трудов, Пермь:ИГУ, 1986,с.95-iO'f.

В. Tikb'o-s U.S. Asymptotic ЪеЬа-vior of statistical estimates of parameter i'or discontinuous density based on censored smoplon. - 1 st World Congress Bernoulli Society 181: loohlcent - Ueuka, 11. - 1986 - v.1 - p. 176.

7. Тихов U.C. Оценки параметров нерегулярных в окрестности квантилей плотностей по отрезкам вариационного ряда. « и."Теор. вер. и её примен.",1987,т.32,в.2,0.382-387.

8. Тихов М.С. Об оценках байесовского типа. -Статиотич.мехбдн: межвуэ.сб.научн.трудов, Пермь:ПГУ,1988,с.62-б8.

9. Тихов U.C. Устойчивость оценок байесовского типа по отрезкам вариационного ряда. - Проблемы теоретич.кибернетики: тезисы докл. УП Ваесоюзн.конф., Горький, 1988,ч.2,с.136.

10. Тихов U.C. Предельные распределения крайних членов вариационного ряда слабо зависимых величин и векторов. - Комбинаторно-алгебр. и вероятн.методы прикл.мат.:межвуз.сб.,Горький:ГГУ, 1989.С.98-И0.

11. Ткхов М.С. Асимптотики цензурированных статистик отношения правдоподобия. « У Вильнюс.менд.конф. пэ теор.вер.и мат.отатисг.:тезисы цоо.,Вильнюс :Ин-т мат. н киберн.АН Лит.ССР,1989,т.о.277-278.

12. Тихов М.С. Асимптотики отношения правдоподобия по отрезкам вариационного ряда. - ж."Известия ВУЗов:Математика",1990, »7,с.69-79.

13. Тихов М.С. Применение статистик аддитивного типа в оценивании параметров, - Применение статистич. методов в производстве и управлении:тезисы ВНТК с межд.участием стран-членов СЭВ,Пермь:СНИО,1990,ч.1,о.93-9^.

14-. ШШют) U.S. Bayes Type Estimates. - J.Soviet.Math. - 1991, Ко 56, p.2438-2442.

£5. Тихов H.С. О сокращении длительности испытаний при цензурировании выборки. - ж."Теор.взр. и её примен.",1991,т.36, в.З,с.626-629.

16. Тихов М.С. Об устойчивости оценок байесовского типа по отрезкам вариационного ряда. - Сб.тр.ВНИИСИ.М.,1992.

17. Тихов М.С., Галушкин В.А., Плесков К.Г. Система контроля технологических процессов на базе ЗВМ. - ж."Надежность и ко нтр ол ь каче ст ва",1991,S2,с.27-30.

"3018. liMiov U.S. On asymptotic behavior of T-statistics. -Abstracts of Bernoulli Society World Congress: Upsala, Sweden - 1990, CP-39, p.4fl.

19. Тихов М.С. Аддитивные статистики и устойчивость оценок по цензурировании« выборкам. - Проблемы компьютерного анализа данных и моделирования: об.научн.статей, Минск:БГУ,1991, с. 174-179.

20."Тихов М.С. Программно-статистическое обеспечение системы контроля технологических процессов. » 1У Всеооюзн.ик.-оем. "Программно-алгоритм. обеспечение прикл. многомерного стат. анализа":тезисы докл.,Цахкадзор,1991,о.246.

21. Тихов М.С. Оценивание функционалов от стационарных последовательностей слабо зависимых величин. « Б кн."ХУ1 Всеооюзн. вкола по теории операторов б функ.пространствах":тез.докл.. Н. Новгород, 1991, о. 226.

22. Тихов М.С. Характериэация распределений свойством предельного информационного количества при оценивании по многократно цензурированным выборкам. « н;"Теор.вер. и её примен.",1991, т.3б,в.4,с.809.

23. Тихов М.С. Асимптотики Т-оценок. - ж."Теор.вер. и её примен.',' 1992,т.37,в.4,с.658-675.

24. Тихов М.С. Асимптотическое поведение оценок байеоовокого типа. - к."Теор.вер. и её примен.", 1992,т.37,в.4,с.810-611.

.<5. Тихов М.С. Оценка показателей безотказности по случайно цензурированной выборке, - ж."Надежность и контроль качества", 1993,»2,сЛ1-17.

26. Тихов М.С. Оценивание параметров для неполностью известных семейств распределений. - "Вер.модели и обработка случ. оигналов и полей":тезиоы докл.Укр.респ.шк.-сем.,Черкассы, 1991,с.59.